维格纳连续自旋方程：玻色子与费米子情形

《Physical Review D》：Wigner continuous-spin equations in : Bosonic and fermionic cases

　　我们为反德西特空间中任意维数的对称连续自旋场构造了类Wigner运动方程，同时处理了玻色子和费米子两种情况。我们推广了玻色子连续自旋场的经典平空间Wigner约束，对于费米子情况，我们采用Bekaert和Mourad提出的方程作为出发点。这是通过将普通导数协变化并对所得约束进行形变，使其构成封闭代数来实现的。该构造在类度规形式下进行，产生一组第一类约束，它们定义了????(2,???1)等距代数的一个表示，该表示通过Lie-Lorentz导数实现。利用这些约束，我们计算了二次和四次Casimir算符的本征值，并将所得值与Metsaev对玻色子和费米子连续自旋表示的分类进行了比较。一个关键的代数作用由与Lorentz子代数????(1,???1) Howe对偶的（超）代数的特殊算符所扮演：玻色子情况下的????(2) Casimir算符，以及费米子情况下的??????(1|2)超代数的Casimir鬼。这两个对象自然地组织约束代数并确保其一致性。

I. 引言
连续自旋（CS）场代表具有无限多个自旋自由度的物理系统，其由连续的有量纲参数??（量纲为长度的倒数）表征，并对应于??维Poincaré群的幺正不可约表示（UIRs）。1 在四维Minkowski时空中，连续自旋表示在满足Wigner方程的场上实现 [2,3]。尽管关于此类场物理性质的问题早已被提出 [4–6]，但其不寻常的特性在解释上具有挑战性，2 导致研究兴趣一度消退。在过去的二十年里，连续自旋场的研究重新获得了新的动力，这在很大程度上受到高自旋理论突破 [8–12] 及其与弦理论潜在联系的激励 [13]。特别是，文献[14]为连续自旋表示提供了系统的??维推广，并开启了其超对称扩展的研究，为后续研究建立了新的基础。3

平空间。在Bekaert和Mourad的工作[16]中，连续自旋场的Wigner方程被系统地推广到任意维数的Minkowski时空。该框架成功包含了混合对称场的Wigner型方程（这些场在高维中自然出现），并同时处理了玻色子和费米子情况。如前所述，连续自旋场拥有无限多个自旋自由度。玻色子连续自旋场的谱包含所有整数螺旋度无质量场，而费米子对应物则包含整个半整数螺旋度场的塔。文献[16]的主要目标是构建连续自旋场的替代规范表述。为此，基于文献[17]的思想，作者从维数下的无质量自旋场出发，通过紧致化一个维度，在Stückelberg型表述中获得维数下的大质量自旋场，然后取所谓的连续自旋极限，同时保持固定。这个过程导致了与普通高自旋的(Fang-)Fronsdal表述 [18,19] 类似的连续自旋场规范表述。在固定规范后，他们得到了Wigner型方程。遵循这项工作，我们利用以这种方式获得的费米子类Wigner连续自旋方程。

下一波兴趣源于一系列研究 [20–23]，这些工作考察了连续自旋场与物质的相互作用。这些工作构建了玻色子连续旋场的局部规范作用量——Schuster-Toro作用量，后来在[24]中被推广到费米子情况，得到了我们上面提到的规范表述。对Schuster-Toro作用量的进一步分析，包括其从Fronsdal型方程的推导以及通过连续旋场的标量场间流交换研究，在[25]中完成。文献[26,27]也提出了对该规范表述的替代视角。

连续旋理论的进一步发展沿着多个方向展开。文献[28]对经典（矢量）Wigner连续旋方程进行了Becchi–Rouet–Stora–Tyutin（BRST）分析，并表明在此框架内构造拉格朗日量存在困难。这一困难在一系列工作 [29–35] 中通过发展旋量约束形式主义得以克服，这使得在和的显式BRST拉格朗日描述成为可能。另外，文献[36]发展了任意维数矢量表述的BRST方法，其中利用辅助场构造了连续旋场的规范不变拉格朗日量。

文献[37,38]利用Howe对偶考虑了混合对称连续旋场，该对偶提供了螺旋度和连续旋场的统一描述。虽然我们没有充分利用这一对偶性，但其代数结构部分地反映在我们的构造中。

Metsaev在一系列论文 [39–42] 中对连续旋场的三次相互作用进行了系统研究。在他最近的工作中，他采用了类Wigner协变形式主义，从而得到了比之前光锥规范分析更简单的三次顶点表达式。文献[43]也研究了涉及一个大质量（快子）连续旋场和两个大质量标量的可能三次顶点（关于连续旋模型量子化方面的讨论另见文献[44]）。与此同时，Schuster、Toro及其合作者探索了连续旋场的广泛物理含义，包括与物质的相互作用、含连续旋光子的量子电动力学、热力学性质以及可能的实验特征 [45–50]。此外，文献[51]最近提出了一种连续旋粒子的在壳描述，揭示了有趣的引力效应，包括在大距离上等效原理的破坏。

连续旋模型超对称扩展的各个方面已在文献[52–57]中探讨。

弯曲空间。回顾了平时空的主要进展后，我们现在转向常曲率背景，即空间。连续旋表示在这些空间中尚未被物理学家广泛研究，因为它们不属于相应对称群的标准幺正不可约表示4（例如，参见文献[60,61]；综述参见文献[62]）。虽然对于de Sitter空间确实如此，但如下文所详述，反德西特（）情形提供了更具说服力的场景。

Metsaev在文献[63]中发展了中连续旋场的系统作用量原理5。遵循Zinoviev对大质量场的规范方法 [64]，他构建了一个包含无限对称张量场塔的规范不变拉格朗日量。虽然大质量情况的标准规范表述要求拉格朗日量在有限自旋处截断，但Metsaev放宽了这一截断条件，导致作用量依赖于两个连续参数。在反德西特空间中，对于适当的参数选择，这类理论可以是幺正的，而在de Sitter空间中它们不可避免地变为非幺正的。基于这一构造，在一系列工作 [65–69] 中建立了连续旋场的系统框架，包括玻色子和费米子混合对称连续旋场的表述。这些构造中出现的两个连续参数与对称群的Casimir算符本征值相关，从而能够对中的连续旋幺正表示进行分类。

此外，Zinoviev在文献[70]中发展了中混合对称连续旋场的框架表述，推广了Metsaev早期的类度规结果。关于平空间中相同精神的进一步发展，参见文献[71]中的框架分析和文献[72]中的BRST-BV方法。关于修正Wigner方程以及Wigner、Schuster-Toro和Metsaev表述之间联系的讨论可在文献[73]中找到（另见文献[74]，其中修正Wigner方程被用于构造任意维数平时空中连续旋理论自由拉格朗日量的无约束形式）。

旋量BRST方法，在平时空连续旋场中已被证明是成功的，由Buchbinder、Fedoruk、Isaev和Krykhtin推广到了[75–77]。该表述允许构造BRST不变拉格朗日量，并建立了与对称群表示理论的联系。对于六维情形，文献[78]给出了仅限于运动方程层面且包含混合对称连续旋场的相关分析。

迄今为止，中超对称连续旋场的推广仅在文献[79]中针对四维情形被处理。

目标、新颖性和动机。在这项工作中，我们旨在为任意维数时空中的对称连续旋场构造类Wigner运动方程，同时涵盖玻色子和费米子情形。为实现此目标，我们采用文献[75,76]中建立的框架，其中中的连续旋表示通过平空间约束（运动方程）的适当形变来构造。与上述工作不同，我们采用矢量（类度规）形式主义而非旋量形式主义。作为出发点，我们取玻色子连续旋场的经典维Wigner方程，对于费米子，则采用文献[16]中引入的方程。我们的表述确保在平空间极限下，方程一致地约化为已知的类Wigner方程。此外，利用文献[77,78]的结果，我们证明了通过形变过程得到的方程在玻色子情形下固定了对称代数的所有Casimir算符，在费米子情形下至少固定了前两个Casimir算符。因此，这些约束显然定义了对称代数的一个不可约表示。然后，我们结合Metsaev对中连续旋幺正表示的分类来分析这些表示上得到的Casimir算符本征值：玻色子情形见文献[67]，费米子情形见文献[69]。

本工作的主要新颖性在于直接、协变地构造中的连续旋场类Wigner方程。虽然可以预期与文献[63,65]的规范表述存在联系，但我们将平空间Wigner方程直接提升到背景的做法此前尚未被报道。我们约束的简单性预计将对一系列未来应用非常有利。

我们构造的动机来自最近的工作[42]，其中Wigner型方程被证明是平空间中涉及连续旋场的三次相互作用顶点进行系统和优雅分类的方便出发点。通过将这些Wigner型方程推广到情形，我们旨在为背景下涉及连续旋场的三次顶点分析建立坚实的基础。

我们的结果也触及连续旋场的全息方面。虽然文献[67]在特定的虚参数区域建立了这些场与边界光射线算符 [80] 之间的联系，但我们的过程导致了一个不同的扇区。因此，本工作中构造的场不能直接等同于标准光射线算符。然而，它们可能对应于具有替代共形维数的连续旋算符，例如文献[81]中研究的那些——这一可能性为未来全息分析开辟了一条有趣的途径。

大纲。本文的结构如下。在第II节中，我们简要回顾连续旋场的Wigner方程并定义我们的约定。第III节提出了一组情形下连续旋场的约束（运动方程）。在第IV节中，我们证明了这些约束定义了所有Casimir算符均被固定的连续旋表示；我们还在Metsaev分类的框架内讨论了所得连续旋表示。费米子情形以类似方式在第V节中展开。最后，我们在讨论部分给出结论，而辅助技术细节留待附录。

II. WIGNER连续旋方程
Poincaré群的连续旋表示，最早由Wigner在其开创性工作[2]中引入，描述了具有无限螺旋度塔的无质量粒子，由实连续参数表征。在他原始的构造中，Wigner使用依赖于两个矢量变量的相对论场来描述此类表示——一个对应于时空坐标，另一个对应于内部“自旋”空间。

这些表示自然地推广到任意时空维度，其中它们可能在其谱中包含混合对称张量场，并需要多个辅助变量来描述。然而，如果希望仅使用单个辅助矢量变量来描述连续旋场，则自然需要将注意力限制在连续旋表示的对称子类上。该对称子类由单个连续参数表征，正如情形一样。它可以由形如 (2.1) 的函数来描述。

这种维对称连续旋表示的Wigner构造本质上遵循与四维相同的模式。Poincaré代数在函数的空间上实现，不可约表示由一组约束方程选出，这些约束固定了Casimir算符的本征值。在本节中，我们详细回顾这一平空间构造，因为它为我们的主要目标——将Wigner方程推广到反德西特空间——提供了必要的基础。首先，我们建立\(d+1\)维庞加莱代数\(\mathcal{P}\)的对易关系：
(2.2) (2.3)
其中指标取值为\(\mu,\nu=0,1,\ldots,d\)，闵可夫斯基度量选择为大部分加号签名
(2.4)
该代数在函数空间\(\Phi(x,u)\)上有一个标准实现：
(2.5)
其中
(2.6)
在实现(2.5)和(2.6)中，庞加莱代数的二次和四次卡西米尔算符化简为以下表达式
(2.7)
其中我们定义
(2.8)
所有高阶卡西米尔算符在该实现中恒为零，即
(2.9)
其中\(n\ge3\)，这可以通过一般构造来验证（例如，参见文献[78]的I.2节）。

首先，我们回顾平时空中的Wigner连续自旋方程。\(^6\)考虑以下作用于函数\(\Phi(x,u)\)的算子集合：
(2.10)
对于Wigner连续自旋方程
(2.11)
的解，\(\mathcal{P}\)的卡西米尔算符取固定本征值
(2.12)
我们注意到，对于全对称连续自旋表示，本征值(2.12)和(2.9)与具体实现(2.5)和(2.6)无关。Wigner方程(2.10)和(2.11)的相容性由算子\(D^a,D^{ab},D\)构成封闭算子代数这一事实保证，其非零对易关系仅为
(2.13)
此外，辅助变量的内部空间具有内禀的\(so(D-1,1)\)对称性。\(^7\)我们定义标准生成元集合
(2.14)
它们满足代数
(2.15)
该代数的二次卡西米尔算符由
(2.16)
给出。洛伦兹不变算子\(D\)可以直接通过该代数的卡西米尔算符(2.16)表示为
(2.17)
在附录D中，我们写出辅助向量\(u\)、导数\(\partial/\partial u^a\)与生成元\(J^{ab}\)之间的有用对易关系。

III. WIGNER连续自旋方程

A. 预备信息

在本节中，我们将Wigner连续自旋方程(2.10)推广到\(AdS_{d+1}\)的情况。与平空间情形类似，所需方程将作用于函数\(\Phi(x,u)\)，其中\(x\)是\(AdS_{d+1}\)上的坐标，第二个参数\(u\)仍为在\(so(d-1,1)\)下变换的辅助自旋矢量。在本文中，希腊指标\(\mu,\nu,\ldots\)表示世界指标，而拉丁指标\(a,b,\ldots\)表示切空间（“平”）指标。为了同等对待这两类指标，我们采用标准的标架场（frame field）形式。令\(g_{\mu\nu}\)为\(AdS_{d+1}\)空间的度规张量，则标架场\(e^a{}_\mu\)和\(e_a{}^\mu\)通过关系\(e^a{}_\mu e^b{}_\nu \eta_{ab}=g_{\mu\nu}\)和\(e^a{}_\mu e_a{}^\nu=\delta_\mu^\nu\)定义，其中\(\eta_{ab}\)是大部分加号闵可夫斯基度量(2.4)。作用于函数空间上的协变导数定义为
(3.1)
其中\(\omega_\mu{}^{ab}\)是自旋联络，角动量自旋部分算符\(M_{ab}\)在(2.6)中给出。接下来，我们将主要通过引入以下转换量来处理平指标：
(3.2)
基矢量\(e_a{}^\mu\)与协变导数\(\nabla_a\)的对易子满足
(3.3)
其中\(f_{ab}{}^c\)是挠率张量（或联络自由挠率，参见例如文献[88]），\(R_{ab}{}^{cd}\)是黎曼曲率张量。对于反德西特空间，后者化为
(3.4)
其中\(R\)是AdS半径。无挠条件意味着
(3.5)
在后续计算中，我们将广泛使用联络拉普拉斯算子，定义为
(3.6)
以及以下有用的对易关系：
(3.7)
注意，在本节和附录A中，我们不对\(AdS_{d+1}\)使用任何显式坐标图，仅依赖于上述几何条件。

B. 玻色子连续自旋场在\(AdS_{d+1}\)中的约束

为了将Wigner连续自旋方程(2.10)从平空间\(R^{d-1,1}\)推广到反德西特空间\(AdS_{d+1}\)，我们采用文献[75-78]中发展的方法。该过程包括两个主要阶段：
(1) 协变化：将平空间方程(2.10)中出现的所有普通时空导数\(\partial_a\)替换为(3.2)中定义的协变导数\(\nabla_a\)。
(2) 约束变形：对每个协变化后的约束，我们附加一个补偿项，该补偿项依赖于辅助自旋矢量\(u\)及其导数\(\partial/\partial u^a\)的各种缩并。由于任何这样的缩并都可以用生成元(2.14)重新表述，补偿项本质上是\(u\)、\(\partial/\partial u^a\)和\(J^{ab}\)的多项式。第一个约束\(\mathcal{D}\)的补偿项选择得使\(\mathcal{D}\)正比于该代数二次卡西米尔算符\(C_2\)（相差一个加法常数）（参见文献[77,78]）。其余变形\(\Delta^a,\Delta^{ab},\Delta\)（\(a=1,2,3\)）则通过要求完整变形约束集合构成封闭代数而唯一确定。所谓封闭代数，是指任意两个变形约束的对易子可以表示为约束本身的线性组合，其中结构系数允许为由\(\nabla_a\)和\(u\)构成的算子。

总结这一方法，我们对变形约束提出如下形式：
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
其中我们使用定义(2.8)、(3.2)和(3.6)，\(c\)是待定常数，变形\(\Delta^a,\Delta^{ab},\Delta\)（\(a=1,2,3\)）假定仅依赖于内部生成元(2.14)和常数。这一假设立即意味着
(3.12)
将足够一般的多项式形式代入约束并要求约束代数封闭，我们发现这一条件固定了形式中的系数，得到以下显式表达式：
(3.13)
因此，确定了补偿项和常数\(c\)后，定义\(AdS_{d+1}\)中对称连续自旋场的最终约束算子的显式形式为：
(3.14a)
(3.14b)
由此得到的约束(3.14)的对易代数如预期封闭。第一个非平凡对易子为
(3.15)
其中我们利用了(A1)、(A9)和(D3)；第二个非平凡对易子为
(3.16)
其中我们利用了(2.17)和(D1)。而所有剩余对易子恒为零
(3.17)

IV. 对称代数的连续自旋表示

反德西特空间\(AdS_{d+1}\)的等距代数是\(so(d,2)\)。在本节中，我们验证上述构造的约束确实固定了卡西米尔算符的本征值。利用立体坐标中代数生成元的显式实现，我们证明这些约束与\(so(d,2)\)对称性相容，并计算二次和四次卡西米尔算符\(C_2\)和\(C_4\)的本征值。最后，我们将结果与Metsaev关于连续自旋幺正不可约表示的分类进行比较。

A. （等距）生成元与几何框架

令\(J_{AB}\)为\(so(d,2)\)代数的生成元，其中\(A,B=0,1,\ldots,d+1\)。它们的对易关系由
(4.1)
给出，其中\(\eta_{AB}\)是嵌入空间\(R^{d,2}\)的度规，分量为\(\mathrm{diag}(-1,+1,\ldots,+1,-1)\)。通过将\(so(d,2)\)指标分裂为\(A=(\mu,d+1)\)，其中\(\mu=0,1,\ldots,d\)，我们将生成元\(J_{AB}\)分解为动量\(P_\mu=J_{\mu,d+1}/R\)和洛伦兹子代数\(so(d-1,1)\)的生成元\(J_{\mu\nu}\)，如
(4.2)
所示，其中\(R\)表示\(AdS_{d+1}\)半径。生成元\(P_\mu\)和\(J_{\mu\nu}\)满足代数
(4.3)
在平极限\(R\to\infty\)下自然收缩为庞加莱代数\(\mathcal{P}\)[89]。我们在上一节引入的相同场\(\Phi(x,u)\)上实现\(so(d,2)\)代数。这些场依赖于\(AdS_{d+1}\)时空的坐标\(x\)和辅助矢量变量\(u\)，\(u\)作为\(so(d-1,1)\)平矢量变换。为了在\(\Phi\)上实现\(so(d,2)\)等距变换，我们采用Lie-Lorentz导数（原始来源参见文献[90,91]，综述参见[92]，现代物理中的应用参见[93,94]）。对于给定的一组Killing矢量\(\xi^\mu\)，Lie-Lorentz导数定义为
(4.4)
其中第一项中的\(\mathcal{L}_\xi\)我们使用(3.1)，第二项中的协变导数应理解为\(\nabla_\mu \xi^\nu\)，其中\(\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}\)是Christoffel符号；(4.4)中的\(M_{ab}\)由(2.6)给出。算子\(\mathcal{L}_\xi\)在场上提供了时空对称性的几何一致实现。

为了进行进一步显式计算，我们采用\(AdS_{d+1}\)的立体坐标，其中背景度规取共形平形式
(4.5)
其中\(\eta_{\mu\nu}\)是平度量。在这些坐标中，标架场（vielbeins）和自旋联络分量化为
(4.6)
(4.7)
其中我们定义
(4.8)
且\(e^a{}_\mu\)、\(e_a{}^\mu\)与分量方式一致，使得\(e^a{}_\mu e_a{}^\nu=\delta_\mu^\nu\)、\(e^a{}_\mu e_b{}^\mu=\delta^a_b\)。在这些立体坐标(4.5)中，\(so(d,2)\)的生成元(4.3)取显式形式
(4.9)
(4.10)
其中\(x^2=x^\mu x_\mu\)。

B. 连续自旋表示

让我们考虑满足\(\mathcal{D}^a\Phi=\mathcal{D}^{ab}\Phi=\mathcal{D}\Phi=0\)的函数\(\Phi\)，其中\(\mathcal{D}^a,\mathcal{D}^{ab},\mathcal{D}\)（\(a=1,2,3\)）在(3.14)中定义。利用立体坐标实现(4.5)，可以验证这些约束(3.14)与取形式(4.9)和(4.10)的\(so(d,2)\)代数生成元对易。因此，方程\(\mathcal{D}^a\Phi=\mathcal{D}^{ab}\Phi=\mathcal{D}\Phi=0\)（\(a=1,2,3\)）一致地在函数\(\Phi\)上定义了\(so(d,2)\)代数的一个表示。为了论证该表示的不可约性，我们证明满足一个必要条件：\(so(d,2)\)代数的所有卡西米尔算符在函数\(\Phi\)上取固定值。考虑生成元(4.9)和(4.10)的坐标实现，我们可以用协变导数\(\nabla_a\)和旋转生成元的自旋部分\(M_{ab}\)表示\(so(d,2)\)代数的所有卡西米尔算符。\(so(d,2)\)的前两个卡西米尔算符为
(4.11)
(4.12)
其中联络拉普拉斯算子\(\square_\nabla\)由(3.6)给出，\(u^2\)由(2.8)给出，我们回顾文献[78]中引入的算子\(\mathcal{K}\)的显式定义如下：
(4.13)
出现在四次卡西米尔算符(4.12)中的量\(\mathcal{T}\)由
(4.14)
给出，其中\(u^2=u^a u_a\)。值得注意的是，由于\(M_{ab}\)采用(2.6)中的实现，\(so(d,2)\)的其他高阶卡西米尔算符为零。利用该实现，\(\mathcal{K}\)可以表示为如下形式
(4.15)
我们现在在满足约束系统(3.14)的函数空间上评估这些卡西米尔算符(4.11)和(4.12)。\(C_2\)的本征值由方程\(\mathcal{D}\Phi=0\)直接得出，其中\(\mathcal{D}\)在(3.14)中给出。计算四次卡西米尔算符所需的辅助计算在附录B中给出。评估\(C_4\)的本征值需要将(B10)代入表达式(4.12)并再次使用\(\mathcal{D}\Phi=0\)。此过程给出如下在壳卡西米尔算符值：
(4.16)
在平极限\(R\to\infty\)下，这些表达式正确收缩为平空间卡西米尔本征值，满足\(C_2=0\)。在壳值(4.16)与文献[77,78]的结果完全一致。

为了建立所得连续自旋场的幺正性，我们将结果映射到Metsaev关于\(so(d,2)\)代数连续自旋幺正不可约表示的一般分类[67]。在该框架中，表示由两个复数\(\varepsilon\)和\(\sigma\)标记，它们通过以下方程定义：
(4.17)
解此代数方程组求\(\varepsilon\)和\(\sigma\)（不考虑\(\varepsilon\leftrightarrow-\varepsilon\)交换）得到一族解，可写为
(4.18)
其中\(s_1,s_2\)表示独立的符号选择，且注意\(E_0=d/2-\sigma\)、\(s=|\sigma|\)和\(g=d/2\)。

(i) (a): 当\(d=2\)时，参数\(\varepsilon\)变为纯虚，意味着\(\sigma\)为纯虚。这对应于文献[67]术语中的情况(ii)或(iii)。
(ii) (b): 当\(d=3\)，且\(s=1\)时，参数\(\varepsilon\)为零。这对应于文献[67]术语中的情况(vi-c)。
(iii) (c): 当\(d=3\)，且\(s=0\)时，参数\(\varepsilon\)为实数，\(E_0=1\)，\(s=0\)，\(\sigma=0\)，其中\(g=3/2\)。这对应于文献[67]术语中的情况(vi-a)。文献[67]中考虑的连续自旋类型的其他不可约幺正表示均未在我们的框架中实现。

在AdS/CFT框架中，连续自旋场与光射线算符[80]之间的联系在文献[67]中针对纯虚参数\(\varepsilon\)和\(\sigma\)的情形建立。在该情形下，连续自旋场的共形维数（\(\Delta\)）和自旋（\(s\)）与边界算符的对应量一致。然而，我们的分析表明，在当前构造中，对于参数\(\varepsilon\)的任何选择都无法实现该情形；因此，所得场不能直接与光射线算符等同。尽管如此，具有替代共形维数的连续自旋算符也已在文献[81]中探讨，本工作构造的场是否对应于此类边界算符仍是一个未解问题。

V. 费米子情形

A. 平空间连续自旋约束

我们现在将框架扩展到对称费米子连续自旋场的情形。在平时空[16]中，此类场由函数\(\Phi_{\alpha}(x,u)\)描述，其携带\(R^{d-1,1}\)中的狄拉克旋量指标\(\alpha\)，且其维度为\(2^{\lfloor d/2\rfloor}\)。为了说明这种高维指标结构，我们回顾一种构造连续自旋方程的方便几何方法，即维数约化过程。遵循文献[16]提出的方法，该表述来源于\(D+1\)维中的无质量自旋\(s\)场。紧化其中一个维度得到\(D\)维中的有质量自旋\(s\)场，处于Stückelberg式框架内，随后通过令\(m\to\infty\)和\(s\to\infty\)同时保持乘积\(ms\)固定来取连续自旋极限。

让我们引入必要的记号。高维伽马矩阵\(\Gamma^A\)满足\((D+1)\)维Clifford代数
(5.1)
其中\(A=0,1,\ldots,D\)，\(\{\Gamma^A,\Gamma^B\}=2\eta^{AB}\mathbb{I}\)。将指标\(A=(\mu,D)\)分裂，并用\(\Gamma_D\)表示与额外方向相关的伽马矩阵
(5.2)
我们得到
(5.3)
其中\(\Gamma^\mu\)和\(\Gamma_D\)是\((D-1)\)维的，\(\eta_{\mu\nu}\)是\(R^{D-1,1}\)中的闵可夫斯基度量。矩阵\(\Gamma^\mu\)和\(\Gamma_D\)作用于\(\Phi_\alpha\)的旋量指标\(\alpha\)，且为\(2^{\lfloor D/2\rfloor}\times 2^{\lfloor D/2\rfloor}\)矩阵。下面仅代数关系(5.3)是重要的，而非特定的矩阵实现。从（ ）维Clifford代数出发，可以对 的两种宇称提供统一的描述：对于偶数 ，这归结为最小表示，其中 在通常的因子意义下与通常的手征矩阵等同；而对于奇数 ，则给出用于存在非平凡反对易矩阵所需的加倍、非最小表示。在平空间中，对称费米子CS表示在函数 上实现，这些函数满足一组混合玻色子和费米子约束[16] (5.4) (5.5)其中 满足（5.3）中的Clifford代数。注意，费米子约束 和 直接与第二节中的约束 和 (2.10) 相关，如下所示 (5.6)通过施加约束（5.4）和（5.5），我们可以计算 的前三个Casimir算符的本征值： (5.7)虽然二次和四次算符 和 的本征值可以直接从约束得到，但 的计算利用了文献[78]中的一些结果。

B. 代数
在玻色子内部空间中观察到的内在 对称性，在费米子扇区中扩展为 超代数。15 为了证明这一点，我们引入两个费米子奇算符 (5.8)与 生成元 (2.14) 一起，生成元 构成 超代数，满足关系 (5.9) (5.10)以及 代数的标准玻色子关系（2.15）。
超Casimir算符由下式给出 (5.11)其中 由（2.16）给出。
为了正确处理旋量自由度，我们扩展了Lorentz生成元的自旋部分。此前，我们定义了 ；现在我们考虑包含旋量贡献的Lorentz生成元 (5.12)其中 (5.13)与玻色子构造（2.17）完全类似，Lorentz不变量 可以通过 超Casimir表示为 (5.14)此外，考虑到(D6)–(D8)，费米子生成元满足以下反对易关系： (5.15) (5.16)这些关系（5.15）和（5.16）使我们能够定义我们构造的关键代数对象——Casimir幽灵算符（或Scasimir）[101] (5.17)Scasimir算符 与 超代数的所有玻色子生成元对易，并与费米子生成元反对易。它的平方可以通过 超Casimir 关联起来 (5.18)

C. 中的费米子CS约束
现在我们将平空间框架推广到反德西特背景 中描述费米子连续自旋场。这些场在 中由函数 实现，其中，与平空间图像相比，平坐标 被替换为 坐标 ；而辅助自旋变量 保持不变。
遵循与玻色子情况相同的逻辑，我们将平空间约束（5.4）和（5.5）协变化，并引入由 生成元构成的补偿形变。要求所得约束形成一个闭合代数，唯一地确定这些形变。在此过程中， 代数的Casimir幽灵（Scasimir）（定义于（5.17））起着关键作用。
中最终一致的形变费米子连续自旋约束系统具有以下形式： (5.19) (5.20)其中所需的形变项 由下式给出 (5.21)注意，在（5.19）和（5.20）中，作用于 的全自旋协变导数定义为 (5.22)
系统（5.19）和（5.20）的一致性由所得约束代数的闭合性保证。显式非零对易子和反对易子关系计算结果为 (5.23) (5.24) (5.25) (5.26)
代数（5.23）中的第一个反对易子来自关系 (5.27)该关系通过使用反对易子（5.15）和gamma矩阵的第二个恒等式（5.3）建立。（5.23）中的第二个对易子来自等式链 (5.28)其中我们使用了(D8)、(D9)和（5.15）。其余对易子（5.24）–（5.26）以类似方式计算。正如我们在所有涉及约束代数的计算中所见，Casimir幽灵的性质非常有用。
让我们简要总结费米子约束是如何得到的。在构造费米子约束时，我们首先观察到 ，因此这些算符不需要形变。此外，我们知道 必须被形变，因为它的平方 应重现玻色子 （在所有地方替换 且仅相差一个常数）。所需的形变 然后通过要求反对易子 闭合来唯一确定，得到上面给出的表达式。最后，计算对易子 给出 的形变，在费米子情况下，该形变与玻色子对应部分相比包含一个额外项 。
形变Dirac算符的平方为 (5.29)其中联络Laplacian 的定义与玻色子情况（3.6）相同，但用 代替了 。通过应用Scasimir平方恒等式（5.18）的推论 (5.30)我们得到 (5.31)

D. Casimir算符的本征值
遵循上述玻色子框架，我们现在在费米子实现中构造 的Casimir算符。与玻色子情况一样，所有Casimir算符都可以用协变导数 和旋转生成元的扩展自旋部分 来表示。为了清晰并保持一致性，我们显式评估费米子图像中的前两个Casimir算符。为了与玻色子对应部分区分，我们用 和 表示它们（而不是 和 ）。它们的形式为 (5.32) (5.33)
与前一节类似，修正后的Laplacian算符 定义为 (5.34)费米子情况下的量 现在由下式给出 (5.35)其中 。
我们现在评估这些Casimir算符（5.32）和（5.33）在满足费米子连续自旋约束（5.19）和（5.20）的函数空间 上的作用。虽然二次Casimir 的在壳值直接从 的关系（5.31）得出，但四次Casimir 的本征值评估需要更复杂的代数约化，这在附录C中有部分详细说明。这个过程给出费米子连续自旋场的以下最终本征值： (5.36) (5.37)
为了建立这些表示的酉性，我们在Metsaev对 中酉不可约费米子连续自旋表示分类[69]的背景下分析我们的结果。在这个框架中，表示通过Casimir算符的本征值用两个复参数 和 来标记。
与玻色子情况（4.17）和（4.18）完全类似，我们专门针对 求解关于 和 的代数系统。这给出 (5.38)其中 的定义在（4.18）下方给出。这个参数空间揭示了费米子连续自旋场的三个不同的物理区域：
(i) (a) [主系列]：对于 ，根号下的参数变为负值，意味着参数是复共轭对， 。这对应于标准酉表示类型： 或 。
(ii) (b) [例外/极限系列]：在临界值 处，参数变为实数且退化，满足 。这个界限完美再现了例外酉表示类型 。
(iii) (c) [互补和离散系列]：对于 ，参数 和 是实数且非退化（ ）。根据尺度参数的具体值，这个区域分支为以下结构子情况：
– (c.1) [互补系列]：对于 且 ，该构型实现类型为 的连续酉表示。
– (c.2) [离散/反离散16系列]：在孤立值 处，参数变为 和 （或反过来 和 ），识别出类型为 或 的离散系列（ 或 ）
– (c.3) [离散/反离散系列边界]：在下界 处，模型选择类型为： 或 （其中 ）和 或 （其中 ）的离散端点。

VI. 讨论
在本工作中，我们显式构造了 中任意维数 下对称CS场的Wigner型方程（约束），涵盖了玻色子和费米子两种情况。构造过程首先将Wigner约束中的普通平空间导数协变化，然后通过添加项来形变所得算符，选择这些项使得整个约束集合形成一个闭合的算符代数。闭合条件唯一确定附加项，并导出一个定义 等距代数表示的一级约束系统。确保这些约束代数一致性的核心角色由源自Lorentz子代数 的Howe对偶（超）代数的特定算符扮演。在玻色子扇区，这对应于 的Casimir算符。在费米子情况下，类似的结构由 超代数的Casimir幽灵支配。利用所得的约束系统，我们计算了 的二次和四次Casimir算符的在壳值，并证明了对于 的适当范围，它们对应于Metsaev分类的某些酉不可约表示系列。
所提出的方程为最近用于平空间三次相互作用系统分类的协变Wigner型方程提供了弯曲空间的类比[42]。我们预计我们的方程将作为分析AdS背景中连续自旋场三次相互作用的富有成效的起点。未来研究的一个自然方向是将当前分析扩展到混合对称连续自旋场，即将Bekaert-Mourad方程[16]推广到 背景。我们还预计我们的构造将有助于研究 中超对称连续自旋场，这个主题迄今在很大程度上尚未被探索。
由于我们的分类基于自由体场Casimir算符，这种代数结构自然地反映了边界上两点函数所满足的共形Casimir方程。虽然我们构造中获得的场不对应于标准光锥算符，但在边界CFT算符的替代扇区内为这些Wigner型方程构建显式全息字典仍然非常有趣。