耗散超导量子比特的非线性量子演化

《Physical Review Research》：Nonlinear quantum evolution of a dissipative superconducting qubit

　　幺正和耗散量子动力学模型是态空间或密度矩阵空间上的线性映射。这种线性编码了叠加原理，这是量子理论的一个关键特征。然而，在后选择量子演化产生的有效非厄米动力学中，这一原理可能被破坏。我们在一个耗散超导transmon电路中从理论上刻画并在实验上研究了这种破坏。在该电路的三能级流形内，无跳跃后选择生成了一个控制激发二能级子空间的有效非厄米哈密顿量，以及一个反厄米非线性项。我们制备不同的初始态，并使用量子态层析追踪它们在该有效非线性哈密顿量下的演化。通过将叠加态的演化与独立演化的基态叠加进行比较，我们检验线性性并观察到明显的违反，我们跨越非厄米哈密顿量的例外点简并对这些违反进行了量化。我们将分析扩展到密度矩阵，揭示了二能级子空间中线性性的破坏，同时证明线性性在完整三能级系统中得以保持。这些结果为受控超导平台中后选择诱导的非线性提供了一个操作性演示。所观察到的非线性，由非厄米哈密顿量的例外点简并组织，在经典非厄米系统中不存在，在经典非厄米系统中，范数变化反映了与环境的真实交换而非重整化。I. 引言线性性是量子动力学的一个基本性质。给定两个态 和一个厄米哈密顿量 ，时间演化由 给出，其中 由薛定谔方程确定。线性性意味着一个态 ，幺正演化到 ，等于时间演化后 态的线性叠加，即 [1]。对于通过冯·诺依曼方程幺正演化的密度矩阵的凸组合，同样成立 [2]。这种线性假设扩展到开放耗散量子系统。当量子系统与其环境相互作用时，其约化密度矩阵 的动力学由林布兰方程 [2] 描述，该方程对密度矩阵是线性的，或者更一般地，是线性完全正迹保持映射 [3]。因此，线性动力学支撑着量子性的标志，如时空纠缠及其退化。相比之下，经典异常现象如怪波 [4] 源于适用于浅水流体和光学的非线性薛定谔方程 [5–7]。在这里，非线性编码了由于局部波强度导致的势能变化。在量子系统中，这种态依赖的厄米非线性导致了显著的预言 [8]，包括任意快的信号传递 [9,10]、闭合类时曲线 [11] 以及对经典NP完全问题的高效求解 [12]。实验已将这种非线性的无量纲强度限制在万亿分之一以下 [13,14]，支持了厄米非线性在自然界中不存在的信念。近年来，由有效非厄米哈密顿量 控制的经典和量子系统大量涌现 [15]。在线性模型中，它们的动力学不保持态范数，因为相应的时间演化算符 不是幺正的。在线性经典非厄米系统中（例如光子或机械增益-损耗平台），范数违反代表了与环境的交换，但底层运动方程仍然是线性的。在量子情况下， 源于对无量子跳跃轨迹 [16,17]、辅助量子比特态 [18] 或无光子损失探测 [19,20] 的后选择。在这里，系统不与环境发生交换。因此，后选择态 总是归一化的，并满足非线性薛定谔方程 [21]：(1)因此，在量子背景下，反厄米非线性 总是伴随非厄米哈密顿量 。类似的非线性考虑适用于后选择子空间中的密度矩阵。然而，在 下演化使纯态保持纯态，同时改变混合态的纯度，我们将重点关注前者。重要的是，非厄米性本身并不意味着非线性动力学：在固定非厄米哈密顿量下的演化是线性、非迹保持的映射。只有当态在后选择下被重整化时，非线性才出现。这些考虑促使我们对这类量子系统中的非线性特征进行系统性研究。基于零测量结果的条件非幺正量子演化此前已在超导相位量子比特中使用贝叶斯条件和部分坍缩测量的语言进行了研究 [22–24]。在这些工作中，隧穿事件的不存在连续更新条件态估计，产生非线性归一化演化。特别地，参考文献[22]报告称，即使其基态不发生变化，叠加态在这种条件下也可以非平凡地演化。相同的条件动力学可以等效地使用控制无跳跃子空间的有效非厄米哈密顿量来描述 [16,17]。近年来，这一框架使得在超导电路、离子阱和光子系统中对宇称-时间（ ）对称性破缺、例外点和拓扑非厄米动力学的实验研究成为可能 [16,18–20,25–27]。这些研究集中在有效非厄米生成元下的谱结构和模式演化。然而，关于后选择演化在态矢量层面保持线性的隐含假设尚未被直接检验。在这里，我们通过将制备的叠加态的演化与相同条件下独立演化的基态轨迹的相应叠加进行比较，研究了超导transmon在有效非厄米哈密顿量下线性性的破坏。对无跳跃轨迹的后选择将有效动力学隔离在激发的二能级子空间内，其中态依赖的重整化诱导非线性演化。利用量子态层析 [28–30]，我们量化了由此产生的对叠加原理的偏离，从而为受控超导平台中后选择诱导的非线性提供了操作性演示。II. 实验装置为了介绍我们如何利用超导电路实现有效非厄米演化，考虑transmon电路 [31] 的三个最低能级，我们将三个最低能量本征态标记为 。通过设计transmon与电磁环境的耗散耦合，我们实现了衰减率的层级：从 到 的衰减，由耗散子 描述，相对较慢（ ），而从 到 的衰减，由 给出，相对较快（ ）。qutrit密度矩阵 的演化由林布兰方程 [3,32] 控制：(2)为了进入非厄米动力学，我们考虑 衰减可忽略的区间， ，且量子跳跃到 态不发生 [图1(a)]。驱动哈密顿量 由振幅为 的驱动给出，该驱动与 跃迁失谐 。在这些近似下，系统的演化由有效非厄米哈密顿量描述。在 基的旋转坐标系中，哈密顿量由下式给出：(3)该有效哈密顿量捕捉了系统在无量子跳跃条件下的演化，并作为后选择二能级子空间的动力学生成元，如图1(b)所示。 与广泛研究的 -二聚体哈密顿量 [33,34] 密切相关，后者在两个态之间具有平衡的增益和损耗：(4)特别值得注意的是例外点（EP）简并，发生在 和 处，此时本征矢量重合。图1. 通过无量子跳跃后选择实现有效非厄米演化。(a) 三能级transmon流形，态为 。 态以速率 衰减到 ，而相干耦合 以失谐 混合 和 。(b) 非厄米动力学示意图。左：初始布居分布。中：时间演化过程中的相干耦合和衰减。右：后选择产生 子空间内的有效动力学。III. 实验实现与表征我们的实验平台利用两个超导transmon 和 ，通过可调耦合器 耦合，耗散qutrit在 的 流形中实现。高保真交换辅助读出结合 子空间中的旋转使得量子态层析成为可能（详见附录）。我们为该子空间定义泡利算符： 、 和 。在修正读出非保真度后，我们获得qutrit相关本征态的概率， 对 而言。为了隔离有效非厄米动力学，我们对无量子跳跃到 的轨迹进行后选择并重整化： 。由于后选择仅依赖于识别终止于 的轨迹，并且由于 的测量分配保真度接近1（见附录），校准不确定度内的适度变化对观测动力学产生可忽略的偏移。图2显示了通过量子态层析对系统动力学的表征。我们将 制备在初始态 ，并施加不同时长的微波驱动，然后进行层析。我们对不同的 值重复这些实验，保持 固定。图2(a)显示了修正后的概率 与时间和 的关系。对无跳跃演化的后选择得到重整化的子系综概率； 示于图2(b)中。 与时间和 的关系图揭示了两个具有不同动力学的清晰区域：对于大 ，动力学是振荡的；对于较小 ，振荡突然停止。这种转变对应于 -对称性破缺转变，其中 对应 -对称未破缺区域，而 对应 -对称破缺区域。 标记了EP简并。图2(c)和2(d)显示了在EP附近选定区域[面板(a)和(b)中的红线]的层析分量与时间的关系。在图2(d)中，虚线显示理论预测，不透明曲线显示实验数据。我们注意到对于 存在数据和理论之间的轻微偏差。我们将其归因于一个小的非零失谐 。图2. 后选择前后系统动力学的表征。(a) 与 和时间的关系。(b) 后选择后的归一化 。(c) 从流形中沿不同轴的层析投影的测量概率以及基态布居。(d) 面板(c)中的后选择数据。不透明曲线是实验数据，虚线是模拟。(e) 首次穿越时间（FPT）与 的关系（蓝色方块）与厄米演化的预期FPT（ ，红色虚线）和理论非厄米FPT（黑色虚线）的比较。图2(d)突出了有效非厄米哈密顿量下的动力学如何加速EP附近的量子动力学。这里，驱动强度为 。在厄米极限下，首次穿越时间（FPT）（或 -脉冲时间）将是 。相反，动力学显示在 内从 到 的振荡。这种加速动力学之所以发生，是因为耗散和驱动协同作用，使系统快速从 驱动到 [35]。这种加速动力学也可以在贝叶斯意义上理解 [24]：量子跳跃的缺失将条件态更新向 方向，因为占据 的轨迹更可能衰减到 并失败后选择。当这种条件更新增强相干驱动时，演化被加速。图2(e)进一步探索了不同驱动强度下的首次穿越时间；我们将其与厄米FPT（红色虚线）以及来自方程(1)中非线性薛定谔方程的FPT模拟（黑色虚线）进行比较。我们看到与非线性薛定谔方程动力学清晰一致，并与预期厄米FPT明显偏离。IV. 检验非厄米量子演化的线性性我们现在转向检验通过无量子跳跃后选择实现的非厄米演化是否保持量子演化的线性性。如引言中所概述，我们的检验将基于比较态的叠加的时间演化与各个态叠加的时间演化。如果后选择演化在态矢量层面是线性的，那么从制备叠加（例如 ）获得的时间演化态将等于独立演化的基态（例如 和 ）的相应叠加，前提是所有轨迹都经受相同的后选择标准。这两种过程的比较构成了我们线性性检验的基础。这种线性性概念适用于态矢量，但不适用于任意密度矩阵。特别地，纯叠加，如 表示为密度算符 ，不能写成投影算符 和 的线性组合。由于叠加原理定义在ket层面，对其在后选择演化下破坏的有意义检验必须在态矢量层面进行。为此，我们通过投影到主本征矢量，从重建的密度矩阵构造纯态代表。我们将在后面一节重新审视经典混合的特例，但首先我们的第一步是从测量的密度算符构造纯态ket。图3(a)显示了该过程；给定布洛赫球内的态 ，取 的本征矢量： 并选择具有最大本征值的本征矢量作为纯态投影。我们注意到这种主本征矢量投影本身是重建密度矩阵上的非线性映射。因此，我们将分析限制在测量的态保持接近纯态的时间窗口内（见附录图7），确保主本征值分离良好，投影态对小的重建误差具有鲁棒性。在图3(a)中，我们展示了布洛赫球内测量的轨迹，并将其与纯态在布洛赫球面上的投影进行比较。我们考虑从不同初始态出发的轨迹（红色）、（蓝色）和（绿色）。这三个态的不同动力学再次凸显了由生成的非酉演化；从出发的轨迹沿–经线从演化到，而从出发的轨迹几乎不偏离其初始态。

图3. 测试非厄米量子演化的线性。(a) 层析重建密度矩阵的纯态投影由其最大特征值（插图）对应的特征向量给出。主图显示了布洛赫球内的三条轨迹（透明红色、蓝色、绿色），这些轨迹随时间从不同初始态（分别为，）重建得到。纯态投影以实色显示。(b) 我们将从出发的轨迹（记为）与由和的叠加重建的轨迹（记为并以品红色显示）进行比较。(c) Fubini-Study度规启发的复重叠（OFS）随时间的变化，针对不同的和初始态，理论曲线以虚线显示。(d) 初始态的OFS随时间变化，理论曲线以虚线显示。(e) 后选择比率随时间变化，显示在奇异点以上的值呈现振荡，在奇异点以下的值呈现衰减，理论曲线以虚线显示。(f) 后选择比率的时间平均值。

为评估测量到的动力学是否保持线性，我们将从出发的轨迹（记为）与由叠加构建的轨迹进行比较。这里，是考虑和 非正交性的归一化因子。两条轨迹在图3(b)中比较；的轨迹以品红色显示。显然，。我们选择用Fubini-Study度规启发的复重叠（OFS）来量化与线性的偏差，作为时间的函数，由下式给出：

(5)

其中，是构建叠加的轨迹，是以态初始化的轨迹的纯态投影。我们期望当线性保持时，该值为1；从1的减小构成系统演化非线性的度量。图3(c)和3(d)分别显示了初始态和在不同值下的OFS时间演化。在两种情况下，较大的值产生OFS（与1的微小偏差源于态纯化过程中的不完美）。对于，两种情况均显示；非线性偏差在图3(d)中更为明显，其中初始态与奇异点处的唯一本征态正交：。我们注意到图3(d)中针对的两条理论曲线与实验的偏差大于其他曲线。我们将此归因于哈密顿量中已知的非零失谐[如图2(d)所述]，此外这些轨迹由于与EP处唯一本征态正交而处于不稳定点。

我们系统中线性的破坏源于量子态在非厄米演化下必须保持归一化的要求。非厄米哈密顿量本身产生非酉动力学，但这种演化保持线性。非线性之所以出现，是因为由生成的非范数保持演化导致不同初始态以不同速率在态中积累布居。这导致依赖轨迹的后选择成功概率和相应的依赖轨迹的重整化因子破坏了叠加原理。我们基于初始态的后选择成功概率（）定义重整化因子。图3(e)显示了比率对不同值的随时间变化。在未破缺区域（），该比率在1附近振荡，表明两条轨迹在损耗态中花费的时间相当，并受到相似的重整化。在破缺区域（），该比率衰减，反映了不对称的布居动力学。时间平均比率[图3(f)]随着远大于而趋近于1，此时轨迹变得越来越对称。这表明奇异点大致界定了在长时间尺度上主要为非线性行为和逐渐线性行为之间的边界。

在研究了量子态矢量叠加的线性量子演化破坏之后，我们现在转向一个特殊情况：经典混合的叠加。我们之前指出，叠加原理通常不扩展到密度算符。然而，它可以用经典混合（即无相干性）来表示。这种情况特别有趣，因为它允许我们同时研究后选择非厄米量子比特和由张成的耗散三能级系统中的线性。

如图4(a)所示，我们首先展示流形中布居的时间演化，简示为。我们考虑三个不同的初始态：（其中）、（其中），以及经典混合（其中）。该混合由和制备的等比例组成。布居的动力学是该流形中非厄米演化的特征，不对称振荡偏向于布居而非。下面板将初始混合的演化与和制备曲线的叠加进行比较。虽然曲线接近，但存在明显的不一致——经典混合的线性破坏。

图4. 经典混合的线性。(a) 我们展示了不同初始态，和随演化的后选择概率数据随时间的变化。(b) 我们将与经典叠加进行比较。曲线的不一致源于经典混合的线性破坏。(c) 我们在未后选择三态系统中展示相同初始制备的概率。(d) 将制备的演化与经典叠加进行比较，显示出极好的一致性，验证了三态耗散量子比特的线性。

图4(d)将该分析扩展到三态系统。在这里，我们保留迭代贝叶斯更新后的所有测量结果，和，它们可以排列为对角密度矩阵：

(6)

图4(b)显示了相同三种制备的和。下面板测试密度矩阵的叠加是否保持线性：确实如此。

**V. 展望**

我们的结果通过直接测试独立演化、独立重整化基态层面上的叠加原理，并表征跨越非厄米哈密顿量EP简并的由此产生的违反，扩展了先前关于后选择诱导非线性的观察。这种后选择量子演化中非线性的证明，代表了与Bender最初对称量子理论表述[36]（该理论试图通过修改内积来保持酉性）以及随后经典光学和力学系统中非厄米动力学实现的偏离。虽然经典动力学矩阵与量子哈密顿量之间的数学同构使得非厄米现象在多种平台上得到广泛探索，但通过无跳跃轨迹后选择的量子实现引入了一个新元素：与单个离散的条件化事件不同，这里的重整化被连续地反馈到相干驱动下的运动生成元中，尽管类似的动力学在理论上已被研究，但这些动力学是否是非线性的此前尚未被测试。这种非线性并非非厄米性本身的普遍结果，而是源于后选择量子动力学，其中态依赖的重整化在态矢量层面打破了线性。我们对非线性区域在何处变得显著的表征——特别是在奇异点附近但延伸到整个参数空间——阐明了获取这些动力学所固有的权衡。虽然非线性量子演化在理论上被预测为某些问题提供计算优势，但我们的结果强调这些益处是以降低的后选择成功率和概率性操作为代价的。未来在量子信息处理中探索受控非线性应用的工作必须平衡增强计算潜力的可能性与后选择开销所施加的实际限制。