宏观量子比特系综中宇称测量诱导扰动引发的非经典性

《Physical Review Research》：Nonclassicality of a macroscopic qubit-ensemble via parity measurement induced disturbance

　　我们提出一种实验方案，通过量子系统基本的测量诱导扰动，违反宏观实在论（MR）的经典概念，来测试宏观量子比特系综的非经典性。使用电磁谐振器探测量子比特系综的宇称。序列测量的作用使整个系综的非经典性在理想情况下能够显现出来，与系综大小无关。这使得我们可以探测量子力学的宏观极限，因为量子比特系综实际上是一个由许多?单位组成的单个大自旋。即使?→0与系综的总角动量相比，在无噪声情况下仍发现MR有恒定的违反量。然而，环境退相干和量子比特-电磁场耦合的非均匀性导致了量子到经典的转变。这说明玻尔的对应原理不是基本的，而是实际局限性的结果。我们概述了与多种量子比特（超导量子比特、半导体中的自旋和里德伯原子）耦合到共面波导谐振器的实现方案，并通过相应的噪声分析发现，通过当前技术，MR的违反量对于高达100个量子比特是可探测的。I. 引言探测量子力学的宏观极限，从而确定量子与经典物理之间的边界，是现代科学中最大的开放问题之一。只有持续不断的实验努力，在越来越多的宏观系统中观察真正的量子力学现象，才能解决这个问题。虽然自旋是表征系统“宏观性”的重要参数（即具有大自旋的物体可以被视为宏观物体），但测试大自旋量子性质的实验仍然缺乏。与其他参数（如质量或空间分布）相比，自旋是唯一可直接与作用量在?单位下比较的量，这在历史上被用于解释量子到经典的转变：传统上认为?→0意味着量子力学的经典极限。尽管现在人们充分认识到经典性的出现通常源于与环境无处不在的相互作用，但在?→0极限下维持足够的隔离变得越来越困难。例如，一个宏观磁体，可以近似为量子比特自旋的集合，通常表现为一个大的经典矢量。在此背景下，我们提出一个可实现的实验来测试宏观量子比特系综（模拟大自旋）的量子性。具体而言，我们的目标是解决以下问题：当一个总自旋为许多?单位的量子比特大系综何时停止表现为非经典实体？根据我们的协议，在理想情况下，不存在这样的基本极限。然而，实验缺陷不可避免地限制了系综大小的实际约束。尽管如此，我们提出的方案可以使用不同类型的物理量子比特系综来实现，并且在当前技术下，能够展示非经典性，最多约100个量子比特——相当于自旋为50?。这为在大自旋系统中测试真正的非经典性开辟了新途径，延伸到迄今未探索的宏观领域。值得注意的是，这种方法使得测试非经典性更为简单，自旋值比之前的实验高出一个数量级，而之前的实验被限制在10以下[1–3]。作为测试量子性的工具，我们使用违反宏观实在论（MR）的经典概念[4–6]。MR是以下两个假设的结合：(1) 实在论本身：在任何时刻，即使未被观测，系统也明确地处于其可能状态之一，所有可观测属性具有确定值。(2) 无创测量：可以通过确保测量诱导的扰动任意小来确定系统处于哪个状态，从而不影响系统的状态或后续的时间演化[4]。量子系统分别因叠加原理和测量诱导的波函数坍缩而违反这两个假设。从上述两个假设中可以推导出MR的各种必要可测试条件，例如莱格特-加尔格不等式[4,7]和无扰动条件（NDC）[8–13]，后者被用于本工作。以无漏洞的方式实验性地反驳这些条件中的任何一个，都意味着被测系统固有的非经典性或量子性。大量子比特系综已被确立为计算[14–18]、传感[19–21]、存储[22–38]和通信[39–41]的可靠量子资源。尽管有所有这些进展，但其作为大集体自旋的量子性质仍未探索，因为这些研究通常限于低激发区，其中系统可以通过霍尔斯坦-普里马科夫变换[42]近似为量子谐振子。另一方面，实验上违反MR此前仅报道过单量子比特或微观自旋系统[1,2,43–46]。尽管文献中考虑了大自旋来探测量子性[47–58]，但所有这些分析都是纯理论的，没有近期实验实现的可能性。虽然诸如隧穿、压缩、共振跃迁、相干性和进动等量子效应已在大自旋系统中被实验观察到[3,59–67]，但这些演示既没有通过违反MR来测试量子性，也不容易扩展到宏观水平。在这里，我们填补了当前涉及量子比特系综的实验（主要具有实际应用）与上述关于大自旋量子力学的基本问题（至今缺乏可实现的实验方案）之间的空白。这是通过利用量子比特系综与共同谐振器之间的色散相互作用，以及零差测量来实现的。这种相互作用在许多架构中已成为量子比特之间纠缠门的关键，称为强耦合[68–78]。此外，通过这种相互作用并结合零差测量，在超导和固态实验中已经实现了两个量子比特的测量诱导纠缠[79–82]。在特定参数选择下，我们表明将这些协议推广到N个量子比特可用于执行系综的宇称测量。因此，一个N个量子比特的系综可以通过执行两次这样的连续宇称测量来违反MR，通过NDC。我们还注意到最近基于量子非破坏测量的宏观MR测试方案，这些方案仔细区分了不可避免的量子测量反作用与偶然的经典扰动（CDs）（详见第四节）[83–85]。本工作通过发展一种集体宇称测量协议，分析其实验实现和对现实缺陷的鲁棒性，补充了这些方法。在第二节中，提出理想协议，对于任意数量的量子比特，MR的恒定量子违反是可探测的。在第三节中，我们发现大自旋的量子到经典转变是由实际限制（即操作缺陷、退相干和量子比特之间的不均匀性）引起的。在第四节中，讨论了在NDC检测中避免经典扰动的实验挑战。在第五节中，提出了在不同量子比特系综——里德伯原子、量子点自旋和超导量子比特——上测试MR的实验要求，其中在给定当前噪声技术的现状下，推导了MR违反可探测的最大量子比特数界限，得出结论为N≈100个量子比特。在我们的并行工作[86]中，所提出的协议被映射为门操作，并在IBM量子计算机（QCs）上使用，以检测高达38个量子比特的非经典性[87]。II. 理想协议在本节中，我们首先介绍本工作中使用的双时NDC和集体量子比特-光相互作用的形式。然后，针对理想情况（即无限操作精度和无噪声、无退相干）提出所提出的协议。分析首先针对一个与共同谐振器或腔相互作用的N个量子比特系综保持通用性，因为这种系统可以在多种实现中物理实现（见第五节）。A. 无扰动条件我们首先介绍涉及在时刻t1和t2（其中t2 > t1）顺序测量一个二分可观测量（具有±1结果）的双时NDC的形式。NDC意味着在t2时刻获得特定结果的概率应独立于之前是否已进行过测量。数学上，NDC可以表示为：(1) 其中，例如，P(a2|a1)是在t1时刻获得结果a1和t2时刻获得结果a2的联合概率，P(a2)是在t2时刻获得结果a2而没有在t1进行测量的概率。如果不存在经典扰动（见第四节），则任何非零值ε都表示NDC的量子违反，因为系统波函数经历了测量诱导的非幺正坍缩。在这里，我们注意到从概率归一化出发，可得Σ_{a2} ε(a2) = 0，因此我们对这种量的大小感兴趣。B. 集体量子比特-光相互作用让我们考虑N个量子比特，泡利算符为σ_i^α（其中i标记量子比特，α = x, y, z，且σ_i^z为Pauli矩阵），以及一个频率为ω_c的谐振器或腔，其湮灭和产生算符为a和a^?。所有哈密顿量均以?为单位给出，即耦合以角频率为单位。在相互作用绘景中，考虑旋转波近似，量子比特-腔相互作用由N个量子比特的Jaynes-Cummings相互作用哈密顿量给出：(2) 其中g_i是第i个量子比特与腔之间的耦合强度[95]。作为初步分析，假设量子比特是全同的且均匀与腔相互作用：前者意味着所有量子比特具有相同的自然频率ω_q，后者确保量子比特-腔耦合常数对所有量子比特相同，即g_i = g。我们进一步假设不存在量子比特-量子比特相互作用（物理上可以通过将量子比特间隔足够远来确保，因为这些相互作用通常随距离迅速衰减，例如偶极-偶极磁相互作用；见第五节）。在上述假设下，量子比特系综可以视为一个单个大自旋，角动量为J = N/2，希尔伯特空间为H_J，自旋算符为J_x, J_y, J_z，且J_± = J_x ± iJ_y[96]。注意这种近似在理论上常规进行，并在实验场景中可以满足[97–99]。在这些假设下，方程(2)的哈密顿量简化为H = g(a?J_- + aJ_+)，这被称为Tavis-Cummings模型[100]。腔与量子比特之间的失谐频率定义为Δ = ω_q - ω_c。在共振区（Δ = 0），腔可用于旋转自旋和状态制备。当腔场处于相干态（CS）[101] |α?，其中α = |α|e^{iθ}，腔是一个经典脉冲，可以被量子比特吸收（和发射）。事实上，从定义上可以近似|α| ? 1，使得哈密顿量有效作用于自旋作为一个旋转，即H_eff = 2g|α| J_θ，其中腔已被迹除。在非共振区（|Δ| ? g√N），相互作用哈密顿量可用于将量子比特系综与腔场纠缠，以对自旋进行测量。有效哈密顿量（从戴森级数的二阶项；见附录A）为：(3) 其中χ = g^2/Δ是总自旋的色散耦合。C. 提出的协议使用集体量子比特-光相互作用来测量NDC的提出协议通过五个阶段实现，如下所示：（1）状态初始化，（2）第一次旋转，（3）第一次测量，（4）第二次旋转，以及（5）最终测量。该协议对于整数和半整数自旋J（即偶数或奇数N个量子比特）是相同的。除非另有说明，否则N被视为整数，半整数情况在附录B中讨论，其中也给出了数学细节和证明。在下文中，下标c的量子态属于腔希尔伯特空间，而下标s属于自旋希尔伯特空间。当两个下标同时出现时，它们代表自旋-腔希尔伯特空间中的联合态。（1）系统初始化。描述量子比特系综的自旋J系统初始制备在基态|J, -J?_s，其中|J, m?是J^2和J_z的本征态，本征值分别为J(J+1)?^2和m?，与自旋J系统相关联。（2）第一次旋转。自旋与腔在共振状态下相互作用时间t_1。此步骤中腔场处于CS |α_1?_c，其中α_1 = |α_1|e^{iθ_1}。所得的幺正演化是旋转R_1 = e^{-i2g|α_1|J_θ t_1}，其中J_θ = J_x cosθ_1 + J_y sinθ_1。相互作用后，自旋状态是一个CS，定义为：(4) 其中d^J_{m',m}(β)是维格纳小d矩阵元。（3）第一次测量。测量过程首先将系统（大自旋）与探针（腔场）纠缠，随后对腔进行零差探测。在非共振区域中的腔处于相干态CS，其中参数选择和满足特定条件。复参数的选择确保对整数及半整数自旋均违反NDC（见附录B）。相互作用时间选择使得。自旋-腔纠缠态为：
(5)
其中未归一化的偶数和奇数自旋CS分别定义为：
(6)
(7)
偶数和奇数CS是正交的，并在Husimi-Q准概率分布中具有显著的非高斯性——因此表现出非经典性（如图1所示）。该准概率分布是大自旋的“相空间”表示，并针对自旋态定义为，其中是具有额外相位的自旋CS。
图1. 大自旋偶数和奇数CS的Husimi表示。
随后，对腔场进行由以下投影算子定义的结果为和的测量：
(8)
该测量在高强度本地振荡器极限下可近似通过零差测量实现，本地振荡器是参考信号的高强度相干态[102]。
假设并忽略腔的自由度，当检测到结果和时，自旋的未归一化（上标U表示）后测量态分别为和。因此，上述自旋（目标系统）与腔场（探针）之间的纠缠相互作用以及腔上的投影测量，实际上是对自旋系统的一种二分奇偶校验测量，由两个投影算子描述：
(9)
利用偶数和奇数自旋CS的代数结构（见附录B），第一次测量的结果概率由偶数和奇数CS的范数给出，解析计算为：
(10)
(4) 第二次旋转。第一次测量后的未归一化态可表示为，如果是偶整数（其他情况见附录B）。随后，系统再次经历相同角度的第二次旋转。第二次旋转后的自旋态为：
(11)
(5) 最终测量。随后，按照步骤(3)描述的方式再次进行测量（通过引入处于相同态的腔场，使其与自旋纠缠，并对腔进行上述投影测量）。通过类似的计算，可以获得结果统计量，即解析推导出、、和。
为确定，不进行第一次测量，即不执行上述步骤(3)。实际上，自旋系统旋转角度。随后，非共振相互作用和腔上的上述投影测量导致由式(10)给出，其中。
在上述情形中，NDC的违反被解析计算。对于（偶数和奇数）整数，违反量为：
(12)
半整数自旋的情形——即由奇数个量子比特组成的系综——在附录B中通过重写（其中为整数且）求解。当为偶数（奇数）时，违反量恢复为奇数（偶数）整数的相同表达式。
图2显示了不同自旋值下违反量随角度的变化。整数的最大违反量为，而半整数的最大违反量为。有趣的是，使的范围随增大而变宽。然而，对于半整数自旋，能获得违反量的范围随增大而变窄。在实验环境中，的值——即系综中的量子比特数——可能是未知的。由于对任意自旋值均有，该角度是优选选择。
图2. 理想情况下NDC违反幅度（记为）随的变化，对应不同的。
III. 量子-经典转变与噪声分析
在理想情况下，对于任意系综尺寸，解析发现MR违反量恒定。因此，宏观量子比特系综，无论其尺寸大小，在所提出的协议下都将表现出量子行为。在本节中，我们研究在所研究的系统背景下，经典性从量子力学描述中的涌现[51,54,56,103,104]。正如我们将展示的，(1)实验缺陷，(2)退相干，(3)量子比特-腔耦合的不均匀性，会导致所考虑的系统发生量子到经典的转变，NDC随噪声增加而趋于零。
A. 旋转误差
首先考虑旋转角度中的缺陷。此类误差可能源于(1)耦合中的系统误差，(2)旋转时间的误差，或(3)腔强度的误差。关于第一点，在实验环境中，平均耦合的精确值可能未知，导致两次连续的相等旋转，其中。如图2和式(12)所示，NDC的违反在附近近似恒定（且使的的范围随增大而变宽）。因此，选择使得协议对该误差源具有鲁棒性。如图2所示，在处测量，可以推断量子比特数的奇偶性，因为违反量在偶数（奇数）时达到最小值（最大值）。然而，第一种类型的不确定性确保在现实实验场景中，无法区分任意大的宏观系综的偶数和奇数，因为偶数和奇数之间的违反量可区分的范围随增大而减小。
对于后两种误差，如果腔场输入态和/或旋转时间在两次旋转之间不同，则产生的旋转将具有两个不同的角度。对于两个任意旋转角度的NDC违反量在附录C中推导，并绘制在图3中。理想情况下结果导致最大NDC违反量。
图3. NDC违反量作为两个旋转角度、的函数 (a) 自旋，解析推导的结果用红色表示，而用绿色表示，(b) 自旋，(c) 自旋。
此外，使得的范围，其中，随增大而变窄。为了量化旋转角度所需的精度，在附录D中详细研究了的情况，它代表最大可能的旋转误差。同样在此情况下，找到解析解，违反量为：
(13)
对于小误差的形式，取泰勒展开：
(14)
假设不同实验轮次中旋转角度的误差是服从正态分布的随机变量，其中是标准差。那么，可以通过积分（考虑足够多的实验轮次）来计算违反量作为的函数：
(15)
因此，当时——这是该误差可忽略的界限。这代表了量子到经典转变的一个原因：更大的需要更高的旋转精度才能检测到NDC违反。
B. 退相干
当考虑宏观系统时，退相干的研究变得非常重要。所提出协议中两个主要的退相干源是腔衰减和自旋退相位。在这种噪声源下，开放动力学由主方程描述：
(16)
其中是式(3)中的哈密顿量，是腔-自旋联合系统的含时密度矩阵，和分别是衰减和退相位速率，表示反对易子。该主方程在附录E中求解，时刻的密度矩阵为：
(17)
其中
(18)
为了保持讨论的一般性（不考虑任何特定物理系统），我们将以比率和的形式计算退相干效应，即以纠缠耦合为单位（详见附录E，以及两种退相干源同时存在时的附加图）。我们假设自旋旋转过程中的退相干效应与纠缠动力学相比可忽略不计。这可以通过将旋转时间在实验中制得比纠缠时间短得多来保证，通过考虑高强度腔旋转CS（如，）。此外，腔中的退相干将在腔与自旋的非共振相互作用中占主导，因为会创建与自旋态纠缠的腔CS的动力叠加——而在共振情况下，腔处于单个高度经典的CS，退相干效应将不那么显著。
在不同腔衰减速率和不同自旋退相干速率下（独立考虑）的NDC违反量如图4所示。随着环境噪声增加（即和增大），违反量被破坏，系统开始表现为经典行为。
图4. 大自旋的NDC违反量 (a) 在不同自旋值下，自旋退相干随退相干速率的变化，和 (b) 在腔泄漏下，随腔衰减速率的变化，对应不同腔强度。和以纠缠耦合（）为单位。
关于腔衰减，发现退相干效应在不同自旋值下近似恒定，但对腔场强度的选择敏感——如图4所示，并由式(18)中的因子给出。在时刻，在退相干下，腔CS强度为。当与1相当或小于1（腔CS的最小不确定度）时，测量将无法分辨偶数/奇数自旋子空间。这可以在图4中清楚看到，对于的情况——即使在非常低的退相干速率下，也不会接近理想值0.25。然而，应注意，随着增大，低强度腔CS在腔退相干下更具韧性。给定特定实验设置（即值），可以找到最优腔CS，使得在腔泄漏下最大。在下文中，腔强度保持在，因为它在腔退相干下具有韧性，但仍随减小接近最优值0.25（具体而言，当，时）。自旋退相干效应随着量子比特数增加而变得更加显著。如图4所示，在给定下，违反量随增大而减小。此外，随着环境变得更嘈杂，作为函数的衰减变得更快。这种退相干源可以通过实施众所周知的协议（如自旋退相位）来缓解。
C. 非均匀耦合
在许多实验设置中，可能存在量子比特-腔耦合的非均匀性；即系综中的不同量子比特与电磁场以不同的耦合强度相互作用。对于大的，可以假设耦合的概率分布接近高斯：，其中是均值，是耦合的标准差。
每个单量子比特的精确演化在计算上是不合理的，因为希尔伯特空间随量子比特数指数增长。因此，为简化计算，耦合的非均匀性通过将具有相似耦合的等量量子比特分组，并假设每个子系综中的所有量子比特与腔均匀相互作用来研究。数学上，将个量子比特分成个子集（确保为整数）。第个子集的平均耦合为：
(19)
其中，且表示耦合集首先按降序排序（因此，相似的量子比特被分组在一起）。第个子集（）中的所有量子比特被假设与腔均匀相互作用，耦合为。因此，每个量子比特子系综可以描述为具有总角动量和希尔伯特空间（）的单自旋。假设量子比特间相互作用可忽略，整个实验期间的总希尔伯特空间。在此过程下，腔-自旋系综相互作用为：
(20)
其中，是具有角动量算符的子自旋，且。应当注意，如附录A所示，式(9)的奇偶投影算子与哈密顿量对易。这意味着方程(3)中额外的量子比特-量子比特相互作用，即哈密顿量，即使在单个量子比特-量子比特的情况下也不会影响该协议，因此在后续讨论中可以省略。相同的提议协议——包括相同的相互作用时间，使得——在附录F中详细讨论了非均匀耦合的情况，并推导了NDC的违反。数值结果作为标准差（以单位表示）的函数绘制在图5中。图5. 通过腔场测量的量子比特系综的NDC违反，其中量子比特-腔耦合是非均匀的，从标准差的高斯分布中提取。违反（a）作为的函数，其中；以及作为系综大小的函数，在恒定（b）和（c）下。如图5所示，耦合中的非均匀性使系统变得经典，而均匀性是检测系综量子性的必要条件。更大的系综需要更小的耦合非均匀性，这代表了量子到经典转变的另一种形式。一方面，随着的增加，对单个大自旋的近似变得不太准确。另一方面，更高的意味着对非均匀量子比特系综的更准确描述。的幅度对于和两者的较大值而减小。系综的量子性可以在时找到。随着减小，随着系综大小的增加，转变变得不那么显著。

我们注意到这种效应也编码了旋转不确定性（），因为旋转误差通常由谐振器和量子比特之间耦合的非均匀性引起。IV. 量子测量诱导的坍缩和经典干扰

通过NDC的量子违反来探测量子性主要是基于量子测量诱导的坍缩是量子力学公设中固有的一部分这一事实。然而，经典系统的测量也可能引起干扰，特别是在实验场景中。这种被称为CD的干扰不是经典物理的固有部分，原则上可以做到任意小。这在实验中可能并不总是可以实现的，也被称为NDC不等式的笨拙漏洞。虽然已经提出了各种减少这种漏洞的方法，但这些方法特定于物理实现和测量过程[2,11–13,83–85,105,106]。在这里，我们将描述基于我们并行工作[89]的两种方法，这些方法适用于我们考虑的协议。

当前情况下的CD是由协议的单次和双次测量部分之间的经典噪声差异引起的[90]。例如，执行和不执行第一次纠缠动力学之间的实验时间持续时间的差异会导致积累的环境噪声的差异，从而引起CD。最小化经典干扰的基本思想是使实验的单次测量部分尽可能类似于双次测量部分。

人们可能会问，CD是否实际上代表了实验挑战，以及以下提出的CD缓解方法是否能有效减少此类干扰。为了检测CD，可以注意到对于旋转角度（或），理想的量子NDC违反被预测为零。因此，对于此类角度检测到的NDC违反可以被解释为完全由经典噪声引起，假设CD不是角度的函数。

在本节中，提出了两种方法来减少CD对NDC违反的影响。我们改编了这些方法，从使用IBM QCs实现协议（参见我们的并行工作[86]），该工作强调了在实验环境中避免CD以真正见证量子性的重要性，因为在那些CD被检测到大约占总理想NDC违反的（其中），并且在CD减少后在统计误差内变得可忽略，从而使协议无笨拙漏洞。此外，正如我们将看到的，第一种方法使我们能够阐明与量子测量诱导坍缩相关的一些微妙的根本问题。

A. 减少经典干扰的方法1

为了最小化经典干扰对NDC违反的影响，我们使实验中单次和双次测量部分的量子比特-腔纠缠动力学相同。这可以通过以下步骤实现（这里针对整数说明——半整数情况将在性质上类似）：

(1) 在协议的两个部分中，在初始旋转之后，自旋与腔纠缠，使得联合态变为。

(2) 随后，对腔进行零差测量，这取决于正在实现协议的哪一部分——在双次测量部分执行零差测量。相反，在单次测量部分不执行。一方面，如果执行了测量，自旋-腔坍缩到两个非归一化测量后（UPM）态或之一，概率如方程(10)所示。另一方面，如果没有执行测量，状态保持不变。

(3) 在这两种情况下，再次执行相同的自旋-腔纠缠动力学。如果执行了测量，第二次自旋-腔纠缠动力学将上述两个坍缩态分别演化为和。如果没有执行测量，则非坍缩态在第二次纠缠动力学下演化到初始乘积态，即。

(4) 在这两种情况下，腔随后被平凡地丢弃。因此，如果执行了零差测量，自旋处于或态，而如果没有执行零差测量，自旋处于态。

(5) 在这两种情况下，执行自旋的第二次旋转和最终测量（涉及另一次自旋-腔纠缠动力学以及对腔的零差测量）。在这个修改后的协议中，在双次测量和单次测量情况下都执行三次纠缠动力学。协议的两个部分之间的唯一区别是腔上的中间零差测量。NDC的违反等同于第II节中描绘的理想协议的违反，但确保了经典干扰被最小化。

上述修改后的协议指出了量子测量过程的一个基本特征。量子测量包括两个阶段：（步骤1）目标系统（待测系统——此处为量子比特系综）和探针（此处为腔）之间的纠缠动力学，（步骤2）通过对探针进行投影测量（此处为腔上的零差测量）来读出结果。步骤1对目标系统造成干扰，因为目标系统的任何纯态在纠缠动力学后都变为混合态。另一方面，步骤2使这种干扰不可逆，因为目标-探针的纯纠缠联合态根据结果坍缩到特定状态，因此在多次实验运行中通过此步骤变为混合态[88]。在缺乏步骤2的情况下，可以通过在目标-探针的联合态上应用纠缠幺正动力学的逆来消除对目标的干扰（这在上述修改后的协议中在没有零差测量的情况下发生）。因此，虽然纠缠动力学负责量子测量诱导的干扰，但读出步骤对于使这种干扰不可逆至关重要。这两个步骤共同导致目标系统上的不可逆坍缩——一种真正的非经典特征。

注意，在没有读出部分的情况下，在探针和系统之间进行然后撤销纠缠动力学是在斯特恩-盖拉赫干涉仪的背景下完成的[13,107,108]。

B. 减少经典干扰的方法2

上述方法需要三次纠缠动力学，这在实验上可能难以实现。最小化CD的另一种方法是始终执行两次纠缠动力学，但在协议的单次和双次测量部分之间改变探针的输入态。

协议的双次测量部分与第II节中呈现的相同。另一方面，单次测量部分与双次测量部分相同，除了第一次纠缠动力学期间腔的输入态是。因此，在自旋态的初始旋转和引入腔之后，自旋-腔态变为，其在纠缠动力学下演化为。随后，对腔进行零差测量是平凡的，导致自旋的测量后态。然后照常执行第二次旋转和测量，导致与第II节相同的测量概率和相同的NDC违反。

在这种方法中，单次测量部分中的第一次纠缠动力学不纠缠自旋和腔[我们使用术语“纠缠动力学”仅指第II C节阶段(3)中提到的自旋和腔之间的相互作用]。因此，这种相互作用以及对腔的零差测量根本不能被解释为对自旋的测量。因此，实际上，在单次测量部分，对自旋的测量仅执行一次——即对自旋的最终测量。因此，这种方法中单次和双次测量部分之间的唯一区别是对探针应用（可选的）局域幺正操作，从而显著减少CD。应该注意，这样的态在光学系统中通常被制备[109,110]。

在采用上述两种减少CD的方法之一后，应进行一个对照实验，其中理想的量子违反被预测为零（例如，对于）。在该对照实验中观察到的任何NDC违反都可以完全归因于CD。对于其他值实验观察到的NDC违反，只有在观察到的NDC违反与对照实验中仅由CD引起的NDC违反之间的差异在统计不确定性范围内显著时，才能被认为是量子性的决定性的特征（即排除任何宏观实在论描述）[83,89]。

V. 讨论：物理实现

在许多物理系统中，量子比特的控制和测量是通过腔场或谐振器实现的，这代表了所提出协议的潜力和灵活性，本节将探讨这一点。在下文中，我们研究当前实验的参数空间——例如频率和耦合——与第III节中进行的噪声分析相关。所考虑的参数总结在表I中，其中给出了不同物理系统下可以违反NDC的最大量子比特数（），代表了该工作的主要结果之一。在这里，我们对（1）超导量子比特，（2）里德堡原子，和（3）具有人工自旋轨道相互作用的自旋量子比特（例如，双量子点或掺杂剂空穴自旋）进行比较分析，它们与超导共面波导谐振器（CWR）耦合，这在许多系统中已在实验上实现[68]。在图6中，给出了实验装置的示意图。

图6. 表示所选配置的量子比特系综放置在距离处，与CWR的基模电耦合的图。

表I. 用于实现NDC宇称协议的参数数量级，包括（1）超导量子比特，（2）里德堡原子，和（3）自旋量子比特。对于上述所有情况，CWR的基频为（是电子电荷，是玻尔半径）。

实验参数 符号 单位 超导量子比特 里德堡原子 具有自旋轨道的自旋量子比特

电偶极矩

单量子比特-光子耦合 MHz 110 7 1

失谐频率 MHz 1000 70 10

纠缠耦合 MHz 45 3

量子比特间距离 35 23 7

量子比特数和退相干率的界限

由非均匀性引起的量子比特数界限 NA

自旋退相位速率 kHz

腔衰减速率 kHz

单量子比特旋转不确定性 rad

定义物理系统的实验参数是量子比特频率，平均单量子比特-腔耦合，和失谐频率。实验噪声由（1）旋转不确定性，（2）腔衰减速率，（3）自旋退相位速率（其中是每个量子比特的退相位时间），和（4）耦合的非均匀性捕捉。鉴于这些参数以及实验的物理实现，在NDC违背可被探测的前提下，所能达到的最大量子比特数是多少？在探究具体实现（及其所隐含的约束条件）之前，我们可以从已进行的噪声分析中得出一些一般性的考量。首先，我们定义可接受噪声，即对于给定的\(N\)，预测的NDC信号为\(10^{-3}\)时对应的噪声量。这需要\(10^6\)次实验运行，以确保统计误差比探测到的NDC违背低一个数量级（因为\(n\)次运行能以不确定性\(1/\sqrt{n}\)确定结果的概率）。因此，我们发现噪声效应是可接受的：（1）对于腔衰减——若\(\kappa/2\pi \lesssim 10^3\) Hz，通过选择最优腔强度（\(g/2\pi \sim 10^7\) Hz）以使得在给定上述\(\kappa\)的情况下NDC违背最大化（见图4）；（2）对于自旋退相干——若\(\gamma/2\pi \lesssim 10^3\) Hz（见图4）；（3）对于耦合不均匀性——若\(\Delta g/g \lesssim 10^{-2}\)（见图5）；（4）对于旋转精度——若\(\Delta\theta \lesssim 10^{-2}\)。我们注意到，退相干率的两个界限均与纠缠耦合\(g\)成线性关系缩放，因此\(g\)应被最大化。这通过减小腔体积\(V\)和增大\(d\)来实现。鉴于必须满足非共振条件（\(\Delta \gg g\)），\(g\)的最小值受到限制，我们可以取\(g/2\pi = 10^7\) Hz作为所有实现的合适选择[69,78,111]。这意味着\(\kappa/2\pi \lesssim 10^3\) Hz。反转退相干噪声的界限，我们发现对于\(g/2\pi = 10^7\) Hz和\(N=1000\)，退相干效应是可接受的。为了探测NDC违背，单量子比特-光子耦合必须大于腔衰减率和自旋退相位率，即强耦合机制是实验的要求，这已在众多架构中被实验实现，包括多量子比特系统[70–74,77,112]。因此，我们将自身限制在量子比特与谐振器通过电场耦合的情况，并将磁耦合排除在分析之外（因为发现其对于该方案的实现太弱，其中只有有效的多量子比特耦合才能实现强耦合）。

在附录G中，我们讨论了由图6所示形式的腔产生的电磁场，即一个没有一侧平行于\(yz\)平面、高度为\(h\)的超导盒，用于近似CWR。由盒子施加的边界条件产生的微波模式类别是横磁或横电模式，其中前者（此处选择用于与量子比特耦合）在传播方向\(x\)上具有消失的磁场分量[78,113]。考虑到制造约束[114]（和图6），所选择的CWR尺寸如下：长边\(L=2\) cm，短边\(W=0.2\) cm，厚度\(T=0.1\) cm，使得体积\(V=4 \times 10^{-8}\) m3。基板在\(x=0\)处的存在诱导了有效介电常数\(\epsilon_{\text{eff}}\)，其给出共振基频\(\omega_c/2\pi = 5\) GHz [114]。此外，谐振器在\(x=0\)处缺少闭合侧意味着电场在\(x\)方向呈指数衰减，这些模式被称为倏逝波[113]。如附录G所示，该效应在谐振器内部可忽略，例如超导和自旋量子比特的情况；而当量子比特放置在谐振器外部时，如里德伯原子（通常由光镊捕获，位于\(x=0\) [75,78]），电场分量的衰减强度会降低一个因子。我们将在表I中考虑里德伯原子情况下的这一具体效应（其使\(g\)降低一个数量级），而在以下表达式中将省略显式的\(x\)依赖性。

让我们考虑一个偶极矩为\(d\)的量子比特放置在腔的中心，即\(x=L/2\)，与CWR的基模相互作用。偶极矩可写为\(d = q a_0\)，其中\(a_0\)是玻尔半径，\(q\)是电子电荷，\(\alpha\)表征量子比特类型（见表I）。因此，量子比特-谐振器耦合为
\[
g = \frac{d}{2\hbar} \sqrt{\frac{\hbar \omega_c}{\epsilon_0 \epsilon_r V}} \quad (21)
\]
其中\(\mathcal{E}_{\text{vac}} = \sqrt{\hbar \omega_c / (\epsilon_0 \epsilon_r V)}\)是真空电场密度，\(V\)是谐振器体积，\(\epsilon_0\)和\(\epsilon_r\)分别是真空和相对（有效）介电常数。从表I中给出的\(g\)值可以看出，谐振器衰减率的界限并不构成实验挑战，因为在大量谐振器中已报道更低的衰减率，例如\(\kappa/2\pi \sim 10\) Hz [115]。这里应注意，为了收集必要的光以执行零差探测，较高的衰减率可能是更可取的[82]。

可实现的量子比特数（\(N\)）受量子比特可放置体积的限制。一方面，大的量子比特-腔耦合\(g\)——需要小体积——是更可取的，以便实验在系统相干时间内完成并满足强耦合机制。另一方面，小体积会增加由直接量子比特-量子比特相互作用（因为它们彼此放置得更近）和耦合不均匀性（因为谐振器的电场强度在量子比特间变化更快，导致不同的耦合）引起的噪声。偶极-偶极相互作用（耦合\(J_{ij}\)）与纠缠相互作用（耦合\(g\)，这是实验中最慢的过程）相比是可忽略的，当
\[
\frac{J_{ij}}{g} \ll 1 \quad (22)
\]
这给出了量子比特之间的最小距离（\(d_{\min}\)），使得偶极-偶极相互作用可忽略。选择\(\alpha = 1\)，最小距离由\(d_{\min} \sim 100\) nm给出。

然而，量子比特在谐振器中的不同位置引入了耦合不均匀性，因为不同量子比特由于电场对位置的依赖性而经历不同的电场强度。具体来说，量子比特放置在\(x = L/2\)处的直线上，其中\(y = 0\)，电场密度的\(x\)分量是第一谐波\(\mathcal{E}_x(x) = \mathcal{E}_{\text{vac}} \sin(\pi x / L)\)。然后，第\(j\)个量子比特的耦合为
\[
g_j = g \sin(\pi x_j / L) \quad (23)
\]
这种不均匀性随量子比特数\(N\)增加而增大（\(\Delta g \propto N\)），且与体积成反比（\(\Delta g \propto 1/V\)）。在附录G中，研究了由此产生的不均匀性，并发现如果满足以下界限，则它是可忽略的[即\(\Delta g / g \lesssim 10^{-2}\)，如第三节所示]：
\[
\frac{N^2 \pi^2}{12} \left( \frac{d_{\min}}{L} \right)^2 \lesssim 10^{-2} \quad (24)
\]
应当注意，与物理实现所给出的界限相比，这可能不是一个严格的界限，因为制造缺陷（在超导和自旋量子比特的情况下）和捕获位置的不确定性（里德伯原子）可能会增加不均匀性效应。然而，所研究的这种不均匀性来源可以通过使用多个级联腔来减小，类似于参考文献[79–82]的做法。

所选择的参数在表I中给出，由此推导出由不均匀性给出的界限（\(N \lesssim 10^3\)），随后用于计算自旋退相位率和单量子比特旋转不确定性的界限，这些界限具有\(N\)依赖性——即\(\gamma \lesssim 10^3\) Hz和\(\Delta\theta \lesssim 10^{-2}\)。一方面，可以注意到，对于强相互作用量子比特，如超导量子比特和具有高偶极矩（从而高耦合）的里德伯原子，退相位界限并不严格，因为实验可以在退相干时间内完成。然而，高耦合增加了直接偶极-偶极相互作用，从而增加了量子比特可放置的最小距离，因此不均匀性界限将实验限制为超导量子比特\(N \lesssim 10^3\)和里德伯原子\(N \lesssim 10^2\)。另一方面，在半导体自旋的情况下，较低的偶极矩增加了由不均匀性给出的界限（\(N \lesssim 10^4\)），然而，较低的耦合增加了对相干时间的要求。

VI. 结论

我们提出了一种协议，利用量子比特系综与谐振器的色散相互作用以及随后对谐振器正交量的零差测量，来对量子比特系综实现宇称测量。通过比较单次和双次宇称测量方案，可检测到MR的恒定量子违背，且不受量子比特数目的限制：在理想情况下，量子比特系综的非经典性总是可探测的，即使对于许多\(N\)个单位也是如此。量子性通过宇称测量下系综波函数坍缩引起的不可避免的扰动来体现。所提出的协议在操作上与系综大小无关，并提供了一种实验可实现的基于宇称测量的方案，用于测试宏观量子比特系综的非经典性。

我们发现该方案的限制因素由退相干和量子比特-谐振器耦合的不均匀性引起，这些因素诱导了量子到经典的转变，随着量子比特数量的增加，恢复了宏观世界的经典行为。这种行为并非根本性的；相反，它仅源于操作约束，因为随着量子比特数量的增加，执行实验变得更加困难。

我们详细介绍了使用CWR与多种量子比特（即超导量子比特、里德伯原子和具有人工自旋轨道相互作用的自旋量子比特）的协议的具体实现。在此背景下，应注意，操作上相似的实验——即通过CWR进行色散相互作用和零差测量——已经在两个量子比特之间概率性生成纠缠态（有效地执行宇称测量）方面实现，用于超导和自旋量子比特[81,82]。因此，我们对\(N\)个量子比特的推广已可用于实验实现，以测试量子力学的宏观极限。

我们得出结论，鉴于当前最先进的量子技术，可以探测超导量子比特系综、里德伯原子系综和半导体中具有自旋轨道相互作用的自旋系综的量子性，分别达到\(N \sim 10^3\)、\(N \sim 10^2\)和\(N \sim 10^4\)。所提出的协议在量子比特数量上可扩展，随着量子技术向更隔离的系统发展，使得在不同噪声下可以实验研究向经典性的转变。在此，我们注意到在QC背景下我们的并行工作[86]，其中无笨拙漏洞的协议已被用于探测IBM QC的量子性，最多可达38个量子比特，展示了随着QC变为宏观系统时的经典性转变。

我们强调，使用集体宇称测量作为中间测量是我们方案的一个关键技术要素。虽然宇称测量在量子信息处理和量子计量学中已得到充分确立[116–119]，但它们在此处的角色是为实验探测宏观量子比特系综的非经典性提供实用工具。

总之，所提出的协议探索了宏观量子比特系综中的量子到经典转变。结果明确证明了在大自旋极限下经典行为的出现与控制缺陷和退相干的实际限制密切相关。我们的工作提出了一种合适的协议，可通过多种物理系统实现，以利用当前技术展示即使包含大量量子组元的系统也具有非经典特征。