感知经典场的量子优势

《Physical Review X》：Quantum Advantage for Sensing Properties of Classical Fields

　　现代精密实验常常在量子噪声极限条件下，利用玻色子传感器探测未知的经典场，此时真空涨落限制了常规读出方案。我们提出量子信号学习这一传感框架，将计量学拓展到更广泛的性质学习场景，并提出一种量子增强协议，能够同时估计经典信号的多个性质，并将散粒噪声抑制到真空水平以下。我们的方案仅需双模压缩、无源光学元件和静态零差测量，并支持从同一实验数据集中进行事后经典估计。我们证明，该协议在常见经典传感任务中能够实现量子加速，包括测量电磁关联、干涉腔的实时反馈控制以及傅里叶域匹配滤波。为建立这些性能差距，我们引入一种最优输运条件化方法，并展示了相对于所有无纠缠策略的最坏情况指数级分离，以及相对于零差和外差基线的实际加速效果。我们进一步证明，当将压缩视为一种资源时，使用压缩光的协议探测结构化经典背景的速度，可以比任何相干经典探针快指数倍。

I. 引言

从引力波干涉仪和微波腔到光学和电路量子电动力学换能器，许多前沿精密平台现已处于由电磁场的量子涨落而非仪器噪声所限制的工作区间[1–7]。在这类实验中，信号通常是经典场，例如环境辐射、涨落力或时变控制缺陷，并与玻色子传感器线性耦合。由此产生的推理任务很少能由教科书中的单参数模型（具有已知生成元）来描述。相反，人们通常关注不确定环境的结构化性质，例如电磁换能器中的正交关联[8–11]、干涉腔中的相空间混合[12–15]，或通过事后模板库查询对多个候选波形进行评分的能力[16–23]。这些是分布性问题，因为场的不确定性和先验信息的不确定性会在传感器响应上产生非平凡的分布，而关注的对象是该分布的泛函，而非单个参数。

一个基本障碍在于，标准测量基元无法同时提供量子极限精度和广泛的可得性。外差探测，更一般地，无纠缠联合正交读出，具有信息完备性并支持事后分析，但它带有不可约的真空噪声惩罚，无法通过探针压缩来规避[24]。零差测量可以分辨沿某一正交方向的亚真空涨落，因此非常适合精心对齐的任务，但它只揭示底层相空间响应的一维边缘分布。实际上，快速可靠地制备与多个零差正交角度对齐的压缩探针在技术上成本高昂，因此可用的基线往往是固定的小角度集合。这在量子噪声极限传感中造成了一个两难困境：要么在真空噪声底之下收集灵活的数据，要么获得更锐利的量子极限数据，但无法访问精细的相空间结构。

我们证明，纠缠解决了这一困境，并为传感经典场带来了量子优势。我们的协议在传感模式和闲频模式之间制备双模压缩真空态，将未知的场致通道作用于传感模式，并对对易的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森正交分量进行标准连续变量贝尔测量[24–28]。在操作层面上，经典场在传感模式上引起未知的相空间位移，而贝尔测量产生一个复值结果，它是该位移的模糊快照。满足加性噪声模型，其中是独立复高斯变量，其分布由双模压缩态的有限EPR关联决定。因此，每次通道使用都能同时获得两个正交分量的估计，且两个估计中的噪声被抑制到真空水平以下一个因子。这应与外差探测形成对比，后者提供相同的双正交结构，但具有不可约的真空方差。所得数据集具有信息完备性并支持事后学习，因为可以在不重跑实验的情况下，从同一测量记录中估计底层信号的许多性质。

我们通过一个称为量子信号学习的框架将这些任务形式化，该框架将经典场传感建模为估计由线性玻色子耦合引起的相空间响应的性质。在该框架内，我们为广泛类别的物理性质给出了估计器族，并证明了随压缩改善的样本复杂度保证。然后，我们在两个互补意义上建立量子优势。首先，在与模板库评分相关的最坏情况区间，我们的贝尔QSL协议在傅里叶域匹配滤波查询上，相对于任何无纠缠数据收集策略实现了指数级改进。其次，受实际实验室约束启发，我们引入了一种基于最优输运的条件化框架，用于量化受限角度零差测量在学习真正二维相空间特征时何时会变得病态，而贝尔QSL仍然高效。我们在由相关经典电磁场和干涉腔中的相位旋转噪声所启发的实验常见传感问题中说明了这些优势。

这些性能差距遵循玻色子计量学的前提，即探针能量决定传感精度，将压缩和位移置于同等地位[29]，并将纠缠视为产生优势的资源。虽然我们论证了这一解释的重要性，但我们同样证明，无纠缠的压缩探针策略探测涨落经典场的速度可以比任何相干态经典探针快指数倍。在互补的工作中，文献[30]研究了压缩光用于传感时变信号的独特能力，实现了相对于任何无压缩经典协议的指数级增益。因此，压缩和纠缠在经典场传感中表现为不同的量子优势来源。

II. 量子信号学习

一个模的玻色子信号哈密顿量由正交分量中的线性项组成。该哈密顿量涵盖了大多数经典场传感任务，其中量子-经典相互作用通常以数耦合到正则正交分量的形式进入。QSL首先观察到，在哈密顿量下演化个玻色子探针总时间所诱导的时间演化通道可以描述为以下量子通道，其中是位移算符：

的线性结构由仅包含位移项的通道实现。利用这一表示，信号的任何性质都编码在经典密度中，可以通过选择函数（称为性质核）并将其与积分来提取：

这样，经典场的性质就是由信号引起的位移分布的线性泛函。QSL问题源于这一观察。

定义1（量子信号学习）。给定线性哈密顿量和演化时间，量子信号学习问题是估计选定的线性泛函，使其绝对误差在以内，成功概率至少为，并且可以查询。

经典场的若干自然性质可以很好地纳入这一框架。例如，对于单模，核指定了一个性质，它恰好是（零均值）经典场的协方差。或者，诱导出恰好是信号在频率处的傅里叶系数。因此，QSL包含了典型的单参数传感设置（此时分布为δ函数），并涵盖了广泛的参数场、随机信号和噪声源。此外，除了对所有相关经典源都成立的线性性质外，QSL不假设信号的先验结构，而这在典型计量学设置中通常是必需的。正如我们将看到的，量子增强传感的学习理论化QSL重构，为实现典型计量学图景中不存在的量子加速开辟了可能性。

A. 贝尔QSL算法

现在我们为QSL问题提供一种高效的、支持纠缠的算法。我们的算法称为贝尔量子信号学习，具有若干实际有用的性质。该算法收集一个经典数据集，由于具有信息完备性，可以用于任意事后性质估计。虽然我们的估计器为性质估计提供了严格保证，但该数据集比无纠缠对应物更具特征丰富性，可以作为机器学习流水线的输入（见图3）。在实验上，该算法仅需恒定深度的量子信息处理，形式为双模纠缠态制备和无源分束器。此外，它仅利用静态零差基测量，无需实时控制或重新锁定压缩轴，并在所有正交读出中实现最优不确定性。

设表示将任意映射到其压缩真空模糊测量分布的算子，通过与均值为零、方差为的高斯密度卷积得到。如图2所示，算法按以下步骤进行。

算法1（贝尔QSL）。给定对模线性哈密顿量在时间内的访问权限，执行以下步骤：

（1）制备个双模压缩真空态，让一个子系统在时间内受演化，同时将另一半存储在量子存储器中。然后，将每对在分束器上干涉，并对每对双模测量正交分量。

（2）收集结果，其中。重复次。

（3）给定性质核，返回估计器：

其中是在下的逆。在实践中，当有定义时，总是可以利用的傅里叶变换来计算，或者通过测量样本的特定多项式变换来计算；这些估计器在补充材料[31]中详细讨论，并给出了完全一般的样本复杂度分析。

贝尔QSL的数据收集策略是连续变量量子光学和信息学中经过充分研究的基元。该策略最初建立用于连续变量隐形传态和密集编码[32,33]，近期的研究利用贝尔基测量在特定传感和学习设置中建立了量子加速[28,34]，并在文献[35]中进行了多模位移通道学习的实验验证。我们的核心贡献在于将该实验基元应用于QSL框架，以提取广泛实际传感任务中的效用，并发展新颖的理论方法，在这些区间中建立量子加速。在后续章节中，我们分析贝尔QSL在多个区间中的性能，确立我们的算法相对于传统基准可以实现实际量子优势。

III. 贝尔QSL的应用

在这里，我们展示贝尔QSL在散粒噪声极限场传感中的效用，包括表征相关电磁场和干涉仪中的实时反馈控制。

A. 电磁场传感

从微波和电路量子电动力学谐振器到窄带光学腔，一大类电磁传感器可以建模为由入射经典场驱动的单玻色子模。具有正则电荷和磁通算符的模具有自由哈密顿量。入射经典电磁场感应出由传感器几何决定的等效电动势和磁通偏置：

因此，除了一个无关的数外，驱动哈密顿量可以写为

未知的电磁环境通过与共轭正交分量的两个线性耦合进入，一个是“电类”耦合，一个是“磁类”耦合。将视为随机过程，这在建模不确定信号、杂波或涨落背景时是自然的，有界时间演化会诱导一个位移通道，其终点分布为。（该通道的约化过程，包括旋转框架驱动和显式位移幅度，在补充材料[31]中给出。）

在许多常见工作区间（例如窄带传感、对众多微观场贡献的聚合，或近似高斯先验），诱导终点位移可以很好地建模为相空间上的中心高斯分布：

其中编码了换能器所看到的入射场的联合正交协方差[36–39]。一般而言，电磁动力学和边界条件将电类和磁类自由度联系起来，而在换能后它们恰好表现为共轭正交分量之间的关联。

在散粒噪声极限区间，我们感兴趣的是估计的值，其低于真空极限的外差方差。此外，由于在短传感窗口内重新锁定压缩轴具有挑战性，压缩零差层析只能沿固定测量轴执行。即使在这个简单的高斯协方差估计问题中，人们也可以看到，例如，一对假设协方差和共享相同的和边缘分布，仅在与真空水平的关联符号上不同。常见的在角度处进行的零差测量将这些边缘分布成像到压缩高斯平滑的程度，无法区分这些假设。

这个“困难实例”可以通过稍微偏离严格各向同性来以实际有意义的方式推广。具体而言，考虑一个近各向同性族，其中边缘方差几乎相等（例如和，其中），使得和边缘分布对关联参数几乎不敏感，尽管物理上相关的信息存在于联合正交关联中。关键观察是，尽管对零差学习者严格不可能的实例是刀锋现象，但接近这个各向同性最坏情况的常见学习任务对无纠缠零差协议将非常困难，这些协议只能通过小的对称破缺效应访问，导致病态的推理问题。与此同时，Bell QSL将使用经验协方差以最优估计方差进行提取，无论实例如何，只需使用经验协方差。定理1（学习电磁相关性的实际量子优势，非正式）。考虑由方程（1）定义的近各向同性电磁族，其中参数为和。则Bell QSL使用次测量即可区分该对，其中是压缩参数，而任何自适应零差策略都需要至少次测量才能以高概率完成。定理1意味着学习样本复杂度的分离，因为零差策略常因符号错误而失败。Bell QSL与无纠缠基准之间的性能差距（随压缩增强）如图1所示。在IV.B节（以及补充材料[31]）中，我们使用最优输运稳定性框架正式化了这种病态条件和“边缘盲性距离”的概念。

图1. （a）量子增强信号学习与传统电磁传感的比较。Bell QSL利用与量子存储器纠缠的探针来收集经典记录，用于量子受限的、信息完备的电磁场分布估计。外差测量受到真空噪声惩罚，模糊了精细特征，而零差测量仅解析可能不包含高维属性的边缘分布。（b）估计电磁场相关性的量子优势。在散粒噪声受限区域，估计高斯电磁场协方差所需的最小样本复杂度，如方程（1）所示。在和时，在白噪声振幅存在的情况下，Bell QSL呈多项式扩展，并比真空噪声极限低几个数量级，从而对零差和外差层析成像均实现量子优势。

图2. （a）经典场的传统玻色子传感。零差测量将高维场分布投影到选定的边缘轴上，丢失信息，而外差测量用真空噪声模糊尖锐特征。（b）Bell QSL。制备纠缠的双模压缩真空探针，一半模式作为探针，另一半存储在量子存储器中。分束器和零差测量构成连续变量贝尔基测量，实现信息完备的、尖锐的属性恢复。

在许多信号短暂且光学探针在低噪声温度下运行的精密实验中，Bell QSL（图2）仅需将纠缠闲频模式短时间存储。然而，在较低频率应用（如雷达）中，更长的积分时间要求制备的纠缠相干存储更久，这在实际中可能具有挑战性。在这些设置中，光子损耗通常是主要误差源。假设存储过程中的损耗率为，则理想化的样本复杂度被替代为[28]。操作上，在有限样本数下，损耗率产生精度下限，使得当值高于此下限时，纠缠协议保持其完全的加速；而当低于下限时，若与无噪声基准比较，可证明的加速将丢失。这一效应在文献[40]中被认定为局部噪声模型的不可避免结果，该模型完全退相干给定状态。

B. 干涉腔中的反馈控制

除了直接传感外部场，一个自然应用是学习内部腔或干涉仪噪声参数，这些参数表现为光学正交量的高斯畸变。在高灵敏度干涉仪中，包括引力波探测器（如LIGO），许多相关的技术和量子噪声过程可近似为高斯分布，因此它们对探针场的净效应由少量协方差参数捕获：损耗、压缩强度和正交旋转[41–43]。然而，仅从零差边缘分布实时跟踪这些参数可能很困难。

相位或控制缺陷的常见有效模型是未知的正交旋转，其中可能表示压缩角漂移、失谐引起的正交混合或更一般的相空间错位。Bell QSL提供了一种自然的实时监控策略，可用于以实际加速学习。

具体来说，可以将已知位移施加到TMSV的探针臂上，将其注入干涉仪的主传感频带附近的边带，然后对返回的探针和存储的闲频执行Bell QSL的其余部分。如补充材料所示，所得数据的均值为，而其每正交测量噪声为[31]。因此，样本均值产生带符号的相位估计，样本复杂度为以精度估计，与用于高斯协方差学习的矩估计器直接类似。每次测量都可恢复两个正交分量。

同时，外差测量产生标准的乘法开销。由于位于未知轴上，零差测量必须自适应进行以识别其大小和符号，且每次测量可能携带关于两个正交分量之一的信息很少。在实时测量中，这种自适应扫描与轴对齐压缩结合可能实验上难以处理，从而阻止了超出真空噪声极限的无纠缠误差缓解。

操作上，双模压缩光可在每个分析频率注入光学边带，防止与主信号相互作用，而闲频可保持在主读出带之外的任何位置。这实现了非侵入式的量子增强噪声监控，数据可反馈以稳定操作参数，如压缩角或失谐[9,13,44]。这样，Bell QSL自然地与通常决定散粒噪声受限干涉测量能否在长时间积分中维持的控制层对接。

IV. 用于QSL的量子优势

在第三节中，我们提出了Bell QSL在学习电磁信号和噪声方面的应用，并展示了学习场相关性的实际量子优势的简单示例。在此，我们建立关于QSL量子优势的更一般结果。

A. 匹配滤波

定理1中的量子优势是针对实际动机的受限角度零差基线建立的。Bell QSL还对任何无纠缠数据收集策略实现了最坏情况下的指数优势，包括具有任意复杂测量基的自适应协议。这种分离出现在匹配滤波和波束成形中，这是无处不在的传感原始操作，其中人们将大量候选模板与信号测量记录进行评分，并选择与数据最一致的假设。该过程的变体出现在整个信号处理中，从通信到雷达，并且是现代高精度搜索的核心，例如引力波探测器中的模板库流水线，其中候选波形的数量可能巨大[16–23]。

具体地，考虑一个模共振波形，其引起随机位移，分布为。模板对应于假设的值，定义匹配滤波输出。对于傅里叶域评分，我们使用有界特征，它是基于最大似然得分的数值稳定替代，当信号模式在傅里叶基中独立时尤其自然。关键是，查询等价于特征函数求值，通过关系。对个模板进行评分因此归结为在个点上估计。有了这一观察，我们发现Bell QSL在匹配滤波中估计正弦波形时实现了指数最坏情况优势。

定理2（匹配滤波的最坏情况量子优势，非正式）。存在正弦系数的先验分布，使得任何无纠缠协议（包括那些具有压缩探针态的）需要个信道使用才能以恒定精度对任何单个模板进行评分。相比之下，具有双模压缩的Bell QSL可以仅用次测量（与无关）估计所有个得分，精度为。

虽然定理2中考虑的正弦波形传感任务很常见，但这种最坏情况优势仅占据整个问题空间的狭窄区域，因为它依赖于高度结构化的系数先验，该先验将相关信息隐藏起来，使其不被无纠缠读出。接下来，我们返回到实验驱动的基线，并开发一个框架，量化量子优势大小与保持该优势的物理相关实例比例之间的权衡。

B. 最优输运与实际优势

我们现在引入一种通用的病态条件方法，将测量约束转化为样本复杂度下界。任何单次测量策略都可以描述为一个映射，将潜在的位移律发送到一轮结果分布。例如，沿固定轴集的零差测量包括投影到有限多个正交边缘分布，然后进行已知的高斯模糊，只是所得乘积分布。令表示可能的相空间分布假设类（例如，前面的中心高斯族）。现在考虑以下最优输运稳定性模量：

其中是Wasserstein-1（推土机）距离。直观上，量化了两个分布在中相距多远而保持几乎不可区分。等价地，它衡量了多少相空间结构对隐藏，以及反问题有多病态。这一直觉可直接与样本下界联系起来。

定理3（OT模糊性意味着极小极大下界，非正式）。固定一个实验和一个具有有限一阶矩的类。则存在一个1-李普希茨函数，使得任何基于来自的独立同分布样本的估计器在估计时最坏情况误差至少为。注意，当时，无论多少测量都无法将误差降至常数以下，意味着某些属性完全不可识别。

这种最优输运视角还支持寻找量子优势的逆方法：给定传感约束，通过最大化来识别几乎不可区分的实例对，然后在它们周围放宽以量化纠缠改善了多少样本复杂度。

以下玩具示例说明定理3的几何直觉：量子优势取决于问题类探索多少相空间。考虑分布

（2）

当时，和具有相同的边缘分布，尽管它们位于相空间的不相交象限，因此受限零差永远无法区分它们。此示例用于展示贝尔测量在收集稳健数据集以供经典学习算法使用方面的效用，超出我们的估计器，如图3所示。因此，我们将解释为对称破缺参数，控制隐藏的二维结构对受限零差可见的强度。我们将对应的受限实例族称为问题楔：全问题空间的子集，其尺度由决定，视为固有尺度的函数。

对于，零差边缘分布仅在（例如，KL散度）处不同，因此受限零差产生样本复杂度，而Bell QSL仅用次测量即可区分。优势因子因此由控制：在图4的红色楔中，其中相对于指数小，优势是指数性的；而对于多项式小，则是多项式性的。尽管德尔塔混合使这种几何特别透明，但相同的病态条件也支配定理1中电磁场传感发现的优势，其中的作用由对称破缺扮演，该参数将泄漏到可访问的零差统计中。在我们最优输运语言中，分离为，而受限零差仅通过泄漏看到对称破缺，产生相应的下界。使用定理3，这些简单说明性的问题楔权衡示例可以推广到较少结构、多模态的传感任务，以及针对具有不同测量设置的零差学习器。

图3. 使用Bell QSL数据的经典无监督学习可以学习超出外差和零差层析成像范围的信号属性。每种测量方法从方程（2）中的底层分布、收集许多样本，压缩参数为、、和。每个数据集输入无监督机器学习（高斯核主成分分析），以学习数据是来自（符号）还是（符号）。即使在适度的和压缩，以及相当大下，经典贝尔数据集也为机器学习算法提供了比传统策略更丰富特征的数据集。

图4. 量子优势的问题楔，以德尔塔混合玩具示例说明。随着对称破缺参数，零差测量变得不可识别，样本复杂度发散。在红色区域，相对于指数小，产生指数优势；在橙色区域，它相对于多项式小。相同的尺度控制定理1中的优势，其中。

先前的指数量子学习优势通常仅在针对所有无纠缠学习器的最坏情况基准下出现[28,45–48]，该类别足够宽，包含指数深度、计算上难以处理的测量策略。量子优势因此被限制在实例空间的微小角落，而这些角落与物理上有趣的实例集合不重合。通过转而针对较弱但实验上可行的传统策略进行基准测试，我们的视角揭示了量子信息处理产生真正可用优势的显著区域。未来，针对实验上可行的策略进行基准测试将至关重要，以避免人为地缩小寻找量子增强实验的范围，从而掩盖此类有用优势。

C. （此处未提供更多内容）我们展示了贝尔QSL（量子信号学习），利用纠缠，可以在与零差和外差层析成像相等的探针态能量下运行，同时解析出无纠缠协议无法获取的经典场特征。在此，我们还表明，仅凭压缩就能产生指数级分离。

我们考虑以下问题。将传感器置于一个背景中，使其经历许多固定幅度的随机踢动。在每个传感时间步中，传感器由位移算子演化，其中，；然而，我们规定要么是随机的，要么满足奇偶性约束。这是更实际物理问题的一个玩具实例化：估计经典信号的矩。

定理4（仅用压缩探针的指数级量子优势）。任何具有任意能量和任意量子测量，但使用经典光探测信号的策略，需要次零差测量来区分随机和奇偶约束的经典背景，而使用单个压缩探针的策略仅需次测量。通过将有效实例规模嵌入单模任务，定理4（在补充材料[31]中证明）表明，指数级别的优势仅通过使用压缩光与经典（相干）光即可实现。

我们注意到，这一结果属于与先前分离中所假设的不同操作定义下的量子优势。经典相干态探针可以基于平均光子数（即相空间位移）而具有不同能量，而压缩光是由相干态通过非能量守恒的辛变换产生的。由于位移和压缩都能增强探针灵敏度，标准玻色子海森堡极限将这两种变换视为同等地位，并且仅涉及具有有限能量预算的探针态制备[29]。然而，在这种费舍尔信息图像中，优化位移与压缩能量之间的权衡至多产生多项式改进。定理4表明，学习理论化的QSL分析可以更具启发性：对于某些问题，压缩探针态可以比任何位移经典探针具有指数级更高的信息量，且与能量无关。这确立了非经典能量预算作为一种独特的传感资源，其效果无法通过任何数量的经典资源来复制。

V. 讨论

我们的工作表明，一旦我们根据现实世界实验的实际限制来表述任务，经典场传感的量子优势就变得更加尖锐且更加有用。在引入量子信号学习框架以捕捉这些特征后，我们确认了由正交压缩和纠缠量子存储器增强的量子传感器能够比传统对应物更高效地提取经典信号的特性。我们的工作使此类量子学习优势的陈述更为精确，展示了在电磁场传感和干涉反馈控制等普遍物理任务中的实用性。此外，我们的算法仅需要单层纠缠生成操作和常规零差测量，同时能够从收集的经典记录中事后估计许多性质。我们引入了一种基于最优传输的方法，以证明量子学习加速超越了实际、实验可行的常规基准，超越了先前的最坏情况优势陈述。

我们的工作扩展并推广了玻色子学习理论和计量学文献。虽然文献[28]详尽研究了通过事后查询学习位移通道完整描述的任务（一个理论驱动的任务，类似于完整过程层析成像），但QSL采取了更通用且实验驱动的视角：性质可以是信号的任何所需泛函。要求事后学习完整通道可能使任务人为地变得困难，因为这等同于学习指数多个预定可观测量，因此QSL仅要求高效学习少数相关的信号性质。这使得在比最坏情况多模通道学习更不专门的环境中，包括仅单传感器模式，可以实现非平凡且实验上有用的分离。此外，传感效率的查询复杂度重构使得新型量子加速成为可能，而这些在标准费舍尔信息视角下并不存在。QSL简单却极具表达力，允许以实验导向的方式统一学习理论和计量学视角。

我们已经展示了贝尔QSL在电磁场传感和噪声表征任务中的初步应用。扩展这些概念可能对雷达传感以及高精度基础物理实验和天文学中的探测器有益[2,4,8,49–52]。基于纠缠的实时噪声监测能够实现引力波天文学干涉仪中的实时误差缓解，并在例如极高带宽复用中显著改进大假设匹配滤波测试。

在理论上，我们的工作为通过将受限测量模型与最优传输稳定性模量联系起来，证明量子传感中的实际量子优势建立了初步框架。将这些概念与学习树形式论[45]（已配备精密的低界证明工具）对接，可能使本工作中的量子优势陈述推广到其他量子增强实验设置。

寻找有意义的量子增强实验需要严格关注实验约束。采用这种方法，我们的工作揭示了广泛重要传感任务中的量子加速，确立了实际量子优势自然延伸到经典场的传感。