由纠缠熵得出的对偶引力

《Physical Review D》：Dual gravities from entanglement entropy

　　我们研究如何利用纠缠熵来重构对偶引力描述。对于二维热系统，等时纠缠熵在给定度规假设下决定了三维黑洞几何的空间部分。对于未形变的共形场论，同一逆问题可通过阿贝尔变换解析求解。对于相关形变，我们在具有单调轮廓的一个正则标量场的三维爱因斯坦引力中求解。从给定纠缠熵重构出的几何使我们能够确定标量轮廓以及重整化群流采样到的标量势部分。它还确定了全息β函数和c函数。

I. 引言

AdS/CFT对应关系将渐近反德西特（AdS）空间中的引力理论与其边界上定义的量子场论（QFT）联系起来[1-4]。这种关系为强耦合量子系统提供了有用的几何描述。一个重要的例子是Ryu-Takayanagi公式[5,6]
S_E = Area(γ_A) / (4 G_N)。 (1.1)

它将边界子系统的纠缠熵映射为体内极小曲面的面积。标准场论结果和纠缠熵的一般性质提供了相应的边界描述[7-10]。子系统尺寸在对应QFT中扮演长度尺度的角色。

全息径向方向也与重整化群（RG）标度相关[11-22]。这一关系已被用于研究RG流、纠缠熵以及从边界数据涌现的体内几何[5,6,23-38]。纠缠与体内引力动力学之间的关系也从互补视角得到发展[39-43]。

逆问题探讨的是能否从边界可观测量得到体内几何。运动学空间和积分几何方法从边界测地线和纠缠数据重构几何信息[44-50]。密切相关的度规重构方法使用极值面积变化、含噪纠缠数据、格点纠缠数据以及纠缠与其他观测量的组合[51-57]。当解析求逆困难时，数值和机器学习方法提供了另一条途径[58-64]。文献[65-68]的作者研究了密切相关的体内度规函数的逆构造。本工作使用的阿贝尔求逆遵循这些先前研究，并具有相同的逆结构。然而，在本工作中，重构度规因子后，我们使用爱因斯坦-标量方程来确定标量轮廓和流追踪到的势的部分。文献[69]的作者使用边界格林函数的极点跳过来重构近地平线几何数据。他们的可观测量和重构问题与本文考虑的基于纠缠的方法不同。

在本工作中，“对偶引力重构”一词具有受限的含义。我们假设具有一个正则标量场的三维二阶导数爱因斯坦引力，以及下述度规假设和边界条件。纠缠熵不能确定任意引力作用量。在此模型类内，它确定空间度规，并且对于单调RG流，使我们能够推断标量轮廓和标量势的采样部分。我们首先研究有限温度例子。等时纠缠熵重构空间径向几何。时间度规分量和Hawking温度需要额外的体内补充。然后我们考虑零温度相关形变。阿贝尔变换给出翘曲因子，随后将其用于爱因斯坦-标量方程以确定标量扇区和RG可观测量，如β函数和c函数。

本文组织如下。第II节讨论热系统及其空间黑洞几何的重构。第III节研究标量形变并重构相应的RG流。第IV节给出讨论。

II. 热系统的全息对偶几何

我们考虑一个具有n个毛发的(d+1)维AdS黑洞，其由以下作用量支配：
(2.1)

其中由物质作用量I_m导出的守恒电荷提供n个毛发。然后，爱因斯坦方程简化为
(2.2)

其中T_{MN}是从I_m导出的能量-动量张量。为了描述对应于对偶场论侧热系统的黑洞，我们使用以下度规假设：
(2.3)

其中f(z)在边界(z→0)处趋于1，使得几何渐近AdS。在有限温度下，我们额外假设Schwarzschild规范关系g_{tt} = -f(z)，因此相同的黑洞函数f(z)出现在g_{tt}和g_{xx}中。等时纠缠熵直接约束空间分量g_{xx}，但不独立确定f(z)。因此，Hawking温度仅在施加此度规假设后才可确定。它不能仅从等时纠缠数据推断出来。如果没有I_m，AdS Schwarzschild黑洞作为一般解出现，其中
f(z) = 1 - (z/z_h)^d， (2.4)

其中z_h表示黑洞质量。在对偶QFT侧，黑洞质量被重新解释为无质量辐射的能量。

添加更多物质I_m进一步将Schwarzschild黑洞推广为多毛发黑洞，例如p-膜气体几何[70-72]。(p+1)-膜的能量-动量张量正比于(p+1)-膜的数量密度，其将黑洞因子形变为
f(z) = 1 - (z/z_h)^d - Σ_p n_p (z/z_h)^{d-p-1}， (2.5)

其中我们省略p = d-1的情形，因为d-膜会移动背景宇宙学常数。在对偶QFT侧，n_p被重新解释为p维孤子对象的数量密度。例如，n_0表示重粒子的数量密度，而n_{d-2}是对偶QFT侧一维孤子对象的数量密度。

在全息中，黑洞几何编码对偶热态的热力学。Hawking温度和Bekenstein-Hawking熵直接从度规得到：
T_H = f'(z_h) / (4π)， S_BH = V_{d-1} / (4 G_N z_h^{d-1})， (2.6)

其中V_{d-1}表示(d-1)维正则化体积。从全息角度看，黑洞的温度和熵被重新解释为对偶QFT的温度和熵。其他热力学量可通过应用热力学定律得到[72]：
dE = T dS + Σ_i μ_i dQ_i， (2.7)

其中Q_i是d个守恒量。我们将粒子数N包括在其中。更一般地，Q_i = q_i V_{d-1}。因此，下面关于V_{d-1}的导数在固定q_i处取，特别是在固定n_p处，而不是在固定密度q_i处取。结果，当体积固定时，热系统由温度和物质密度表征，然后其他热力学量作为热力学变量的函数给出，即T和n_p。

给定S和n_p，热系统的内能由下式导出：
E = T S + Σ_p μ_p n_p V_{d-1} - p V_{d-1}。 (2.8)

经Legendre变换后，自由能也可写作：
F = E - T S - Σ_p μ_p n_p V_{d-1} = -p V_{d-1}。 (2.9)

定义零温度下的基态能量和压强：
E_0 = E(T=0)， p_0 = p(T=0)。 (2.10)

然后，热能热压强变为：
E_th = E - E_0， p_th = p - p_0。 (2.11)

从这些热力学量中，我们评估表征热系统的一些物理量，如状态方程和比热：
p = p(E)， C_V = (?E/?T)_V。 (2.12)

现在，我们考虑对偶热系统的纠缠熵。为了评估纠缠熵，我们考虑一个条带形子系统，-?/2 ≤ x ≤ ?/2和0 ≤ y_i ≤ L_i，其中i = 1, ..., d-2。在全息设置中，其纠缠熵由延伸到对偶几何中的极小曲面描述。这称为Ryu-Takayanagi公式。然后，纠缠熵由极小曲面的面积确定[5,6,25]：
S_E = (L^{d-2} / (4 G_N)) ∫_{z_min}^{z_*} dz (1/z^{d-1}) (1 / sqrt(f(z) - f(z_*)(z/z_*)^{2d}))， (2.13)

其中L^{d-2} = ∏_i L_i且撇号表示对z的导数。使用守恒量并引入转向点z_*，其中z' = 0，我们将子系统尺寸和纠缠熵确定为转向点的函数：
? = 2 z_* ∫_0^1 du u^{d-1} / sqrt(f(z_*) - f(z_* u) u^{2d})， S_E = (L^{d-2} / (2 G_N)) ∫_{z_min}^{z_*} dz (1/z^{d-1}) (1 / sqrt(f(z) - f(z_*)(z/z_*)^{2d}))， (2.14)

其中z_min是作为UV截断引入的。这里，我们可以通过应用适当的重整化程序来移除UV截断。在本工作中，为方便起见，我们引入一个小的物理UV截断z_min，在凝聚态理论中将其重新解释为晶格间距。

结合上述两个关系并消去转向点，我们还可以将纠缠熵确定为子系统尺寸的函数S_E(?)。在这种情况下，纠缠熵始终满足以下关系[60,61]：
(?S_E/??) = - (L^{d-2} / (4 G_N)) (z_*^{-d} / sqrt{1 - (f(z_*)/f(z))^2})。 (2.15)

在无限子系统尺寸极限（?→∞和z_*→z_h）下，纠缠熵简化为Bekenstein-Hawking熵：
S_E(?→∞) = (L^{d-2} V_{d-2} / (4 G_N z_h^{d-1}))， (2.16)

其中(d-1)维体积由V_{d-1} = L^{d-2} V_{d-2}给出。

A. 多毛发黑洞作为对偶热系统的有效理论

我们现在求解逆问题。纠缠熵作为输入，度规函数从方程(2.14)中的全息积分方程得到。相关的逆问题也已用机器学习方法研究过[60,61,73]。我们假设QFT具有UV不动点。相应的体内几何渐近AdS且满足f(0) = 1。

现在，我们将径向坐标参数化为：
z(λ) = z_min exp(λ)， (2.17)

其中
λ_i = i λ_max / N， λ_max = log(z_*/z_min)， (2.18)

其中N是一个大整数。然后，λ的范围限制在[0, λ_max]，其中z_min被解释为晶格间距。根据方程(2.14)中的全息原理，子系统尺寸和纠缠熵由方程(2.17)中的径向坐标确定：
?(z_*, z_min) = 2 z_* ∫_0^1 du u^{d-1} / sqrt(f(z_* u) - f(z_*) u^{2d})， S_E(z_*, z_min) = (L^{d-2} / (2 G_N)) ∫_{z_min}^{z_*} dz (1/z^{d-1}) (1 / sqrt(f(z) - f(z_*)(z/z_*)^{2d}))， (2.19)

其中z_*参数化转向点，而z_min定义为z_*和z_min的平均值：
z_min = (z_* + z_min) / 2。 (2.20)

在施加边界条件f(0) = 1后，我们可以递推地找到f。例如，当我们设置f(z_*^N) = f(z_min)时，?(z_*, z_min)和S_E(z_*, z_min)仅依赖于f(z_*^N)。结合这些结果，我们找到满足?(z_*, z_min)和S_E(z_*, z_min)的f(z_*^N)。使用已知的f(z_*^N)和f(z_*^{N-1})，我们还找到满足?(z_*, z_min)和S_E(z_*, z_min)的f(z_*^{N-1})。重复此过程，我们最终得到f(z_*^i)对于i = N, N-1, ..., 1。然后，我们从纠缠熵数据S_E推导度规因子：
f(z_*) = 1 - (4 G_N / L^{d-2}) (∫_{z_min}^{z_*} dz (1/z^{d-1}) (1 / sqrt(1 - (z/z_*)^{2d})))^{-1} (?S_E/??)， (2.21)

其对应于λ在[0, λ_max]范围内的平均值。

B. 从重构黑洞几何导出的热力学量

让我们首先考虑图1(a)中所示的基准纠缠熵S_E。其大?体积律是热态的特征。这种行为不能唯一确定微观物质内容。因此，我们假设一个由辐射和大质量粒子组成的模型来生成输入数据。

图1. (a) 依赖于子系统尺寸的纠缠熵。我们对d = 3，N = 100，G_N = 1和L = 1全息地评估纠缠熵。(b) 当纠缠熵在没有知道f(z)和z_h值的情况下给出时，我们从纠缠熵作为输入数据重构对偶黑洞几何。

根据先前的全息描述，我们在图1(b)中数值重构黑洞因子f(z)，其再现图1(a)中给定的纠缠熵数据，误差很小。使用图1(b)中数值黑洞因子的外推，我们发现事件视界出现在：
z_h = 0.01141。 (2.22)

在指定度规的时间补充后，我们评估f(z)在事件视界处的斜率并确定Hawking温度：
T_H = f'(z_h) / (4π) = 0.01141。 (2.23)

从这些数值结果，我们可以进一步确定其他参数。在上述指定的假设内，根据方程(2.5)中的全息关系，对偶黑洞具有以下形式：
f(z) = 1 - (z/z_h)^d - n_0 (z/z_h)^{d-1}， (2.24)

其中z_h和n_0的值尚未确定。由于黑洞必须具有满足f(z_h) = 0的事件视界，黑洞质量被重写为z_h和n_0的函数。因此，黑洞因子被重新表示为：
f(z) = 1 - (z/z_h)^d - n_0 (z/z_h)^{d-1}。 (2.25)

使用此度规形式以及数值值z_h = 0.01141（方程(2.22)）和T_H = 0.01141（方程(2.23)），大质量粒子的密度和黑洞质量被确定为：
n_0 = 0.01141， z_h = 0.01141。 (2.26)

结果，获得的数值确定黑洞因子，其是给定纠缠熵数据的对偶几何：
f(z) = 1 - (z/z_h)^3 - n_0 (z/z_h)^2。 (2.27)

在假设的黑洞模型内，重构的空间几何随后可用于评估热力学量[74-79]，尽管这些量不能仅由等时纠缠熵确定。将方程(2.7)中的热力学定律应用于方程(2.27)中重构的黑洞几何，我们获得与图1(a)中纠缠数据相关的内能：
E = (L^{d-2} V_{d-2} / (4 G_N)) (T_H (1/z_h^{d-1}) (1/(d-1)) + n_0 (1/z_h^{d-2}))。 (2.28)

这里，第一项对应于热能：
E_th = (L^{d-2} V_{d-2} / (4 G_N)) T_H (1/z_h^{d-1}) (1/(d-1))， (2.29)

而最后一项描述与温度无关的基态能量。从E_th我们得到：
C_V = (?E_th/?T)_V = (L^{d-2} V_{d-2} / (4 G_N)) (1/z_h^{d-1}) (1/(d-1))。 (2.30)

因此，该系统的压强简化为：
p = - (?E/?V)_N = p_0 + p_th， (2.31)

其中p_0表示真空压强。这里，N = n_0 V_{d-1}表示守恒粒子数，因此n_0在体积导数下变化。然后，热压强可定义为：
p_th = - (?E_th/?V)_N = (L^{d-2} / (4 G_N)) T_H (1/z_h^{d-1}) (1/(d-1))。 (2.32)

所得的状态方程和比热为：
p_th = (d-1) E_th / (L^{d-2} V_{d-2} (1/z_h^{d-1}))， C_V = (L^{d-2} V_{d-2} / (4 G_N)) (1/z_h^{d-1}) (1/(d-1))。 (2.33)

这里，比热为正，因此当粒子数和体积固定时，我们考虑的热系统是热力学稳定的。在表I中，我们总结了获得的数值结果，并将其与真实值进行比较。

表I. 我们总结从重构的对偶黑洞几何导出的热力学量，其中N = 100，并将其与用N = 10000导出的真实值进行比较。
导出值 真实值 误差（%）
z_h 0.01141 0.01119 1.97
T_H 0.01141 0.01119 1.97
n_0 1.00000 1.00000 0.00
C_V 0.18934 0.18750 0.98

III. 由标量算符形变的共形场论的全息对偶

接下来我们要问，在几何重构后，能推断出多少体内理论。我们考虑一个由标量算符形变的零温度二维共形场论（CFT）[80,81]。相关的几何重构也已通过数据驱动方法进行了研究 [58–63,73,82,83] (3.1)其中 和 分别表示耦合常数和形变算符。在未形变的不动点附近，一个相关的形变随着 在重整化群标度降低时增长。它将理论从紫外不动点推开，并可能导致不同的红外物理。对于一个无关形变 的情况，一个小的无量纲耦合随着重整化群标度的降低而减小。因此，在该方向上，该不动点对红外是吸引的。我们定义无量纲耦合 ，其中 且 是重整化群标度。未形变的不动点对应于 。对于形变，我们考虑分支 。在不动点附近， 函数为 (3.2)线性项描述了不动点附近的领头阶行为，省略号表示 中更高阶的项。这个形变后的CFT可以被理解为全息对偶引力。根据全息原理，一个二维CFT被映射到三维AdS空间。在这种情况下，CFT的标量算符被映射到全息框架中的体标量场，这也形变了AdS背景几何。因此，形变后CFT的全息对偶可以由以下爱因斯坦-标量引力描述： (3.3)其中 且 是无量纲的。我们将重构限制在具有一个正则标量的三维二阶导数爱因斯坦引力中。该模型被作为输入，因为其他体作用量可能支持相同的几何结构。使用标准的全息字典，我们将边界标量模式与对偶理论中的耦合常数对应起来。然后，体标量轮廓可以映射到对偶理论的重整化群流。对于标准量子化中的无关算符 ，相应的体标量具有正的质量平方。因此，标量势在 处有一个局部极小值，满足 (3.4)常数解 描述了未形变的CFT，且没有非平凡的重整化群流。然而，一个相关形变对应于负的标量质量平方和势在 处的局部极大值，满足 (3.5)对于一个相关形变，标量场向势的另一个极小值移动。它的径向演化代表了对偶量子场论的重整化群流，而其反作用改变了体几何。我们利用这一关系从量子场论的纠缠数据重构标量扇区。 A. 未形变的CFT我们首先考虑未形变的紫外CFT。由于没有非平凡的重整化群流，其对偶几何应为纯AdS。在这种情况下，纠缠熵是解析已知的，因此逆问题也可以解析求解。在零温度下，我们假设标量形变保持边界洛伦兹对称性。我们还假设标量轮廓是单调的，因此 是单值的。一个方便的畴壁度规是 (3.6)其中 可以重新解释为对偶量子场论的重整化群标度。这里，径向坐标 从红外的 延伸到紫外的 。得益于AdS/CFT对应，对偶量子场论的纠缠熵由极小曲面的面积决定 [5,6]。根据上述Eq. (3.6)中的一般度规ansatz，纠缠熵由下式支配 (3.7)其中撇号表示关于 的导数。利用守恒量，子系统尺寸 和纠缠熵被确定为转向点 的函数，在 处有 ， (3.8) (3.9)其中 表示适当的紫外截断。当给定纠缠熵时，求解这两个积分方程可以确定 ，如前一节所做。接下来，我们使用阿贝尔变换从纠缠熵中更解析地提取对偶几何。上述纠缠熵和子系统尺寸被重新表示为径向坐标的积分形式 (3.10)由于 在转向点 处，我们找到以下关系： (3.11)其中 。这为我们提供了关于度规因子与子系统尺寸 或 之间关系的信息。利用守恒定律，Eq. (3.8)中的子系统尺寸被重写为 (3.12)其中 。这是阿贝尔变换的形式（见附录A）。然后， 由逆阿贝尔变换确定 (3.13)已知二维CFT的纠缠熵具有以下形式 (3.14)其中 表示独立于子系统尺寸 的紫外发散项。现在，我们讨论如何重构这个解析纠缠熵的对偶几何。由于纠缠熵是子系统尺寸的函数，Eq. (3.11)将转向点确定为子系统尺寸的函数 (3.15)结果，我们最终将子系统尺寸确定为转向点的函数 (3.16)将此关系代入Eq. (3.13)中的逆阿贝尔变换并求值，我们得到以下结果： (3.17)再求解一次这个微分方程，我们最终得到对偶几何的度规因子 (3.18)这是纯AdS空间的度规。一个常数标量轮廓与该解一致，对应于标量动力学的一个不动点。这个例子表明，在所述度规ansatz内，空间对偶几何可以从Eq. (3.14)中的纠缠熵解析重构。附录B给出了一个有限温度的解析例子。当没有闭式解可用时，相同的逆关系可以通过数值方式求值。 B. 产生非平凡RG流的相关形变我们现在考虑一个相关形变。相关形变将紫外CFT驱动到一个不同的红外不动点。在对偶引力描述中，一个标量场从势的不稳定极值移动到稳定极值，并对几何产生反作用 [14–16,80,84]。我们从纠缠熵重构翘曲因子，然后使用体方程确定标量轮廓和势的采样部分。图2(a)显示了用作输入的纠缠熵。图2(b)显示了 。其紫外和红外极限接近在共形不动点处预期的对数行为。对于图2(b)中数值导数的绘图，省略了 的数据以避免端点奇异性。下面的阿贝尔反演使用直到 的完整数据集。图2. 重构过程的输入数据。(a) 纠缠熵 作为子系统尺寸 的函数，由理论模型生成。(b) 熵C函数 。从紫外（小 ）到红外（大 ）的单调递减确认了c定理的有效性和适当RG流的存在。图2(b)中的虚线标记了绘图范围的下端，即 。该截断不用于重构。应用Eq. (3.13)中的逆阿贝尔变换，径向坐标被确定为度规因子的函数 (3.19)其中我们使用分部积分得到最后一个关系。一旦 已知，Eq. (3.19)给出 。我们从Eq. (3.11)得到 ，数值上将其求逆，并求值阿贝尔积分。这给出 。图3显示了 和 。图3. 度规的数值重构结果。(a) 在范围 内的重构翘曲因子 。(b) 导数 ，显示了在AdS极限（ ）附近重构的稳定性。有了重构的度规因子 ，我们可以进一步确定标量场轮廓和标量势。对偶引力的动力学由从Eq. (3.3)导出的运动方程支配 (3.20) (3.21) (3.22)其中点表示关于径向坐标 的导数。这里，第二和第三个方程支配 和 的动力学，而第一个是引力理论的约束。由于它们不是独立的，引力解可以仅由其中两个确定。从Eq. (3.21)中减去Eq. (3.20)得到度规和标量场动能项之间的直接关系： (3.23)这个关系意味着零能量条件要求 。因此，对于一个光滑的物理重构，我们积分 (3.24)在图4(a)中，我们描绘了从重构的 导出的标量场轮廓 。一旦 和 已知，Eq. (3.20)将标量势 确定为径向坐标的函数 (3.25)求逆 给出 ，因此标量势 如图4(b)所示。图4. 标量扇区的重构。(a) 标量轮廓 。(b) 重构的标量势 由数值点表示，基准势Eq. (3.26)由红线表示。虚线表示AdS真空值 。重构的势由Eq. (3.28)参数化。为了获得图2(a)中的纠缠熵数据，我们使用一个特定的标量势形式 (3.26)其中 和 是无量纲的。根据AdS/CFT字典，这个体标量质量与形变算符的共形维度 相关 [2–4] (3.27)当 且 时，形变是无关的，标量势在紫外不动点处有一个稳定的极小值。对于 ，形变是相关的，势在 处有一个局部极大值。非零极值满足 。我们考虑分支 。对于图2(a)中的数据，我们使用 、 、 和 。在重构过程中，我们将重构的标量势沿RG轨迹参数化为 (3.28)基准AdS真空满足 ，但我们不对拟合施加这个条件。对481个重构点进行五个系数的无约束拟合得到 ，这与Eq. (3.26)中的基准系数 进行比较。 、 和 的小非零值被解释为重构过程中的数值误差。重构的紫外和噪声敏感性总结在附录C中。重构系数给出 。为了理解这个结果，我们注意到Eq. (3.27)有两个解， ，其中 且 。在边界附近， 。我们使用标准量子化，其中 是源， 是响应，算符维度为 。替代量子化分配 。数值上我们施加 并选择从 流向精确红外不动点 的正单调分支。这些选择是模型和边界输入，源振幅 不是从纠缠数据独立推断的。标准量子化结果在数值误差内与输入值 一致。在这个假设的全息字典内，度规因子 和标量模式定义了RG标度和运行耦合，因此我们得到 函数 [80] (3.29)图5(a)显示了得到的 函数。它在紫外和红外不动点 和 处消失。在这两点之间，对于相关形变的正分支，它保持负值。全息 函数由下式定义 [85–87] (3.30)图5(b)表明全息 函数从 到 单调递减，与 定理一致。图5. (a) 函数作为耦合常数 的函数。(b) 全息 函数作为耦合常数 的函数。 IV. 讨论我们使用纠缠熵作为边界输入研究了一个逆全息问题。在有限温度下，等时纠缠熵在假设的度规ansatz内确定空间径向几何。时间分量不能仅由这些数据确定。因此，霍金温度及其导出的热力学量需要额外的时间体完备化。一旦该完备化和物质模型被指定，我们表明重构的几何给出与假设的热系统一致的热力学量。对于零温度相关形变，阿贝尔反演直接从纠缠熵确定翘曲因子。阿贝尔反演本身遵循先前研究中发展的逆结构。在我们这里考虑的爱因斯坦-标量模型中，我们然后使用体方程确定一个单调标量轮廓和 中被RG流追踪的部分。在这个意义上，重构超越了空间几何并给出了关于标量扇区的信息。然而，这并不意味着纠缠熵选择了一个唯一的引力作用量。结果是所述爱因斯坦-标量模型类内的重构，并且只确定了势中被流采样的部分。在找到一个满足假设引力理论运动方程的解后，我们表明重构以小的误差重现了预期的标量势，并给出了描述紫外和红外不动点之间流的 和 函数。这个结论适用于具有足够深紫外覆盖的光滑理论数据，因为当前过程对噪声高度敏感（附录C）。这些结果表明，在假设的体模型和全息字典内，纠缠熵可以提供超出重构空间度规的信息。扩展到高维系统、缺陷共形场论[88,89]以及带标量毛的有限温度重整化群流是有趣的未来方向。更一般的几何结构可能需要额外的边界数据。