迈向拓扑绝缘体与超导体的完整表征：基于Atiyah-Hirzebruch谱序列的拓扑不变量系统化构造

《Physical Review X》：Toward Complete Characterization of Topological Insulators and Superconductors: A Systematic Construction of Topological Invariants Based on Atiyah-Hirzebruch Spectral Sequence

　　过去十年见证了拓扑材料研究的重大进展。对称性指标理论和拓扑量子化学提供了一种高效的方案，仅利用波函数的部分信息即可诊断拓扑相，而无需完整了解拓扑不变量，这导致了近期全面的材料搜索。然而，并非所有拓扑相都能被这一框架所捕捉，对拓扑相进行更精细的诊断需要拓扑不变量。在本研究中，我们提出了一个系统性的框架，用于为大部分对称类构造拓扑不变量，这与现有通过逐例方法发现的拓扑不变量形成对比。我们的方法基于近期在动量空间中发展的阿蒂亚-赫策布鲁赫谱序列。作为演示，我们为所有空间群中具有常规配对对称性的时间反演对称自旋超导体构造了拓扑不变量，而对称性指标在这些体系中是无效的。我们还通过计算随机生成的对称哈密顿量来验证所获得的量确实充当拓扑不变量。值得注意的是，所构造的拓扑不变量完全刻画了159个空间群中的??群。我们的正常导电相拓扑不变量在某些规范条件下定义。为便于高效数值模拟，我们通过一些例子讨论了如何从规范固定的拓扑不变量推导出规范无关的拓扑不变量。结合第一性原理计算，我们的结果将有助于发现可用于下一代器件的拓扑材料，并为更全面的拓扑材料数据库铺平道路。

I. 引言

过去几十年间，物质拓扑相引起了广泛关注。特别是以拓扑绝缘体[1–8]和拓扑超导体[9–14]为代表的拓扑材料得到了深入研究，因为非平凡的体拓扑性质会产生奇异的表面态和引人入胜的响应现象[15–26]。这些性质有望应用于下一代器件，如容错量子计算机、超快存储器和低功耗器件[27–29]。鉴于体能带拓扑的多样性[30–37]，由此产生的后果也呈现出极大的多样性。这自然引出了两个问题：

(I) 存在多少种拓扑相？

(II) 哪些量可以区分具有不同拓扑性质的材料？

事实上，这两个问题在过去十年间一直是凝聚态物理的核心问题。在此期间，解决这些问题取得了众多进展，如下所述。

对称性是物理学的基本概念，在物质拓扑相的研究中也发挥着关键作用。对称性的存在丰富了拓扑相的多样性。一旦保护对称性被破坏，这类由对称性保护的拓扑相可以被平凡化（连续形变到无隙关闭的平凡乘积态）。近年来，大量研究工作致力于建立具有各种对称性的拓扑相的完整分类。一个里程碑式的成就是对无相互作用系统在存在或不存在内部对称性（如时间反演和粒子-空穴对称性）情况下的稳定拓扑相进行了完整分类和刻画[38–40]。除了内部对称性外，固体中还存在晶体对称性，如旋转和空间反演。近年来，研究表明晶体对称性同样可以保护拓扑相[41]，例如镜面陈绝缘体[42–45]、由非简单空间群对称性保护的拓扑绝缘体和超导体[33,46,47]，以及高阶拓扑绝缘体和超导体[48–59]。最近，一种基于实空间图像的精细方法已被开发出来用于分类拓扑晶体相[60–67]。该分类方案的基本假设是，任何拓扑晶体相都可以连续形变为由位点对称性保护的低维拓扑相的拼贴。该分类方案已广泛应用于自由费米子拓扑绝缘体[63,68]和超导体[69–71]以及玻色子系统[60,64,67,72]。实空间方法也促成了相互作用费米子拓扑相分类的近期进展[73–77]。该方法为前述问题(I)提供了清晰的见解。

虽然实空间中对无相互作用费米子系统的分类已在大部分对称性设置下实现，但拓扑材料的诊断则在动量空间中进行。近年来，基于高对称点（在后续讨论中称为0-胞腔）处波函数的不可约表示的高效诊断方案已被开发出来[78–82]。在该方案中，我们可以通过将高对称动量处波函数的不可约表示与原子绝缘体的不可约表示进行比较，来部分诊断目标系统的拓扑相[79–82]。这种方案被称为基于对称性的指标[79,80]或拓扑量子化学[81,82]。该理论可以很容易地与密度泛函理论计算结合，因为后者可以提供高对称动量处的不可约表示。事实上，已经利用对称性指标或拓扑量子化学进行了全面的拓扑材料搜索[83–90]。此外，对称性指标理论提供了各种拓扑不变量，包括占据带中出现的不可约表示数和在高对称动量处的普法夫不变式[91–102]。尽管上述拓扑不变量易于计算，但已知基于表示的诊断是不完备的；也就是说，仅由高对称点处定义的量组成的拓扑不变量无法检测各种拓扑相[70,93,103–108]。这意味着拓扑相的完整诊断需要拓扑不变量的完整知识。然而，尽管分类问题取得了相当大的进展，可用拓扑不变量的范围仍然有限。先前的构造通常是在逐例基础上完成的。据我们所知，系统性的拓扑不变量识别方法尚未建立。

在本工作中，我们提出了一种系统性的方案，通过利用动量空间中的阿蒂亚-赫策布鲁赫谱序列[109]来构造正常相和超导相的拓扑不变量。参见图1的示意图，总结了本工作的作用。拓扑不变量的构造涉及两个关键步骤：

(i) 首先，我们需要识别动量空间子区域上进入拓扑不变量定义的不可约表示扇区。例如，在镜面不变线和平面上，布洛赫哈密顿量可以分解为镜面本征值扇区，然后在前者上定义镜面绕数，在后者上定义镜面陈数[42,110]。

(ii) 其次，我们需要发现表征系统拓扑性质的量。例如，镜面绕数和陈数是由??-矩阵（后面正式定义）的绕数和每个镜面本征值扇区中贝里曲率的积分计算得到的。

值得注意的是，动量空间中的AHSS为这两个步骤都提供了有价值的见解。作为第一步，我们讨论了一个通用框架，用于从AHSS的第一微分中提取关于?维子区域及其上定义的不可约表示的信息。然后，基于AHSS第???页的物理含义——?维子区域上?维拓扑相的分类——我们为第一步中识别的每个不可约表示定义量，这些量刻画了动量空间中?维子区域的拓扑性质。AHSS还可以告诉我们如何组合所定义的量以获得拓扑不变量。虽然我们对任意?都制定了第一步，但在第二步中我们关注?=1,2的情况，并讨论如何系统性地构造定义在零维和一维子区域上的拓扑不变量。为了演示我们的方法，我们为230个空间群中具有常规配对对称性的时间反演对称自旋超导体构造了拓扑不变量，其中对称性指标总是平凡的，并通过数值计算确认这些不变量对随机生成的对称哈密顿量确实是量子化的。令人惊讶的是，230个空间群中有159个的??群被我们的拓扑不变量完全刻画（详见第二部分D节）。我们的构造在特定规范条件下给出了正常导电相的拓扑不变量。为了高效的数值计算，我们通过示例性案例讨论了如何从规范相关的拓扑不变量推导出规范无关的拓扑不变量，这些案例中对称性指标不起作用。

图1. 稳定拓扑相的刻画。所有稳定的有隙和无隙拓扑相都可以通过拓扑不变量来区分。存在定义在动量空间零维、一维、二维和三维子区域上的拓扑不变量。对称性指标是零维拓扑不变量的一部分（阴影区域）。本工作的主要焦点是系统性地构造定义在一维子空间上的拓扑不变量。

我们提出三点评论。第一，本文讨论的是稳定??-理论分类。下面构造的拓扑不变量刻画相应的??群，而不是固定尺寸哈密顿量或固定秩向量丛的更精细的有限秩分类。同时，这些不变量也可以作为出现在这类更精细分类中的拓扑相的诊断工具。详见附录B 2。第二，动量空间中的AHSS最初是作为基于动量空间图像的拓扑相分类工具被引入和使用的[109,111]。另一方面，在本工作中，我们探索了动量空间中AHSS作为能带拓扑通用工具的实用性，并展示了AHSS可用于构造拓扑不变量。然而，我们注意到AHSS数据本身不会自动给出拓扑不变量的显式公式。本工作的目的是系统地发展这种转换。最后，基于本工作的许多不变量可以捕捉对称性指标无法诊断的拓扑相。这类相无法仅从高对称动量处的对称表示来检测，其诊断通常需要来自布里渊区更高维子区域的额外信息，如高对称线和平面。虽然这可能与对称性指标和拓扑量子化学方法相比需要额外的计算资源，但在某些情况下可以获得高效公式，其他情况也有望开发出来。因此，我们的工作将有助于建立超越参考文献[83–90]的全面拓扑材料数据库。

A. 结果概要

下面，我们介绍本文的组织结构，并简要总结各节的主要结果。

第二部分——在第二部分中，我们提出了系统性地构造定义在动量空间子区域上的拓扑超导体拓扑不变量的框架。三维空间中的这类子区域由布里渊区的基本域定义，其在对称操作下的像覆盖整个布里渊区且不重叠。基本域的开放面是二维子区域，面的开放边是一维子区域，边的端点是零维子区域。类似地，这类子区域可以在任意维度中定义（参见图2的二维示意图）。

(1) 我们回顾动量空间中AHSS的基础。在AHSS框架中，不可约表示的有效内部对称类，即所谓的涌现阿尔特兰-齐尔鲍尔对称类，起着重要作用。粗略地说，EAZ类可以理解为不可约表示在时间反演类、粒子-空穴类和手征类对称性下的变换性质。设??是占据态集合，具有不可约表示??。现在考虑不改变动量??的对称性??，其表示为??(??)。然后，我们询问??(??)??（如果??是手征类对称性则为??(??)??和??(??)??的复合）是否具有相同的不可约表示??。根据不可约表示的变换性质，我们将十重对称类中的一类分配给每个不可约表示（参见表I）。在本节中，为简单起见，我们关注EAZ类属于AIII、DIII和CI类的情况。

(2) 如第一部分所述，我们需要识别动量空间子区域上负责拓扑非平凡性的不可约表示。这是系统性构造拓扑不变量的第一个难点。利用AHSS的第一微分，我们提出了克服这一难点的方法。所有信息都编码在矩阵??、??和??中，其对拓扑不变量的含义总结如下。矩阵??和??是对角整数值矩阵。矩阵??和??分别是?维和?维可逆矩阵，由下式给出：

?? = ... (1)
?? = ... (2)

(i) ??——该矩阵由动量空间中线段与相邻平面子空间之间的相容性得到。其非零对角元数目??给出检测二维子空间（即基本域的开放面）上无隙点的独立??-值不变量的数目。注意??本身并不指定平面子空间。线段上不可约表示的相应组合由??的前??行指定。

(ii) ??——该矩阵编码了在所选定基本域边界上保持有隙的相的拓扑不变量信息。矩阵 的形式为 (3) 其中 是 的对角元素中单位条目的数量，且 。存在 值不变量 和 个独立的 值不变量。应注意，这些不变量检测到的相在基本域内要么完全有能隙，要么无能隙。 (iii) —— 的行指定了动量空间中线段上不可约表示的组合，这些组合进入拓扑不变量。 的前 行，即 ，对应于检测二维子空间（即基本域的开面）上无能隙点的拓扑不变量。对于 ，第 行，即 ，指定了上述 值不变量的线段部分。对于 （ 的零对角条目），第 行 指定了检测所选基本域边界上没有任何无能隙点的相的 值不变量的线段部分。 (iv) ——对于 ， 的第 行，即 ，指定了进入由 构造的 值不变量的零维子区域上的不可约表示。所有矩阵均在参考文献[112]中给出。在出现除AIII、DIII和CI之外的EAZ类的情况下，这些矩阵的解释在附录A中给出。下面我们解释如何使用它们。 (3) 我们构造定义在动量空间一维子区域上的拓扑不变量。根据EAZ类，对于每个不可约表示，我们定义表征超导系统中拓扑性质的量： (i) EAZ类AIII和CI (4) (ii) EAZ类DIII (5) 其中 是为不可约表示 定义的 矩阵，且 是不可约表示 的维数。这里， 表示动量空间中的有向线段。积分沿着 从一端到另一端，根据其方向进行。精确定义见第II.C节。为了使该量在规范变换下不变，我们需要计算目标系统与参考系统之间绕数之差。在本工作中，我们始终将真空（即我们感兴趣系统的无限化学势极限）视为参考，且 表示真空的 矩阵。这些量的组合产生拓扑不变量。如上所述， 和 告诉我们如何进行组合。然后，拓扑不变量由下式给出： (i) 平面上无能隙点的 值不变量 (6) 对于 。 (ii) 有能隙相或一般动量处无能隙点的 值不变量 (7) 对于 。 (iii) 有能隙相或一般动量处无能隙点的 值不变量 (8) 其中 且 满足 (9) 关于 的精确定义，参见式(73)。 (4) 为了展示我们方法的能力，我们计算了在80个层群和230个空间群中具有常规配对对称性的时间反演对称自旋超导体的随机生成对称哈密顿量的构造拓扑不变量。重要的是，对称性指标对这些对称类不适用，而我们的不变量完全表征了80个层群中的76个和230个空间群中的159个 群。更多细节见第II.D节。图2. 层群 的胞腔分解 (a) 和 (b)。首先，我们找到布里渊区的基本域，如左图所示，并将其分解为点（0胞腔）、线段（1胞腔）和多边形（2胞腔），分别以橙色、红色和粉色着色。红色和黑色箭头分别表示1胞腔和2胞腔的方向。接下来，通过对基本域作用对称操作，我们获得右图所示的胞腔分解。表I. 每个EAZ对称类中 维大质量狄拉克哈密顿量的质量项分类。EAZ A 0 (0, 0, 0) 0 0 AIII 1 (0, 0, 1) 0 0 EAZ AI 0 (1, 0, 0) 0 BDI 1 (1, 1, 1) 0 D 2 (0, 1, 0) 0 0 DIII 3 0 0 0 AII 4 0 0 0 CII 5 0 0 0 C 6 0 0 CI 7 0 第三部分——在第三部分中，我们明确展示如何从 和 构造拓扑不变量。 (1) 我们构造层群 、 和 中具有常规配对对称性的时间反演对称自旋超导体的拓扑不变量，其 群分别为 、 和 。 (2) 我们计算代表性 群模型的拓扑不变量，并展示我们的不变量完全表征了其中 个 群。第四部分——在第四部分中，我们讨论正常导电相的拓扑不变量构造。对于正常导电相，每个不可约表示的EAZ类总是A、AI或AII类。此外，就我们感兴趣的定义在一维子区域上的拓扑不变量而言，只有AI类产生非平凡不变量，且所定义的拓扑不变量总是 值。 (1) 作为 矩阵绕数的对应物，我们引入过渡函数 由下式给出 (10) 其中 和 是点，且 是线段PQ的中点。注意 和 的规范选择通常不同。我们还仔细分析了规范变换对过渡函数的影响。 (2) 我们证明过渡函数对每个不可约表示（表示为 ）都有定义，且 在某些规范条件下是 量子化的。 的组合产生正常导电相的拓扑不变量。与超导相的情况一样，矩阵 和 告诉我们构造无能隙点和有能隙相的拓扑不变量的组合。更详细的讨论见第IV.B.2和IV.B.3节。 (3) 获得的拓扑不变量不满足能带直和下的线性。为了克服这一不期望的性质，我们引入 不变量的二次修正，使得重新定义的不变量在能带直和下表现为线性。 (4) 由于某些规范条件下的拓扑不变量对数值模拟无用，我们引入几种通用方法来获得拓扑不变量的规范无关表达式。总体策略如下： (i) 首先，我们定义一个U(1)值的Wilson线 (11) 其中 且 是线段PQ上具有不可约表示 的占据态集合。实际上，我们可以用U(1)值的Wilson线重写过渡函数的行列式。应注意，Wilson线在边界点P和Q处的规范变换下不是不变的。 (ii) 接下来，我们乘以一些补偿量以抵消规范变换产生的U(1)值。例如，如果我们有时间反演对称性 使得 ，则以下量是规范不变的： (12) 其中P和Q是时间反演不变动量点。在第IV.C节中，我们讨论如何找到此类规范不变量的技术。 (5) 我们通过具有时间反演对称性的自旋电子的空间群 和 以及具有时间反演对称性的自旋电子的空间群 和 来演示如何构造规范无关的拓扑不变量。第五部分——在第五部分中，我们总结论文并展望未来工作。一些技术细节在附录中讨论，以避免偏离主题。II. 总体框架如第一部分所述，精确诊断需要拓扑不变量的知识。在本节中，我们讨论在动量空间中构造拓扑不变量的系统框架，为此我们采用动量空间中的AHSS [109]。有两个关键步骤：(i) 识别负责拓扑非平凡性的 维子区域上的不可约表示；(ii) 找到检测系统拓扑性质的量。这两个步骤分别在第II.B和II.C节中讨论。在第II.D节中，我们讨论本工作为具有常规配对对称性的时间反演对称超导体所构造拓扑不变量的范围和完整性。此外，在第II.E节中，我们解释如何生成随机的对称保持哈密顿量，并数值验证为具有常规配对对称性的时间反演对称超导体所构造的拓扑不变量的量子化。在第II.F节中，我们简要讨论弱配对极限下拓扑不变量的费米面公式及其对本工作所构造不变量的可能推广。A. 动量空间中Atiyah-Hirzebruch谱序列回顾在本小节中，为自洽起见，我们简要回顾动量空间中的AHSS [109]。特别地，这里我们介绍AHSS的基本概念，并侧重于它们的物理意义，而不是展示如何实际计算它们。计算的所有技术细节在我们的伴随工作参考文献[71]中讨论。熟悉动量空间中AHSS的读者可以跳过本小节。在进入AHSS回顾之前，让我们简要解释AHSS的背景。设 为正常导电相的磁空间群 和具有粒子-空穴对称性的超导相的磁空间群，即 为正常导电相和 。一个元素 将点 变换为 ，其中 是正交矩阵， 是向量。当 表示 的平移子群时， 同构于有或没有粒子-空穴对称性的磁点群。因此， 维环面 上的自由费米子拓扑相被扭曲等变 群分类 [47,113]（关于 理论的简要回顾见附录B.1）。扭曲等变 群包含表示为 、 、 和 的对称性数据。首先， 和 是定义为映射 的。对称性 在 时是酉（反酉）的，其对称表示 在 时与哈密顿量 对易（反对易）。换句话说， 和 满足以下关系： (13)其中我们引入以下矩阵符号： 对于 和 对于 。接下来，符号 表示U(1)射影因子 的集合，其定义为 (14)最后，整数 表示 理论中的次数， 群的物理意义依赖于它。我们还回顾次数在哈密顿量层面是如何实现的。对于正整数 ，次数( )群通过施加 个额外的Clifford生成元 满足 (15)而次数( )群由满足 (16)的Clifford生成元表示。这些生成元要求按照 变换为 (17)此外，它们被施加为哈密顿量的额外手征对称性， (18)在这个意义上，分级群 和 被实现为满足式(13)和(18)的有能隙哈密顿量的分类群，具有上述Clifford生成元的选择。特别地， 对应于没有额外 的稳定有能隙哈密顿量的分类。详情参见参考文献[47]。次数 群也可以解释为具有无穷维希尔伯特空间的无能隙哈密顿量 的分类，这些哈密顿量仅在( )维有能隙系统的边界上实现 [109]。这种解释可以表述如下。设 (19)其中 是满足 的连续奇函数， 是( )维系统的体能隙。则加倍哈密顿量 (20)具有由 (21)生成的内禀手征对称性，其中 是作用在加倍空间上的泡利矩阵。连同加倍对称算子 (22)加倍哈密顿量和加倍对称算子满足与式(13)和(17)相同的对称关系 [114]。不幸的是，对于大部分对称类，除了某些简单情况如二阶空间对称性和点群对称性 [32,33,35,36]外，如何直接计算扭曲等变 群是未知的。最近，动量空间中的AHSS已被证明为我们提供了关于动量空间拓扑的丰富信息。如果我们能完全计算给定对称设置下的AHSS，它通常给出一个“近似 群”，即所得到的阿贝尔群作为集合与精确 群相同，但作为阿贝尔群不同 [109]。另一方面，如参考文献[71]所讨论的，AHSS可以完全确定我们感兴趣的各种对称设置下的 。 1. 胞腔分解为了进行AHSS计算，我们引入空间序列 (23)其中 是 的 维子空间，即所谓的 骨架。这样的分解被称为胞腔分解 [63,64,66,109]。下面，我们解释在三维中获得 的方法。首先，我们找到第一布里渊区的基本域，它通过对称操作覆盖整个布里渊区而无重叠。注意，根据定义，严格在基本域内部的任意两个点不由对称性关联。基本域的内部是一个开多面体，表示为 。然后，我们将基本域的边界对象分解为 维子区域。基本域面上的开放多边形对应于 \(k\)-胞腔，多边形的开放边线段对应于 \((k-1)\)-胞腔，线段端点对应于 \((k-2)\)-胞腔，记为 \( \mathcal{C}^k \)。我们还对每个 \(k\)-维子区域赋予一个取向。为方便起见，定义基本域中所有不等价 \(k\)-胞腔的集合为 \( \mathcal{C}^k \)。通过将对称操作作用于这些 \(k\)-胞腔，我们得到

\[
\mathcal{C}^k = \bigcup_{i=1}^{N_k} \mathcal{C}^k_i \tag{24}
\]

\(\mathcal{C}^k\) 中的元素称为 \(k\)-胞腔。在这种构造中，每个 \(k\)-胞腔满足以下条件：

(i) 任意两个 \(k\)-胞腔的交集为空集。

(ii) 对称操作 \(s \in G\) 要么保持 \( \mathcal{C}^k_i \) 中的每一点不变，要么将 \( \mathcal{C}^k_i \) 中的点 \( \mathbf{k} \) 变换到另一个 \(k\)-胞腔 \( \mathcal{C}^k_j \) 中的点。更形式化地说，对于 \( s \in G \)，要么 \( s \mathbf{k} = \mathbf{k} \) 在布里渊区中不变（即存在倒格矢 \( \mathbf{G} \) 使得 \( s \mathbf{k} = \mathbf{k} + \mathbf{G} \)），要么 \( s \mathbf{k} \) 属于另一个胞腔 \( \mathcal{C}^k_j \)。

(iii) 不存在孤立的 \(k\)-胞腔（\( k < d \)）。每个 \((k-1)\)-胞腔都位于某个 \(k\)-胞腔的边界上。

(iv) \(k\)-胞腔的取向尊重 \( G \) 中的所有对称性。

在参考文献 [112] 中，我们展示了在有或没有粒子-空穴对称性的情况下，每个磁空间群的基本域的胞腔分解。

利用 \(k\)-胞腔的集合 \( \mathcal{C}^k \)，我们定义 \( k \)-骨架为

\[
X^k = \bigcup_{i=1}^{N_k} \mathcal{C}^k_i \tag{25}
\]

值得注意的是，在我们的构造中，即使 \(k\)-胞腔之间存在对称关系，我们也会将它们区分开来。

让我们举例说明如何获得层群 \( p\bar{1} \) 的胞腔分解，其生成元为晶格平移和空间反演。如上所述，第一步是找到布里渊区的基本域。这里，我们取 \( k_x \geq 0 \) 和 \( k_y \geq 0 \) 作为基本域。然后，我们将基本域分解为一个二维胞腔（粉色平面）、五个一维胞腔（实心红线）和四个零维胞腔（橙色圆圈），如图 2(a) 左图所示。此外，\( \mathcal{C}^k \) 给出为

\[
\begin{align}
\mathcal{C}^2 &= \{\text{二维胞腔}\} \\
\mathcal{C}^1 &= \{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5\} \\
\mathcal{C}^0 &= \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \tag{26}
\end{align}
\]

通过将反演对称性作用于这个基本域，我们得到 \( \mathcal{C}^k \) 为

\[
\begin{align}
\mathcal{C}^2 &= \{\text{二维胞腔}, \mathcal{P}(\text{二维胞腔})\} \\
\mathcal{C}^1 &= \{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, \mathcal{P}(c_1), \mathcal{P}(c_2), \mathcal{P}(c_3), \mathcal{P}(c_4), \mathcal{P}(c_5)\} \\
\mathcal{C}^0 &= \{v_1, v_2, v_3, v_4, \mathcal{P}(v_1), \mathcal{P}(v_2), \mathcal{P}(v_3), \mathcal{P}(v_4)\} \tag{27}
\end{align}
\]

如上所述，这里我们将对称等价的 \(k\)-胞腔赋予不同的标签。例如，\( \mathcal{P}(c_1) \) 通过反演与 \( c_1 \) 相关联。

类似地，我们可以构造由平移、反演和沿 \( z \) 轴的二重旋转生成的层群 \( p\bar{2} \) 的胞腔分解。结果是，我们有

\[
\begin{align}
\mathcal{C}^2 &= \{\text{二维胞腔}, \mathcal{P}(\text{二维胞腔}), \mathcal{C}_2(\text{二维胞腔}), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(\text{二维胞腔})\} \\
\mathcal{C}^1 &= \{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, \mathcal{P}(c_1), \mathcal{P}(c_2), \mathcal{P}(c_3), \mathcal{P}(c_4), \mathcal{P}(c_5), \mathcal{C}_2(c_1), \mathcal{C}_2(c_2), \mathcal{C}_2(c_3), \mathcal{C}_2(c_4), \mathcal{C}_2(c_5), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(c_1), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(c_2), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(c_3), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(c_4), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(c_5)\} \\
\mathcal{C}^0 &= \{v_1, v_2, v_3, v_4, \mathcal{P}(v_1), \mathcal{P}(v_2), \mathcal{P}(v_3), \mathcal{P}(v_4), \mathcal{C}_2(v_1), \mathcal{C}_2(v_2), \mathcal{C}_2(v_3), \mathcal{C}_2(v_4), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(v_1), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(v_2), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(v_3), \mathcal{P}\mathcal{C}_2(v_4)\} \tag{28}
\end{align}
\]

2. \(E_2\) 页

作为预备步骤，我们找到 \( G \) 的一个有限子群，其元素不改变 \( \mathbf{k} \)。为此，我们首先定义 \( G \) 的一个子群 \( G_{\mathbf{k}} \)，称为小群。应当注意，\( G_{\mathbf{k}} \) 中的元素数量是无限的，因为平移群 \( T \) 是 \( G_{\mathbf{k}} \) 的子群。此外，\( T \) 是 \( G_{\mathbf{k}} \) 的正规子群，即 \( t \in T \) 且 \( g \in G_{\mathbf{k}} \)，有 \( g t g^{-1} \in T \)。因此，我们总是可以通过 \( G_{\mathbf{k}} / T \) 得到所需的有限群。让我们讨论 \( G_{\mathbf{k}} \) 的投影因子。假设我们有对称性表示 \( u(g) \) 使得

\[
u(g)u(h) = \omega(g, h) u(gh) \tag{29}
\]

我们总是可以从 \( G_{\mathbf{k}} / T \) 的表示 \( \tilde{u} \) 得到 \( G_{\mathbf{k}} \) 的表示为

\[
u(g) = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{t}_g} \tilde{u}(g) \tag{30}
\]

其中 \( \mathbf{t}_g \) 是分数平移或零向量 [115]。相应地，\( G_{\mathbf{k}} \) 的投影因子为

\[
\omega(g, h) = e^{i \mathbf{k} \cdot (\mathbf{t}_g + \mathbf{t}_h - \mathbf{t}_{gh})} \tag{31}
\]

其中 \( \mathbf{t}_g, \mathbf{t}_h, \mathbf{t}_{gh} \in \mathbb{R}^d \)。

设 \( \mathcal{C}^{k_1}, \mathcal{C}^{k_2}, \mathcal{C}^{k_3} \) 分别为限制在 \( \mathcal{C}^{k_1}, \mathcal{C}^{k_2}, \mathcal{C}^{k_3} \) 上的对称性数据 \( \mathcal{C}^k, \mathcal{C}^{k-1}, \mathcal{C}^{k-2} \)。另外，由于 \( G_{\mathbf{k}} \) 对于每个点 \( \mathbf{k} \in \mathcal{C}^k \) 是共同的，\( G_{\mathbf{k}} \) 表示共同的小群。如参考文献 [71,109] 所讨论，对于给定的过滤 \( \mathcal{C}^k \subset \mathcal{C}^{k-1} \subset \mathcal{C}^{k-2} \)，一个有限生成的阿贝尔群 \( E_{k}^{p} \) 由相对 \( K \)-群定义：

\[
\begin{align}
E_{k}^{0} &= K^{0}(\mathcal{C}^{k}, \mathcal{C}^{k-1}) \\
E_{k}^{1} &= K^{1}(\mathcal{C}^{k}, \mathcal{C}^{k-1}) \\
E_{k}^{2} &= K^{0}(\mathcal{C}^{k-1}, \mathcal{C}^{k-2}) \\
E_{k}^{3} &= K^{1}(\mathcal{C}^{k-1}, \mathcal{C}^{k-2}) \tag{32}
\end{align}
\]

其中 \( \mathbf{k}_0 \) 是 \( \mathcal{C}^k \) 的代表点，相对 \( K \)-群的定义在附录 B 1 中简要讨论。这里，我们不正式定义 \( K \)-群，而是提及 \( E_{k}^{p} \) 的物理意义，由于 \( E_{k}^{p} \) 是用 \( K \)-群定义的，可以从不同角度解释：

(i) 根据式 (33)，\( E_{k}^{0} \) 表示在 \( k \)-胞腔上具有能隙的 \( k \)-维拓扑相，但在 \( (k-1) \)-胞腔上平凡。

(ii) 根据式 (34)，\( E_{k}^{1} \) 对应于当 \( k=0 \) 时在 \( k \)-维球面上的能隙拓扑相，当 \( k=1 \) 时对应于 \( k \)-维球面上的无能隙点。

(iii) 根据式 (35)，同一群被识别为 \( \mathcal{C}^k \) 的代表点 \( \mathbf{k}_0 \) 处的度-\( p \) \( K \)-群。这是实际计算 \( E_2 \) 页使用的形式：问题归结为小群 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的不可约表示，其额外的 Clifford 生成元编码在分级中，或者等价地，归结为它们的涌现 Altland-Zirnbauer 对称类（见下文）。

(iv) 根据式 (36)，式 (35) 中 \( \mathbf{k}_0 \) 处的度-\( p \) \( K \)-群可以等价地写成辅助球面 \( S^{p-1} \) 上的零度问题。在这种描述中，分级中引入的 \( p \) 个 Clifford 生成元由 \( S^{p-1} \) 上的坐标 \( \theta_1, \ldots, \theta_p \) 和 gamma 矩阵 \( \gamma_1, \ldots, \gamma_p \) 表示。因此，\( E_{k}^{p} \) 可以理解为具有对称群 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的 \( p \)-维有质量 Dirac 哈密顿量中质量项的分类之和

\[
H(\theta) = \sum_{i=1}^{p} \sin(\theta_i) \gamma_i + m(\theta) \gamma_{p+1} \tag{37}
\]

\[
\text{其中 } \theta = (\theta_1, \ldots, \theta_p) \in S^{p-1} \text{ 且 } m(\theta) \text{ 是质量项} \tag{38}
\]

这里，\( S^{p-1} \) 是与分级相关的辅助球面，而不是额外的动量空间胞腔。\( G_{\mathbf{k}_0} \) 中的对称性在 \( S^{p-1} \) 上平凡作用，因此作为 Dirac 哈密顿量的内部对称性。结果，分类由 \( \mathbb{Z} \) 或 \( \mathbb{Z}_2 \) 给出 [116]，其中 \( \mathbb{Z} \) 和 \( \mathbb{Z}_2 \) 是 Dirac 哈密顿量的分类空间（另见表 I）。

为了构造阿贝尔群 \( E_{k}^{p} \)，使用第三种或第四种解释较为方便。那么，剩下的任务是获得 \( E_{k}^{p} \)，即在存在位点对称性的情况下有质量 Dirac 哈密顿量的分类。事实上，这个任务很容易通过识别 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的幺正部分每个不可约表示的有效内部对称类来实现 [35,36,116]。这种对称类被称为涌现 Altland-Zirnbauer 对称类（EAZ 类）。

对于每个 \( g \in G_{\mathbf{k}_0} \)，我们总是可以将 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 分解为以下四个部分：

\[
G_{\mathbf{k}_0} = G_{\mathbf{k}_0}^{0} \cup G_{\mathbf{k}_0}^{1} \cup G_{\mathbf{k}_0}^{2} \cup G_{\mathbf{k}_0}^{3} \tag{39}
\]

其中

\[
\begin{align}
G_{\mathbf{k}_0}^{0} &= \{ g \in G_{\mathbf{k}_0} \mid \bar{g} = g \} \\
G_{\mathbf{k}_0}^{1} &= \{ g \in G_{\mathbf{k}_0} \mid \bar{g} = -g \} \\
G_{\mathbf{k}_0}^{2} &= \{ g \in G_{\mathbf{k}_0} \mid \bar{g} = g \text{ 且 } g^2 = -1 \} \\
G_{\mathbf{k}_0}^{3} &= \{ g \in G_{\mathbf{k}_0} \mid \bar{g} = -g \text{ 且 } g^2 = -1 \} \tag{40}
\end{align}
\]

一旦我们识别出 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的这些部分，我们就可以计算 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的不可约表示，其标签在下面用 \( \mu \) 表示。对于 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的每个不可约表示，我们可以计算 \( W_{\mu} \)，\( X_{\mu} \) 和 \( Y_{\mu} \)，定义为

\[
\begin{align}
W_{\mu} &= \sum_{g \in G_{\mathbf{k}_0}^{1}} \chi_{\mu}(g^2) \\
X_{\mu} &= \sum_{g \in G_{\mathbf{k}_0}^{2}} \chi_{\mu}(g^2) \\
Y_{\mu} &= \sum_{g \in G_{\mathbf{k}_0}^{3}} \chi_{\mu}(g^2) \tag{41}
\end{align}
\]

其中 \( \chi_{\mu}(g) \) 是 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的不可约表示 \( \mu \) 在 \( g \in G_{\mathbf{k}_0} \) 上的特征标，而 \( g \) 是 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的代表元素。这些量告诉我们 \( G_{\mathbf{k}_0}^{0} \)，\( G_{\mathbf{k}_0}^{1} \)，\( G_{\mathbf{k}_0}^{2} \) 和 \( G_{\mathbf{k}_0}^{3} \) 中的对称性如何影响不可约表示。当 \( W_{\mu} = 0 \) 且 \( X_{\mu} = 0 \) 时，\( G_{\mathbf{k}_0} \) 中的对称性将不可约表示 \( \mu \) 变换为另一个。另一方面，当 \( W_{\mu} \neq 0 \) 时，不可约表示 \( \mu \) 在对称性下不变。结果，\( \mu \) 的 EAZ 对称类由

\[
\text{EAZ}(\mu) =
\begin{cases}
\text{A} & \text{若 } W_{\mu} = 0 \text{ 且 } X_{\mu} = 0 \text{ 且 } Y_{\mu} = 0 \\
\text{AIII} & \text{若 } W_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } X_{\mu} = 0 \text{ 且 } Y_{\mu} = 0 \\
\text{BDI} & \text{若 } W_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } X_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } Y_{\mu} = 0 \\
\text{D} & \text{若 } W_{\mu} = 0 \text{ 且 } X_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } Y_{\mu} = 0 \\
\text{DIII} & \text{若 } W_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } X_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } Y_{\mu} \neq 0 \\
\text{CII} & \text{若 } W_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } X_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } Y_{\mu} \neq 0 \\
\text{C} & \text{若 } W_{\mu} = 0 \text{ 且 } X_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } Y_{\mu} \neq 0 \\
\text{CI} & \text{若 } W_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } X_{\mu} \neq 0 \text{ 且 } Y_{\mu} \neq 0
\end{cases} \tag{42}
\]

这被称为 Wigner 判据 [109,117]。\( p \)-维有质量 Dirac 哈密顿量的分类如表 I 所示。结果，\( E_{k}^{p} \) 写成

\[
E_{k}^{p} = \bigoplus_{\mu} \mathbb{Z}_{\mu}^{p} \tag{43}
\]

其中 \( \mathbb{Z}_{\mu}^{p} \) 表示为不可约表示 \( \mu \) 定义的 \( E_{k}^{p} \) 的基。另外，\( \mathbb{Z} \) 或 \( \mathbb{Z}_2 \) 表示由 \( \mathbb{Z}_{\mu}^{p} \) 生成的阿贝尔群。

3. 第一微分 \( d_1 \) 和 \( E_2 \) 页

应当强调，虽然 \( E_{k}^{p} \) 的元素对应于定义在 \( k \)-胞腔上的有质量 Dirac 哈密顿量，但它不要求在 \( (k-1) \)-胞腔上有能隙。换句话说，\( E_{k}^{p} \) 的元素有时与 \( E_{k-1}^{p} \) 的元素不相容。我们用同态来实现 \( E_{k}^{p} \) 和 \( E_{k-1}^{p} \) 之间的关系：

\[
d_1: E_{k}^{p} \to E_{k-1}^{p} \tag{44}
\]

这被称为第一微分 [109]。就我们的目的而言，考虑 \( k=2 \)，\( p=0 \) 和 \( k=1 \) 的情况就足够了。这里，构造这种同态的详细计算在我们同伴的工作中讨论 [71]。

基于 \( E_{k}^{p} \) 的第二种解释，我们提出 \( E_{k}^{p} \) 的另一个物理意义。由于 \( E_{k}^{0} \) 和 \( E_{k}^{1} \) 分别对应于能隙和无能隙相，\( d_1 \) 可以理解为从 \( k \)-胞腔上的带反转生成 \( (k-1) \)-胞腔上的无能隙点的过程。那么，\( \ker(d_1) \) 表示在 \( k \)-和 \( (k-1) \)-胞腔上具有能隙的哈密顿量。另外，\( \operatorname{Im}(d_1) \) 可以解释为在 \( k \)-和 \( (k-1) \)-胞腔上生成平凡能隙哈密顿量。结果，我们定义 \( E_2 \) 页为

\[
\begin{align}
E_{2}^{0} &= \ker(d_1) \\
E_{2}^{1} &= \ker(d_1) \\
E_{2}^{2} &= \ker(d_1) \tag{45}
\end{align}
\]

这表示在 \( (k-1) \)-、\( k \)-和 \( (k-2) \)-胞腔上具有能隙的拓扑非平凡相。

此外，与 \( E_2 \) 页类似，\( E_2 \) 页的一些元素可能与 \( (k-1) \)-胞腔上的能隙相不相容，并包含从 \( (k-1) \)-胞腔生成的平凡相。然后，为了获得完全能隙的相，我们必须考虑更高微分和 \( E_3 \) 页。然而，更高微分超出了本工作的范围。重要的是，据我们所知，我们没有系统的方法来构造 \( E_3 \)。相反，我们专注于 \( E_2 \) 页，并在第 II C 节中构造拓扑不变量，尽管对应于 \( E_2 \) 的相有时在 3-胞腔上无能隙。应当强调，这仍然是有用的，因为在一般动量下检测无能隙点通常很困难。

B. 步骤 (i)：识别 \( k \)-胞腔上用于拓扑不变量的不可约表示

如第 I 节所述，我们需要识别负责拓扑非平凡性的 \( k \)-胞腔上的不可约表示，这是引言中提到的步骤 (i)。事实上，\( E_2 \) 页包含我们所需的信息。在本小节中，我们解释如何系统地提取 \( E_2 \) 页中的信息。在下面，为简单起见，我们假设 \( E_{k}^{p} \) 是自由阿贝尔群。对于具有传统配对对称性的时间反演对称超导体，这总是成立的。将这里提出的方案推广到 \( E_{k}^{p} \) 包含挠元的情况是直接的，如附录 A 所讨论。

设 \( \mathcal{B} = \{ b_1, b_2, \ldots, b_N \} \) 是 \( E_{k}^{p} \) 的序贯编号基集；即存在 \( N \in \mathbb{Z}_{>0} \) 使得 \( E_{k}^{p} = \mathbb{Z}^N \)。那么，\( E_{k}^{p} \) 表示为

\[
E_{k}^{p} = \mathbb{Z}^N \tag{46}
\]

其中 \( \mathbb{Z}^N \) 表示由 \( \mathcal{B} \) 生成的自由阿贝尔群。当我们使用 \( \mathcal{B} \) 时，第一微分 \( d_1 \) 表示为

\[
d_1(b_i) = \sum_{j=1}^{M} A_{ji} e_j \tag{47}
\]

其中 \( A \) 是一个 \( M \times N \) 的整数值矩阵。对于整数值矩阵，我们总是可以找到两个幺模矩阵 \( U \) 和 \( V \) 使得

\[
U A V = \Lambda \tag{48}
\]

其中 \( \Lambda \) 是一个整数值对角矩阵。左边称为 Smith 标准形。当我们让 \( r \) 为 \( A \) 的矩阵秩时，\( \Lambda \) 的每个对角元素满足以下条件：

(i) \( \lambda_i = 0 \) 对于 \( i > r \)；

(ii) \( \lambda_i \) 可以整除 \( \lambda_{i+1} \) 对于 \( i < r \)；

(iii) \( \lambda_i \neq 0 \) 对于 \( i \leq r \)。 (49)

然后，我们有

\[
\begin{align}
E_{k-1}^{p} &= \mathbb{Z}^{M} / A \mathbb{Z}^{N} \\
&= \mathbb{Z}^{M-r} \oplus \mathbb{Z}_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{\lambda_r} \tag{50}
\end{align}
\]

其中我们引入 \( \mathbb{Z}_{\lambda} = \mathbb{Z} / \lambda \mathbb{Z} \)。方程 (50) 意味着我们可以得到 \( E_{k-1}^{p} \)。

类似地，

\[
\begin{align}
\ker(d_1) &= \mathbb{Z}^{N-r} \oplus \mathbb{Z}_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{\lambda_r} \tag{51}
\end{align}
\]

前 \( r \) 行为零的原因是 \( \ker(d_1) \) 应由 \( E_{k-1}^{p} \) 展开。对方程 (48) 应用相同的分解，我们将上述方程重写为

\[
\ker(d_1) = \mathbb{Z}^{N-r} \oplus \mathbb{Z}_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{\lambda_r} \tag{52}
\]

其中 \( \Lambda' \) 是 \( A' \) 的 Smith 标准形，具有与式 (49) 相同的性质。这里，我们也引入 \( N' = N - r \)。结果，我们发现：

(i) \( b_{N-r+1}, \ldots, b_N \) 不是 \( E_{k-1}^{p} \) 中的元素；

(ii) \( b_{1}, \ldots, b_{N-r} \) 是 \( \ker(d_1) \) 的基，当 \( r = 0 \) 且 \( \lambda_i = 0 \) 时。

方程 (51) 和 (52) 告诉我们定义在 \( k \)-胞腔上的拓扑不变量。由于 \( E_{k}^{p} \) 的任何元素都可以表示为 \( \sum_{i=1}^{N} n_i b_i \)，\( n_i \in \mathbb{Z} \)，结合事实 (i) 和 (ii) 与方程 (52)，行列表告诉我们哪些 \( b_i \) 的组合检测拓扑非平凡性。这确实是步骤 (i)，我们需要实现的。因此，剩余的问题是识别正确充当 \( b_i \) 的量，这将在下一小节讨论。

C. 步骤 (ii)：拓扑不变量的构造

在前一小节中，我们发现 \( \ker(d_1) \) 中的每个行列表告诉我们拓扑不变量中使用哪些 \( k \)-胞腔上的不可约表示来检测 \( E_{k}^{p} \) 的非平凡元素。在本小节中，我们讨论哪些量被分配给它们，以及如何组合这些量。在下面，通过关注 \( k=1 \) 的情况，我们提出定义在 1-骨架上的拓扑不变量（将所有一维胞腔与所有零维胞腔粘合在一起的域）。为方便起见，\( \mathcal{C}^1 \) 和 \( \mathcal{C}^0 \) 表示为

\[
\begin{align}
\mathcal{C}^1 &= \{ c_1, c_2, \ldots, c_{N_1} \} \\
\mathcal{C}^0 &= \{ v_1, v_2, \ldots, v_{N_0} \} \tag{53}
\end{align}
\]

作为后续讨论的准备，这里我们在不可约表示在类手征对称性下不变的情况下，为每个不可约表示定义 q 矩阵。在这种情况下，我们考虑由手征性表征的 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 的不可约表示，记为 \( \mu \)。\( G_{\mathbf{k}_0} \) 的每个不可约表示满足

\[
\begin{align}
\mu(g) &= \mu(g)^{-1} \quad \text{若 } g \in G_{\mathbf{k}_0}^{0} \\
\mu(g) &= -\mu(g)^{-1} \quad \text{若 } g \in G_{\mathbf{k}_0}^{1} \tag{54}
\end{align}
\]

当 \( W_{\mu} \neq 0 \) 且 \( X_{\mu} = 0 \) 时，这里用 \( \mu \) 和 \( \mu' \) 表示的两个不可约表示通过 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 中的对称性相关联。在这种情况下，我们总是选择 \( g_0 \in G_{\mathbf{k}_0} \) 使得

\[
\mu'(g) = \mu(g_0^{-1} g g_0) \tag{55}
\]

然后，我们定义一个投影矩阵

\[
P_{\mu} = \frac{d_{\mu}}{|G_{\mathbf{k}_0}|} \sum_{g \in G_{\mathbf{k}_0}} \chi_{\mu}(g)^* \mu(g) \tag{56}
\]

其中 \( d_{\mu} \) 是不可约表示 \( \mu \) 的维度。使用投影矩阵，我们也定义一个手征矩阵

\[
\Gamma_{\mu} = \frac{1}{d_{\mu}} \sum_{g \in G_{\mathbf{k}_0}^{1}} \chi_{\mu}(g)^* \mu(g) \tag{57}
\]

其特征值为 0 和 \( \pm 1 \)。当 \( Q_{\mu} \) 表示由特征值为 \( +1 \) 的特征向量组成的矩阵时，我们有

\[
Q_{\mu} = \Gamma_{\mu} P_{\mu} \tag{58}
\]

这就是我们所说的 q 矩阵。应当注意，\( Q_{\mu} \) 依赖于 \( g_0 \) 的选择，并可以通过规范变换改变。特别地，我们总是可以选择 \( g_0 \) 使得 \( Q_{\mu} \) 的特征值对于 EAZ 类 AIII 和 CI 是 \( d_{\mu}/2 \)-重简并的，对于 EAZ 类 DIII 是 \( d_{\mu}/2 \)-重简并的（见附录 B 3 如何找到这样的基集）。然后，我们定义 "\( \eta_{\mu} \)" 对于 AIII 和 CI 以及 "\( \eta_{\mu} \)" 对于 DIII，通过 \( Q_{\mu} \) 的成对重复特征值的乘积。结果，我们引入

\[
q_{\mu} = \det(Q_{\mu}) \tag{59}
\]

其中 \( \lambda_{i} \) 是 \( Q_{\mu} \) 的第 \( i \) 个特征值，并且

\[
q_{\mu} = \pm 1 \tag{60}
\]

成立。对于具有 \( q_{\mu} = -1 \) 的 EAZ 类 DIII，当 \( G_{\mathbf{k}_0} \) 包含一个记为 \( T \) 的二阶反幺正对称性时，可以通过选择 \( g_0 = T \) 将 \( q_{\mu} \) 替换为 \( -q_{\mu} \)。

我们简要评论一下 \( q_{\mu} \)。手征矩阵\(\Gamma\)通常并不等同于手征对称性的表示。即使当我们讨论包含具有分数平移的手征对称性的对称群时，\(\Gamma\)的本征值为0和\(\pm1\)。另一方面，\(\Gamma\)依赖于动量且不是周期性的。相应地，\(\Gamma\)和\(U\)可以相差一个规范变换的幺正矩阵。因此，\(\Gamma\)并不等同于\(U\)，而是通过幺正矩阵与\(U\)相关联。尽管如此，我们下面讨论的构造方法适用于此类情况。参见附录A3中的例子。

1. 重新审视\(\Gamma\)的物理意义

由于我们将自己限制在自由阿贝尔群\(G\)上，EAZ类总是AIII、CI或DIII之一。如式(37)所定义，\(\Gamma\)对应于1-胞腔上的有隙拓扑相与0-胞腔上的平凡有隙态的直接和。这类拓扑相由\(\Gamma\)矩阵的缠绕数来表征，其中缠绕数是量子化的。最简单的例子是仅具有平移对称性的一维AIII类系统。在这种情况下，\(d=1\)且\(k=0\)。由于关系\(\Gamma^\dagger\Gamma=1\)总是成立，\(\Gamma\)仅对应于AIII类的普通一维拓扑相，其特征由一维缠绕数\(\nu\)表征。在下文中，我们基于\(\Gamma\)矩阵的缠绕与拓扑非平凡性之间的关系来定义各种拓扑不变量，尽管对于一般的哈密顿量，缠绕数并不量子化。

2. 2-胞腔上无隙点的\(\mathbb{Z}_2\)拓扑不变量

首先，我们考虑2-胞腔上无隙点的拓扑不变量，这对应于\(k=1\)。为了定义拓扑不变量，对于1-胞腔上每个不可约表示的每个EAZ类，我们定义以下量：

(i) AIII类和CI类
\[
\nu^{(1)} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\text{1-cell}} \text{tr}\left[\Gamma^{-1}d\Gamma\right] \tag{75}
\]

(ii) DIII类
\[
\nu^{(1)} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\text{1-cell}} \text{tr}\left[\Gamma^{-1}d\Gamma\right] \tag{76}
\]

其中积分沿1-胞腔的方向从一个边界0-胞腔到另一个边界0-胞腔。在这里，我们引入\(\Gamma_{\text{vac}}\)作为真空哈密顿量\(H_{\text{vac}}\)的\(\Gamma\)矩阵，该哈密顿量由\(H\)的无限化学势极限定义，并使用相同的对称性。我们需要\(\Gamma_{\text{vac}}\)的缠绕数的原因是\(\Gamma\)的缠绕数在全局规范变换[118]和\(\Gamma\)的基变换下并不不变。当我们从\(\Gamma\)的缠绕数中减去参考\(\Gamma\)矩阵的缠绕数时，规范依赖性被消除。根据事实(I)和式(64)，
\[
(-1)^{\nu^{(1)}(\Gamma)-\nu^{(1)}(\Gamma_{\text{vac}})} = 1 \tag{77}
\]
是检测2-胞腔上无隙点的\(\mathbb{Z}_2\)值拓扑不变量。

3. 2-骨架上有隙相的\(\mathbb{Z}_2\)拓扑不变量

接下来，我们构造1-骨架上（即完全有隙相或仅在3-胞腔上无隙）有隙相的\(\mathbb{Z}_2\)值拓扑不变量。实际上，我们可以使用与2-胞腔上无隙点不变量相同的量。根据事实(II)和式(64)，我们找到一个由下式定义的不变量
\[
(-1)^{\nu^{(1)}(\Gamma)-\nu^{(1)}(\Gamma_{\text{vac}})} = 1 \tag{78}
\]

4. 2-骨架上有隙相的\(\mathbb{Z}\)拓扑不变量

对于满足\(k=1\)的\(G\)，我们从式(65)和(66)中的\(\nu^{(1)}\)和\(\nu^{(2)}\)构造一个\(\mathbb{Z}\)值拓扑不变量。与\(\mathbb{Z}_2\)值不变量的情况类似，用式(75)和(76)中的\(\nu^{(1)}\)来表征1-胞腔上的拓扑性质是自然的。我们为1-胞腔上的不可约表示定义以下量：

(i) AIII类和CI类
\[
\nu^{(2)} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\text{1-cell}} \text{tr}\left[\Gamma^{-1}d\Gamma\right] \tag{79}
\]

(ii) DIII类
\[
\nu^{(2)} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\text{1-cell}} \text{tr}\left[\Gamma^{-1}d\Gamma\right] \tag{80}
\]

其中积分沿1-胞腔的方向从一个边界0-胞腔到另一个边界0-胞腔。这里，\(n\)是1-胞腔上不可约表示\(\Gamma\)的维度。\(\nu^{(2)}\)的必要性与式(75)和(76)中的理由相同。由于如上所见，\(\mathbb{Z}_2\)值拓扑不变量仅由\(\nu^{(1)}\)定义，人们可能期望\(\nu^{(2)}\)是\(\mathbb{Z}\)值拓扑不变量。然而，这是不正确的。这是因为
\[
\exp\left[i\left(\nu^{(2)} - \nu^{(2)}_{\text{vac}}\right)\right] \neq 1 \tag{81}
\]
通常不等于1。这意味着\(\nu^{(2)}\)不能作为\(\mathbb{Z}\)值拓扑不变量。在对式(81)右边的指数进行积分和求和后，我们得到0-胞腔上\(\nu^{(2)}\)的乘积。然后，我们通过将\(\nu^{(2)}\)与修正项\(\mathcal{C}\)结合来构造一个\(\mathbb{Z}\)值拓扑不变量。

剩下的任务是识别这些修正项。事实上，这可以通过AHSS来实现。为了看到这一点，我们将式(63)重写为
\[
\sum_{\text{1-cells}} \nu^{(2)} = \sum_{\text{0-cells}} \mathcal{C} \tag{82}
\]
其中\(\mathcal{C}\)是式(63)中对于\(G\)的史密斯标准形。为方便起见，我们假设前\(r\)个对角元素为1，即对于\(i=1,\dots,r\)，\(d_i=1\)。注意，\(\mathcal{C}\)依赖于约定，例如胞腔分解的选择。当我们用\(G\)和\(H\)的坐标\(x\)和\(y\)来考虑式(82)时，该方程意味着
\[
\sum_{i} x_i \nu^{(2)}_i = \sum_{j} y_j \mathcal{C}_j \tag{83}
\]
式(83)暗示了0-胞腔和1-胞腔上定义的量之间的关系，如下所述。受式(83)的启发，我们定义以下量：
\[
\nu = \sum_{\text{1-cells}} \nu^{(2)} - \sum_{\text{0-cells}} \mathcal{C} \tag{84}
\]
\(\nu\)的\(\mathbb{Z}\)量子化也由以下讨论所证实。设\(\rho\)为1-胞腔上的不可约表示，\(\sigma\)为其相邻0-胞腔上的不可约表示。相容性关系意味着式(73)中定义的\(\mathbb{Z}_2\)值量\(\nu^{(1)}\)满足关系
\[
\nu^{(1)}(\rho) = \sum_{\sigma \in \text{0-cells}} \mathcal{C}_{\rho\sigma} \nu^{(1)}(\sigma) \tag{85}
\]
其中乘积\(\prod\)遍历0-胞腔上EAZ类为AIII、DIII或CI的不可约表示。指数\(c_{\rho\sigma}\)是式(62)中定义的矩阵元素的绝对值。关于推导过程参见附录C。设\(e\)为从相邻0-胞腔\(v\)到另一个相邻0-胞腔\(v'\)的1-胞腔。通过使用式(85)，
\[
\sum_{\text{1-cells}} \nu^{(2)} = \sum_{\text{0-cells}} \nu^{(2)} \tag{86}
\]
注意到，由式(63)，
\[
\sum_{\text{1-cells}} \nu^{(2)} = \sum_{\text{0-cells}} \nu^{(2)} \tag{87}
\]
我们得到
\[
\nu = \sum_{\text{1-cells}} \nu^{(2)} - \sum_{\text{0-cells}} \mathcal{C} \in \mathbb{Z} \tag{88}
\]
这证明了\(\nu \in \mathbb{Z}\)。我们注意到上述证明仅适用于0-胞腔处EAZ类不包括BDI的对称性设置。当某个0-胞腔处存在EAZ类BDI时，关系式(86)会受到0-胞腔处EAZ类为BDI的不可约表示的修正，从而导致对称性指示子检测2-胞腔上的无隙点或\(G\)与\(H\)的非平凡扩张。我们还数值验证了对于时间反演对称的自旋超导体，\(\nu\)实际上取\(\mathbb{Z}\)值，如第II.E节所讨论。

5. 演示

作为演示，我们讨论仅具有平移对称性的一维时间反演对称拓扑超导体的拓扑不变量。众所周知，在这种对称性设置下，拓扑超导相的分类为\(\mathbb{Z}_2\)。此外，以下拓扑不变量也是已知的：
\[
\nu = \prod_{k \in \text{TRIM}} \text{sgn}(q_k) \tag{89}
\]
其中我们选择基底使得\(C = \mathcal{K}\)。这里，我们使用我们的方法重新推导上述不变量。

我们对基本域的胞腔分解如图3所示。有两个不等价的0-胞腔，分别记为\(X\)和\(Y\)。这些0-胞腔在时间反演和粒子-空穴对称性下不变，因此，
\[
\Gamma(X) = \Gamma(Y) = \Gamma_{\text{vac}} \tag{90}
\]
另一方面，存在一个不等价的1-胞腔\(L\)，它仅在手征对称性下不变。因此，
\[
\Gamma(L) = \Gamma_{\text{vac}} \tag{91}
\]

图3. 杆群\(p4\)中基本域胞腔分解的示意图，具有时间反演对称性\(\mathcal{T}\)和粒子-空穴对称性\(\mathcal{C}\)。布里渊区的胞腔分解由\(X\)和\(Y\)给出。

由于\(\nu^{(2)}\)在一维情况下未定义，我们从式(62)出发，取\(d=1\)和\(k=0\)：
\[
\nu^{(2)} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\text{1-cell}} \text{tr}\left[\Gamma^{-1}d\Gamma\right] \tag{92}
\]
其中\(L\)和\(X,Y\)。关于\(\mathbb{Z}_2\)和\(\mathbb{Z}\)页面的总结参见表II。

遵循第II.C.4节的讨论，我们构造由下式定义的拓扑不变量
\[
\nu = \sum_{\text{1-cells}} \nu^{(2)} - \sum_{\text{0-cells}} \mathcal{C} \tag{93}
\]
应该注意，\(X\)和\(Y\)在TRS下不变，它们的EAZ类为DIII类且\(d=0\)。因此，\(\mathcal{C}\)被替换为\(\nu^{(2)}\)，其中\(d=0\)。结果，我们的不变量与已知公式一致。

在参考文献[112]中，我们给出了所有磁空间群中绝缘体和超导体的所有矩阵\(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{C}'\)、\(D\)、\(D'\)和\(\mathcal{E}\)。我们在此小节中提出的方案不仅适用于具有传统配对对称性的时间反演对称超导体，也适用于\(\Gamma\)为自由阿贝尔群的超导体。此外，\(\mathcal{C}\)在一定的规范条件下（如第IV节所讨论）告知我们绝缘体和超导体的拓扑不变量。然而，尽管给出了矩阵\(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{C}'\)、\(D\)、\(D'\)和\(\mathcal{E}\)，我们还没有一种方案来为超导体找到拓扑不变量的显式表达式，使得\(\Gamma\)既包含\(k=0\)部分也包含\(k=1\)部分。

表II. 杆群\(p4\)的\(\mathbb{Z}_2\)和\(\mathbb{Z}\)页面。

0 0 0
0 0 0

D. 具有传统配对对称性的时间反演对称自旋超导体

在本小节中，我们讨论具有传统配对对称性的时间反演对称自旋超导体中的两个关键观察：(i) 对称性指示子理论的平凡性和 (ii) 本工作中构造的不变量在159个空间群中的完备性。所谓传统配对对称性，是指超导序参量\(\Delta\)（它作为Bogoliubov–de Gennes哈密顿量的非对角块出现）在对称操作下变换时，不获得任何额外的U(1)因子，即
\[
U_g \Delta U_g^T = \Delta \tag{94}
\]
其中\(U_g\)表示\(g\)在正常导电相中的幺正矩阵表示，\(\epsilon_g = 0\)（\(1\)）当\(g\)是幺正（反幺正）时。

1. 非平凡对称性指示子的缺失

已知对于具有传统配对对称性的时间反演对称自旋超导体，对称性指示子总是平凡的，如参考文献[102]所示。在这些对称性设置中，人们可以发现
\[
\mathcal{C} = 0 \tag{95}
\]
这是因为每个不可约表示扇区的EAZ类总是AIII、DIII或CI（参见参考文献[119]中的证明）。如表I所示，对于这三个类，\(k=0\)的分类总是平凡的。因此，我们得到式(95)。

然后由\(\mathcal{C} = 0\)可得
\[
\mathcal{C} = 0 \tag{96}
\]
一般来说，对称性指示子有效地检测\(\mathcal{C}\)中的非平凡相的一个子集。然而，在当前设置中，\(\mathcal{C}\)是平凡的，如式(96)所示。因此，对称性指示子必然是平凡的。

2. 159个空间群中不变量的完备性

参考文献[70,71]表明，\(\mathcal{C}\)为230个空间群中的159个提供了有隙拓扑超导相的完整分类。根据设计，第II.C节中构造的拓扑不变量\(\nu\)和\(\nu^{(2)}\)完整地表征了\(\mathcal{C}\)。结合这两个事实，我们得出结论：这些不变量对于159个空间群是完备的。

接下来，我们讨论稳定的无隙相，其中无隙区域无法在不关闭1-骨架上能隙的情况下被打开。对于稳定的无隙相，\(\nu\)是所有空间群中拓扑不变量的完整集合。换句话说，这些对称类中的每个稳定无隙相必须在2-胞腔上具有无隙点，这可以由第II.C节中构造的不变量检测。虽然这一事实已在参考文献[120]中陈述，但这里我们在AHSS框架内重新表述它。这可以通过结合以下两个已知事实来理解。

(i) 1-胞腔上没有拓扑稳定的无隙点[111]。这直接由\(\mathcal{C}\)的平凡性得出。如第II.A.2节所讨论，\(\mathcal{C}\)对应于固定在1-胞腔上的无隙点的分类。

(ii) 在这些对称类中，3-胞腔上没有拓扑稳定的点和面节点，这由参考文献[121]的结果得出。在没有反演对称性的情况下，3-胞腔仅在手征对称性下对称，这导致EAZ类为AIII。在存在反演对称性的情况下，3-胞腔在反演与时间反演或粒子-空穴对称性的乘积下对称。由于配对的偶宇称性质，在这种情况下EAZ类总是DIII。对于这两个类，没有零维和二维拓扑不变量来保护面和点节点[121]。任何不与2-胞腔相交的线节点可以在3-胞腔内收缩到一个一般点，而不会关闭1-骨架上的能隙。由于这样的点节点不稳定，它随后可以被打开能隙。因此，对于传统配对对称性，第II.C节中构造的不变量为159个空间群中的有隙和稳定无隙相提供了完整表征。相同的结论也适用于80个层群中的76个。我们在第III节中讨论几个具体的例子。

E. 数值验证

在前一节中，我们构造了\(\mathbb{Z}_2\)值和\(\mathbb{Z}\)值拓扑不变量。然而，我们没有提供任何证明它们实际上是量子化的，尽管可以逐一确认。在本工作中，我们通过反复计算定义在1-骨架上的随机对称哈密顿量的不变量来替代性地检查它们是否量子化。在这里，我们讨论如何数值确认式(77)、(78)和(84)中定义的量是量子化的。为简单起见，我们始终考虑非磁性层群或具有TRS的非磁性空间群中的自旋系统。在这种情况下，\(G = G_{\text{space}}\)，其中\(G_{\text{space}}\)是非磁性空间群或层群。

1. 对称性表示和对称哈密顿量的准备

为了生成对称哈密顿量，我们需要对称性表示\(\Gamma\)。我们可以从实空间构造\(\Gamma\)如下。首先，我们在实空间中指定一个一般点\(r_0\)，其中一般点仅在非空间对称性下对称。一旦我们有了一个一般点，我们找到\(\Gamma\)和\(U\)使得\(U_g^\dagger \Gamma(r) U_g = \Gamma(g^{-1}r)\)。然后，我们可以通过下式构造\(\Gamma\)：
\[
\Gamma(r) = \sum_{g} \delta(r - g r_0) U_g \tag{97}
\]
其中\(\delta\)定义在表III中，\(U_g = 1\)仅当\(g\)是晶格矢量时，否则为0。应当注意，\(\Gamma\)满足\(\Gamma^\dagger \Gamma = 1\)。虽然对于正常导电相\(\Gamma = \Gamma_{\text{vac}}\)，
\[
\Gamma_{\text{vac}}(r) = \sum_{g} \delta(r - g r_0) U_g \tag{98}
\]
对于超导相，\(U_g\)对应于SU(2)对称性的存在（不存在）。这里， 表示超导能隙函数 的配对对称性；即，其定义为 。表III列出了对称群 和 在 处的不可约表示。后一种情况只有在考虑具有关于 方向镜面对称的层群时才会发生。为便于后续使用，我们引入不同的对称表示约定。通过基变换，我们总能得到 (99)其中 是一个不依赖于 和 的酉矩阵，而 是表示 平移部分的矢量。基变换矩阵 在正常导电相中为 ，而在超导相中为 (100)一旦我们有了对称表示，就可以在 点生成一个对称随机哈密顿量。假设我们有一个厄米随机矩阵 ，则我们由下式得到 处的对称随机哈密顿量 (101) 2. 两个对称哈密顿量之间的绝热连接对于0-胞腔和1-胞腔，我们可以利用式(101)构造对称随机哈密顿量。为了计算我们在第II.C节中得到的拓扑不变量，我们需要定义在1-骨架上的对称哈密顿量。设 为1-胞腔的一个代表点， 和 为其边界0-胞腔。在此，我们采用文献[122]中发展的技术，将 与 和 连接起来。首先，进行基变换，得到 (102)需要指出的是， 在倒格矢 的平移下不是周期性的，正如从 中看到的那样。然后，我们将 、 和 的能谱展平。换言之，我们引入 (103)其中 是由 的本征矢量构成的酉矩阵。接下来，我们定义参数化的哈密顿量 (104) (105)其中 和 是由 和 定义的参数。最后，通过执行逆基变换，我们得到对称哈密顿量 (106) (107)它们定义在1-胞腔和两个边界0-胞腔上。因此，我们得到哈密顿量 (108)将此方案应用于所有1-胞腔，我们得到定义在1-骨架上的对称哈密顿量。我们作以下两点说明。首先，我们应该对 （ ，1，2）进行插值，以使插值后的哈密顿量具有对称性。如果从展平后的 （ ，1，2）出发，插值后的哈密顿量不一定在1-胞腔上具有所有对称性。另一方面，对称表示 不依赖于动量，如式(99)所示。在这种情况下，可以保证在 的同一基下插值得到的哈密顿量在1-胞腔上满足所有对称性。其次，当0-胞腔和1-胞腔之间的相容条件被违反时，1-胞腔上有时会出现无间隙点。然而，只有当哈密顿量在1-骨架上有能隙时，我们的不变量才定义良好。为了消除1-胞腔上的无间隙点，我们必须叠加一些哈密顿量，使0-胞腔和1-胞腔之间的所有相容条件都得到满足。 3. 完备性检验为了检验我们的不变量是否有效，我们计算了以上述方式得到的哈密顿量的拓扑不变量。在我们的数值计算中，我们在存在TRS的情况下，对所有层群和所有空间群以及常规配对对称性（对所有 有 ）重复此过程20次。为便于后续使用，第 次计算的哈密顿量记为 。假设我们有以下拓扑不变量集合： (109) (110) (111)其中 和 分别是 -值和 -值拓扑不变量的个数。回顾 是Smith标准形 中1的个数，即 对于 。在计算完20个哈密顿量的所有拓扑不变量后，我们得到三个集合 、 和 。然后，我们检验拓扑不变量是否能完全刻画 。更准确地说，我们确认 、 和 分别能张成 、 和 。更多技术细节见附录B?4。F. 拓扑超导体的费米面公式虽然获得实际材料的 -矩阵通常具有挑战性，但众所周知，当配对势的尺度与正常导电相相比足够小时，式(89)的表达式和绕数 可以简化[123,124]。在这个弱配对极限下，如果正常导电相在 处有能隙且费米面非简并，我们有以下公式： (112) (113)其中 是正常导电相的第 个本征能量， 是超导能隙函数在能带基下的对角元[125]。鉴于这两个不变量也是通过 -矩阵的绕数和绕数的指数函数来定义的，例如式(75)和(79)，可以自然地预期我们的不变量也存在类似的公式。对这些公式的系统枚举超出了本文的范围。然而，我们注意到这个问题在后续的工作[120]中得到了解决，其中这里构造的不变量被进一步简化为 -波类拓扑超导性的实用费米面公式。III. 实例在本节中，我们在几个具有TRS的对称性设置下推导拓扑超导体的拓扑不变量。我们还计算了这些对称性设置中所有可能拓扑相的代表性模型所得到的拓扑不变量。A. 具有 配对的层群 我们的第一个例子是层群 ，其生成元是螺旋对称 、镜面对称 以及沿 方向的平移。根据文献[70]，在具有TRS 和 配对的层群 中， 。然而，拓扑不变量尚属未知。在此，我们基于我们的框架构造拓扑不变量。我们的基本区域的胞腔分解如图2(b)所示，不可约表示列于表IV。则 由下式给出 (114)其中为简洁起见，我们省略了 中的“(1)”。在遵循第II.C节的步骤后，我们发现 和 (115) (116)如第II.B节所讨论的， 的第一行告诉我们关于2-胞腔上无间隙点的拓扑不变量，由下式给出 (117)其中环路 定义为 -X-M-Y- 。在最后一行中，我们使用了关系 对于 ， ， （见附录C）。表IV. 层群 中0-和1-胞腔上的不可约表示及其EAZ类。不可约表示 EAZ ， AIII 1 i ， AIII 1 1 ， AIII 1 i ， AIII 1 i 1 i ， DIII 2 0 0 0 不可约表示 EAZ ， AIII 1 ， AIII 1 不可约表示 EAZ AIII 1 AIII 1 i DIII 1 i DIII 1 如式(78)所示，由于只有 和 ， 的第五行给出了有能隙相的 -值拓扑不变量 (118)事实上，这就是镜面绕数。 的一个生成元由受镜面和手征对称性保护的一维拓扑超导相构成，如图4(a)所示。在对此生成元的代表性模型加入随机对称微扰后计算 ，我们发现 。图4. 层群 (a)、 (b)和 (c)中拓扑相的实空间图像。B. 具有 配对的层群 我们的下一个例子是层群 ，它由螺旋对称 和滑移对称 生成。文献[70]表明，在具有TRS 和 配对的层群 中， 。胞腔分解与图2(b)相同。不可约表示及其EAZ类别列于表V。我们有 由下式张成 (119)根据第II.B节的分析，我们发现 和 (120) (121) (122)从 的第一行，我们有以下2-胞腔上无间隙点的 -值拓扑不变量： (123) (124)其中环路 定义为 -X-M-Y- 。我们看到在式(121)中只有 不为1，这表明 的最后一行和 的第五行为有能隙相提供了一个 -值拓扑不变量。 -值拓扑不变量 由下式给出 (125)其中在第二行中我们将 替换为 ，如第II.B节所述。表V. 层群 中0-和1-胞腔上不可约表示的特征标表及其EAZ类。不可约表示 EAZ AIII 1 i AIII 1 1 AIII 1 i AIII 1 i 1 i DIII 2 0 0 0 DIII 2 0 0 0 DIII 1 1 DIII 1 1 1 1 DIII 1 1 DIII 1 1 不可约表示 EAZ AIII 1 AIII 1 DIII 1 DIII 1 不可约表示 EAZ AIII 1 AIII 1 DIII 1 DIII 1 的一个生成元由一维拓扑超导相构成，如图4(b)所示。在对此生成元的代表性模型加入随机对称微扰后计算 ，我们发现 mod 2。C. 具有 配对的层群 第三个例子是层群 ，其生成元是螺旋 和沿 方向的平移。在文献[33]中，作者证明了在具有TRS和 配对的层群 中， 。然而，拓扑不变量尚属未知。在此，我们基于我们的框架构造拓扑不变量。同样，胞腔分解与层群 和 相同。不可约表示及其EAZ类列于表VI。我们有 由下式张成 (126) 表VI. 层群 中0-和1-胞腔上不可约表示的特征标表及其EAZ类。不可约表示 EAZ ， AIII 1 ， AIII 1 i ， DIII 1 ， DIII 1 1 不可约表示 EAZ ， AIII 1 ， AIII 1 不可约表示 EAZ CI 1 DIII 1 我们进行第II.B节中给出的分析，然后发现 和 (127) (128) (129)与上述例子相同，我们有以下2-胞腔上无间隙点的 -值拓扑不变量： (130)我们发现 和 。因此，我们从 的第五行和 的第四行构造了一个 -值拓扑不变量。另外，从 的第六行和 的第五行得到了一个 -值拓扑不变量。 -值和 -值不变量，分别记为 和 ，定义为 (131) (132)拓扑相的实空间图像如图4(c)所示，如文献[70]中所讨论。从每个相的代表性模型的 中，我们发现 可以完全刻画 ，如表VII所示。表VII. 拓扑相代表性模型的拓扑不变量。 （ mod 2， mod 4） (1， 0) (1, 2) (0， 2) (0， 2) (0， 1) (1， 1) IV. 正常导电相的拓扑不变量到目前为止，我们讨论了当 （ ，1，2）为自由阿贝尔群时的拓扑不变量。通常，这对于具有常规配对对称性的时间反演对称超导体是成立的。另一方面，对于具有非常规配对对称性的超导体和正常导电系统，情况并非总是如此。特别是，当我们关注正常导电系统时， 总是采取 的形式。这是因为 -胞腔上每个不可约表示的EAZ类总是A、AI和AII中的任意一个，且只有AI给出 如表I所示。这里，让我们讨论如何构造绝缘体和半金属的拓扑不变量。正常导电相拓扑不变量的构造也需要类似于第II.B和II.C节中讨论的两个步骤。第一步中唯一的区别是 中 部分的存在。第II.B节的讨论很容易推广，如第IV.B?5节所示。另一方面，由于不存在任何手征对称性，我们需要为正常导电相开发不同的 表征。在第IV.B节中，我们引入转移函数作为在某些规范条件下的 -值量。因此，我们首先从AHSS构造某些规范条件下的拓扑不变量。由于固定规范的公式通常对实际计算无用，我们随后将这些公式改写为规范无关的量。下面，我们通过一些例子解释我们的策略。我们将规范不变公式的系统实现留作未来的工作。A. 一些一般性内容在继续讨论1-骨架上的不变量构造之前，我们在本节中总结一些不限于1-骨架的一般性说明。 1. 拓扑不变量的类型在绝缘系统中， 是自由阿贝尔群， 仅由 构成。由于自由阿贝尔群不经历非平凡扩张，定义在1-骨架上的拓扑不变量取值于群 。另一方面，群 可能被1-骨架上的不变量非平凡扩张，因此可以存在例如 不变量。 2. 符号说明我们总结本节使用的符号，它们与第II节中的不同。设 为磁点群， 为指定元素 是酉的还是反酉的同态。引入矩阵 的记号， 当 时， 当 时。设 为 的点群作用，且 为（分数）平移。实空间中的作用为 。记动量空间 上的群作用为 。将 写为内部自由度的因子系统，动量空间中的因子系统为 (133)其中 满足如下的上闭链条件： (134)对于 [47]。设 为全局定义在动量空间 上的对称性算符，满足如下的 -依赖上闭链条件： (135)动量空间 中的周期哈密顿量 满足如下对称性： (136) 3. 等变向量丛的分类一般来说，向量丛的同构类分类就是对过渡函数进行分类。设 为动量空间 的一个与对称性相容的覆盖，即 (137)其中 在下文中称为补丁。每个补丁 对应于AHSS胞腔分解中0-胞腔 的庞加莱对偶。根据设计， 在补丁 上的作用是某个补丁，补丁标签上的群作用记为 。即 。每个补丁 是可缩的，且每个补丁 上的布洛赫态 可以连续选取。设 为占据态的数量。在两个补丁的交集 上，过渡函数定义为 (138)过渡函数 在三个补丁的交集 上满足如下上闭链条件： (139)交集 通常不是可缩的，可能有多个连通分量。在给定补丁布洛赫态的某些对称性约束（规范固定条件）下，所需的拓扑分类由对剩余规范变换不变的过渡函数 的同伦等价类得到。在每个补丁中，由于式(136)中的对称性关系，布洛赫态 定义一个酉矩阵，称为缝矩阵， 由下式给出： (140)这里注意，矩阵 ，与 不同，仅定义在补丁 上，且满足与 相同的乘积结构(135)，即 (141)以下事实是构造的起点。定理1. 存在补丁 上的连续酉矩阵 使得 (142) 成立。证明见附录E。这意味着通过规范变换 ，人们总能固定规范，使得每个补丁中的对称性算符可以取为0-胞腔 处的对称性算符 ，直至由磁空间群数据唯一确定的因子 。值得注意的是，0-胞腔 处的表示矩阵 的酉等价类由 处的小群 的不可约表示数决定。因此，每个补丁的规范固定条件仅取决于0-胞腔 处的表示。让我们选择一个满足式(141)的规范固定条件 。在规范固定条件(140)下，过渡函数满足如下对称性： (143)保持规范固定条件(140)不变的剩余规范变换由下式给出： (144)其中 上的矩阵 满足条件 (145)在式(144)的剩余规范变换下，过渡函数变换为 (146)过渡函数 的同伦等价类集合除以由式(144)中剩余规范变换生成的等价关系，得到拓扑不变量的数据。由过渡函数 定义的拓扑不变量的分类通常是困难的。然而，当将布洛赫态限制在动量空间的1-骨架时，拓扑不变量由 分类并可以显式构造，这将在下一节讨论。B. 1-骨架上 拓扑不变量的构造在本节中，我们讨论由动量空间1-骨架上的占据态定义的 拓扑不变量的构造。在以下讨论中，我们假设0-胞腔处占据态表示的任意集合满足相容性关系，以确保1-骨架上能隙的存在性，从而使得0-胞腔处的表示集合是 的一个元素。 1. 在1-胞腔上引入规范约束设 和 分别为1-胞腔 的起点和终点（见图5）。我们选择一个代表点 并检查该点处过渡函数的对称性约束： (147)图5. 1-胞腔 及其起点 和终点 的示意图。过渡函数定义在补丁 和 的重叠上，它们分别是0-胞腔 和 的邻域。点 是交集 中的代表点。让我们定义子群 ，其元素保持1-胞腔 上的点不变。则过渡函数满足式(143)中的对称性约束： (148)尽管 和 作为 的表示在公共因子系统 下是酉等价的，但 和 通常是不同的。因此，过渡函数 的本征值没有出现明显的约束。为了使本征值限制显式化，我们固定1-胞腔 的表示矩阵 ，它遵守全局定义的因子系统 ： (149)这里， 表示由 映射自1-胞腔 的1-胞腔。矩阵 可以被视为1-胞腔上的规范固定条件： (150)设 为从0-胞腔 到相邻1-胞腔 的基变换的酉矩阵： (151)（如下文所述， 不是唯一的。）利用这个基变换，我们重新定义 (152)则过渡函数 满足对称性 (153)这对 的本征值施加了一个约束。 2. 预备讨论：分块对角化情形为了考察 的本征值结构，我们首先考虑表示矩阵 对每个不可约表示分块对角化的情形。设 为 的由酉元素组成的子群。记 的 -不可约表示的不可约特征标为 。当 时，选择代表元 ， 表示 通过 关联的不可约表示。注意， 通常。 的特征标为 。选择每个不可约表示的一组表示矩阵，记为 。设 为 的矩阵维数（表示维数）。我们考虑表示矩阵的如下分块对角化形式： (154)其中 是 中包含的 -不可约表示的数量。通过这种选择， 分块对角化为 (155)此外，由于 对称性，每个扇区的酉矩阵 还要受到进一步的约束，这取决于 -不可约表示的EAZ类，如下所述。 (a) EAZ类A，即不存在反酉对称性——在这种情况下，对 没有进一步的限制。由于 ，不会产生非平凡的拓扑分类。特别是， 可以取任意U(1)值。 (b) EAZ类 ，即存在反酉对称性 但 和 不同——在这种情况下，对 没有进一步的限制。由于 ，不会产生非平凡的拓扑分类。对于 ，不可约表示 的表示矩阵可以固定为 当 时。这样做时，由于 ，存在酉矩阵 使得 且 由下式给出。结果， 在 扇区中的表示矩阵变为 (156) 注意 且 。在这种表示下，由于 对称性， 成立。特别是， (157) (c) EAZ类AI——存在酉矩阵 使得 [109]。 -不可约表示 的表示矩阵由 给出。因此，由于 对称性， ，这意味着 。由于 ，从1-胞腔上的过渡函数产生一个 分类，它由符号决定 (158) 结果表明，符号 取决于基变换 。对于表示矩阵的三元组 、 和基变换 ，考虑用下式替换 作为 (159) (160) 这种替换不改变关系(151)。考虑 在式(154)中的形式和式(160)中的对称性关系，我们有 (161) 特别是，对于EAZ类为AI的 -不可约表示的块， 。这种替换导致式(155)中定义的酉矩阵 发生变化： (162) 因此，符号 也发生变化： (163) (d) EAZ类AII——由于克拉默斯简并， 是偶数。存在酉矩阵 使得 。利用这个矩阵 ， 在 块中的表示矩阵由 给出。因此，由于 对称性， ，这意味着 矩阵属于辛群 。由于 ，不会产生非平凡的分类。此外，由于矩阵 的本征值以复共轭对 的形式出现， 。 3. U(1)值的规范不变表达式当表示矩阵 不像表达式(154)那样分块对角化时，U(1)值的量 也是可定义的。通过引入由下式定义的 -不可约表示的正交投影 (164)过渡函数 在 扇区上的投影由下式给出 (165)投影 的非零本征值由 个本征值 组成，每个都是 重简并的。我们定义 (166)前节的讨论可以对每个EAZ类总结为 (167)需要做一些说明。 (i) U(1)值的量 关于直和表现为乘积性质： (168) (ii) 从表达式 (169) 可以看出，需要再次强调U(1)值的量 依赖于基变换矩阵 。 (iii) 对于EAZ类为AI的不可约表示，一组符号 代表AHSS中 的一个元素。 4. 剩余补丁规范变换我们来看剩余补丁规范变换(144)如何改变U(1)值的量 。式(152)中定义的过渡函数 在规范变换下变换为 (170) (171)其中矩阵 和 满足与 相同的对称性(160)，即 (172)因此， 、 和 在 扇区中都是分块对角化的。因此， (173)成立，这意味着它是每个U(1)值的乘积。此外，式(166)中的U(1)值 由本征值定义，因此不依赖于表示矩阵 的选择。于是，有 (174)特别是，当 -不可约表示的EAZ类是AI时，值 被量子化为 ；因此，它不依赖于1-胞腔 上的动量 。所以，它与0-胞腔 处的符号一致： (175)回想一下，0-胞腔 处的动量记为 。对于 也是如此。应该注意，尽管上述 定义在0-胞腔 处，但它是对相邻1-胞腔上的不可约表示计算的。另一方面，对于稳定化子群 ，对于酉子群 的每个不可约表示 ，类似地定义了一个U(1)值的量 。不可约表示 分解为 的不可约表示 的不可约分解为 (176)则以下关系成立： (177)证明见附录C。注意，如果 包含反酉元素 ，则 也包含 。对于 的 -不可约表示，其EAZ类为AI，可以推出式(177)右边的不可约表示 的EAZ是AI、AII或 之一。此外，考虑式(167)，来自AII的贡献为 且来自 的贡献为 ，只留下来自AI的贡献。因此，我们得到 (178)这里， 表示对 的EAZ为AI的不可约表示的乘积。最终，在剩余补丁规范变换(144)下符号 的变化由下式给出 (179)这个关系(179)正是AHSS中的微分 ，因此，1-骨架上的 不变量由群 分类。群 包括检测2-胞腔内部点处无隙点的 不变量，在文献中称为“ -贝里相位”。这样的 不变量由微分 的余像 给出，并取决于胞腔分解的选择。相反， 不依赖于胞腔分解。因此， 给出了表征2-骨架上能隙相的 不变量的分类，即绝缘体和3-胞腔内部一般点处的无隙点，不依赖于胞腔分解。 5. 不变量的规范不变乘积符号 的规范不变组合构成一个 不变量，可以从AHSS中的第一微分计算出来。其构造与第II.B节讨论的类似，只是它是 值的而非 值的。因此，这里只简要陈述结果。设 。我们记由基向量组成的矩阵为 并将第一微分写为 (180)其中 是一个 值的 矩阵。设 的史密斯标准形为 (181)并定义矩阵 为 (182) 的史密斯标准形记为 (183)相应的基变换矩阵定义为 (184)我们引入向量 为 (185)对于1-骨架上的能隙能带结构 ，定义 值的 为 (186)其中向量 的分量由表示 基的对 索引，包括一个1-胞腔 和其上的一个EAZ类为AI的 -不可约表示。因此，这些不变量对应检测给定胞腔分解中受 -Berry相位保护的2-胞腔中无间隙点的不变量，而另一些则对应于刻画1-骨架上有能隙布洛赫波函数的不变量。另一方面，某些量不是不变量，因为它们在残余补丁规范变换下会发生变化。

6. 不变量与能带和的不可兼容性

如第IV B 2节和第IV B 3节所述，符号 依赖于基变换 。因此， 不变量 对于能带的直和 是否保持可加结构并不显然，即 是否成立，其中“ ”表示右边和左边的值在下述意义下模2相等。如下所述，我们发现该关系并不成立，且涉及一个修正项。

由于我们关注能带 的直和 ，我们引入一个指标 来标记能带 和 。现在，我们在每个0-胞腔 上对不可约表示进行排序，用 标记。类似地，对每个1-胞腔 ，将不可约表示排序为 ，并将不可约表示 的表示矩阵记为 。能带 在0-胞腔 和1-胞腔 处的不可约分解可以分别写为 和 ，其中 和 。

经过附录F中讨论的一些计算，我们发现

(187)

其中

(188)

(189)

其中符号 表示限制到0-胞腔，且修正项确实仅依赖于0-胞腔中 的元素。方程(187)-(189)的推导见附录F。重要的是要注意 不一定总是成立。

7. 二次精化与不变量重新定义

如方程(187)所示，引入的 不变量不遵循求和规则。那么，自然要问是否可能重新定义满足能带直和线性性质的 不变量。这里，我们引入一种称为二次精化的技术，从 构造所需的 不变量。

从方程(188)，我们有

(190)

由于不可约表示的数量关于能带直和是线性的， ，修正 是一个双线性形式

(191)

我们旨在使用 重新定义不变量 ，使得重新定义的 不变量对能带直和满足线性性质。如下所述，如果 是对称的，则这种重新定义是可能的。基于经验规则，我们提出以下猜想。

猜想1——双线性形式 对于无间隙点的不变量 和有能隙绝缘体的不变量 是对称的。换言之，

(192)

成立。

我们数值验证了猜想(192)对于自旋无关和自旋相关电子系统中的528种二维磁性层群和1651种三维磁性空间群是正确的。我们将适用于任意空间维数和因子系统的解析证明留作未来问题。注意，对于规范依赖的指标 和不满足相容关系的表示 ，方程(192)不成立。

对于给定的对称双线性形式 ，存在一个函数 （注意它不是线性的）满足

(193)

函数 称为 的二次精化。该二次精化 不唯一，且具有 的冗余性。关于存在性证明，见附录G。我们使用该 重新定义 如下：

(194)

则

(195)

成立，构成一个对能带直和线性行为的 不变量。

二次精化 的一般形式如下。选择 的一组基使得 ，并记 。利用取整函数 ，方程(G16)中 的一般形式为

(196)

其中 表示二次精化中的冗余性，可以自由选择。

8. 关于对称算符方法的评注

在不施加对称性的情况下，每个1-胞腔上的转移函数是酉群 的一个元素，该群是道路连通的，因此允许在动量空间的1-骨架因此，在EAZ类AII的情况下，1-胞腔中没有非平凡分类。 7. 高维不可约表示的Wilson线我们概述了维数 大于1的不可约表示（irreps）的Wilson线 的构造方法。为此，使用非周期基是有用的，该基用于第II.E节中讨论的超导体拓扑不变量的数值验证。周期基与非周期基之间的差异源于傅里叶变换的定义。设 为单位晶胞中Wyckoff位置 处的费米子产生算符，其中 为单位晶胞的位置。那么，有两种定义傅里叶变换的方式：(i) ； (ii) 。前一种定义给出周期基，而后一种则导致非周期基。这两个基通过第II.E节中引入的酉矩阵 相关联。在非周期基中，对称性表示的形式为 ，即 与（分数）平移 和与 无关的酉矩阵 的乘积。设 为1-胞腔 的迷向子群（little group）， 为其酉部分。设 表示在1-胞腔 上属于 的 -irrep的布洛赫态。在每个 处， 的表示矩阵可以是与 无关的，因为它满足 (215)在这样的规范下，相邻两个动量的重叠矩阵 满足对称性约束 ，这意味着 的本征值由 的本征值构成，并且每个本征值是 -重简并的。如式(166)所示，我们引入 (216)并且 的Wilson线定义为 (217)Wilson线 的规范变换类似于在规范约束(215)下的式(199)。我们不会详细讨论 的情况，因为在本文中我们对 采用周期基，其中哈密顿量 在倒格矢平移下是不变的。我们将非周期基中对称性增强的Berry相的定义和数值实现留作未来的问题。 D. 例子：一维 -对称系统我们首先讨论一个经过充分研究的例子，即具有 的一维 -对称系统[126–128]。我们的胞腔分解如图6所示，其中 和 。由于关系 总是成立，所以 。此外，由于 是平凡的，所以 。图6. 一维 -对称系统中基本区域的胞腔分解示意图。BZ的胞腔分解由 和 给出。如第IV.B节所述，当我们固定规范自由度时，转移函数的行列式是一个 不变量，其表达式为 (218)其中 和 分别是围绕A和 的波函数，满足 和 。此外， 是占据能带的数量。值得注意的是，虽然 除了相差一个倒格矢外是相同的，但围绕A和 的规范选择并不总是相同的。虽然我们有 拓扑不变量的具体表达式，但它并不实用，因为我们需要固定规范自由度。对于数值计算，获得不依赖于规范选择的拓扑不变量的表达式是至关重要的。为了实现这一点，我们首先定义以下规范无关的量： (219)其中 和 。接下来，我们讨论 与 之间的关系。为了将 与 关联起来，我们考虑图6中所示的两个区域。那么， (220)此外，我们对右侧施加规范条件 。对于这个规范条件，由于 ，我们有 (221)其中右侧是规范不变的。最后，结合式(220)和(221)，我们得到规范无关的 -值拓扑不变量 (222)让我们评论一下这个拓扑不变量表示什么。在这种对称性设置中，有两个不等价的原子绝缘体：一个在 处有电子，另一个在 处有电子。这个拓扑不变量对前一种情况是平凡的，对后一种情况是非平凡的。 E. 例子：具有TRS的空间群 中的无自旋系统考虑一个具有空间群对称性 和TRS的无自旋电子系统。 群为 ，其生成元由原子绝缘体表示。此外，比较动量空间和实空间AHSS的 页面，发现 部分可以通过1-骨架上的 不变量来检测[71]。本节说明基于第IV.B节中的规范固定条件构造 不变量，以及使用第IV.C.3节描述的方法构造没有规范固定条件的Berry相表达式。设 为在BZ中周期性的哈密顿量。对称性和因子系统总结如下 (223) (224) (225) (226) (227) (228)这里， ， 表示绕 轴的二重旋转。胞腔分解如图8(d)所示。在TRIMs 处，存在四个一维不可约表示 ，它们的不可约特征标如下所示，且与TRIMs无关： (229)另一方面，沿着二重旋转轴（1-胞腔）存在两个一维不可约表示 ，其不可约特征标在下表中给出： (230)它们的EAZ类都是AI类。沿每条旋转轴的相容关系如下： (231) (232) (233)由于我们对在1-骨架上能隙打开的绝缘体的不变量感兴趣，我们在每个1-胞腔上施加以下相容性条件。设 为TRIM 处 -irreps的数量。根据1-胞腔 位于哪条二重旋转轴上，相容性条件表示如下： (234) (235) (236)满足上述相容性条件的子格 为 。 1. 使用规范固定条件构造 不变量在TRIM 的邻域 中， 的占据态集合 可以根据第IV.A.3节选择如下。首先，假设 通过0-胞腔 处的不可约表示被分块对角化，如 (237)此外，对于每个块 ，占据态 满足以下对称性： (238) (239)特别地，在 轴上的点 处，其中 ，有 (240)对于图8(d)中所示的12个独立1-胞腔 ，我们为每个不可约表示 ， 定义转移函数 。让我们将从一个TRIM P到Q的1-胞腔记为PQ，并将其中点记为 。这里，我们关注1-胞腔 。0-胞腔 和 周围的布洛赫态分别按照 和 在1-胞腔上的 -irreps的顺序排列，然后我们定义中点 处的转移函数为 (241) (242)由于 对称性，以下关系成立： (243) (244)在规范固定条件(238)和(239)下，每个扇区的转移函数的行列式被量子化为 (245) (246)由于转移函数是酉矩阵，我们也可以将它们写为 (247) (248)对于 轴上的其他1-胞腔，按照式(241)和(242)相同的方式定义转移函数，对于 和 轴， (249) (250) (251) (252)注意，通过反转1-胞腔的方向，我们有 (253)约束条件总结如下 (254) (255) (256)这定义了24个 -值量 (257)注意， 的值取决于0-胞腔处的表示。特别地，如果 ，则 [129]。在残留规范变换下不变的 的组合（不改变规范固定条件(238)和(239)）成为所需的拓扑不变量。考虑在0-胞腔 邻域内的残留规范变换： (258)其中 是占据态的数量。规范变换 应满足对称性(145)。也就是说，对于占据态的对称变换 (259) 必须满足 (260)对于 和 (261)例如，在满足 的 轴上，由于 对称性，规范变换的形式为 (262)让我们记 (263)由于 对称性，它们满足 (264) (265)特别地，每个扇区的行列式被量子化为 (266)并且它们沿 轴是常数。特别地，在TRIM 处，由于对称性(260)，我们有一个分块对角化形式 (267)并且由于(261)，每个扇区的行列式也被量子化： (268)因此， (269)这样，对于平行于 轴的1-胞腔 ，转移函数 在规范变换下变换为 (270) (271)所以 值的变化为 (272) (273)类似地，对于 和 轴， 值的规范变换 可以求得： (274) (275) (276) (277)规范变换(272)–(277)对应于AHSS中的微分 。我们发现Coker ；因此，存在六个规范不变且独立的组合。由于 ，其中五个是检测2-胞腔中能隙闭合点的 不变量。事实上，图8(d)中所示的六个2-胞腔边界上的以下六个“ Berry相”是规范不变的，并检测2-胞腔中的能隙闭合点： (278) (279) (280) (281) (282) (283)这些不是独立的；使用式(254)–(256)，存在以下关系： (284)剩下的一个 数由所有1-胞腔中 表示的转移函数的乘积给出： (285)1-胞腔方向的选择是任意的，但这里引入它作为稍后移除规范固定条件时的自然选择。使用式(254)–(256)，我们发现 (286)并且进一步使用相容性条件(234)–(236)， 。因此， 被量子化为 (287)应该证明确实存在 为0和1的能带结构，以声称 是有意义的。我们将此问题留到第IV.E.4节。 2. Berry相公式 不变量公式 (285)需要规范固定条件(238)和(239)；因此，它缺乏实用性。在本节中，我们寻求不需要任何规范固定条件的表达式。观察表达式(285)，考虑所有1-胞腔中 -irrep的Berry相的乘积是合理的。引入1-骨架 的网格，对于每个0-胞腔，我们计算每个不可约表示的布洛赫态： (288)对于1-胞腔，我们计算 和 -irreps的布洛赫态： (289)对于每个1-胞腔 ，根据二重旋转轴，我们计算与 表示相关的U(1) Wilson线，定义如下： (290) (291) (292)这里， 。Wilson线不是规范不变的，因为它取决于端点处的规范。在0-胞腔处通过 进行规范变换下 (293)Wilson线变换为 (294) (295) (296)现在考虑以下Wilson线的乘积： (297)U(1)值 仍然不是规范不变的，并且变换为 (298)然而，使用第IV.C.3节中描述的方法， 可以使用 对称性修正为规范不变的。在当前情况下， (299)是规范不变的。为了探索 不变量 与 之间的关系，我们通过在0-胞腔附近取满足规范固定条件(238)和(239)的光滑规范来变形 。首先，从TRS规范(239)可知， 。对于Wilson线，让我们具体考虑 。采用满足 和 点附近的规范固定条件(238)和(239)的基(237)，Wilson线变为 (300) (301)对于指数的线积分，使用 对称性， (302) (303)由于 ，我们得到 (304)这个表达式是规范不变的，独立于规范变换 且 。类似地，对于Wilson线 我们找到关系 (305)相同的结果可以通过将 替换为 来获得。事实上， 和 的修正项的贡献之比为 。然而，考虑在1-胞腔 上的 ，我们可以证明 。将相同的方法应用于其他Wilson线，我们推导出 不变量 与规范不变Berry相 之间的以下关系： (306)这里，我们使用了 。这为我们提供了 不变量 的规范不变表达式。然而，如以下所述， 中来自不可约表示排序的细微模糊性。 3. 能带和与二次细化重要的是要注意， 不变量(285)取决于0-胞腔处布洛赫态中不可约表示的排序。例如，在转移函数 (242)的表达式中，如果我们交换 点附近的布洛赫态，重新定义 ，由于不可约表示的交换会产生一个符号 。这种不可约表示排序依赖性问题也出现在 不变量的Berry相公式(306)中。例如，在平行于 轴的Wilson线(290)的表达式中，如果我们交换起始点 处布洛赫态的顺序从 改为 ，会出现一个符号 。这种排序依赖性导致 不变量 对能带直接和的非加性性质。然而，如第IV.B.7节所讨论的，可以重新定义 以保持加性结构。回想一下，0-胞腔 处 不变量 表达式中不可约表示的顺序为 (307) (308) (309)设 和 分别为能带 在0-胞腔 处的 -irrep的布洛赫态和 -irrep的数量。这里，我们关注 轴。考虑将直和视为单一能带结构，上述排序规则意味着（310）一方面，先对每个能带和分别排序并考虑直和，我们得到（311）它们通过一个右乘置换矩阵相关联，其行列式为（312）类似的贡献来自在和轴上的Wilson线。不变量的非加性性质可以总结为（313）其中（314）注意仅取决于的元素。由于不可约表示的数量关于能带的和具有加性，是一个双线性形式。此外，尽管对于的元素不是对称的，但我们发现它限制在上时是对称的：（315）此外，我们发现对角项为零，对于。（这对于下面二次细化的存在性并不是必需的。）因此，根据第IV B 7节，存在的二次细化，满足（316）通过显式构造的基并计算表达式（196），我们得到以下公式：（317）推导过程见附录H。利用这个二次细化，我们重新定义不变量为（318）以恢复线性性（319）在公式（317）中，线性项被选择为使得对于任何单能带的原子绝缘体，即位于Wyckoff位置且具有不可约表示的原子绝缘体，记为，以下关系成立：（320）也就是说，我们对二次细化施加约束（321）。见下一节。

4. 实空间模型的不变量根据实空间AHSS [71]，群由给出，所有元素都由原子绝缘体生成（或它们的直和的形式差）。首先，我们计算单能带原子绝缘体的不变量。我们将通过将磁点群的一个不可约表示放置在从晶胞中心平移位移矢量的位置所获得的原子绝缘体记为。对称矩阵由和给出（322）Bloch波函数可以与动量空间无关，并且Wilson线不产生贡献，因此。计算等式（306）中由对称变换产生的因子，我们得到（323）这里，重新定义的被选择为满足等式（320）。根据实空间AHSS，群的部由以下两个绝缘态和的形式差给出：（324）（325）注意，绝缘体和在TRIM处显示出相同的表示，因此无法通过0-cell处的表示来区分。由于不变量的线性性，我们有（326）不变量成功地区分了绝缘体和。让我们讨论非平凡性质的一个有趣物理后果。空间群是许多其他空间群的子群，这允许我们为的超群定义不变量。最近的研究表明，尽管原子绝缘体不表现出任何受保护的表面态，但某些类型的原子绝缘体仍然具有带隙中间表面态，称为分数角电荷 [48,94,95]。此外，存在不能仅通过0-cell处的不可约表示捕获的分数化量子化角电荷 [104]。实际上，这里构造的不变量在文献[130]的角电荷公式中起着关键作用，在那里它与0-cell处的不可约表示结合，以检测超出高对称点数据的各种四面体和立方空间群中的分数角电荷。

5. 无TRS的绝热循环的不变量在没有时间反演对称性的情况下，尽管的规范依赖性（298）意味着本身不是物理可观测的，但作为绝热循环的不变量。为了理解这一点，考虑一个单参数哈密顿量族，满足对、的对称性约束（224）。我们还假设周期性。在TRIM处，Bloch态在不可约表示中可以在上连续且周期。这样一来，也在上连续且周期，我们可以定义绕数（327）并非的每个整数都是规范不变的：在规范变换下，其中在上连续且周期，按以下方式变化（328）其中是规范变换的绕数：（329）因此，只有的奇偶性是规范不变的。我们注意到，空间群的绝热循环不变量的存在性与动量空间AHSS [71,109]的页一致。

F. 其他示例在本节中，我们提供说明性示例，展示使用第IV C节中列出的情景定义不变量，与实空间模型进行比较（第IV F 1节），以及不变量检测一般点中的Weyl点（第IV F 3节）。

1. 示例：具有TRS的空间群中的自旋系统我们将上述讨论推广到具有TRS的空间群中的自旋系统。该空间群由绕轴的二重旋转和平移生成。根据文献[71]，群为 [131]，其部是原子绝缘体的分类，其余部对应于强拓扑绝缘体和拓扑晶体绝缘体，如图7(a)–7(e)所示。的部可以通过理解。拓扑不变量是填充数（每个晶胞中的电子数）。这里，我们讨论不变量以表征群的剩余部分。

图7. (a)–(d) 文献[93]中引入的拓扑晶体绝缘体示意图。黄色平面表示沿方向堆叠的二维拓扑绝缘体。(e) 强拓扑绝缘体（TI）示意图。(f) 具有TRS的中基本域的胞腔分解。这里，除、、、、和之外的动量标签遵循文献[132]。我们的基本域胞腔分解如图7(f)所示。对于每个0-cell和1-cell，不可约表示及其EAZ类见表VIII。尽管在、、、、和上没有除恒等之外的其他幺正对称性，但它们在下是反对称的，这导致EAZ类AI。因此，由（330）从AHSS，我们发现微分和是平凡的，即。因此，拓扑不变量是规范固定转移函数的行列式[参见等式(158)]。连接到的1-cell上的转移函数定义为（331）其中是在处独立规范选择下的一组占据态[参见等式(147)]。

表VIII. 具有TRS的空间群中0-cell和1-cell上不可约表示及其EAZ类的特征表。
不可约表示 EAZ A 1 A 1 i 不可约表示 EAZ , , , , , AI 1 与上述对称示例类似，我们旨在使用Berry相位来表示转移函数，即（332）对于。然而，由于在这种情况下1-cell不是环，Berry相位在边界0-cell处的规范变换下不是规范不变的。然后我们使用Pfaffian来补偿Berry相位，如第IV C 1节所述。最后，我们得到规范无关的公式（333）（334）（335）（336）（337）（338）需要强调的是，右边是规范无关的量。在表IX中，我们展示了这些拓扑不变量对挠子群的代表性模型的值。重要的是，这些不变量不能完全刻画该空间群中的拓扑相。为了完整识别，需要2-骨架上的两个对应于的不变量。

表IX. 具有TRS的空间群中所有拓扑相的代表性模型的拓扑不变量结果。对于拓扑晶体相，表示二维拓扑绝缘体的位置。这里，表示垂直于二维拓扑绝缘体的方向，而是到晶胞原点的距离。对于原子绝缘体，有四个不等价Wyckoff位置：、、和。记号“”表示电子位于的原子绝缘体。此外，表示晶胞中的电子数。
拓扑相 强TI (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1) (1, 0, 0, 0, 0, 1, 0) (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) (0, 1, 1, 1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
2. 示例：具有TRS的空间群中的自旋系统第三个示例是空间群与TRS。该空间群由和生成。根据文献[71]，群为，其部是原子绝缘体的分类，对应于强拓扑绝缘体和拓扑晶体绝缘体，如图8(a)–8(c)所示。的部对应于。检测的拓扑不变量是填充数。这里，我们讨论三个不变量以刻画群中的剩余部。

图8. (a),(b) 文献[93]中引入的拓扑晶体绝缘体示意图。黄色平面表示沿方向堆叠的二维拓扑绝缘体。(c) 强TI示意图。(d) 具有TRS的和中基本域的胞腔分解。这里，动量标签遵循文献[132]。我们的基本域胞腔分解如图8(d)所示。只有、和上的不可约表示的EAZ类是类AI，因此由（339）其中不可约表示的标签见表X。如上所述，由转移函数刻画。在这种情况下，转移函数定义为上每个不可约表示的转移函数。例如，不可约表示的转移函数定义为（340）其中和是在和处独立规范选择下具有不可约表示的占据态[参见等式(147)]。对于其他不可约表示，转移函数以相同方式定义。

表X. 具有TRS的空间群中1-cell上不可约表示及其EAZ类的特征表。这里，我们展示与讨论相关的0-cell和1-cell上的不可约表示。
不可约表示 EAZ AI 2 0 0 0 A 1 1 A 1 1 i i A 1 i A 1 i A 1 1 A 1 i A 1 i A 1 i 1 i A 1 1 A 1 i A 1 i i 1 A 1 i 不可约表示 EAZ AI 1 AI 1 不可约表示 EAZ AI 1 AI 1 不可约表示 EAZ AI 1 AI 1
在计算AHSS并执行第IV B 5节中的步骤后，我们发现和（341）其中最后三行对应于三个值拓扑不变量。然后，我们在某些规范条件下构造以下三个值拓扑不变量：（342）（343）（344）其中是规范固定转移函数[参见等式(158)]，其他转移函数也类似。为了使用第IV C 4节中引入的技术，我们考虑（345）与上述示例类似，我们可以推导出这些不变量的规范无关表达式。同样，我们使用等式(197)中引入的对称性增强Berry相位，对于不可约表示和。同样，Berry相位在边界0-cell处的规范变换下不是不变的。对于0-cell X、Y和Z，可以使用Pfaffian来消除由规范变换产生的U(1)值量。另一方面，在0-cell处，只有一个二维不可约表示，其EAZ类为AI。根据等式（342）、（343）和（345），是每个量中两个1-cell的交点。因此，我们可以使用第IV C 4节中的技术推导出规范不变的量。结果，我们得到（346）（347）（348）通过对强拓扑绝缘体和拓扑晶体绝缘体的代表性模型显式计算这些不变量，我们看到，)可以诊断这些相，如表XI所示。

表XI. 具有TRS的空间群中所有拓扑相的代表性模型的拓扑不变量结果。对于拓扑晶体相，表示二维拓扑绝缘体的位置。这里，表示垂直于二维拓扑绝缘体的方向，而是到晶胞原点的距离。记号“”表示电子位于最大Wyckoff位置4a的原子绝缘体。此外，表示晶胞中的电子数。
拓扑相 强TI (2, 1, 0, 0) (2, 1, 0, 1) (2, 0, 1, 0) (1, 1, 0, 1)
3. 示例：具有TRS的空间群中的无自旋系统在这种对称性设置中，且1-骨架上的不变量存在。一方面，群不包含 [71]。这意味着第二微分是非平凡的，并且1-骨架上的不变量检测3-cell中的无间隙点（Weyl点）。我们构造了1-骨架上的不变量，并将其与Weyl点的陈数联系起来。对称性总结如下： (349) (350) (351) (352) (353)这里，是旋转反演。图9展示了我们所使用的胞腔分解。在1-胞腔和上，稳定化群为，且存在两个不可约表示和，其特征标分别为和。这些1-胞腔上的关系表明，对于不可约表示EAZ类为AI，而对于不可约表示EAZ类为AII。在1-胞腔和上，小群为且EAZ为AI。由AHSS，我们发现不变量由1-胞腔和的不可约表示以及1-胞腔和的过渡函数构成，这意味着Berry相位公式由这些1-胞腔的不可约表示组成。由于EAZ类为AII的不可约表示上的Berry相位是平庸的（见第IV C 6节），将1-胞腔和的不可约表示的Berry相位相乘不会改变不变量。因此，不变量可写成环路上标准的Berry相位，无需进行不可约分解，如式(354)所示。现在我们证明不变量的奇偶性与动量空间基本域内Weyl荷的奇偶性一致。利用Stokes定理和对称性约束，应该可以直接证明是基本域边界陈数的奇偶性。然而，在这里，基于第二微分[109]的解释，我们表明的拓扑转变会导致Weyl点四重态的发射或吸收。在1-胞腔的管状邻域上，的拓扑转变由哈密顿量建模 (355)其中。当质量连续地从正值变为负值时，不变量改变1，且Weyl点四重态在基本域内产生，意味着陈数改变1。图9. 磁空间群动量空间中的基本域。动量设定为，，，，，和。G. 定义在2-骨架上的拓扑不变量在本工作中，我们讨论了定义在1-骨架上的拓扑不变量，这些不变量是由构造的。如上述空间群的例子所示，所引入的拓扑不变量不能完全表征所有可能的相。事实上，我们在第II B节和附录A中讨论的框架适用于任意和。特别地，当高阶微分是平庸的时，可以告知我们定义在2-骨架上的拓扑不变量。例如，具有TRS的空间群中的。因此，应该存在两个定义在2-骨架上的取值的拓扑不变量。自然地，从获得的拓扑不变量与一起，应当能够诊断所有可能的拓扑相。尽管定义在2-骨架上的拓扑不变量对于拓扑相的完整表征至关重要，我们将它们的系统构造留作未来的工作。V. 结论与展望在本工作中，我们建立了一个基于动量空间AHSS系统构造拓扑不变量的框架。我们将该方案应用于所有磁空间群中的绝缘体和超导体，并给出了拓扑不变量的必要信息，如和。通过一些示例，我们展示了所构造的不变量能够检测非平凡拓扑结构，而对称性指标对此完全无效。我们的工作为未来的研究开辟了新的途径。首先，我们的方案适用于各种类型的系统。近年来，非厄米系统中的拓扑相引起了广泛关注[133–143]。由于为厄米哈密顿量发展的K-理论分类技术已成功应用于非厄米系统，本工作所发展的基于AHSS的构造方法也可能为非厄米哈密顿量的拓扑不变量构造提供有用的框架。最近，自旋空间群已被全面分类[144–147]。结果表明存在许多新的对称类。我们的一般方案也可以应用于自旋空间群。其次，我们的不变量能够捕获2-骨架上有能隙相的非平凡拓扑结构或2-胞腔上的无能隙点。这意味着我们关于2-骨架上能隙相的不变量有时能检测3-胞腔上的无能隙点。由于在一般动量处发现无能隙点通常具有挑战性，区分完全能隙相的不变量与3-胞腔上无能隙点的不变量将是有趣的。这种区分通过计算实空间分类的代表性模型的不变量并检查哪些对应于3-胞腔上的无能隙点来实现。第三，研究本文构造的拓扑不变量是否会导致拓扑、量子几何和物理量之间的基本关系是很有趣的[148–153]。最近，研究表明时间反演对称绝缘体的陈数和拓扑不变量给出了能隙和量子度量积分的下界[148,151,153]。最后，我们期望第一性原理计算能够计算基于本工作构造的拓扑不变量。对于绝缘体，我们的规范不变公式可以从第一性原理计算得到的波函数计算。对于超导体，第一性原理计算得到的费米面使我们能够在弱配对假设下计算我们的不变量，如第II F节简要提及。此外，由于它们定义在由高对称点及连接它们的线段组成的1-骨架上，计算成本相对较低。我们相信，我们的工作将有助于构建一个比现有基于对称性指标和拓扑量子化学的数据库更全面的拓扑材料数据库。