从本征态热化假设的流动中预测动力学

《Physical Review Research》：Predicting dynamics from flows of the eigenstate thermalization hypothesis

　　远离平衡量子动力学的解析处理很少，即使在热化良好的系统中也是如此。著名的本征态热化假设（ETH）为热化哈密顿量的本征基中观测量矩阵元提供了一种后验拟设，以这些观测量的各种响应函数作为输入。然而，ETH无法预测这些响应函数。我们引入一种称为统计雅可比近似（SJA）的方法，在哈密顿量受到微扰后更新ETH拟设，并预测微扰后的响应函数。雅可比算法通过一系列二能级旋转来对角化微扰。SJA在对角化过程中假设ETH成立，从而以统计方式实现这些旋转，并为ETH拟设中的各种形状因子生成积分微分流方程。我们利用雅可比旋转的统计信息作为输入，近似求解这些流方程，并预测微扰哈密顿量热态中的淬火动力学和自相关函数。预测的动力学与随机矩阵模型和自旋链中的精确数值结果一致，优于二阶含时微扰理论。

I. 引言

即使对于热化良好的系统，对孤立量子多体系统动力学进行定量预测也很困难。然而，在这类系统中，给定这些观测量的各种响应函数作为输入，存在一个成功的观测量描述；这就是本征态热化假设（ETH）[1–9]。ETH源于复杂原子核的经典随机矩阵模型[10]，于20世纪80年代被提出[1]，并在90年代得到显著推广[2,3]。该假设认为单个本征态是热化的。也就是说，单个本征态中的少体期望值和关联函数与热系综中的相同。这一假设已通过精确对角化进行了数值检验[4,5,11–22]。相反，非各态历经行为可以从本征态中作为ETH的违反来检测，如量子多体疤痕[23,24]、希尔伯特空间碎裂[25,26]和多体局域化[27,28]所表现的那样。

对ETH的另一种观点是，它是对热化系统能量本征基中局域算符矩阵元的最大熵拟设，受制于重现感兴趣的响应和关联函数的约束。对于算符 在哈密顿量 的能量本征基 中的矩阵元，它表示为
(1)
其中 ，且 为能量差， 和 是其变量的光滑函数（称为形状因子）， 为能量 处的态密度， 为均值为零、方差为1的伪随机变量。

能量相关的形状因子 和 确保单个本征态在热力学极限下重现 的微正则期望值和自相关函数[29]。

在过去十年中，一些研究者将ETH扩展到描述多点关联函数、时序外关联子[30–33]，以及对参数突变（淬火）的响应[34,35]。这些扩展仍然是如式(1)中算符矩阵元的最大熵拟设，但伪随机数 之间（在同一矩阵内或矩阵之间）具有互相关，以编码所需的响应函数。

从描述性假设走向量子动力学的预测理论，需要计算ETH拟设中的各种能量相关形状因子——式(1)中的 和 。本文朝这个方向迈出了第一步。我们假设ETH在给定哈密顿量 的本征基和由雅可比算法[36,37]产生的旋转基中成立，从而推导出关于目标哈密顿量 的ETH拟设[式(1)]。这些拟设预测形状因子，因此也预测相对于哈密顿量 的各种响应函数，以相对于哈密顿量 的形状因子和关于雅可比算法的定量统计信息作为输入。

雅可比算法是一种使用一系列二能级幺正旋转对角化矩阵的数值算法。每个二能级旋转被设计为零化两个绝对值最大的非对角矩阵元，记为 。当应用于矩阵 时，它产生一系列二能级旋转，将 的本征基旋转到 的本征基（图2）。矩阵 在 本征基中的伪随机性[式(1)]表明，这些旋转可以统计地、独立地进行，至少在起始矩阵的典型行/列被算法显著更新之前。设这些迭代次数为 。我们假设在 次迭代后ETH成立；即 在旋转基中的矩阵元为
(2)
给定 个旋转角的统计量，形状因子 和 与式(1)中给定的形状因子线性相关。我们继续，再执行 次迭代，并再次假设ETH成立。这整个过程称为统计雅可比近似（SJA）[38,39]，在热力学极限下产生形状因子的积分微分流方程[式(38)]，作为当前最大矩阵元 的函数。 处的形状因子确定淬火后动力学，本身由雅可比旋转的统计分布和 处的形状因子决定（图1）。

图1. 统计雅可比近似预测良好热化哈密顿量 的动力学，给定满足ETH的哈密顿量 、由哈密顿量 生成的观测量动力学（记为 ），以及关于雅可比算法的统计信息。具体而言，它取哈密顿量 的ETH拟设中出现的形状因子[式(24)]和联合数密度[式(32)]作为输入，并计算哈密顿量 的形状因子。哈密顿量 的响应函数，如 ，由形状因子得出。

我们推导了预测微扰哈密顿量 热系综中自相关函数 和从 到 淬火后动力学 的形状因子流方程。由于无法精确求解流方程，我们迭代求解并产生作为 的级数展开的解，其中 。预测的 动力学与随机矩阵模型和一维自旋链中的精确数值结果定量一致，并且比二阶含时微扰理论（TDPT）更准确。后一个结果值得强调：尽管对流方程进行微扰求解，但由于来自雅可比算法的统计输入，预测的动力学在 中是非微扰的。

流方程依赖于来自雅可比算法的单一统计非微扰输入，即被零化矩阵元 、由该矩阵元连接的本征态能量 以及 在这些本征态之间的矩阵元 的联合数密度[参见式(28a)和(32)]。除此之外，我们只需要初始形状因子。我们从小系统数值计算中获得联合数密度和初始条件。在具有短关联长度的热化良好系统中，随着系统尺寸增大，该分布和初始条件保持稳定。直观地说，这是因为雅可比算法首先旋转由微扰 最强耦合的态。这些旋转具有最大的能力重新排列 的谱，因此对动力学响应影响最大。

SJA此前已被部分作者在几个情境中使用。在上述设置中，SJA提供了 的一个本征态在从 到 淬火后的（对数）存活概率的闭式解[39]。该解定量准确，并捕捉了大微扰下费米黄金规则衰减速率的修正。然而，存活概率在多体系统中并不是热化的有用度量，因为它以广延速率衰减，并在热化实际发生之前很久就变得不可测量。将SJA扩展到ETH的背景下使我们能够探测可观测物理。SJA的哲学也先前应用于预热多体局域化系统[38]。使用 本征基中矩阵元的不同统计描述（而非ETH），文献[38]预测了局域自相关函数的拉伸指数衰减。精确数值计算证实了这一预测。

还有其他迭代对角化矩阵并推导响应函数流方程的方法，特别是Wegner-Wilson流[40–43]。与SJA的主要分歧在于流过程中ETH的适用性。例如，Wegner-Wilson方案通过一系列具有空间局域生成元的旋转将 的本征基旋转到 的本征基，从而在希尔伯特空间中产生复杂的关联。在观测量是微扰[44,45]或微扰是随机矩阵[46–48]的特殊情况下，可以获得响应函数的解析结果。

本文组织如下。第II节回顾雅可比算法和ETH的理论背景。第III节介绍SJA和流动形状因子。第IV节推导形状因子的流方程，第V节给出其迭代解。第VI节解释数值实现，并将这些解与随机矩阵模型和一维自旋链模型中的精确数值结果进行比较。最后，第VII节以扩展和应用的讨论结束。

主要结果总结

在本小节中，给出主要技术结果的高层概述。虽然自相关函数也获得类似结果，但此处重点在于期望值。

给定观测量在 下的动力学，目标是预测相对于微扰哈密顿量 的 。我们使用 本征基中的Lehmann表示定义形状因子 ，
(3)
其中
(4)
初始密度矩阵在 时关于 是平稳的，例如在有限能量窗口内具有均匀权重的微正则系综。这里， 是雅可比迭代 处流参数 的起始值，由微扰 在 本征基中的最大非对角矩阵元绝对值给出。相对于哈密顿量 （ ）的形状因子对应于流参数 （ ）。

Lehmann表示还将观测量 相对于哈密顿量 的动力学与相对于同一哈密顿量的形状因子联系起来：
(5)
其中
(6)
其中 是哈密顿量 的本征态。

我们在第IV节中推导了在雅可比旋转下 演化的积分微分方程，其中 是雅可比更新基中的形状因子。推导假设沿整个流ETH成立，我们期望这对于热化系统成立。

一般求解 的微分方程很困难。在第V节中，我们通过将解表示为 的级数展开来求解方程。例如，在 和 对易的情况下，到 的最低阶，雅可比流末端的形状因子为
(7)
其中 和 由 确定；
(8)
(9)
雅可比谱函数 是来自雅可比算法的统计输入。它是连接能量 和 的消去矩阵元的平方和。在 的最低阶，它与微扰 相对于哈密顿量 的谱函数一致[39]：
(10)
因此式(7)恢复了二阶含时微扰理论。然而，由于 是通过数值实现雅可比算法获得的，它包含了 的非微扰修正。

在第VI节中，我们将流方程的迭代近似预测与二阶含时微扰理论进行比较，发现当使用数值精确的 时，对自相关函数和期望值的预测定量更准确。我们预期求解 的微分方程到 的更高阶应能提高精度，直到渐近展开失效的某个阶数。

II. 理论背景

以下两个小节回顾雅可比对角化算法（第II A节）和非平衡ETH拟设（第II B节）。非平衡ETH拟设是式(1)的扩展，捕捉了算符 在淬火到哈密顿量 后的完整动力学。第II B节还解释了ETH拟设中的形状因子如何编码不同的响应函数。

A. 雅可比对角化算法

雅可比对角化算法[36]是对 厄米矩阵进行对角化的迭代过程。

考虑任意计算基 中的矩阵 ，其中 。该算法通过应用一系列二能级旋转来对角化矩阵，这些旋转消去最大的非对角元（见图2）。过程如下：

(1) 找到绝对值最大的非对角矩阵元，
(11)
对应的子矩阵（以 和 作为行和列指标）为
(12)
其中 且 是通常复非对角元的相位。

(2) 构造对角化 子矩阵的幺正旋转 。将其应用于 基态，得到
(13a)
(13b)
其中旋转角 定义为
(14)
其他基元不受影响。在旋转基中， (15) 总之，基的更新为 ，其中 (3) 返回步骤1，使用矩阵 。 图2. 雅可比算法示意图：(a) 在每次迭代中，找出绝对值最大的非对角矩阵元 。这是要被消去的元素。(b) 执行两级幺正旋转 ，使得 变为零。该旋转影响与指标 和 关联的行和列。(c) 旋转之后， 。(d) 重复消去操作，经过 次旋转（其中 为矩阵大小）后，矩阵被完全对角化。灰度表示矩阵元的绝对值，从白色到黑色递增。经过 次旋转后的雅可比基态为 (16)在无穷多次迭代的极限下，它们收敛到 的本征基。事实上，可以证明，非对角范数 (17)随迭代次数以至少为 的速率指数级快速收敛到零 [39,49]。因此，雅可比算法以 次浮点运算对角化一个厄米矩阵。[共有 次旋转，每次旋转涉及 次加法和乘法运算。]作用于矩阵的雅可比算法，自然地依赖于基。也就是说，旋转 取决于固定算符 最初被表示的基。在本文中，我们考虑 并将 写成 的本征基。雅可比旋转随后将 的本征基旋转到 的本征基。 B. 非平衡本征态热化假说 在本小节中，我们回顾ETH及其扩展——非平衡ETH，用于描述淬火动力学 [34,35]。我们还将ETH拟设中的各种形状因子与物理量联系起来。考虑式(1)中算符 的矩阵元拟设。式(1)中的函数 是 在微正则系综中的期望值；这直接由代入得到。接下来， 是 在相应微正则系综中的谱函数。为简单起见，考虑无穷温度。无穷温度自关联函数 的莱曼表示为 (18)将ETH拟设[式(1)]代入式(18)，自关联函数为 (19)等式右边第一项是对角部分对自关联函数的贡献，决定了它的无穷时间平均。第二项将 与对应于无穷温度能量密度的微正则系综中连通关联函数的傅里叶变换等同起来，因此也就是谱函数。虽然各种形状因子可以在不引用ETH的情况下定义，但ETH意味着本征态之间的矩阵元由形状因子决定，直至系统体积的指数小修正。给定ETH拟设， 和 可以作为矩阵元的平均值提取出来： (20) (21)为了简化求和中的符号，我们引入了定义 (22)式(1)中的ETH拟设需要扩展以描述瞬态动力学 [30,34]。在哈密顿量 的本征基中， 的期望值为，从初始态 出发， (23)其中我们引入量 。扩展的ETH拟设为 (24a) (24b) 上面， 是均值为零、方差为一的伪随机数， 是均值为一的伪随机数，其方差未由拟设指定。 、 和 是其（先前定义的）参数的平滑函数。式(24)中的伪随机数 和式(1)中的 是相关的；这就是 具有非零均值的原因。式(24)中的平滑函数再次编码了简单的物理量。首先， 是初始态在 本征基中的概率密度。它通过矩确定了态 的平均能量和能量方差。接下来， 是存活概率的傅里叶变换（存活概率定义为时间演化态与初始态 的迹重叠）。最后，对于本文最重要的一点， 是 期望值的傅里叶变换： (25)与式(20)类似，式(24)中的表达式将量 、 和 定义为矩阵元的平均值。例如， (26) (27) III. 统计雅可比近似 第二节B部分中各种ETH拟设中的伪随机性表明，对雅可比算法提出的旋转进行统计描述足以捕捉响应函数。在这种描述中，平均消去元 扮演逆流时间的角色，随着雅可比算法的进行，从起始值 减小到0。在第三部分A节中，我们引入消去元的分布。这是不同能量之间旋转的数量密度，作为平均消去元 的函数。在第三部分B节中，假设ETH在雅可比流中成立，我们引入ETH形状因子（参见第二部分B节）作为 函数的参数化。 A. 消去元的分布 消去元的分布由下式给出 (28a) 其中 (28b)这里， 和 是雅可比算法第 次迭代中涉及的两个态，其中 是消去元的绝对值。由构造可知，该分布具有对称性 。另一个有用的量是给定能量处每行的消去元密度，定义为 (29)消去元的大小 ，经过多次旋转平均后，随雅可比旋转次数 单调递减 [39]。这启发我们使用平均消去元 来参数化雅可比算法的进展，而不是使用指标 。因此，雅可比算法诱导了各种量作为 函数的统计流。消去元分布随希尔伯特空间维数 增大的标度行为使我们能够区分两个不同的动力学区域 [39]。在稀疏区域中，每行最大的元标度为 。因此，每行消去一个元会使每行最大元的量级减小 。因此， 的标度为 (30)稀疏区域出现在（预热化和完全）多体局域化系统的物理中，并在参考文献[38]中使用了SJA进行研究。在这种情况下，动力学以共振——与大旋转角 相关的消去——为特征。相反，在稠密区域中，一个一般的算符 在满足ETH的哈密顿量 的本征基中由稠密矩阵表示[见式(1)]。也就是说，非对角元大小相似，标度为 。将一行的总非对角范数减小有限量 需要对每行进行 次消去。这导致最大的非对角元从 减小到 。[ 和 是 的量级，其中 。]因此， (31)此外，由于矩阵元的大小标度为 ，大旋转角很少遇到 [39]。计算算符 的响应函数需要来自雅可比算法的进一步粗粒度信息：第 次迭代中涉及的两个态之间的非对角矩阵元 的值。我们因此引入联合数密度 ： (32)注意到 包含了非对角矩阵元乘以复相位 ，其中 是与消去元 相关的相位。这确保当 或 乘以整体相位时 不变。只有组合 出现在第四部分流方程的推导中。与之前一样，我们定义每行的数密度， (33) B. 雅可比流中的形状因子 考虑矩阵 和 （写在 的本征基中）。经过足够多次旋转[ ；参见式(31)]后， 的值减小一个小的有限量 。假设在这些多次旋转之后ETH成立，第二部分B节中的形状因子仍然是 和 的平滑函数，但会获得对 的平滑依赖。经过足够多次旋转 后，依赖于 的形状因子定义如下： (34) (35) (36) (37) 的形状因子在 时恢复，而 的形状因子在 时获得。为简单起见，我们忽略雅可比流中能级的移动。原则上，它们也可以被包括进来 [39；附录A]。然而，对能级的主要影响是初始态平均能量的整体移动，这在无穷温度下不影响动力学。更广泛地说，当熵密度是能量密度的缓慢变化函数时（使得能量相差相关 的态密度之比接近于1），能级运动效应可以被可控地计算。 IV. 形状因子流方程 在本节中，我们使用SJA获得 本征基中形状因子的流方程（在第三部分B节中引入）。流方程在 处的初始条件由 的形状因子给出。此外，方程显式依赖于消去元的密度 和 。给定这些密度，在 处流方程的解导致对 的形状因子（以及因此响应函数）的预测，如第二部分B节所解释。流方程的推导在第四部分B节中提供。在第四部分C节中，我们讨论流方程的一些基本性质，并证明热力学极限是良定义的。 A. 方程的陈述 考虑一个初始态 ，它关于未微扰哈密顿量 是定态的。因此它在起始基中是对角的。 的流方程由下式给出 (38)定义 (39)泛函 和 的形式为 (40)和 (41)项 由下式给出 (42)它作为线性积分-微分方程[式(38)]的源项。源项 是微扰 的矩阵元与可观测量 之间相关性的结果： (43)其中 (44) 和 的流方程由下式给出 (45)和 (46)在式(35)中定义的 的谱函数的流方程由下式给出（省略参数 ） (47)其中 定义为 (48)和 (49)注意，所有的积分-微分方程都是线性的，其中 和 的流方程是非齐次的。对微扰 的任何非线性依赖通过消去态密度 和 进入。 作为 函数的一致演化方程超出了本工作的范围。流方程只假设ETH在从 到 的流动过程中成立。它们的结构是普适的，而特定问题的具体细节通过(1) 、 和 的初始条件，以及(2) 和 的形式进入。两个形状因子 和 的流方程[分别写在式(38)和(47)中]中的泛函编码了雅可比旋转对矩阵元的作用。在这两个方程中， 对应于图3(b)所示的行更新，而 对应于图3(c)中的列更新。源项 或 考虑了每次雅可比旋转中被消去的特殊非对角项的变化[见图3(d)]。这个项在两个方程中不同，因为 是两个不同矩阵 和 的非对角矩阵元的乘积，而 由单个矩阵的非对角矩阵元确定。事实上，由此得出 （利用在热力学极限下无穷温度能量密度处 ）。图3. 量 的一个更新步骤示意图。(a) 更新步骤影响指标 和 的行（红色）和列（蓝色）。更新可以分解为三个贡献。(b) 元 和 之间的旋转，其中 （以红色显示）。(c) 元 和 之间的旋转，其中 （以蓝色显示）。贡献(b)和(c)导致流方程[式(38)]中的项 和 。(d) 第三个贡献，以紫色显示，考虑了元 和 的更新，导致式(38)中的项 。此外， 和 之间可能存在相关性。这些必须单独包括，并导致式(38)中的项 。项 考虑了可观测量 和微扰 之间的非平凡相关性。类似地， 和 的两个流方程在结构上相同，因为它们是从矩阵对角元的雅可比更新推导出来的。 B. 流方程的推导 本小节提供式(38)的推导，从单次雅可比旋转的更新开始。式(47)的推导完全类似。 的流方程已在参考文献[39]中推导。 的流方程是后者的一个小修改。本小节是独立的，对流方程解更感兴趣的读者可以跳过。 1. 单次雅可比旋转后的矩阵元 考虑由雅可比算法执行的一次旋转。如果Jacobi基为，且元素要被抽取，那么回顾Jacobi基的非平凡更新为[式(13)] (13a) (13b) 其中。这导致矩阵元的如下更新： (51a) (51b) (51c) (51d) 要更新，将指标与交换。的矩阵元的更新可通过将上述公式中的替换得到。当一个或两个指标与旋转元素重合时，量被更新。我们区分三种不同情况。在第一种情况中，只有行指标与Jacobi步骤所涉及的两个基元素之一重合，如图3(b)所示。例如，对于， (52a) 在第二种情况中，只有列指标与Jacobi旋转所涉及的两个基元素之一重合，如图3(c)所示。例如，对于， (52b)在第三种情况中，指标和都与Jacobi旋转所涉及的基元素重合（其中）。例如，对于， (52c) 2. 多次旋转平均回顾我们在Jacobi算法的稠密区间内工作，如第III A节所讨论的，因此旋转角很小且符号随机。这证明忽略中的三阶和四阶贡献是合理的。为了在此近似内保持一致性，我们还设。其次，由于初始是对角的（因为是对角的），与对角元相比被抑制了一个因子。这证明忽略式(52c)第一行中的项是合理的。我们假设后续的Jacobi迭代是不相关的。如果初始是对角的，则非对角项只能由这些不相关的旋转产生。因此，更新方程中涉及的项通常没有确定的符号且均值为零，因为和都被假设为不相关的，并且可以为正或负。因此，这些项之和相对于总是带有由确定的相位的二次项被抑制了一个因子。我们假设当初始是对角的时，可以忽略中线性项（我们的数值结果支持这一假设；第VI节）。相反，如果初始包含非对角元素，则线性项编码了与微扰之间的关联。如第V节所讨论的，包含这些项对于重现线性响应理论及其修正至关重要。考虑所有这些近似，在连续Jacobi迭代下，对于的更新可以表示为（注意指标隐式依赖于Jacobi步骤） (53a) (53b) (53c) (53d) 式(53)中的每一行分别对应式(52a)–(52c)中的三种情况。此外，式(53d)包含中线性项，这些项捕获了式(52c)中与之间的关联。 3. 用被抽取元素参数化我们假设一个连续的、单调递减的参数可以替代。如文献[39]所示，如果我们在多次旋转上取平均，并进一步假设，和随缓慢变化，则这是可能的。假设次旋转将被抽取元素从减小到，式(53)的左边变为 (54)其中我们取为无穷小量，且。 4. 使用被抽取元素的分布现在我们用积分替换式(53)中的求和。在能量为和的态之间执行的旋转次数，其中由被抽取元素的分布给出 (55)为了得到单个态在区间内的平均旋转次数，我们将式(55)除以该壳层中的态数，得到如式(29)中的。在将式(53)中的求和替换为积分后，得到 (56)和 (57)作为说明，式(53a)右边的项变换为 (58)其中最后一行我们使用了式(39)中核的定义。 5. 重新引入形状因子最后，我们使用式(34)–(37)将项、和替换为小能量窗口上的平均值。为了说明，项[式(58)]变换为 (59)将相同的替换应用于其他项，式(53)变换为的流方程： (60)将两边乘以，我们恢复式(38)。在相同的假设下，第IV A节中的其他流方程也可以推导出来。推导忽略了流方程过程中能级的可能偏移。参见第III B节的讨论。C. 流方程的基本性质式(38)中的流方程具有平凡不动点和定义良好的热力学极限。 1. 平凡不动点当算符是恒等算符时，它没有动力学。因此，我们期望，和。这确实是第IV A节中流方程对于任何选择的解。类似地，当初始密度矩阵是恒等矩阵时，它不受Jacobi旋转的影响，且对所有成立。这反映在是式(45)的解和是式(38)的解上。注意，在这种情况下由于式(47)中的源项，仍然可以是非平凡的。 2. 热力学极限热力学极限定义为的极限。我们期望形状因子（决定响应函数）在该极限下是有限的。在这里，我们确定第IV A节中的流方程具有有限的热力学极限。我们给出的论证是针对中二次项的；对应项的论证是类似的。首先，态密度的比值当是有限的。因此，我们只需要证明函数具有定义良好的极限。函数是两个项的乘积。考虑第一个，。在稠密区间内，被抽取元素的数量级为，而典型的能量差的数量级为1。因此，旋转角很小，小角度近似是受控的， 流方程对平均被抽取元素的依赖则以组合形式出现 (61)如第III A节所讨论的，该量的积分在稠密区间内是有限的 (62)且流方程的解具有良好的极限。因此，具有良好热力学极限的Jacobi算法的输入是函数。如果提供了这个，SJA计算热力学极限下的响应函数。在良好热化的系统中，相对较小的系统尺寸就足以精确计算并获得热力学极限下的SJA解。我们在第VI E节进一步讨论SJA解中的有限尺寸效应。V. 流方程的迭代解流方程[式(38)]是一个非齐次的线性积分-微分方程，对于一般的初始条件很难求解。在本节中，我们获得弱微扰下的迭代解。迭代解的领头阶恢复了二阶含时微扰理论的结果。更具体地说，考虑参数中的展开，其中表示在无穷温度下的宽度。这里，表示微扰在的本征基中的谱函数： (63)为了使流方程[式(38)]对的依赖性明确，我们将核重新缩放到无量纲单位。回顾。在最后一个变量中的特征尺度由受微扰影响的态的能量差指定，因此由微扰的谱带宽设定[39]。此外，最大被抽取元素的大小由微扰的尺度表征。这促使引入重标坐标和，以及定义，即重标后的抽取数密度， (64)连同，这导致重标后的核 (65)在重标变量中，流方程具有形式 (66)作为一个明确例子，由 (67)给出，流方程[式(38)、(45)和(46)]中的其他项也类似地重标。我们区分两种情况。首先，我们考虑初始是对角的，即。如第IV B 2节所讨论的，在Jacobi算法过程中项被因子抑制，在这种情况下忽略它是合理的。微分方程的右边被因子抑制。因此，方程组可以按的阶次迭代求解。为此，考虑序列和，对于和初始条件在等。我们定义 (68)类似地定义和。此外，这些序列的第一个元素由 (69) (70) (71)给出。下面，我们显式求解中的一阶修正。由于，最低阶的流方程简化为 (72)积分并恢复未缩放变量， (73)其中Jacobi谱函数定义为 这与含时微扰理论有重要联系。Jacobi谱函数在领头阶上与微扰在的基中的谱函数一致[39]： (74)在式(73)中用来替换，我们恢复了二阶含时微扰理论的结果（见附录B）。虽然流方程一阶解和二阶含时微扰理论的表达式在定性上看起来相似，但用替换已经可以考虑大修正[39]。现在我们考虑第二种情况，其中初始不是对角的且。和之前一样，我们可以迭代求解流方程。然而，领头阶正比于无量纲微扰参数。收集具有相同标度的项，这种情况下的迭代方程为 (75)在最低阶，我们得到 (76)积分并使用未缩放变量，得到 (77)其中 (78)为了解释这一项，假设每个矩阵元被抽取一次且不受其他旋转影响。那么，我们得到 (79)在这种情况下，我们已经恢复了线性响应的贡献（参见附录A）。和之前一样，后续旋转可能导致线性响应项与式(77)中迭代解一阶表达式的显著偏差。最后，我们注意到迭代解在技术上是Picard迭代。该方法在积分变量中具有保证的收敛半径。我们注意到这并不直接意味着中的收敛。因此，迭代过程在时间上的收敛性不能保证。VI. 数值测试在本节中，我们将数值精确模拟的结果与(1)流方程的迭代解[式(68)和(75)]以及(2)低阶TDPT进行比较。流方程的解在短时间尺度上重现了精确动力学的特征——TDPT在这些时间尺度上也表现良好——同时捕获了长时间稳态值——TDPT在这些时间尺度上失效。A. 数值实现在本小节中，我们描述不同模型中的观测量，并描述求解式(68)和(75)的数值方案。我们研究淬火实验下的动力学。我们将系统初始化在未微扰哈密顿量的稳态中，并追踪观测量在淬火哈密顿量下的动力学。我们给出随机矩阵模型和一维自旋-1/2模型的结果。通过吸收对角元，可以使其成为纯非对角的。对于随机矩阵模型和一维自旋-1/2模型，我们分析不同观测量的动力学。对于第VI B节中分析的随机矩阵模型，我们考虑，它测量时间演化态中能量相对于初始哈密顿量的方差（初始态具有。）由于我们在谱的中间探测动力学，与本身相比，在其演化过程中表现出更多的结构。这个观测量在原始哈密顿量的本征基中是对角的。在这种情况下，我们使用式(68)获得迭代解。对于第VI C节中提出的自旋-1/2模型，我们考虑观测量 (80)它测量系统的总磁化强度。我们选择不与对易的，因此我们必须考虑微扰与观测量之间的关联。在这种情况下，我们必须迭代求解式(75)。为了从预测，我们实现第V节中描述的迭代算法。我们数值地确定初始形状因子。该算法产生一系列解，其截止尺度定义如下，它确定的SJA近似为： (81)我们数值地运行精确Jacobi算法以确定被抽取元素。迭代解在每次Jacobi迭代后更新为 (82) 和分别定义为如式(28a)和(32)中的离散delta函数之和。注意，式(82)中的离散更新方程不明确要求计算被抽取元素的分布。根据构造，零阶解在雅可比流下保持不变，因此。我们在小能量窗口上对矩阵元素进行粗粒化：对所有相关量、和，在连续本征态上取平均。我们经验性地发现，足以获得粗粒化的形状因子。每个区间（bin）的能量由这四个态的平均能量给出。为了获得初始条件，按能量对态排序，并考虑能量区间和。则由(83)给出，且。其他形状因子和类似地初始化。只要，我们重复更新[式(82)]，其中作为数值截断尺度。在我们的数值模拟中，我们发现矩阵在时有效地变为对角矩阵。

B. 随机矩阵模型

作为第一个测试，我们将结果与两种不同的随机矩阵模型进行基准比较。这些随机矩阵模型在的本征基中矩阵元素之间没有关联，这证明了SJA的许多假设是合理的。

在这两个模型中，是对角的，其元素服从正态分布，宽度为2.5，均值为0。微扰是纯非对角的，其矩阵元素为(84)。这里，是独立的正态随机变量，均值为零，方差为1，对于，且是微扰相对于的谱函数。所选的的形式在这两个模型之间不同。我们选择初始态(85)，其中为归一化常数。

在图4中，我们展示了(86)的结果。淬火后，显示出初始增长，随后在长时间内迅速收敛到稳态。

图4. 在淬火[式(86)]、和下的演化。(a) 精确时间演化（黑色）、二阶含时微扰理论（蓝色）和不同阶统计雅可比近似（红色、橙色和黄色）的比较。数据在十个随机实现上取平均。与精确曲线的吻合在二阶时有所改善。(b) 绝对误差。迭代解在中间和长时间上优于二阶含时微扰理论。

SJA在所有时间尺度上都是准确的。首先考虑量级为一的时间尺度，其中从初始值上升。所有近似在这个范围内都很好。这作为SJA方法的一致性检查，因为其解的结构在短时间类似于二阶含时微扰理论。在更长时间，所有近似都收敛到稳态。然而，TDPT和一阶SJA的结果与精确动力学的稳态结果不一致。吻合随着更高阶SJA而改善。

作为下一个测试，我们考虑另一个随机矩阵模型，其中我们预期TDPT和SJA之间会有更大的偏差。如第五节和式(74)所强调的，TDPT和一阶SJA之间的差异基于将替换为。因此，考虑一个这些谱函数显著不同的微扰是有启发性的。

这种情况已经在文献[39]中探讨过，其中选择了微扰的谱函数(87)。在处有两个峰。如文献[39]所示，在周围，和之间存在显著偏差。由于小处的谱函数决定长时间动力学，因此我们预期长时间稳态会存在差异。

式(87)中微扰的结果如图5所示。结果针对小微扰，具体来说是（左），以及较大微扰（右）。对于小微扰，所有近似在所有时间尺度上都与精确数值结果吻合良好。对于，没有任何近似能准确捕捉中间时间的振荡，尽管SJA解更接近精确动力学。在长时间，二阶SJA比TDPT更准确，在0.02的绝对误差内捕捉到长时间饱和值。

图5. 在淬火[式(87)]、和下的演化。精确时间演化（黑色）、含时微扰理论（蓝色）和不同阶统计雅可比近似（SJA，红色和橙色）的比较。(a) 和 (b) 。插图：绝对。数据在十个随机实现上取平均。虽然对于强微扰，任何近似方法都不能准确捕捉短时间的振荡，但SJA在这种情况下捕捉到了长时间动力学。

需要注意的是，对于，重标度表达式[式(66)]中的尺度分离不成立。因此，迭代方案不合理，可能导致在渐近展开的更高阶上偏离SJA流方程的精确解。SJA和精确动力学在大时的偏差是迭代过程本身的特征还是SJA的特征，仍然是一个未解的问题。

C. 自旋链模型

值得注意的是，与随机矩阵模型相比，SJA在结构化模型中比相应的最低阶微扰结果更出色。

具体来说，我们在一维自旋链中测试SJA解。这个基准很重要，因为流方程的推导忽略了雅可比算法期间矩阵元素之间的互相关（第四节B）。虽然这些假设在随机矩阵模型中是自然的，但它们需要在具有更多结构的模型（如自旋链模型）中进行测试。

在我们的分析中，我们选择混合场伊辛模型(88)，其中场强为和，以及周期性边界条件。该模型以快速热化而闻名[50]。作为微扰，我们取(89)。对于以下数值计算，我们限制在零动量扇区。初始密度矩阵由(90)给出，其中为归一化因子。

我们计算式(80)中定义的总磁化的动力学。结果如图6所示，针对。所有近似都重现了短时间的增长。然而，振荡中的第一个峰的高度和长时间饱和值仅由二阶SJA重现。与之前一样，与线性响应相比，二阶SJA在长时间显著减小绝对误差。

图6. 从混合场伊辛哈密顿量[式(88)]开始，在淬火[式(89)]下的演化；和。(a) 精确时间演化（黑色）、线性响应（蓝色）和不同阶统计雅可比近似（SJA，红色、橙色和黄色）的比较。(b) 绝对误差。初始增长在一定程度上被所有近似捕捉。SJA的更高阶近似更准确地捕捉稳态值。

D. 自相关子的结果

SJA也可以用于从式(47)的解预测在的热态中的自相关子。时间演化也由生成。这与淬火动力学形成对比，在淬火中，虽然演化由生成，但初始态取为的稳态。

图7绘制了混合场伊辛模型中不同近似的无限温度自相关子，其中。初始衰减被所有近似重现。同样，与之前一样，一阶和二阶SJA比TDPT更好地捕捉自相关子的长时间饱和值。

图7. 无限温度自相关子的演化，其中是受微扰的混合场伊辛哈密顿量[式(89)]，且。(a) 精确时间演化（黑色）、二阶含时微扰理论（蓝色）和不同阶统计雅可比近似（SJA，红色和橙色）的比较。(b) 绝对误差。初始衰减被所有近似捕捉，而SJA比TDPT更好地逼近稳态值。

E. 有限尺寸标度

最后，我们表明SJA对自相关子（一个广延量）的预测在所考虑的系统尺寸上只表现出弱的系统尺寸依赖性。这提供了证据，表明迭代解处于热力学极限，并且来自雅可比算法的数值统计输入、和初始形状因子在增加系统尺寸时表现出稳定的特征。因此，SJA可以使用在小系统尺寸下计算的和初始形状因子来预测大系统的动力学行为。

结果如图8所示。图8(a)比较了不同系统尺寸下的数值精确数据。在图8(b)中，我们比较了使用和从不同系统尺寸获得的初始形状因子到的SJA预测。两个图中精确动力学和SJA预测的时间演化在中间和长时间表现出依赖于系统尺寸的波动。然而，SJA预测中的波动与精确数据中的波动相比被抑制。

图8. 受微扰的混合场伊辛哈密顿量[式(89)]中无限温度自相关子的演化，其中，且从12到16变化。(a) 对、和的一阶和二阶SJA（ ）的精确结果的比较。(b) 对、和的二阶SJA结果与精确数据的比较。SJA的预测随着系统尺寸增加而稳定，并且与精确数据相比显示出更少的有限尺寸波动。

VII. 讨论

在这项工作中，我们迈出了使ETH成为良好热化系统中动力学响应函数预测理论的第一步。

我们的过程，被称为SJA，需要作为输入：初始态、感兴趣的观测量，以及在未受微扰哈密顿量的本征基中，和的各种形状因子。这些形状因子决定相对于哈密顿量的响应函数。它还需要雅可比算法的统计描述，该算法通过一系列二能级旋转将的本征基旋转到受微扰哈密顿量的本征基。

SJA的输出是相对于受微扰哈密顿量的一组响应函数，具体来说，是从到淬火后的，以及热系综中的自相关子。SJA假设在雅可比算法足够多次旋转后ETH成立，并推导出ETH假设中形状因子的流方程。流方程的解预测所需的响应函数。我们对这些流方程的近似解与随机矩阵模型和一维自旋链中的数值精确解比较得很好。

作为固定系统尺寸下的数值技术，雅可比算法无法与最先进的精确对角化或基于张量网络的方法[51–54]竞争。然而，SJA不受有限尺寸效应的影响，原因有二。

首先，流方程在热力学极限下成立。未来的工作可以应用复杂的数值技术直接求解它们。其次，雅可比旋转的统计分布[式(32)]，在小系统尺寸下数值精确计算，预期在重标度后随系统尺寸增加而稳定。稳定性源于雅可比算法按尺度组织的旋转。较大的值受有限尺寸效应的影响较小。幸运的是，分布的大部分也决定了良好热化系统中响应函数的最大修正。

更广泛地说，SJA方法根据动力学中出现的时间尺度将不同的贡献分开。因此，我们相信SJA在具有广泛时间尺度的问题中通常会有用。

SJA的部分吸引力在于，推广和计算其他感兴趣量的路径是清晰的：取相对于哈密顿量的广义ETH假设[30,31]，如第四节那样计算所有相关形状因子的流方程，并获得相对于哈密顿量的所需响应函数。时序外的关联子可能是未来很好的目标[30–33]。

SJA当前的应用将雅可比算法缩减的矩阵元素分布作为输入。该框架的一个强大扩展将是从微扰在雅可比基中的统计描述直接预测。由于微扰本身受到雅可比旋转的影响，我们预期对于的流方程将是非线性的[55]。

在即将开展的工作[56]中，我们将SJA框架扩展到周期性驱动的弗洛凯系统。外部驱动为形状因子增加了一个额外维度，即驱动频率的谐波。我们使用这个扩展框架来研究加热物理[57–59]，以及介观系统中加热和非加热机制之间的交叉[59,60]。

最后，我们注意到由流方程预测的形状因子也可以在经典系统中定义，作为动力学关联函数的傅里叶变换。SJA是否适用于经典系统，以及它是否在多体系统中产生有用的经典-量子对应关系，仍然是一个未解的问题。