数学与物理学之间的相互作用：授课教师在面向高中教师的硕士项目中希望传达哪些方面？

《Physical Review Physics Education Research》：Interplay between mathematics and physics: Which aspects do instructors hope to convey in a master’s program for high-school teachers?

　　数学与物理学之间的相互作用相互影响这两个学科，并且是持续研究的主题。在此，我们在一个为在职高中物理教师开设的理学硕士项目的实证背景下研究这种相互作用，该项目强调由活跃物理学家讲授的高级物理课程，以及由物理教育研究人员讲授的教学内容课程。教师讲师希望向教师们传达数学与物理学之间相互作用的哪些方面？我们对该项目中的物理讲师进行了半结构化访谈，重点关注他们对课程的目标。对访谈的主题分析揭示了讲师们报告的在教学中整合的相互作用的若干方面，形成了由三个系列组成的特征描述。第一个系列强化了文献中已有的方面：一致性、计算工具，以及新物理结果的数学推导（提取）。第二个系列突出了现有方面的新面貌：几何在物理学中的普遍性、作为探索邀请的近似极限，以及作为虚拟实验的模拟（表征）。第三个系列包含在物理教育文献中不那么突出的方面：抽象数学在物理情境中的具体化，以及冲突作为发现机制（例如，洛伦兹力对速度的依赖与伽利略不变性相冲突）。我们的研究结果提供了一个框架，将高等教育物理与各级教学联系起来——在高级物理中显现的数学与物理学之间的相互作用方面可以为高中及以上的课程设计以及教师教育提供信息。

一、引言

数学与物理学之间的相互作用是一种相互关系。数学在推动物理学发展中发挥了关键作用，而物理学也为数学的核心发展做出了贡献[1]。关于这种相互作用的教学与学习的研究是多方面的，正如Palmgren等人最近所综述的那样[2]。该领域的现有工作可以分为三个主要方面。一是学习者：研究他们如何在物理中使用或能够使用数学。二是教师：研究教师对学习目标、适当教学方法及其普遍性的看法。三是专业发展（PD）方面：一方面研究教师参与专业发展后观念的变化，另一方面研究专业发展领导者希望向教师传达的潜在信息。本文在一个强调高级物理课程的长期教师专业发展项目的背景下探讨最后一个方面。具体而言，我们研究此类课程的讲师如何构建数学与物理学之间的相互作用。接下来，我们将描述关于这三个方面的现有文献，并将我们的工作置于其中。但首先，我们将讨论学科层面。

A. 相互作用——学科层面

描绘数学在物理学中作用的框架仍在不断完善中。该领域的一项开创性工作来自Pietrocola[3]，他区分了技术性作用和结构性作用。前者包括不涉及理解物理的机械计算，例如算法化地求解方程。后者描述了一种更深层的联系，包括知识的分层组织（例如高斯定律的普遍性，相对于库仑定律的特殊性，参见Kneubil和Robilotta[4]），以及引导推理（例如通过检验极限）。Karam[5]在一个实证背景下应用了这一框架，分析了一位受人尊敬的讲师在电磁学课程中的教学。他深入探讨了这两种作用，并细化了体现它们的实践。例如，论证选择表征物理量的数学对象的合理性，或识别不同现象之间的形式类比，都是数学在物理学中结构性作用的体现。

从历史的角度来看，Palmgren和Rasa[6]最近为数学在物理研究中所起的作用提供了一个全面的框架，并涉及它们对物理教学的启示。在他们的特征描述中，数学在物理学中的作用可以分为四个略有重叠的类别。第一，作为句法结构，组织信息并为推理和进一步发展提供规则。第二，表征和语义学，允许物理学家表达和分享关于物理现象的信息。第三，推理和修正，即允许逻辑演绎、理论检验和识别形式类比。第四，提取，即求解特定模型或生成新的解释或概念。

也有聚焦于学科层面的实证研究。Koerfer等人[7]发表了关于大学教师所认知的数学在科学、技术、工程和数学（STEM）教育中作用的最新研究。他们提出了一个呼应Palmgren和Rasa工作的作用层级，但在STEM教育的更广泛背景下。他们的特征描述包括从技术工具、到交流语言、再到哲学基础的作用。

B. 相互作用——学习者方面

一个特别的焦点是学生在物理情境中如何使用数学，主要在中学或大学低年级物理中，例如使用算术、向量、微积分或评估他们的答案[8-11]。这类研究的一个共同结论是，数学课上的成功并不能保证物理课上的成功[12]。其他研究涵盖了问题解决过程中学生思维的建模，采用逐步精细的方案和情境。例如，Redish和Smith[13]提供了一个基本建模循环，体现了所有后续工作的共同主线：用数学术语对问题进行建模，对其进行处理以找到解决方案，解释结果并用物理术语进行评估。后来，Uhden等人[14]强调了问题解决过程沿“数学化程度”轴的往返性质，其中模型的每次细化都可以与物理解释相关联。将学生困难的研究与学生推理的研究相结合，Wilcox等人[15]提出了一个由适当数学工具的激活、模型的构建、数学运算的执行以及最终对结果的反思组成的框架（ACER框架）。Brahmia[16]提出了一个将物理和数学专业知识视为互补技能的模型，强调它们渐进的、交织的发展。类似地，物理和数学的融合（即使用概念推理来促进方程式的操作[17]）在力学[18]、热方程[19]和静电学[20]等情境中得到了说明。最近，Reshef-Israeli和Kapon的研究将推理过程扩展了两方面：一是从理想到“真实”逐步推进的分层问题解决，二是协作工作[21]。数学与物理学之间相互作用的另一个受到关注的方面是学生对物理中数学的认识论[22-24]。此类研究发现认识论观点与问题解决之间存在相关性。特别是，学生对（问题解决）情境的认识论框架与哪些资源[25]被激活有关。例如，在“数学一致性”框架内，学生寻求与另一个数学思想的相似性来验证他们的推理，而不是算法化地遵循计算程序。

C. 相互作用——教师方面

上述研究以学生为中心，考虑在不同物理教育情境中学习者头脑中发生的学习过程中数学与物理学的相互作用。文献的广度表明了该过程的复杂性及其显然的多个方面。另一个关注焦点是教师的属性——他们关于相互作用的观点、实践和知识——以及他们在塑造学生学习过程中的作用。

教师的属性可以从实际课堂实践的角度来研究，也可以在他们受到影响的背景下研究，无论是在职前还是在职教师的专业发展项目中。从实际实践的角度来看，Yerushalmi等人[26]就问题解决的教学采访了物理教师。他们的受访者认为，例如，学习问题解决是一个反思性过程，但他们承认他们的课程并未明确强化反思性。事实上，他们说典型的学生应该从查看适当的示例解决方案中学习，但他们提供的示例并不代表专家（反思性）思维过程。另一个探究学校教师对相互作用看法的例子是Pospiech等人[27]。他们为学校教师提出了一种知识结构，并通过采访经验丰富的物理教师对其进行了测试。他们发现“数学重要这一非常普遍的观点与……数学在物理方法中起什么作用”之间存在差距（第279页）。只有大约一半的受访教师提到了第一节A小节中描述的数学在物理学中结构性作用的要素。研究人员无法确认相互作用的特定观点与特定教学策略相关。从职前角度来看，Karam和Krey[28]为在职培训的物理教师设计了一门课程，侧重于相互作用的历史方面以及流行物理方程的多种推导及其相关的学生困难。课程结束后，他们的一些毕业生表现出对物理方程推导作为其“解释库”一部分的更高欣赏，这是他们教学内容知识（PCK）[29]的一个方面。

D. 相互作用——专业发展项目

如前所述，关于相互作用的教师属性也可以在持续的专业发展背景下进行研究，无论是关注PCK还是内容知识（CK）。根据最近的研究[30,31]，学生和教师都说一个好的物理教师应该具有，除其他特征外，扎实的CK和PCK。有时，CK可能与PCK呈负相关。例如，Thompson等人[32]研究了参加物理教师研究生课程的非本专业和本专业职前教师。他们发现，课程结束后，非本专业教师在学生想法知识方面的得分高于本专业教师。事实上，PCK分类法，特别是在物理学中[33]，包括课程知识、学生想法知识、教学策略知识和评估方法知识。其他PCK模型，例如数学教育中的模型[34]，也强调内容和课程的“纵向”知识，超越教师当前所教的内容。在这里，人们可以预期高级CK与PCK之间存在正相关，因为教师对内容结构的更深理解使他们能够磨练教学中的信息。例如，教师可以将能量守恒不仅呈现为一种问题解决技术，而且呈现为物理学的基本支柱。

McLoughlin和Sokolowska[35]调查了现有的物理教师专业发展策略，如课例研究[36]、专业学习共同体（PLCs）[37]、研究-实践伙伴关系[38]和实践者探究[39]。上述大多数专业发展策略以教学实践或与学校课程直接相关的内容为中心，由物理教育专业人员领导。例如，Lippielo等人组织了一个聚焦数学在物理学中结构性作用的专业学习共同体。具体来说，他们建议使用Uhden等人[14]的模型来设计参与者课堂中的活动。在专业学习共同体之后的访谈中，教师们既欣赏Uhden-Karam建模循环的理论方面，也欣赏所提议活动在其课堂教学中的直接适用性。

其他专业发展机会可以是学术项目或课程，无论是入门级还是高级，教师也可以参加。超越高中课程的内容课程提供了数学与物理学之间相互作用的详细描绘。在全球许多地方，特别是在以色列背景下，这类课程是高中教师职前教育的一部分，但它们的课程并非专门为教师量身定制，因为其受众将继续走上各种职业道路[40]。相比之下，面向在职教师的学术项目主要关注教学法或PCK，例如在CU Boulder[41]。我们研究面向教师的大学内容课程——哪些信息适合这类课程，特别是关于数学与物理学之间的相互作用？我们通过采访设计和实施这些课程的讲师来探讨这个问题，如下所述。

E. 本研究

本研究旨在丰富我们关于数学与物理学之间相互作用方面在面向在职教师的高级物理课程中如何体现的知识。

为此，我们研究了一个面向科学和数学教师的理学硕士项目，该项目聚焦高级学科内容。在我们的背景下，课程讲师是物理学家，他们一直为物理学家教授类似的课程，并且不得不调整这些课程以传达他们认为对教师重要的信息。我们对在该项目中任教多年的讲师进行了半结构化访谈。重要的是，讲师们自愿选择教教师，而不是教物理研究生，或者除了教物理研究生之外还教教师。这样一种选择表明他们致力于推进物理教育，这一点他们也公开表达过。我们对访谈进行了主题分析，以识别他们在指导教师过程中所强调的数学与物理之间相互作用的各个方面，并参考了第I.A节中提及的现有理论框架。本研究隶属于一个更长期的研究计划。我们希望考察高级物理学科知识在高中教学中的可及性。本研究是第一步，其结果将为下一步提供依据：我们将访谈从该项目毕业的教师，了解他们如何看待这种相互作用，以及如何在教学中体现它，即他们如何将高级学科知识整合进PCK中。

本文其余部分的结构如下：第II节介绍我们的研究方法。第III节详细说明我们开展研究的背景——罗斯柴尔德-魏茨曼科学卓越教育项目。第IV节描述我们访谈理科硕士教师项目指导教师的方法。我们的主要发现，包括对所识别出的相互作用各个方面的特征描述，详见第V节。结合以往研究对发现的讨论见第VI节，随后是教学应用建议，见第VII节。

**II. 研究方法**

在一个指导教师必须长期思考的环境中，比如我们的项目，能够深入洞察他们对教师应掌握哪些关于数学与物理相互作用的知识的看法。此外，年复一年指导教师与教师之间的密切互动也有助于锤炼他们的观点。

以向高中教师教授量子力学为例。在决定教什么时，指导教师可能会考虑：（a）要传递的知识结构，以及（b）教师现有的知识和能力。关于（a），指导教师会问自己：尽管量子力学中的许多内容超出了高中课程范围（在以色列和其他地方均如此[42]），但我想向教师传达量子力学中哪些物理方面的内容？哪些基本概念能够丰富教学？关于（b），需要从面向物理学家的课程中做哪些调整？许多教师已经教了多年高中，导致知识出现缺口，例如在哈密顿量的特征值与能量之间的关系方面。指导教师必须弥合这些缺口。此外，在以色列，物理教师短缺导致许多工程师（即非物理专业毕业生）成为物理教师。有关该项目入学教师的更多信息，请参见下一节。我们在此引入这一描述是为了表明，指导教师本身也不得不调整对教师的教学，无论他们是否意识到这一点。我们的目的是“逆向工程”这一过程，并提炼出他们一直计划向教师传达的主要元素，特别关注数学与物理之间的相互作用。我们的受访者（详见下文）都参与了该项目多年。

**III. 罗斯柴尔德-魏兹曼项目**

魏茨曼科学研究所（WIS）的（无论文）理科硕士罗斯柴尔德-魏兹曼科学卓越教学项目（以下简称“项目”）标志着当地在职教师专业发展的最前沿。它每周占用两个整天，持续两年，比通常总计30至60小时的暑期工作坊或PLC要长得多。它同样重视由活跃科学家教授的高级内容课程和由科学教育研究者教授的教学内容课程。例如，在项目的物理分支中，物理学家教授内容课程，而物理教育研究者教授教学内容课程。

该项目旨在通过提供提升知识的机会来增强教师的自信心和积极性。该项目由WIS科学教学系与科学系合作领导，后者设计了针对教师受众的课程。参与教师减少在学校的工作量，并获得WIS的津贴。该项目的许多毕业生后来晋升为各自学校或教育部的领导职位。

在该项目的物理分支中，任何时候大约有15名教师入学。他们来自两个主要背景：大约四分之一拥有物理学学士学位，大多数是第二职业教师，他们接受过工程师培训并获得工程师经验。后一组人要么在研究型大学获得学位，要么在工程师学院获得学位，在那里他们根据所学专业修读了工程师入门物理课程和高级物理课程。例如，机械工程师学习热力学课程。第三组，拥有物理教育学士学位的教师，也修读了高级物理课程以及（基于微积分的）入门课程，与物理学学士的同伴们一起学习。大多数教师修读过微积分和线性代数课程，最先进的水平是电气工程和物理专业毕业生的水平。鉴于申请者需要至少两年的教学经验，而且对许多申请者来说教学是第二职业，他们获得学位后已经过去2至20年。

该项目对高级内容课程的重视使其有别于以色列其他（无论文）理科硕士科学教育项目。考虑到教师的背景，面对这类课程对他们来说是一个重大挑战。因此，他们选择申请该项目而不是要求较低的其他选择，表明他们希望提升物理知识的动机，这一点在申请面试中也提到了。

在内容方面，入读该项目的教师在第一学期之前参加一个关于“物理数学”的预备工作坊。在项目期间，除了在一个活跃实验室进行为期一周的实验项目外，教师还参加物理高级课程：经典力学、电动力学、量子力学、统计力学以及其他较小课程，如应用光学、天体物理学以及粒子和核物理。

**IV. 方法论**

我们这里的目标是揭示指导教师的考虑因素，构建关于教师指导教师认为重要的数学与物理之间相互作用的特征。我们强调，我们的目标不是详细研究每位指导教师在该项目教学过程中所经历的过程，而是“收集”他们所传达的相互作用的各个方面。他们长期参与该项目使得他们的回答与教师教育相关。因此，我们旨在既为数学与物理之间相互作用的文献做出贡献，也为教师专业发展项目的设计者提供信息。下面，我们详细介绍我们采用的数据收集和分析方法。

**A. 方法**

我们对该项目物理课程的所有（共5位）指导教师进行了半结构化访谈：Shalom、Omer、Ben、Andrew和Hilda（均为化名）。我们询问了指导教师关于他们课程的主要目标、面临的挑战以及他们试图在教师身上引发的变革过程。问题见补充材料[43]。所有访谈均被完整转录。在数据分析中，第一作者在自上而下的结构性与技术性方面（Pietrocola [3]和Karam [5]）之外提出了类别。受到Palmgren和Rasa [6]以及Koerfer等人[7]工作的启发，我们开始识别相互作用的不同方面如何体现，从而从一次访谈中自下而上地识别出代码。研究团队讨论了提议的方案，阐明了其定义，随后对所有访谈进行了编码。团队最终达成了一致的编码手册。此外，第一作者和另一位研究者（研究团队之外）独立地对一次访谈进行了编码。最初，他们在85%的编码上达成一致。经过共同讨论，一致性提高到92%。

作为该项目的前助教和WIS物理系的博士毕业生，第一作者与指导教师们早有交往，与受访者建立了共同语言。可能的偏见由研究团队的其他成员平衡。特别是，第二作者在该项目中教授教学内容课程，并且是其“班主任”，就项目相关问题与所有教师直接接触。

**B. 参与者**

既然我们已经介绍了研究方法，我们可以继续介绍指导教师和课程本身。就本文而言，我们将重点关注两位指导教师Shalom和Omer的案例研究，他们在该项目中教授主要物理课程超过5年。他们与教师的互动时间最长，他们的访谈提供了关于数学与物理之间相互作用的最丰富数据。在相关之处，我们也会提及其他指导教师的例子——与案例研究指导教师一致或不一致。

Shalom是荣休教授，也是该项目的创始人之一。他最初教授量子力学、经典力学、固态物理学（该课程后来从项目中移除）和物理数学课程。有时，他也教授统计物理课程中的几节课。今天，他仍然教授量子力学和经典力学课程。他不仅在该项目的建立中发挥了重要作用，而且对其宗旨的形成也产生了重大影响：加强教师的物理知识。至今，他仍是该项目的“艺术总监”（正如他所称呼的），负责从物理系招募指导教师。用他的话说，他主要选择“有教学才能”的指导教师。他对新指导教师的主要指导是：“你应该教的是那些会留在他们身上的东西……他们会带回学校……去激发学生的兴趣。”同时，他一直在WIS物理系教授两门主要量子力学课程之一（研究生水平）。他最近获得了物理系卓越教学奖。在该项目早期，他得到了WIS科学教学系成员的支持。他们观察他的课程并提供关于如何调整教学以适应教师受众的反馈。

该项目量子力学课程的教学大纲涵盖多个主题。首先，单粒子量子力学：从德布罗意假设推导薛定谔方程，到氢原子中电子的能级，并扩展到元素周期表。其次，场的量子化，包括电磁场，第三，光与物质的相互作用。

经典力学课程基于牛顿、拉格朗日和哈密顿表述。特别地，教学大纲强调对称性和守恒定律、小振动、两体问题、刚体运动，以及时间允许时的狭义相对论。在整个课程中，重点不在于复杂的数学技巧，而在于“组织[教师]的理解”。

物理数学课程，作为第一学期前一周开始的工作坊，复习教师的数学技巧。涵盖复数、曲线坐标、向量分析、矩阵以及（常微分和偏微分）微分方程。重要的是，它们是在物理背景下教授的，例如，矩阵作为体现旋转的数学对象出现。

Omer是非平衡统计物理学的研究者。在获得理论物理学硕士学位后，他继续攻读实验光学博士学位。在博士期间，他辅导高中学生准备期末考试，在那里他遇到了“所教内容中的一系列问题”。同时，他也是该项目在Shalom手下的助教。在获得WIS教授职位后，他开始在物理系教授研究生统计物理。几年前，他开始在该项目教授同一科目。去年，他还教授了电动力学课程。

统计物理课程以计算建模为基础。教师使用牛顿方程模拟盒中二维圆盘气体的行为。他们将微观方程与宏观变量（如温度和压力）联系起来。电动力学课程强调电磁学与狭义相对论之间的联系，并将麦克斯韦方程组指定为该学科的统一框架。

其他指导教师将补充先前的案例研究，如下所述。Ben是理论天体物理学家，教授天体物理学课程，一门是为物理研究生开设的，另一门是为该项目中的教师开设的。Andrew 是研究囚禁离子的实验研究小组的科学家，教授应用光学课程。Hilda 是研究暗物质的实验研究小组的科学家。她目前教授物理数学课程，以及粒子物理与核物理课程。我们要强调的是，该项目中的教学是自愿的。项目中的所有教师都是出于自愿而教学，旨在通过“赋权”教师和“丰富他们的知识”来改善学校教学，正如 Andrew 所说。除了 Omer 有当过学校教师的经验，以及 Shalom 曾接受过科学教学系的指导外，没有其他教师接受过针对教师群体的专门 PCK 培训。尽管如此，由于所有教师长期与教师受众接触，他们的意见对类别的细化仍然具有相关性。V. 调查结果对访谈的分析揭示了教师认为对教师而言重要的数学与物理之间相互作用的几个方面。表 I 包含了我们分析得出的代码。其中一些重现了文献中已经讨论过的方面，而另一些则扩展了现有的框架。以下小节将描述每个方面。它们从文献中已详细描述的方面（第 V A–V C 节）开始，接着是我们加强描述的方面（第 V D–V F 节），最后是文献中不显著的方面（第 V G 和 V H 节）。表 I. 从访谈中得出的、代表数学与物理之间相互作用不同方面的类别。前三个是已知的，中间三个是对现有方面的扩展，最后两个在物理教育研究文献中并不显著。类别 描述 示例 一致性 数学连接看似不同的现象：光线与波动光学、（量子）力学与波、电与磁 “薛定谔是怎么猜出他的方程的？德布罗意说是波。所以我们看我们知道的方程。那里有一个折射率……它是，还记得吗？……就这样我们发现了薛定谔方程” 计算工具 数学用于技术性地解决问题。数学技巧被明确地处理 “你如何真正坐下来计算这个乘以这个等于这个……” 提取 使用数学提供新的解释、预测新现象 “高斯定律……这是谈论它的地方……如果我们生活在二维空间，静电学将会是一场灾难！” 几何考虑 对称性或几何对物理量或可能预测的影响及其普遍性 “我有两个向量，我想定义一个乘积。我有九个选项，对吧？我保留什么？……谁在乎呢！所以正确的方式是因为我们有对称性——旋转，对吧？” 近似 意识到不同理论（例如在光学中）的有效性限制，以及其扩展或缩减 “你意识到吗……在这些线（光线）背后，是波？” 表示 数学允许在方程、图和其他表示（例如布洛赫球、视觉模拟）之间转换 “我不是喜欢（形式）数学的人，对于物理学家来说……在布洛赫球上跟我说话” 具体化 推导和运算（导数、积分、矩阵乘法）基于物理意义 “我们现在知道发生了什么，我们想知道短时间内会发生什么，对吧？我们必须有导数” 冲突 新信息与旧信息冲突，或同一物理量出现在两个不同情境中，需要物理思维 “你教静电学，然后跳到直流电路。首先你有库仑力，意味着有加速度，突然电流（速度）与电压线性相关……什么？！” A. 一致性在我们访谈中，数学与物理之间相互作用最普遍的是一致性——数学如何连接看似不同的现象或理论。例如，哈密顿力学作为统计力学和量子力学的基础，或牛顿力学导致混沌和热力学。正如 Omer 所说：哈密顿力学或所有那些形式主义，在概念上可能非常有用，后来用于统计力学、量子力学。事实上，如果你理解力学，理解两体碰撞，你就可以一直教温度……你在课堂上谈论碰撞，但在三维空间中，当有许多粒子时……它很快变得混乱。另一个例子是麦克斯韦方程组作为看似无关的电和磁的统一框架：我也想达到麦克斯韦方程组，这样他们就能看到所有这些分开的东西……在学校里你谈论……学年初的静电学和学年末的磁场，整个图景是什么样的。Shalom 还揭示了波与量子力学之间的另一种关系：我刚刚注意到……人们不理解光线和波之间的关系。而当一个人理解……不是解方程，而是画图并计算沿所有这些光线的相位——他学到很多很多有趣的东西，并且也自然地走向薛定谔的方向，因为那正是他做的方式。另外两位教师也提到了一致性。Andrew 谈到了理解更大背景而不是特定主题：如果他们在学校教几何光学……那么他们也应该知道那些图形之外的东西……以及它如何与其他事物联系，以及局限性是什么。Ben 谈到了流体静压力是恒星物理学以及我们日常经验中的关键因素：后来在恒星的背景下……像物理学中相当核心的主题，你需要处理的是压力。因为你想理解恒星的流体静力学结构……但压力就是你可以感受到的东西，你可以在课堂上感知它、测量它、理解它的性质，然后也在恒星的背景下。很酷的是，它既在这里，也在恒星中。最后，Shalom 以如下方式表达了他对物理学的兴奋和热爱：我称之为物理学的浪漫……即你被你所发现的各种联系和深层见解所困惑和惊叹。B. 计算工具不出所料，数学在物理学中最基本的作用出现了，尽管相对于其他作用，出现次数较少。这个类别总结了为达到直接目标（如解方程、求逆矩阵或计算矢量场的散度）而常规应用数学技巧的情况。特别地，这些计算是在不考虑不同运算的含义、也没有任何物理推理的情况下完成的。另一方面，它们绝对不被视为过时！有趣的是，受访者就充分掌握数学技巧的重要性提出了两个论点。Omer 提到拉格朗日力学是解决学生可能提出的课外问题的重要工具，借鉴了他作为高中教师的经验：但当学生带着一个他们无法解决的问题来时，解决方案要么是简单的牛顿力学，要么是拉格朗日力学。它是一个工具，这样至少我知道答案，我知道发生了什么，我知道如何引导他们……我可以举这样的例子：珠子在旋转环上滑动……在拉格朗日力学中，你很快很容易就能找到答案。Shalom 提到，熟悉这些技术细节而不深入细节，对于减少教师在他们物理课程中遇到这些内容时的认知负担很重要：我非常努力地避免在物理数学课程中深入太多技术细节。另一方面，要这样做，这样当（教师）在后面的物理课程中写旋度或散度时，学生不会害怕。C. 提取教师们多次提到的另一个方面是使用数学产生新知识。我们从这个类别取自 Palmgren 和 Rasa 的定义，即“一个数学表示或其修改产生新信息”([6], p. 377)。他们讨论在问题解决中的提取，以及在理论物理中使用数学揭示新结构或解释。Shalom 描述了基于将已知原理扩展到新场景的提取，例如动量守恒表明不仅粒子，而且场也必须具有动量：相对论力学中发生了什么？实际上，我不是从这里作用到那里（超距作用），我是从这里到这里到这里到这里作用（描述扰动的有限传播速度）。那么如果我相信动量守恒，动量必须流动。它流到哪里？它流到场里！正如我们稍后在第 V E 节提到的，他还告诉学生，意识到物理理论的适用性限制会激发探索超出这些限制的领域，可能导致提取。Omer 使用数值模拟揭示宏观热力学背后的“隐藏”微观物理定律：与日常生活相关的热力学，大体上……源于他们在力学中教的东西……你可以和学生一起这样做……不是解析地，而是通过模拟。通过求解盒中许多粒子的微观动力学牛顿方程，他表明学校里教的两体碰撞是宏观热力学（即温度和压力）的根源。他还教了麦克斯韦方程组如何预测电磁波：给出麦克斯韦方程组的整体图景，所有那些放在一起……向他们展示从那里可以推导出来，你可以解释什么是光，什么是电磁波。同样地，他利用高斯定律的普遍性来研究二维静电学：“比如说，高斯定律……它意味着什么……如果我们生活在二维空间，静电学将会是一场灾难！”。暗示当许多粒子相互作用时出现混沌，他补充道：“（教师可以说）看，这里正在发生一些远远超出我们在课堂上做的事情……”。D. 几何考虑数学与物理之间相互作用的一个基本方面是，基于诺特定理，对称性与守恒定律之间的深层联系。此外，这些关系以及下面举例的一些其他关系的普遍性赋予了它们在物理推理中更高的地位。在第 V G 节中，我们将提到 Omer 坚持在极限几何情况下定义矢量场的散度和旋度。重要的是，这些定义，而不是其技术性的欧几里得形式，是普遍的，即适用于任何维度和几何：目标是让他们有一个物理的、直观的、几何的图景，这就是为什么这些定义与这个图景接触对我来说很重要。此外，高斯定律中体现的拓扑学数学领域及其在任何维度上的适用性，使其成为 Omer 的重要关注点：我给你一个点，你怎么知道它在内部还是外部？……这是非常非常深刻的东西。它大概是你高中时看到的最深刻的数学……所以这是打开它并谈论它、理解它为什么如此深刻、如果我们生活在不同维数下会发生什么的地方……这很好！对称性在物理学中可能扮演着更深的角色，因为它们约束了描述现象所允许的数学对象：标量、矢量和更高阶张量，正如 Shalom 在思考矢量导数时所说：我有矢量的三个分量，我可以在三个方向上对它们求导……我有九个导数。我称什么为导数？我在导数中保留什么？然后慢慢地，我解释留下的是当从一个参考系移动到另一个参考系时简单变换的东西。因为那是我发明矢量的原因……所以正确的方式是因为我们有对称性——旋转，对吧？然后我解释了在二维中它会完全不同！Hilda 回应了对称性（等价于守恒定律）如何约束她在作业问题中“游戏规则”：说如果相互作用是这样那样的，给定守恒定律，这是可能的还是不可能的。总之，我们看到几何学是物理学中的一条共同主线，它既体现了句法（可用的数学对象），也体现了语义（适用于任何维度的普遍定律）。E. 近似——简化与探索的邀请近似及其适用范围的认知构成了数学与物理学相互作用的另一个方面，体现在两个层面上。第一个层面是将一个更全面的理论简化为仅适用于原始有效域某个子集的理论，通常意味着简化，例如从波动光学到射线光学，正如Shalom所提到的：透镜中有许多平行线进入，比如，进入透镜然后以一定角度离开并聚焦……你意识到没有……所有这些线的背后，是波吗？正如Andrew也说的：几何光学并非错误……智慧在于[知道]它何时有效……就我而言，所有物理学都是如此。近似发挥重要作用的第二个方面与另一个方面有关，即提取（见第V.C节）。认识到物理定律实际上是近似，其适用性有限，这便促使人们将理论扩展到当前已知界限之外。这种扩展必须在适当的极限下还原为熟悉的物理定律。特别是，Shalom给出的一个例子是修正牛顿动力学（MOND，[44]），其中对小加速度下牛顿定律的非平凡修正解释了观测到的星系旋转曲线：为什么是，为什么不呢？然后我告诉他们[MOND]的故事，因为在小加速度下[动力学被修正了]……我只是说，这里可以修正它，做各种事情，甚至解释现象。F. 表示我们接下来要讨论的方面是数学如何让物理学家以不同形式表示物理现象。特别是，Omer将数值模拟视为视觉实验，为那些从运动方程中不太容易获取的信息提供了一个抓手：首先是“看”。如果我做了实验，会发生什么。在我看来，这就是物理学的起点……在视频中你能很快获得直觉。在“动能变成势能，再变回动能”中，它仍然有些抽象。此外，Hilda向教师们展示了如何模拟热方程以获取热扩散的途径：“这在教学上有价值……当你与他们一起进行数值过程时，它展示了那里发生的过程。”然而，Omer警告说某些表示可能具有误导性：……在高斯定律中，当他们在白板上画电场线并计数时，或者至少书上是这样画的，当然这种画法并不有效……画是二维的，而现实是三维的，[电场线的]密度看起来完全不同。他指的是电场线密度（场强的一个指标）在不同维度上有所不同。在二维中，电场衰减为，而在三维中，它衰减为。Shalom主张在教授量子力学时画波，因为图像描述对学生来说易于理解：[我希望他们把它带到学校]因为在量子[力学]中是波，你画出来，我相信波会帮助他们……而且波通常量子化。为什么它们是量子化的？因为它们不喜欢像你想要的那样呆在一个封闭空间里，只有适合它们的时候才行，这就是它们的量子化。他说，在封闭区域（比如势阱或弦）中画出波有助于通过干涉理解它们的量子化。G. 在物理背景中的具体化在物理学中使用数学为理解数学运算提供了一个具体的背景，例如，导数和积分可以分别被视为变化率和累积贡献[45,46]。在我们的访谈中，出现了其他数学运算。矢量场的散度和旋度分别被定义为通量除以体积和环量除以面积的极限，正如Omer所说：因为首先，这是这些东西的物理意义，其次，因为电动力学是在曲线坐标下做的……他对曲线坐标的评论与他第V.D节中的陈述有关，“几何图像”允许一种普遍视角。另一方面，Shalom提到在矢量变换的背景下教授矩阵和行列式：当我教他们矢量如何变换……我告诉他们“这里是，这里是”……啊，[所以你需要一个]矩阵……然后如果我想求逆，这里，我知道从到……所以我已经有了一个行列式……最后，Shalom提到傅里叶变换在一个作业题中为“何时波才是波”这个问题提供了答案。更准确地说，它定义了波的频率：这里，这个东西[画一条截断的正弦曲线]——这是波还是不是？那这个呢[画一条更长的截断正弦曲线]？这是波吗？然后我给他们解释区别，对吧？区别就在傅里叶变换里，对吧？所以我说，最终，真正的波是延伸到无穷远的……当这个东西[截断曲线]变短时，频率就更多了。Hilda总结了她教授物理数学课程的方法：“这就是[某个数学运算]的做法。这在物理方面意味着什么。”许多引语，尤其是第一条，表明了物理学家如何融合物理学和数学，这种做法在学生解题背景下已受到关注[17,19]。H. 作为发现机制的冲突访谈中出现的方面最不寻常的是利用数学所指示的冲突作为发现的载体。理论结果必须一致，当它们不一致时，必须问：为什么？例如，Shalom提到质量的二重角色，一次作为惯性质量，另一次作为引力“电荷”：什么是？啊，更多物质……但这里有混淆，对吧？因为物质通常表示地球对我施加多大的引力……引力质量并不神奇——它是一种电荷……惯性质量是……当你推我时我反抗？这到底是怎么回事？你知道，这确实不是显而易见的事情。同一个量扮演两个看似不同的角色，这促使人们探究两者的起源。这种深层联系可以被视为广义相对论的先声，爱因斯坦意识到引力是一种虚构力。同样，欧姆定律与库仑定律不一致，因为电压与速度保持着不同的关系，正如Omer所说：你教静电学，然后跳到直流电路……即使你说电压与你在静电学中教的电势差有关，但完全、完全、完全不清楚……首先你有库仑力，意味着有加速度，突然电流与电压成线性关系——什么？在欧姆定律中，电势差与电流（速度）成正比，而在库仑定律中，它与加速度成正比。一旦在第一种情况下引入阻力，导致终端速度出现在电流中，一致性就可以恢复。德鲁德模型是将散射纳入电流的一种方法[47]。Omer还提到一个历史上重要的例子——洛伦兹力与伽利略不变性之间的冲突：例如洛伦兹力，力依赖于速度，而在十一年级，前一年，我们学到速度是……我可以选择任何参考系只要它是惯性的，速度是[变化的，而力不应该变]……所以突然事情不成立了。正是洛伦兹力对速度的依赖方式最终导致了狭义相对论的诞生，它再次恢复了一致性。最后，Shalom提到另一个关于经典轨迹的基本冲突例子：例如，甚至考虑最小作用量[原理]……系统怎么知道要去哪里？……牛顿说……一步一步地。但后来……哈密顿来了，说还有这些路径[非经典轨迹]……这是怎么回事？你怎么突然全局地知道你要去哪里？然后突然费曼来了，说“不，不，不，不是……每条路径都有概率！”在这里，最小作用量原理允许“扫描”所有可能的轨迹，这意味着系统不知何故知道如何“选择”对应于极值作用量的那条，这与牛顿的微分表述形成了鲜明对比，后者利用导数的初始条件来确定性地预测时间演化。最终，费曼的路径积分表述为经典轨迹在作用量远大于时对相长干涉贡献最大提供了概念上清晰的解释[48]。VI. 讨论数学与物理学之间的相互作用是一个丰富的研究领域，并且正变得越来越深入[2]。在本研究中，由于我们所研究的独特背景——一个面向物理教师的硕士项目，强调高级学科内容——我们能够突出相互作用中在文献中不显著且可能与教学相关的方面。不同方面的相互作用示意如图1所示。我们现在将我们的发现与先前的工作联系起来。图1. 相互作用的不同方面示意图，如我们的发现所示。第一个方面，数学为物理学提供了一致的框架，已在文献中讨论过，例如Palmgren和Rasa[6]将其角色描述为“句法结构”和“表示与语义”。在这里，我们用来自教师讲师的经验证据强化了他们基于历史的发现，这些教师讲师利用他们作为活跃研究物理学家的知识，强调物理学不同领域之间的联系。例如，他们讨论压强如何作为一个变量既在地球上又在恒星中发挥作用（Ben提到），或者波的数学如何同时构成光学和量子力学的基础。Shalom诗意地将其表达为“物理学的浪漫”。第二个方面，数学作为计算工具，在STEM领域中无处不在，正如Koerfer等人[7]所示，并非物理学独有。事实上，大多数物理学习者认为数学主要局限于这一角色[3,6]。由于数学与物理学之间相互作用的丰富结构方面，人们可能认为物理学家将技术性角色视为“次等”。然而，正如我们在这里发现的，该项目教师讲师的观点并非如此单一。事实上，人们不禁会想到Mermin赋予哥本哈根诠释量子力学的标志性“闭嘴，算吧！”[49]，表明计算在物理研究中的重要作用。例如，Omer根据自身经验，认为高级形式主义（如拉格朗日力学）及其相关技术对于教师在学生遇到课外问题时帮助他们很重要。Shalom挑战了Pietrocola[3]所倡导的观点，即先教数学后教物理会固化数学的技术性角色。他声称，早期接触技术细节有助于学习者在后续学习中关注基本物理而非技术。特别是，Hilda目前教授物理数学课程，她同意Shalom的观点，即她课程的目标是让教师“跟上”数学技术的步伐，以便他们能“专注于物理，而不是……如何对角化矩阵。”事实上，关于数学与物理在教学中的整合程度的争论仍在继续[27]。在这里，我们强调受访者对高级技术潜力（如用拉格朗日力学解决问题）的建议，以帮助教师指导更有好奇心的学生。我们的第三个方面是提取。利用数学探索当前知识之外是发现背后的驱动力。如果我们没有数学，我们就无法做出超出“A越多，B越多”的陈述[14]。在我们的访谈中，提取有多种表现。首先，将一项基本原则应用于一个看似与之无关的情境，例如Shalom所讨论的将动量守恒应用于场，或Omer所提及的在二维中应用高斯定律。其次，求解看似简单的多粒子方程，从单体或少体极限过渡到多体极限。在此背景下，计算机模拟揭示出，诸如温度这类宏观现象的物理学并不比牛顿方程更神秘，这正是Omer的一个关键目标。第三，操控方程以作出预测，例如Omer曾从麦克斯韦方程组推导出电磁波。“提取”被Palmgren和Rasa识别为[6]。此外，在Koerfer等人的著作中，它是“理解的关键”与“发展的动因”的结合体[7]。

第四个方面是几何考量在物理学中所发挥的深远作用。鉴于其至关重要性，我们决定为其表现形式单独设立一个类别。例如，规范对称性是电磁场理论基础上的一个优美概念，并成为量子色动力学的基础[50]。认识到物理学的大部分内容可通过几何推理推导，Hestenes[51]提出克利福德代数作为数学与物理学的统一语言。类似思想的重要性也在我们的发现中得到体现，因为Shalom和Omer均提到物理学的“几何图像”对物理学家而言是有用的。一方面，它提供了可在任意维度中引导思维的普适视角；另一方面，它因对称性而规定了物理定律的形式。因此，几何推理同时发挥语义和句法作用。特别是，散度的几何定义，即体积趋于零时通量除以体积的极限，已在数学/物理综合课程中讨论过其益处[52]。使用几何思考可归入Palmgren和Rasa的“推理与修改”角色，但我们认为它超越了“表征的修改”。我们声称几何论证处于他们提及的极端“语义推理”；根据其定义，这种推理“高度依赖于推理者对表征的理解，以及表征如何连接并映射到所研究系统的物理背景理论”。

Asher Peres对量子信息领域贡献卓著，他写道：“物理学并非精确科学，而是近似的科学”[53]，这指向我们的第五个方面。确实，近似方法构成了物理中数学建模的重要部分[54]。然而，其作用不仅限于简化。物理学中近似的一个重要方面与提取密切相关。正如Shalom用MOND的例子所阐明[44]，对物理学家所作近似的认识是进一步考察其失效情形的线索。有趣的是，文献中提及近似作为探索邀请的情况很少，尽管它在研究中普遍存在；例如，参见[55]，其中研究人员开发了一种超越先前分析方法的近似方案。

不同表征（如方程、图表和图解）的熟练运用是物理学专业能力的标志[56]。例如，在同一表征内，有目的的转换会根据学科旨趣改变表征的含义，使其“比初始形式更利于创造与传播知识”，正如Kapodistrias和Airey在操作弗里德曼方程语境中的定义[57]。在我们的访谈中，计算建模作为另一种表征出现，它非静态而是动态的。事实上，教授天体物理学的Ben说：“在物理学中，我们谈论的许多观念……并不复杂，但需要一些……对空间的想象”。因此，我们建议计算机模拟可作为那些不擅于“想象”者的辅助工具，如他所说。此外，它们允许物理过程的可视化和虚拟实验，从而促进理解，如Omer所指出的。在Palmgren等人近期的系统综述中[2]，他们确定了数学在告知实验设计和解释实验结果方面的作用。虚拟实验是该角色的重要应用。

物理学将抽象的数学运算具体化是另一个方面。通过明确地将诸如矢量场的散度与通过闭合包络的通量等运算联系起来，学习者可获得几何心智模型[58]，根据Omer，这正是散度背后的正确物理含义。此外，波频率的概念通常与两个连续最大值间的时间差相关，而未明确提及脉冲长度。傅里叶变换将定义置于更广泛的语境中，适用于任意长度的脉冲。Shalom在其名为“何时波是波？”的作业中巧妙地挑战了基本定义。在具体化方面，数学与物理的互动确实是双向的，正如我们受访者的例子所展示：物理学以几何意义等具体化数学运算，而数学将原始的具体定义扩展到更复杂的情形。注意，物理在此为数学所提供的“服务”在讨论数学在物理中作用的文献中并不突出。相反，在数学教育文献中，Towns等人[59]研究了使用微积分在物理化学中建构意义，以及利用物理化学背景来建构微积分概念意义的互惠效益。类似概念是数学与物理的融合[17,60]，可视为该方面在问题解决特定语境中的应用。

我们最不寻常的发现是冲突作为发现机制。有时，方程看似相互矛盾或与基本原理相悖。以下两个困扰Omer的案例，源自其高中教师的经历。其一，欧姆定律中的电压与载流子速度成正比，而根据库仑定律，它表示加速度。通过引入阻力，冲突得以解决并恢复一致性。在更基本的层面上，根据热力学第二定律向平衡的弛豫支配着第一种情况[61]。其二，洛伦兹力对速度的依赖与伽利略不变性不匹配，是物理学家追求一致性最终导致理论物理学根本变革（狭义相对论的出现）的著名例子。在其他情况下，不同形式主义看似不一致，正如Shalom关于拉格朗日力学与牛顿力学的讨论。在哈密顿最小作用量表述中所有允许路径中，系统“选择”牛顿轨迹，似乎赋予了无生命物体意识。费曼的路径积分表述通过依赖量子力学的概念性清晰解释调和了表面冲突[48]。正是数学指出了这些不一致并推动其解决。在Palmgren和Rasa的特征描述中，“提取”被描述为修改表征以获取先前无法获得的信息。另一方面，我们强调数学表达式或形式主义所指示的冲突是另一种发现机制。或许冲突可视为“提取”的前兆，在通往解决的途中。

我们对硕士课程中教师指导者（他们也是活跃的研究型物理学家）的访谈，产生了大量关于数学与物理互动方面，教师希望传达给教师的内容。先前工作在概念层面提供了广泛的特征描述，对教学具有相当广泛的意义。我们铭记Palmgren和Rasa的邀请：“这也会迫使我们重新思考物理教学，考虑这种纠缠（互动），并在教学中明确体现它”（[6]，p.379）。因此，我们提出我们确定的方面作为可能的学习目标，在远不止技术层面更广泛的背景下，明确体现数学与物理间的联系。VII. 对发展的启示

我们认识到教师在培养下一代物理学家中的关键作用。因此，投资于其专业发展是物理教育研究的重要优先事项。首先，我们的发现表明，高级物理内容可使在职教师接触到“物理学家如何思考”，例如强调一致性的重要性。研究表明，高级内容知识可影响教学。例如，在化学教师专业发展中，Tuvi-Arad和Blonder研究了一个针对高中化学教师的分子对称性研讨会。让教师接触高级的对称性内容知识有助于他们“应对化学期末考试”。此外，他们自己建立了与学校课程的联系（例如，将极性和手性与对称性相关联），可能影响其教学[62]。在数学方面，Even和Mytlis研究了在完成非学术教师教育项目后开始教授高中数学的教师。这些教师后来参加了学术项目，基于访谈的研究提供了许多关于其教学在项目后如何改变的例子。例如，一位教师报告称，她现向学生呈现少量的一般反导数公式，引导他们在特定情形下使用。此前，她给予学生长长的公式列表，在学术研究期间她注意到这些是一般情况的例子[63]。

我们强烈建议将高级内容纳入专业发展项目，以展示数学与物理间丰富的互动。De Ataide和Greca已指出：“如果这些（数学与物理间的）关系对教师而言不清楚，学生很可能也无法把握其真实本质，并会采取天真的态度”（[23]，p.1406），表明教师教育在此背景下的重要性。我们的发现对高中及以后的教学有何实际意义？接下来，我们根据受访者的评论提出几项活动建议。我们的建议需在课堂教学中经实证测试。

例如，关于近似，尤其在光学中，高中教师可告知学生，射线光学是波动光学的近似，并讨论何时两者均有效，因为这两门学科均在高中教授。

数学运算的具体化可通过将导数与变化率相联系[59]，或积分与独立贡献的累积相联系[45,46]来实现。一个结合一致性、提取和冲突的活动如下。高中生面临一个难题。在力学中，他们学习到能量总是守恒，但摩擦却以某种方式从他们模拟的沿斜面下滑的质点中带走能量。那能量去哪儿了？解决方案可能是援引某种形式的热力学第二定律，可在模拟中探索，而无需明确提及熵：一个与盒中许多粒子相互作用的单个粒子会将其（部分）能量损失给“环境”，导致能量均分[64]。随着“环境”增大，能量损失也增大。

在大学阶段进行几何推理可在教授高斯定律的特殊情况（即球面）下进行，指示电场如何从点电荷的平方反比距离衰减，而球面面积按比例增加[4]。证明高斯定律对任意闭合曲面（例如，见Feynman[48]）可能是更富成效的练习。此外，将高斯定律视为普适的，然后在二维中应用同样推理将产生电场对点电荷距离的不同依赖关系，这与二维超导体中的涡旋结合-解束缚转变相关[65]。

另一个可能的提取例子，连同表征，由该项目的一位毕业生在高中采用，可能是模拟两体问题，甚至在高中后期。通过改变初始条件，学生将能解释彗星轨迹，或发现开放轨迹。导致发现的冲突演示可能是正文中提及的那些：洛伦兹力与伽利略不变性相矛盾，或欧姆定律与库仑定律相矛盾。VIII. 局限、结论与展望

我们的研究存在若干局限。首先，我们仅采访了几位教师指导者，其对教学的投入产生了有趣的发现。因此，我们得出一般性结论的能力有限。另一方面，我们看到我们的发现再现并扩展了先前对数学与物理间互动的特征描述。其次，第一作者毕业于WIS物理系，与部分受访者相当熟悉，自然会引入偏见。研究团队其他成员的参与有助于平衡这些偏见。我们已经对数学与物理之间相互作用的几个方面进行了描述，包括技术性和结构性方面，这些方面是教师教育者认为对教师重要的。该项目指导教师作为活跃物理学家的学科视角，不一定会在其他项目中向教师明确传达。特别是，我们的一位受访者，曾是高中物理教师，表示高级形式化及其相关技巧曾帮助他在学校支持好奇心强的学生。高级技巧也可能帮助其他教师。然而，关于在教学中整合数学和物理的讨论仍未解决。另一位受访者质疑“先学数学再学物理会延续数学在物理中的技术角色”这一观点[3]。他认为，这样可以让学习者在学习物理时专注于结构性方面。例如，他们可能注意到我们所发现的方面：冲突如何导致发现，近似如何成为探索的邀请，或几何在物理中的普遍作用。此外，我们提出了几个关于如何在高中或大学课堂中实施我们发现的建议。我们工作中缺少一个重要拼图——从该项目毕业的教师的视角。如第一节E所述，我们计划采访该项目的毕业生，以了解他们如何看待数学与物理相互作用的不同方面，以及他们如何在教学中体现这些方面。