特征函数：湍流动能的逐尺度度量

《Physical Review Fluids》：Signature function: A scale-by-scale measure of turbulent kinetic energy

　　在[P. A. Davidson，《湍流：科学家与工程师导论》（牛津大学出版社，牛津，2004年）]中引入了一种实空间测度，用于描述湍流动能的逐尺度分布，称为签名函数。然而，该签名函数存在两个弱点。第一，尽管测量结果表明它在充分发展的湍流中为正，但无法保证非负结果。第二，其定义涉及导数，因此根据实验数据计算时对噪声敏感。在此，我们提出了原始签名函数的一种改进版本。该版本优于原始版本，因为它可以证明在各向同性湍流中严格为正。此外，它通过积分而非微分过程从实验数据获得，因此对噪声的敏感度较低。我们将这一诊断工具应用于网格湍流。结果表明，签名函数恢复了逐尺度能量密度的许多预期特征。例如，它在十个柯尔莫哥洛夫尺度以下以及超过积分尺度的尺度上衰减。此外，它在惯性子区表现出2/3定律，并与耗散区顶部的瓶颈现象耦合。我们还将签名函数应用于光滑和粗糙壁边界层的近壁区域。尽管该诊断工具在这种剪切层中不能保证保持为正，但实际观察中它保持为正。与网格湍流一样，签名函数捕捉到了逐尺度能量分布的预期特征。特别地，它证实了近壁大涡的能量以剪切速度的平方为标度。

I. 引言：签名函数作为实空间能量诊断工具

寻找一种实空间诊断工具，例如 \(\mathcal{E}\)，能够提供各向同性湍流中动能的逐尺度测度，类似于球平均三维能谱 \(E(k)\)，可以追溯到Townsend关于剪切层的工作[1]。在此，我们考虑对由第一作者[2,3]提出的实空间诊断工具（即签名函数）的改进。该版本的签名函数优于原始版本，因为它可以证明在各向同性湍流中严格为正。此外，它通过积分而非微分过程从实验数据获得，因此对噪声的敏感度较低。

A. 原始签名函数

也许最早的实空间诊断尝试来自Townsend[1]，他将二阶纵向结构函数
\[
\Delta u^2(r) = \langle [u(x+r) - u(x)]^2 \rangle \tag{1}
\]
视为尺度 \(r\) 以下流动中累积能量的指示。即，在任何时刻，比 \(r\) 小得多的涡旋将对 \(\Delta u^2(r)\) 或 \(\Delta u^2(r)\) 之一作出贡献，但不会同时贡献于两者，而比 \(r\) 大得多的涡旋将在两个位置引起相似信号。简言之，结构函数有点像低通滤波器。由于各向同性湍流中 \(\langle u(x+r)u(x)\rangle = u^2 - \Delta u^2(r)/2\)，这表明
\[
\mathcal{E}_{\text{Townsend}}(r) = \frac{3}{4} \frac{\Delta u^2(r)}{r} \tag{2}
\]
进而得到能量密度
\[
E_{\text{Townsend}}(k) = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \mathcal{E}_{\text{Townsend}}(r) \sin(kr) \, dr \tag{3}
\]
这里下标“Townsend”表示这是Townsend对 \(\mathcal{E}\) 的定义，因子 \(3/4\) 是为了确保 \(\int_0^\infty \mathcal{E}_{\text{Townsend}}(r) \, dr\) 给出湍流动能 \(K\)。

然而，关键的是，纵向结构函数确实包含了大于 \(r\) 的涡旋的信息。也就是说，比尺度 \(r\) 大得多的涡旋对 \(\Delta u^2(r)\) 的贡献约为 \(u^2\) 的量级。所以，我们应该在(2)中加上项 \(-3u^2/(2r)\)。这在[2]中得到确认，其中各向同性湍流中的球平均能谱 \(E(k)\) 与二阶纵向结构函数的关系为
\[
\Delta u^2(r) = 4 \int_0^\infty E(k) \left(1 - \frac{\sin(kr)}{kr}\right) \, dk \tag{4}
\]
特别地，由于
\[
\Delta u^2(r) \approx \frac{2}{15} \varepsilon r^2 \quad \text{当} \ r \ll \eta \tag{5}
\]
其中 \(\varepsilon\) 是湍流的熵密度，我们得出结论
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} \frac{\Delta u^2(r)}{r} - \frac{3}{2} \frac{u^2}{r} + \frac{3}{2} \int_0^\infty \frac{\Delta u^2(s)}{s^2} \, ds
\]
这里我们将涡旋尺度 \(l\) 等同于 \(\pi/k\)。由于我们需要 \(\mathcal{E}(r)\) 和 \(E(k)\) 扮演类似角色，但 \(r \sim \pi/k\)，这建议我们定义 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 使得
\[
\mathcal{E}_{\text{old}}(r) = \frac{3}{4} \frac{\Delta u^2(r)}{r} - \frac{3}{2} \frac{u^2}{r} + \frac{3}{2} \int_0^\infty \frac{\Delta u^2(s)}{s^2} \, ds \tag{6}
\]
其中下标“old”表示这与旧的 \(\mathcal{E}\) 定义相关。对(6)求导，我们得到[2]中给出的原始签名函数定义：
\[
\mathcal{E}_{\text{old}}(r) = -\frac{3}{4} \frac{d}{dr} \left[ \frac{\Delta u^2(r)}{r} \right] + \frac{3}{2} \frac{u^2}{r^2} \tag{7}
\]
现在，任何提供各向同性湍流中逐尺度能量测度的实空间诊断工具都应具有以下性质：
(i) \(\mathcal{E}(r) \ge 0\)；
(ii) 对于固定尺寸 \(l\) 的简单涡旋随机阵列，\(\mathcal{E}(r)\) 在 \(r \approx l\) 附近有尖锐峰值，但对于 \(r \ll l\) 和 \(r \gg l\) 则很小；
(iii) \(\int_0^\infty \mathcal{E}(r) \, dr = K\)。

容易确认 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 确实满足
\[
\int_0^\infty \mathcal{E}_{\text{old}}(r) \, dr = K \tag{8}
\]
以及性质(ii)。实际上，[2]中表明
\[
E(k) \approx \mathcal{E}_{\text{old}}(\pi/k) \quad \text{对于} \ k \eta \gg 1 \tag{9}
\]
显然，\(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 与 \(E(k)\) 密切相关。

然而，关键在于，原始签名函数的定义有两个主要弱点。第一，尽管测量表明 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 在充分发展的湍流中为正，但无法保证在所有情况下 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r) \ge 0\)。第二，由于定义(7)涉及两个导数，从实验数据计算 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 对噪声非常敏感。[定义(7)在[3]中应用于网格湍流，但仅在对数据进行平滑处理之后。]本文的主要目的是为各向同性湍流提供改进的 \(\mathcal{E}(r)\) 定义，以弥补 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 的两个弱点。

B. 其他实空间诊断工具

已经提出了几种替代策略来量化逐尺度能量预算。例如，Danaila等人[4]考虑非均匀且各向异性但统计上轴对称的湍流，并提出一种基于矢量结构函数 \(S_2(r)\) 的工具来量化各向异性能量传递。该诊断工具随后应用于碰撞湍流射流问题。

Hamba[5]提出了另一种策略，他特别关注任何实空间能量密度必须在所有情况下非负。因此，实空间能量密度被定义为 \(E(k)\) 的高斯滤波一维变换。也就是说，我们引入一维变换 \(\mathcal{E}_H(r)\)，其与 \(E(k)\) 的关系为
\[
\mathcal{E}_H(r) = \int_0^\infty E(k) e^{-k^2 r^2} \, dk \quad \text{在各向同性湍流中} \tag{10}
\]
实空间能量密度随后定义为
\[
\mathcal{E}_H(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \mathcal{E}_H(r) \sin(kr) \, dr
\]
其中下标 \(H\) 表示Hamba。这些想法随后在[6]中扩展。Hamba的方法与我们定义的签名函数有联系，如附录B所讨论。

C. 论文结构

本文结构如下。在第二节中，我们开发了签名函数的改进版本，它在各向同性湍流中严格为正。这是旧签名函数的平滑版本，定义为二阶结构函数的加权积分。在此建立了签名函数的运动学性质，包括其与 \(E(k)\) 的关系。

接下来，在第三节中，我们考虑将新签名函数应用于网格湍流。这里，新诊断工具被证明能恢复逐尺度能量密度的许多预期特征。例如，它在十个柯尔莫哥洛夫尺度以下以及积分尺度以上衰减。此外，它在惯性子区表现出2/3定律，并与耗散区顶部的通常瓶颈现象耦合。

最后，在第四节中，我们将签名函数应用于光滑和粗糙壁边界层的近壁区域。尽管签名函数在这种剪切层中不能保证保持为正，但实际观察中它保持为正。此外，签名函数再次捕捉到逐尺度能量分布的预期特征，例如能量最大值，其中大涡能量以剪切速度的平方为标度。

II. 新签名函数的定义及其运动学性质

A. 签名函数的定义及其与能谱的关系

让我们从签名函数的定义开始，以及其与能谱的关系。考虑 \(E(k)\) 的平滑或滤波版本，定义为
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} \int_0^\infty \frac{\Delta u^2(s)}{s} \frac{\sin(s/r)}{s/r} \, ds \tag{11}
\]
这里幂次选择为 \(1\)，因为它在积分中产生相当锐利的滤波。（较低的幂次倾向于使旧签名函数模糊。）根据附录A的筛选分析[见(A2)和(A4)]，结合上述(8)，定义(11)确保
\[
\int_0^\infty \mathcal{E}(r) \, dr = K \tag{12}
\]
以及
\[
\mathcal{E}(r) \approx E(\pi/r) \quad \text{对于} \ r \ll \eta \tag{13}
\]
由此可知，我们的 \(\mathcal{E}(r)\) 满足任何实空间能量密度的前两个要求。也就是说，\(\mathcal{E}(r)\) 积分给出湍流动能，并且像 \(E(k)\) 一样，尺度为 \(l\) 的涡旋在 \(r \approx l\) 附近贡献于 \(\mathcal{E}(r)\)。此外，我们很快会看到，与 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 不同，我们定义的 \(\mathcal{E}(r)\) 满足第三个要求，即在各向同性湍流中严格为正。简言之，\(\mathcal{E}(r)\) 满足各向同性湍流中实空间能量密度的所有三个要求。

现在，对(11)进行分部积分，得到我们 \(\mathcal{E}(r)\) 的等价定义：
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} \frac{\Delta u^2(r)}{r} - \frac{3}{4} \int_0^\infty \frac{\Delta u^2(s)}{s^2} \cos(s/r) \, ds \tag{14}
\]
再次分部积分告诉我们，\(\mathcal{E}(r)\) 可以表示为 \(\Delta u^2(s)\) 的加权积分：
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} \int_0^\infty \frac{\Delta u^2(s)}{s} \frac{d}{ds} \left[ \frac{\sin(s/r)}{s/r} \right] \, ds
\]
所以，与 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 需要微分实验数据不同，这个签名函数可以通过积分获得。因此，该定义对实验数据中的噪声敏感度低得多。看来我们定义的 \(\mathcal{E}(r)\) 弥补了原始签名函数的两个弱点。

为了将 \(\mathcal{E}(r)\) 与能谱 \(E(k)\) 联系起来，我们注意到(14)可以用两点速度相关 \(R_{ij}(r)\) 重写，使用关系
\[
\Delta u^2(r) = 2u^2 - 2R_{11}(r), \quad R_{11}(r) = u^2 f(r)
\]
代入 \(\Delta u^2(r)\)，分部积分，然后代入 \(R_{11}(r)\)，我们得到
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} \int_0^\infty R_{11}(s) \frac{d}{ds} \left[ \frac{\sin(s/r)}{s/r} \right] \, ds \tag{15}
\]
此外，在各向同性湍流中，\(E(k)\) 与 \(R_{11}(r)\) 的关系为
\[
E(k) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty R_{11}(r) kr \sin(kr) \, dr \tag{16}
\]
将 \(R_{11}(r)\) 代入(15)中，得到（见附录B）
\[
\mathcal{E}(r) = \int_0^\infty E(k) \left[ \frac{3}{4} \frac{kr}{\pi} \sin(kr) - \frac{3}{4} \frac{k^2 r^2}{\pi} \cos(kr) \right] \, dk \tag{17}
\]
由(17)以及(A4)可知，\(\mathcal{E}(r)\) 满足我们的三个基本要求：
\[
\int_0^\infty \mathcal{E}(r) \, dr = K \tag{18}
\]
\[
\mathcal{E}(r) \approx E(\pi/r) \quad \text{对于} \ r \ll \eta \tag{19}
\]
\[
\mathcal{E}(r) \ge 0 \quad \text{在各向同性湍流中} \tag{20}
\]
我们将在第II.C节检验近似(19)。

B. 签名函数的一些基本运动学性质

几个有用的关系直接从(17)得到。例如，使用定积分(A3)，我们有
\[
\int_0^\infty \mathcal{E}(r) \, dr = K \tag{21}
\]
以及
\[
\int_0^\infty \mathcal{E}(r) \, r^2 \, dr = \frac{3}{2} \int_0^\infty E(k) \frac{1}{k^2} \, dk \tag{22}
\]
其中 \(L\) 是通常的湍流积分尺度，定义为
\[
L = \int_0^\infty f(r) \, dr
\]
此外，对(17)积分得到
\[
\mathcal{E}(r) = \int_0^\infty E(k) \left[ \frac{3}{4} \frac{kr}{\pi} \sin(kr) - \frac{3}{4} \frac{k^2 r^2}{\pi} \cos(kr) \right] \, dk \tag{23}
\]
其中方括号中的 \(r\) 的函数起到高通滤波器的作用。将此函数近似为阈值设置在 \(kr \sim \pi/2\) 的理想滤波器，则回到(19)。

最后，(17)给出 \(\mathcal{E}(r)\) 在小 \(r\) 和大 \(r\) 下的渐近行为。例如，低 \(r\) 展开得
\[
\mathcal{E}(r) \approx \frac{3}{4} \frac{\varepsilon}{15} r^2 \quad \text{当} \ r \ll \eta \tag{24}
\]
反之，我们可以将(17)与 \(E(k)\) 的低 \(k\) 展开结合：
\[
E(k) \approx \frac{k^2}{4\pi^2} I_1 + \frac{k^4}{24\pi^2} I_2 \quad \text{当} \ k \to 0 \tag{25}
\]
其中 \(I_1\) 和 \(I_2\) 分别是Saffman和Loitsyansky积分，如[2]所讨论。将 \(E(k)\) 代入(17)，并使用定积分(A3)，得到 \(\mathcal{E}(r)\) 的大 \(r\) 展开：
\[
\mathcal{E}(r) \approx \frac{3}{4} \frac{I_1}{r^3} - \frac{3}{4} \frac{I_2}{r^5} \quad \text{当} \ r \gg L \tag{26}
\]
由于 \(I_1\) 和 \(I_2\) 是不变量，\(\mathcal{E}(r)\) 在大 \(r\) 下的形式在湍流衰减过程中是固定的。

C. 签名函数的简单运动学示例

考虑一些简单的运动学示例是有益的。考虑球形涡旋：
\[
\mathbf{u}(\mathbf{x}) = \Omega \mathbf{e}_\theta e^{-r^2/l^2} \quad \text{在} \ (r, \theta, z) \ \text{坐标中} \tag{27}
\]
如图1所示。该表达式表示一个特征尺寸为 \(l\) 的旋转流体团，其角速度按高斯衰减。如果这样的涡旋在空间中随机但均匀分布，并且具有随机取向，我们获得统计各向同性的速度场。在[2]中表明，相应的纵向相关函数为
\[
f(r) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{r^2}{2l^2} \right) e^{-r^2/(4l^2)} \tag{28}
\]
从中可以计算二阶结构函数和能谱：
\[
\Delta u^2(r) = u^2 \left[ 1 - f(r) \right] \tag{29}
\]
\[
E(k) = \frac{u^2 l}{2\pi} \frac{(kl)^2}{1 + (kl)^2} e^{-k^2 l^2} \tag{30}
\]
图1. 由(27)给出的球形涡旋。

通过将(29)代入定义(14)，然后使用(A3)，可以找到签名函数。归一化签名函数和相应的能谱为
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{u^2}{l} \frac{(r/l)^2}{1 + (r/l)^2} e^{-r^2/l^2} \tag{31}
\]
\[
E(k) = \frac{u^2 l}{2\pi} \frac{(kl)^2}{1 + (kl)^2} e^{-k^2 l^2} \tag{31}
\]
由(31)指定的 \(\mathcal{E}(r)\) 和 \(E(k)\) 的分布如图2所示。如(19)所建议，两个分布相似，都在 \(r \approx l\) 处呈现峰值。注意，\(\mathcal{E}(r)\) 的形状比 \(E(k)\) 稍宽，这与 \(\mathcal{E}(r)\) 是 \(E(k)\) 的平滑版本有关，正如(11)所规定。图2还比较了 \(\mathcal{E}(r)\) 与 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\)，显然 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\) 比 \(\mathcal{E}(r)\) 窄。

图2. 随机分布的尺寸为 \(l\) 的涡旋的 \(\mathcal{E}(r)\) 和 \(E(k)\)。左侧，签名函数 \(\mathcal{E}(r)\)（红色）和相应的能谱 \(E(k)\)（蓝色）。右侧，旧签名函数 \(\mathcal{E}_{\text{old}}(r)\)（红色）与 \(\mathcal{E}(r)\)（蓝色）的比较。

我们顺便注意到，一维能谱定义为
\[
E_1(k) = \int_0^\infty E(k') \frac{k'}{k} \, dk' \tag{32}
\]
对于(28)取形式为
\[
E_1(k) = \frac{u^2 l}{2\pi} \frac{1}{1 + (kl)^2} \tag{33}
\]
它在 \(k=0\) 处达到峰值，而不是在 \(k \sim 1/l\) 处，因此人为地将能量移向 \(k=0\)（大尺度）。这是 \(E_1(k)\) 的普遍问题，如[2,7]所讨论。

作为第二个例子，考虑惯性子区的Kolmogorov 2/3定律：
\[
\Delta u^2(r) = C_2 \varepsilon^{2/3} r^{2/3} \tag{34}
\]
其谱等价为（见[8]）
\[
E(k) = C_K \varepsilon^{2/3} k^{-5/3} \tag{35}
\]
这里 \(\beta\) 是Kolmogorov常数，\(C_K \approx 0.5\)，\(\varepsilon\) 是单位质量的耗散率。根据定义(14)，我们有
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} \frac{C_2 \varepsilon^{2/3} r^{2/3}}{r} - \frac{3}{4} \int_0^\infty \frac{C_2 \varepsilon^{2/3} s^{2/3}}{s^2} \cos(s/r) \, ds \tag{36a}
\]
由于 \(\int_0^\infty s^{-4/3} \cos(s/r) \, ds = 0\)，这导致
\[
\mathcal{E}(r) = \frac{3}{4} C_2 \varepsilon^{2/3} r^{-1/3} \tag{36b}
\]
此外，根据(19)，对应于(36a)的谱定律满足
\[
\mathcal{E}(r) \approx C_K \varepsilon^{2/3} (\pi/r)^{5/3} \quad \text{当} \ r \ll \eta \tag{37}
\]
这确实接近(35)。

作为第三个也是最后一个例子，考虑归一化幂律谱：
\[
E(k) = A k^{-5/3} e^{-(k/k_d)^2} \tag{38}
\]
其中 \(A\) 和 \(k_d\) 由某些任意长度尺度归一化。对应的归一化签名函数可由(17)式求得，若用与(38)式中相同的长度尺度对进行归一化，则其形式为(39)式。相应的( )和的分布如图3所示，对应和8的情况。同样，两组分布相似，如(19)式所建议。特别地，两组分布都在相同点达到峰值。然而，( )的形状总是比稍宽，且峰值更低。

图3. 对于由(38)式给出的幂律谱，当和8时，签名函数( )和相应能谱的对数-线性图。

III. 签名函数在网格湍流中的应用

我们现在转向实验数据。这里的测量几乎总是以纵向相关函数和相应的一维谱的形式出现。正如我们在先前工作[2]中看到的，在解释能量在尺度空间中的位置方面表现不佳。然而，对于各向同性湍流，我们原则上可以使用(40)式从计算，当然前提是一维谱足够光滑以便求导。我们开始对实验数据的考察，首先考虑近似（但非完全）各向同性的网格湍流。

图4显示了取自[9]的网格湍流数据。该研究使用了多种多尺度网格，所示数据对应网格2，且位于下游290个积分尺度处。签名函数使用定义(14)计算，而则通过平滑后应用(40)式来估计。图4采用对数-线性坐标，展示了( )、和。 ( )和的分布确实看起来相似，尽管的峰值位于( )的峰值之上，正如在图2和图3中那样。另一方面，如预期那样将能量移向大尺度。由于雷诺数较低，该数据集不存在2/3律。

图4. 文献[9]中网格湍流的( )、和的分布。

为了观察2/3律，我们使用了文献[10]中记录的来自Modane S1MA风洞的ONERA网格湍流数据。这里网格尺寸很大，为米，基于的雷诺数约为，积分尺度约为米。图5显示了在多种风洞速度下的签名函数，其中( )用对数-线性坐标对绘图。显然，( )在接近积分尺度处出现峰值，这符合预期。

图5. 文献[10]中网格湍流数据的( )对。在处有一个峰值。

风速为的数据在图6中改用对数-对数坐标重新绘制。上方面板显示了( )对εr的图，并附有理论惯性区律(36b)式作为比较。现在有2/3律的证据，尽管这被瓶颈区域（能量过剩区域）部分掩盖。正如[2]中讨论的，这种瓶颈通常位于惯性子区的下端和耗散区的上端。最后，对于相同的风速，图6的下方面板显示了用补偿后的( )对（用对数-对数坐标）的图。在10η以下能量迅速下降，在近似范围内存在一个瓶颈，在范围内存在2/3律，尽管指数略小于2/3。（一维能谱中也可见到幂律指数的相同偏差。）另外，这里的积分尺度对应于η，而在η以上能量迅速下降，如预期。范围内的瓶颈与理论和直接数值模拟一致，10η以下的能量快速下降也是如此，如[2]中所讨论。（我们将在后续论文中重新讨论瓶颈问题，届时我们将把签名函数应用于卡门-豪沃思方程。）

图6. 数据同图5，风速为。上方面板：( )对εr使用对数-对数坐标，并附有理论式(36b)作为比较。下方面板：( )经补偿后对使用对数-对数坐标。

总而言之，签名函数似乎给出了逐尺度的能量分布，该分布与预期一致；在10η以下和以上下降，同时表现出2/3律并伴有瓶颈。可以说，作为能量分布的一种度量，优于普遍存在的一维能谱，后者系统性地将能量移向（即）。

IV. 签名函数在边界层对数律区域中的应用

迄今为止，我们的关注点一直集中在各向同性湍流上，我们知道。然而，由于签名函数是严格一维定义的，即用纵向结构函数定义，因此它也可以应用于剪切层（如边界层），前提是存在近似的流向均匀性。当然，在这种情况下，我们需要调整对的解释，此时成为（三倍的）流向动能的逐尺度度量，而不是总动能。无论如何，探索在边界层中的形式似乎是值得的。

A. 边界层中的结构函数对数律

在查看数据之前，让我们回顾一下在边界层近壁区域可能预期的情况。湍流边界层近壁区域的性质已被深入研究，部分原因是由于平均速度廓线著名的对数律：

(41)

这里是时间平均的流向速度，是剪切速度，是距壁面的距离，κ是卡门系数（），是经验常数。关键的是，如[11,12]首次指出的，(41)式与二阶结构函数的对数律并存。其形式为：

(42)

其中和是经验系数，是流向纵向结构函数。测量表明，如[13]中所讨论。

现在，湍流动能的产生率在湍流边界层的对数律区域大致平衡局地耗散率ε。这给出了估计，或。因此，(42)式有时被近似为：

(43)

如[11]中所讨论。这个ln()律在流向分离约为处融入柯尔莫哥洛夫2/3律，并延伸至，其中δ是边界层厚度。情况如图7示意所示。但要注意，在湍流边界层中，和ε之间往往存在显著的不匹配，且/ε是的函数。因此，(42)式是对数律的优选形式，如[12,13]所示。

图7. ln()律在流向分离为处融入柯尔莫哥洛夫律。

对数律(42)和柯尔莫哥洛夫2/3律都是一般标度律的子区域，从中可得：

(44)

在涡旋尺度远小于（例如）时，剪切速度不再是相关参数，柯尔莫哥洛夫2/3律直接从(44)式得出。相反，对于略大于的尺度，涡旋的动能与尺度无关，量级为。这就要求采取对数律的形式，我们接下来予以确认。

对于涡旋能量量级为的尺度范围，定义(14)要求：

(45)

并且由于( )与无关，结构函数必须取以下形式：

(46)

积分后给出对数律，并考虑到标度律(44)，该对数律必须采用(42)式的形式。此外，将(42)代入(14)式得到：

(47)

因此，结构函数的对数律区域对应于能量平台：

(48)

该平台在附近融入(36b)式：

(49)

实际上，如果我们近似认为，则(49)式变为：

(50)

考虑到和，(48)和(50)式在处相交。最后，我们注意到(48)–(50)式的谱对应形式为：

(51)

我们现在通过检查光滑壁面和粗糙壁面边界层数据来验证这些预测。

B. 边界层对数律区域中的签名函数

我们将考虑文献[13]中记录的零压力梯度边界层数据，从光滑壁面数据开始。图8显示了结构函数作为的函数，对应范围内五个不同的值。这证实了从开始的ln()律的存在，与(42)和(43)式都一致。然而，坍缩效果不佳。这是由于使用作为的替代。也就是说，我们可以将(42)式和2/3律重写为：

(52)

(53)

其中。产生与耗散之间的局地不平衡意味着，一般而言，将是的函数。这种依赖性阻止了(52)和(53)式的坍缩。然而，当相同数据重新绘制为的函数时，如图9所示，显然真实标度律是(42)式，而非(43)式。这反过来证实了对于，而不是，这一点在湍流边界层文献中经常被忽视。

图8. 文献[13]的光滑壁面数据。对的数-线性图。

图9. 文献[13]的光滑壁面数据。对的数-线性图。

接下来，图10显示了经补偿后的结构函数。这里实线代表数据，虚线是将数据外推到平台。显然，数据延伸到2/3律的上端，但没有完全捕捉到2/3律。图11是对数-对数图，证实了这一点，显示数据向2/3律倾斜，但在该区域中途终止。

图10. 文献[13]的光滑壁面数据。作为函数的补偿图。

图11. 文献[13]的光滑壁面数据。作为函数的对数-对数图。

现在转向签名函数，图12和图13分别显示作为和的函数。与结构函数类似，当对绘图时坍缩更好，至少对于。曲线的呈现出平台后出现一个凸起。然而，随着增加，峰值逐渐向平台内移动，最终合并形成一个单一最大值。平台位于，与(48)式一致，且位于区域内，这与图8中的log()范围一致。另一方面，峰值位于，且往往处于较大的值。

图12. 文献[13]的光滑壁面数据。对的数-线性图。

图13. 文献[13]的光滑壁面数据。对的数-线性图。

接下来，图14和图15显示了作为的函数的对数-对数图，图14聚焦于小的，图15聚焦于较大的。图14中可见部分的律，图15中近似平台，至少对于较低的值。

图14. 文献[13]的光滑壁面数据。小情况下对的对数-对数图。

图15. 文献[13]的光滑壁面数据。对的对数-对数图。

我们现在转向文献[13]的粗糙壁面数据，对应方条形粗糙度，粗糙高度为。图16显示了归一化结构函数作为的函数，对应范围内。这证实了从开始的ln()律的存在，与(42)和(43)式都一致。相同数据重新绘制为的函数在图17中，显然，对于光滑壁面数据，真实标度律是(42)式。

图16. 文献[13]的粗糙壁面数据。对的数-线性图。

图17. 文献[13]的粗糙壁面数据。对的数-线性图。

接下来，图18显示了经补偿后的结构函数作为的函数。显然，数据表现出2/3律，且与光滑壁面数据不同，完全贯穿2/3区域。这个律在图19中得以确认，是对的对数-对数图。注意，斜率略浅于2/3。

图18. 文献[13]的粗糙壁面数据。作为函数的补偿图。

图19. 文献[13]的粗糙壁面数据。对的对数-对数图。双对数图， 作为 的函数。转向特征函数，图20显示了 作为 的函数，而图21给出了 作为 的函数。当对 进行绘图时，坍缩明显更好，至少对于 来说是这样。鉴于 ，光滑壁面数据表明不应有平台，而只有一个最大值，情况确实如此。峰值位于 范围内，这与光滑壁面情况相似。图20. 文献[13]的粗糙壁面数据。 与 的半对数图。图21. 文献[13]的粗糙壁面数据。 与 的半对数图。最后，图22和图23显示了 作为 的函数的双对数图，图22集中在小的 上，图23集中在更大的 上。在图22中，一个 定律是明显的，尽管斜率略浅于2/3，如图19中的情况。图23中的峰值接近 ，但通常略高。图22. 文献[13]的粗糙壁面数据。 与 的双对数图，针对小的 。图23. 文献[13]的粗糙壁面数据。 与 的双对数图。V. 结论我们的特征函数版本改进了原始版本，因为它可以证明在各向同性湍流中严格为正。此外，它是通过积分而非微分的过程从实验数据中获得的，因此对噪声不那么敏感。关键的是，简单的运动学例子证实了 ，因此在各向同性湍流中， 和 在尺度空间中相似地分配能量。当应用于网格湍流时，我们的特征函数恢复了尺度能量密度的许多预期特征。例如，它在十个柯尔莫哥洛夫尺度以下以及远高于积分尺度的尺度上下降。此外，它在惯性子区表现出2/3定律，并与耗散区顶部的瓶颈相耦合。它在近壁湍流中的行为也符合预期。例如，图13中所示的趋势，即对于 ，平台 与凸起相邻，但对于更大的 ，在 处只有一个最大值，这在预乘一维谱 中也被观察到。（例如，参见文献[14]中的图11和文献[15]中的图6。）总之，我们的尺度能量密度易于实现（所需的只是纵向结构函数），它在各向同性湍流中以类似于 的方式分配能量，并且它在网格湍流和边界层中产生的能量分布符合预期。在后续论文中，我们将把这一特征函数应用于卡门-豪沃斯方程，从而从运动学转向动力学。这将使我们能够检查实空间中的能量通量和能量耗散，而不是傅里叶空间中的。