体积平均多孔介质中气动流动的频域模型开发

《Physical Review Fluids》：Development of a frequency-domain model for the aerodynamic flow through volume-averaged porous media

　　多孔尾缘插入件用于风力机噪声衰减的气动声学设计，需要了解压力脉动穿透多孔材料的深度。对多孔材料内非定常压力和速度脉动衰减的计算高效建模，将有助于在最小化气动性能损失的同时改善尾缘噪声衰减。稳态模型无法捕捉这些脉动通过材料时衰减的频率依赖性，而高保真非定常尺度解析多孔介质模型对于早期设计阶段而言计算成本过高。本研究采用高保真模拟，对多孔材料试样在低幅模态入流下的响应进行研究，以评估非定常达西模型的精度。该模型旨在填补高保真非定常模拟与多孔介质流动稳态模型之间的空白。在考虑压力脉动局地转化为速度脉动时，可识别出两个重要区间，它们在频域上由临界频率分隔。针对所研究的多孔材料和流动条件，基于入流速度和骨架支柱直径定义的斯特劳哈尔数介于0.6至1.3之间，作为区分这两个区间的临界值。高于该临界数时，压力与速度脉动衰减遵循非定常达西模型；低于该临界数时，流动的局地响应在整个多孔试样内呈现强烈的空间变化。未来研究将探究低频下这些空间变化存在的内在机制。一、引言风力机的主要气动声学噪声源位于叶片尾缘[1]。在各种已研究的降噪技术中，渗透性尾缘插入件展现出最大的潜力，最高可实现约 的降噪量[2]。该降噪的主要机制是压力释放机制[2]，即叶片截面两侧边界层内的湍流压力脉动能够通过渗透性尾缘相互连通。通过这种连通，这些压力脉动的相位差逐渐减小，从而降低其在尖锐尾缘处的散射强度[3]。正如Teruna[4]所指出的，发生连通的流向长度需与边界层内气动脉动的特征长度相当，才能使其相位差逐渐减弱。然而，虽然渗透材料所需的流向范围随频率降低而减小，但脉动通过多孔材料的衰减却随之增加，直到某一频率以上不再发生连通。因此，并非所有频带都能实现降噪，多孔材料需要针对特定噪声源的衰减进行设计。通过提高多孔介质的渗透率参数，材料对流动的阻力减小，使压力释放过程能够在更高频带发生[4]。对于均质等熵的多孔材料骨架，渗透率的增加通常伴随形状因子的减小[5]。因此，高惯性平均流更容易穿透并流经多孔尾缘插入件[6]。其结果是，渗透性尾缘对气动性能产生不利影响[4,7]。首先，通过尾缘平均压力场的均衡化降低了升力[4,8]；其次，阻力在多个方面增加：（1）边界层流在穿透多孔介质时受到更大阻力[9,10]；（2）由于多孔介质使尾缘部分变钝，增加了形状阻力[3]；（3）多孔材料表面导致粗糙度阻力[8]。此外，在表面处，流动与多孔材料的相互作用会增加高频粗糙度噪声[2]。对于孔径较大的材料，即通常具有高渗透率的材料，这种表面粗糙度进一步增加。对于由单一空间均质多孔材料制成的尾缘插入件，即单层插入件，其结果是在宽频带降噪与气动性能之间权衡。Luesutthiviboon等人[6]表明，多层多孔材料能够有效解耦复合多孔试样的渗透率与形状因子，例如，通过选择具有高形状因子的外层来抵抗平均流惯性，以及高渗透率的内层来促进低惯性压力脉动穿透外层的连通。所提出的多层材料原型作为有前景的概念验证，但由于将Kevlar层拉伸覆盖于内层多孔材料上的结构脆弱，在实际应用中难以制造和使用。预期通过优化这些层的材料选择与几何范围，可以从多层多孔尾缘插入件中获得更好的气动和声学性能。因此，此类构型的优化需要一个能够捕捉非定常压力脉动穿透多个渗透层深度的模型。高保真非定常模拟采用体积平均纳维-斯托克斯（VANS）方程[11]来模拟等效多孔介质中大于过滤尺度的所有湍流尺度[12–14]。该建模方法类似于大涡模拟（LES），因此对于优化方法而言计算成本过高。相反，低阶模型（如达西模型[15]）不考虑非定常流动，无法模拟不同长度尺度下非定常压力脉动的衰减。非定常达西（uD）模型[16–20]可由简化VANS方程导出，为估算这种非定常流动衰减提供了一种计算成本较低的方法。然而，目前很少有研究评估该模型在接近多孔尾缘内部流动条件下，估算空气饱和多孔试样中压力脉动衰减的精度。此类低保真非定常体积平均模型在宽范围应用中多孔材料噪声衰减的早期设计阶段特别有用，前提是它们能够充分捕捉影响流动穿透的物理过程，从而模拟压力释放过程以及高惯性边界层流穿透多孔材料的行为。因此，本研究旨在阐明来流脉动波长与其穿过空气饱和多孔介质时衰减之间的物理关系，并评估uD模型在估算该衰减方面的精度。这一知识对于将完整VANS方程简化为可用于该优化的一组更简单的控制方程至关重要。这种精确建模及对压力脉动频率依赖性衰减的理解，将使得多孔尾缘材料设计能够覆盖更宽的噪声衰减频带。第二部分简要阐述与本文讨论相关的理论框架。第三部分详述用于该物理研究的高保真数值模拟的各个组成部分。第四部分对模拟数据进行分析和讨论。最后，第五部分总结本研究的核心发现。二、理论当流动中感兴趣的尺度大于材料孔径时，模拟其流动无需考虑完整几何描述。因此，我们采用等效体积平均介质表示材料。上述低保真非定常多孔介质流动模型同样适用。首先，在第二部分A中简要总结体积平均理论。达西-福希海默模型是多孔体积平均介质对通过其流动的阻力的一种常用闭合模型。通过仅在该模型中增加一个非定常项，即考虑简化的VANS，可获得一个能真实反映多孔介质对通过其压力脉动频率依赖性阻力物理特性的模型[16–18]。该uD模型在第二部分B中概述。A. 体积平均理论体积平均理论（VAT）用于考虑多孔材料对流动的大尺度效应，而无需解析渗透材料孔径及以下尺度。这是通过将流动控制方程与平均窗口卷积来实现的。平均窗口的概念如图1所示。图1. 结构化多孔材料中平均体积 的示意图。固相以灰色表示，流体相以白色表示。基于Breugem[13, p. 61]的图示。流体量 的表观体积平均 定义为 (1)其中 为开关函数，在多孔骨架结构内的固体区域中等于零，当所考虑点位于流体中时等于1（见图1）。本质上，该量确保积分在积分体积内的流体体积上进行。用于卷积 的过滤函数 需要在平均体积上积分等于1。对于结构化多孔材料骨架，如本研究中的情况，建议采用矩形平均体积（见图1）[13]。过滤长度 应足够大以捕捉（非结构化）多孔材料的统计平均；因此，对于结构化材料，过滤长度应至少等于重复几何模式的大小。除了表观平均 外，还定义了内在平均 。它们通过多孔介质的孔隙率 相互关联： (2)结果是等效流体介质，其局部流动阻力增大，以模拟多孔骨架的影响。因此，该多孔介质不再包含需要细网格解析的几何结构。B. 达西模型在VANS方程中，模拟高于过滤截止尺度的空间尺度，低于该尺度的部分可能被建模。然而，需要额外模型来描述多孔材料骨架对通过其流动施加的阻力。通常考虑达西-福希海默模型[11]。达西模型最简形式估算给定多孔材料试样厚度上的压降，该压降用于维持通过多孔介质的体积流量，由流动上的黏性阻力引起。后来，增加了额外的修正项以考虑多孔介质流动的其他效应，从而扩展经验关系的有效性。例如，福希海默修正项添加二次项来模拟流动上的惯性阻力： (3)方程(3)右侧的项分别为达西项和福希海默项。多孔材料的渗透率为 ，其福希海默系数为 。流体动力黏度和密度分别为 和 。流速 为表观体积平均速度。在其他表示中，可看到达西流速 替代它，即体积流量除以流动横截面积。上述模型可单独用于稳态、空间均匀的通过渗透材料的流动，因为不存在流速的时间或空间导数。否则，该模型可纳入一系列动量方程，最简单的仅向模型添加一个时间导数[16–18,21,22]。该模型将被称为uDF方程，写作 (4)上式中所有系数均除以 。考虑到纳维-斯托克斯方程，这个简化的非定常模型作了几项假设，包括流动的空间均匀性。然而，所得解析关系描述了压力脉动局地有效地转化为流速的方式。uD方程此前已由Zhu等人[23]研究。uD方程的频率响应 定义为 (5) 的解析解使用拉普拉斯变换 推导： (6)对于初始条件 ，这进一步简化为 (7)此处 和 分别为 和 的拉普拉斯变换。初始流体速度用 表示。时间常数 表示系统对阶跃函数的响应时间。上述研究中提出了该参数的几种表达式。但对于两种最准确的估计，该参数基于高保真模拟校准，或经验确定，例如使用虚拟质量描述[23]： (8)其中 为经验确定的虚拟质量系数。时间常数取决于流体密度和多孔材料的有效粘度，即其渗透率。虚拟质量似乎用于模拟多孔骨架对系统时间响应施加的附加阻力。可以类比为一个串联RL电路，其中电阻等于，电感等于，电压源等于压力梯度，电流等于流体速度。因此，时间常数可以视为抵抗电流（即流体速度）变化的惯性。频率响应表示电压波动的频率分量转换为电流波动的效率，或者等效地，压力梯度波动导致流速波动的效率。这样的频率响应如图2所示。频率响应按频率分解为幅度和相位延迟。幅度表示源波动（例如电压）的幅度转换为合成波动（例如电流）幅度的效率。而相位延迟表示输入波和输出波之间的时间滞后。串联RL电路的频率响应已知为低通滤波器（见图2）。换句话说，小于临界波长的压力波动会经历增加的阻尼。低频幅度和高频幅度斜率都与多孔介质渗透率成正比。

图2. 归一化uD方程[式(7)]的频率响应。

III. 方法
为了研究多孔材料对非定常入流的衰减和相位延迟响应，进行了高保真模拟。本研究分析所选多孔材料详见第III.A节。流动配置在第III.B节中解释。CFD求解器和数据后处理分别在第III.C节和第III.D节中提供。

A. 多孔材料样品
为限制范围，仅测试一种多孔材料类型，以便集中详细表征该多孔材料类型对与非定常入流相关参数的反应。所选多孔材料几何结构是三周期极小曲面（TPMS）族中的交替金刚石（altD），其形状按附录A [24]中所述的参数化方式定义。交替金刚石由原始金刚石几何结构旋转而成，如Hunter等人[25]之前的研究所用。多孔材料几何结构的代表性单元体积（REV）如图3所示。这是仍能统计捕获几何结构的最小可能体积，例如，收敛到材料的真实局部孔隙率。对于这种结构化多孔材料，单元体积被拼贴以形成完整的材料样品。本研究选择的REV边长尺寸为。

图3. altD多孔材料的REV，单元尺寸为。(a) 等轴测视图。(b) 平面视图。

选择altD是因为其曲折度高于原始TPMS，预计会减小流体进入多孔介质时入口效应影响的区域大小。这可能使多孔样品厚度相比低曲折度材料更小。此外，altD更接近先前实验活动[26]中分析的DMND多孔材料，该材料的压降和风洞数据均已公开[5]。

多孔样品流向长度基于通过DMND材料所需的样品厚度，使压降收敛。静态气流阻力率在图4中接近时开始趋于平缓，这与根据(9)相关。因此，样品厚度也选择为，这确保多孔样品内部有足够大的区域不受入口效应影响[27]，因此更能代表不存在任何附加效应时的多孔介质流动。

图4. 来自DMND多孔材料（单元尺寸为[28]）实验校准数据的多孔介质静态气流阻力率。

B. 渗透率试验台模拟设置
选择具有非定常入流的渗透率试验台[7]来分析多孔材料的频率响应（见图5）。这消除了多个流动机制对分析的影响，使重点能集中在多孔样品对非定常入流的响应上。平均流动遵循单一路径，没有掠过的湍流边界层流动与多孔表面之间复杂的相互作用。这两个方面都降低了问题的复杂性，使其更易于建模。在流动空间均匀的多孔样品区域内，模型方程可以针对多孔介质的单个可重复单元体积来定义。

图5. 模拟域示意图。上图为下图的细节，聚焦于样品周围区域。下图边界指示模拟域。可变分辨率（VR）区域索引在网格图中提供和说明。局部体素尺寸为。

参考坐标系原点位于多孔样品中心，尺寸为{，，}。模拟域长度为，横截面等于多孔样品的横截面。

图5中的浅灰色区域是具有增加数值粘度的海绵区域。对角线阴影区域具有从域中心向外呈指数增加的数值粘度。围绕该指数粘度区的区域具有等于与指数区域界面处数值的恒定数值粘度值。例如，以实心灰色显示的外部海绵区域具有高恒定数值粘度。远离多孔样品的数值粘度增加的目的是阻尼反射。更准确地说，考虑到这些高粘度区域的长度，高于临界频率的反射频率分量会被阻尼。该临界频率低于分析的最低入流振荡频率，以限制反射对估计的多孔材料频率响应的影响。

模拟域和多孔材料样品的横截面积均为。沿轴和轴的边界是周期性的，以通过以下方式限制其对多孔介质内流动的影响：（1）不产生边界层；（2）不限制多孔样品对平均流动的偏转。横截面尺寸选择为足够大，以限制周期性边界过于接近造成的误差，这会限制横流轴上的最大尺度。更大的模拟域横截面会增加计算成本。

在出口处，定义静压边界条件并设为。在入口处，生成非定常总压。出于信号参数化、可重复性和数值模拟设置中实现的原因，该信号定义为(10)，其中是平均压力，是振荡压力幅度，是压力振荡频率。该参数化基于Zhu [23]的工作。

入流压力的稳态分量在入口表面生成。入流压力场的振荡分量由体力区域生成。将入流压力生成的平均部分和振荡部分分开的原因是模拟域入口附近存在海绵区域。除了衰减反射外，这些区域还会阻尼施加的压力波动。因此，体力区域位于入口海绵区域和多孔样品之间。体力区域加速度与所需振荡压力相关，遵循(11)，其中是参考流体密度，是体力区域的选择长度。该关系将每面积压力与每体积体力区域的加速度耦合起来。

C. 数值模拟
数值模拟使用3DS PowerFLOW版本6-2025-R2 [29]进行。该软件使用格子玻尔兹曼方法（LBM）来求解非常大涡模拟（VLES）建模方法[4]中考虑的支配方程。模拟使用重正化群（RNG）湍流模型，并采用包含压力梯度效应的壁面模型[29,30]，如PowerFLOW所实现。所选模型适用于低马赫数流动，并考虑理想气体模型。因此，报告的粘度和温度在整个流体域中恒定。在模拟中包含湍流模型而非“直接”模拟方法，使模拟时间保持可行。多孔样品周围的网格具有约两倍于局部雷诺数估计的Kolmogorov长度尺度的特征间距[31]。然而，由于模拟采用带有RNG模型的VLES，最小湍流尺度是被建模而非显式解析。湍流模型不会产生湍流波动的非物理衰减，因为涡粘性在多孔样品中保持在以下。此外，最大值为确保了壁面模型的依赖最小化。先前的研究已成功使用PowerFLOW再现多孔材料样品[32]以及多孔或锯齿形后缘插入件[3,33]中的流动。

网格单元尺寸的变化由图5中垂直的虚线和点划线对指示。网格是修剪网格；因此，在这些位置单元尺寸加倍或减半，如图5所示。换句话说，每个细化区域遵循体素尺寸，其中，即每个REV的单元数在多孔样品周围区域（见图6中的体素网格）从变化到场。该最粗网格细化级别覆盖了大部分计算域，在入口附近的指数海绵区域之后结束，并在出口附近的指数海绵区域之前再次开始。

图6. 单个REV的网格细节，显示在处平面上的切片。细蓝色虚线指示体素网格，粗黑色实线指示体积网格一半分辨率的切片测量文件网格。

所选网格分辨率通过网格收敛性研究进行验证，如图7所示。通过多孔样品的平均压降作为收敛性研究的度量。鉴于总压入口，预计质量流量和压降都会随网格细化而变化。前者预计会随模拟域的压降变化而变化，因为总压在入口处定义。后者由于在更细体素尺寸下更准确地模拟多孔样品中的流动结构而发生变化。但此外，对于最粗网格，体素边界可能不能完全收敛到所定义的多孔骨架表面几何结构。使用较粗体素时，材料的孔隙率可能不能准确表示人们希望建模的材料的孔隙率。

图7. 基于多孔样品周围网格细化级别的稳态流动模拟的网格收敛性研究，显示了相对于下一级更细网格解的相对误差。多孔样品上的压降从相对于轴和轴位于中心轴上的两个探针点计算。拟合的收敛速率与1.5阶和二阶收敛速率进行比较。

由于更细网格情况（）在计算上过于昂贵，研究了多孔样品周围及其近尾迹中局部粗网格的两种情况。对数据应用Richardson外推方法显示压降接近1.5阶收敛速率。PowerFLOW LBM的收敛速率预期在2 [34]和之间，取决于壁面边界条件方案对特定情况整体收敛速率的影响[35]。

如第IV.B.2节所研究，估计探针点局部传递函数的收敛速率更具挑战性。由于网格分辨率级别之间湍流结构的微小差异，收敛速率在多孔样品中显示出空间变化。特别是，多孔样品后半部分的湍流结构对网格细化引起的上游结构微小变化非常敏感。因此，传递函数并非在所有探测位置都一致收敛。尽管如此，在远离这些强涡旋区域的地方，收敛更为一致。表I给出了位于此类区域之外的单个探针的示例，其中在网格细化水平\(\)下度量\(\)的相对误差\(\)定义为

(12)

表I.基于局部传递函数在\(( , ) = ( , )\)处的相对误差\(\)的网格收敛率。基础网格的相对误差分别根据振幅和相位的收敛率\(\)和\(\)进行外推。

| 相对误差 | 振幅 | 相位 |
|---------|------|------|
| 四分之一分辨率 | 8.30 | 2.48 |
| 二分之一分辨率 | 1.45 | 8.90 |
| 基础网格（外推） | 3.23 | 3.67 |

使用该模拟设置模拟的构型如表II所示。

表II.本研究中执行的模拟测试矩阵。列表示流入振荡频率\(\)，单位为Hz，行表示网格分辨率水平，即基础网格每\(\)的体素数\{1, 1/2, 1/4\}。

| 网格 | \(\) | 0 | 0.3 | 0.5 | 1 | 4 | 9 |
|------|-----|---|---|---|---|---|---|
| 基础 | | | | | | | |
| 二分之一分辨率 | | | | | | | |
| 四分之一分辨率 | | | | | | | |

稳态算例用于图7所示的网格收敛研究。选择振荡频率的目的在于有两个算例低于uD截止频率，两个算例高于该频率（见图2）。截止频率是利用DMND多孔材料的特性估算的，其单元尺寸为\(\)（见图4）[36]，由于其多孔骨架外观相似且单元尺寸相近，预期具有相似的多孔介质特性。对于\(\)、\(\)以及虚拟质量常数在\(\)范围内[23]，估算的截止频率将介于\(\)和\(\)之间。类似地，对于TPMS期望的孔隙率\(\)，估算的截止频率将介于\(\)和\(\)之间。在\(\)处进行的额外模拟是为了观察衰减如何与周围频率算例相匹配。

D. 数据处理

在模拟域中的多个探测位置提取了多个数据场。所呈现的大部分结果基于在模拟域\(\)中跨\(\)处\(\)切片上采集的数据，该切片使用的数据采样频率为\(\)，选择该频率远低于模拟频率以限制存储空间需求。类似地，切片数据以半分辨率网格导出，即每个测量单元对模拟中四个体素的值进行平均，如图6所示。

测量文件网格叠加在图8中沿\(\)轴的涡量时间瞬态上。这表明涡旋结构在足够精细的网格上得到了解析。此外，本文呈现的所有等值线图都是离散的，即非插值的。因此，等值线单元的边缘反映了测量文件网格。

图8. 带“半分辨率”\(\)切片测量文件网格的涡量时间瞬态。

VAT允许分析多孔介质中的大尺度流动结构，同时平均掉小于滤波长度\(\)尺度上的小湍流结构。因此，来自完全解析的多孔骨架LBM模拟的一些呈现数据被进行体积平均，以显示多孔介质对通过其流动的大尺度影响，而不考虑多孔骨架引起的局部流动变化。体积平均场由固有\(\)和表观\(\)平均算子表示，如Breugem [13]所定义。

对于这种有序多孔骨架的体积平均，使用了蜂窝滤波器，其\(\)（见图9）[37]。其中\(\)为轴数，该滤波器定义为[13]

(13)

换句话说，对于此处呈现的体积平均场，由于数据在\(\)切片中面上采样，该滤波器具有金字塔形状。体积平均结果与基于该框架的现有广泛模型比较更吻合。

图9. 用于体积平均的蜂窝滤波器核[13]。(a) 二维核的简单等值线（\(\)）。(b) 沿\(\)的二维等值线的一维切片。虚线表示向零值的过渡，点表示滤波器最大值的位置，长虚线表示金字塔形状的脊线，实线表示等值线图中的一维切片。

从模拟数据估算的多孔材料频率响应以局部压力梯度和局部速度之间的局部传递函数TF形式提供，两者均沿\(\)轴。该估计使用以下方法计算[38]：

(14)

其中\(\)是信号\(\)和\(\)之间的互功率谱密度，使用Welch方法估算。在频率响应等值线图中，对每个数据点计算响应。然后使用Scipy PchipInterpolator函数[39]在流入振荡频率处插值振幅和相位。最后，相位被包裹到\(\)的范围内。

IV. 结果

本节呈现了对振荡流通过多孔样品在不同流入条件下高保真模拟数据的分析。为了理解所有非定常流入参数对多孔介质响应及通过多孔介质流动的影响，即使对于式(10)中的简单偏移振荡，也需要执行大量模拟。为保持可行的研究范围，本研究的重点放在振荡频率上，因为根据第II.B节中的uD模型，它被认为是描述非定常性的主要参数。

所呈现结果的目的有三方面。首先，我们研究流入振荡频率对通过多孔材料的平均流及其非定常流动度量的影响，如第IV.A节所述。其次，我们说明通过多孔介质的压力和速度脉动根据其波长受到不同程度的衰减，因此这种衰减不能仅通过稳态Darcy模型和渗透率来捕捉。这一方面在第IV.B.1节中讨论。最后，我们将多孔样品频率响应的uD模型与第IV.B.2节中的高保真模拟进行比较。

A. 对流入振荡频率的流动响应

1. 平均流

图10显示了所有不同振荡频率下通过多孔样品的体积平均表压和流向速度的时间平均值\(\)和标准差带\(\)。该图通过对xy切片测量平面（见图5）上获取的数据沿\(\)轴平均，显示了这些场的流向演化。从流场的时间平均值来看，对于所有振荡频率，它们几乎不变，且多孔样品上的压力梯度基本恒定。

图10. 在不同振荡频率\(\)下执行的LBM模拟中，xy平面上沿\(\)轴的体积平均静压和\(\)轴速度的空间演化。每个算例的局部平均值（线）和信号带（填充区域）以相同颜色显示。信号带由均值周围三个标准差组成，即\(\)。垂直黑色虚线表示多孔材料样品的空间范围。表压定义为相对于大气出口压力的压力。

图11仅绘制了多孔样品流向范围内的流场。图中显示了静压梯度的流向演化以及多孔介质中局部Darcy等效渗透率的估计值，该估计值使用式(3)的以下修改形式计算：

(15)

湍流动能由速度场减去其时间平均后在进行体积平均前估算：

(16)

图11. 平均体积平均流湍流动能\(\)、速度、压力梯度以及估计的局部Darcy等效渗透率\(\)的流向演化。垂直黑色虚线表示多孔材料的起点和终点。

基本恒定的压力梯度证实了使用线性方程来模拟材料对通过其流动施加阻力引起的压降是可能的，即不带Forchheimer修正的Darcy方程。

使用两种不同的数据处理方法来估计多孔材料的渗透率，利用时间平均流。首先，使用常规方法估计渗透率，该方法考虑整个样品厚度\(\)上的压降\(\)，并拟合到Hazen-Dupuit关系（其中\(\)）：

(17)

其中\(\)是形状系数，\(\)是Darcian速度。后者是横截面积上的体积流量，在计算中由表面平均的流向速度代替。其次，局部渗透率根据式(15)计算，并在图11中的\(\)处探测。两种方法得出的渗透率估计值如表III所示。

表III. 多孔样品\(\)的渗透率估计值，基于平均体积平均\(\)切片数据。(i)压降估计方法考虑\(\)处两点之间的平均压降（\(\)）和整个\(\)切片上平均体积流量；(ii)局部估计方法与梯度类型类似，但在\(\)处取局部值（见图11）。

| K (\(\)) | 0.3 kHz | 0.5 kHz | 1 kHz | 4 kHz | 9 kHz |
|-----------|---------|---------|-------|-------|-------|
| 压降 | 8.39 | 8.30 | 8.48 | 8.38 | 8.37 |
| 局部 | 8.75 | 9.10 | 8.36 | 8.77 | 8.85 |

不同频率的压降估计值在所有频率下大致恒定，除\(\)外。局部探测估计值显示出较大的方差，取决于样品探测的位置，如图11所示。从\(\)开始，不同振荡频率算例之间的渗透率估计开始出现差异。这种差异将在第IV.A.2节中进一步讨论。

如上所述，多孔介质的平均流和导出的Darcy等效渗透率似乎基本上不受流入压力脉动振荡频率的影响。相比之下，图10中由振荡标准差定义的带在每个算例中都有变化。这很大程度上是由入射压力脉动波在多孔样品前表面和后表面反射产生的驻波模式引起的。样品后方的流出区域在所有算例中显示出恒定且相似的振荡幅度，表明透射到多孔样品中的波在所有振荡频率算例中也可能具有相似的幅度。换句话说，不同频率的振荡可以被认为叠加在频率不变的平均流场上。因此，选择考虑线性uD模型[见式(7)]来表示通过多孔介质的非定常流动响应，而不是非线性非定常Darcy-Forchheimer（uDF）模型（见附录B）。

2. 流动结构

虽然平均流随振荡频率变化不大，但在图11中确实表明通过多孔样品的流存在一致的流向变化。多孔材料内部的流动结构可能会影响样品的频率响应。因此，为了研究这些流动结构，图12和图13分别显示了几个模拟算例中基于支柱直径的局部雷诺数的平均值和方差。

图12. 基于支柱的雷诺数\(\)的局部平均等值线。呈现的算例为：(a)\(\)，(b)\(\)，(c)\(\)，(d)\(\)。为清晰起见，等值线的垂直范围限制在\(\)。

图13. 基于支柱的雷诺数\(\)的局部标准差等值线。呈现的算例为：(a)\(\)，(b)\(\)，(c)\(\)，(d)\(\)。

多孔样品内部的平均流动结构不依赖于振荡频率（见图12）；它是多孔样品几何形状和平均流的结果。交错三维支柱阵列周围的涡旋脱落是复杂的，似乎没有被彻底描述。例如，大量关于流通过圆柱阵列的研究考虑了周期性流向边界条件[13,40,41]，这意味着涡旋结构在空间上收敛。这在分析空间不变流的物理特性时非常有用，但不能完全反映有限厚度真实多孔样品中的流动。考虑单向且非周期性流入通过圆柱阵列的研究[42]显示，圆柱阵列中涡脱落的流向演化与脱落涡旋相互相互作用并撞击下游圆柱的情形相似。因此，即使流入条件可能决定单一圆柱周围的稳定对称涡脱落（ ）[43，第2页]，但在阵列中，涡旋将变得越来越不稳定和非对称，如图12所示。当流体进入样品时，它以有序且稳定的方式绕过多孔骨架支柱流动，即该流动结构随时间保持不变。稳定的流动很可能是由强大的局部压力梯度将流体推入多孔材料引起的（见图11）。大约经过 后，支柱后方形成对称的涡旋结构。这类似于圆柱斯托克斯流，并伴随着图11中局部压力梯度的下降。从 开始，涡旋变得越来越不对称，类似于较高雷诺数下的圆柱流动。如上所述，更湍流的涡脱落是由不同支柱脱落涡旋的相互作用以及上游涡旋撞击下游支柱引起的。压力梯度也缓慢恢复到其原始较大的恒定值。图11中流向体积平均的 在能量入口区域后显示出缓慢而逐渐的增长。对于大多数振荡频率情况，在 之间发生了向更大更明显的 增长的转变。最后，在离开多孔样品之前，流动的局部雷诺数略有增加。这些结构在多孔样品中的空间范围似乎不受振荡频率影响，如图12所示。所有情况在图11中均显示该流出区域中 的强烈增加。向平均流动添加振荡会影响流动的时间方差（见图13）。大多数关于流经圆柱阵列的研究[41,44]考虑的是零均值的振荡流动，即非单向流动。基于先前假设流动表现出相当线性的行为，将使用上述研究的发现来阐述所呈现的流动。Etminan等人[41]强调了三个参数：流入雷诺数、圆柱密度（即孔隙率的倒数）以及Keulegan-Carpenter数（KC）： (18)参考速度 是振荡幅度， 是振荡周期， 是圆柱直径，即本例中的支柱直径。对于单向振荡流动，涡脱落不仅仅基于振荡幅度，因为稳定流动速度逻辑上对涡脱落有贡献，类似于稳定流动的涡脱落。因此，出于本分析的目的，取平均流速，因为它代表了绕圆柱流动的量级，即 。对于支柱直径为 的情况，与四个主要振荡频率相关的KC数为 。对于如此低的雷诺数，当 时不应发生流动与圆柱的分离。随着KC的增加，分离应开始发生，直至 。较低的两个频率情况落入或接近该涡旋开始从圆柱分离的范围。而对于较高的两个振荡频率情况，该振荡频率周围的流动应保持附着在圆柱上。这种差异意味着，在涡旋脱离的情况下，它们能够相互相互作用并撞击下游支柱，导致图13中低频情况下多孔材料下游部分流速方差的强烈增加。通过带通滤波后的每个振荡频率周围的流动计算出的涡量可以可视化，以确认上述由非定常流动在这些振荡频率周围形成的涡旋结构行为（见图14）。图14. 绕 轴的带通归一化平均涡量等值线 。所示情况为（a） ，（b） ，（c） ，以及（d） 。每种情况在频率带 内进行带通滤波。这些结果证实只有较低频率才具有脱离的涡旋，这些涡旋随后由于与其他涡旋和支柱的相互作用而发生空间演化。在 之后改变流动结构，可以在图13和图14中观察到两个较低频率的情况，这也似乎与图11中模拟情况平均流量之间观察到更大分散的流向位置相吻合。假设是多孔材料下游部分的这种不同流动对样品上游部分产生的湍流敏感。同样， 情况在图12中显示出与其他情况不同的样品下游部分流动。尽管所有四个模拟使用相似的模拟周期，且在其稳定流动初始化后具有相似的稳定时间，但样品后方脱落仍然出现这种差异。这种多孔样品后方的不同脱落可能影响多孔样品的阻力，导致与表III中其他频率情况相比渗透率估计不同。B. 多孔材料频率响应对多孔介质内部流动结构的分析表明，仅流动场相对于其平均值的偏差具有频率依赖性。平均流动本身没有显示出明显的流入频率依赖性。然而，对于多孔样品根据uD模型行为，从高保真模拟数据估计的频率响应应显示出随流入振荡频率的显著变化。频率响应可以通过两种方式分析。首先，等值线图显示了在IV B 1节中单一流入振荡频率下衰减和相位延迟的空间变化。其次，对于材料中的若干兴趣点，局部响应可以作为流入振荡频率的函数绘制，例如图2。后者还使得模拟响应能够与uD方程进行比较，后者由于假设空间均匀性而仅显示频率依赖性。探测到的频率响应在IV B 2节中分析。 1. 多孔介质响应的空间变化由uD模型定义的频率响应是描述压力梯度波动转换为速度波动的局部性质。换言之，材料的频率响应类似于Johnson等人[20]描述的动态渗透率。局部频率响应，即方程(14)中定义的TF，在图15中对每个振荡频率情况显示。仅包括TF振幅，因为预期它最清晰地表明多孔介质是否遵循uD模型类似的频率依赖行为。图15. 流入压力振荡频率为（a） 、（b） 、（c） 和（d） 的归一化局部TF振幅等值线。从图15中可以注意到几个方面。首先，整体频率响应振幅水平随流入振荡频率增加而降低。因此，多孔样品对压力波动的整体衰减随频率增加，类似于uD模型。uD模型对衰减的估计精度将在IV B 2节中描述。其次，最低频率情况（ ）显示出相当大的频率响应空间变化，随频率增加而减小。因此，最高频率情况显示出很少或没有空间变化。第三，这种空间变化以流经多孔材料样品的流道形式出现。流道是指这些高 区域集中在对流经多孔材料支柱及其束缚涡旋之间的路径上，类似于可以想象为流动路径线。这些流道的形状和流向演化似乎与图13中局部雷诺数标准差显示的结构相似。沿着这些流道，从压力梯度波动到速度波动的转换最为有效。衰减和流道的频率依赖性可能通过IV B 2节中显示的探测频率响应结果更好地阐述。因此，关于这些流道存在的讨论在下一节中继续。对于第二种分析方法，需要确定探测多孔样品与uD模型进行比较的兴趣点。如前所述，局部频率响应随探测位置强烈变化。一对探头位于 附近以代表进入样品的流入，一个探头位于支柱尾流中孔隙的中间，另一个位于流道中。 处的探头用于分析支柱后方对称涡旋开始形成处的流动。从 到 的探头位于流动缓慢过渡到越来越不稳定的脱落区域的整个范围内。最后，样品流出处的响应通过 附近的探头进行分析。探头位置在图16中可视化。图16. 对于 情况的归一化局部TF振幅等值线。标记指示图17中绘制的探测频率响应的位置。显示了不同流向位置的TF等值线：（a） 、（b） 和（c） 。图17. 四个不同流入振荡频率模拟的衰减和相位延迟，沿多孔样品在不同流向位置 处估计。细黑线表示使用表III中压降法的渗透率估计和相关截止频率的uD方程频域解。模型参数值在图中提供。另外提供 情况的模拟作为参考，但不包括在频率响应线中。 2. 多孔介质响应的频率依赖性材料在这些探测点的响应作为流入振荡频率的函数如图17所示。请注意，由于该多孔介质系统可能是非线性的，因此该频率响应不能推广到任何输入。换言之，所示的衰减和延迟结果是独立系统的响应。同时以所有四个压力振荡频率激励系统可能不会产生四个响应的线性组合。尽管如此，这些结果一起绘制，因为它们指示了多孔样品在受到低振幅气动振荡激励时的不同状态。将探测到的频率响应与理论响应进行比较，uD模型能够合理预测频率相关的衰减和相位延迟（见图17）。用于模型拟合的模型参数 被选择为Zhu[23，第26页]从Lowe等人[22]提供的范围的极限，即 基于虚拟质量系数 范围[见方程(8)]。模型和数据在频率响应振幅之间的微小常数偏移可能由于来自平均流压降数据的渗透率估计存在小误差（见表III）。此外，相位与模型趋势非常接近。在图17的频率响应振幅图中可以注意到另外两个方面，这与IV B 1节开始的讨论有关。首先，每个频率情况估计的衰减和相位延迟在朝向较低频率时开始基于探测位置更加分散，即对于 及更低。其次，低频情况对（ 和 ）显示比高频情况对更浅的衰减对频率斜率。关于局部频率响应空间方差的第一方面强调了图16中观察到的空间方差的频率依赖性。推测这可能是由于局部流动条件和多孔材料几何形状在更大尺度上的强烈影响。非常类似于其他湍流流动的能量级联，湍流在基于大尺度流动几何的长度尺度上产生，即本例中的多孔骨架支柱[13,31]。这些大尺度涡旋结构破碎成越来越小的尺度，直到它们被粘性效应有效耗散。在这些小得多的长度尺度上，粘性效应主导于其他流动效应，如惯性。分离这两个状态的关键频率不同于与 成比例的uD模型关键频率 。观察到空间方差向低频方向增大，描述空间方差向低频方向起始的临界频率似乎位于 之间。考虑每个探针点的局部流速和多孔骨架支柱直径，这相当于斯特劳哈尔数在 之间。衰减-频率斜率两种区域的第二个方面直接表明，影响脉动通过多孔试样传播的主导机制发生了变化。考虑uD方程，多孔材料的有效行为类似于低通滤波器，其中低于临界长度尺度的压力脉动被迅速衰减。然而，在较大长度尺度下，粘性衰减效果不佳，斜率趋于平缓。等效临界频率 ，即与粘性达西项相关的截止频率，与模型参数 成反比，如图2所示。较高频率的振荡情况由达西项很好地描述，其作用是表示多孔骨架与流动相互作用引起的粘性损失。正如Breugem[13]所指出的，多孔壁通道流动中的压力和速度脉动随其在多孔介质中的深度呈指数衰减，这对较小尺度的脉动影响更为强烈。更重要的是，高频下频率响应的指数衰减幅度表明，压力脉动转化为速度脉动的效率越来越低。在高振荡频率下，缺乏能够将能量有效传递到多孔试样深部的能量流动路径，这可能是图13中多孔试样下游段局部高雷诺数标准差区域强度和空间范围减小的原因。相反，超过某一临界长度尺度后，粘性效应不再是主导机制。对于这些低频情况，局部频率响应的幅度显示出通过多孔材料的清晰连通路径，压力脉动在这些路径中轻松转化为速度脉动，而这些路径在图15的高频情况下似乎并不存在。这些流动路径的存在导致频率响应强烈依赖于探针位置。位于骨架支柱后方的四个探针，即 ，在图17的低频区域始终表现出最低的 值。所有较高放大率的探针均位于不同流向位置的流动路径内。随着流向位置的变化，这些流动路径的形状及其局部幅度发生变化。这可能与支柱后方变化的涡脱落结构有关，而涡脱落结构又受到上游结构脱落的影响，如图14所示。问题仍然在于，与连通路径的存在相关的物理机制是什么，以及是否能找到临界长度尺度来预测脉动将落入哪个行为频带。可以考虑一些缩放候选方案。首先，多孔骨架支柱直径：该长度尺度可能通过某个斯特劳哈尔数与支柱后方涡的自然脱落频率（即稳态来流脱落频率）相关联。高于材料结构自然脱落频率的振荡频率将不会改变脱落涡，而较低频率的振荡可能强烈影响这些自然涡。然而，由于流速非常低，支柱直径和与圆柱涡脱落相关的斯特劳哈尔数也都很低，即斯特劳哈尔数在 至 之间[45,46]。观察TF探针点流动数据的功率谱密度，在来流振荡频率与该推测脱落频率不重叠的情况下，可以在 附近（ ）看到一个小峰。在 情况中，该峰值低于受迫振荡频率，而空间变化仍然明显存在，如图18所示。因此，自然涡脱落假说被认为不是影响TF中空间方差的流体机制。图18. 图17中各探针点在来流振荡情况 下的流动速度分量功率谱密度 。多孔支柱的自然脱落频带是根据探针点局部流速和 估算的。另外，利用支柱直径，可以与快速畸变理论进行类比[47]。小湍流尺度将被支柱变形，而大涡则被部分阻挡但基本不受影响。后续支柱的重复变形可能导致湍流混合增强，使能量更快扩散，从而无法形成连通路径。其次，长度尺度的另一个候选是渗透率的平方根 。该长度尺度的推理依据是，高频下缺乏连通路径是由于脉动通过多孔材料的指数衰减所致，该衰减与渗透率成正比。从某一衰减程度开始，脉动幅度可能非常小（见图19），以至于传播接近纯声学传播。波作为整体绕过多孔骨架的所有支柱发生衍射，而不是沿高效流动路径传播。图19. 稳态来流情况下带通湍动能 的等值线图。用于带通的频带定义为 ，其中 为 (a) ，(b) ，(c) ，(d) ，和 (e) 。显然，通过多孔试样传播的脉动波长或频率在估算其通过多孔介质的衰减时非常重要，不仅在声学区域如此，对于气动幅度更大的压力或速度脉动也是如此。仅基于稳态达西的衰减估算未能考虑这种强烈的频率依赖性。简单的uD模型为估算材料将弱压力脉动转化为速度脉动的频率相关效率提供了一个有效的起点。由于uD模型将多孔试样视为体积平均的等效介质，因此只要使用具有代表性的模型参数，它应适用于广泛的多孔材料，无论其多孔骨架类型如何。此外，altD材料的孔隙分辨模拟揭示了多孔材料频率响应中存在明显的截止频率，该截止频率划分了脉动通过多孔试样传播的两种区域。在高频区域，脉动幅度随脉动频率的增加而急剧衰减，脉动无法完全穿透多孔试样。由于频率响应由非稳态达西方程精确描述，该区域由粘性阻力主导，因此预计在其他多孔材料（即具有结构化或非结构化几何形状的材料）中也会出现。在低频区域，脉动沿着由该频率附近的速度脉动形成的流动路径穿过多孔试样。在这些流动路径中，压力脉动最有效地产生速度脉动，导致局部频率响应较高，从而使多孔试样中的局部频率响应出现强烈的空间变化。观察到的划分两种区域的截止频率似乎不同于uD方程的理论截止频率 ，因为影响低频区域的物理机制在该理论截止频率以上仍然重要，直至斯特劳哈尔数 在 至 之间。该斯特劳哈尔数范围特定于此处考虑的altD多孔试样和流动条件，在其他情况下可能会发生变化。然而，结果进一步提供了多孔材料对脉动响应中存在两个频率区域的证据，与Zhu和Manhart[18]以及Johnson等人[20]的发现一致。与频率响应低频区域相关的独特流动路径可能取决于altD多孔材料的结构化几何形状，因此在非结构化多孔材料中可能不太明显。所获得的关于气动脉动通过多孔试样传播的见解非常有价值，因为要实现多孔后缘插入件的降噪，这些压力脉动需要能够穿透插入件厚度进行连通。同时，希望在较低频率下限制通过多孔材料的流速，因为这会影响翼型的平均气动性能。基于uD方程的模型可用于设计实现这种权衡的材料，该模型的体积平均特性允许考虑广泛的多孔材料。然而，从这些结果中观察到，有必要研究低频下频率响应的强烈空间变化，其中会出现优先流动路径。更好地理解低频区域中的物理机制，可以使多孔材料特性在这些低频下做出不同响应，而不会可能增加高频脉动的衰减。需要额外的模型项来不再假设频域uD模型中的空间均匀性，并捕捉这种空间方差。五、结论目前评估多孔材料初始设计阶段气动性能的方法要么仅考虑稳态响应，要么在材料快速原型制造中计算成本过高。多孔介质对声学量级振荡的非稳态响应已被充分理解和建模。然而，对于构成后缘噪声源[4]的气动脉动，需要对多孔介质频率响应进行更多研究，以开发用于初始设计阶段多孔材料气动声学优化的模型。本研究结果表明，多孔材料对通过其的弱气动压力波产生的衰减和相位延迟随该脉动的波长变化很大。对于低雷诺数多孔介质流动，如风力涡轮机叶片中多孔后缘插入件内部所示，计算高效的uD模型可用于估算这些波通过多孔材料时表现出的波长相关衰减和延迟。这类体积平均模型的特性允许考虑多种多孔材料几何形状，前提是它们被准确参数化。当使用稳态达西模型描述多孔材料的气动性能时，衰减的频率依赖性被忽略。这导致多孔材料内部高频脉动强度被高估，因此可能高估渗透性后缘压力释放过程发生的频带。使用带达西项的VANS方程来模拟材料对流动的阻力，可以模拟这种弱振荡气流的动力学。然而，uD方程的解析解已经可以用于多孔材料对不同波长非稳态来流响应的初步设计。在本研究中，根据脉动频率，观察到脉动通过多孔试样传播的两种区域。在低振荡频率下，脉动沿由该频率附近的速度脉动形成的流动路径传播。沿着这些路径，压力梯度脉动最有效地转化为速度脉动。从某一临界频率开始，由达西项描述的粘性效应变得主导，即基于来流速度和多孔骨架支柱直径的斯特劳哈尔数在 至 左右。随着粘性阻力的增加，流动路径核心处的速度脉动被衰减。高频下缺乏此类流动路径意味着流动局部频率响应几乎没有空间方差。由于该流动区域也由粘性阻力主导，uD方程能准确估算高振荡频率下的频率响应。虽然体积平均uD模型也预测了两种频率区域，表明它们并非源于特定的孔隙拓扑，但在低频区域观察到的独特流动路径可能取决于本研究所考虑多孔材料的结构化性质。本研究分析的流动具有一定独特性，它代表了通过圆柱支柱阵列的流动，但为单向流动且不考虑流向周期性，因为这更能代表通过多孔后缘的流动。类似于振荡双向水流的研究[41]，即零平均水流，在较低的振荡频率下可以观察到分离涡，而较高频率的振荡则似乎完全附着在圆柱周围的流动上。低频下的分离涡相互作用并冲击下游支柱，导致涡结构沿流向演化，如果施加流向周期性，则无法捕捉到这种演化。为了准确捕捉多孔样品在整个频域内的频率响应，建议在当前uD方程中添加附加项，以考虑低频下脉动传播路径的存在，这会导致压力脉动转化为速度脉动的局部效率提高。理解这种低频脉动传播的源头将使得材料能够被调谐以分别衰减低频和高频振荡，从而通过压力释放过程实现噪声衰减，同时限制对气动性能产生负面影响的极低频振荡的渗透。一旦实现了这种压力释放过程的低阶模型，就可以研究将该频域模型用于多孔介质在大尺度几何模拟中的实施。