LIGO-Virgo-KAGRA的O1–O4a运行中引力波背景搜索的宇宙学和高能物理意义

《Physical Review X》：Cosmological and High-Energy Physics Implications from Gravitational-Wave Background Searches in LIGO-Virgo-KAGRA’s O1–O4a Runs

　　我们在先进LIGO O4a数据集（结合早期O1、O2和O3（LIGO-Virgo）运行的数据）中搜索由早期宇宙各种过程产生的引力波背景信号。未探测到可检测信号，使得我们能够对基础物理学给出强有力的约束。我们从O1–O4a数据推导出引力波背景能量密度上限，以约束与早期宇宙中各种可能过程相关的参数：一阶相变、宇宙弦、畴壁、刚性状态方程、轴子暴胀、二阶标量扰动、原初黑洞双星以及宇称破坏。在我们的分析中，也考虑了由宇宙中致密（黑洞和中子星）双星并合产生的天体物理背景的存在。我们基于获得的参数约束，讨论了对各种宇宙学和高能物理模型的影响。我们得出结论：LIGO-Virgo数据已经对众多早期宇宙场景给出了显著约束。

I. 引言

先进LIGO [1]、先进Virgo [2]和KAGRA [3]已完成三次观测运行。LIGO、Virgo和KAGRA目前正处于第四次观测运行O4，该运行始于2023年5月。O4a阶段于2023年5月24日开始，持续至2024年1月16日[4]。这些观测运行中获得的数据带来了一系列新颖的科学探索，包括发现超过200个致密双星（黑洞和中子星）并合事件[5]、日益严格的广义相对论检验[6]、哈勃常数的多信使测量[7]，以及中子星状态方程的测量[8]。

这些观测的主要目标之一是引力波背景，它由大量不相关的引力波信号叠加而成[9]。先进LIGO和先进Virgo对恒星质量致密双星并合的观测表明，应当存在天体物理起源的引力波背景[10–15]，并且LIGO-Virgo-KAGRA网络在不久的将来可能探测到它[16–19]。此外，引力波背景也可能具有宇宙学起源，由宇宙早期阶段的多种过程产生。因此，引力波背景搜索可用于探测超出大型强子对撞机所能达到的能量尺度的高能物理模型[20]，并探索早期宇宙学场景[21–24]。

在接下来的内容中，我们利用LIGO O1 [25]、O2、O3 [26]和O4a [27,28]数据，以及Virgo O3 [29]数据，对由各种宇宙学模型产生的引力波背景进行搜索，并报告对其参数得到的约束。考虑宇宙学引力波背景源的动机源于基础物理学的未解问题。事实上，尽管粒子物理学和宇宙学的标准模型取得了非凡的成功，我们对基础物理学基本方面的理解仍然不完整。暗物质的性质、物质-反物质不对称性的起源、中微子质量的解释以及暴胀的实现，仍是重要的未解问题。为了解决这些问题，超越标准模型的物理场景正在被研究，并在天体粒子实验（从对撞机到望远镜）中受到审视。许多超越标准模型的场景也意味着在宇宙极早期阶段发生新现象，可能以引力波背景的形式留下印记。我们进行引力波背景搜索的模型包括一阶相变、宇宙弦、畴壁、刚性状态方程、轴子暴胀、二阶标量扰动、原初黑洞和宇称破坏。

我们考虑的前三个模型（一阶相变、宇宙弦和畴壁）与宇宙学相变相关，这在具有自发对称破缺的理论中很常见[30–32]。如果相变是一阶的，它可以产生引力波背景[33]。伴随自发对称破缺的相变可以导致拓扑缺陷，例如宇宙弦[34,35]和畴壁[36–42]，这些宇宙中的延展物体可以产生引力波背景。

我们研究的接下来三个模型（刚性状态方程、轴子暴胀和二阶标量扰动）会导致暴胀期间产生的引力波背景。虽然ΛCDM宇宙学模型中的单场慢滚暴胀预测的引力波背景太弱，无法被当前探测器观测到，但其他暴胀模型可能产生可探测的引力波背景。对于具有刚性状态方程的奇异早期宇宙学模型[43–51]，我们探索暴胀期间产生的引力波背景[50–53]。对于轴子暴胀模型，我们考虑驱动暴胀的标量场与SU(2)规范场之间的耦合，并计算产生的引力波背景[54–57]。对于二阶标量扰动[58]，我们估计由原初曲率扰动诱导的引力波背景[59–63]。

接下来，我们研究由原初黑洞[64]并合产生的引力波背景，这些原初黑洞可能在早期宇宙中通过各种机制形成。最后，我们研究具有手征偏振的引力波背景。我们考虑这种背景的模型无关参数化，以及宇称破坏源于轴子暴胀的特例[65]。

对于这些宇宙学模型中的每一个，引力波背景的缺失都会约束其参数。我们的分析结果表明，LIGO-Virgo O1–O4a数据已经可以成功地用于推导对广泛超越标准模型理论的新约束。

形式体系与方法——引力波背景通过其每对数频率区间的能量密度来量化，并与宇宙的临界能量密度进行比较。具体而言，

(1)

其中ρ_GW是引力波的能量密度，宇宙的临界能量密度为ρ_c = 3H_02c2/(8πG)，H_0是哈勃常数，取自Planck测量结果[66]（H_0 = 67.4 km s?1 Mpc?1），c是光速，G是牛顿常数。引力波背景谱通常用谱指数α的幂律（PL）形式近似：

(2)

其中Ω_ref是参考频率f_ref处的引力波能量密度。由星族I或II恒星产生的致密双星并合背景可以近似为α = 2/3 [67]。宇宙学背景通常也可以近似为幂律或分段幂律，如下文所示。

对于前三次观测运行，LIGO-Virgo-KAGRA合作组报告了各向同性引力波背景强度的上限：对于α = 0，Ω_GW < 5.8 × 10??（95%置信水平）[68]，其中99%的灵敏度来自（20–76.6）Hz频段。对于α = 2/3，上限为Ω_GW < 2.8 × 10??，对应（20–90.6）Hz频段。该上限来源于O1、O2和O3观测运行的LIGO数据以及O3的Virgo数据。此外还开展了对非标准偏振背景（标量和矢量，除张量外）的搜索[69,70]，各向异性背景也已被探索[15,71]。

O4a数据与O1、O2和O3数据结合，未提供引力波背景探测的证据[19]。因此，对于α = 0，在95%置信水平下设定了Ω_GW < 4.5 × 10??的上限，其中99%的灵敏度来自（20–58.2）Hz频段。对于α = 2/3，上限为Ω_GW < 2.6 × 10??，对应（20–86.8）Hz频段[19]。LIGO-Virgo-KAGRA合作组还搜索了各向异性引力波背景[71]。

为了推导宇宙学模型参数的约束，我们使用LIGO-Virgo O1–O4a观测运行的数据进行贝叶斯分析[72]，遵循参考文献[73]中发展的方法。假设互相关估计量?_T(f) [68]服从高斯分布，我们写出以下似然函数：

(3)

其中数据来自探测器I和J，σ_IJ(f)是方差。?_T(f)和σ_IJ(f)都是LIGO-Virgo-KAGRA合作组各向同性引力波背景搜索分析[19]的数据产品，由LIGO-Virgo数据计算得到。假设这种各向同性搜索在探测器I和J之间没有相关噪声，例如来自相关磁噪声[74]。因此，采用标准高斯噪声模型[68]，相关磁噪声（舒曼共振）[75]的潜在贡献可以忽略[19]。函数Ω_model(f)对应于所考虑的模型，由参数集Θ描述，而参数δ_cal（我们对其边缘化）考虑了探测器的校准不确定性[19]。进行此分析至少需要两个探测器。两个LIGO探测器由于网络中距离最近、最优对准[76,77]和灵敏度[68]，对相关性贡献最大。

在我们的分析中，我们考虑了致密双星并合（CBC）的各向同性天体物理背景Ω_CBC(f)的贡献，用方程（2）建模，其中α = 2/3 [68]。宇宙学产生的引力波背景为Ω_cos(f)。总引力波背景为

(4)

本论文的结构如下：我们在以下章节中给出对各种宇宙学模型的限制；一阶相变在第二部分；宇宙弦在第三部分；畴壁在第四部分；刚性状态方程在第五部分；轴子暴胀在第六部分；二阶标量扰动在第七部分；原初黑洞在第八部分；宇称破坏在第九部分。对于这八种场景中的每一种，我们讨论动机，呈现所考虑的模型，并使用O1–O4a LIGO-Virgo数据给出模型参数的约束。本工作分析的模型涵盖广泛的物理过程。虽然我们力求统一呈现，但具体的统计产物（如二维角图）因模型而异。这是由于参数维度的固有差异以及LIGO-Virgo频段中约束的性质。对于某些参数固定或数据仅约束单一参数组合（如宇宙弦）的模型，省略二维图，而采用更具描述性的一维上限或排除区域。结论在第十部分给出。支持本文发现的数据可在引力波开放科学中心（GWOSC）公开获取[4,78]。

II. 一阶相变

A. 动机

宇宙学相变是我们预期的最有充分动机的早期宇宙现象之一（例如，参考文献[30–32]）。它们是表现出对称破缺的粒子物理模型的共同特征。当理论的有效势发展出一个新的极小值（真真空），其自由能密度低于高温极小值（假真空），且两者被势垒隔开时，相变是一阶的。宇宙随后从对称的高能假真空剧烈过渡到破缺的低能真真空。一阶相变可能是引力波背景的强有力来源。

鉴于我们对宇宙历史和粒子物理学的认识，这类相变可能发生在宇宙大爆炸后的第一万亿分之一秒内，能量高于当今粒子加速器可达到的能量。它们的引力波印记将是确定自然界中实现超越标准模型正确理论的重要关键。

标准模型本身经历两次相变：由于电弱对称破缺引起的电弱相变，以及由于量子色动力学（QCD）中手征对称破缺引起的禁闭-解禁闭相变。这些标准模型相变都不是一阶的（也不产生稳定的拓扑缺陷）；因此，预期没有相应的引力波特征。

然而，许多在高能量下具有扩大对称结构的标准模型扩展必然经历自发对称破缺（对于足够高的重加热温度）。这样的一阶相变对应于宇宙中不同点处真真空泡的成核。这些气泡随后膨胀、相互碰撞，最终填满整个空间。在此过程中，引力波由气泡碰撞[79,80]、在早期宇宙等离子体中传播的声波[81,82]和磁流体湍流[83]等过程产生，其中前两个贡献通常占主导（例如，参考文献[33]及其引文）。

所得到的原初引力波背景与粒子物理的紧密联系，为引力波天文学提供了独特的机会，以探测任何其他类型实验完全无法触及的物理模型参数空间。这包括标准模型的各种扩展，例如具有扩展电弱规范扇区的模型[84–86]、暗扇区理论[87–89]、轴子模型[90–92]、统一模型[93,94]、超对称理论[95–97]或具有额外维度的理论[98]。反过来，超出电弱标度能量尺度的物理信息可能为暗物质本质或宇宙物质-反物质不对称性起源等问题的解决提供洞见。正如最近基于LIGO-Virgo观测运行O1–O3所展示的，当前数据已经能够用于对一阶相变参数提供有意义的约束[99]。这种方法已成功应用于超冷相变背景下的粒子物理模型（例如，参见文献[100,101]），从而对超出标准模型的理论产生了新的约束[102]。接下来，我们利用LIGO-Virgo O1–O4a数据，推导出对早期宇宙一阶相变参数的新改进限制。

B. 模型

在这种情形下，方程(4)中引力波背景的宇宙学分量取决于描述相变的参数，即粒子物理模型的细节。从有效理论的角度来看，一阶相变可以仅由几个参数完全描述：\( \alpha \)——泡壁速度（以光速为单位）；\( T_* \)——相变温度；\( \alpha \)——相变强度，等于释放的能量密度除以辐射能量密度；\( \kappa \)——对应给定源的能量分数；\( \beta \)——相变持续时间的逆；以及\( g_* \)——有效自由度数目（在高温下标准模型中等于106.75）。

在我们的分析中，首先讨论声波贡献，这在热相变（标准模型等离子体的摩擦相关）中通常占主导，然后关注泡碰撞贡献，这是真空相变（摩擦可忽略）中引力波的主要来源。我们忽略磁流体湍流，因为其效应通常处于次要地位，其表征是正在进行的研究课题。对于这两种贡献的引力波背景谱形，我们首先选择两种代表性形式，同时承认文献中不断提出新的结果和模拟[见方程(10)后的讨论]。鉴于此，为保持模型无关的方法，我们随后使用断裂幂律（BPL）模型进行更通用的搜索。

1. 声波贡献

我们首先处理热一阶相变中引力波的主要来源，该来源来自原初等离子体中的声波，并由经历相变的标量场与热浴之间的耦合引起[81,82,103]。声壳模型提供了对这一过程物理的丰富描述[104–106]，尽管其精度已受到质疑[103,107]。我们采用文献[108]中总结的引力波谱，该谱基于文献[82,103]中的数值模拟。这给出（在设定\( \kappa_\phi = 1 \)时）

\[
\Omega_{\rm sw}h^2 = 2.061 \times 10^{-5} \left(\frac{H_*}{\beta}\right) \left(\frac{\kappa_\alpha}{1+\alpha}\right)^2 \left(\frac{100}{g_*}\right)^{1/3} \left(\frac{f}{f_{\rm sw}}\right)^3 \left(\frac{7}{4+3(f/f_{\rm sw})^2}\right)^{7/2}
\tag{5}
\]

其中峰值频率\( f_{\rm sw} \)为

\[
f_{\rm sw} = 8.9 \times 10^{-6} \left(\frac{\beta}{H_*}\right) \left(\frac{T_*}{100\text{ GeV}}\right) \left(\frac{g_*}{100}\right)^{1/6} \text{ Hz}
\tag{6}
\]

在上述方程中，\( H_* \)是相变时的哈勃常数，\( \kappa_\alpha \)是转化为等离子体整体运动的潜热分数[109]

\[
\kappa_\alpha = \frac{\alpha}{0.73 + 0.083\sqrt{\alpha} + \alpha}
\tag{7}
\]

而由于声波有限寿命导致的抑制因子\( \Upsilon \)为[106,110]

\[
\Upsilon = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \tau_{\rm sw} H_*}}
\tag{8}
\]

其推导假设寿命的量级与湍流起始时间尺度相同。

2. 泡碰撞贡献

在某些情况下，例如当一阶相变发生在暗扇区的真空中，且与标准模型没有显著相互作用时，声波贡献被抑制，泡碰撞部分占主导。相应的谱在包络近似下获得，假设泡壁宽度为零，并忽略重叠泡段的贡献[80,111–113]。我们考虑文献[114]中报告的泡碰撞引力波谱，基于文献[115]的数值模拟，由下式给出（假设\( \kappa_\phi = 1 \)）

\[
\Omega_{\rm col}h^2 = 1.67 \times 10^{-5} \left(\frac{H_*}{\beta}\right)^2 \left(\frac{\kappa_\alpha}{1+\alpha}\right)^2 \left(\frac{100}{g_*}\right)^{1/3} \left(\frac{0.11 v^3}{0.42 + v^2}\right) \left(\frac{f}{f_{\rm col}}\right)^3 \left(\frac{1}{1 + 0.75(f/f_{\rm col})^2}\right)^{3.5}
\tag{9}
\]

其中峰值频率\( f_{\rm col} \)为

\[
f_{\rm col} = 1.65 \times 10^{-5} \left(\frac{\beta}{H_*}\right) \left(\frac{T_*}{100\text{ GeV}}\right) \left(\frac{g_*}{100}\right)^{1/6} \text{ Hz}
\tag{10}
\]

谱在低频\( f \ll f_{\rm col} \)处的形状接近因果性预期的\( f^3 \)，而高频行为为\( f^{-1} \)。

虽然我们在分析中使用方程(9)，但注意到泡碰撞引力波谱的精确形状尚未完全确定。文献[116]报告称，超出包络近似的模拟在高频给出\( f^{-1.5} \)。文献[117]发现，壁厚依赖性使得高频谱从\( f^{-1} \)变为\( f^{-1.5} \)，随着厚度增加。谱的其他变化在文献[118–121]中讨论。

3. 断裂幂律

鉴于通过数值模拟和半解析方法对相变引力波信号建模的持续发展，以及由此导致的预测谱的修改，我们现在进行通用的BPL模型搜索。我们考虑BPL引力波背景的以下参数化：

\[
\Omega_{\rm BPL}(f) = \Omega_{\rm peak} \frac{(f/f_{\rm peak})^a}{(1 + (f/f_{\rm peak})^b)^{(a+b)/b}}
\tag{11}
\]

其中\( f^a \)的依赖性来自因果性，而例如\( a=3, b=2 \)对应于声波，\( a=3, b=1 \)对应于泡碰撞，如上文所考虑。在我们的搜索中，我们扫描\( a \)和\( b \)的值，从而包括这两种情况以及可能的推广。我们对参数\( b \)的两个代表性值进行分析并给出结果：\( b=2 \)用于具有平滑峰值的信号，\( b=1 \)用于在峰值处更突变的谱。

C. 使用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束

在这里，我们确定来自声波\( \Omega_{\rm sw} \)、泡碰撞\( \Omega_{\rm col} \)和通用BPL模型\( \Omega_{\rm BPL} \)的引力波信号强度的95%置信水平上限，这些信号来自LIGO-Virgo观测运行O1–O4a数据。以前这种类型的分析在文献[99,102]中仅基于O1–O3数据集。

为此，我们对这些情况执行贝叶斯分析（使用pygwb [122]），假设参数和CBC背景的先验在表I中针对声波和泡碰撞指定，在表II中针对BPL模型指定。对于CBC背景，我们将幂律指数固定为\( \alpha_{\rm CBC} = 2/3 \)，并变化振幅\( A_{\rm CBC} \)。

表I. 模型参数和CBC背景的假设先验分布。对于\( \alpha = 0 \)，引力波信号将被抑制，而\( \alpha > 1 \)时信号形状变得独立于\( \alpha \)。参数\( \beta \)不能小于1以保持一致性（见文中解释），而更大的值抑制引力波信号超出可探测性。参数\( v_w \)选择为0.9，使得断裂幂律谱的峰值频率接近LIGO-Virgo-KAGRA可访问的频率。

| 参数 | 先验 |
|------|------|
| \(\alpha\) | LogUniform(\(10^{-6}, 1\)) |
| \(\beta/H_*\) | LogUniform(\(1, 10^3\)) |
| \(T_*\) | LogUniform(\(10^2, 10^6\)) GeV |
| \(v_w\) | 固定为1 |
| \(A_{\rm CBC}\) | LogUniform(\(10^{-10}, 10^{-7}\)) |

表II. BPL谱参数和CBC背景的采用先验分布。

| 参数 | 先验 |
|------|------|
| \(f_{\rm peak}\) | LogUniform(\(10^{-2}, 10^2\)) Hz |
| \(a\) | 固定为3 |
| \(b\) | 2 或 1 |
| \(A_{\rm CBC}\) | LogUniform(\(10^{-10}, 10^{-7}\)) |

1. 声波和泡碰撞的结果

我们对声波贡献占主导的情况，使用方程(5)给出的谱进行分析，得到贝叶斯因子\( \ln \mathcal{B} = -0.5 \)，因此我们未在数据中发现任何信号证据。图1显示了这种情况下结合CBC和一阶相变搜索的后验分布。95%和68%置信水平排除轮廓被突出显示。在后验分布中，我们还用灰色虚线表示LogUniform先验。

图1. 来自LIGO-Virgo观测运行O1–O4a数据对一阶相变参数\( \alpha \)、\( \beta/H_* \)和\( T_* \)的约束，假设方程(5)中声波贡献占主导，并考虑CBC背景。选择的先验如表I所示。95%和68%置信水平排除轮廓分别用蓝色和红色显示。显然，不那么保守的先验选择可能导致更强的约束。绿色阴影区域对应于\( \alpha > 0.1 \)。

在泡碰撞占主导的情况下，我们对方程(9)的谱得到\( \ln \mathcal{B} = -0.8 \)。图2呈现了结合CBC和一阶相变搜索的相应约束。如图2所示，对于表I中列出的先验，数据在95%置信水平排除了一小部分泡碰撞主导相变的参数空间，特别是\( \alpha \)和\( \beta/H_* \)的区域。

图2. 与图1类似，来自LIGO-Virgo观测运行O1–O4a数据对一阶相变参数的约束，包括CBC背景，但针对方程(9)中泡碰撞贡献占主导的情况。

重要的是要指出，小的\( \beta/H_* \)值处于相变描述一致性的边缘。泡尺寸与\( \beta \)参数相关为\( R_* \sim \beta^{-1} \) [123]。我们在图1和图2中用绿色虚线标出了\( \beta/H_* \)值，此时泡尺寸变得与哈勃体积相当（例如，参见文献[124–126]对此区域的最新研究），并阴影区域表示其更大的值。

最后，我们注意到，我们的分析对CBC背景振幅\( A_{\rm CBC} \)设定了95%置信水平上限，为\( 2.3 \times 10^{-9} \)（对于声波情况）和\( 2.1 \times 10^{-9} \)（对于泡碰撞情况）。这些值与文献[19]中报告的值兼容。

2. 断裂幂律谱的结果

我们现在报告方程(11)中描述的通用BPL模型的结果。对于\( b=2 \)，我们的分析得到贝叶斯因子\( \ln \mathcal{B} = -0.3 \)，而对于\( b=1 \)，我们得到\( \ln \mathcal{B} = -0.7 \)。图3和图4分别显示这两种情况的95%和68%置信水平排除轮廓。对于\( b=2 \)，95%置信水平上限为\( \Omega_{\rm peak} < 1.2 \times 10^{-8} \)（在\( f_{\rm peak} = 25 \text{ Hz} \)时）和\( A_{\rm CBC} < 2.4 \times 10^{-9} \)，而在\( b=1 \)情况下，这些限制为\( \Omega_{\rm peak} < 1.5 \times 10^{-8} \)（在\( f_{\rm peak} = 25 \text{ Hz} \)时）和\( A_{\rm CBC} < 2.2 \times 10^{-9} \)。在两种情况下，我们都能对BPL信号的峰值振幅设定显著约束。CBC背景的限制与文献[19]中获得的结果兼容。

图3. 来自LIGO-Virgo观测运行O1–O4a数据对一阶相变参数的约束，包括CBC背景，使用方程(11)中的BPL分布，\( b=2 \)。

图4. 与图3相同，但方程(11)中取\( b=1 \)。

搜索的最佳灵敏度对应于接近\( 25 \text{ Hz} \)的峰值频率。95%置信水平上限对\( f_{\rm peak} \)的值基本不敏感；对于较低\( f_{\rm peak} \)值的排除仅略强于较大值。

尽管结果显示在LIGO-Virgo O1–O4a数据中没有结合的一阶相变信号加CBC背景的证据，但我们的分析表明，预测此类相变的粒子物理模型确实可以用LIGO-Virgo-KAGRA数据检验。

III. 宇宙弦

A. 动机

宇宙弦是宇宙中的拓扑缺陷，可以通过在宇宙相变期间真空流形具有非平凡缠绕的全局或规范对称性的自发对称破缺产生[34]，通过Kibble-Zurek机制[35,127–129]。宇宙弦的宽度与对称破缺的能量尺度成反比，因此通常非常小，使得这些弦呈线状。主要作为超视界物体形成，这些长弦相互交接并相交，形成弦环网络。弦环由于其张力而振荡，并由于引力波、南部-戈德斯通玻色子或规范玻色子的发射而收缩，这取决于辐射粒子与弦世界面耦合的主导方式。

最简单的弦模型之一是轴子弦模型，源于U(1)全局对称性的自发破缺。QCD轴子弦作为一种全局弦，是动机良好的轴子弦模型之一，因为QCD轴子[130–138]可能贡献暗物质剩余丰度。轴子弦主要辐射南部-戈德斯通玻色子（轴子），因此，轴子弦辐射的引力波处于次要地位。最近的研究[139]将QCD轴子弦嵌入到规范全局弦模型中，该模型源于全局U(1)和规范U(1)对称性的两个相继自发破缺。该模型包含全局弦和规范弦，而规范弦作为两种全局弦的束缚态，可以辐射引力波或轴子，这取决于规范耦合是否显著小于引力耦合。因此，它丰富了规范弦的辐射通道。在不进一步假设弦模型的情况下，下面我们只考虑Nambu-Goto规范弦，对于它们，引力波是主导辐射通道。

在膨胀宇宙中弦环的演化最终导致标度分布，环尺寸与宇宙时间或哈勃半径成比例。在高频下，引力波产生由尖点、扭结和扭结-扭结碰撞主导。表征尖点、扭结和扭结-扭结碰撞引力波辐射功率的无量纲衰减常数可以估计为

\[
\Gamma \sim \frac{1}{\mu} \langle P \rangle
\tag{12}
\]

其中\( \mu \)是弦张力，\( P \)分别表示尖点、扭结和扭结-扭结碰撞的情况。这些引力波的非相干叠加会产生引力波背景，对其的探测可用于推断对称性破缺的能量标度，因此是引力波探测器的重要探测目标。这一目标此前已利用LIGO的O1 [140]和O2 [141]数据进行过搜索，最近又利用LIGO和Virgo的O3数据结合之前的O1和O2数据进行了搜索[142]。脉冲星计时阵列实验也对其进行了搜索[143–145]，并且它仍然是未来空间引力波探测器[146–148]和原子干涉仪[149]的重要引力波背景源。B. 模型引力波谱为 (13)其中指标 遍历尖点(cusps)、扭结(kinks)和扭结-扭结碰撞， 表示不变的环长度， 表示红移，而 ，其中 ， 为环的共动距离， ，2分别对应于尖点、扭结和扭结-扭结碰撞，而 ，0.29，0.10与之对应。对于每种类型 ，每个红移和环尺寸的爆发率为 (14)其中 ，这里 ， 为可被探测到的爆发事件比例， 为环分布函数（在时间 时，单位环尺寸单位体积内尺寸为 的环的数量）， 为每次环振荡的爆发事件数，而 ，其中 为红移 处的固有体积。上述谱仅包含亚视界弦环的贡献，尽管长弦也能发射引力波。当长弦相互交换时，它们会形成小尺度结构，导致辐射的发射[150,151]。与弦环的贡献相比，这一额外贡献通常是次主导的，因此通常被忽略。由宇宙弦环产生的引力波背景对标度环分布、弦微观结构以及尖点、扭结和扭结-扭结碰撞的数量非常敏感。环分布存在若干理论不确定性，物质主导时期环分布的数值结果并不一致[152–154]。在我们的分析中，如同O3研究[142]那样，我们在Friedmann-Lema?tre-Robertson-Walker度规下考虑了标度区中弦环总体 的三种典型模型，其中 为无量纲环尺寸，并对每个模型分别导出约束。模型 [153,154]和 [155]（在O1研究中分别称为模型2和3）基于Nambu-Goto弦网络的数值模拟（零厚度弦，交换概率为1），但对其结果的解释有所不同。模型 的解析建模[152]还考虑了引力波反作用对环的影响。模型 导致的小环数量比模型 更多，这对我们能探测到的引力波事件率以及引力波背景的振幅产生重要影响。模型 [156]的构建结合了模型 和 的特征。它假设标度环分布为幂律分布，但未指定其斜率。如同O3研究，我们通过选择参数在辐射和物质主导时期重现 和 来考虑模型 的两个不同实例。模型 （分别为 ）在辐射主导时期定性地重现了模型 （分别为 ）的环产生函数，在物质主导时期重现了模型 （分别为 ）的环产生。我们研究了扭结、尖点和扭结-扭结碰撞数量的影响。采用与O1 LVK研究[140]相同的方法，模型 的参数取自文献[155]。类似地，对于模型 和 ，参数取自文献[156]，与O3分析[142]一致。模型的控制方程见文献[142]的附录A，参数值见文献[142]的第二节。C. 使用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束遵循O3研究[142]，我们进行贝叶斯分析，后验分布与之前相同： (15)其中 为似然函数 (16) 和 分别为探测器对 的互相关估计量和方差， 遍历LIGO-Livingston与LIGO-Hanford、LIGO-Hanford与Virgo以及LIGO-Livingston与Virgo[19]。所使用的数据包括O3分析中使用的数据，即O1、O2和O3运行期的数据，另外还包括O4a时期LIGO-Livingston和LIGO-Hanford的数据，而Virgo在该时期未运行。此外， 为 的先验，我们对 在 范围内施加对数均匀先验，并在固定 的情况下对每个 值进行分析。由于没有探测到信号，我们在图5中展示了在95%置信水平下，四种环分布模型的参数 对 的排除区域，使用的数据包括O1、O2、O3和O4a数据。在LIGO-Virgo频段内，引力波背景的主要贡献来自辐射时期的环；因此，模型 和 得出相似的结果。模型 呈现出更微妙的特征。更大的弦张力值不一定意味着更大振幅的信号，这导致相应图中出现特征结构。正如文献[157]所指出的，模型 排除图中观察到的特殊特征必须解释为对一组 区间的排除。如前所述，模型 在辐射主导时期定性地重现了模型 的环产生函数，在物质主导时期重现了模型 的环产生。与模型 相比，模型 导致额外的小环群体，这改变了LIGO-Virgo相关频率处的引力波谱。物质时期这一额外的小环群体导致谱在由引力波反作用尺度表征的特定频率附近出现峰值。该峰值在一定的弦张力范围内进入可探测频带，因此排除了另一个 区间[157]。图5. 宇宙弦参数空间 在95%置信水平下的排除区域。与之前的结果相比，这些限制普遍变得更严格。对于模型 ，区域 在 时被排除，最强约束在 处获得。该结果在广泛的 范围内优于O1–O3的结果。仅对不切实际的高 值才变得更差。更精确地说，对于 ，对 的约束最多好约0.47倍，而对于 ，最多差1.6倍。对于模型 ，区域 被排除，这比O3的结果在本文考虑的 范围内好0.66倍。对于模型 ，区域 被排除，这在所有 范围内比之前的结果好(0.33–0.79)倍。由于该模型谱的特征，存在一个对于较高 值无法排除的区域。然而，在加入O4a数据后，该区域缩小了。对于模型 ，区域 被排除，与O3相比好0.77倍。应当注意，本文给出的结果在贝叶斯分析中将每个 的选择视为独立模型（其中 ）。增加 与增加 具有类似的效果，因为两者都会增强引力波发射功率，而三种模型的约束变化不同，其中模型 被削弱，模型 和 不太敏感。理想情况下，应使用 和 的联合分布，并对这两个参数进行边缘化以获得对 的约束。由于缺乏模拟来获取这一信息，我们采用了这种方法。还应注意，根据模拟结果，选择 是常用的。强制此功率发射对应于设定 或(0,18)。对于大多数模型的约束 略更严格，除了 之外。这是由于 值较小，尽管没有来自尖点的引力波发射。更具体地说，排除区域为：模型 为 ，模型 为 ，模型 为 ，模型 为 。在本分析中，每个环上每次振荡的平均尖点数设为1。如O3分析[142]中已经表明的那样，高数量的尖点定性地给出与增加扭结数量相同的结果。更精确地说，数值模拟表明模型 的约束被削弱，而模型 和 的界限对 不敏感。我们在图5中包含了来自脉冲星计时阵列(PTA)、宇宙微波背景(CMB)[158]和太初核合成(BBN)[159]的相应约束，这些约束来自O1[140]和O3分析[142]。注意，PTA限制是考虑从Parkes脉冲星计时阵列[22]获得的原初背景的纳赫兹极限，在单个频率 处，这与NANOGrav、EPTA和Parkes的最新结果相当[143–145]。在我们的分析中，我们假设宇宙弦的局部曲率与其厚度相比很小；因此，其动力学由Nambu-Goto作用量描述。这类弦通过发射引力波而衰减。然而，将宇宙弦视为经典场论的孤子解，另一种衰变机制是能量释放到其基本组分的激发中。大尺度场论模拟发现环在一个哈勃时间内衰变为场模式，因此它们对引力波背景没有贡献[160–162]。这种衰变通道对于Nambu-Goto弦不存在，这一差异仍在争论中。更近期的场论模拟发现，除了高曲率区域以有质量辐射形式发射能量外，环的行为似乎符合Nambu-Goto作用量[163]。最后，考虑了Abelian-Higgs弦网络，允许粒子和引力波同时产生，从而产生来自NANOGrav的多信使约束[164]。我们简要评论长弦的贡献[150,165,166]。考虑一个多扭结的Nambu-Goto弦网络，最近的工作[167–169]使用半解析方法和尖锐扭结结构的建模[170]提出长弦的引力波产生增强。这使得长弦场景可能被LIGO-Virgo-KAGRA网络探测到。采用文献[169]的谱，我们发现排除区域为 ，与从模型 的环分布获得的结果相当。IV. 畴壁 A. 动机在宇宙学背景下，畴壁(DWs)是二维缺陷，当宇宙热历史期间离散对称性自发破缺时产生[35,36]。在这个对称性破缺相变温度附近，空间中不相关的区域将选择理论中可能的不连通简并真空之一。畴壁在标量场在不同真空之间插值的那些区域边界处形成。由于潜在的离散对称性，这些场构型在拓扑上是稳定的。在畴壁中心，场被束缚在标量势的最大值处，导致局域在壁宽范围内的高能量密度。这导致大的畴壁张力，实际上就是单位表面积上的壁质量。由自身张力或真空压力驱动的畴壁相对论运动，可能作为强大的引力波源，今天可以被探测到。与宇宙弦等其他拓扑缺陷类似，早期宇宙中的畴壁已知达到标度区，每个哈勃体积内具有恒定 数量的壁[37–42]。与弦不同，这意味着畴壁网络在宇宙能量预算中的相对重要性随时间增长，可能导致畴壁主导阶段。由于这与标准宇宙演化不一致，畴壁常被视为宇宙学问题。然而，关键的是，畴壁网络并非绝对稳定，因为潜在的离散对称性不需要是精确的，只需近似成立。在这种情况下，畴壁可以在主导宇宙膨胀之前湮灭，产生强烈的引力波信号，且不与标准宇宙学矛盾。涉及畴壁形成的新物理场景的特征是存在（近似）离散对称性，这些对称性在早期宇宙中自发破缺。相关例子包括QCD轴子[130–135,171]，以及更一般地，类轴子粒子，其中原始U(1)佩切伊-奎因对称性[对于与强CP问题无关的类轴子粒子，我们通常也指U(1)佩切伊-奎因对称性]的一个剩余子群未被其手征反常破坏。这类特定模型意味着在温度约为轴子衰变常数时形成宇宙弦，此时佩切伊-奎因对称性自发破缺，轴子实际上是无质量的。如果这发生在宇宙暴胀之后，则这些弦和相应的非均匀轴子场将在系统的后续演化中发挥重要作用。事实上，随着宇宙冷却而轴子质量增加，最终将形成一个轴子畴壁网络，每根弦连接着张力为的壁，其中为轴子质量[172,173]。在这种情况下，畴壁形成的温度可以估算为类轴子粒子质量克服哈勃摩擦的时刻，即。随后的动力学取决于的值，该值被称为畴壁数。对于，弦壁网络在畴壁形成后很快坍缩，因为该理论实际上具有唯一的真空。另一方面，对于，轴子畴壁在拓扑上是稳定的，并且根据底层佩切伊-奎因对称性的质量，它们可以是长寿命的。后一种情况与来自畴壁的引力波信号相关，因为在这种情况下弦壁动力学主要由壁控制。

最小QCD轴子模型预测畴壁在温度约为QCD尺度时形成，因此相应的引力波不会与LIGO-Virgo-KAGRA观测频带重叠。然而，对于所谓的重QCD轴子模型[174–176]，早期形成可产生可探测引力波信号的畴壁是可能的，这些模型仍然解决强CP问题并改善U(1)佩切伊-奎因对称性的质量问题[177–182]，或者对于一般类轴子粒子，取决于相关能标[183]。除了轴子和类轴子粒子之外，许多其他新物理情景涉及新的分立对称性，最终可能导致畴壁网络的形成。动机良好的模型包括分立味对称性[184]、左右对称模型[185]、超对称[186–190]、大统一理论[191–193]以及分立时空对称性[194]。

B. 模型

畴壁网络的动力学一方面由张力控制，张力倾向于拉伸壁并减小其表面积以最小化能量，另一方面由哈勃膨胀以及壁与原始等离子体的相互作用控制。当粒子摩擦可以忽略时，已知畴壁接近一个标度行为，其中网络的典型尺度，如平均曲率和壁间距离，由哈勃半径给出，表明在任意时刻每个哈勃体积内存在个畴壁[37–42]。在这个区域中，网络的能量密度由下式给出： (17)

其中，为畴壁张力或单位表面质量。方程(17)表明网络的能量密度比物质或辐射下降得更慢，最终导致与宇宙学观测不一致的畴壁主导时代[36]。发生这种情况的温度可以通过将畴壁的能量密度与宇宙的临界密度相等来估算，得到 (18)

其中我们假设辐射主导，为相对论自由度数量。关键的是，如果底层分立对称性仅是近似的，并且理论的不同真空实际上被一个小的能量差所偏置，使得存在唯一的真真空态，则可以避免畴壁主导[173,195]。这种偏置的微观起源将取决于所考虑的具体粒子物理。然而，根据量子引力中的无全局对称性猜想[196–199]，人们预期畴壁分立对称性最终会在普朗克能标或更早被破坏。在轴子和类轴子粒子的情况下，偏置项可以来源于普朗克抑制的高维算子，这些算子破坏U(1)佩切伊-奎因对称性及其与畴壁形成相关的子群。

由势能偏置产生的真空压力与试图湮灭畴壁网络的张力竞争。坍缩开始的温度可以通过将偏置与张力相等来估算，或者等效地，将标度区域中的畴壁能量密度相等，即，得到 (19)

为了一致性，湮灭温度需要小于畴壁形成的温度，该温度至多与畴壁张力相当，并且对于轴子畴壁是参数化抑制的。因此，在以下中，我们限制自己于。在畴壁网络寿命期间，壁的相对论运动会产生大量引力波[200–203]。由于网络的能量密度实际上随时间相对于临界密度增加，根据方程(17)，引力波发射在畴壁湮灭的最终时刻最强。虽然畴壁坍缩本身的动力学可以贡献引力波发射[204,205]，但我们这里只考虑来自坍缩开始前的最后一个标度时期（即）的引力波谱。已经进行了多次关于标度中畴壁网络发射引力波的数值模拟[203,206–212]，其中表明引力波谱是分段幂律。在以下中，我们采用最近的模拟[212]，其中谱按如下标度[203] (20)

其中与处引力波发射相关的峰值振幅并红移到今天由下式给出 (21)

其中为畴壁网络发射引力波的效率，表示熵自由度的有效数量。红移后的峰值频率为 (22)

在图6中，我们展示了一个基准谱，以突出改变畴壁张力和湮灭温度的影响。此处及后续图中显示的幂律积分灵敏度曲线遵循参考文献[213]中描述的方法。

图6. 对于壁张力和湮灭温度的基准值，畴壁网络的引力波谱。左上角方框中的示意图说明了这些参数对谱的影响：增加壁张力会增强峰值振幅，而更高的湮灭温度会降低振幅并将谱移向更高频率。此外，假设的重叠天体物理引力波背景以绿色显示，取代表值（且）。最后，包含了LIGO-Virgo O3运行[68]、O4a运行[19]以及LIGO探测器[214]的幂律积分灵敏度曲线[213]。

C. 使用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束

我们按照第I节中描述的方法使用pygwb包[122]进行贝叶斯分析。对于引力波谱，我们考虑来自畴壁网络的贡献，由方程(20)给出，与来自未解析CBC的天体物理引力波背景[按方程(2)定义，其中且]相结合： (23)

感兴趣的参数为，其中为CBC背景振幅，和为确定来自畴壁的宇宙学引力波信号的参数。这些参数的先验分布总结在表III中。

表III. 假设的畴壁模型参数和CBC背景的先验分布。的先验来自CBC背景的估计[17]，而张力和湮灭温度的先前范围选择得足够大，以包括会导致LIGO-Virgo-KAGRA观测频带内引力波信号的参数空间区域。大于的值不被考虑，如前文在方程(19)附近所讨论。参数 先验

得到的后验分布如图7所示，显示对应于1到的置信水平轮廓区域。从CBC背景振幅的后验中，我们设置95%置信水平的上限，值为。

图7. 使用O1、O2、O3和O4a的LIGO-Virgo数据，CBC背景振幅、畴壁网络张力和网络湮灭温度的后验。底部灰色区域对应畴壁网络主导宇宙的区域，即。

对于控制畴壁信号的参数，引力波数据排除的区域在中下面板中以白色显示。在同一面板中，我们以灰色阴影显示了和的值，对于这些值，畴壁系统将主导宇宙，导致不一致的宇宙学。被排除的白色区域接近畴壁主导，因为当引力波信号最强。我们的分析可以排除温度范围在且畴壁张力足够大时的湮灭温度。

考虑到畴壁网络和CBC组合引力波背景信号相对于噪声的假设，分析得出贝叶斯因子为，表明数据中没有这种背景的证据。类似地，对于仅CBC背景，我们发现，意味着偏好仅CBC情景，其。

总之，我们没有发现来自畴壁网络的引力波信号的证据。从引力波数据推导出的对的约束排除了特定的参数空间区域，这些区域可以在粒子物理模型的背景下使用。

V. 刚性状态方程

A. 动机

慢滚动区域中的标准暴胀模型通常产生的引力波背景太弱，无法被当前和未来的引力波实验探测。事实上，当前对暴胀能标和张量-标量比的约束意味着典型的原始引力波平坦谱低于当前和未来引力波实验在模型中的灵敏度。然而，原始谱的详细形式及其可探测性取决于对再加热和BBN开始之间时期宇宙学历史的假设。特别是，添加一个由刚性能量主导的奇异时期[称为刚性主导（SD）时代；参见，例如，参考文献[43–51] ]导致暴胀引力波背景在更高频率处增长（即蓝倾），使其可被LIGO-Virgo-KAGRA网络[50–53]、未来的第三代探测器以及空间激光干涉仪实验[47,215–225]探测。有几个超出标准模型的具体物理模型会导致具有刚性状态方程的宇宙学时期。我们在此列举例如：精质模型[43,44,226]、轴子情景[227–230]、弦理论模量模型[231,232]、佩切伊-奎因暴胀模型[233]等。在以下中，我们引入一个模型无关的刚性时期参数化，并探索LIGO-Virgo-KAGRA的O1–O4a运行对该情景施加的约束。同一模型先前在参考文献[53]中使用O1–O3数据进行了约束。

B. 模型

宇宙可以描述为具有两个关键参数的宇宙学流体：密度和压力。状态方程参数刻画了宇宙在不同时代的特征。在模型中，暴胀之后立即是辐射主导（RD）时期，其中，然后是物质主导（MD）时期，其中，目前是暗能量主导时期，其中。可以通过在暴胀结束和BBN开始之间插入其他时期来修改这一序列，前提是宇宙在BBN期间处于辐射主导[46]。我们的模型引入了标准时期之前的一个非传统时期序列：一个奇异辐射主导时期（记为RD1），一个奇异物质主导时期（记为MD1），以及一个由刚性能量驱动的奇异时期，由状态方程参数描述（记为SD）。这种SD时期最极端的情况称为动能主导，其中固定为1。该宇宙学模型由高能物理激发，可以具有多种观测后果。事实上，这个特定的时期序列（在动能主导情况下）自然出现在轴子模型中[227–230]（也参见参考文献[234–236]），为该宇宙学情景提供了理论动机。此外，刚性时期导致暴胀引力波谱出现蓝倾，使其在观测上具有吸引力。最后，引入MD时期会抑制高频段的引力波谱，使模型能够避开CMB和BBN观测的间接约束。这种非传统宇宙学历史增强了暴胀引力波背景，导致谱形具有如下渐近行为[53]： (24)其中 是一个依赖于引力波模式重新进入哈勃半径时状态方程的系数，由下式给出[46] (25)以及[50] (26)其中 为约化普朗克质量。此外，因子 编码了从今天到模式 在 时刻进入哈勃半径时相对论自由度数的变化。假设后续时期之间瞬时转变的详细引力波背景可参见文献[53]，本文以下部分采用该结果。值得注意的是，在更现实的模型中，不同宇宙学时期之间的转变通常是平滑的而非瞬时的（例如，关于动能主导时期的讨论可参见文献[227]）。这种平滑性会稍微改变相应转变频率附近的引力波谱。然而，这种修改的确切形式依赖于具体模型，并且正如先前基于LIGO-Virgo数据的分析所观察到的[53]，它不会显著影响所得到的约束。在此近似下，有五个不同的参数影响谱形，如图8所示。图8. 不同 选择下由非传统宇宙学产生的引力波背景谱。图中同时给出了LIGO-Virgo O3运行[68]的幂律积分灵敏度曲线[213]，以及O4a运行[19]和LIGO 探测器[214]的相应曲线。控制引力波谱的参数选为 、 、 ，且 固定，使得右侧平台与左侧平台具有相同的振幅。标准暴胀引力波背景用紫色虚线表示。参数 影响整体引力波背景振幅，如双箭头所示。谱的低频部分由 塑造：较低的 值将低频平台左移，导致更强的引力波背景，而较高的值将其右移，导致更弱的引力波背景。谱的峰值频率取决于 ：较低的值将峰值左移（较弱的引力波背景），较高的值将其右移（较强的引力波背景）。暴胀的哈勃尺度 影响谱的大小。CMB偏振实验Planck 2018、BICEP2、Keck Array和BICEP3[237]约束张量-标量比 ，因此也约束暴胀功率谱为 。下一代CMB实验LiteBIRD[238]预计将把这一界限改进为 。然后， 是对应于SD和RD2之间转变时刻的频率，影响平台与谱上升段之间拐角的位置（这里RD2表示SD时期之后的标准辐射时期）。注意，BBN应发生在RD2时期，这意味着 。此外，SD时期的状态方程参数 决定谱上升段的斜率。相关参数 的范围为 ，其中下界对应于动能主导，上界对应于辐射。然后， 对应于MD1和SD之间的转变时刻，影响峰值振幅和峰值位置。最后， 是RD1和MD1之间的转变时刻，影响下降谱与右侧平台之间的拐角。引力波能量密度可以通过其对宇宙相对论自由度的贡献而受到约束[23]。对于本文考虑的模型，我们可以将此界限估计为 (27)其中右端在峰值频率 处求值，并使用CMB加BBN分析[239]得到的 上限 。对刚性时期的进一步约束可能来自于标量模式的增强[236]，具体取决于暴胀模型。C. 使用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束我们使用第I节所述的贝叶斯分析，并采用pygwb包[122]。引力波能量密度谱 的模型将刚性时期增强的暴胀引力波背景 与来自未分辨致密双星并合的致密双星并合背景 相结合： 。在相关频率范围内，CBC背景具有式(2)的形式，其中 是参考频率， 是该频率处CBC背景的振幅，我们将幂律固定为 。参数空间由 定义。然而，在贝叶斯分析中， 和 通过以常数值为中心的δ函数先验固定。首先，我们将 固定为 ，这使引力波信号的振幅最大化。注意，对于LIGO-Virgo-KAGRA观测频带内的信号， 和 之间存在简并，这可用于将本文结果转换到其他 值（更多细节参见文献[53]）。其次，我们假设 高于LIGO-Virgo-KAGRA可探测的最大频率。具体来说，注意只要 ，由 确定的引力波谱的高频部分就位于LIGO-Virgo-KAGRA观测频带之外，因此不会影响我们的分析（更多细节参见文献[53]）。为明确起见，我们设定 ，其中 表示与暴胀结束相关的频率（假设暴胀期间哈勃尺度恒定，且RD1和RD2之间没有熵注入）。其他参数的先验见表IV。表IV. 贝叶斯分析中采用的先验。 的先验来自CBC背景的估计[17]。 的先验由 的允许范围确定： 。 和 的先验范围设定为满足 。它们选择在足够宽的范围内，以确保包含导致LIGO-Virgo-KAGRA频带内引力波信号的参数空间区域。我们已经验证，如果扩大先验范围，后验不会受到显著影响。参数 先验 在我们的分析中，具体考虑两个场景。 (i) 动能主导模型——我们固定 ，这对应于 的最大值。该模型记为“ ”，其结果见图9。 (ii) 一般SD时期模型——在这种情况下， 允许变化，称为“ ”。其结果见图10。 图9. 模型的贝叶斯分析后验。这里 固定为 。对于等值线区域，使用与图10相同的颜色。下面板中的灰色区域被BBN和CMB的间接限制排除，如式(27)所示。图10. 模型的贝叶斯分析后验。紫色等值线区域对应95%置信水平，红色区域对应68%置信水平。我们的研究未发现这两种背景的证据，对数贝叶斯因子如下： 对于动能主导模型， 对于变化的 模型。我们还将仅CBC背景与组合 信号进行比较。对于动能主导模型，我们得到 ，表明偏好仅CBC背景。对于一般SD模型，我们发现 ，这表明对仅CBC背景的轻微偏好。总之，我们在O1–O4a LIGO-Virgo数据中未发现CBC背景或来自刚性时期的引力波背景的证据。因此，我们推导出表征这种非传统宇宙学的某些参数的95%置信水平上限。这些由图9和10中的白色区域标识（并且略微改善了先前仅使用O1–O3数据的分析[53]）。在图9中，对于动能主导的情况，我们表明数据可以排除 对 平面中原本仍被间接限制允许的参数空间部分。我们的分析，独立于刚性时期，也对天体物理背景的振幅设置了上限，其值为 。VI. 轴子暴胀 A. 动机引力波为检验暴胀模型和约束其参数提供了一种新颖的工具。一个由高能物理激发的暴胀模型是轴子暴胀，其中与规范场耦合的赝标量轴子导致早期宇宙的加速膨胀[54–57]。该模型为宇宙学观测提供了丰富的机会[240,241]，包括独特的CMB特征[242,243]，由规范场背景诱导的有效多场动力学产生的原初黑洞形成[244]，以及手性引力波背景[55,245–248]，后者可能被LIGO-Virgo-KAGRA探测器探测到。尽管U(1)规范场已被广泛研究，但非阿贝尔规范场（如SU(2)）呈现出引人注目的替代方案。它们的关键区别在于SU(2)规范场可以具有各向同性背景值，而U(1)则不能。因此，在SU(2)的情况下，引力波产生可以通过线性分析计算，而在U(1)的情况下则成为非线性过程，通常需要更复杂的分析来预测引力波振幅[245,249]。在我们的分析中，重点关注SU(2)规范场。当背景规范场诱导度规和张量扰动之间的线性耦合时，引力波可以被有效产生[250,251]。虽然原始的余弦暴胀子势被CMB观测排除[252,253]，但其他更复杂的模型[247,254–262]可以避开CMB约束并在当前可探测的干涉仪尺度上产生信号。B. 模型我们考虑色自然暴胀[263,264]，其作用量为[56,263] (28)其中 为约化普朗克质量， ， 表示Ricci标量， 为具有标量势 的暴胀轴子场。SU(2)规范场 的场强为 ，其对偶为 。轴子-规范耦合记为 ，规范耦合为 。我们考虑规范场均匀分量的各向同性ansatz： (29)其中 且 为哈勃参数[265–267]。暴胀子与SU(2)规范场之间的耦合在规范场的一个螺旋度模式中诱导快子不稳定性。这导致该模式的指数放大，进而产生手性（宇称破坏）引力波背景[56,253]。当规范耦合较小或规范场较弱时，非阿贝尔 规范理论近似表现为 个独立的阿贝尔U(1)规范理论的副本。在非阿贝尔区域，背景规范场获得非零真空期望值，使得规范场张量扰动与度规张量扰动之间能够线性耦合。这种线性耦合使得增强的螺旋度 模式在暴胀期间能够有效产生引力波。相比之下，在阿贝尔情况下，这种耦合仅出现在非线性层面，使得引力波产生效率较低。因此，我们关注非阿贝尔区域。非阿贝尔区域保守地由条件[261]定义 (30)在此区域中，产生的引力波背景可以解析近似为[261] (31)其中 和 。在式(31)中，第一项在 处求值，第二项在 处求值，其中 为共形时间 。一种直接避开CMB约束的方法是考虑Starobinsky最初提出的分段线性势[268,269]： (32)其中 设定势的能量尺度， 和 确定 两侧的斜率。在慢滚近似下，暴胀子速度近似恒定，导致恒定的速度参数 。对于 ，我们将速度记为 ，在慢滚近似中为 。这一性质极大地简化了解析计算，并有助于计算所得到的引力波谱。在图11中，我们展示了不同参数集下的谱 。由于恒定的速度参数 ，引力波振幅在相关尺度上保持恒定。我们假设从阿贝尔到非阿贝尔区域的转变发生在 附近，位于CMB和干涉仪尺度之间，这决定了增强引力波产生的开始位置。关于允许参数空间和替代模型分析的进一步讨论，参见文献[270]。图11. 不同 、 下非阿贝尔引力波背景谱示例，绘制时使用O4a幂律积分灵敏度曲线[213]。尽管SU(2)规范场可以在暴胀期间增强引力波，但存在观测约束，现总结如下。 1. 宇宙微波背景CMB尺度上暴胀期间的哈勃膨胀率 设定引力波背景真空贡献的振幅 。可观测的张量-标量比 与 相关，通过 (33)最新的观测约束，在95%置信水平下 [237]，转化为 ，从而排除了某些类型的暴胀模型。 2. 原初黑洞过产生规范场诱导的张量模式可以通过宇宙学微扰理论中的二阶效应放大原初曲率扰动。一旦这些扰动重新进入哈勃半径，它们可能坍缩形成原初黑洞，其丰度受到宇宙学和天体物理观测的严格限制 [271,272]。如果曲率扰动服从 统计，原初黑洞的形成效率高于高斯情形，从而排除参数空间中的大量区域 [245]。然而，在某些情况下，这一约束可能得到缓解。对带有U(1)规范场的轴子暴胀的晶格模拟表明，在强反作用区域，曲率扰动趋近于高斯分布 [273]，从而降低预期的原初黑洞丰度。虽然对SU(2)规范场模型尚未进行类似分析，但反作用效应同样可能放宽原初黑洞约束，这似乎是合理的。反作用的强度由参数 控制 [270,274]： (34)其中 充当有效质量。当反作用是一种高效机制时，即 ，曲率扰动将趋近于高斯分布，原初黑洞约束可能得到放宽。然而，如果反作用变得过强（ ），引力波谱的解析表达式不再可靠，需要进行专门的数值分析。因此，我们不考虑后一种情况。 C. 利用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束我们使用pygwb [122]对非阿贝尔和CBC组合背景进行贝叶斯参数估计搜索。该模型有八个自由参数，先验范围总结在表V中。 表V. 模型和CBC背景参数假定的先验分布。 参数 先验 表VI. 在不同哈勃常数 先验假设下获得的 模型和CBC背景参数的95%上限。 参数 自由 0.411 0.421 0.322 0.325 5.936 4.104 4.976 5.884 表VII. 在不同哈勃常数先验假设下，搜索的组合模型和CBC背景的参数估计对数贝叶斯证据因子。 自由 表VIII. 标量诱导引力波背景和CBC背景参数假定的先验分布。 参数 先验 固定为0和1 图12显示了联合 分析获得的95%约束。我们展示了所有八个参数都进行搜索的情况以及 固定为 的情况。约束显示在 平面中，其他参数被边缘化。如前一节所讨论， 和 的可行区域限制在图12中对角线周围的特定区域。引力波振幅与 成正比，并且是 的指数递增函数[见式(31)]，在图12中向左上区域变大。因此，引力波观测约束了绿色线上方的参数空间。在不同哈勃常数 先验假设下获得的SU(2)+CBC模型和CBC背景参数的 上限显示在表VI中。在不同哈勃常数先验假设下，搜索的组合模型和CBC背景的参数估计对数贝叶斯证据因子显示在表VII中。图12. 在 平面中，从搜索早期宇宙轴子暴胀并叠加天体物理背景获得的后验边缘分布，假设 为固定值（分别为点线、点划线和虚线绿色线），并且也将其作为自由参数（实线绿色线）。灰色阴影区域表示阿贝尔区域，其中预期不会产生有效的引力波。紫色阴影区域对应预期强反作用的参数空间，即 ，引力波振幅估计可能不再可靠。约束对 的值最为敏感，因为它影响整体振幅。从图中可以看出，当 较大时，我们对 和 获得更严格的约束，反之亦然。我们还可以观察到，当 保持自由并被边缘化时，约束相对较弱。这是因为，由于我们的先验允许非常小的 值，当 被边缘化时，小的 可能主导结果。换句话说，约束依赖于 的先验，固定 消除了这种模糊性。这一结果可以从物理上理解如下。在图12中，如果我们固定 并从较小值逐渐增加 ，从暴胀子到规范场的能量转移最初太弱，使系统保持在阿贝尔区域，其中引力波产生仍然低效。然而，超过一定阈值，规范场的非阿贝尔性质变得显著，导致增强的引力波产生。然而，如果 变得太大，反作用效应将占主导，违反我们分析的假设，或者产生的引力波信号将与LIGO-Virgo观测矛盾，导致排除。这里呈现的结果具体适用于式(32)中给出的势形式。不同的暴胀势产生不同的引力波谱，因为后者由标量场的演化决定（即 的演化不同）。我们选择双线性势模型，因为线性势导致速度参数 的常数解，而两阶段暴胀使我们能够避免对CMB约束的担忧。这提供了一个相对简单的图像，其中引力波谱由第二阶段的速速参数 决定。关于余弦型势和 势的讨论，我们请读者参考Refs. [261,270]。 VII. 二阶标量扰动 A. 动机由大振幅原初曲率扰动产生的标量诱导引力波背景，为直接探测暴胀时期提供了观测检验 [58]。这一主题最近因其与原初黑洞的联系而受到广泛关注 [275,276]。在原初曲率涨落在暴胀期间被放大的情形中，原初黑洞在相应模式进入哈勃半径后不久通过极密区域的坍缩形成 [277,278]。与此过程相关，在宇宙学微扰理论的背景下，引力波由标量扰动的二阶项产生 [59–63]。因此，引力波背景的上限可以为原初曲率扰动提供约束 [279–282]。原初曲率谱的放大可以通过多种机制实现。在单场暴胀框架内，小尺度上的增强功率谱可以发生，例如通过山顶型或运行质量模型 [283,284]，前者在现象学上等价于后者。这些模型预测的引力波谱可能被DECIGO [285]和LISA探测到，但肯定不在LIGO-Virgo-KAGRA频段的可探测范围内。如果引力波由遵循高斯分布的曲率扰动诱导，原初黑洞可能会过产生。特别是，原初黑洞的过量排除了山顶型和运行质量参数空间中的区域 [283,284]。因此，人们可能倾向于与曲率扰动的非高斯性相关的模型，这些模型抑制原初黑洞产生率。一个这样的模型是轴子类曲率子模型，导致曲率扰动的蓝倾斜功率谱 [286,287]，并在脉冲星计时阵列可探测范围内诱导引力波谱 [288]。然而，应该注意，曲率功率谱中峰值的位置依赖于模型，因此，在LIGO-Virgo-KAGRA频段内可能导致引力波信号的增强。例如，通过暴胀势中的平台区域实现的超慢滚相位的暴胀模型 [289–291]，提供了调整增强尺度的灵活性。另一种可能性是考虑多场暴胀，它可以通过诸如带有快子不稳定性的混合暴胀 [292,293] 或场空间中的转向（对应于暴胀轨迹的弯曲）[294,295] 等机制预测增强的曲率扰动。 B. 模型尽管对标量诱导引力波背景进行了广泛的唯象研究，我们基于最简单的假设提供约束：对数正态谱形状和原初曲率扰动的高斯分布。原初曲率功率谱中的峰值假定具有形式 [296] (35)它由其位置 定义，宽度由参数 控制，振幅由 表征。在 极限下，式(35)简化为狄拉克δ函数 。原初曲率功率的假设，式(35)，以模型无关的方式提供约束，并对许多暴胀模型是一个很好的近似。此外，考虑到相对较窄的频段，我们的约束对谱的详细形状不敏感。暴胀模型通常预测在更宽尺度范围内的增强曲率扰动谱，这可以在LIGO-Virgo频率覆盖范围内很好地近似为具有大宽度的对数正态峰值。在我们的分析中，我们关注原初曲率扰动的高斯分布。非高斯性可以显著改变标量诱导引力波背景的谱 [297–303]；然而，非高斯性的精确形式取决于暴胀模型，并且缺乏一般参数化。因此，假设曲率扰动的高斯分布，标量诱导引力波背景的能量密度谱可以使用近似解析表达式计算 [304,305] (36)其中 是当前辐射能量密度分数， 和 分别是能量密度和熵密度的有效自由度数。函数 由下式给出 (37)其中 表示赫维赛德阶跃函数。我们搜索的频率范围对应于大约 到 之间的波数。这些尺度在温度超过 时重新进入哈勃视界，使我们能够在标准模型框架内设置 。图13显示了在对数正态曲率功率谱下，不同宽度参数 、0.1、1 的谱，同时保持 和 固定。随着 增大，峰值变宽，谱振幅减小。积分振幅 设置整体归一化，谱缩放为 ，而峰值尺度 确定谱达到最大值时的频率。图13. 不同宽度 值 、0.1、1 的谱，与O4a幂律积分灵敏度曲线 [213] 一起绘制。我们假设 和 。峰值尺度由暴胀期间增强标量扰动的特定机制设定，引力波谱在与曲率功率谱大致相同的波数处达到峰值。如果原初黑洞在相应模式重新进入哈勃半径后形成，其质量可以与峰值频率关联为 (38)其中 是太阳质量， 通常为量级为1的量，考虑了原初黑洞质量 与视界质量 之间的差异。 C. 利用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束使用pygwb [122]获得的贝叶斯参数估计结果显示在图14中。先验分布见表VIII。对 从O4a数据（红色阴影区域）设定的界限与 和 的BBN和CMB约束进行比较。底部和顶部水平轴分别代表曲率扰动的峰值尺度 和与使用式(38)计算的尺度相关的原初黑洞质量。蓝色阴影区域代表BBN和CMB对随机引力波背景丰度的间接界限。我们使用最近的联合 分析计算界限，该分析表明对于 在 处 [239]。由于边缘化约束往往依赖于先验，这里我们通过固定 的值并将 和 作为自由参数进行贝叶斯搜索。对于不同的 和 组合， 的上限总结在表IX中。图14. 对 （δ函数情形）和 的曲率扰动振幅约束。表IX. 对于固定峰值位置 和宽度 的值，曲率谱功率 的95%置信水平上限。 1.44 0.01 0.15 0.96 0.05 2.12 VIII. 原初黑洞 A. 动机已经提出了几种原初黑洞形成的机制。最广泛研究的场景之一是暴胀期间小尺度扰动的放大。其他提出的机制 [64] 包括相变期间的形成、早期物质主导时期、标量场不稳定性以及拓扑缺陷的坍缩等。根据形成场景的不同，它们的质量范围可以从类似小行星的尺度到超大质量尺寸。原初黑洞是暗物质的有力候选者[64,306,307]，并可能对观测到的双黑洞族群有所贡献[308–316]。与天体物理黑洞一样，原初黑洞可以形成双星并发射引力波。由此产生的引力波背景，由大量未分辨事件产生，为早期宇宙中的源族群提供了强有力的探测手段[317–326]。此外，它还为检验原初黑洞双星的存在提供了独特机会，因为在宇宙黑暗时代、恒星形成之前的高红移时期，天体物理黑洞的丰度预计较低。相比之下，原初黑洞在这一时期可能形成双星，从而产生来自早期宇宙的引力波。这里考虑了两种主要形成通道：一种作用于早期宇宙，另一种作用于晚期宇宙，如下一小节所述。决定并合率的关键因素是原初黑洞的数密度，通常用今天原初黑洞占暗物质的比例 \(f_{\mathrm{PBH}}\) 来量化。虽然当前观测排除了 \(f_{\mathrm{PBH}}=1\)，但原初黑洞仍可能构成暗物质的显著部分。B. 模型原初黑洞的质量函数通常用单色或对数正态分布参数化。这为原初功率谱中峰值产生的原初黑洞提供了良好近似[327]。我们定义对数正态质量函数 \(\psi(m)\) 为\[
\psi(m) \propto \rho_{\mathrm{PBH}}^{-1} \frac{d\rho_{\mathrm{PBH}}}{dm} \tag{39}
\]
其中 \(\rho_{\mathrm{PBH}}\) 代表原初黑洞能量密度。对于对数正态分布，质量函数形式为\[
\psi(m) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma m} \exp\left(-\frac{\ln^2(m/m_c)}{2\sigma^2}\right) \tag{40}
\]
其中 \(m_c\) 是中位质量，\(\sigma\) 控制对数空间中的分布宽度。质量函数归一化为 \(\int \psi(m) dm = 1\)。

我们通过将单个双星的能量谱相加，考虑引力波自发射以来的红移，并使用并合率分布，计算由双星事件集合产生的引力波背景[11]：\[
\Omega_{\mathrm{GW}}(f) = \frac{f}{\rho_c} \int dz \frac{1}{1+z} \frac{dE_{\mathrm{GW}}(f_s)}{df_s} \sum_{\mathrm{EB,LB}} \int dm_1 dm_2 \frac{d^3 R}{dm_1 dm_2 dt} \tag{41}
\]
在式(41)中，积分是对双星的质量 \(m_1\) 和 \(m_2\) 进行，\(f_s = f(1+z)\) 是源坐标系中的引力波频率。量 \(\frac{d^3 R}{dm_1 dm_2 dt}\) 表示单位时间、共动体积和质量区间的微分并合率。不同的双星形成机制用 EB（早期双星）和 LB（晚期双星）表示。早期双星在原初黑洞形成后不久的辐射主导时期形成，而晚期双星则在物质主导时期通过原初黑洞团簇中的动力学俘获更晚形成。我们用文献[328]的唯象拟合函数对单源能谱 \(dE_{\mathrm{GW}}/df_s\) 建模，该函数涵盖旋近、并合和铃振阶段。虽然高红移双星早期发射引力波，但最近的双星通常主导背景功率，除非并合率随红移急剧上升。由于我们模型中的并合率并未急剧增加，我们取 \(z_{\max}=100\)，这足以包含对引力波背景的所有相关贡献。

若干不确定性可能影响引力波背景的形状，例如双星形成机制和第三方对双星的潜在瓦解。形成情景还可能影响偏心率、自旋和进动等性质，进而改变波形。在下文中，我们仅考虑非自旋双星。

引力波背景由跨越不同红移范围的原初黑洞并合事件组成。如果附近双星占主导，光谱在特征并合频率处呈现峰值，该频率主要由原初黑洞质量决定。对于等质量双星，能谱峰值位于\[
f_{\mathrm{peak}} \approx 0.2 \, \mathrm{Hz} \left(\frac{30 M_\odot}{M}\right) \tag{42}
\]
因此，LIGO-Virgo-KAGRA探测器对质量范围从亚太阳尺度到 \(10^3 M_\odot\) 的双星敏感。利用LIGO-Virgo-KAGRA探测器探测这种背景的可能性已在文献中研究[312,319–321,326,329–331]。

有两个主要的双星形成通道。在早期双星形成情景中，双星起源于一对紧密间隔的原初黑洞，其中第三个近邻物体的潮汐影响赋予双星形成所需的角动量。宇宙时间 \(t\) 的早期双星并合率由[309,332–336]给出\[
\frac{d^3 R_{\mathrm{EB}}}{dm_1 dm_2 dt} = \frac{1.6 \times 10^{-6}}{\mathrm{Gpc}^3 \mathrm{yr}} \frac{f_{\mathrm{PBH}}^2}{(m_1 m_2)^{3/7}} \left(\frac{t_0}{t}\right)^{34/37} S_{\mathrm{EB}} \tag{43}
\]
其中 \(t_0\) 是宇宙年龄。引入速率抑制因子 \(S_{\mathrm{EB}}\) 以考虑两种主要机制：一种来自局部物质不均匀性和近邻原初黑洞 \(S_{\mathrm{inh}}\)，另一种来自初始泊松涨落引起的成团 \(S_{\mathrm{cl}}\)[311,312,336]。我们采用解析方法建模的抑制因子[312,336]。

在晚期双星形成情景中，如果原初黑洞团簇在物质主导时期发展，双星可在致密环境中形成[308]。通过考虑团簇内的两体俘获过程，并假设所得双星的并合时标远短于宇宙年龄，可导出并合率的解析表达式[337,338]：\[
\frac{d^3 R_{\mathrm{LB}}}{dm_1 dm_2 dt} = \frac{1.9 \times 10^{-7}}{\mathrm{Gpc}^3 \mathrm{yr}} f_{\mathrm{PBH}}^2 \left(\frac{t_0}{t}\right) \left(\frac{m_1 + m_2}{M_\odot}\right)^{3/7} S_{\mathrm{LB}} \tag{44}
\]
参数 \(S_{\mathrm{LB}}\) 反映了因局部成团导致的原初黑洞并合率增强[318,339]，其取决于速度弥散和密度对比。我们考虑三个代表性值：\(S_{\mathrm{LB}} = 1, 10, 10^3\)，分别对应 (i) 与 \(f_{\mathrm{PBH}} \lesssim 10^{-3}\) 一致的适度成团[308]，(ii) 匹配观测双星并合率所需的水平，以及 (iii) 具有高效团簇形成的乐观情景[339]。

在O4a灵敏度下，晚期双星的并合率通常相对于早期双星处于次主导地位，除了 \(f_{\mathrm{PBH}} \gtrsim 10^{-3}\) 的情况。这种行为也在图15中展示，该图显示了两种形成通道的示例光谱。

图15. 单色质量函数的引力波背景光谱，分别对应早期（红色实线）和晚期（蓝色虚线）双星形成通道。不同曲线表示不同的原初黑洞质量。我们还绘制了O4a幂律积分灵敏度曲线[213]。这里，我们假设 \(f_{\mathrm{PBH}} = 10^{-3}\)，固定抑制因子 \(S_{\mathrm{EB}} = 1\)，以及 \(\sigma = 0.5\)。

C. 使用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束模型参数的先验范围汇总于表X。注意，我们对质量函数宽度 \(\sigma\) 采用相对窄的先验，因为已知并合率仅在质量函数尖锐峰值时才可靠，特别是在早期双星形成情景中。贝叶斯分析表明，未探测到由原初黑洞或CBCs产生的显著引力波背景。我们在95%置信水平上建立了CBC能量密度参数 \(\Omega_{\mathrm{CBC}}\) 的上限，这与各向同性背景搜索的约束一致[19]。

表X. 贝叶斯分析中模型参数的先验分布。参数 先验
\(f_{\mathrm{PBH}}\) 对数均匀[\(10^{-6}, 1\)]
\(\sigma\) 均匀[0.1, 0.6]
\(S_{\mathrm{EB}}\) 固定为1
\(S_{\mathrm{LB}}\) 固定为1, 10, \(10^3\)
\(\Omega_{\mathrm{CBC}}\) 对数均匀[\(10^{-10}, 10^{-7}\)]
\(\gamma\) 均匀[0, 3]
\(H_0\) 高斯[67.74, 0.46]

即使没有探测，我们仍可以将 \(f_{\mathrm{PBH}}\) 作为 \(m_c\) 的函数进行约束。我们在图16中展示我们的约束，以及其他分析的约束。我们的约束是通过对质量函数宽度 \(\sigma\) 和 \(\Omega_{\mathrm{CBC}}\) 边缘化得到的。对于 \(m_c \lesssim 10 M_\odot\)，引力波背景的光谱幅度主要归因于晚期双星形成通道。然而，O4a灵敏度在该质量范围内因频率范围有限而迅速失去约束能力。这些发现强调了引力波背景搜索作为探测 \(10-100 M_\odot\) 质量范围内现象的工具，在现在和未来的重要性。所得边界与来自单个双星事件、微透镜巡天和宇宙微波背景观测的现有边界互补。每个参数的后验分布如图17所示，以及各种 \(m_c\) 和 \(f_{\mathrm{PBH}}\) 组合的95%上限见表XI。

图16. 来自贝叶斯分析的 \(f_{\mathrm{PBH}}\) 作为 \(m_c\)（单位为 \(M_\odot\)）的函数的95%置信水平约束，显示为 \(S_{\mathrm{LB}} = 1, 10, 10^3\)（分别为虚线、实线和红色虚线曲线）。我们还展示了其他观测约束，如超新星透镜约束（SNe，黑色）[340]、大质量致密晕天体约束（EROS，黄色）[341]、近期光学引力透镜实验约束（OGLE，绿色）[342]以及宇宙微波背景约束（CMB，蓝色）[343]。

图17. 假设 \(f_{\mathrm{PBH}} = 10^{-3}\) 的原初黑洞双星引力波背景后验分布的角图。其他 \(f_{\mathrm{PBH}}\) 值的结果非常相似。

表XI. 各种质量下 \(f_{\mathrm{PBH}}\) 的95%置信水平上限。
\(m_c\) (\(M_\odot\)) \(f_{\mathrm{PBH}}\) (95% CL)
1 \(1.6 \times 10^{-3}\)
10 \(3.4 \times 10^{-4}\)
30 \(1.2 \times 10^{-4}\)
100 \(4.5 \times 10^{-4}\)

表XII. 模型无关宇称破坏搜索的先验分布。参数 先验
\(\log_{10} A\) 均匀[\(-10, -5\)]
\(\alpha\) 高斯[0, 3.5]
\(\Pi\) 均匀[\(-1, 1\)]

表XIII. 湍流宇称破坏搜索的先验分布。参数 先验
\(\log_{10} A\) 均匀[\(-12, -5\)]
\(\alpha\) 均匀[0, 3.5]
\(T_*\) [s] 均匀[5, 2000]
\(\beta/H_*\) 均匀[0, 100]

表XIV. SU(2)轴子暴胀宇称破坏搜索的先验分布。注意：与第六节中先前列出的先验表相同，只是增加了 \(\Pi\) 先验。参数 先验
\(\log_{10} A\) 均匀[\(-12, -5\)]
\(\alpha\) 均匀[0, 3.5]
\(N_e\) [e-folds] 均匀[50, 60]
\(r\) 均匀[0, 0.1]
\(m_\phi/H_I\) 均匀[0, 25]
\(\sigma/H_I\) 均匀[0, 1]
\(\Pi\) 均匀[\(-1, 1\)]

我们注意到，参数与CBC贡献 \(\Omega_{\mathrm{CBC}}\) 存在简并，因为原初和天体物理源在旋近阶段产生的引力波谱具有相同的频率依赖性 \(\propto f^{2/3}\)。当平均黑洞质量 \(\sim 30 M_\odot\) 时，这种相似性尤为相关。然而，我们的结果表明，对原初黑洞质量约 \(10 M_\odot\) 附近的灵敏度最高，此时主要贡献来自并合阶段。在该区域，光谱具有特征频率依赖性，其形状对假设的并合率和质量分布敏感，使我们能够打破参数之间的简并。

注意，如果原初黑洞双星由暴胀期间的曲率扰动产生，它们会伴随引力波。这种来自原初黑洞的引力波可被LIGO-Virgo探测器探测，前提是其质量 \(M \lesssim 10^3 M_\odot\)[344]。各种研究已经探讨了某些探测到的CBC事件可能源于原初黑洞并合（例如，文献[345–349]）。最近，脉冲星计时阵列数据已在产生亚太阳原初黑洞和纳赫兹频率引力波背景的大曲率扰动框架下进行研究[350,351]。

IX. 宇称破坏在前几节中，我们搜索了来自超出标准粒子物理和早期宇宙模型的引力波背景光谱中的特征。在下文中，我们研究宇称破坏，要么进行模型无关搜索，要么在我们先前考虑的某个奇异粒子物理模型背景下聚焦。A. 动机一些弦理论模型和标量-张量引力模型可能导致圆偏振引力波，尤其是受Chern-Simons引力启发的模型[352–355]以及与阿贝尔规范场耦合的暴胀情景[356–361]。手性也预期出现在各种早期宇宙相变模型[362–368]和非阿贝尔规范场源轴子暴胀（通常称为色自然暴胀）中[56,56,251,261,263,369]。我们描述一种基于幂律能量密度引力波谱的通用宇称破坏搜索[65]，然后详细阐述更具理论动机的早期宇宙湍流和色自然暴胀的偏振引力波背景模型。B. 模型在搜索宇称破坏模型时，我们采用文献[65]的形式，使用修正的互相关估计量\[
\hat{C}_{IJ}(f) = \frac{2}{T_{\mathrm{obs}}} \mathrm{Re} \left[ \tilde{d}_I^*(f) \tilde{d}_J(f) \right] \tag{45}
\]
其中\[
\tilde{d}_I(f) = \sum_{A} F_I^A(f) \tilde{h}_A(f) + \tilde{n}_I(f) \tag{46}
\]
我们表示 \(T_{\mathrm{obs}}\) 为测量时间，\(\tilde{d}_I(f)\) 为两个引力波探测器（分别记为 \(I\) 和 \(J\)）的应变时间序列。\(F_I^A(f)\) 是滤波器，\(\tilde{h}_A(f)\) 表示偏振 \(A\) 的张量模式与第 \(I\) 个探测器几何的缩并。我们用 \(\Gamma_{IJ}(f)\) 表示探测器 \(I\) 和 \(J\) 的通常（非偏振各向同性引力波背景）重叠约化函数[76]，\(\Gamma_{IJ}^V(f)\) 表示与宇称破坏项相关的重叠函数[370]。偏振度\[
\Pi(f) = \frac{P_R(f) - P_L(f)}{P_R(f) + P_L(f)} \tag{47}
\]
范围从 \(-1\)（完全左偏振）到1（完全右偏振），\(\Pi=0\) 对应于非偏振各向同性引力波背景。我们用 \(P_R(f)\) 和 \(P_L(f)\) 表示斯托克斯参数，分别代表右旋和左旋引力波功率谱。注意，在式(45)和(47)中令 \(\Pi=0\) 将形式返回到标准各向同性搜索中使用的形式[19]。

1. 模型无关我们对表现出幂律行为的宇称破坏引力波背景进行通用搜索，即式(2)，具有 \(\Omega_{\mathrm{GW}}(f) \propto f^\alpha\)。我们使用从 \(\log_{10} A = -10\) 到 \(-5\) 的对数均匀幅度先验，而模型谱指数先验是中心为0、标准差为3.5的高斯分布。我们使用O1–O4a引力波数据搜索该模型，并对其参数设置上限。

我们研究了一个常数 \(\Pi\) 的简化模型和一个偏振随频率变化的模型。在常数偏振情况下，我们在 \(-1\) 到1之间均匀搜索 \(\Pi\)。此外，还进行了固定 \(\Pi = -1\) 和 \(\Pi = 1\) 的两次搜索，以比较最大手性假设下的约束。对于频率依赖模型，我们使用 \(\Pi(f) = \Pi_0 \left(\frac{f}{f_*}\right)^\kappa\)，其中 \(\kappa\) 具有 \(-1\) 到0之间的均匀先验。这受到理论上 \(\Pi\) 随频率增加而衰减的模型的启发[371,372]。我们参考表XII。在我们的分析中，我们仅考虑大于1 Hz的频率——在较低频率下，地面探测器受地震噪声限制——因此，\(\Pi(f)\) 的形式保证了物理允许的边界 \(|\Pi(f)| \le 1\) 有效。

2. 早期宇宙湍流相变期间宇称破坏的湍流源将产生圆偏振引力波。根据螺旋度强度不同，湍流引力波谱有两种类型[373,374]。当小尺度上的能量耗散占主导时，会产生螺旋Kolmogorov谱，我们考虑这种类型的极化。电弱尺度上的宇称破坏可以在粒子物理标准模型的扩展中实现，表现为螺旋（或手性）湍流运动[375,376]。圆极化引力波由宇称破坏的湍流源产生[377]。其谱具有破缺幂律谱，在源的特征频率处有一个峰值。我们搜索引力波数据以寻找模型[378–380]（48）峰值频率与一阶相变发生时的温度相关。在能量尺度为时，预言的手性湍流谱将在当前LIGO-Virgo-KAGRA观测频带内出现峰值。因此，我们在较宽范围（10–2000）Hz内搜索。先验分布见表XIII。先前的数值研究计算了各种初始湍流条件下引力波的净圆极化度，确定了极化度作为波数的函数。他们识别了依赖于频率的模型[371,377]。我们将极化建模为先前描述的幂律函数形式。 3. 非阿贝尔轴子暴胀Chern-Simons相互作用项通过度规与规范场张量扰动之间的诱导线性耦合，引起引力波的指数产生，如公式（31）所示。总引力波谱包括真空贡献（49）我们考虑分段线性模型势，如先前公式（32）所示。在慢滚近似下，暴胀子速度近似为常数：（50）其中CMB约束在95%置信水平下设置的上限[381]。该模型的更多研究见参考文献[269]。Chern-Simons项不仅引起显著的引力波产生，规范场的自旋-2涨落还导致其左、右手极化态之间的不对称性。因此，规范场可以在地面探测器的频带内产生手性引力波信号。在参考文献[250]中，研究表明增强的螺旋度依赖于模型，并取决于暴胀子真空期望值的符号；右旋张量模式对应于正的真空期望值，左旋模式对应于负的真空期望值。对于所研究的玩具模型，极化可以很好地近似为（51）其中，对于慢滚参数，有效质量近似为，的显式函数形式详见参考文献[250]。容易证明，对于，且在地面探测器频带内。我们对宇称破坏的轴子暴胀进行搜索，这是第六节研究的模型，通过引入极化振幅的附加参数，其均匀先验范围为[0, 1]。对于其他参数，我们使用与表V相同的先验范围。注意，我们对极化振幅施加非负先验，因为我们预期所研究的玩具模型满足。请读者参考表XIV。 C. 使用O1–O4a LIGO-Virgo数据的约束我们给出了进行搜索的模型的结果。我们没有发现宇称破坏的证据；对此类模型施加了约束。 1. 模型无关我们将搜索结果以及假定的CBC背景下搜索的一般模型的65%和95%置信等高线绘制在图18和19中。虽然无法对宇称破坏（PV）相关参数施加约束，但我们设定了背景强度参数的上限。我们在表XV中列出了的95%上限、以及每个一般搜索的对数贝叶斯因子。图18. 具有、假定额外加CBC背景的幂律引力波背景模型的后验分布。图19. 具有（正幂律为红色，负幂律为紫色）、假定额外加CBC背景的幂律引力波背景模型的后验分布。表XV. 具有假定额外加CBC背景的一般宇称破坏模型搜索结果。PV模型的95%上限的95%上限 图20显示了假定的极化产生的后验的68%和95%置信等高线。可以看出，对于假定的完全右旋极化（，红色），可以做出比左旋极化（，蓝色）更严格的约束；这在O3数据中也被发现[382]。这种偏好可以通过标准与宇称破坏相关的重叠缩减函数之间的比值来解释。虽然和在所考虑的频段内大致是周期性的，但优先为正。优先为正的与结合导致改进的增大[公式（47）]，因此对右旋极化信号施加更严格的约束。图20. 假定的（红色）和（蓝色）极化的95%（实线）和68%（虚线）置信曲线。假设无宇称破坏（）的一般幂律搜索产生的对数贝叶斯因子为。结合表XV，我们发现极化（）和非极化（）幂律模型之间没有统计偏好。 2. 早期宇宙湍流我们将宇称破坏湍流叠加CBC模型搜索得到的约束绘制在图21中。我们计算出对数贝叶斯因子为，表明没有手性湍流背景的证据。无法对宇称破坏参数施加约束。我们发现引力波背景强度的95%上限为——大于幂律背景模型约束，因为允许的破缺幂律谱能够在灵敏度较差的频率处达到峰值。图21. 具有的早期宇宙湍流叠加CBC背景模型的后验分布。 3. 非阿贝尔轴子暴胀我们找到的对数贝叶斯因子为，因此没有该模型的证据，也没有极化模型优于非手性模型的偏好。我们在表XVI中列出两个搜索模型的95%置信限，搜索模型之间的参数估计似乎没有大的差异。在图22中，我们展示二维后验结果。同样，搜索模型之间的差异很小，强调手性和非手性模型之间缺乏统计偏好。重要的是要强调这些结果并不排除基于其他标量势模型的轴子暴胀宇称破坏模型。图22. SU(2)规范场模型的参数估计95%置信限等高线。蓝色和橙色曲线分别显示手性（）和非手性（）搜索的95%置信限等高线。表XVI. 搜索的手性和非手性模型的参数估计95%置信上限。参数 0.411 0.385 5.936 5.843 X. 结论LIGO-Virgo-KAGRA合作组使用LIGO Hanford和LIGO Livingston的O4a数据，以及LIGO-Virgo的O1、O2和O3数据，搜索引力波背景信号。在这篇论文中，我们报告了对各种粒子物理模型和宇宙学场景的专项搜索结果，这些模型和场景可能对引力波背景有贡献。这些包括一阶相变、宇宙弦、畴壁、刚性状态方程、轴子暴胀、二阶标量扰动、原初黑洞和宇称破坏。它们都可能产生LIGO-Virgo-KAGRA网络可探测的引力波背景。一阶相变可能发生在宇宙大爆炸后的第一个万亿分之一秒内，其引力波印记将是确定标准模型之外正确理论的重要关键。它们可以通过气泡碰撞、早期宇宙等离子体中传播的声波和磁流体动力学湍流等过程产生引力波。我们对这些相变的强度、温度和持续时间施加了新的约束。我们还对一般破缺幂律引力波谱进行了搜索，并获得了峰值振幅的约束。宇宙弦是一维拓扑缺陷，可以在相变后自发对称破缺产生。宇宙弦环由于张力而振荡，并因发射引力波而收缩。我们约束弦张力，这是与对称破缺温度相关的参数。在我们的研究中，我们考虑遵循Nambu-Goto动力学的宇宙弦。在我们研究的四个环分布模型中，有三个（称为模型、模型和模型），我们排除了张力大于的宇宙弦。畴壁是二维拓扑缺陷。我们的分析约束了畴壁张力以及它们坍缩（导致湮灭）的温度，以避免畴壁在宇宙中占主导。对于足够大的畴壁张力，我们排除了。高能物理可以激发具有刚性状态方程（）的宇宙学模型。我们推导了表征这种非标准宇宙学的某些参数的95%置信水平上限。引力波为检验暴胀模型和约束其参数提供了一种新颖的工具。虽然宇宙学模型中的单场慢滚暴胀预言的引力波背景太弱，无法用当前探测器观测到，但其他暴胀模型可能产生可探测的引力波背景。我们考虑一个轴子暴胀模型，其中赝标量轴子与规范场耦合，我们对规范耦合和暴胀子速度施加约束。标量诱导的引力波背景，由大振幅原初曲率扰动产生，为直接探测暴胀时期提供了观测检验。在暴胀期间原初曲率涨落被放大的情景中，原初黑洞通过相应模式进入哈勃半径后不久，极密区域的坍缩形成。我们施加引力波背景上限，导致对原初曲率扰动的约束，在约尺度上比大爆炸核合成和宇宙微波背景施加的约束更强。已经提出了几种原初黑洞形成机制。就像天体物理黑洞一样，原初黑洞可以形成双星并发射引力波。决定并合率的关键因素是原初黑洞的数密度，通常用表示，即今天原初黑洞在暗物质中所占的比例。我们找到作为原初黑洞质量函数的95%上限约束。特别是，我们为质量在范围内的原初黑洞设定。几个弦理论模型和标量-张量引力模型可以产生圆极化引力波。我们研究基于幂律能量密度引力波谱的一般宇称破坏搜索，然后详细讨论早期宇宙湍流和轴子暴胀等更多理论驱动的极化引力波背景模型。我们对宇称破坏参数施加新的约束。在搜索宇宙学产生的引力波背景时，我们也考虑了天体物理CBC背景的存在，该背景由黑洞和中子星组成。这是LIGO-Virgo-KAGRA在宇宙学背景之前可能探测到的背景[15]。对于当前一代地面探测器，分离天体物理和宇宙学贡献将具有挑战性[383,384]。已经提出了各种利用未来探测器分离信号的方法[385–389]，如爱因斯坦望远镜[390]和宇宙探险者[391]。对于这里考虑的任何宇宙学和高能物理模型，都没有探测到引力波背景信号，从而对其参数施加了约束。也没有探测到CBC产生的引力波背景。尽管如此，我们的分析表明，LIGO-Virgo数据已经可以用于推导对各种标准模型之外理论的新约束，从而能够以其他方式无法达到的能量尺度测试早期宇宙情景和粒子物理模型。我们期望本文中呈现的约束对粒子物理和宇宙学模型构建有用。LIGO-Virgo-KAGRA合作组将继续利用O4剩余数据改进引力波背景极限，并在完成后更新结果。虽然O4a、O4b和O4c之间的灵敏度变化不大，但延长的观测时间将提高对引力波背景能量密度的灵敏度。随后的O5运行将进一步推动这些极限，加深它们对宇宙学和高能物理的影响。