Floquet生成混合阶拓扑和类似?2的双极局域化

《Physical Review Research》：Floquet generation of hybrid-order topology and ? 2 -like bipolar localization

　　周期性驱动为设计拓扑相提供了一种强大的工具，甚至能够诱导在静态条件下无法实现的相变。在本工作中，我们证明，将适当的驱动方案应用于Benalcazar-Bernevig-Hughes（BBH）模型（一个具有π通量诱导的投影????对称性的典型四极绝缘体），会产生一种混合阶拓扑相，其中色散的一阶边缘态和局域化的高阶角态被证明在不同于能隙的准能处共存。此外，将该场景扩展到非互易跃迁诱导的非厄米情形，我们揭示了一种类??趋肤效应，其特征是从单极到双极本征态局域化的尖锐转变。值得注意的是，这一现象（在自旋系统中通常被确立为一种特权）在这里纯粹源于嵌入的规范结构与弗洛凯重整化对称约束之间的相互作用，而不涉及物理自旋自由度。此外，在驱动非厄米情形中，破缺的体边对应关系可以通过计算二维广义布里渊区得以恢复，我们通过到一维有效问题的对称性约化映射来构造该布里渊区。由此得到的非布洛赫不变量准确地捕捉了高阶拓扑以及从单极到双极的转变。这些发现揭示了周期性驱动作为一种通用且可控的工具，用于在单一统一平台上塑造高阶拓扑、对称性嬗变和非厄米趋肤物理之间的相互作用。

一、引言

Altland-Zirnbauer（AZ）分类[1–3]为表征物质的拓扑相提供了系统性的基础，其中非平凡的体不变量通过体边对应（BBC）保证了鲁棒边界态的存在[4–12]。晶体对称性的引入进一步扩展了这一拓扑图景，产生了高阶拓扑相，它们在下维边界（如棱和角）处承载受保护的模式[12–24]。一个典型的例子是Benalcazar-Bernevig-Hughes（BBH）模型[25–28]，这是一个由镜面或反演对称性保护的量子化四极绝缘体，尽管它属于BDI对称类[在二维（2D）中一阶平凡]，但在正方形几何结构中承载鲁棒的零维角态[12,29]。除了作为典型的高阶拓扑绝缘体之外，BBH模型还包含每个普拉克特嵌入的通量，可解释为有效的规范场[30–32]，它修正了反幺正对称代数，并产生了奇偶时间（????）对称性的非传统实现[30,33–35]。在传统系统中，????2 = ±1，其中“+”号适用于无自旋粒子，“?”号适用于有自旋粒子，后者支撑Kramers简并和螺旋边缘模。值得注意的是，规范结构反转了这一对应关系：无自旋BBH晶格实现了具有????2 = ?1的有自旋类代数，而有自旋变体可能满足????2 = +1，这是一种纯粹由晶格几何驱动的对称性嬗变，无需涉及物理自旋。然而，静态BBH模型在二维中仍然是一阶平凡的。仅有类自旋????代数并不能产生色散边缘模或其他有自旋拓扑相的特征。因此，在静态情形中，真正有自旋的边界现象[36,37]仍然缺失。这种非传统对称代数与受限体拓扑响应之间的张力引发了一个基本问题：能否在不改变微观对称性的情况下，动态地将高阶晶体绝缘体变形为同时承载常规（一阶）和高阶边界模的相？

周期性驱动系统提供了克服这种限制的精确途径[38–40]。准能谱允许在零和π准能处同时存在独立的拓扑能隙，因此即使驱动周期内的每个瞬时哈密顿量都是平凡的，异常边界模也能出现[41–43]。至关重要的是，时间调制还可以重组弗洛凯算符的有效对称约束，促进静态极限下严格禁止的修改边界现象[44–48]。基于这些前景，我们研究了一个周期性驱动的BBH晶格，并证明适当的驱动方案可以动态激活一阶拓扑，同时保留高阶四极特性，从而产生混合阶拓扑相，其中色散边缘态与对称保护的角态在准能的不同扇区中共存，这种安排在静态极限下根本不可达。

一旦放弃厄米性，这一图景变得更加丰富，因为现实平台不可避免地涉及增益、损耗或非互易输运[49–57]。在这种系统中，非厄米趋肤效应（NHSE），即大量体本征态在系统边界处指数积累[36,57–61]，可能使传统BBC失效，并且在有自旋系统中，对称约束进一步稳定具有双极局域化的类??趋肤效应[36,62–64]。将我们的驱动BBH框架扩展到非互易设置，我们揭示了一种在有效无自旋平台内的显著类??趋肤效应。周期性驱动进一步控制从单极局域化（所有本征态在单个角处积累）到双极局域化（对称相关扇区在相对角处）的转变[65]，甚至可以完全抑制趋肤效应，恢复扩展体谱。由于显著的谱迁移使标准布洛赫框架失效，一致的拓扑表征需要非布洛赫形式，其拓扑定义在广义布里渊区（GBZ）上[66–68]。尽管GBZ构造在1D中已经很成熟[68–72]，但在二维中扩展它更具挑战性。在这里，我们利用潜在的镜面对称性将二维问题约化为有效的一维表示，从而能够构造弗洛凯GBZ和相应的非厄米拓扑不变量。

总而言之，我们的研究确立了周期性驱动作为一个统一框架，它能够：（1）在一阶拓扑平凡晶格中激活一阶拓扑；（2）实现边缘态和角态的共存；（3）在有效无自旋平台中实现有自旋对称代数；（4）控制非厄米趋肤现象，包括类??局域化和单极-双极转变。更广泛地说，我们的结果揭示了晶体对称性、弗洛凯工程和非厄米性之间的相互作用如何在平衡情形之外重塑对称性分类和边界对应关系。

本文的其余部分组织如下：第II节介绍模型和涌现的????对称代数；第III节介绍驱动方案和混合阶相的出现；第IV节分析非厄米单极-双极趋肤转变，并发展非布洛赫弗洛凯GBZ和拓扑不变量；第V节为驱动模型提出一个拓扑电路平台；第VI节总结主要发现并提供结论性评述。最后，附录A和B分别提供了驱动诱导对称性嬗变的详细描述以及用于弗洛凯GBZ构造的有效????向量的推导。

二、模型哈密顿量与涌现的????对称性

我们考虑一个在方形晶格上的二维二阶拓扑绝缘体的最小紧束缚实现（如图1所示），其中每个晶胞容纳四个内部（轨道）自由度。晶格几何结构结合了非对称的胞内跃迁以及交错相位配置，该配置有效地通过每个普拉克特引入π通量（如图1所示，虚线表示与实线对应部分相差π相位的跃迁振幅）。这种通量模式起着核心作用，赋予模型一个非平凡的????规范结构，从而微妙地重塑其对称性。相应的实空间哈密顿量形式为[25–28]

(1)

其中c_{??,α}^?在晶胞??内的子晶格α上产生费米子，??_x和??_y是原始晶格矢量。参数γ控制胞间跃迁，而λ_{x,y}描述胞内振幅，其中κ编码非互易性。在动量空间中，定义??=(k_x,k_y)，布洛赫哈密顿量可以写成紧凑形式

(2)

其中σ_i和τ_i是作用在轨道子空间上的泡利矩阵。

图1：一个π通量方形晶格的示意图，胞间跃迁振幅为γ，非互易胞内跃迁振幅为λ_{x,y}。虚线键表示相对于实线键相差π相位的跃迁过程。这种交错相位模式有效地引入了π通量规范结构，从而修改了对称代数，并因此改变了系统的拓扑分类。

在这个阶段，为了阐明其固有的拓扑特性，我们首先关注厄米极限，即κ=0。在这个情形中，该模型实现了一个支持零能角态的四极绝缘体（当γ>1时），并以量子化的体四极矩为特征。重要的是，这种高阶拓扑由晶体对称性保护，而非仅由内部对称性保护。特别地，哈密顿量满足镜面旋转对称性[28]：

(3)

其中

(4)

它进一步服从手性对称性

(5)

同时具有本征粒子-空穴对称性??=τ_x??和逆时间对称性??=??（??表示复共轭）。因此，该模型在AZ分类中属于BDI类[3]。在二维空间中，这个对称类是一阶平凡的，这解释了尽管受到晶体对称性的保护，但缺乏对称保护的色散边缘态。

然而，完整的对称性表征需要扩展框架以包含反演对称性以及基于????2和??2的????分类[35]。有趣的是，在我们的系统中，一旦在存在嵌入π通量的情况下考虑反演对称性，对称性分析就会变得意想不到地复杂。在传统系统中，组合空间-时间反演满足????2 = +1（对于无自旋粒子）和????2 = ?1（对于自旋-1/2系统），遵循一般关系????2 = (?1)^{2s}。然而，π通量配置使反演对称性本质上成为投影性的。为了与规范结构保持兼容，反演必须被重新定义为[30,33]

(6)

其中P是一个规范变换，满足

(7)

结果是P??P^{-1} = ???，因此组合空间-反演对称性被推广为????2 = P??P^{-1}?? = ?P2。在我们的模型中，适当的规范变换是P = τ_x，它与逆时间对易而与反演反对易。因此，它产生了一个重新定义的????代数，表示为（标准选择为????2 = +1），它满足????2 = ?1。因此，即使微观自由度是无自旋的，系统也满足具有????2 = ?1的有自旋类代数。因此，π通量诱导了对称性嬗变，无自旋和有自旋代数之间的区别被有效地反转。在这个意义上，晶格实现了合成有自旋对称结构，而不需要引入“真实”自旋。

然而，这种代数重构并不会自动产生一阶拓扑。即使在扩展的????分类内，尽管表现出有自旋类????结构，静态模型在二维中仍然是一阶平凡的。四极相作为晶体高阶态存在，而对称保护的色散边缘模仍然缺失。因此，尽管π通量深刻改变了对称代数，但拓扑分类本身在静态设置中保持不变。这一观察自然地提出了一个问题：能否在不破坏对称性本身的情况下放宽有效的????约束，从而在原本限制为高阶行为的系统中解锁一阶拓扑？正如我们在下一节中证明的，周期性驱动正是提供了这样的机制，能够重组对称约束并激活静态极限下不可及的拓扑现象。

三、驱动模型及其对称性

为了动态重塑静态BBH模型的对称性约束拓扑，我们实施了一种弗洛凯工程方案，旨在在嵌入π通量规范结构存在的情况下，实现????对称拓扑相之间的转换。驱动方案的一个核心要求是周期性调制保持系统的基本????对称性，同时允许其代数实现以及相关的拓扑分类被动态修改。为此，我们考虑一种阶跃驱动方案，其中胞内和胞间跃迁过程在一个驱动周期内顺序激活。时间相关哈密顿量写为：

(8)

其中H_int描述纯胞内跃迁，H_inter控制胞间隧穿，T是总驱动周期。在弗洛凯理论中，频闪动力学由单周期演化算符描述：

(9)

它定义了有效的弗洛凯哈密顿量：

H_F = (i/T) log U(T,0)。

U的特征值（定义为模2π）构成了支配驱动系统非平衡拓扑的准能谱。

然而，与静态哈密顿量不同，周期性驱动系统通常不会以简单的方式保持静态对称操作，因为不同时刻的哈密顿量不能对易。因此，周期性驱动可能掩盖静态模型中存在的内部对称性。因此，为了恢复对称性结构，我们引入由幺正变换生成的对称时间框架[73–75]：

(10)

它们定义了等价的弗洛凯算符U_α = U_α(T,0)（α = I, II, ...）。虽然这些算符保留了与U类似的准能谱，但它们在驱动设置内允许一致地重新定义对称变换。特别地，逆时间和手性对称性通过弗洛凯重整化算符重新出现：

(11)

这样，有效哈密顿量满足：

(12)

(13)

因此，周期性驱动模型保留了其静态对应物的本质对称性内容，尽管以动态重整化的形式。关于驱动诱导对称性重构的详细讨论在附录A中提供。

这种动态重构的一个决定性结果是，与嵌入π通量结构相关的规范诱导约束被打破。事实证明，弗洛凯重整化对称算符不再遵守由潜在π通量规范结构所要求的对易关系[如公式(7)所示]。特别地，我们发现P_{eff}??_{eff}P_{eff}^{-1} = ??_{eff}，这意味着投影反演对称性??_{eff}不再作为驱动设置中的有效对称操作。因此，周期性驱动通过动态破坏规范约束，从而动态地解除系统与射影对称代数的束缚，恢复了传统关系式，其中为动量反转算符。这样一来，驱动晶格便通过动力学校正规范结构，而非显式对称破缺，实现了不同对称拓扑扇区之间的相互转换。因此，尽管标准的AZ分类形式保持不变（暗示一阶平凡性），但基于和对称性的修正框架却预言了根本不同的结果。在恢复的形式下，Floquet哈密顿量进入一个能够支持一阶色散边缘模的对称类，同时不损害先前存在的高阶拓扑[35]。因此，周期性驱动的BBH模型承载了混合阶拓扑相，其特征是色散边缘态和对称保护的角模同时存在。

A. 驱动诱导的混合阶拓扑

我们通过对周期边界和开放边界条件下的准能谱进行数值分析来证实这一预言。对于参数和，如图2(a)左图所示的圆柱几何结构揭示了在任意值（例如）下零准能附近的无能隙边界模，而在准能扇区附近则保持有限能隙。当沿两个空间方向都施加开放边界时[图2(b)左图]，在准能处精确出现四个对称保护态，它们局域在有限样品的四个角上。它们的空间特征通过在晶格上的概率密度分布得到确认，如图2(c)和2(d)左图所示，证明了角态约束，而零准能模则沿系统边缘保持延展。值得注意的是，这两种不同的拓扑序占据不同的准能扇区，例如边缘模位于零准能，而角模出现在处，这突显了混合相的内在非平衡起源。另一个互补区域进一步说明了这种动态灵活性。例如，当时（所有其他参数保持不变），局域化模式发生反转，角态迁移到零准能扇区，而色散边缘模出现在准能附近（如图2右图所示）。因此，周期性驱动使得拓扑序在准能隙之间能够受控地重新分布，建立了一个动态生成的混合相，其中一阶和二阶拓扑共存，这种安排在静态对称晶格中根本不可实现。

图2. Floquet混合阶拓扑相，边缘态和角态共存。左图：当和时，沿方向[图(a)]以及沿和方向[图(b)]的开放边界条件下的准能谱。红色分支表示无能隙一阶边界态；蓝色点表示局域化的二阶角态。边缘模出现在零准能隙内，而角态保持钉扎在处。图(c)和图(d)分别显示了角态和零准能边缘态的空间概率分布，证实了导电边缘和局域化角的共存——即混合阶相。右图：与左图相同的物理量，但在处（所有其他参数不变）。局域化模式相对于左图发生反转：边缘模现在出现在处[图(a)，红色]，而角态钉扎在零准能[图(b)]。图(c)和图(d)证实了相应的空间特征。

B. 混合阶拓扑的表征

1. 为什么动量空间不变量不适用

在确立了混合阶Floquet相中一阶和二阶边界模共存之后，我们现在更严格地表征这些态。由于边缘模和角模源于驱动晶格的真实对称嬗变，而非偶然的能带接触，因此通过识别保护它们的拓扑不变量来确认其鲁棒性至关重要。事实证明，显而易见的候选者都失败了。例如，普通陈数消失，因为Floquet重整化框架中的时间反演对称使贝里曲率为奇函数；此外，Kane-Mele不变量也不相关，因为它需要具有的自旋Kramers结构，而我们的内部自由度是轨道型的，具有和。

相关对称性再次是时空反演，其代数决定了适当的不变量。如前所述，在传统框架中，驱动恢复了，这表明实陈数是从所得实丛的Stiefel-Whitney类中获得的[30,33,34]。然而，该不变量失败，因为一阶和二阶相从未共享相同的准能隙。例如，当边缘态占据零能隙时，角模钉扎在处，调节参数会使它们互换（图2）。因此，拓扑保护是每个能隙单独的性质。任何能带不变量，包括实陈数，只能测量单个能隙两端的净边缘态差，而不能在两者都受拓扑保护时分别解析每个能隙，这与普通陈数在具有每个能隙中鲁棒边界模的异常Floquet相中消失的机制相同[42]。

这种失败促使我们转向附录A（以及第III节讨论）的对称时间框架，其中复合反幺正算符与两个步进哈密顿量都对易并满足，（代表两个对称框架），但现在其平方为。根据Kramers定理，这迫使准能谱在每个处精确二重简并，并完全关闭了枚举拓扑不变量的动量空间路径，因为Stiefel-Whitney类、Euler类和实陈数都要求动量局域反幺正算符平方为。然而，使丛成为四元数丛，这些不变量严格未定义。因此，我们转向实空间构造，即谱局域化子，它能够独立解析每个能隙，下面进行阐述。

2. 实空间表征：谱局域化子和手性标记

实空间标记直接从有限开放样品的哈密顿量及其位置算符中提取量子化拓扑数，不参考动量空间或平移不变性。我们为此目的使用的工具是谱局域化子，由位置算符和哈密顿量构成[76,77]

(14)

其中测量与探测点的位移，而测量与探测能量的位移。泡利矩阵将这些非对易算符组合成辅助二维空间上的单个厄米矩阵，并平衡位置和能量的相对权重。此时，从可以导出两个有用的量。首先，局域化子能隙，即的最小奇异值，恰好在受保护态位于该位置和能量处时消失，因此扫描探测点可以产生受保护态的空间映射。其次，符号差，即正负特征值数量之差，是量子化的，因为它只能在一个特征值穿过零时改变，即只能在局域化子能隙闭合处改变。

图3显示了在图2左图和右图的两个参数区域中，在和处横跨样品平面的扫描。所得映射分为两类不同的情况：图(a)和(d)显示局域化子能隙沿追踪样品整个周长的连续一维环闭合，这是色散一阶边缘态的特征；而图(b)和(c)显示仅在四个角上的孤立点闭合，边缘和内部保持有能隙，这是局域化二阶角模的特征。这完全在实空间中再现了本文的核心主张：两个准能隙承载不同的拓扑序，调节使它们互换。

图3. 图(a)和(d)显示谱局域化子能隙沿追踪样品边界的连续一维环闭合，表明色散一阶边缘态；而图(b)和(c)显示仅在四个样品角处闭合，边缘和体保持有能隙，表明二阶角态。局域化子在和处分别对图2左图和右图的参数区域在样品平面上进行评估。

因此，自然的步骤是计算半符号差，即局域陈标记；然而，这个量在我们的系统中被强制恒为零，因为手性对称[式(5)]是格点上的，因此与位置算符对易，将的每个特征值与其负值配对。因此，需要一种建设性利用手性对称而非被其击败的标记，这正是手性标记所提供的。对于我们的BBH晶格，在对称框架中具有满足的梯度，适当的构造沿着晶格对角线构建，即沿——样品角所在的方向和模型镜像的对称轴——定义为

(15)

相应的标记在处评估，物理上有意义的值以真空为参考。

由于式(15)的标记要求有效哈密顿量真正与反对易，而传统Floquet算符不满足这一点，因此该构造必须在式(A2)和(A3)的对称框架中进行，这些框架是手性对称被恢复且满足的框架（分别参见第III A节和III B节中的相应讨论）。框架1和框架2共享相同的准能，但通过一个不与对易的幺正变换相关联。因此，这两个框架携带独立的拓扑信息——这是已知一维手性Floquet系统结果的二维类比[74]。虽然每个不变量单独无法区分不同的局域态，但Floquet分类[78]允许构造一对物理上有意义的不变量[73,74]，

(16)

其中下标和上标分别表示分支和框架。在此处考虑的代表点处，我们在框架1中测量，在框架2中测量，得到。对称框架，最初由（）代数所迫使我们使用，恰好提供了表征两个准能隙所需的两个独立实空间不变量——这是传统框架中任何单一能带不变量都无法提供的解决方案。

为了进一步证实驱动诱导的一阶边缘态的鲁棒性，我们研究了随机无序的影响，无序通过胞内跃迁振幅引入，其中在每位点处独立且均匀地从区间中抽取。图4显示了在沿方向开放边界和沿方向周期边界条件下，对于图2左图(a)图的代表性参数点——即承载零准能边缘态和准能角态的区域——的准能谱；对于两个能隙角色互换的互补构型，可以进行完全类似的非无序分析。随着无序强度的增加，边缘态在临界值之前保持鲁棒，该临界值与胞间跃迁振幅相当，这是全文所使用的值。超过这个阈值，无序压倒拓扑保护：先前简并的边缘态分裂为非简并模，标志着负责其保护的对称性的破坏，在更大的无序强度下受保护的边缘模不再存活。

图4. 沿方向开放边界和沿方向周期边界条件下的准能谱，展示了驱动诱导的一阶边缘态的存在。图(a)–(d)显示了在随机格点无序强度分别为、0.2、0.5和0.8时谱的演化。边缘态在临界无序强度之前保持鲁棒，反映了拓扑保护的持续性。对于更强的无序（），无序超过拓扑能标，解除边缘态简并并破坏受保护的边缘模。

在此阶段，还需要强调的是，在上述整个分析中，我们限制在纯厄米极限（）。这个假设是必要的，因为NH拓扑通常不能完全在传统的AZ或对称分类中表征。特别地，非互易性的存在需要非Bloch框架来实现一致的拓扑描述。尽管如此，周期性驱动系统仍然保持对称，即使在NH区域，色散边缘模的出现也继续展现出有趣的自旋特征。在下一节中，我们将展示周期性驱动如何产生自旋系统特有的显著NH现象，这些现象甚至可以在我们无自旋模型中被系统性地探索。

IV. 非厄米情况：涌现的高阶趋肤效应

A. 驱动诱导的单极-双极转变

我们现在将分析扩展到NH区域，以研究一旦将非互易性引入周期性驱动的BBH晶格后边界局域化的命运。非厄米性通过由参数表征的不对称胞内跳跃振幅引入（图1），这诱导了定向粒子输运，并因此产生非厄米趋肤累积。在没有周期性驱动的情况下，反演对称和镜面对称与底层晶格几何结构共存，促进了趋肤效应的高阶表现，其中体本征态累积在单个角而非一维边缘上。我们将这一现象称为二阶趋肤效应[64,79]，反映了其高余维数局域化行为。值得注意的是，周期性驱动的引入深刻重塑了这种局域化行为。除了常规的单极局域化（其中所有本征态累积在单个角）之外，驱动系统还允许出现双极构型，其中态同时局域化在对角相对的角上。最近的一项研究为这种由周期性驱动诱导的单极-双极转变提供了实验证据[80]，支持其甚至在高阶系统中的实现。有趣的是，在适当的驱动条件下，这种双极排列实现了反常形式的趋肤效应[36,62-64]，这一现象通常与具有时间反演对称性和克雷默简并的自旋系统相关，但此处却在一个本质上无自旋的平台中出现。

为了解析性地表征这些转变，我们关注对称驱动条件，这揭示了一组由满足以下条件的参数决定的驱动诱导特殊点：
(17a)
(17b)
这些值主导了谱局域化的定性变化。前者对应于趋肤效应的完全抑制，而后者标志着双极局域化的开始，态在相反边界之间等量分布。例如，从小的胞内耦合开始，数值模拟表明所有体本征态累积在单个角附近，如图5(a)中参数（或，且）的空间概率分布所示。这种行为紧密反映静态非厄米极限，代表单极高阶趋肤相。注意，在我们对非厄米系统的整个分析中，概率密度使用哈密顿量的右本征向量计算。

随着增大，本征态逐渐向对角重新分布，标志着双极局域化的出现。在临界值[对应于方程(17b)中的]处，系统达到完美平衡构型，其中态以相等权重累积在两个角上。此时，区中心和区边缘准能区段局域化在相反角，形成对称性关联对，模仿趋肤效应的结构。在详细阐述区边缘和区中心准能区段的物理意义之前，先建立常规局域化的概念背景是有益的，以阐明为什么我们的系统不符合这一标准范式，而更适合被称为“类似”。

图5. 单极-双极局域化交叉随后趋肤效应完全抑制。面板(a)-(d)显示了存在非互易性时所有本征态的空间分布。在面板(a)中，对应于，所有本征态累积在左角，表明单极局域化区域。在面板(b)中，对应于，态在两个对角之间等量分布；具体来说，本征值态的局域化在左角，而准能态累积在右角，产生特征性类似趋肤效应，发生在双向点，由给出。在面板(c)中，对于，单极局域化重新出现，极化方向与面板(a)相反。最后，面板(d)对应于，显示边界累积完全消失，标志着趋肤效应在值处完全抑制。系统参数选择为，且。

在常规设置中，局域化源于受时间反演对称性和克雷默简并保护的自旋分辨区段，使得上/下自旋区段可以局域化在相反角。相比之下，当前模型不包含“真实”自旋自由度；相反，周期性驱动动态产生等量的准能态，通过修正的对称代数关联，允许准能相反模式充当有效自旋对应物。由此产生的局域化因此构成反常趋肤效应，再次证明Floquet诱导的对称性重构如何使自旋现象在本质上无自旋的晶格中出现。

进一步将增大到双极点以上，导致所有本征态向对角迁移，如图5(c)中所示，从而反转高阶趋肤累积的极化。这种局域化持续到系统达到驱动控制的“甜点”，在我们的情况下对应于（对于。在这个特殊点，趋肤效应被完全抑制，体态在晶格中呈现空间扩展分布，只留下对称保护的角模式完好无损。偏离该离域化点则以相反极性恢复高阶趋肤效应。例如，对于局域化在右角的态，当（未显示）时重新局域化在左角，类似于图5(a)中观察到的构型。这些观察表明，周期性驱动引入了一种可控的离域化-再局域化机制，通过动态生成的趋肤抑制点实现。因此，驱动系统表现出可调的、重复的单极、双极和反转局域化序列。这远非单纯的数值伪影，而是一种稳健的、对称性保护的现象，这促使我们研究这种类似效应的起源，并使用可靠的拓扑指标来表征它。

B. 类似双极趋肤效应的物理机制
我们首先沿镜面线（高对称线）移动，问题简化为两轨道链在持续时间内分两步驱动：由支配的胞内步，和由支配的胞间步，后者承载所有动量依赖性以及非互易性。这种分工是直觉的关键。严格作用于单位胞内：它不包含动量，因此不能将粒子从一个胞移动到下一个。相反，是驱动中唯一能够沿晶格传输概率的部分。

使用对第一步进行指数化，并写出累积胞内相位，我们得到精确闭式：
(18)
一个单一旋钮设置“保持在同一轨道”和“与其他轨道交换”之间的平衡。关键的是，交换通道是，它是完全互易的：它以相同振幅转移和。此时，识别两个重要的驱动条件是有用的。

(1) 无交换条件（即）：此处恰好，所以第一步不起作用，频闪动力学简化为仅第二步的重复作用。每个轨道在每个周期内经历完全相同的非互易环境，没有重新洗牌。如图5(d)所示，投影累积偏置抵消，导致趋肤效应完全抑制。

(2) 全交换条件，即：此处方程(18)中的“保持”通道恒为零且：第一步完全交换两个轨道，并且互易。物理后果奠定了基础，即驱动在增益和损耗作用的轨道之间交替。因此，注意第二步施加非互易脉冲，其对轨道的影响与对轨道的影响不同。在全交换条件下，第一步每个周期交换两个轨道一次，因此在一个周期中放大的轨道在下一个周期中被抑制。结合第二步提供的互易传播，这种严格交替模式允许两族Floquet态经历相反偏置，这正是使双极局域化成为可能的原因。

这种直观图像正确识别了为什么完美的双极局域化，即类似局域化，只可能在“全交换”点实现，以及为什么它在无交换点缺失。然而，它没有识别涉及哪两族，也没有解释精确平衡。为此，我们必须转向支持这一直观想法的解析/数学结构。

首先，我们注意到由于两个步哈密顿量都是无迹的，恒成立，且的特征值在每个动量处满足。Floquet算子的整个谱内容因此由单一复函数承载，即演化算子的迹。现在，在单个时间周期内以闭式求迹给出：
(19)
其中，且
(20)

一旦我们检查迹的数学结构，方程(17)的两个特殊驱动条件就获得了透明的几何意义。首先，注意在半布里渊区平移下[使用，其中为实]，迹满足：
(21)
由于和是实系数泰勒展开的函数，这种共轭性质可以直接推广到方程(19)。在全交换（完美双极）条件下设置，则得出精确恒等式：
(22)
对全交换条件下的每个有效。

现在让我们理解这一特殊特征在准能谱层面的后果。回想特征值满足：
(23)
取该方程的复共轭给出，代入得到，即由方程(22)得。因此，在动量处求解特征方程，两组特征值通过以下关系关联：
(24)
写作，映射作用于准能为：
(25)
它将和。这个映射是对合：应用两次返回，且动量移动两次返回。因此我们定义：
(26)
因此，将Floquet区分为两个弧。两个不动点将准能圆分成两个弧，交换它们：包含区中心的弧和包含区边缘的弧。相应的二元标签为：
(27)
且在作用下有，导致恰好。这是克雷默配对的无自旋类比。在常规自旋情形中，将自旋-和自旋-伙伴配对到相对边缘。这里，对合将配对的与，并将区中心族和区边缘族发送到相对角。

C. 类似效应的对称性保护
第IV.B节引入的谱对合不是简单的数值巧合，而是驱动晶格三个精确对称性的联合结果。首先，手性对称，在此下两个步哈密顿量与子晶格分级反对易，满足，因此反转特征值，即，或等价地。其次，作为转置与组合作用；由于：
(28)
此操作交换左右传播跳跃振幅，从而反转非互易放大方向，有效翻转趋肤模式累积的角。第三，在全交换（双极）驱动条件下，前半周期简化为两个轨道的纯交换，其平方为；这提供整体因子，即准能移动半个Floquet区，最终交换区中心和区边缘分支。将这三个恒等式通过单周期演化结合成一个关系：
(29)
其中转置编码，逆编码手性对称，整体符号编码完全轨道交换。在特征值层面，这读作：
(30)
这正是的作用。物理上，三个对称性连续作用于Floquet态：手性对称反转特征值，轨道交换将准能移动半区并将区中心态带入区边缘族，最后翻转角，使得映射到，这可以精确地视为常规自旋趋肤效应中自旋情形的无自旋类比，其中Floquet区段标签扮演自旋的角色。

D. Floquet版本的不变量：迹绕数指标
由于上述确定的效应是受对称性强制的而非偶然的，必须存在关联的拓扑不变量，我们将在下面构造。然而，常规途径不可用。对于无自旋设置中的普通（单极）趋肤效应，标准诊断是值谱绕数[36]，非零绕数伴随半径为的GBZ[66-68]。在自旋情形中，此诊断反而完全失效。总绕数为零，GBZ 收缩到单位圆上，且只能通过将特征多项式（det，其中定义GBZ的轮廓）分解为两个解耦扇区——一个提供半径为的子GBZ，另一个提供半径为的GBZ——并取单个扇区的绕数模二来提取指标。然而，这两种路径在此都不适用：由于式(20)中的依赖于动量，特征方程涉及超越函数和，无法分解为两个互逆的子方程（关于特征多项式和GBZ求值的更详细讨论将在下一节提供）。相反，所需的是一个能捕捉两个分级族而无需多项式因式分解的构造，而第四节B中引入的Floquet演化算符的迹正好提供了这一点。注意，对于Floquet算符，特征多项式坍缩为迹，即，其中。因此，Floquet谱绕单位圆上任意参考本征值的谱绕数等价于迹曲线绕对应实点的绕数，(31)该指标是量子化的且规范无关；它联合处理两个Floquet分支（既包括区中心也包括区边缘），因为，所以无需对特征多项式进行因式分解。非零的表示准能量接近的态存在皮肤积累，其符号选取角落——这是静态非Bloch理论中绕数-皮肤对应的直接类比[36]。由式(22)，映射反转迹曲线的方向，因此在全交换点处。因此，跨越扇区边界的总绕数恒为零，尽管每个扇区单独具有非零绕数（的结构类比），这正是需要指标而非指标的确切原因。

由第四节B的讨论，迹曲线在处穿过实轴；当这些是仅有的内部交点时，只能在与之间的区间内改变，存留指标简化为闭合宇称形式(32)其中和扮演Fu-Kane构造中时间反演不变动量的角色。我们强调该公式的逻辑地位：当且仅当两个实截距跨立在两侧各具有非零绕数的扇区上，即当且仅当两个分级族在相反的角落积累时，恰好成立。

表I列出了、截距中点以及得到的指标，覆盖图5的驱动范围，确认指标的演化完整再现了局域化转变的全部现象学。此外，如图6所示，指标的演化完整详细地再现了图5的现象学，并以如下方式阐明单极-双极转变。在小驱动下（），所有态积累在单个角落，即图5(a)的深单极区域。随着驱动增加（），态开始在相反角落出现，系统变为双极；然而，这还不是双极态，因为两个截距的幅度仍然高度不等（对比），所以两个角落被填充的权重强烈不等。在全交换条件下（），指标保持有限，但两个截距现在精确相等且相反，，或等价地，。这是真正类行为的标志：的消失正是式(22)的条件，迫使（区中心）和（区边缘）族以严格相等的权重占据相反角落，对应图5(b)的平衡双极分布。在此之后（），指标保持有限，但失衡以相反的偏斜度重新出现，到时，截距再次共享相同符号，因此恢复为零：极性反转的单极局域化，如图5(c)所示。最后，在抑制点（），无交换条件消除迹中的奇次项，留下。因此，迹曲线自我重叠并包围零面积，所以对每个参考点，谱绕数都为零，没有Floquet本征值绕单位圆绕行。因此，非厄米皮肤效应被完全抑制，体谱保持扩展，如图5(d)所示。

图6. 迹轨迹在复平面中的演化，晶体动量扫描布里渊区，驱动幅度为[面板(a)]、[面板(b)]、[面板(c)]、[面板(d)]、[面板(e)]和[面板(f)]，其中、和。黑色叉号表示原点，灰色带表示实轴。Floquet双极不变量识别迹回路是否包围原点：当原点位于回路内部时[面板(b)-(d)]，对应双极局域化区域；当原点位于外部时[面板(a)和(e)]，对应单极区域。在完美双极点(c)，迹满足且关于原点对称，而在抑制点(f)，迹轨迹自我重叠，包围零面积，不再表现出谱绕数。

表I. 迹截距、中点和绕数指标，覆盖图6的驱动范围，其中。标记的行是式(17)的精确特殊点。区域 0 深单极[图5(a)] 1 双极，不平衡 0.000 1 类双极[图5(b)] 1 双极，反转偏斜 0 单极，反转[图5(c)] 0 皮肤抑制[图5(d)]

E. 通过Floquet GBZ的非Bloch表征

前面几节已全面理解了高阶单极-双极皮肤局域化的物理起源，以及用于表征相关皮肤模式的对称性分辨方法。在这个阶段自然出现的一个问题是拓扑态在同一区域中如何表现，特别是因为它们也可能局域化在角落。因此，我们本节专门详细研究这些角落局域化拓扑态及其潜在机制。由于驱动晶格在非厄米区域运行并支持显著的皮肤积累，传统Bloch带不变量不再足以识别边界态的拓扑起源。特别是，非厄米皮肤效应的存在使Bloch框架内严格定义的标准体边对应失效。因此，一致的拓扑描述需要非Bloch形式，其中拓扑定义在GBZ上[66-68]。该方法的核心思想是通过将动量变量替换为相位因子，即，来重新表述Bloch哈密顿量。哈密顿量然后可以表示为非Bloch算符。允许的值由特征确定。通过根据其绝对值排列所得解并选择与开边界条件兼容的解，在复平面中得到定义GBZ的闭合轮廓。该轮廓为表现出非厄米皮肤效应的系统提供了正确的体描述。

虽然非Bloch方法已成功应用于广泛的一维非厄米系统[68-72]，但将其推广到二维晶格带来了显著复杂性。两个独立动量分量的存在通常产生涉及多个复变量的特征方程，使得GBZ的解析构造极为繁琐。为简化分析，我们利用式(4)引入的镜面对称性，该对称性在模型中高阶拓扑的出现中也扮演核心角色。特别地，我们将注意力限制在高对称线上[28]，这有效地将二维Bloch哈密顿量约化为块反对角形式(33)其中每个块采取无质量Dirac哈密顿量的形式。在这种表示下，双分量结构自然允许为每个块定义绕数。在此背景下，系统的高阶拓扑可以用镜像分度绕数来表征(34)其中（）表示与每个块关联的常规绕数（详见附录B）。

然而，将此问题扩展到周期性驱动场景引入了进一步的微妙之处，妨碍了该过程的直接应用。与通常仅包含短程相互作用因此产生有限阶特征多项式的静态哈密顿量不同，周期性驱动生成的等效哈密顿量可能涉及长程相互作用。这可以直接从驱动哈密顿量的动量空间表示中看到（见附录B），其中每个矢量包含诸如的函数。因此，相关的特征方程可能成为关于的无穷阶。此外，Floquet等效哈密顿量通常不保持沿高对称线的块对角结构，这阻碍了镜像分度不变量的直接定义。为克服这一问题，我们回到第三节讨论的通过幺正变换形成的对称时间框架表述[见式(A1)]。如附录B所示，在这些对称框架中表达Floquet算符恢复了沿高对称线的无质量Dirac结构，从而恢复了定义镜像分度不变量所需的块分解。换言之，拓扑不变量仅在在这些对称Floquet表示内求值时才有明确定义。剩余挑战在于将无穷阶特征方程约化为可处理的形式。为此，我们对特征多项式进行泰勒展开，这需要以下列方式重写特征方程：(35)矢量的精确表达式在附录B中提供。因此，考虑小（例如）允许我们对式(35)进行关于的泰勒展开至二阶。因此，式(33)中每个块对应的特征方程可以表示为(36)其中是与的幂次相关联的系数。还需注意，多项式的次数取决于泰勒展开截断的阶。现在，假设有两个解和共享相同幅度。将两个特征相减得到(37)这允许我们确定在范围内的解。最后，将个解按绝对值升序排列。通过选择满足条件的解(38)其中表示的离散化区间数，我们得到GBZ的坐标。有趣的是，尽管此构造代表完整二维GBZ的一维投影，但它仍足以确定皮肤模式的局域化方向。例如，当所有本征态积累在左角落，如，所得GBZ的半径小于1[见图7(a)]，而右角落的局域化对应半径大于1的GBZ[见图7(b)]。通常，GBZ偏离常规布里渊区，反映了谱的非Bloch性质。此外，从两个对称时间框架得到的GBZ在形状和大小上一致，验证了截断方案的准确性。

图7. 沿对称线的1D映射Floquet GBZ的闭合轮廓，在复平面中对绘制。面板(a)对应，处于单极区域，所有本征态积累在左边界；相关GBZ形成半径为的闭合回路。相反，面板(b)对应右边界积累，GBZ轮廓半径为。在两种情况中，轮廓表现出尖点行为，反映了具有相似幅度的多个解（超过两个）。这被证明是控制Floquet算符的特征多项式二阶泰勒展开的直接结果。系统参数选择为和。

有趣的是，Floquet GBZ不仅提供确定皮肤模式方向积累的信息，而且驱动诱导的长程耦合还提供了波函数在特定角落积累的见解。为进一步理解这一行为，检查等效哈密顿量的矩阵结构是有用的。从厄米极限出发，使用Baker-Campbell-Hausdorff级数展开表明，增加驱动周期逐步生成高阶对易子项。这些额外贡献有效引入长程跃迁过程，导致非对角矩阵元出现并逐渐填充在静态极限中保持为零的哈密顿量区域。即使在低频区域，等效哈密顿量也可能获得致密结构，其中几乎所有矩阵元都被填充。在此阶段，非互易性的加入导致矩阵结构中的显著不对称性。例如，对应某些参数区域，哈密顿量的上块或下块完全填充，而相对块保持基本为空。这种不对称性直接决定了波函数聚集的特定角点。例如，图8(a)对应于参数值 ，此时所有本征态局域在左侧角点。相应的矩阵结构清晰地显示上块被密集填充，而下块基本保持为空。此外，最大矩阵振幅集中在角点附近的矩阵元上，进一步强化了驱动诱导的二阶趋肤效应的出现。相反，当 [图8(b)]时，情况发生反转。哈密顿量的下块被占据，而上块几乎为空。相应的空间分布显示波函数现在聚集在右侧角点。这些结果确立了有效哈密顿量的块结构与高阶趋肤局域化方向之间的明确联系。图8. 驱动有效哈密顿量 在坐标基下的展开系数，分别对应于 和 ，显示在面板(a)和(b)中。这里， 和 表示哈密顿量矩阵的行和列位置对应的基指标。对于 ，所有波函数局域在左侧角点，矩阵的上块被占据（最大振幅集中在角点附近），而下块基本保持为空。相反，对于 ，波函数局域在右侧角点，下块被占据而上块保持为空。系统参数为 ，以及 。一旦GBZ构建完成，每个块哈密顿量 对应的绕数可以通过在 上进行围道积分而非传统的布洛赫围道 来计算。根据方程(34)中所示的定义，我们得到镜像分度绕数。将此思想推广到两个对称时间框架，可以得到两个不变量， 和 ，对应于算符 和 [通过方程(A1)所示的变换得到]。虽然每个不变量单独无法区分不同的局域态，但Floquet分类[78]允许构建一对具有物理意义的不变量[73,74] [类似于方程(16)]， (39)它们分别表征准能量0和 处角态的出现。为了验证这一框架，我们计算了完全开放边界条件下的准能谱。如图9(a)所示，随着参数 的变化，角局域模式同时出现在准能量0和 处。虽然传统的镜像分度绕数无法捕捉这些态的出现，但泰勒展开的非布洛赫不变量 和 正确地再现了它们的出现。这些不变量随 的演化如图9(b)所示，与准能谱表现出极好的一致性，从而恢复了周期驱动非厄米系统中的体边对应。图9. 面板(a)显示了沿 和 方向完全开放边界条件下的准能谱，绘制为 的函数。能谱清晰地展示了在零和 准能量处局域角态的出现。面板(b)展示了镜像分度绕数 作为 的函数，与边界能谱精确对应。这些不变量的有限值正确地指示了角态的出现，从而恢复了驱动非厄米系统中的体边对应。参数选取为 ，以及 。此外，为了全面概述系统中实现的不同非平凡相，我们在 平面中给出了对应于零和 准能量处角态的拓扑相图，如图10所示。相图清晰地标识了系统支持不同Floquet拓扑相的区域，这些相以不同准能隙中局域角模的出现为特征。特别地，对于足够大的 值和驱动周期 ，系统进入一个稳健的非平凡区域，其中角态同时出现在零和 准能量处。这表明在扩展的参数范围内存在多个拓扑扇区的共存，进一步强调了驱动系统丰富的拓扑景观，并展示了周期性驱动如何产生混合高阶拓扑相。通过这种方式，非布洛赫Floquet形式提供了统一框架，用于同时捕捉驱动非厄米BBH晶格中的高阶拓扑性和趋肤局域化的方向性。图10. 使用镜像分度绕数计算的 平面中的拓扑相图。面板(a)显示了对应于零准能量处角态的不变量 ，面板(b)显示了与准能量 处角态相关的 。系统参数选取为 和 。V. 拟议实验平台：拓扑电路为了将我们的理论构建与具体的实验设置联系起来，我们概述了一个模拟驱动BBH模型[81,82]的拓扑电路(TEC)。TEC通过基尔霍夫电流定律将紧束缚哈密顿量映射到电路拉普拉斯算子 上，使得在选定的谐振频率 下，导纳本征值 和本征模再现哈密顿量谱和波函数。将胞间跃迁 固定为参考电容 ，每个其他键振幅 由 实现，因此逐元素对应关系如下： (1) 胞间 ：电容 ，导纳 ； (2) 胞间 ( -通量键)：电感 ，导纳 ； (3) 胞内 ：电容 ，导纳 ； (4) 胞内 ( -通量键)：电感 ，导纳 ； (5) 非互易性 ：与每个胞内键并联的反相负阻抗转换器(INIC) ，在两个方向上呈现导纳 。简而言之，正跃迁 由导纳为 的电容实现，而负跃迁 （BBH晶格中 -通量四边形所需）由电感 实现，其导纳 正好是其负值；INIC是使拉普拉斯算子非厄米并在物理上产生趋肤效应的元件。图11显示了得到的单胞。图11. 非厄米BBH TEC的电路单胞。节点1、3、4、2是四个子晶格。每个胞内键携带一个电容（或 -通量键上的电感），与一个INIC并联，其放大方向（绿色）设定非互易性 ；胞间键连接到相邻单胞并保持完全无源。驱动模型， ，交替胞内非厄米步骤 与胞间步骤 ，可以通过对同一电路进行时间复用来实现：与每个键串联的模拟开关（例如，互补金属氧化物半导体传输门）由周期为 的双相时钟驱动，在第一个半周期内仅闭合胞内元件（ ），在第二个半周期内仅闭合胞间元件（ ）和胞内INIC。在一个时钟周期内，节点电压随后演化为 ，因此电路在频闪意义上实现了Floquet算符，时钟频率选择远低于 ，使得每个半周期在载波时间尺度上保持绝热。在 时刻采样电压分布直接成像Floquet趋肤模式，使该开关网络能够揭示我们方案核心的单极-双极交叉。VI. 结论在本工作中，我们展示了周期性驱动如何重塑高阶晶格系统的对称性结构和拓扑性质。从具有嵌入 -通量结构的BBH模型出发，我们证明静态晶格实现了投影形式的时空反演对称性，其中有效的 代数模仿了自旋系统的代数，尽管没有物理自旋自由度。然而，这种对称性嬗变本身并不激活静态极限下的一阶拓扑，使系统保持在纯高阶相，具有角局域态。我们展示了周期性驱动提供了克服这一约束的机制。通过实现一种保持全局 对称性同时动态改变其代数结构的步进驱动协议，驱动晶格经历了 -对称拓扑类的互转换。结果，Floquet系统实现了混合阶拓扑相，其中色散边缘态与占据不同准能隙扇区的对称保护角模共存。此外，我们采用了谱局域化器作为实空间拓扑标记来识别这些边缘模，并展示了它们对真正随机无序的鲁棒性。进一步，将分析扩展到非厄米区域，我们进一步揭示了由周期性驱动控制的高阶趋肤现象的丰富景观。非互易性、晶体对称性和驱动诱导的对称性修改之间的相互作用产生了单极和双极局域化区域之间的转变，甚至实现了有效无自旋晶格内的反常 -型趋肤效应。这种从单极到 -型双极相的交叉使得通过驱动诱导的趋肤抑制点实现可控的离域-局域化机制。此外，我们证明了 -型局域化不仅仅是数值伪影，而是一种对称性保护的现象，可以通过基于对称性的拓扑指标——迹绕数——来表征。为了正确表征这些现象，我们开发了基于GBZ构造的非布洛赫Floquet框架。通过利用模型的潜在镜像对称性并将分析限制在相应的高对称线上，二维问题可以有效地约化为一维表示。这使得定义镜像分度绕数和构建2D GBZ的1D映射版本成为可能，从中获得一对非布洛赫不变量。这些不变量正确地捕捉了准能量零和 处角态的出现，从而恢复了周期驱动非厄米系统中的体边对应。总体而言，我们的结果表明，Floquet工程提供了一条强大的途径，用于动态重塑对称性分类、生成混合高阶拓扑以及控制驱动量子系统中的非厄米谱局域化。