线性化引力作为边界模式与显式对偶性及洛伦兹协变性

《Physical Review D》：Linearized gravity as edge modes and manifest duality and Lorentz covariance

　　我们首次提出了四维线性化引力的表述，该表述具有明显的洛伦兹协变性且具有民主性，即以平等的方式处理由电磁对偶联系的两个框架。众所周知，四维线性化引力属于四维共形代数 ?????(2,4) 的一类单例表示。我们的关键洞见是将此代数视为 AdS5 的等距群，并将无质量自旋-2 场实现为取特定有限维 ?????(2,4) 表示值的五维拓扑场的边缘模式。所需的四维作用量随后通过协变边界约化程序得到。

I. 引言

电磁对偶是同名电磁学的一个迷人对称性，它在四维时空（spacetime）中将电场和磁场相互旋转 [1–7]。已知线性化引力具有类似的对偶对称性，它交换线性化黎曼张量及其对偶。这一所谓电磁对偶是该理论的一个壳外（off-shell）对称性这一事实在文献 [8] 中得到了明确证明。

与电磁学及其 ??-形式推广不同——对于这些情况，已有洛伦兹协变方法可用——唯一具有明显对偶性的线性化引力作用量表述是 Bunster 和 Henneaux 的哈密顿表述 [8,9]。该表述不保留明显的洛伦兹协变性——作用量是洛伦兹不变的，但并不明显。迄今为止，尚不存在同时保留明显对偶性和洛伦兹协变性的表述——人们普遍认为这两者之间存在张力。在本文中，我们将推导四维时空中线性化引力的作用量表述，其中洛伦兹变换不变性和对偶旋转不变性均为明显性质。这是通过首先将其实现为拓扑体理论（topological bulk theory）的边界模式来实现的。

让我们首先回顾电磁对偶在线性化引力中是如何实现的。我们考虑四维闵可夫斯基空间，坐标记为。在场论的标准实现中，线性化引力的基本自由度由一个秩-2 对称张量描述，其场强为线性化黎曼张量

(1)

根据构造，该场强满足

(2)

这些被称为 Bianchi 恒等式。真空中螺旋度-2 场的动力学随后编码在 Ricci 平坦条件（场强的无迹条件）中

(3)

现在，上的完全反对称 Levi-Civita 张量使我们能够定义对偶黎曼张量为

(4)

容易看出该对偶张量也满足 Bianchi 恒等式 (2) 和壳上平坦条件 (3)。因此，黎曼张量及其对偶的 SO(2) 旋转

(5)

保持理论的动力学内容，即 (2) 和 (3)，不变。在文献 [8] 中，事实上已证明存在壳外对称变换，这些变换在壳上约化为黎曼张量及其对偶的对偶旋转。换言之，对偶旋转不仅保持运动方程不变，而且它们是理论的一个真正的对称性，与产生这些变换的非零守恒荷相关联 [10]。

尽管线性理论具有对偶对称性，但完整的非线性爱因斯坦引力的通常表述显然不对称地处理基本场及其对偶。在这种情况下，选择一个对偶框架而非另一个的理由是自由理论的对偶对称性并不能直接扩展到相互作用 [11–13]。

在线性理论中（或至少当它是一个良好近似时 [14]），考虑一个对偶对称性明显的表述是合理的。任何平等处理两个对偶场变量的表述都自动实现这一点——这样的表述被称为民主的。这通常通过加倍场内容并独立处理场及其对偶来实现。对于线性化引力，我们重新标记

(6)

随后可以证明原始运动方程完全等价于

(7)

这被称为扭曲自对偶关系。

文献 [8,9] 的作者（另见 [19–22]）通过过渡到哈密顿形式并求解约束以支持所谓的超势（superpotentials），这些超势在壳外对偶旋转下局部变换，从而导出了线性化引力的民主作用量（与自旋-1 的表述 [23–26] 平行）。代价是明显的洛伦兹协变性。这些类似于 [23,24,27,28] 中手征自由度的非协变表述。

然而，着眼于构建更一般类别的理论，保留明显洛伦兹不变性显然至少与使对偶不变性明显化同样有用。因此，在 -形式的情况下，迄今为止已出现了几种恢复明显洛伦兹协变性的方法 [29–42]。最近，这些方法已通过拓扑理论的边界约化程序被系统地推导出来 [40,41]。

然而，扩展到自旋-2 及更高自旋是非平凡的：相关规范场取值于时空对称性的非平凡表示中，因此对偶性会与后者混合。这显然是构建这类明显洛伦兹协变且民主的理论表述的障碍，也正是迄今未找到此类表述的原因。

在本文中，我们将提出四维线性化引力的表述，该表述保留明显的洛伦兹协变性和对偶性。我们由此启动一个程序，该程序大大扩展了我们能够民主描述的理论类别。我们构造的核心在于对偶性与共形对称性的密切联系：四维时空中无质量自旋-2（及更高）场是共形代数的所谓单例表示，这些是 的特殊酉不可约表示，当限制到其子代数、或 时仍保持不可约。尽管以场势表示的标准描述不具有共形对称性 [43–49]。为了利用单例表示的这一性质，我们确定了一个在四维中体现 共形对称性的起点，该对称性在体（bulk）中表现为 等距。这使我们能够构建一个体拓扑理论，该理论将四维线性化引力作为边缘模式传播，这一可能性在 [50] 中被提出。然后我们能够建立在 [40,41,51] 中发展的拓扑边界约化程序之上。更精确地说，为了在边界上获得所需的无质量自旋-2 场论，我们选择共形群的反对称秩-3 张量表示，并对体拓扑理论施加一组特定的渐近边界条件。对高维中其他单例和任意自旋的进一步推广将在即将开展的工作中阐明。

II. 设定

首先引入我们设置所需的必要要素来奠定基础。

考虑——我们最终对共形边界 上的场论感兴趣。设 和 分别为 和 上的坐标，使得 Poincaré 坐标下的体度量取形式

(8)

使用嵌入空间 也很方便，我们将在此空间上选择坐标。在这种情况下，我们将 坐标和 坐标替换为光锥坐标，其中满足。

让我们进一步考虑 的完全反对称 3-张量向量空间。为了区分该向量空间（纤维）的元素与 本身（底空间）上的反对称张量，我们用下划线索引表示前者的分量，例如，对于，

(9)

其中 是 的生成元。现在，注意到 容许不变双线性形式

(10)

此外， 的完全反对称 Levi-Civita 张量定义了一个自同构——对偶化算符，其作用为

(11)

由于，该自同构定义了一个复结构，这使我们能够将向量空间 分解为两个正交的反对称 2-张量向量空间。该分解不是唯一的，但为了使其明确，我们可以通过选取一个 向量 来挑出一个方向。然后，我们可以取这些子空间为

(12)

最后，我们用 表示 -协变导数，它通过交换子的作用作用于张量，即。这里， 是 上的标准外导数， 是取值于 的对称代数 的 背景联络。该联络是平坦的，因此协变导数 是幂零的。联络和作用于张量的协变导数的显式分量在附录 A 中给出。

III. 民主线性化引力

现在我们可以提出该理论，它将在四维中提供线性化引力的明显洛伦兹协变且民主的描述。

A. 体描述

所关注的理论是 上的拓扑场论，其受到特定约束的边界自由度最终将以民主方式描述线性化引力。

我们对此的出发点是场 ，它是底空间 中的二形式，取值于向量空间 ——它在底空间 和纤维 中都有指标。我们关注的理论由以下作用量描述

(13)

其体部分是一个 Chern-Simons 项，包含关于平坦 -联络的协变导数。边界项对后续讨论至关重要。

体中和边界上的经典运动方程分别为

(14)

体场是闭的因此是纯规范，该理论中的自由度因此完全位于边界。我们进一步注意到，边界运动方程已经具有我们所需的扭曲自对偶关系 (7) 的暗示性形式。

然而，(14) 本身传播了太多自由度，其中一些必然是非幺正的。为此，我们在 的分量上施加一组特定的渐近边界条件，这些条件对其不同底空间和纤维分量有所不同。我们声称这正是使我们保留正确自由度的必要壳上条件。这是 [51–54] 中施加条件的更高维类比。

B. 边界约化

我们的目标现在是在协变层面直接描述边界动力学。为此，我们执行文献 [40] 中引入的洛伦兹协变边界约化。为此，我们不固定时间方向（通常沿此方向进行哈密顿约化），而是通过选取一个无处为零的闭一形式 来定义 的叶状结构（延拓到 中）。由于这一点，我们可以定义洛伦兹协变分解

(15)

其中 满足，且 和 均取值于。将此代入作用量 (13) 的体部分，我们发现这给出

(16)

在体中， 充当拉格朗日乘子，强制实施条件。由于 是幂零的，这在局部上由 解出，其中 取 值 [55]。这相当于将我们的 Ansatz (15) 取为

(17)

我们将经常使用简写。当代回体部分时，该 Ansatz 将其约化为全导数项，我们得到以下纯边界作用量：

(18)

如前所述，这应补充一组渐近衰减条件。我们将使用符号 表示我们作为约束手动强制等式左右两边等价。正如我们即将看到的，以下条件恰好选出正确的四维理论

(19)

其中每个场的 的主幂次由其纤维的共形维度确定。这些可以通过拉格朗日乘子直接施加在边界作用量中

(20)

其中。在附录 B 中，我们证明 在壳上是平凡的。因此，我们的理论由总作用量确定

(21)

关于 在即将讨论动力学内容时引入的微妙之处推迟到附录 B 中讨论。

C. 动力学内容

让我们首先考察由作用量 (18) 本身描述的边界动力学。

首先注意，作用量 (18) 具有多种规范对称性。它们分别包括：

(i) 中的 -精确平移：，

(ii) 中的 -精确平移：，以及

(iii) 保持 不变的组合平移：，。

其中 、 和 取值于。这意味着确定理论的物理内容并非易事。

让我们对边界运动方程再作一些评论。从方程 出发，我们看到 (22)由于 ，我们可以遵循[56,57]中概述的步骤来表明方括号内的表达式必须为零 (23) 的方程为 ，利用(23)，该方程简化为 (24)这意味着我们可以固定 中的规范自由度，将(23)重写为 (25)正如边界运动方程(14)所预期的那样。这正是我们所要寻找的运动方程，即形如(7)的扭曲自对偶关系。在附录B中，我们表明当在(21)中考虑约束时，同样的结论仍然成立。
D. 洛伦兹协变性
为了使由(18)定义的作用量具有明显的洛伦兹协变性，一形式 必须不被固定。因此它需要是动力学的，其运动方程 由额外的拉格朗日乘子 施加[41]： (26)然而，如果这会导致额外的自由度传播，我们理论的描述就会被破坏。幸运的是，所得理论具有由 的精确形式平移给出的规范对称性，使得 成为纯规范。一个等价的视角（更接近[30,39,56]的精神）是，取 为精确形式（当 在壳时）， 具有平移对称性。仅对于作用量(18)，这直接平行于自旋1情形[56]。对于完整作用量(21)，该论证需要适当的调整——这在附录B中有所描述。
我们现在准备陈述我们的核心结果。由作用量(18)在在壳条件(19)下定义的完整理论，是四维线性化引力的一个明显洛伦兹协变且民主的表述。
IV. 非协变约化
为了精确联系到线性化引力，我们现在将进一步把配备渐近条件(19)的作用量(18)约化为[8]中导出的Bunster–Henneaux作用量。已知这等价于线性化爱因斯坦–希尔伯特作用量，因此这有效地表明我们所描述的自由度确实是自由无质量自旋2场的自由度。
为此，我们现在选取 和 。这定义了共形边界的一个叶状结构为 ，其中 是垂直于 的空间切片。我们将看到，通过这种选择，我们的理论在求解约束(19)后将重现他们的作用量。
A. 规范固定
第三节C小节中描述的规范对称性与作用量的零模相关联。因此，进行非协变约化的第一步是通过取 来固定规范，使得只有 和 的纯空间基分量非零。在显式基指标（和隐式纤维指标）下，作用量则取形式 (27)其中我们取 。场 以二次形式出现，因此是辅助场，我们可以将其积掉。这样做后，我们得到 (28)注意这与Schwarz–Sen作用量[24]的相似性（模掉被抑制的 指标）。
B. 渐近条件
我们现在求解渐近条件(19)以分离出正确的自由度。正如所承诺的，这将把作用量(28)约化为[8]中的作用量。为此，关键是要显式地给出涉及基 和纤维 的空间指标的对称性。我们通过利用(12)中关于 的向量空间 的分解来实现这一点。对于一致的边界理论，还需要按(A6)中所定义的 对场进行渐近展开。在此过程中，我们还将 的各种纤维分量重新标记为 。
现在，在实际层面上，约束(19)将 、 和 的空间分量（限制到 ）设为零。作为一个直接结果，我们发现作用量中仅存留的项为 (29)在进一步求解渐近条件之前，让我们先利用规范冗余度 （对于规范参数 ）来简化处理。背景联络 关联基指标和纤维指标，因此我们现在将开始看到混合两类指标的表达式——这最终将使我们能够消除这种区分。我们用 分别表示场 的规范参数（并在 中进行适当的重标定）。首先注意 上的规范变换取形式 (30)显然我们可以利用 中的自由度来完全固定 。类似地， 中的规范变换取形式 (31)这里，我们可以利用选择 （其是反对称的）的自由度来固定 为对称（现在不再需要区分其基指标和纤维指标）。
现在让我们回到渐近条件(19)。在最显式的形式下，这些可以从(A8)中给出的 的分量读出。我们首先考虑对 的约束。从(A8a)中，我们看到这允许我们用 来求解 。然后，由于 是对称的， 以及 的唯一非零投影具有[2,1]Young型对称性。由Bianchi恒等式 (32)接下来，考虑对 的渐近条件，由(A8b)给出。这是对 的一个代数约束，迫使其对称（现在也不再需要区分其基指标和纤维指标）。最后，我们有对 的约束，由(A8c)给出。该方程有两组反对称空间指标。由于SO(3)不存在秩为4、双列Young图，因此该方程中的唯一内容在于其迹，并且代数求解给出 (33)其中 和 。这完全求解了约束(19)，并允许我们将 的无约束分量写为 (34)将所有内容代回作用量(29)，我们得到 (35)在分部积分之后。很容易看出这正是[8]中给出的Bunster–Henneaux作用量，如所承诺的。场 精确对应于他们表述中的所谓超势。这是一种民主表述： 之间的SO(2)旋转下的明显不变性是由 和 是SO(2)的不变张量所隐含的。
V. 结论性评述
在本文中，我们提出了四维线性化引力的第一个具有明显洛伦兹协变性和民主性的表述。为此，我们利用了四维自由无质量自旋2场属于 的 singleton表示类这一事实。特别地，我们首先利用这一洞见将线性化引力实现为 中取值为 的反对称三张量表示的二形式Chern–Simons理论的边缘模。[40]中引入的边界约化程序随后导出一个明显洛伦兹协变的边界作用量(18)。我们的核心主张是，当配备在壳条件(19)时，所得边界理论是四维线性化引力的一个民主描述。我们通过适当打破洛伦兹协变性来恢复Bunster和Henneaux[8]给出的熟悉的四维线性化引力民主表述来证明这一点。我们的工作解决了这个长期存在的开放问题，并进一步支持了明显洛伦兹协变性和对偶性并非不相容的观点。
在更高维度中，存在具有矩形Young图 的多形式场，它们是 中自旋 singleton场到 时空维度的自然推广。这依赖于 的矩形（ ）行Young图表示分裂为两个同构的 表示（对应于具有 行的矩形图）的特殊性质。一般 和 的情形将在后续工作中处理。对于 ，这描述了四维无质量高自旋场，其民主表述已在[58]中给出。对于 和 ，这些是所谓的(4,0)理论[59–61]中出现的共形双形式（扩展到任意 在[62]中给出）。
上述内容对应于酉共形表示（singleton），但这一模式可以进一步推广到更一般的共形表示，例如Fradkin–Tseytlin场[63]、[64]中的Weyl型场（将表明其描述四维共形表示），以及到更高维度的推广。