用MOLeQuTE寻找超轻暗物质：一项大规模光学悬浮量子桌面实验

《Physical Review Research》：Searching for ultralight dark matter with MOLeQuTE: A massive optically levitated quantum tabletop experiment

　　许多理论上充分动机的超轻暗物质模型预计会对宏观物体产生微弱的振荡力。光学捕获传感器具有很高的力灵敏度，但在这一背景下相对尚未被探索。在本工作中，我们提出了一种可调谐的光学捕获传感器，专门设计用于探测这类力。我们的设计特点是一块高质量（～mg量级）的平板，其高纵横比使得其重量能够由垂直光束支撑而不会产生过度加热。我们首次对光学捕获系统中的量子噪声进行了系统分析和优化，并表明我们的装置有潜力利用现有的现成技术在标准量子极限下运行。我们证明，我们的传感器能够独特地进入矢量重子数减去轻子数暗物质的大片未知参数空间，其预期灵敏度在宽频率范围内可能将现有极限推进若干数量级。

I. 引言

确定暗物质（DM）的基本性质和特性——其被认为占宇宙能量预算的约25%——仍然是当代科学面临的最大开放挑战之一。在过去几十年中，实验关注主要指向所谓的“弱相互作用大质量粒子”（WIMPs）以及具有～GeV质量并与标准模型（SM）具有弱尺度耦合的相邻模型。尽管这些粒子受到了来自各种直接、间接和对撞机搜索的严格审查，但尚未获得此类粒子的确凿证据[1,2]。虽然在这一附近仍存在有待探索的有趣参数空间，但这些零结果促使人们更广泛地探索暗物质所开放的理论可能性[3]。特别是，量子传感技术近期的变革性进展打开了所谓超轻暗物质（ULDM）的窗口，它由亚eV质量粒子组成，与标准模型具有极其微弱的耦合[4,5]。这类场必然是玻色子性质的，并且为了饱和局域暗物质丰度，它们具有极高的相空间密度。因此，在与实验室和天体物理搜索相关的尺度上，它们表现为持续、相干振荡的经典波，这使它们具有截然不同的现象学特征，从而为比类粒子型暗物质候选者更重的粒子提供了不同的探测机会。而搜索类WIMP暗物质通常寻求由单个散射事件产生的冲量，直接探测超轻暗物质则需要不同的技术体系，旨在利用暗物质场的空间和时间相干性[3,5,6]。

许多高度动机化的暗物质候选者属于这一类，包括QCD轴子和其他赝标量类轴子粒子[7–21]，自旋-1矢量粒子如暗光子[22–37]，以及自旋-0标量粒子包括模场[38–41]、膨胀子[42,43]、希格斯门户暗物质[44]和弛豫子[45]。给定超轻暗物质模型的现象学特征及其探测机会最终取决于它与标准模型的耦合方式。不同的耦合在可见扇区产生不同的效应，从基本常数的表观变化到对宏观物体的振荡力矩和力。在本工作中，我们特别关注那些表现为对标准模型粒子施加振荡力的耦合，其频率由暗物质场的质量设定。这些耦合既出现在与核子有效耦合的标量暗物质模型中，也出现在规范U(1)对称性的自旋-1矢量玻色子中，该对称性守恒重子数减去轻子数（B-L）[46,47]。我们采用这些模型（将在第二节正式介绍）作为本研究的理论基准。

迄今为止，已经提出或构建了多种日益具有竞争力的探测方案来搜索超轻暗物质诱导的力，其中许多利用高灵敏度、低曝光量的量子传感器，它们在量子极限或接近量子极限下运行（例如，参见参考文献[48–58]以获取非穷尽性概述）。在这些方案中，机械传感器——本质上是谐振子——已显示出特别的前景，能够对作用在系统上接近其机械（共振）频率的振荡外力提供灵敏度。已经开发了各种机械谐振器，包括夹持式固态振荡器、膜和摆[59–63]。这些器件与光学场耦合以读出其位移和速度，从而可以推断出任何外力（例如来自超轻暗物质）。在这些系统中，作为摆悬挂的腔镜一直是基础物理研究的热门选择，其应用范围从寻找粒子到引力波天文学[52,64,65]。在一项概念验证研究中，参考文献[52]证明悬挂腔镜有潜力显著扩展现有实验对超轻暗物质诱导力的覆盖范围。尽管这些系统在高频（～kHz）下丧失了其自然机械频率的可调性（通过调整悬挂绳长度实现），但它们可以通过利用光学弹簧效应实现可调[61]。然而，光学弹簧效应的一个结果是，机械频率变得依赖于激光功率，从而失去了在任意共振频率下调节功率的自由度（例如，为了优化量子噪声）。在固定机械频率下调谐功率通常被认为是一种最小化量子噪声以达到“标准量子极限”（SQL）的手段，这理想情况下在“共振”时实现，即在机械频率处[61,66]。这促使寻找补充方案，其中（1）机械共振在宽频率范围内可调谐，且（2）功率可以独立变化以最小化共振时的固有量子噪声。虽然本工作提出的装置不完全满足这些标准，但它确实具有通过激光功率和到激光焦点的距离在数个数量级范围内调谐的机械共振。它还能在比悬挂腔镜等其他光学系统更接近机械共振的频率处达到标准量子极限[52,63]。虽然这种接近本身并不提高灵敏度（益处仅在精确共振时获得），但我们装置的设计原理可能对未来开发能够在共振时达到标准量子极限的可调谐机械谐振器至关重要。

机械悬挂或光学弹簧效应的替代方案是最近探索的将传感器“捕获”在由电磁场（以下简称“光学”）、电场或磁场或其组合产生的谐振势中[53,67–78]。在本工作中，我们特别关注光学捕获，因为其量子噪声的计算通常比后一种选择更成熟（例如，参见参考文献[71–73,77]以获取非穷尽性概述），这使得此类装置更适合系统研究。在悬浮光力学中，同时使用光学场进行捕获和读出的开创性工作由参考文献[72,79]完成。此类系统已被证明具有广泛的应用[80]，从展示宏观物体的基态冷却[81,82]到测试波函数坍缩模型[83]。它们也可以类比于悬挂装置用于力传感[77,78]。光学捕获系统在平动和转动自由度上提供了出色的控制，并在极高频率下保持可调性：力的频率可达～kHz，力矩的频率可达～MHz[80,84]。结合其较低的装置和运行成本，这些有前景的特性使这些系统成为力传感的有吸引力的选择。尽管如此，光学捕获实验的可能性空间在很大程度上仍未被探索，目前尚未尝试针对与超轻暗物质搜索相关的特定信号进行优化或目的性设计。

迄今为止，光学捕获系统的理论和实验研究绝大多数集中在尺寸为数十微米或更小的物体上[71,74,80]。光学悬浮纳米颗粒的程序现已成熟，可以实现最先进的噪声功率谱密度～10^-30 N2/Hz [80]。考虑到超轻暗物质诱导的作用力随传感器尺寸（或等效地质量）缩放，与悬浮纳米颗粒相比，它们从背景超轻暗物质场中受到的力相对较小，而与之竞争的机械传感器类别如悬挂系统则常规使用质量大得多的物体（～mg至～kg）。对于纳米颗粒，只要传感器的特征尺寸保持小于捕获光学场的波长（即所谓瑞利区），系统固有的量子噪声随传感器质量的缩放方式与暗物质诱导力相同。因此，改变传感器质量对实验覆盖范围没有益处，从根本上限制了这些系统在超轻暗物质探测方面的长期潜力和适用性。然而，如果能够光学捕获一个特征尺寸超过捕获波长（从而进入几何光学区）的更大物体，量子噪声随质量的缩放将变得不那么严重，从而推动更高的传感器质量为灵敏度带来显著增益。

几何光学区中高质量物体的悬浮带来了与瑞利散射纳米颗粒非常不同的考虑因素。虽然文献中对悬浮大质量有一些考虑（例如，参考文献[85,86]），但几乎没有或根本没有关注开发针对力传感优化的实验配置。在本工作中，我们直接解决这一空白，详细描述了一个光学捕获装置，其中传感器重量由垂直光束支撑，从而允许悬浮～mg量级及以上的质量。对于传统的低纵横比传感器，垂直光束吸收的光预期在mg尺度以上导致过度加热，最终熔化包括二氧化硅在内的大多数候选材料。这是因为悬浮所需的激光功率随传感器体积缩放，而黑体辐射的冷却功率随表面积缩放。为了克服这一限制并促进更重物体的悬浮，我们因此提出了一种具有平坦板状几何形状的传感器，其质量可以通过缩放横向尺寸任意增加，同时保持厚度不变。在这种高纵横比下，面积近似随质量缩放，允许显著更重的传感器在温度不增加的情况下被光学悬浮。在本工作中，因此我们研究了短期～10 mg传感器和中期～1 g尺度传感器的悬浮。通过对此类实验固有噪声的详细分析，我们优化了剩余的实验参数，以最大化与超轻暗物质搜索相关的高质量振荡外力的信噪比（SNR）。特别是，我们首次提出了对光学捕获系统相关量子噪声的一致优化。这一过程与腔噪声优化有显著不同，因为系统的机械频率和光学功率是相关的，因此不能独立变化。我们表明，光学捕获系统在偏离共振时在标准量子极限下运行比在共振但高于标准量子极限时表现更好。我们推导的标准量子极限噪声与非光学捕获传感器的偏离共振标准量子极限噪声相匹配，尽管潜在的噪声形式不同。利用这种优化的噪声，我们证明我们的装置有潜力提高现有实验对矢量B-L超轻暗物质的灵敏度，仅依赖现有技术和适度的资源。

本文组织如下。在第二节中，我们介绍将构成本研究理论目标的暗物质模型，以及它们对宏观测试质量所诱导的力谱。然后在第三节讨论提议的装置。在第四节A中，我们概述光机械系统固有的量子噪声，并首次详述如何针对光学捕获系统进行优化。然后我们在第四节B中评论相关的经典噪声，并讨论减轻其对实验灵敏度影响的方法。最后，在第五节中，我们提供对矢量B-L和标量超轻暗物质的灵敏度预测，并讨论近期和长期前景，以利用合理的资源充分利用我们的装置。

在本工作中，我们采用自然单位制，其中? = c = 1，除非给出数值结果或另有明确说明。我们通常使用f和ω分别表示频率和相应的角频率。从ULDM施加的力
在本节中，我们简要回顾ULDM的主要特征，并详细列举一些具体且动机良好的模型示例，这些模型与标准模型的耦合会对宏观测试质量产生额外的力。“超轻暗物质”一词通常指质量为\(m\)的玻色场，其被假定为构成局部暗物质丰度\(f\)的一部分。这些粒子的德布罗意波长为\(1/(m v)\)，其中\(v\)表示暗物质粒子的均方根速度。假设暗物质在局域星系中处于维里化状态，维里定理规定\(v\)约为\(10^{-3}\)（自然单位中）。给定局部暗物质丰度\(\rho_{\rm DM}\)（假设标准晕模型[87,88]），德布罗意体积\(V_{\rm dB}\)（即相空间占据数）中的粒子数为
\[
N = \rho_{\rm DM} \frac{(2\pi)^{3/2}}{(m v)^3} \sim 10^{35} \left(\frac{10^{-6} \text{ eV}}{m}\right)^3 \left(\frac{\rho_{\rm DM}}{0.4 \text{ GeV/cm}^3}\right),
\]
(1)
因此，对于亚eV质量的粒子，该数值极高。结果，量子涨落被抑制，暗物质可以视为一个持续的经典场，由不同平面波的叠加构成，这些平面波具有随机相位和遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布的速度\(v\)。为了保持冷性，ULDM必然非热产生；我们将在下面进一步评论与所研究模型相关的具体机制。

在每个德布罗意体积内，暗物质场以康普顿（角）频率\(\omega \simeq m\)相干振荡。由于有限的速度分布，每个体积中存在一个小的频率展宽\(\Delta \omega \sim m v^2\)。不同的德布罗意体积，它们描绘了由速度标准差\(v\)的场组成的独特相干空间区域，在相干时间\(\tau\)内保持时间相干性：
\[
\tau \sim \frac{2\pi}{\Delta \omega} \sim \frac{2\pi}{m v^2}.
\]
(2)
联系\(\tau\)和\(\omega\)的因子\(1/v^2\)定义了ULDM信号的品质因子\(Q\)。注意这与暗物质质量无关。构成ULDM场的不同\(v\)模式的相位干涉可以进一步导致总暗物质场幅度偏离由局部暗物质密度所暗示的值。因此，观测到的暗物质波幅度在相干时间之间变化，其值遵循瑞利分布，均值由局部暗物质密度给出[89]。这对排除界限统计显著性的影响通常通过一个\(f\)因子来捕捉，如参考文献[90–92]中所讨论。鉴于此，我们在这项工作中不考虑这种修正。我们还将忽略来自太阳绕银河系运动的暗物质速度偏差（暗物质“风”）以及由于地球自转和绕太阳运动引起的信号日变化和年变化。正如我们将看到的，我们的传感器展现出方向性力传感的潜力，考虑到这些效应，如果将来加以利用，可能提供进一步增强我们对ULDM敏感性的手段。最后，我们忽略局部暗物质过密/欠密的主导效应。所有这些效应的更仔细处理可以在参考文献[90–93]中找到。我们强调，包含这些效应预计不会显著改变我们的灵敏度预测，因此我们将更详细评估其潜在影响留给未来的工作。

ULDM可以在微观层面上以不同方式与标准模型耦合，从而对可见物质产生多种效应。在短于\(\tau\)的时间尺度上，这些效应具有典型的振荡性质，其（在线性耦合情况下）角频率为\(\omega\)，多普勒展宽线宽为\(\Delta \omega\)。在这项工作中，我们特别感兴趣的是那些表现为对宏观物体（即悬浮传感器）施加振荡力，从而驱动其质心（CoM）位置相对于某个参考（在我们的情况下，是形成陷阱的光学元件）产生位移的耦合。尽管有许多微观耦合可以产生这种行为，为了说明实验的能力，我们集中讨论几个具体例子。虽然我们的处理并非详尽无遗，但它有助于突出我们的设计作为探测振荡暗物质诱导力的潜力，为未来更全面的唯象研究铺平道路。

正如我们将看到的，虽然这些力与传感器的质量成比例，但前提是暗物质与质子、中子或电子的耦合方式不同（正如所关注模型的情况），所产生的力依赖于材料。如果直接探测力，这一性质至关重要；对于成分无关的力，传感器与位置参考之间将没有相对运动，因此只能测量力梯度。由于这一性质，具有不同质子-中子比的物体（在我们的情况下，是传感器和物理参考框架，如光学平台）在背景暗物质场存在时，将受到差分加速度，从而相对于彼此运动。这种成分依赖的力违反了弱等效原理，并受到扭秤实验[94]和MICROSCOPE[95,96]的约束，这些实验探测了这一点。

A. B-L耦合的ULDM
第一个例子是通过规范耦合直接与标准模型相互作用的矢量暗物质。在这种情况下，ULDM场对应于额外规范U(1)对称性的自旋1规范玻色子，它通过与守恒规范电流的耦合直接与标准模型费米子相互作用。在标准模型内，暗物质可以耦合而不会引入额外规范反常[97]的守恒电流数量有限——其中之一是重子数减轻子数（B-L），我们此后将重点关注它。文献中已经提出了多种矢量ULDM的非热产生机制。对于与我们提案最相关的质量范围，可行的机制包括错位[27,28]、宇宙弦网络衰变[99,100]或首先填充辅助扇区（通常是标量凝聚态），然后通过参数共振或快子不稳定性将能量转移到矢量玻色子[30–33,101]。对于超过\(10^{-5} \text{ eV}\)的质量，从暴胀涨落[29,102]的引力产生也是可能的。

将自旋1规范玻色子写为\(X_\mu\)，这种理论的拉格朗日密度包含相互作用项
\[
\mathcal{L} \supset g_{B-L} X_\mu J_{B-L}^\mu,
\]
(3)
其中\(g_{B-L}\)是耦合强度，此处\(J_{B-L}^\mu\)用来表示中子场。遵循与电磁学中洛伦兹力类似的推导，这种相互作用对宏观物体产生力。总的暗物质力取决于\(X_\mu\)的“电场”分量的表达式。完整表达式对包含不同暗物质速度的正弦波贡献求和，它们以\(v \cdot \hat{r}\)出现，其中\(v = \sum_i v_i\)，\(v_i\)具有各向同性分布的角度和麦克斯韦-玻尔兹曼分布的幅度。然而，在空间中的给定点，在短于相干时间\(\tau\)的时间尺度上，我们可以将背景暗物质场近似为单个（单色）正弦波。在傅里叶空间中，这对应于信号线宽\(\Delta \omega\)等于或小于实验频率分辨率（由测量总时间的倒数设定）的情况。也可以忽略力的空间依赖性，因为在感兴趣的康普顿频率下，暗物质场的波长大大超过典型实验室尺度（例如，传感器的尺寸）。假设\(X_\mu\)的偏振分布是各向同性的[92]，任何给定方向上的力大小可以写为
\[
F_{B-L}(t) = g_{B-L} N_{\rm B-L} \sqrt{2 \rho_{\rm DM}} \cos(m t + \phi),
\]
(4)
其中相位\(\phi\)在每个相干时间内是任意的。这里，\(N_{\rm B-L}\)指测试物体的B-L电荷，对于电荷中性材料，它对应于中子数\(N_n\)，其中\(N_n = M_{\rm obj} (1 - Z/A) / m_n\)，\(M_{\rm obj}\)和\(Z/A\)分别对应于测试物体的质量和质子-核子比，\(m_n\)是中子质量。

B. 标量ULDM
自旋0（标量）ULDM也可以对宏观物体产生振荡力。许多动机良好的暗物质候选者属于这一类，包括膨胀子、模数、希格斯门户暗物质和弛豫子。这种标量场通常通过维度5算子[42,103]耦合到标准模型费米子的质量和规范动力学算子（例如光子和胶子），并可以通过标准错位（如轴子）[5,15–17]或热错位[44,45,104]非热产生。鉴于实验在QCD尺度以下进行，质子和中子取代夸克和胶子成为此处合适的自由度。从低能实验推导的与质子或中子的耦合界限，可以使用参考文献[42,103]中的关系，直接转换为与夸克和胶子的基本耦合约束。

为了举例，我们关注由与中子耦合产生的力，但注意该讨论可以很容易地推广到与质子、电子或它们的组合的耦合，并将所得约束重新表述为任何所关注的特定模型。一个通用的标量场\(\phi\)与中子之间可以写出的最低阶无导数相互作用是
\[
\mathcal{L} \supset g_n \phi \bar{n} n,
\]
(5)
其中\(g_n\)是无量纲耦合常数。这种相互作用导致中子质量随时间呈现振荡。它还从相互作用势的梯度对测试物体产生力。假设暗物质速度分布是各向同性的，任何给定方向上的力大小为
\[
F_\phi(t) = g_n N_n \sqrt{2 \rho_{\rm DM}} v \cos(m t + \phi),
\]
(6)
其中我们再次假设暗物质是单色平面波。可以看出，这在结构上与B-L情况类似，尽管有一个速度抑制的有效耦合。我们注意到，如前所述，这种力关键依赖于材料，相关的加速度再次依赖于材料的中子-核子（或等效地，质子-核子）比。虽然我们将主要关注确定我们的装置对矢量B-L暗物质的灵敏度，但本节讨论的标量耦合的分析是相同的（除了一个暗物质维里速度的常数因子）。

III. 新型几何光学陷阱装置
A. 实验装置和力传感
所提出的实验包括一个大的中心质量——传感器——它通过沿这些轴方向的一对反向传播的椭圆高斯激光束（波长\(\lambda = 1064 \text{ nm}\)）在\(x\)和\(y\)方向上被光学捕获，如图1所示。每束光在垂直方向上通过一个高数值孔径（NA）柱面透镜聚焦，我们取为\(NA = 0.75\)。捕获光束从传感器反射，该传感器由覆盖有高反射率涂层的薄矩形熔融二氧化硅板组成。假定涂层是由二氧化硅和钽的连续层构成的布拉格反射镜，反射系数\(R = 0.999\)[86]，总宽度为\(50 \text{ nm}\)。传感器的净尺寸（包括基底和涂层）为\(3.5 \text{ mm} \times 3.5 \text{ mm} \times 30 \text{ \mu m}\)，对应总质量\(M = 1.1 \text{ mg}\)。这种薄器件可以通过从较大厚度（例如1 mm）的3.5 mm方形二氧化硅基底开始制造，每个表面抛光，用电子束蒸发或脉冲激光沉积在结构侧面和底部涂覆介电多层高反射率涂层，然后从上方将厚度抛光到所需的\(30 \text{ \mu m}\)厚度。注意传感器的顶面不需要涂层。

图1. 我们提出的用于探测来自暗物质（虚线）的力的装置的示意透视图，使用具有高反射率涂层的二氧化硅板（传感器）。传感器用（垂直）光束悬浮，其沿\(x\)和\(y\)的运动通过一对反向传播的椭圆激光器独立捕获，这些激光器用柱面透镜聚焦。图中显示了地震隔离系统的最后阶段（蓝灰色悬挂板），透镜刚性固定在其上。传感器的感知运动是相对于板的。未显示放置在装置周围以提取系统非反射光的光电探测器和/或窗口。每个表面到最近焦点的距离\(d_i\)（\(y\)方向虚线）围绕平均值\(d\)变化。传感器高度\(h\)也显示。传感器绕\(x\)轴的旋转方向（偏离此处所示方向）用\(\theta\)表示。

为了读取传感器（相对于光学元件）的位置，从涂层反射的光被用于聚焦入射光束的柱面透镜重新捕获。反射光束的光通过偏振分束器后接四分之一波片与入射光场分离。重新进入偏振分束器的反射光的偏振方向因此相对于入射光旋转了90°，从而使两束光分离。反射光随后可用于平衡零差测量方案，该方案在光机械传感装置中经常被采用（例如，参见文献[73,77]）。水平光束中未从传感器散射的光被位于传感器平面上方和下方的光电探测器捕获并移除。

捕获装置的光学部件刚性安装在一块用作光学平台的平板上。该平板构成了嵌套振荡器（悬挂板）系统的最后一级，旨在抑制外部环境地震振动引起的运动。我们的设计基于文献[64]中描述和使用的系统，该系统包含三个铜级，其中最后一级（“冷级”）降入低温环境中，用液氦冷却至K。为了进一步提高隔震性能并达到与当前最先进隔震系统相似的性能，我们计划增加一个额外的（第四）级。

最终级平板所用材料的选择对实验性能至关重要，我们现对此进行讨论。隔震系统的最终级是放置光学部件的地方，构成我们测量传感器位置并由此推断传感器所受力的参考系。正如我们在第二节中看到的，两种感兴趣的暗物质模型实际上都与中子耦合。只要传感器和支撑板由具有不同中子与核子比的材料组成，它们就会经历不同的加速度（7）式中，其中，分别表示适用于矢量B-L超轻暗物质和仅与中子耦合的标量超轻暗物质的相应值。在公式（7）中，我们使用了传感器主要由二氧化硅（Si）组成的事实，并用下标指代支撑板的材料。这种不同的加速度驱动传感器和支撑板之间的相对位移。由传感器位置（相对于平板）测量值推断出的传感器所受的力为，其中是传感器的质量。

鉴于二氧化硅的中子与质子比为1:1，为了最大化传感器和平板的相对位移，进而最大化对暗物质的灵敏度，最终级平板材料的质子与中子比应尽可能高（在实验约束范围内）。为此，我们选择钨-186作为最终级平板的材料。这种材料既易于获得，又适用于超高真空环境。通过这种选择，传感器和平板的质子与核子数之差为0.1。

B. 光学捕获力

在本工作中，我们专注于沿轴的传感力，因此主要关注传感器在该方向上的捕获和控制。捕获由沿方向传播的光束提供，这些光束为传感器产生一个谐振子势。为了说明这一点，我们首先定义光束焦点（沿方向的一条线）与传感器最近表面之间的平均距离为。距离对应于传感器的平衡位置，是一个可通过沿轴移动一个（或两个）透镜来调节的设计参数。我们将光束的瑞利范围，即从束腰到光斑尺寸增大倍数的距离，记为，在此提醒读者NA为数值孔径。在且的条件下，其中是传感器的高度，透镜化光束在任一表面的平均强度为，其中是焦点处的平均光束强度。注意，由于光束仅在一个方向上进行透镜化，强度与成正比。

鉴于传感器的尺寸超过激光波长，激光与传感器的相互作用可以用几何光学近似来描述。在这种条件下，传感器在其表面反射光，而不是表现得像电介质。因此，我们的传感器必然被捕获在激光束焦点之外，这与更常研究的被捕获在光束焦点处的介电纳米颗粒不同[71]。

假设传感器沿方向从其平衡位置发生小距离的位移，则光从传感器表面散射产生的净力为[105]（详见附录A）（8）式中，表示传感器垂直于方向的横截面积。这描述了关于平衡位置的谐振子，其振荡频率为（9）

对于固定的传感器几何形状，我们的系统具有高度可调性，并受益于激光强度和之间的简并性，即可以固定其中一个而调节另一个以获得不同的值，例如，为了优化特定暗物质搜索频率下的量子噪声。注意这类似于捕获纳米颗粒时调节激光功率和数值孔径的简并性[71]。

传感器的重量通过一束垂直光束来平衡，该光束同样为1064nm波长，向上照射到传感器的下表面。垂直光束在方向上散焦，并沿方向聚焦，使用柱面透镜，类似于用于在方向上捕获传感器的对向传播光束。来自该光束的光从涂层反射回下方的柱面透镜，并从那里被导出系统。这防止了光被真空室壁吸收而加热系统。大部分光可以循环利用以降低输入激光功率需求，而一小部分需要用光电探测器读出，以确保可以实现阻尼反馈回路，用于传感器在方向上的控制和稳定（关于阻尼要求，参见第四节）。

悬浮传感器的另一种选择是使用二氧化硅纤维绳悬挂它。尽管悬挂系统已被更广泛地研究[52,54,61,63,65,92]，并且可以简单实现，但我们发现如果在此应用，除非能保持在超低温度下，否则相关的热噪声将阻止达到量子噪声基底。这在第四节B中详细讨论。因此，我们将在本文的其余部分假设传感器是悬浮的。

假设垂直光束垂直入射且宽度（略）超过传感器的宽度，则粒子在垂直方向上的力（在几何光学近似的一阶）为[75]，其中表示垂直光束的功率。为了平衡平板的重量，我们要求，其中是地球上的重力加速度。虽然这个功率要求很高，但仍在现有激光器在此波长下的可用范围内。

此外，尽管悬浮光束的大部分功率预计会从反射涂层反射，但一部分将穿透涂层并被吸收。这会加热传感器，导致黑体辐射的发射，其中一部分随后将被低温容器壁吸收。基底通过吸收光而加热的问题已在文献[106]中研究过，该研究发现对于低纵横比的传感器，在传感器达到熔点之前存在一个可捕获的最大质量。这个上限的产生是因为基底的冷却（与传感器面积成正比）在增大质量时比吸收的增大（与体积成正比）效率更低，因此较重的传感器达到更高的平衡温度[107]。鉴于光学级二氧化硅的[108]，低纵横比传感器的最大质量为（见第四节B）。这种质量的粒子已在文献[85,86]中提出用于光学悬浮。因此，我们在本文的其余部分采用毫克的传感器质量作为短期基准。鉴于我们设计中更高的纵横比，这是一个保守的选择，导致平衡温度远低于熔点[109]。

未来，我们设想通过进一步增加纵横比来悬浮更重的物体。这将允许完全规避涂层和基底熔点所施加的传感器质量上限，方法是确保吸收和发射的功率与传感器质量成比例地相同。这是因为涂层的每一层的宽度小于波长，使得涂层表现为介电发射体，其黑体辐射与体积成正比。相比之下，基底从其表面发射黑体辐射。然而，对于足够高的纵横比，表面积近似与体积成正比。因此，通过增大传感器的和尺寸而不增加其高度，涂层体积和基底面积的增加将与吸收功率成比例，即与传感器体积（质量）成正比。这将允许悬浮任意重的质量而不熔化，前提是垂直光束的功率要求可以得到满足。然而，在实践中，我们可能会略微增加高度至，以便于传感器的制造和操作。尽管这可能会略微提高二氧化硅基底的平衡温度，但鉴于当时间的基底温度相对远离其熔点（真空中取为1360K[110]），这种增加不应构成问题。

为了获得足够的光功率来悬浮更重的物体，可以在传感器（充当反射镜）和置于其下方的反射镜之间形成腔体，以增强散射功率，受光学稳定性条件约束[85]。尽管对这一情景的仔细研究超出了本工作的范围，但我们估计悬浮所需的功率为，这在100W激光功率和腔功率增强因子下是可以实现的。类似的腔内功率已在基础物理实验中使用[111]。我们注意到这一功率要求也在我们的反射涂层的损伤/变形阈值之内，该阈值通常为[112]。鉴于此，我们设定了一个合理的长期目标，即悬浮一个质量为、尺寸为的传感器。

四、噪声

影响光机械系统的主要噪声大致可分为量子噪声和经典噪声。前者由光学光子散射在传感器上直接或间接引起。虽然这些噪声是系统固有的，但可以通过选择实验参数针对给定的实验和目标暗物质信号进行优化。同时，经典噪声与传感器由于与之接触的热浴存在而产生的运动有关，以及诸如地震噪声等外部噪声。这些噪声不是固有的，而是任何现实环境所固有的。它们的控制和抑制是达到量子噪声限制运行这一设计目标的关键。在本节其余部分，除非另有说明，我们针对0.2mg传感器指定噪声。

A. 量子噪声

量子噪声在光机械系统中由光场的振幅和相位的白噪声涨落（即光子）在传感器上散射引起。虽然增加光子数量（即激光功率）提高了重构传感器位置的精度，但增加的光子散射也由于不可避免的反冲而激发传感器的运动。由这些反冲引起的力功率谱密度记为，由下式给出（10）式中，是机械激发率（详见附录B），是传感器散射的总光功率，与单束激光的功率的关系为，是激光频率，是谐振子的零点运动。这种噪声被称为“反作用”噪声（以上标“ba”表示），有时也被称为“反冲加热”噪声。请注意，反作用力功率谱与频率无关，并且随所施加的激光功率线性变化。相比之下，由传感器位置估计产生的“散粒”或“不精确”噪声具有位置功率谱，其随激光功率成反比变化，依据公式(11)。这里，读出位置测量率与反冲率通过检测效率相关，使得。由于预计反射涂层散射的大多数光子会返回透镜并被读出，我们假设。注意，散粒噪声位置功率谱也与频率无关。尽管对应于实验上可观测的（位置）量，但将暗物质诱导的力与力噪声功率谱进行比较更为直观。这可以通过关系式从位置功率谱直接得到，其中是传感器的机械磁化率，是机械阻尼率，我们假设其远小于（即，参见下文及参考文献[113]的详细讨论）。总量子力噪声谱是散粒噪声和反作用噪声谱之和，我们在整个工作中假设它们的幅度和相位涨落是不相关的。研究表明，将这些（例如，通过使用“压缩”光）进行（反）相关可以显著降低总量子噪声[114-117]。我们将在未来的工作中探讨此类技术在我们装置中的潜在优势。散粒噪声和反作用噪声并非光学悬浮装置特有，而是任何通用光力学系统所固有的。相对于系统各自由度可实现的最小总量子噪声定义了SQL。已有若干工作通过相对于激光功率最小化量子噪声推导出SQL的表达式。它们表明，对于每个感兴趣的频率，当散粒噪声和反作用噪声相等时的激光功率达到SQL。这些处理的关键假设是系统的机械频率与激光功率无关，因此在优化过程中保持固定。如果机械频率本身可变，则可通过调节以匹配目标频率来实现灵敏度的进一步增强，从而“在共振点”达到SQL。我们此后将这种优化过程——目前是光力学系统中唯一有文献记载的优化噪声的系统策略——称为“两阶段”方法。虽然对于某些类型的光力学系统（例如，悬挂腔镜[52]，主要使用光场来读出镜子的位置和速度）是合适的，但两阶段处理不能一致地应用于光学悬浮装置，因为其机械频率如方程(9)所示依赖于激光功率。因此，这些参数不能独立变化，通常不能将最小化噪声和将系统调至共振视为独立过程。对于使用光学弹簧效应调谐机械频率的腔体也是如此[61]。文献中尚未有对此类行为系统量子噪声的系统优化。我们在此填补这一空白，对我们的系统进行一致的量子噪声优化，仔细考虑这些依赖关系。虽然我们的结论是针对我们系统的，但所概述的计算过程可应用于确定任何光学悬浮机械系统的最小量子噪声。在我们的三个可调参数和，中，只有两个可以独立变化，第三个则通过方程(9)固定。为了推导SQL的理论表达式，我们此后使用和，并注意到此选择是任意的[118]，对最终结果无影响。为了优化量子噪声，我们使用力谱而非位移谱。由于暗物质力谱与和无关，最小化总量子力噪声谱直接对应于最大化实验灵敏度（即信噪比）[119]。通过注意到(12)，其中我们使用了，总量子噪声力功率谱可根据和表示为(13)。SQL通过同时最小化此表达式相对于和得到。对于给定的感兴趣频率，相对于（现在固定）的最小噪声出现在(14)成立时。在得出此结果时，我们做了近似，此近似在我们系统的整个感兴趣频率范围内成立。相对于（固定）的最小量子噪声出现在(15)成立时，其中我们再次忽略了方程(12)中包含的项。取极限（适用于我们系统给定的可行范围），这两个条件都简化为(16)，从而定义了我们系统的SQL。此表达式可以重写为关于和激光功率的条件：(17)。鉴于对于我们的0.2 mg传感器，被限制为大于5（传感器高度），因此得出。此关系也适用于0.8 g传感器，其最小值因高度较大而增至20 μm。由此从方程(16)立即得出，对于两种传感器质量，最小量子噪声，即最大灵敏度，并非在共振时达到。这一结果可直观理解为：在我们系统的物理可行参数范围内，当在共振点时，反作用噪声始终主导散粒噪声。为了降低总量子噪声，应通过改变系统参数以减少反作用，进而提高散粒噪声，直至两者相等。系统的机械频率也因这一过程而降低；然而，这将使系统远离共振。SQL不在共振点发生并非光学悬浮装置所固有，而是我们系统参数物理限制的结果。如果能在共振点或非常接近共振点实现SQL，灵敏度将进一步增强。尽管如此，上述分析具体证明了在非共振点于SQL运行比在共振点但高于SQL运行更好。当方程(16)满足时，系统的总量子噪声为(18)。这给出。这对应于我们系统中每个目标频率可达到的最小量子噪声，并将在第五节中用于灵敏度预测。我们注意到，与两阶段方法一样，在SQL处总量子噪声中的反作用噪声和散粒噪声贡献相等。此外，我们发现方程(18)第二个等式给出的SQL处量子噪声值实际上与如果机械频率和功率可独立变化时预期的非共振SQL噪声匹配（即仅执行两阶段过程的第一步）[73,120]。这是因为，对于任何的选择，我们系统中的SQL发生在区域，其中对应于中共振特征的宽度，因此不影响噪声。我们的系统因此足够远离共振，以至于SQL噪声与无关。我们注意到方程(16)中陈述的SQL条件在和中留下简并性，使得对于每个目标频率，不存在唯一的机械频率（或值）可以达到SQL。尽管所有满足方程(16)的（考虑对的约束）选择都产生等效灵敏度，但它们在实现难易程度和实际考虑上有所不同。从方程(17)立即得出，最小化最小化达到SQL所需的水平光束功率。在捕获较大质量和较高频率时，最小化激光功率尤为重要，因为这些要求变得可观。回想，我们在本工作的其余部分近似（使得）。在这种情况下，每个沿轴方向的光束达到SQL的功率要求为。尽管对的限制意味着我们系统的最小噪声必然在非共振点发生，但如果能在共振点实现SQL，灵敏度将进一步提高。因此，理想的未来光力学传感器不仅应具有可调机械频率以进行共振频率扫描，而且关键地应能在每个共振频率达到SQL。让我们探索在我们系统中能多接近共振实现SQL。在方程(16)中设置得出，在SQL处，。我们的系统因此能够在比其它光力学装置（例如，利用光学弹簧效应的悬挂腔，通常[52,63]（参见参考文献[113]进一步讨论））更接近共振的每个频率实现SQL。这是我们有意选择小值的直接结果，使得小值成为可能。尽管降低传感器的纵横比（必然增加值以遵循）不会改变我们装置中方程(18)的SQL噪声值，但会改变达到SQL所需的值，导致系统进一步远离共振。虽然我们的系统仍处于“接近”共振不影响灵敏度的状态，但我们的设计仍是迈向开发完全可调系统的重要一步，该系统能够利用在共振或接近共振处运行于SQL所带来的额外灵敏度增强。如果我们能将降低到使得点，假设，我们的系统将开始看到这些益处。这将需要改进对光场的控制。这是因为，虽然原则上可以更小，但受到瑞利范围的约束，其不能小于光学波长，因为聚焦光束的宽度不能小于光学波长。我们注意到此约束也限制了悬浮纳米粒子的灵敏度，这些粒子在瑞利区域散射光（参见参考文献[71,113]）。如方程(18)所示，我们系统的最小量子噪声按比例缩放。这是因为在几何光学区域，散射功率与传感器朝向激光的横截面积成比例。如第二节所述，感兴趣的暗物质力随传感器质量线性增加，使得信号功率谱。因此，信噪比按比例缩放，这激励捕获更大质量。然而，这种有益的缩放并非适用于所有传感器质量。具体而言，如果传感器的特征长度尺度变得小于捕获光场的波长，则进入的散射截面（现在应在瑞利区域计算）更强烈地依赖于粒子尺寸，因为光与粒子的整个体积相互作用。对于纳米粒子（即具有），情况如此，这些粒子因其各种应用而历来受到关注（例如，参见参考文献[74,83,121-126]）。在这种情况下，散射功率和量子噪声[127]与质量成比例，与暗物质信号相同。因此，一旦达到几何光学区域，扩大传感器质量才证明对灵敏度有益。最后，我们注意到，垂直光束反射的传感器下表面需要既光滑又平坦。在不平整的表面部分反射会给反射光子赋予水平动量，导致镜子反冲，从而在传感方向产生反作用噪声。如果这些光子未被测量（即它们未进入探测器），它们就不贡献散粒噪声。假设表面角度的方差与激光干涉引力波天文台（LIGO）测试质量相似[108,128]，我们预期有9 mW的垂直功率泄漏到水平方向，这对应于额外的反作用力 (19)。这仍然低于 以上的 。B. 经典噪声在优化了量子噪声之后，我们现在转向经典噪声，以及确保它们在拟议实验中保持次主导所需的条件。我们考虑源于外部热浴（温度 ）、外部环境的地震运动以及通过吸收光学光子引起的材料加热等经典噪声。我们分别处理每种噪声，首先是从发射的黑体辐射和真空室中的残余气体产生的热噪声。对于每个热浴，我们可以根据涨落耗散定理将运动谱描述为布朗运动，该定理指出 (20) 其中 鉴于 。这里， 指所讨论热浴的具体阻尼率。在本节中，我们将首先获得 ，然后使用传感器质心运动的机械响应函数 将其转换为 ，除非另有说明。1. 黑体辐射系统可能会因吸收光学光子而发生显著加热。这预计主要发生在镀膜中（而非基底）。吸收功率由下式给出 (21) 其中 是镀膜沿光束轴的长度， 是镀膜的吸收系数[129–131]。作为布拉格反射镜，反射光量在镀膜中的每个Si/Ta界面处递减，因此大部分光仅穿透前几层。这降低了有效吸收长度 ，进而减少了总吸收。由于垂直光束的功率在 以上超过水平捕获光束的功率，这主导了 ，因此在 以下（即几乎整个感兴趣频率空间内）与频率无关。将此代入方程(21)，我们估计吸收功率为 mW。考虑到每层镀膜的厚度为 ，镀膜将作为电介质（即处于瑞利发射区）通过垂直于其表面发射黑体辐射来冷却，根据[132] (22) 其中 是镀膜外层的体积， 是镀膜层的极化率的虚部（假定在 内近似恒定）， 是镀膜温度。传感器的平衡温度是满足 。保守地假设黑体辐射仅由镀膜的最外层发射，并取从方程(21)计算得到的 值（其中吸收发生在整个镀膜上），我们得出 。我们注意到黑体辐射发生在所有方向，因此其中一部分不会被光学透镜收集，而是被低温箱的周围壁吸收。然而，由此产生的热量可以通过使用脉冲管制冷机的4 K闭循环液氦低温恒温器的冷却能力得到充分补偿（如在参考文献[54]中描述的低振动装置中所用），从而避免系统温度显著升高。黑体光子的发射将导致传感器反冲。诱导运动的功率谱可以使用涨落耗散定理[方程(20)]以类似热浴的方式获得，其阻尼率为[133] (23) 使用这个，我们得到 对于 。我们注意到二氧化硅基底也会吸收光，主要来自悬浮光束。然而，二氧化硅不仅具有超低吸收率（ ），而且还会在其表面反射一些1064 nm的激光[108]。对于0.2 mg传感器，在感兴趣的频率范围内，基底预计不会像镀膜那样加热。此外，对于 质量传感器，由于第三章中讨论的增大长径比，基底和镀膜的温度预计将保持与 mg质量传感器相似。2. 残余气体真空室中残余气体粒子与传感器侧面的碰撞构成了另一个热噪声源。我们期望大部分气体散射事件是漫射的，即出射角呈各向同性分布，而不是镜面的，即入射角等于出射角[134]。我们保守地取抛光表面的适应系数，即漫射散射事件的比例，为 [135]。鉴于传感器顶面和底面的表面积远大于侧面的面积，在 方向上气体力噪声的主要来源来自顶面和底面上的漫射气体散射。如果这些表面的气体碰撞100%为镜面，则由此产生的位移功率谱（将完全在 方向，即产生 ）将根据涨落耗散定理[方程(20)]得出，取传感器运动上的（镜面）阻尼率为克努森区理想气体的阻尼率[71,72] (24) 这里， ，其中 是（氮气）气体分子的质量， mbar对应于真空室中的残余气体压力， 是传感器顶/底面的面积（即 ）。我们假设气体温度为 ，这是传感器温度与其接触的液氦低温容器（ K）之间的合理中间值。在漫散射中，动量传递到表面是各向同性分布的，因此产生 方向的力噪声。为了获得 方向位移功率谱的估计值，我们可以将 乘以 的平方乘以 （各向同性动量传递中在 方向上的比例），即 。转换为 后，这产生 ，这低于所有感兴趣频率下系统的量子和地震噪声。3. 地震噪声另一个重要的噪声源是地震噪声。这直接耦合到实验室，因此也耦合到光学陷阱所在的平台上。这导致传感器相对于平台（参考系）的感知相对运动。地震噪声在低频尤为棘手，因为未缓解的地震噪声位移很大，并遵循幂律缩放 [136]。在我们的装置中，地震噪声通过使用四级地震阻尼系统来缓解，该系统支撑我们水平和垂直光束的光学元件（详见第三章），类似于参考文献[54]中使用的三级系统。该系统强烈抑制外部环境的地震噪声，特别是在 Hz以上的频率，其中悬浮板（即隔离系统的级）的共振（摆）模式假定位于该频段。在这些频率下，地震运动受到强烈的幂律抑制，推断的力功率谱缩放为 ，其中 表示总级数（即我们的装置为四级）。为了预测我们系统中的地震噪声力功率谱，我们将原始的（未缓解的）地震位移谱数据（在西北大学地面以上测量并拟合为 ）乘以隔离系统的传递函数 。假设 个几何防弹簧（GAS），每个具有阻尼率 ，我们可以使用以下拟合传递函数（基于参考文献[54]中的系统）： (25) 以产生 对于 mg在低频（ ），超过该频率后收敛到 。这可以通过在地下设施中进行实验进一步降低，那里原始地震噪声预计比地球表面低2–3个数量级（取决于位置）[136]。进一步的抗震噪声缓解也可以通过测量一对在暗物质力下具有不同电荷的传感器之间的差分测量来实现，如参考文献[52]所讨论。这将允许抑制共同地震模式。虽然系统仍会受到地震梯度噪声的影响，但对于传感器间距为 的情况，这仅代表 Hz处原始地震噪声的 。我们将更详细地讨论使用该技术的实用性及其对装置噪声谱的影响留待未来工作。4. 隔离系统热噪声地震隔离系统预计会从其与光学装置物理接触中引入热噪声。隔离系统末级的热位移噪声 ，可以使用平台机械响应函数通过涨落耗散定理获得。在本工作中，我们采用与参考文献[64]相同的机械响应函数，该函数包括耦合振动和质心运动，修正了我们板的不同质量（假定为1 kg）。我们注意到进入该响应函数的阻尼率与参考文献[63]中悬挂机构的相似，因此被认为是适当的基准。我们假设板的温度[137]为 ，即类似于残余气体温度。由于光学装置的耦合振动和质心运动，这导致 。与地震噪声一样，板的运动导致传感器在板的参考系中感知运动。为了将此感知运动转换为传感器上估计的 ，我们使用传感器的机械响应函数，这显著导致 。这样，我们得到 ，这在所有感兴趣频率范围内都低于组合量子和地震噪声。5. 牛顿噪声另一个非热噪声源是牛顿引力噪声。来自地震和人为源的感测方向上的时变牛顿力预计会同时加速地震隔离系统的末级和传感器。传感器上的力由传感器相对于隔离系统板的相对加速度推断。鉴于两者共置，如果它们是理想自由粒子，它们将经历相同的牛顿引力加速度。实际上，由于传感器和板都被束缚，由于它们机械响应函数的差异，预计会有微小的加速度差异。我们估计在感兴趣频率范围内机械响应函数的差异约为0.5%。假设作用在我们系统上的牛顿引力场与LIGO的相似[136]，则我们系统中感应的牛顿力噪声预计在整个感兴趣频率范围内低于地震和量子噪声。6. 镀膜振动到目前为止，我们已经处理了传感器质心的运动；然而，热浴也可以激发传感器的振动模式，使面向 激光器的表面变形。这导致传感器重构质心位置的噪声。基底和镀膜谐振子模式的机械响应函数可以如参考文献[138–140]中那样建模，其中显示它们与LIGO（其使用与我们的装置非常相似的镀膜和基底）获取的数据吻合良好。总振动噪声谱由下式给出 (26) 其中 是传感器的温度，求和遍及所有影响表面测量位置的振动模式。注意，由于镀膜的较高长径比，镀膜模式的贡献主导于基底模式的贡献。此外，由于 包含具有不同 （其中 是振动模式的约化质量）的模式，它只能转换为有效力噪声，我们定义为 [56]。这里， 代表质心响应函数（近似独立于 ）。量 通常独立于 ，因为我们处于 区域[85]。因此 ，导致有效的 。这与热浴的质心热力噪声 形成对比，后者由 给出，是谱平坦的。此外，值得注意的是，虽然我们考虑了热振动噪声，但由于暗物质场的波长远大于传感器尺寸，我们忽略了由暗物质引起的振动。我们注意到，由于光子反冲的角度，从平板在两个水平方向（\(x\) 和 \(y\)）上的弯曲和扭转振动模式散射的光学涨落也可能对反作用噪声有贡献。尽管在我们的0.2 mg传感器所关注的（相对较低的）频率范围内，考虑到这些振动通常具有较高的频率，这一贡献预计会被平均掉，但对于0.8 g传感器，其弯曲和扭转频率可能较低（见第四节D），因此可能需要阻尼这种运动。为了验证这一点，我们可以估计弯曲模式的频率，这些频率通常与传感器尺寸以及基底和涂层的弹性模量成比例缩放。尽管全面的模式分析超出了本文的范围，因为它可能随特定的反射涂层参数而变化，但对于\(m\)，我们预期0.2 mg传感器的最低频率模式大约在10 kHz左右，因此超出了本工作所针对的频率范围。

7. 频率和强度噪声
我们评论了光场中经典强度噪声和频率噪声的存在。这些噪声是反作用和散粒噪声的经典对应物，已在参考文献[85]中研究过，发现它们通常相对于量子噪声是次要的。因此，我们预期这些噪声在我们的系统中并不显著，但注意到如有必要，可以通过在光场的激光输入阶段（即真空腔外）使用反馈回路和腔体来进一步抑制它们[85]。

8. 悬挂噪声
最后，我们讨论选择悬浮我们的传感器而不是悬挂它（例如，用绳子悬挂）的原因。在没有额外主动冷却的情况下，我们假设绳子将处于温度\(T\)。假设绳子长度为\(l\)，悬挂系统的自然频率将低于暗物质搜索感兴趣的频率范围。这确保了绳子不会显著贡献传感器的弹簧常数（当并联加入时），因此其使用不会妨碍我们调节\(\omega\)的能力。然而，由于悬挂机构与传感器直接接触，它构成了一个额外的热浴，从而提供了额外的热噪声源。利用涨落-耗散定理，即\(S_{th} = 4k_B T \gamma / m\)，并假设阻尼率为\(\gamma\)，如在（高Q值）悬挂系统中测量的那样[63,64]，我们得到\(S_{th} \approx 4 \times 10^{-16} \text{ N}^2/\text{Hz}\)。这在大部分感兴趣的频率范围内支配了量子噪声。尽管悬挂原则上易于实现，但由于噪声谱随温度线性缩放，为了使悬挂噪声相对于其他噪声源（尤其是低频下）成为次要因素，需要大约10 mK的极低温度。虽然对使用悬挂装置的系统进行全面研究超出了本工作的范围，但我们强调达到这些温度可能需要额外的稀释制冷机冷却。还需要充分屏蔽悬挂系统免受传感器涂层发出的黑体辐射的影响，使用类似于悬浮情况的分析[见公式(22)]，预计在6 Hz时由于仅水平光束的光吸收（在没有垂直光束的情况下）会加热到34 K。鉴于传感器将与悬挂系统直接物理接触，我们因此认为将悬挂系统维持在\(T\)将是一个重大挑战。因此，悬浮传感器被证明对我们装置的性能有利，因为即使传感器温度更高\(T\)，悬浮光束的噪声在所有频率下预计已经相对于总量子噪声和地震噪声是次要的。

C. 讨论
在图2中，我们绘制了黑体辐射、残余气体和垂直光束反作用产生的\(S_F\)，以及地震噪声、地震隔离系统的热噪声、有效涂层振动噪声和优化的量子噪声（反作用和散粒噪声），如上所述，针对\(m\) mg传感器。为了突出我们决定悬浮而不是悬挂传感器背后的推理，我们绘制了假设绳子温度为\(T\)时悬挂可能产生的热噪声。我们强调，在每个感兴趣的频率下，\(\omega\)和\(N\)已被选择以优化该频率下的量子噪声。实际上，我们设置\(N\)然后使用公式(16)固定\(\omega\)。正如我们所见，这意味着我们必然处于\(N > \omega\)的区域。我们在绘制经典噪声时使用相同的\((\omega, N)\)值。这因此等同于在每个频率下取其极限\(N \gg \omega\)。该图应被解释为在给定的\(\omega\)下寻找暗物质信号时达到的局部噪声功率谱，而不是任何固定实验装置所达到的谱。

图2. 我们装置中\(m\) mg的经典和量子力噪声谱的比较。经典噪声谱对于所有捕获频率保持不变，而反作用（红色）和散粒噪声（浅蓝色）根据公式(18)绘制，即对任何给定的\(\omega\)局部正确。我们忽略了5 kHz以上由于捕获光束可能产生的额外加热效应，因为量子噪声在该区域占主导。涂层的振动噪声（深绿色）和黑体辐射（橙色）在所有频率下相对于量子噪声是次要的，而残余气体（深蓝色）在设计上在5 Hz以上是次要的。在此点以下，地震噪声（实线绿色）占主导，而垂直光束诱导的水平反冲噪声（淡紫色）在量子/地震转变处恰好与量子噪声几乎相同。为了比较，我们以虚线绿色显示了参考文献[54]中使用的三级地震隔离系统的地震噪声。我们最终表明，悬浮比悬挂传感器更可取，因为其噪声（虚线，假设典型阻尼率和绳子温度100 K）明显更大。详见第四节进一步讨论。

如图2所示，地震噪声在\(f\)以下支配量子噪声。为了比较，在图2中，我们展示了参考文献[54]中使用的三级地震隔离系统的性能，以激励我们增加第四级的决定。低频下地震噪声的主导地位激励了未来探索使用一对具有不同中子与核子比的传感器进行差分测量，以抑制共同地震模式，从而恢复部分参数空间。我们注意到，通过将残余气体压力设置为\(p\) mbar，热气体噪声在整个感兴趣的频率范围内是次要的。振动噪声[我们称之为“涂层振动（有效）”]在感兴趣的频率范围内也次于量子噪声。应该注意的是，在非常高的频率（\(f >\)）下，吸收加热将由\(x\)-方向光束（而不是垂直光束）的功率主导，因此传感器温度将在\(f\)时达到熔点，与其质量无关（因为缩放质量不会影响传感器温度，如第三节所讨论）。尽管传感器预计在1 kHz以上会加热到160 K以上，但我们未在图2中显示这一效应。这是因为来自黑体辐射、振动以及残余气体和地震隔离系统额外加热的噪声增加不会影响我们装置的灵敏度，因为量子噪声在1 kHz时比其他噪声高出多达十个数量级。因此，在固定传感器质量的情况下，高于\(f\)的频率下的压力和温度要求相对于接近5 Hz的要求实际上有所放宽。

与0.2 mg传感器相比，使用0.8 g传感器时可能需要一些额外的考虑来抑制经典噪声。量子噪声和垂直光束诱导的水平反作用都随传感器质量线性缩放。鉴于我们传感器几何形状的高纵横比意味着\(A\)在缩放质量时，残余气体噪声也将随\(m\)线性缩放。因此，残余气体和垂直光束噪声变得比量子噪声占主导的频率将与\(m\) mg的情况相同（见图2）。相比之下，来自地震隔离系统的热噪声（下一个次要噪声源）随\(M\)缩放，其中\(M\)是地震隔离系统最终级板的质量，我们假设该质量可能会增加以适应更大的传感器。该板可以进一步增加厚度以增加其质量，从而使地震隔离系统的热噪声（近似）保持不变。然而，这不会改善随\(1/\omega^2\)缩放且与板质量无关的地震\(S_F\)噪声。如果使用第二个光学传感器（在同一地震隔离板上）进行差分测量，则可以实现地震噪声的抑制，从而实现共模抑制。进一步的抑制也可以通过使用五级地震隔离系统实现，其详细研究我们留给未来的工作。如果我们假设这些变化中的任何一个（或其组合）显著抵消了0.8 g质量传感器所感知到的噪声增加，那么增加的气体和垂直光束反作用噪声将在低频范围内支配所有噪声，对于\(m\)传感器，这对应于\(f\) Hz。因此，在该区域，将残余气体压力降低到至少\(p\) mbar将产生进一步的灵敏度增益。为了实现更低的气体压力，可能需要增加冷却资源（例如，达到\(T\)），以及对传感器黑体辐射效应的有效屏蔽/冷却。同时，降低垂直光束的反作用需要更先进的传感器制造和抛光技术，以生产更平坦的表面（即，表面角度方差小至\(10^{-3}\)倍）。对这些实际问题的更深入研究留给未来的工作。

最后，我们注意到，对于较大质量，悬挂也不是改善传感器制造的可行的替代方案，因为相关的热噪声也随质量线性缩放。因此，无论传感器质量如何，悬挂仅当绳子温度能够降至\(T\)时才有用。尽管屏蔽可能有助于通过隔离气体加热和/或黑体辐射来降低悬挂温度，但它仍与传感器不可避免地物理接触，传感器的温度预计在5 Hz时为34 K，并由于水平光束的吸收而随频率进一步增加，从而使所需的绳子温度难以实现。

D. 阱稳定性与传感器控制
尽管本工作仅限于感应\(z\)方向的力，但其他方向上的过度平移或旋转运动可能导致读出问题，包括光偏离透镜并因此偏离光电探测器。这会降低检测效率\(\eta\)，进而增加感知到的散粒噪声。此外，逃逸的光子将被低温真空腔壁吸收，有可能使液氦冷却功率过载，增加系统温度并引入额外的热噪声（例如，来自残余气体或黑体辐射）。另外，如果沿这些自由度的运动导致\(z\)方向的光子反冲，也将产生额外的反作用力噪声。这对于绕\(z\)轴的旋转（即\(xy\)方向）尤其相关，其中垂直光束的光子反冲将导致沿\(xy\)轴的平移力。为了避免这种情况，并额外防止传感器运动产生任何潜在的不稳定性（即非线性），必须控制这些自由度。这是通过使用恢复光学力约束（捕获）每个自由度以形成谐振子势来实现的。

首先，使用柱面透镜将垂直光束聚焦在\(x\)方向。这防止了光子获得\(x\)方向的动量，从而避免沿该轴吸收光子的反冲。这种透镜效应还允许通过创建角谐振荡器势来控制绕[坐标轴]的旋转运动[即在[方向]上的角运动]。假设一个[参数]，这两个角陷阱的机械频率均为[公式]，其中[公式]，零点角[公式]由[公式]定义，其中[公式]是转动惯量。有关角捕获的更多细节，请参见附录C。[方向]上的运动会在[方向]上产生额外的反作用噪声。为了防止该噪声超过式(19)中由垂直光束引起的粗糙度诱导反作用噪声（该噪声在低频时已超过量子噪声），我们必须确保角[公式]的标准差不超过镜面粗糙度角的标准差，该值取为[108,128]。此外，我们还必须确保绕[轴]和[轴]旋转（即在[方向]和[方向]上）的标准差[其中[公式]]保持较小，使得[公式]。高于此值，水平光束将照射传感器的底面和顶面，产生扭矩，从而使传感器失稳[141]。接下来，如果沿[轴]的运动导致传感器不再被水平光束照射，且假设[公式]，则如果沿[方向]的垂直运动具有标准差[公式]，传感器将沿[方向]逃逸陷阱。因此，我们必须设定[公式]。我们首先写出 (27)其中[公式]是角声子数[142]，[公式]在此处定义为机械温度。利用式(27)，第一个条件（[公式]）对应于[公式]和[公式]，而第二个条件导致对[公式]和[公式]的更高限制。最后，第三个条件导致对[公式]和[公式]的限制，这些限制也远高于气体温度。鉴于这些上限远高于周围热浴的预期温度（约100 K）和光场的有效温度（取为[公式]，遵循参考文献[71,72]），后者通常构成光机械系统中任何机械自由度[公式]的温度上限（如果不存在除光场光子浴之外的大量阻尼源）。然而，如果机械温度显著高于气体温度，气体将被加热。为避免这种情况，需要对每个旋转方向施加反馈阻尼环路，以阻尼其各自运动，从而控制其机械温度。为了使这些自由度的机械温度与残余气体温度[公式]相匹配，我们需要[公式]。所需的阻尼率可使用稳态关系[72]找到，其中总阻尼率由反馈阻尼主导，即[公式]。在超高真空条件下，可能需要对所有平动、转动和弯曲自由度施加进一步阻尼，例如使用有源反馈环路，以防止传感器逃逸陷阱。这对于我们尚未约束的自由度尤为重要，即沿[轴]的运动和沿[方向]的旋转。这种运动通常由散射光子激发声子引起，但也可由吸收圆偏振光（用于读出）诱导，这可能导致传感器受到扭矩。与[方向]旋转的情况类似，所需的阻尼可以使用单独的、基于测量的线性反馈冷却环路，或利用用于悬浮和捕获传感器的光场进行参数反馈冷却来实现。线性反馈冷却可以使用单独的、较弱的光场，甚至静电场进行驱动[120,143,144]。为获得所需阻尼率，每个自由度的机械阻尼率（保守地）受到约束，使得运动频谱的非线性相对于阻尼率保持较小。在[公式]数值因子范围内，我们可以将此约束写为[52,113,145] (28)其中[公式]是捕获势中出现非线性的距离/角度尺度（例如，沿[轴]运动时为[公式]）。在[方向]上，这对应于[公式]时的阻尼率[公式]。该条件也保证了传感器无法逃逸陷阱。利用[公式]，式(28)中的条件给出了机械温度的上限（详见附录C）。应用于[方向]时，得到 (29)对于我们要使用的最低[公式]值，该上限低于周围浴的温度（残余气体在[公式]时），这同样需要使用有源反馈阻尼来实现。此分析可以重复用于绕[轴]的旋转（[方向]上的运动），以产生与[方向]类似的对[公式]和[公式]的限制。然而，对于其余自由度，即[公式]，机械温度的上限通常较高（假设NA[公式]），这是由于这些方向上运动自由度的增加。这允许我们将[公式]固定为比[公式]大得多的值，从而放宽式(28)和(29)中的约束。对于沿[公式]的运动，可以通过增加捕获功率和降低NA来获得更大的[公式]。假设[公式]导致[公式]的界限[来自式(29)]超过残余气体温度，即反馈阻尼必须大于式(28)中给出的最小[公式]以避免加热气体。尽管式(29)对[方向]运动的限制相对宽松，但可以从传感器不得移出光束以及散射光需要被透镜收集以便光电探测器读出这一事实推导出对这些自由度的更强约束。假设透镜宽度为[公式]，只要传感器在[方向]上的平动标准差满足[公式]，即可实现这一点。使用式(27)中给出的标准差[公式]的定义，该约束可写为 (30)其中[公式]。式(30)可以进一步改写为式(29)的形式，即作为频率相关的温度界限，从中可以获得阻尼率[公式]的下限并在我们的装置上实施。尽管传感器的所有自由度必须同时满足式(29)和(30)，考虑到[公式]在感兴趣的机械频率范围内为[公式]，式(30)对该自由度更为严格。相反，对于角方向[公式]和沿[公式]的运动，鉴于其[公式]值更受限制，式(29)更具约束力，因此用于评估我们系统的最大机械温度和阻尼需求。我们还注意到，式(29)和(30)不如上述针对沿[轴]运动和角方向[公式]的约束严格。尽管对每个自由度所需[公式]值的仔细确定留待未来工作，但我们的估计明确表明，实现陷阱稳定性、维持接近[公式]的光子读出效率以及防止额外反作用噪声所需的阻尼率，使用当前阻尼技术即可轻松实现。尽管本研究未利用，但沿[轴]的平动和绕[轴]的旋转会导致散射光场的可观察变化，因此也可用于力或扭矩传感。利用这些自由度可以进一步提高我们装置对暗物质诱导力和暗物质诱导扭矩的探测能力，尽管这需要与本部分提供的分析不同的分析。我们将其留给未来的工作，仅强调我们的传感器在探测更广泛的玻色子暗物质耦合方面的多功能用途。最后，尽管控制了所有自由度的机械温度，我们仍预期由于传感器运动的随机波动（超过[公式]）或表面粗糙度的变化，会导致少量激光功率损失。后者预计将主导光学损失，并且部分散射场预计会逃逸到真空室中并加热真空室壁。因此，需要冷却以维持残余气体、传感器和相关装置的温度。我们估计，对于我们的0.2 mg传感器，这种额外冷却需求（超出从300 K外部环境泄漏的热量）为[公式]，这完全在脉冲管液氦低温恒温器（如其他低振动装置中所使用的[54]）的[公式]容量范围内。此外，对于0.8 g传感器，由于悬浮光束和捕获光束在1 kHz以上的功率需求增加，损失将增加到最高[公式]。为了避免在这种情况下超出我们低温系统的冷却能力，需要进一步注意将水平散射光引导出系统，可能通过额外的屏蔽和/或传感器附近的光电探测器。我们将在后续工作中进一步讨论这些要点（针对我们的0.2 mg和0.8 g传感器），届时将提供实验装置的更具体细节（另见参考文献[113]）。V. 结果接下来，我们展示对第II节中引入的暗物质模型的预期排除界限。为了评估我们的系统对频率为[公式]的暗物质信号的灵敏度，我们采用信噪比（SNR），定义为 (31)作为我们的品质因数，将更完整的似然分析留待未来工作。此处，[公式]和[公式]分别表示暗物质诱导力和背景噪声的功率谱（作为角频率的函数），[公式]定义了功率谱积分的角频率区间。我们在下面讨论该区间的最佳位置和宽度。虽然我们在式(31)中将功率谱近似为角频率的连续函数，但实际上它们的值是以宽度为[公式]（实验的频率分辨率）的统计独立区间给出的，其中积分时间[公式]是在固定实验参数[公式]下对传感器位置进行测量的总连续时间。我们强调，[公式]不应与在SQL处扫描频率范围所需的总时间混淆。信号和噪声功率谱的积分对应于区间值乘以区间宽度的[公式]极限。因此，[公式]必须至少为[公式]。我们现在依次讨论进入式(31)的信号和噪声功率谱。信号功率谱[公式]形式上定义为传感器上推断的暗物质力[公式]（由第III节讨论的其相对于支撑板的位置测量导出）的自相关函数的傅里叶变换，归一化为[146] (32)对于所考虑的准单色超轻暗物质力，[公式]由一个以[公式]为中心、宽度为[公式]的显著尖峰组成，该尖峰源自暗物质在星系晕中的麦克斯韦速度分布。大部分暗物质信号包含在此区间内，因此我们简化假设[公式]在其他地方为零。为确保SNR捕获整个信号，必须设定[公式]。在我们的SNR中，我们包括[公式]的量子贡献和经典贡献，将第IV节中讨论的各种[公式]求和。为了最小化量子噪声，[公式]和[公式]应调整为满足式(16)在[公式]处的SQL条件。形式上，[公式]是来自水平光束的总量子噪声（第IV.A节中的[公式]）和来自垂直光束的（在[方向]上的）额外反作用之和，后者与[公式]无关。重要的是要记住，实现SQL是与频率相关的表述。设置好[公式]以在频率[公式]处优化量子噪声后，其他频率[公式]处的量子噪声则高于SQL。实际上，进入SNR的量子噪声谱在[公式]时是平坦的，在[公式]时按[公式]缩放。然而，对于足够小的[公式]，将在此区间内的量子噪声近似为平坦值是合理的，其值为[公式]，这是式(18)中定义的最小水平量子噪声与垂直光束恒定贡献的总和。SQL频率依赖性的另一个含义是，对于每个感兴趣的频率，理想情况下应重新进行实验，并在每种情况下调节参数以满足式(16)。目前，我们将专注于评估对频率为\[信号]的信号的灵敏度（假设系统已调节到在该频率达到SQL），之后再讨论一种现实策略，以便适时优化探测一系列频率。为了在给定频率下最大化信噪比，我们必须明智地选择用于比较信号和噪声的频率区间\[Δω]，以及决定实验频率分辨率的\[δω]。如果\[δω?ω]，信号完全包含在一个实验频率仓内。这对应于时域中的\[τ?T]情形。在这种情况下，选择\[Δω≈δω]是最优的：增大\[Δω]只会增加式(31)的分母而不会增加分子。在此情形下，信噪比按\[1/δω]缩放。现在考虑\[δω?ω]的情形，即\[T?τ]时信号跨越\[ω/δω]个频率仓。每个单独仓内计算的信噪比相同，但现在我们有\[ω/δω]个独立测量结果。各仓信噪比的平方可正交相加，得到总有效信噪比，相对于单个仓的结果获得\[√(ω/δω)]倍的改善。此情形下的有效信噪比按\[√(1/δω)]缩放（参见文献[147]）。因此，当\[δω?ω]时，通过进一步增加积分时间所获得的相对灵敏度增益比\[δω?ω]时更为有限。

正如我们所看到的，量子噪声只能针对单一信号频率进行优化。为了在广泛的\[ω]值范围内搜索暗物质，理想情况下应在每个频率调节\[β,γ,λ]以达到SQL，每次重新实验的持续时间为\[T]。鉴于\[ω]是连续量，这不符合物理实际。实际上，感兴趣的暗物质频率范围被划分为\[n]个宽度为\[Δω]的区间，其下端点在频率\[ω_j]处，其中\[j=1,2,…,n]。实验进行\[n]次，每次使用不同的\[β,γ,λ]以满足频率\[ω_j]处的SQL条件[148]。为了保持\[n]可控，同时确保区间\[Δω_j]内每个\[ω]处的量子噪声偏离其SQL值[式(18)]不超过\[√2]因子，我们选择\[Δω_j]使得\[Δω_j/ω_j≈0.1]。这使覆盖频率范围\[ω∈[5Hz,10^6Hz]]所需的相干积分周期总数保持在20个。低于此频率范围时，将系统调节到SQL没有益处，因为地震噪声（与\[β,γ,λ]和\[ω]均无关）变得主导。这种\[Δω]的选择足够小，使得每个\[Δω_j]区间内的量子噪声近似平坦，其值为\[S^{SQL} (ω_j)]。本质上，这意味着对于每个目标频率，信噪比可如上评估，但需进行替换\[Δω→Δω_j]，\[δω→δω_j]和\[T→T_j]，其中\[δω_j≡1/T_j]，\[ω_j\]是\[ω∈Δω_j]区间内的目标频率，\[T_j]是该频率下的积分时间。为在固定总扫描时间（即包括所有\[n]次迭代）内最大化可覆盖的参数空间，我们将每次运行的积分时间设为与\[ω_j\]处的暗物质相干时间成比例，例如\[T_j≈T_0(ω_j/ω_0)^{-1/2}]，其中\[T_0]为频率无关常数。基于此选择，频率为\[ω]的暗物质信号的信噪比可近似为：

\[SNR≈\frac{κ_ξ^2}{κ_δ^2}\frac{1}{S_0^{1/2}}\frac{1}{Δω_j^{1/2}}\frac{1}{T_j^{1/2}}[1+(ω/ω_j)^2]^{-1/2} \] （34）

其中\[κ_ξ^2/κ_δ^2]如前所述为\[κ_p/κ_δ]或\[κ_n/κ_δ]，因子0.1对应二氧化硅传感器与钨-186支撑板的质子与核子比之差。假设\[S_0]中所有噪声贡献在积分区域\[Δω_j]内近似平坦（给定\[δω_j?Δω_j]），其中量子噪声取SQL值\[S^{SQL}(ω_j)]（与感兴趣的\[ω]无关），经典噪声在\[ω_j]处评估。

在我们的灵敏度预测中，对于0.2 mg传感器取\[T_0=10^5s]，对应\[ω_j=2π×10^3rad/s]时\[T_j≈10^5s\]（约\[1\]个月）。按我们的选择\[Δω_j/ω_j≈0.1]，扫描整个感兴趣频率范围所需的资源约为\[nT_0≈20×10^5s≈2.3个月]。对于0.8 g传感器，我们假设有更充足的资源，并展示\[T_0=4×10^5s]的结果。注意，由于不同\[Δω_j]区间中\[SNR]的结果来自独立的实验运行，我们的每个区间结果不依赖于其他运行是否执行。鉴于实际时间限制，可能更可取的是仅执行这些运行的一部分（即覆盖总扫描区间的一部分），优先选择那些能提供最大参数空间访问能力的区间。因此，这里呈现的结果可作为在此积分时间下哪些区间可能最富成效的指南。

为便于与现有约束及采用此惯例的竞争性提案[49,56,147,149]进行直接比较，我们将预测覆盖范围定义为\[SNR≥1]的参数空间。在我们的装置中，在SNR=1时可检测到的最小\[κ_ξ^2]值为：

\[κ_ξ^2|_{\min}≈\frac{1}{\sqrt{SNR}}\left(\frac{S_0^{1/2}}{S^{SQL}}\right)^{1/2}\left(\frac{Δω_j}{T_j}\right)^{1/2} \] （35）

此缩放随暗物质质量变化对于0.2 mg质量传感器在\[ω_j≥2π×5rad/s]时成立，但对于0.8 g质量传感器仅在\[ω_j≥2π×20rad/s]时成立，因为低于此点时地震噪声占主导。

在图3中，我们展示了在\[T_0=10^5s\]（绿色）和\[T_0=4×10^5s\]（橙色线）下对\[κ_ξ^2\]的预测灵敏度，假设采用上述积分时间。

图3：对\[κ_ξ^2\]的预测灵敏度，针对质量为\[m=0.2mg\]（绿色线）和\[m=0.8g\]（橙色）的传感器，两者均采用四级地震隔离系统。实线表示假设每个\[x\]方向激光器的最大激光功率为\[P=10kW\]时的覆盖范围，使得对于0.8 g传感器，系统仅调节到SQL直至\[ω≤2π×10^4rad/s\]。虚线表示若在每个频率都有足够功率达到SQL时的覆盖范围。对于0.2 mg传感器，SQL扫描在\[n=20\]个频率仓中执行，起始频率\[ω_1=2π×5rad/s\]。对于0.8 g传感器，我们改为假设\[n=10\]个频率仓和\[ω_1=2π×20rad/s\]。为与当前实验比较，我们展示了LIGO界限，以及来自MICROSCOPE（紫色）和E?t-Wash（蓝色）的第五力搜索界限。有关这些界限的进一步讨论，见第五节。

对于0.2 mg质量，假设SQL扫描在20个频率仓中执行，其宽度根据上述标准设定，第一个仓的下端点\[ω_1\]为5 Hz。对于0.8 g质量，我们取\[ω_1=20Hz\]，因为地震噪声在此频率以下占主导，使量子噪声优化变得多余。如预期，在低频时灵敏度受地震噪声限制，导致预测排除界限快速上升。未来，其中一些不可访问的参数空间可通过将实验放置在地下（地震噪声通常更低）或利用两种不同材料传感器之间的差分测量来恢复，但如第四节所讨论，还需要改进传感器制造和降低残余气体压力才能达到量子极限。如果没有这些压力和制造方面的改进，该区域总噪声将恒定，界限在\[ω_1\]以下随\[ω^2\]变化（对于0.2 mg传感器），因为由于\[T_0\]固定，较低暗物质质量对应的积分时间更长。

作为比较，我们展示了E?t-Wash扭秤实验[94]和MICROSCOPE卫星[95]对这类耦合的现有界限，两者均搜索违反弱等效原理的第五力。对于后者，我们按照文献[92]的分析陈述90%置信水平的界限，该分析考虑了文献[96,150]报告的最终实验结果。为纠正界限推导中使用的错误转换因子，我们将文献[92]的结果乘以5/4。我们还展示了来自LIGO的界限[152–154]。我们的0.2 mg传感器设计在\[ω∈[2π×5,2π×10^3]rad/s\]范围内优于现有实验，在\[ω≈2π×10^2rad/s\]处最多改善约半个数量级。我们注意到，像MICROSCOPE和E?t-Wash这样的实验在暗物质介导力的康普顿波长大约大于地球半径时达到峰值灵敏度。低于此点，其界限平坦，而我们的预测灵敏度在降低暗物质质量时按\[ω^2\]改善，直到\[ω_1\]以下受地震噪声限制。这种\[ω^2\]缩放是因为最优量子噪声（进入式(34)）按\[ω\]缩放，而\[Δω_j/T_j∝ω^2\]。

对于0.8 g传感器，由于传感器质量增加（因为\[S_0∝m^{-1}\]，而\[S^{SQL}∝m^{-1/2}\]使得\[S_0/S^{SQL}∝m^{-1/2}\]），灵敏度提高了\[√(0.8/0.2)=2\]。每个频率的积分时间增加（因子4）提供了额外的\[√4=2\]改善。此设计使我们能够在整个区域\[ω∈[2π×20,2π×10^6]rad/s\]内超越当前界限，最多改善约2个数量级。虽然原则上0.8 g传感器的灵敏度可无限按\[ω^2\]缩放，但在\[ω≈2π×10^4rad/s\]以上，\[x\]方向光束的功率需求达到当前可用（连续波）1064 nm激光器的极限。这与0.2 mg传感器形成对比，后者在优于现有实验的频率范围内，\[x\]方向激光器的总功率需求为\[2P=10kW\]。为了对我们的0.8 g传感器装置进行基准评估，我们假设拥有两台\[P=10kW\]激光器，这通常用于工业应用。这将使我们能够调节系统达到SQL直至\[ω≈2π×10^4rad/s\]。在此频率以上（即\[ω>2π×10^4rad/s\]），功率不足以满足SQL条件[式(17)]。为了在\[ω>2π×10^4rad/s\]频率范围内搜索暗物质信号，我们必须使用量子噪声在\[ω_j=2π×10^4rad/s\]处优化的实验运行，记住对于高于此频率的目标频率，量子噪声按\[(ω/ω_j)^{3/2}\]缩放，并超过其SQL值。由于此截止，假设SQL扫描的频率仓宽度按上述设置，所需总仓数为10。进一步注意，由于我们将每个实验运行的\[T_j\]固定为\[ω_j\]处暗物质相干时间的固定倍数\[T_0\]，当在此频率以上搜索暗物质信号时，由于\[T_j\]固定但\[Δω_j\]随\[ω_j\]增加，我们有\[Δω_j/T_j∝ω_j\]。因此，我们的预测排除界限在\[ω>2π×10^4rad/s\]以上按\[ω^2\]缩放。然而，假设未来可获得更大的激光功率，我们以虚线展示预测灵敏度，这将在系统能够调节到每个频率达到SQL时实现。假设特定可用激光功率，预测灵敏度按\[ω^2\]缩放直到可用功率不再允许我们调节噪声至SQL[根据式(17)]，超过此点灵敏度按\[ω^{3/2}\]变化。作为示例，如果能够实现\[P=100kW\]，我们可以继续在SQL下运行实验直至\[ω≈2π×10^5rad/s\]，使预测界限沿虚线达到此点。我们还注意到，使用更高的光学频率可能进一步改善我们未来的覆盖范围，因为达到SQL的功率需求在式(17)中按\[1/ν^2\]缩放。然而，关于使用更高激光频率对可用大功率激光器、涂层和基底材料选择以及读出和冷却系统的影响的讨论，均留待未来工作。

鉴于我们假设的激光功率资源，图3显示我们0.8 g传感器的预测灵敏度将优于文献[52,56,92]中讨论的光腔灵敏度，并与POLONAISE等拟议的磁悬浮传感器的初步长期预测[50]相当。然而，我们注意到，POLONAISE的长期预测仅覆盖暗物质质量高达\[m≈10^{-19}GeV/c^2\]，而我们的0.8 g传感器设计可改善当前界限直至\[m≈10^{-22}GeV/c^2\]。通过在\[ω≥2π×5rad/s\]频率下搜索，我们的暗物质力搜索也与未来的长基线原子干涉仪（假设它们能部署不同同位素[48,155]）和未来扭秤实验互补。特别是，我们装置在质量为...时的灵敏度可达范围，与诸如MAGIS-100（见参考文献[155]）这类超长基线原子干涉仪的初步预测相当，这些干涉仪使用两种不同的原子种类，同时也与扭秤实验的未来预测相当[156]。为了突出我们设计的创新性，我们将我们的灵敏度与光学悬浮纳米颗粒进行比较，后者比其更重的光学捕获对应物更为常见。为了进行比较，我们考虑一个（近）球形二氧化硅纳米颗粒，直径200 nm，质量...，如参考文献[72,123]中所使用的，这接近利用介电性质在光学焦点处捕获纳米颗粒的最大尺寸（更大的颗粒将不再纯粹处于瑞利散射区域，其预期行为更接近几何光学区域）。我们发现，我们的0.2 mg和0.8 g传感器的预计灵敏度分别比该参考纳米颗粒好...倍和...倍。这种行为可以解释如下。参考纳米颗粒预期能达到...，而我们的0.2 mg质量能达到...。如第四节A所讨论，一旦传感器足够大，开始以几何光学区域散射光，信噪比预期按...缩放，相比之下，处于瑞利区域的小传感器在缩放质量时信噪比保持不变。因此，我们灵敏度的提高完全符合几何光学区域中质量缩放——小质量缩放10个数量级，大质量缩放13个数量级。因此，尽管我们提出了一种利用相对较少探索的几何光学区域的捕获方法，并使用了比典型悬浮纳米颗粒高13个数量级的质量，但我们表明我们对暗物质的灵敏度仍然受益于质量缩放...超过13个数量级，这证明了光机械传感器在如此大的质量范围内的行为具有显著的可预测性。

转向光机械传感器质量的另一端，我们现在将我们的灵敏度与像LIGO这样的大型装置（来自参考文献[152-154]）的灵敏度进行比较。尽管LIGO在频率...处（非共振）以标准量子极限运行，其反射镜每个重达...，这naively会导致对暗物质的灵敏度提高...倍，但即使我们的传感器质量较小（0.2 mg），我们的灵敏度可达范围仍与该频率下LIGO的灵敏度相当。此外，通过调整我们装置的参数以在每个频率处达到标准量子极限（与LIGO不同），我们能够在100 Hz以下改善LIGO的界限，使得在接近5 Hz处，我们能达到的耦合强度比LIGO的最低暗物质耦合灵敏度可达范围高出一个数量级。这是因为LIGO的可观测量是在干涉测量序列结束时对每臂中光相位的差分测量。这取决于其反射镜的相对位置，如参考文献[152]首次所示。这样的测量仅对暗物质诱导力的梯度敏感，该梯度比力本身小...倍，其中...表示LIGO臂的长度。暗物质力在光在臂中单次往返期间的振荡也可导致相对相位，如参考文献[157]所示。在这种情况下，LIGO对往返时间内臂中暗物质振荡量敏感，该量被...抑制。这几乎完全抵消了LIGO由于其较大质量所带来的优势，并强调了在光机械实验中针对特定设计的重要性，如MOLeQuTE，其可以用更少的资源实现更高的灵敏度。

请注意，为了匹配针对此模型的实验提案，我们的灵敏度预测假设矢量玻色子构成局部暗物质密度的100%。如果它只构成一个分数...，则式(34)中的...因子应替换为...。其影响是将最小可检测耦合...增加...倍。这样，我们的预测可以简单地重新缩放，以评估B-L矢量玻色子仅构成暗区一部分的情景。

在讨论了我们对...的预计灵敏度之后，我们现在直接推断我们的装置对如第二节所述的与中子耦合的标量暗物质的灵敏度。回想一下，式(4)和(6)中B-L力和标量暗物质力的表达式在识别...下是相同的，式(35)中给出的...的最小可观测值可以简单地通过因子...重新缩放，以得到对...的灵敏度。然而，这种重新缩放不适用于MICROSCOPE和E?t-Wash的界限，因为它们对...和...给出相同的值，因为它们不搜索暗物质，而是寻找第五力暗介质子，该介质子不经历速度抑制[158]。我们将这些现有的对...的限制与我们的设计的预计灵敏度在图4中进行比较。如图所示，我们发现无论是0.2 mg还是0.8 g传感器，在所述积分时间内都无法对质量-耦合参数空间区域敏感。

图4. 对我们的装置对...的预计灵敏度，对于... mg（绿线），和...（橙线），两者均采用四级隔震系统。实线表示假设每个...方向激光器的最大激光功率为... kW时的可达范围，使得对于0.8 g传感器，系统仅被调谐到在...以下达到标准量子极限。虚线表示如果足够的功率可用以在每个频率处达到标准量子极限时的可达范围。对于0.2 mg传感器，标准量子极限扫描在... = 20个bin中进行，从频率...开始。对于0.8 g传感器，我们改为假设... = 10个bin和...。我们还显示了“单次”搜索的预计灵敏度，其中总测量时间专用于单次运行，系统在75 Hz处调谐到标准量子极限。这允许达到参数空间，如插图中所强调。为了与当前实验进行比较，我们展示了来自MICROSCOPE（紫色）和E?t-Wash（蓝色）的第五力搜索界限。关于这些界限的进一步讨论，见第五节。

注意到我们的预测形状与现有界限的关系，与其花费时间优化已经被现有搜索严格限制的频率处的量子噪声，不如将资源集中在那些最接近达到未知参数空间的频率上。图4中的红线显示了通过执行单次运行（“单次”搜索）可能达到的灵敏度，系统被调谐到在75 Hz处达到标准量子极限，并且积分时间增加到3.5年。为了与标准量子极限扫描型搜索进行比较，我们注意到这相当于以系统被调谐到标准量子极限的频率（即75 Hz）振荡的暗物质信号相干时间的9000倍。结果，75 Hz处的灵敏度相对于橙线提高了2.5倍，刚好进入现象学领域，如图4的插图中强调。注意，由于系统仅在75 Hz处处于标准量子极限，该改进因子仅适用于该频率。在75 Hz以下，灵敏度曲线变得不如标准量子极限扫描所达到的那样陡峭，随着暗物质质量按...缩放，因为系统在标准量子极限之上。由于如第四节所讨论，对于低于标准量子极限频率的频率，系统的总量子噪声保持恒定，这种缩放来自于较小质量下信号相干时间的增加[其通过...进入信噪比]。注意，本工作中呈现的预测可以通过使用...传感器的阵列大幅提高，假设它们没有被制备成纠缠态，这将使灵敏度提高...倍，从而减少达到参数空间所需的积分时间要求。

六、结论

几种动机良好的矢量和标量超轻暗物质模型被预测会对标准模型粒子产生微弱的振荡力。在本工作中，我们提出了一种由高质量光学捕获传感器组成的光机械装置，专门设计用于检测这些力。我们设计的基础由信噪比的系统分析提供，我们采用其作为我们的性能指标。我们证明，对于超轻暗物质力传感，最好悬浮较大的物体，其激光相互作用落在几何光学区域，而不是更常规部署在光学捕获系统中的瑞利散射纳米颗粒。虽然与捕获纳米颗粒相关的量子噪声在传感器质量上与暗物质信号相同缩放，但这种一致性在进入几何光学区域后打破，使得增加传感器质量导致信噪比改善，前提是经典噪声保持可控。

我们进一步首次提供了对光学捕获系统固有的量子噪声关于实验自由度的正式、一致的优化，仔细考虑了捕获机械频率与读出功率之间的关系。这一细节在以前的处理中被忽略，在瑞利和几何光学区域都很重要。将这一分析应用于我们的系统，我们发现对于每个目标频率，在实验可行的参数值范围内，可实现的最小量子噪声出现在非共振处。基于这些发现，我们提出了一种可行的装置，涉及一个质量为0.2 mg的大型光学捕获传感器，其重量由垂直光束支撑。通过考虑相关的经典噪声源，我们表明，仅依靠适度的资源和现成技术，我们的实验能够在标准量子噪声限制区域运行，直至...的频率，超过该频率地震噪声变得占主导地位，除非应用额外技术（例如，涉及两个不同成分传感器的差分测量）进一步抑制这种噪声。

短期内，该实验对矢量B-L耦合超轻暗物质的预计灵敏度超过第五力测试和LIGO搜索，对于暗物质质量在...范围内，最多高半个数量级。未来可以通过将传感器质量扩大到...（前提是能获得所需的捕获功率）以及延长我们适度的积分时间来实现可达范围的进一步改善。这不仅打开了更小B-L耦合的窗口，而且增加了我们实验优于现有搜索的暗物质质量范围。我们的0.8 g质量设计也能够达到标量超轻暗物质与中子（或质子）数耦合的未探索参数空间，前提是资源集中在单次运行中，调谐到在75 Hz处达到标准量子极限。

这些有希望的预测超过了悬挂光学腔的理论研究[52,92]所呈现的结果，后者使用类似的传感器质量，常被用作光机械暗物质检测的基准，以及基于光学悬浮纳米颗粒预测噪声的预计灵敏度[77]。它们也与拟议的磁悬浮探测器[51,55]的预测相当或超过，包括参考文献[50]中POLONAISE的长期预计灵敏度。鉴于此类系统通常涉及更高质量传感器的悬浮，这一结果很大程度上是我们的实验能够利用现有技术达到量子噪声底限的能力的结果。

有几种方向可以改善我们提出的装置的性能。可以通过利用光学压缩光实现更低的噪声，例如LIGO所使用的[116]，或者使用相同捕获传感器的阵列。后者可以通过纠缠其状态进一步改善，使得灵敏度随传感器数量线性提高[159]。此外，所提出的实验设计具有几个在本工作中未被利用的特征，更详细的处理留给未来的研究。这些包括利用装置的方向性同时监测粒子在...和...方向的位置的可能性，从而在正检测的情况下打开看到暗物质风的可能性。同时，在同频率下同时探测两个方向的力，也会增加暗物质（DM）信号出现的统计概率，从而使本研究所呈现的预期灵敏度提高一定倍数。或者，为了将暗物质频率的扫描速率提升一倍，我们可以将每个方向调谐至探测不同频率的力。我们还将该系统绕垂直轴的力矩传感能力留待未来工作，这可能为探测更多种类的超轻暗物质（ULDM）耦合提供途径，例如赝标量暗物质与自旋的耦合。

对于超轻暗物质力传感而言，首要任务是一个完全可调谐的系统，能够利用在共振条件下获得标准量子极限（SQL）时所产生的灵敏度增强。然而，由于瑞利范围的限制，我们的系统最终无法实现这一目标，但它确实在比先前提出的设计方案更接近共振的位置达到了标准量子极限。因此，这项研究不仅在优化用于力传感的光机械系统方面迈出了关键一步，而且希望本工作所进行的分析和得出的结论，能够为未来最有前景的实验方向提供具体见解。