近可积动力学的广义Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon层级

《Physical Review X》：Generalized Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon Hierarchy for Near-Integrable Dynamics

　　我们研究兼具可积接触相互作用与一般长程两体势的量子与经典多体哈密顿系统。从时刻 \(t\) 状态的一个拟设出发，我们称之为“关联流体胞系综”，我们证明在宏观时间和长度尺度上，局域可观测量的动力学可以改写为一个广义的Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon（BBGKY）层级，该层级用底层可积模型的准粒子密度及其关联来表述。我们推导出这个层级，并将这些预测与微观分子动力学模拟进行验证，发现完全一致。在晚期，单粒子分布通过一个玻尔兹曼型散射积分弛豫，该积分编码了可积接触过程与长程碰撞之间的相互作用，而高阶关联在热化时间尺度上仍强烈非热，表明存在一种不完全或广义热化。聚焦于长程偶极量子气体，其中相关矩阵元可以显式求得，我们证明我们的碰撞积分精确约化为费米黄金规则结果，并对Tang等人[Phys. Rev. X 8, 021030 (2018)]的实验观测提供了完整的理论解释。更广泛地说，我们的框架将BBGKY纲领推广到具有强局域相互作用的区域，并适用于从一维偶极冷原子气体到Lennard-Jones分子流体等一大类实验相关系统。

一、引言

非平衡多体物理的研究不断揭示出由复杂相互作用产生的日益精细的现象。经典混沌、湍流和活性动力学理论仍然是活跃的研究领域，而近年来，量子多体系统也进入了非平衡领域[1–4]。在低空间维度中，可积模型——以稳定准粒子为特征——构成了一类关键的动力学系统。这些准粒子支配着输运性质、纠缠传播[5–7]、异常scrambling[8,9]、延长相干时间[10–12]以及奇异流体动力学行为[13–26]。典型的相互作用可积系统例子包括具有两体接触相互作用的玻色子、自旋或费米子，如Lieb-Liniger气体[27,28]和Fermi-Hubbard链[29]。这自然引出问题：当哈密顿量包含额外的长程相互作用时，准粒子和整体动力学如何演化？可积性破坏引起了相当大的兴趣[30–55]，这源于一些实验[56–59]报告了准一维系统中异常缓慢的热化，这一挑战在分子动力学、等离子体物理和天体物理学中同样存在[60–76]。

对于未受扰动的可积极限为自由的系统，已经取得了显著进展——此类系统中局域算符的矩阵元通常是已知的，从而可以通过费米黄金规则采用玻尔兹曼散射方法。然而，对于真正相互作用的可积模型，矩阵元不仅依赖于状态，也依赖于模型本身，现有方法仅能准确捕捉晚期行为，而往往具有主要实验兴趣的短时动力学在很大程度上尚未被探索。

尽管在特定情境下取得了进展[47,48,77]，但仍然缺乏一个通用框架来计算任何受弱两体或更高阶势微扰的可积模型的动力学。发展这样一个框架在理论上是有价值的，并且与冷原子实验[58]直接相关，因为在这些实验中粒子间势的精确形式可能是不确定的。

在动理学理论文献中，Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon（BBGKY）层级是一个经典工具[78–83]，通常应用于具有弱或长程相互作用的自由粒子（如等离子体和天体物理系统），并在两点或三点关联处截断以描述热化和耗散。然而，到目前为止，BBGKY框架尚未在未受扰动的哈密顿量是具有明确准粒子的相互作用可积模型的情况下实现。

在这里，我们推导了BBGKY层级的一个推广，适用于未受扰动（经典或量子）理论具有任意强可积接触相互作用的系统在宏观时间和尺度上的演化。具体而言，我们考虑一个半径为\(r_0\)的硬核排斥，再加上一个长程场\(V_\text{lr}\)，从而得到两体势（见图1）

\[
V(r) = V_\text{lr}(r) + V_\text{hc}(r) \tag{1}
\]

其中\(V_\text{lr}(r)\)（\(V_\text{lr}(r)\)）描述在尺度\(R\)上作用的排斥（吸引）长程相互作用。关键的是，我们假设长度尺度严格分离。我们要求微扰的作用范围\(R\)远大于表征未扰动可积模型状态的典型微观关联长度。

图1.（a）标准BBGKY和（b）广义gBBGKY对两点函数演化的示意图；两个插图分别显示（c）自由粒子的长程势和（d）相互作用可积情形中长程与短程相互作用的组合。在（a）中，从动量分布中抽取的两个粒子通过\(V_\text{lr}\)散射，并在时间尺度\(t_\text{pre}\)上变得关联。这是“预热化”阶段，其中关联建立但未发生广泛混合；然后它们再次散射并产生三点关联\(C^{(3)}\)，后者控制时间尺度\(t_\text{th}\)上的“热化”阶段。在（b）中，对于均匀系统中的可积局域相互作用，两点关联由大尺度相互作用\(V_\text{lr}\)产生，而三点函数则由一个不同且更快的机制产生。粒子传播并通过局域相互作用（显示为红圈）散射，为两点函数提供有效的扩散浴，并导致一点和两点函数在时间尺度\(t_\text{th}\)上热化，即广义热化。

值得注意的例子包括原子偶极系统[23,58,84–93]，其玻色场\(\hat{\psi}\)的哈密顿量可以写为

\[
H = \int dx \left[ \frac{1}{2m} |\partial_x \hat{\psi}|^2 + \frac{g}{2} \hat{\psi}^\dagger \hat{\psi}^\dagger \hat{\psi}\hat{\psi} \right] + \frac{1}{2} \int dx dy \, V_\text{lr}(x-y) \hat{n}(x) \hat{n}(y) \tag{2}
\]

其中局域接触相互作用再次加上一个长程分量。我们的方法为经典和量子机制中的一大类近可积动力学提供了完全预测性的理论，涵盖玻色子、费米子和自旋链模型。特别是，它统一了预热化和完全热化动力学的描述。

二、背景与结果总结

在本工作中，我们聚焦于以稳定准粒子激发为特征的一大类可积系统。与自由系统类似，这些激发提供了局域性质的完整描述。特别地，一个一般的热力学状态由“准粒子动量分布”或单粒子（准）动量分布指定，记为\(n(\lambda)\)，其中我们使用\(\lambda\)作为准粒子动量\(\theta\)的一般参数化。在未受扰动的含时演化下，\(n(\lambda)\)的空间积分是守恒的。

这类系统在经典和量子物理中均会出现[20,94–103]，通常在一维中，其中在某些情况下散射过程可分解。一般微扰，例如不同一维通道之间的耦合或长程相互作用的加入，会破坏可积性。在这种情况下，准粒子变得不稳定，大多数分布\(n(\lambda)\)不再静止。在弱可积性破坏下，通常只有热分布保持静止，正如玻尔兹曼首先认识到的那样。

从一般非平衡准粒子分布向热态的演化是预热化和动理学理论的主题。这些框架的应用范围从高能碰撞和等离子体物理，到最近超冷原子系统中的量子多体动力学[56,58,104–109]。一种常见的方法是通过由费米黄金规则导出的碰撞积分来模拟这种演化[30,47,48,110]；微扰引起准粒子态之间的跃迁，其速率由相应的矩阵元或经典截面决定。然而，这种近似忽略了动力学上建立的关联，并且相关矩阵元的计算通常很困难。BBGKY层级提供了一个更全面的框架，因为它允许追踪到任意阶的关联。它也使得在不需明确知道所有跃迁振幅的情况下系统推导碰撞积分成为可能，并且超越了玻尔兹曼方法中固有的晚期近似[111,112]。

具体来说，我们考虑一个连续体中的粒子模型；对晶格系统的扩展是直接的，哈密顿量无论是量子还是经典的，为

\[
H = H_\text{int} + \int dx \, V_\text{lr}(x) \hat{n}(x) \tag{3}
\]

其中\(\hat{n}(x)\)是局域粒子密度算符，\(H_\text{int}\)是一个包含标准动能项以及可积相互作用\(V_\text{int}\)的可积哈密顿量。例如，在Lieb-Liniger模型中，如式(2)所示，可积相互作用为\(g \hat{\psi}^\dagger \hat{\psi}^\dagger \hat{\psi}\hat{\psi}\)，其中\(g=0\)和\(g=\infty\)分别对应自由玻色子和硬核玻色子，后者等效于自由费米子。我们记\(g\)为可积相互作用的强度。在极限\(g\to0\)时，可积势消失，模型退化为自由粒子传播，

\[
H_\text{free} = \int dx \, \frac{1}{2m} |\partial_x \hat{\psi}|^2 \tag{4}
\]

其中\(\hat{n}(x)\)为局域动量密度。可积哈密顿量\(H_\text{int}\)拥有一族广泛的守恒荷\(Q_i\)，其中\([H_\text{int}, Q_i]=0\)。广义BBGKY（gBBGKY）理论描述了这些密度及其连通关联的期望值的含时演化。

为了在有限宏观时间\(t\)描述系统，我们引入如下拟设。状态由“关联流体胞系综”给出，它可以表述为密度矩阵或相空间密度；精确定义见式(14)。这个状态可以视为一个广义吉布斯系综（GGE）的嵌入，\(\rho_\text{GGE} \propto \exp(-\sum_i \beta_i Q_i)\)，由一组与局域守恒量\(Q_i\)相关联的广义温度\(\beta_i\)确定。关联流体胞系综还额外包含更高秩的拉格朗日参数，这些参数编码了系统中长程关联的信息。当这些高阶项非零时，状态不再是独立局域静止GGE胞的简单乘积。相反，它是一组关联的流体胞，如图2所示。

图2. 关联流体胞系综的示意图。大小为\(l\)的流体胞可以通过外部势\(V_\text{lr}\)或系统中接触相互作用与弹道动力学的相互作用而在长距离上关联。相应的密度矩阵在式(14)中引入。

期望这种形式的原因如下。流体动力学假设断言，对于宏观时间\(t\)，远大于微观时间\(t_\text{mic}\)，一个一般相互作用系统局域弛豫，产生准粒子描述。与非守恒模式相关联的快速自由度衰减，演化被限制在一个约化流形上。由于慢模式正是守恒密度及其乘积，我们在这里以完全一般性将它们包含在内。

关键的是，关联流体胞系综在宏观尺度上（即远大于均匀GGE连通关联函数的典型衰减长度\(\xi\)[113]）观察时，正确地描述了纯可积系统的非平衡状态。

我们的框架根本上依赖于一个假设，即可积性破坏势\(V_\text{lr}\)严格作用于宏观尺度\(R\)。由于这种尺度分离，可积性破坏势不会破坏可积状态的微观局域结构。相反，其效果纯粹是流体动力学的：它随时间平滑地修改局域逆温度\(\beta_i(x)\)和更高秩参数。正是这种清晰的尺度分离证明了我们的核心假设：在条件\(R \gg \xi\)下，系统的宏观状态在其整个时间演化中仍然能有效地由关联流体胞系综描述。类似的逻辑可应用于标准BBGKY层级。唯一的区别在于，对于自由粒子，\(R \gg \xi\)，因为不需要暂态阶段来实现局域弛豫到GGE和准粒子的涌现。因此，在通常的设定中，即从未有关联的状态出发，几乎没有实际需要使关联系综的结构明确化。因此，我们的表述将BBGKY层级推广到未受扰动哈密顿量的稳态已经显示出非平凡局域关联的情形（与自由粒子情形形成对比，后者的局域关联不存在，层级大大简化）。我们将传统层级称为“标准BBGKY”，而将当前扩展称为“广义BBGKY”（或gBBGKY）。然而，必须强调两个框架之间一个根本的概念区别：标准BBGKY层级是一个精确的微观恒等式，在任何截断之前在所有长度和时间尺度上有效，而gBBGKY框架本质上是一个宏观有效理论，根本上依赖于粗粒化和在大尺度上局域广义平衡的假设。

原则上，多点关联的完整层级编码了状态的完整宏观信息，但为了获得可处理的描述，必须在某个有限阶截断。在三点函数层面截断层级得到式(32)–(34)中的显式演化方程。等价地，这些方程可以通过替换\(n(\lambda)\)并识别局域密度（或算符或相空间密度）为\(n(\lambda)\)来改写为准粒子密度及其关联的形式，这也在极限\(V_\text{lr}\to0\)时恢复标准教科书结果。

在本工作中，我们表明局域相互作用的存在强烈影响层级。主要的新特征是演化方程中出现\(\delta\)函数跳跃，表现为重合点处空间导数的间断。这些跳跃编码了弹道、非线性（即相互作用）模式，并且即使在可积性被弱破坏时也持续存在，因为弹道输运在中间时间仍然相关，从而驱动低阶关联的演化。这具有重要的物理后果，见图1。对于自由粒子，关联仅由微扰势\(V_\text{lr}\)介导的散射产生。在一维情形下，仅凭两体散射无法使系统热化，因此必须保留三点关联，导致热化时间尺度为 的标度，这一现象被称为“动力学阻塞”。对于 ，局域可积相互作用允许准粒子通过 进行散射，随后与弹道传播的粒子再次发生局域相互作用。这些过程会产生具有重合点跳跃的三点函数，进而对两点关联的动力学引入耗散性、扩散性的贡献，并导致有效热化。因此，一点与两点函数的热化——我们称之为不完全热化或“广义热化”——在 量级的时间尺度上实现。更高阶的点函数，例如三点函数，在这些时间尺度上仍远未达到热平衡，保留了显著的长程关联，这直接源于局域接触相互作用与长程相互作用之间的协同效应。近期的初步实验[58]已观测到这一标度行为，而我们的gBBGKY框架为其提供了更坚实的理论基础。此外，我们证明三阶截断能够非常精确地重现一点和两点函数的动力学，且在所有时间上都与精确数值模拟的结果相符。此外，我们证明三阶截断在整个动力学相关的弛豫过程中都能精确重现一点和两点函数的动力学，与精确数值模拟高度一致。

在进入详细推导之前，我们明确勾勒出gBBGKY框架的物理边界、所需输入以及固有局限性：

(i) 模型约束：该框架的实际应用限制了一类未受扰哈密顿量的范围。可积模型必须允许用广义流体动力学进行良好的宏观描述。这要求具有稳定的准粒子激发谱、已建立的微观散射位移，以及一个有效的热力学贝特假设来严格定义局域根密度。

(ii) 宏观有效理论（长度尺度）：gBBGKY方法是一种基于关联流体胞元系综的宏观有效理论。它依赖于严格的尺度分离， ，其中 是可积性破缺微扰的作用范围， 表示未受扰模型的典型微观关联长度。因此，我们的方程无法解析空间间距与流体胞元尺度相当或更小的多点关联。

(iii) 初始条件与淬火（时间尺度）：由于该框架从根本上假设局域平衡，它无法解析突然的可积量子淬火之后立即出现的高度复杂的微观退相干瞬态，此时系统不处于广义吉布斯系综中。宏观gBBGKY方程仅在初始局域弛豫时间（ ）之后才适用。此外，该框架要求淬火后的准粒子快度分布已知，并作为外部输入提供以初始化时间演化。

在推导出gBBGKY层级结构之后，我们通过研究硬棒系统和偶极量子气体的非平衡动力学来展示其预测能力。理论预测将分别与前者进行数值模拟对比，并与后者实验测量的热化速率进行基准检验。

A. 论文结构

本文组织如下。在第III节中，我们推导出gBBGKY层级结构，这是一组关于荷与流关联函数的无限耦合方程。随后我们展示了如何自洽地截断这一层级结构，得到连通的荷关联子的闭合方程组。这需要忽略高于给定阶数的关联，并假设局域可积相互作用与长程可积性破缺势之间存在尺度分离。我们还证明了当可积相互作用消失时，广义层级结构退化为标准形式。所得方程随后被数值求解，并与数值模拟结果进行验证。

为阐明广义热化背后的机制，在第IV节中我们推导出一个动力学方程，称为广义朗道方程，由此得到上文给出的热化时间尺度。该推导假设关联的快速动力学与单体函数的缓慢演化之间存在时间尺度分离。

在接下来的两节中，我们将gBBGKY理论和广义朗道方程应用于两个系统。首先，在第V节中，将前面各节的预测与经典硬棒、硬球在长程相互作用下的精确数值模拟进行对比，显示出完美的一致性。其次，在第VI节中，我们将该框架应用于被困在一维准一维管阵列中的冷原子偶极气体。这需要将该方法推广到多组分系统。同时，这也提供了一个机会，将这里在明确假设下推导的广义朗道方程与一种启发式方法进行比较，后者的散射积分通过费米黄金规则获得。我们发现两种方法在其适用范围重叠的区域内完全一致。

在最后一节，第VII节中，我们总结研究成果并展望未来方向。更多技术细节归于附录中。在随附的补充材料[114]中，我们提供了多组分系统的广义朗道方程和gBBGKY层级结构的推导。

III. gBBGKY层级结构

我们首先引入建立广义BBGKY层级结构所需的符号。我们首先处理守恒量的密度，然后转向粒子或准粒子占据函数，这是标准BBGKY层级结构表述的惯例。

我们用 表示守恒荷 的密度，它与可积哈密顿量对易，即 ，需注意必须选择适当的规范，因为这些密度定义到全导数。第一个标准守恒量是粒子数 ，动量 和未受扰能量 ，我们将其称为准粒子的动能。在整个推导过程中，我们专注于量子表述，但所有步骤都可以通过将交换子替换为泊松括号 直接翻译到经典模型。我们经常提到自由经典粒子的情形，此时方程最为简单且所有步骤基本精确，同时我们也假设伽利略不变性，尽管破坏伽利略不变性的情形也可以毫不困难地纳入。我们设定 并从荷密度的海森堡方程出发，

(5)

我们分解交换子并引入流 和广义流 ，定义为

(6)

其中密度不产生任何动力学， 。为简化海森堡方程，我们利用荷的局域性，

(7)

利用这一局域荷间交换子关系，经典刘维尔方程的量子推广形式为[115,116]

(8)

类似方程(8)的等式可以写为涉及任意荷密度乘积的多点算符方程。在后续中我们省略 以简化符号。取期望值则生成动力学方程的层级结构

(9)

为分离关联子中的相关部分，我们转向连通的关联函数。对于 ，我们设 ，而对于 我们定义

(10)

对于 我们类似地进行处理。层级结构的前三层可以写为

(11)

(12)

(13)

这里符号 表示方括号内表达式对所有指标 的循环置换求和。

当可积模型退化为自由理论时，该层级结构等价于标准BBGKY层级结构，如后文第III.E节所讨论。一个关键区别是，当前表述是用守恒荷和流的关联来表示，而标准BBGKY层级结构通常直接写为准粒子分布。尽管如此，熟悉的结构很容易辨认出来。在期望值水平截断层级结构，即将两点函数设为零，得到弗拉索夫方程[117–119]。保留两体关联则在大时间下给出朗道方程或玻尔兹曼方程，具体取决于截断方法。这里，我们保留层级结构的三层，因为由于动力学阻塞，前两层不足以超越平均场区域[68,69]。最后，如同标准BBGKY情形[78]，该层级结构可以用图形表示。在图3中，我们展示了对应上述前三层的图。

图3. 表示层级方程(11)–(13)右端的图(a)–(c)。虚线表示流算符 ，实线表示荷算符 ，其中 由线上方的数字指示。竖线表示算符之间的连通关联。每个图包含一个与势 相关的顶点，它将一个流与一个额外的算符 耦合。要将图翻译为表达式，需根据竖线取连通关联函数的乘积，乘以 ，其中 标记额外的荷算符，并对 进行积分。要绘制第 层的图，考虑一条虚线，从中伸出一条额外的实线，连同 条额外的实线，然后枚举这 条线之间的所有可能连接或划分。没有连接的情形被排除，因为它对应于关联子的不连通部分。

方程(11)–(13)的层级结构不是封闭的。首先，如同标准BBGKY层级结构， 点函数的方程涉及( )点函数。因此，封闭系统需要假设高于给定阶数的连通关联函数可以忽略。其次，层级结构包含涉及流的关联子，形式为 和 。为获得一致的截断方案，这些关联子必须仅用涉及荷密度的关联子来表示。在基于无相互作用理论的层级结构中，流算符是荷密度的线性泛函，因此这一步是直接的。在当前设定下，这需要识别可积理论中关联的相关结构。

为实现这一点，需要两个要素：用于计算期望值的系综以及相关的流体胞元平均过程。这些步骤将在下文中进行全面讨论，随后专门针对均匀系统进行具体化。

在继续之前，我们总结整篇手稿中作出的假设：

(i) 在大时空距离下，连通关联子按 标度，其中 是长程势的特征范围，远大于可积相互作用的范围 。这在第III.A节中讨论。

(ii) 系统的状态由关联流体胞元系综方程(14)描述。它编码了局域荷密度的期望值及其之间的关联，如第III.A节所讨论。使用该系综，还可以得到涉及流的关联函数方程，见第III.B节。

(iii) 通过将前两点代入方程(11)–(13)所得偏微分方程，在大的 下展开，直至并包括 阶，得到最终层级结构，报告于第III.C节。

A. 关联流体胞元系综

为截断层级结构并获得系统在时间 时的封闭描述，关联必须仅保留到选定最高阶。这对应于标准流体动力学，其中介观长度 将微观涨落与宏观可观测场分离。在本文考虑的均匀设定中，该尺度的自然选择是势的相互作用长度 。尽管非均匀系统中可能出现额外长度尺度，但我们假设在当前情况下， 是唯一相关的空间尺度。

我们假设在宏观时间下，系统弛豫到由关联流体胞元密度矩阵描述的状态

(14)

在下文中，系综平均 始终关于密度矩阵方程(14)进行。第一项对应于一族局域广义吉布斯系综态，每个未关联流体胞元位于位置 处。相应地，我们用 表示关于关联流体胞元系综零阶的平均，即由方程(14)中 给出的局域广义吉布斯系综平均。在方程(14)中，我们还引入了围绕局域广义吉布斯系综的涨落， 。

对于由(14)定义的状态，每个胞元中的熵被独立最大化，并附加由守恒律施加的约束。将所有高阶项设为零相当于忽略非局域约束，这意味着仅保留短程的、类热关联，其衰减距离远小于尺度 。如同标准BBGKY层级结构，目标是在状态描述中保留更高阶关联。因此，状态方程(14)在给定约束下最大化熵，这些约束不仅是固定的单点函数，还包括任意阶的关联。在本节中我们将表明，非局域广义温度与连通 \(n\) 点函数 \(C_n\) 直接相关，并且特别地，它们表现出与长度尺度 \(\ell\) 相同的标度行为。对于一般态，关于系综式 (14) 计算期望值是一项艰巨的任务，并且与 (g)BBGKY 方法密切类似，这需要一种微扰方案。此处，由假定的长度尺度分离自然产生一种截断。流体动力学态的一个关键假设是，连通关联函数满足大偏差标度
\[
C_n(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_n) \sim \mathcal O(\epsilon^{n-1}), \tag{15}
\]
这同时也意味着 \(C_n \sim \mathcal O(\epsilon^{n-1})\)。等价地，随着阶数 \(n\) 的增加，连通关联函数的幅度每增加一个场就减小一个因子 \(\epsilon\)。这确保了高阶关联逐渐变小，并可在有限的截断阶数之后被忽略。这一标度对于定义受控的截断方案至关重要，无论是对于 gBBGKY 层级还是对于关联流体元密度矩阵。在标度式 (15) 下，密度矩阵式 (14) 可以在参数 \(\epsilon\) 中微扰地求值。作为例子，我们使用态式 (14) 计算两点函数，展开到 \(\epsilon\) 的一阶：
\[
\langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\rangle = \langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\rangle_{\text{GGE}} + \epsilon \int d\mathbf r \, \beta_k(\mathbf r) \langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\hat q_k(\mathbf r)\rangle_{\text{GGE}} + \mathcal O(\epsilon^2). \tag{16}
\]
利用四点函数的累积量展开和 GGE 的局域性，我们得到
\[
\langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\rangle = \langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\rangle_{\text{GGE}} + \epsilon \int d\mathbf r \, \beta_k(\mathbf r) \chi_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r) + \mathcal O(\epsilon^2), \tag{17}
\]
其中我们使用了 \(\langle \hat q_i(\mathbf r)\rangle_{\text{GGE}} = 0\)，且 \(\chi_{ijk}\) 表示局域电荷-电荷 susceptibility 矩阵。由式 (17)，我们定义长程电荷-电荷关联 \(C_{ij}\) 为
\[
\langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\rangle = \langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\rangle_{\text{GGE}} + \epsilon \, C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2), \tag{18}
\]
使得
\[
C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \int d\mathbf r \, \beta_k(\mathbf r) \chi_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r). \tag{19}
\]
类似地，如附录 A 所示，对于三点函数我们得到
\[
\langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\hat q_k(\mathbf r_3)\rangle = \langle \hat q_i(\mathbf r_1)\hat q_j(\mathbf r_2)\hat q_k(\mathbf r_3)\rangle_{\text{GGE}} + \epsilon \int d\mathbf r \, \beta_l(\mathbf r) \chi_{ijkl}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3,\mathbf r) + \mathcal O(\epsilon^2), \tag{20}
\]
其中
\[
\chi_{ijkl}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3,\mathbf r) = \chi_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r) \delta(\mathbf r_3-\mathbf r) + \text{permutations}, \tag{21}
\]
且 \(\chi_{ijk}\) 是局域 GGE 三点函数，而 \(\mathbf G\) 是逆协方差矩阵，\(\mathbf G = \boldsymbol\chi^{-1}\)。我们强调，矩阵 \(\boldsymbol\chi\) 和 \(\mathbf G\) 是守恒电荷密度期望值 \(\langle \hat q_i(\mathbf r)\rangle\) 的已知函数。同样重要的是要注意，函数 \(C_{ij}\)、\(C_{ijk}\) 以及更高阶项，以及广义温度 \(\beta_i(\mathbf r)\)，除在重合点 \(\mathbf r_i = \mathbf r_j\) 处可能不连续外，处处光滑，但不会出现发散。因此，为了避免定义不当的表达式，在式 (14) 中积分是在非重合点构型上定义的。

B. 系综中电流的表达式

重要的是，一旦假设态 (14)，所有局域或准局域可观测量的平均值都可以通过电荷密度中的累积量展开来表示。在本节中，我们使用态式 (14) 推导平均电流的累积量展开：
\[
\langle \hat J_i(\mathbf r)\rangle = \int d\mathbf r' \, \beta_j(\mathbf r') \langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r')\rangle_{\text{GGE}} + \frac{1}{2}\int d\mathbf r' d\mathbf r'' \, \beta_j(\mathbf r') \beta_k(\mathbf r'') \langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r') \hat q_k(\mathbf r'')\rangle_{\text{GGE}} + \dots \tag{22}
\]
我们现在观察到，由于 GGE 平均的局域性，有
\[
\langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r')\rangle_{\text{GGE}} \approx 0 \quad \text{除非 } |\mathbf r - \mathbf r'| \lesssim \xi, \tag{23}
\]
其中 \(\xi\) 表示模型的典型微观长度尺度。由于广义温度 \(\beta_j(\mathbf r')\) 在重合点处通常不连续，这是由局域 GGE 中编码的快速微观尺度涨落引起的，因此这一贡献必须谨慎处理。条件 (23) 实际上将式 (22) 右端的积分局域化到不连续点周围大小为 \(\xi\) 的邻域内。在此区域内，关联函数分解为其局域宇称-时间 (\(PT\)) 对称和反对称分量，\(\langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r')\rangle_{\text{GGE}} = S_{ij}(\mathbf r,\mathbf r') + A_{ij}(\mathbf r,\mathbf r')\)。关键的是，由于微观跳变本质上是反对称的，奇异项完全包含在 \(A_{ij}\) 中。这意味着局域定义的对称分量
\[
S_{ij}(\mathbf r,\mathbf r') = \frac{1}{2}\left[\langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r')\rangle_{\text{GGE}} + \langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r')\rangle_{\text{GGE}}^{PT}\right] \tag{24}
\]
即使在 \(\xi \to 0\) 时也保持光滑。由于电荷和电流密度算符是 \(PT\) 对称的 [120]，它们在式 (22) 中仅与该光滑对称部分耦合。因此，积分将奇异反对称项投影掉，使得极限 \(\xi \to 0\) 正则：
\[
\langle \hat J_i(\mathbf r)\rangle = \int d\mathbf r' \, \beta_j(\mathbf r') S_{ij}(\mathbf r,\mathbf r') + \dots \tag{25}
\]
此计算对于任何 \(PT\) 对称可观测量的系综平均类似地进行。此外，我们使用了在局域 GGE 中局域密度的关联函数可以通过对 \(\beta_j\) 的微分获得。应用式 (18) 和逆 susceptibility 矩阵的定义，我们得到
\[
S_{ij}(\mathbf r,\mathbf r') = \chi_{ik}(\mathbf r,\mathbf r') v_{kj}(\mathbf r') + \dots \tag{26}
\]
类似地，我们定义
\[
T_{ijk}(\mathbf r,\mathbf r',\mathbf r'') = \int d\mathbf s \, \chi_{ijl}(\mathbf r,\mathbf r',\mathbf s) v_{lk}(\mathbf s,\mathbf r''), \tag{27}
\]
其中我们略去了时间分裂，因为关联函数对于任何 \(\xi>0\) 总是光滑的。最后，引入记号
\[
\tilde\beta_j(\mathbf r') = \int d\mathbf r \, \beta_i(\mathbf r) \chi_{ij}^{-1}(\mathbf r,\mathbf r'), \tag{28}
\]
我们得到双投影公式
\[
\langle \hat J_i(\mathbf r)\rangle = \int d\mathbf r' \, \tilde\beta_j(\mathbf r') S_{ij}(\mathbf r,\mathbf r') + \frac{1}{2}\int d\mathbf r' d\mathbf r'' \, \tilde\beta_j(\mathbf r') \tilde\beta_k(\mathbf r'') T_{ijk}(\mathbf r,\mathbf r',\mathbf r'') + \dots \tag{29}
\]
类似地，对于电流-电荷关联，我们得到
\[
\langle \hat J_i(\mathbf r) \hat q_j(\mathbf r')\rangle = \int d\mathbf r'' \, \beta_k(\mathbf r'') T_{ijk}(\mathbf r,\mathbf r',\mathbf r'') + \dots \tag{30}
\]
其中我们使用链式法则引入了通量 Jacobian \(v_{ij} = \partial \langle \hat J_i\rangle / \partial \langle \hat q_j\rangle\)，且 \(T_{ijk}\) 与式 (27) 类似地定义。这种简化至关重要，因为它允许将完整的层级用少点电荷关联函数表示。我们还注意到，出现在式 (11)–(13) 右端的广义电流 \(J_i\) 是电荷密度的线性函数；因此，累积量展开在第一项之后截断：
\[
J_i[\mathbf q] = \int d\mathbf r \, v_{ij}(\mathbf r) q_j(\mathbf r), \tag{31}
\]
其中 \(v_{ij} = \partial J_i / \partial q_j\)。

C. gBBGKY 层级

在本节中，我们利用第 III A 节中引入的假设和结果，将式 (11)–(13) 写成光滑少点函数 \(C_n\) 的方程层级。公式 (19) 和 (20) 是对系综式 (14) 取期望值的直接结果，揭示了关联函数以及层级包含奇异项。因此，为了理解动力学，至关重要的是将这些表达式与包含电流的关联函数表达式一起代入层级。为简化方程，我们限制在均匀情形，其中一点函数与空间无关，两点函数仅依赖于相对距离。式 (11)–(13) 则简化为 gBBGKY 层级的前几层：
\[
\partial_t \langle \hat q_i\rangle = \partial_{\mathbf r} \langle \hat J_i\rangle = \epsilon \partial_{\mathbf r} \int d\mathbf r' \, C_{ij}(\mathbf r,\mathbf r') v_{jk}(\mathbf r') + \dots \tag{32}
\]
\[
\partial_t C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \partial_{\mathbf r_1} \int d\mathbf r_3 \, T_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) v_{kl}(\mathbf r_3) + \partial_{\mathbf r_2} \int d\mathbf r_3 \, T_{jik}(\mathbf r_2,\mathbf r_1,\mathbf r_3) v_{kl}(\mathbf r_3) + \dots \tag{33}
\]
\[
\partial_t C_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) = \partial_{\mathbf r_1} \int d\mathbf r_4 \, U_{ijkl}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3,\mathbf r_4) v_{lm}(\mathbf r_4) + \dots \tag{34}
\]
其中，为简洁起见，在式 (34) 中我们截断了参数 \(\epsilon\) 和 \(\xi\) 中的高阶项。让我们讨论这个复杂方程层级的结构。首先，在均匀系统中，密度的演化方程式 (32) 不包含 Vlasov 项，因此其所有动力学都由两点函数的演化方程式 (33) 给出。此处，左端是描述两点函数弹道输运的动力学项及其扩散修正。在右端，我们观察到两点函数的奇异贡献产生一个正比于 \(\epsilon\) 的接触强迫。最后，三点函数的动力学在式 (34) 中写到 \(\epsilon\) 阶。同样，其左端包括关联弹道输运的动力学项，而右端表现为奇异强迫，由可积动力学给出，即可积接触相互作用。在附录 E 中，给出了推导式 (32)–(34) 的更多细节。最后，我们观察到，大的流体动力学长度尺度 \(\ell\) 的假设足以使层级具有明确定义的截断方案。

D. (准)粒子占据和关联的层级

在本节中，我们用哈密顿量 \(\hat H\) 的准粒子表示 gBBGKY 层级。特别地，对于可积系统，准粒子由 Bethe 快度 \(\theta\) 表征，其在流体元 \(\mathbf r\) 中的分布函数记为 \(\rho(\theta;\mathbf r)\) (在正文其余部分，我们用希腊字母表示快度，而拉丁字母用于电荷标签)。快度与准粒子动量通过 \(p(\theta) = \theta\) 相关。密度 \(\rho(\theta;\mathbf r)\) 通过其与流体动力学变量的关系定义：
\[
\langle \hat q_i(\mathbf r)\rangle = \int d\theta \, h_i(\theta) \rho(\theta;\mathbf r), \tag{35}
\]
其中 \(h_i(\theta)\) 是电荷 \(\hat q_i\) 的单粒子本征值。通过一组完备的电荷，可以反转此表达式，在准粒子密度 \(\rho(\theta;\mathbf r)\) 与电荷密度期望值 \(\langle \hat q_i(\mathbf r)\rangle\) 之间建立双射。因此，可以将由整数 \(i\) 标记的电荷守恒的无限维流体动力学方程塔改写为 \(\rho(\theta;\mathbf r)\) 的单一演化。我们现在定义作用在测试函数 \(f(\theta)\) 上的 dressing 算符：
\[
f^{\text{dr}}(\theta) = f(\theta) + \int d\theta' \, T(\theta,\theta') \rho(\theta') f^{\text{dr}}(\theta'), \tag{36}
\]
其中线性算符的作用定义为 \(A f(\theta) = \int d\theta' A(\theta,\theta') f(\theta')\)，对重复指标求和采用爱因斯坦约定。特别地，\(T(\theta,\theta')\) 是模型的散射移位 (在零接触相互作用极限 \(\gamma \to 0\) 时消失)，与态无关。填充函数定义了相对于总态密度 \(\rho_{\text{tot}}(\theta)\) 的快度占据，由 \(n(\theta) = \rho(\theta)/\rho_{\text{tot}}(\theta)\) 给出。此外，我们将广泛使用紧凑矩阵记号，例如引入旋转矩阵
\[
\mathbf R = (\mathbf 1 + \mathbf T \mathbf n)^{-1}, \tag{37}
\]
它将 dressing 操作实现为 \(f^{\text{dr}} = \mathbf R f\)。关键的是，也可以将电流密度表示为
\[
\langle \hat J_i(\mathbf r)\rangle = \int d\theta \, h_i(\theta) v^{\text{eff}}(\theta) \rho(\theta;\mathbf r), \tag{38}
\]
其中有效速度 \(v^{\text{eff}}(\theta) = \mathbf R v(\theta)\)，对于单位质量的伽利略粒子有 \(v(\theta) = \theta\) 且 \(h_i(\theta) = \theta^i\)。类似地，我们可以定义少点函数的准粒子表达式：
\[
C_n(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_n) = \int d\theta_1\dots d\theta_n \, \delta(\mathbf r_1-\mathbf r_2)\dots \delta(\mathbf r_{n-1}-\mathbf r_n) \left[\prod_{a=1}^n h_{i_a}(\theta_a)\right] \rho^{(n)}(\theta_1,\dots,\theta_n;\mathbf r_1), \tag{39}
\]
另一个重要对象是通量 Jacobian，在准粒子中为
\[
v_{ij}(\mathbf r) = \frac{\partial \langle \hat J_i\rangle}{\partial \langle \hat q_j\rangle} = \int d\theta \, h_i(\theta) v^{\text{eff}}(\theta) \frac{\partial \rho(\theta;\mathbf r)}{\partial \langle \hat q_j(\mathbf r)\rangle}, \tag{40}
\]
其中 \(\mathbf G\) 定义为 \(\boldsymbol\chi^{-1}\)，使得 \(G_{ij} = \partial \beta_i / \partial \langle \hat q_j\rangle\)。为完整起见，我们还回忆 \(\boldsymbol\chi = \mathbf G^{-1}\)，且 \(\chi_{ij} = \partial \langle \hat q_i\rangle / \partial \beta_j\)。类似地，我们计算电流的二阶导数：
\[
v_{ijk}(\mathbf r) = \frac{\partial^2 \langle \hat J_i\rangle}{\partial \langle \hat q_j\rangle \partial \langle \hat q_k\rangle} = \int d\theta \, h_i(\theta) v^{\text{eff}}(\theta) \frac{\partial^2 \rho(\theta;\mathbf r)}{\partial \langle \hat q_j(\mathbf r)\rangle \partial \langle \hat q_k(\mathbf r)\rangle}, \tag{41}
\]
其中我们定义了 (下文起，我们将使用记号 \(\partial_j = \partial / \partial \langle \hat q_j\rangle\))
\[
\frac{\partial^2 \rho(\theta;\mathbf r)}{\partial \langle \hat q_j\rangle \partial \langle \hat q_k\rangle} = \partial_j \partial_k \rho(\theta;\mathbf r). \tag{42}
\]
与前一节类似，我们考虑连通少点关联函数，并分别识别出 GGE 贡献和正则长程部分。对于两点函数，我们有
\[
C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \chi_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) + \epsilon \, C_{ij}^{\text{reg}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2), \tag{43}
\]
其中 \(\chi_{ij}\) 是准粒子表示中的 susceptibility 矩阵，而 \(C_{ij}^{\text{reg}}\) 是非奇异贡献。此外，一般符号 \(\kappa\) 表示统计因子 (分别为经典、费米子、玻色子和波统计)。类似地，对于三点函数，我们可以写出
\[
C_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) = \chi_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) + \epsilon \, C_{ijk}^{\text{reg}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3), \tag{44}
\]
其中 \(\chi_{ijk}\) 是 GGE 中的局域三点函数。我们还引入由 susceptibility 对局域密度的泛函导数给出的张量
\[
\partial_j \chi_{ik}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \int d\theta \, h_i(\theta) h_k(\theta) \frac{\partial \rho(\theta;\mathbf r_1)}{\partial \langle \hat q_j(\mathbf r_1)\rangle} \delta(\mathbf r_1-\mathbf r_2) + \dots \tag{45}
\]
其中 \(\kappa\) 分别为经典、费米-狄拉克或玻色-爱因斯坦统计，并且我们还引入给出三点关联动力学项的张量
\[
T_{ijk}^{\text{kin}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) = \int d\theta \, h_i(\theta) h_j(\theta) h_k(\theta) v^{\text{eff}}(\theta) \frac{\partial \rho(\theta;\mathbf r_1)}{\partial \langle \hat q_l(\mathbf r_1)\rangle} \dots \tag{46}
\]
其正比于局域相互作用的强度 \(\gamma\) (完整推导见附录 E 1)。有了这些要素，我们可以写出准粒子表示中的前三层：
\[
\partial_t \rho(\theta;\mathbf r) = \partial_{\mathbf r} \left[v^{\text{eff}}(\theta) \rho(\theta;\mathbf r)\right] + \epsilon \int d\theta' \, T(\theta,\theta') \partial_{\mathbf r} \left[\rho(\theta;\mathbf r) \rho(\theta';\mathbf r)\right] + \dots \tag{47}
\]
\[
\partial_t C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \partial_{\mathbf r_1} \left[v^{\text{eff}}(\theta_i) C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\right] + \partial_{\mathbf r_2} \left[v^{\text{eff}}(\theta_j) C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\right] + \epsilon \int d\theta_k \, T_{ijk}^{\text{kin}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) + \dots \tag{48}
\]
\[
\partial_t C_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) = \partial_{\mathbf r_1} \left[v^{\text{eff}}(\theta_i) C_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3)\right] + \dots \tag{49}
\]
让我们讨论式 (48) 和 (49) 中两点和三点函数的动力学项。带有矩阵 \(\mathbf R\) 的第一项表示与不同准粒子相关联的速度的对流扩散。虽然在相互作用模型中该矩阵是非对角的 (由于模式混合)，我们将在下一节看到，在极限 \(\gamma \to 0\) 中，它简化为包含速度 \(v(\theta)\) 作为本征值的对角矩阵。式 (48) 中的第二项仅在相互作用系统中非零。它可以被视为由三点函数运动引起的两点函数的有效扩散。实际上，其形式在小时间极限下变得更熟悉，即对于接近局域 GGE 的态。在此极限下，我们确实可以证明关系 (完整推导见补充材料 [114])
\[
T_{ijk}^{\text{kin}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) \approx D_{ij} \partial_{\mathbf r_1} \delta(\mathbf r_1-\mathbf r_2) \delta(\mathbf r_1-\mathbf r_3), \tag{50}
\]
其中 \(D_{ij}\) 确实是线性化所围绕的局域平衡态相关的扩散矩阵 [120–122]。随着系统演化，由于非平凡长程三点关联的积累，此关系的有效性变差；然而，这一贡献对于两点函数以及因此一点函数的热化至关重要，正如我们在接下来几节中看到的那样。在极限 \(\gamma \to 0\) 时，这一贡献消失，因为确实没有内部 (对流) 扩散，这也被下一节第 III E 节的分析所证实。

E. 恢复标准 BBGKY 层级在极限

标准 BBGKY 层级在非相互作用无扰动系统的极限下恢复，即 \(\gamma \to 0\)。此处重要的是强调 gBBGKY 形式对于经典和量子系统均有效，两种情形之间的差异完全包含在统计因子 \(\kappa\) 中。为了与标准教科书表达式 [78] 比较，我们特化到经典情形并设置 \(\kappa = 1\)。

极限 \(\gamma \to 0\) 对应于零散射移位 \(T(\theta,\theta') = 0\)。我们现在仔细分析此极限对第 III D 节中定义的对象的影响。首先，我们观察到此极限将 dressing 算符平凡化为 \(f^{\text{dr}} = f\)，因此 \(\mathbf R = \mathbf 1\)。因此，有效速度简化为粒子速度 \(v^{\text{eff}} = v\)。类似地，通量 Jacobian 变为 \(v_{ij} = \delta_{ij} v(\theta_i)\)。由于非相互作用粒子不表现出非平凡关联，我们也有
\[
C_{ij}^{\text{reg}} = 0, \quad C_{ijk}^{\text{reg}} = 0. \tag{51}
\]
因此，我们观察到式 (48) 中出现的 \(\epsilon\) 贡献消失，因为它正比于
\[
T_{ijk}^{\text{kin}} \propto \gamma \to 0. \tag{52}
\]
我们还观察到，在此极限下，我们有 \(\chi_{ij} = \delta_{ij} \rho(\theta_i)\) 和 \(\chi_{ijk} = 0\)，两者都正比于 \(\gamma\)。我们还强调，累积量展开中的任何高阶流体动力学修正都消失，因为非相互作用粒子仅弹道地扩散。因此，在非相互作用极限 \(\gamma \to 0\) 下，式 (47)–(49) 简化为
\[
\partial_t \rho(\theta;\mathbf r) = \partial_{\mathbf r} \left[v(\theta) \rho(\theta;\mathbf r)\right], \tag{53}
\]
\[
\partial_t C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \partial_{\mathbf r_1} \left[v(\theta_i) C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\right] + \partial_{\mathbf r_2} \left[v(\theta_j) C_{ij}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\right], \tag{54}
\]
\[
\partial_t C_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3) = \partial_{\mathbf r_1} \left[v(\theta_i) C_{ijk}(\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3)\right] + \dots \tag{55}
\]
它们与均匀系统的著名 BBGKY 层级的前几方程完全一致。也很容易证明这种等价性对层级的任何层级都成立，并且可以扩展到非均匀情形。重要的是要强调，通过 gBBGKY 形式，我们提供了一种新的替代推导 BBGKY 方程的方法，基于关联流体元，而不需要使用完整的系统相空间分布函数。

F.层级极限 自然会问，当考虑 \(\lambda \to 0\) 极限时，关联动力学会发生什么，且唯一可能的相互作用来源是哈密顿量的可积部分。首先，在没有初始长程关联的均匀情形下，即对于 \(k \ge 2\) 有 \(g_k=0\) ，系统没有任何动力学，如预期。这平凡地证实了在没有可积性破缺时，GGE 是框架的一个稳态。当初始态为非均匀时，图像发生变化。在这种情况下，我们的层级扩展了参考文献[113]中提出的方程，并在截断至两层时恢复这些方程。这两个方程提供了在可积动力学产生的长程关联存在下，可积模型中扩散新理解的基础[123]。值得一提的是，gBBGKY 形式体系也能够跟踪高阶点函数的动力学，即使本文没有显式计算高阶流体动力学矩阵。例如，我们预期在三阶关联中观察到长程结构，由两点函数的梯度产生（类似于参考文献[113]中由单点函数梯度产生的两点关联）。这可以从方程(49)的解(70)看出。在那里，即使在均匀情形下，我们也看到仅由可积动力学产生三阶关联，由 \(g_2\) 的梯度驱动（在均匀情形下由 \(g_1\) 的存在而产生）。 IV. 广义朗道方程与晚期动力学 上述 gBBGKY 方程显然难以分析且难以完全数值模拟。然而，为了提取热化动力学，可以进行一些近似，得到所谓朗道方程，即小动量交换极限下的玻尔兹曼方程，也称为掠射碰撞极限。我们将对空间 \(x\) 和时间 \(t\) 进行宏观重标定，重要的是，在下面的分析中，我们将通过将 \(\lambda\) 视为小参数来假设长程耦合较弱。因此，散射积分描述适用范围比层级（仅假设大 \(N\) ）更窄。然而，如我们将在第V节中展示的，对于相当大 \(N\) 的值，散射积分在定量上也是可预测的，前提是 \(\lambda N \ll 1\) 。尽管如此，该方法足以理解系统热化背后的主要机制。我们开始推导，考虑以准粒子占据数和关联函数表示的 gBBGKY 层级，如第III.D节所引入。更准确地说，在本节中，我们显式利用均匀性，将关联函数表示为仅依赖于相对距离的函数。因此，对于两点函数，我们有 \(g_2(x_1, x_2) = g_2(x)\) ，对于三点函数有 \(g_3(x_1, x_2, x_3) = g_3(x_1, x_2, x_3)\) ，其中 \(x = x_1 - x_2\) 等。此外，我们将两点函数 \(g_2\) 在 \(\lambda\) 展开中分解为领头项和次领头项贡献，即， \(g_2 = g_2^{(0)} + \lambda g_2^{(1)}\) 。 (56) 我们还使用 \(g_3 = \lambda g_3^{(1)}\) 显式分解三点函数的缩放参数。现在，使用相互作用势的定义(1)， \(\lambda\) 依赖性完全显式。将分解代入两点函数的方程(48)，并要求在 \(\lambda^0\) 和 \(\lambda^1\) 阶等式成立，产生两个方程， \(\partial_t g_2^{(0)} = \mathcal{L}_1 g_2^{(0)}\) ， (57) \(\partial_t g_2^{(1)} = \mathcal{L}_1 g_2^{(1)} + \mathcal{L}_2 g_3^{(1)}\) 。 (58) 这些是 \(g_2^{(0)}\) 和 \(g_2^{(1)}\) 的有效演化定律。我们已经可以观察到，同时 \(g_2^{(0)}\) 由于与密度的耦合而快速演化，次领头修正 \(g_2^{(1)}\) 在三点函数驱动下缓慢建立。我们首先考虑四个方程，即方程(47)、(57)、(58)和(49)。目标是将它们简化为一个关于准粒子分布 \(f\) 的方程。我们将遵循一个方法，其精神类似于从BBGKY层级经典推导玻尔兹曼散射核的过程[68,69]。这里的核心思想是分离不同关联所弛豫的时间尺度。例如，单点函数预计在比两点函数长得多的时间尺度上弛豫。示意性地，推导过程如下： (1) 对时间积分方程(57)，将 \(g_2^{(0)}\) 表达为所有更早时刻 \(t'\) 的 \(f\) 的显式泛函。 (2) 将上一步的结果代入方程(49)，再次对时间积分，将 \(g_3^{(1)}\) 表达为 \(f\) 的泛函。 (3) 使用此结果计算 \(g_3^{(1)}\) ，代入方程(58)，并对时间积分，将 \(g_2^{(1)}\) 表达为 \(f\) 的泛函。 (4) 将此结果代入方程(47)，并进行与时间尺度分离相关的近似，最终得到广义朗道动力学方程。我们将在下面详细阐述推导过程。我们假设在 \(t=0\) 时，状态为 GGE 态，对于 \(k \ge 2\) 有 \(g_k=0\) 。此假设并非必要，因为系统最终会忘记初始关联，但简化了计算，无论如何都会导致普适的晚期物理。第一步是考虑方程(57)，并将其视为 \(g_2^{(0)}\) 的线性方程（我们在此假设 \(\mathcal{L}_1\) 是常算子），右端有一个依赖于 \(t\) 的源项，由下式给出 \(\mathcal{S}^{(1)}[f, g_2^{(0)}] = \mathcal{L}_2[g_3^{(1)}]\) 。 (59) 因此，方程(57)可以使用格林函数方法正式求解（详见附录E2），得到 \(g_2^{(0)}(t) = \int_0^t dt' e^{\mathcal{L}_1(t-t')} \mathcal{S}^{(1)}(t')\) 。 (60) 这样，我们用所有更早时刻的 \(f\) 表达了 \(g_2^{(0)}\) 。具有 \(t\) 依赖源项的线性方程结构在推导中是典型的，我们在第二步中也遇到它，即是将方程(60)代入方程(49)。线性方程的特征是右端有源项，读作 \(\mathcal{S}^{(2)}[f, g_2^{(1)}] = \mathcal{L}_3[g_2^{(0)}, g_2^{(1)}]\) 。 (61) 使用类似于得到方程(60)的技术，我们显式找到泛函 \(g_3^{(1)}\) 。在第三步中，我们计算 \(g_3^{(1)}\) 并将其代入方程(58)。同样，此方程对时间积分产生 \(g_2^{(1)}\) 。在最后一步中，我们将 \(g_2^{(1)}\) 和 \(g_3^{(1)}\) 的表达式代入 \(f\) 的方程，由于所有更高阶关联已通过时间积分消除，该方程现在封闭。我们发现该方程有两个贡献， \(\partial_t f = \mathcal{I}_{\lambda^2}[f] + \mathcal{I}_{\lambda^4}[f]\) 。 (62) 恢复微观时间变量，这两个项分别与 \(\lambda^2\) 和 \(\lambda^4\) 成正比。在第IV.A和IV.B节中，我们推导它们，并证明 \(\mathcal{I}_{\lambda^2}\) 消失，证明领头热化率为 \(\lambda^4\) 。 A. 在时间 \(t \sim \lambda^{-2}\) 时的动力学阻挡 我们首先考虑第一项，其表达式为 \(\mathcal{I}_{\lambda^2} = \int dt' \mathcal{S}^{(1)}[f, g_2^{(0)}]\) ， (63) 其中 \(g_2^{(0)}\) 由方程(60)给出。我们进行一个近似，将积分中的 \(g_2^{(0)}(t')\) 替换为 \(g_2^{(0)}(t)\) ，并将时间积分范围扩展到无穷大。接下来，我们使用恒等式 \(\int_0^\infty dt e^{i(\omega+i0)t} = \pi \delta(\omega) + i \mathcal{P}(1/\omega)\) ，其中 \(\mathcal{P}\) 表示主值。主值项由于被积函数的对称性而消失，而 \(\delta\) 函数项产生（我们也使用 \(f(1-f)\) 和 \(f' (1-f')\) ） \(\mathcal{I}_{\lambda^2} \propto \int dk dk' \delta(\varepsilon(k)-\varepsilon(k')) (f-f')\) ， (64) 其中 \(f'\) 定义为 \(f' = f(k')\) 。至关重要的是，狄拉克 \(\delta\) 条件 \(\varepsilon(k) = \varepsilon(k')\) 意味着 \(k = \pm k'\) ，因此积分恒等于零， \(\mathcal{I}_{\lambda^2} = 0\) 。 (65) 这是一维(1D)系统的一个特征，称为动力学阻挡。它严格与1D中两粒子散射的性质有关，该散射只能诱导粒子之间的动量交换。在具有非单调有效速度的系统中可以避免动力学阻挡，例如在晶格中。然后，所谓的倒逆散射允许系统通过两体碰撞热化[38,39]。然而，对于目前的讨论，我们关注具有单调有效速度的系统。另一种情况涉及耦合一维气体系统，如第VI节所述。如果一维气体具有不同密度或不同强度的可积相互作用，这会打开一个散射通道，重新分布动量，尽管不是很有效，导致仅预热稳态[49,124]。因此，在这里，为了捕捉热化现象，我们必须包括高阶项，这些项描述三粒子散射。这些过程编码在 \(\mathcal{I}_{\lambda^4}\) 中，我们现在分析它。 B. 在时间 \(t \sim \lambda^{-4}\) 时的（广义）热化 \(\mathcal{I}_{\lambda^4}\) 的推导如上所述进行，沿途所做的近似形式与推导 \(\mathcal{I}_{\lambda^2}\) 时相同。即，每次我们对关联函数方程进行时间积分时，我们将 \(g_k^{(0)}(t')\) 替换为 \(g_k^{(0)}(t)\) 并将时间积分范围扩展到无穷大。为了获得碰撞项，必须进行三次这样的积分，导致比方程(64)更复杂的碰撞项。这个相当长的计算的细节在补充材料[114]中展示。在这里，我们呈现最终结果。我们简化符号 \(g_2^{(1)} \equiv g_2^{(1)}\) 并发现两类项， \(\mathcal{I}_{\lambda^4} = \mathcal{I}_{\lambda^4}^{\text{cross}} + \mathcal{I}_{\lambda^4}^{\text{self}}\) 。 (66) 两项均由 \(\lambda^4\) 给出，其中使用符号 \(g_1 = \frac{1}{2\pi} \partial_k \theta\) ，我们有 \(\mathcal{I}_{\lambda^4}^{\text{cross}} = \int dk dk' dq dq' \delta(\varepsilon(k)+\varepsilon(k')-\varepsilon(q)-\varepsilon(q')) \times \delta(k+k'-q-q') \times T^{\text{cross}}[f]\) ， (67) \(\mathcal{I}_{\lambda^4}^{\text{self}} = \int dk dk' dq dq' \delta(\varepsilon(k)+\varepsilon(k')-\varepsilon(q)-\varepsilon(q')) \times \delta(k+k'-q-q') \times T^{\text{self}}[f]\) ， (68) 其中张量 \(T\) 由下式给出 \(T^{\text{cross}} = \frac{1}{2} \int dk'' dq'' [ \dots ]\) ， (69) 可以证明，导出的碰撞积分具有所有预期特征：热态是稳态，它守恒粒子数、动量和能量，并满足 \(H\) 定理且熵增为正。恢复动力学方程中的微观时间，方程(62)，并使用 \(\mathcal{I}_{\lambda^2} = 0\) ，我们最终可以观察到由方程(67)和(68)给出的散射积分预测热化率与 \(\lambda^4\) 成正比。缩放可以理解如下：形成大尺度上的关联两点函数需要两个 \(\lambda\) 因子，然后，与其他粒子的两个局域散射携带 \(\lambda^2\) ，两点函数的空间非均匀性，诱导其在空间中的对流扩散，携带另一个 \(\lambda\) 因子。另见图1：粒子由于长程势而关联，然后在由弹道粒子海携带的对流流中扩散。这个图像可能看起来违反直觉，因为由于可积性破缺，人们天真地期望弹道通道在大时间衰减。然而，情况并非如此，因为高阶关联将弹道结构保留到比 \(\lambda^{-2}\) 长得多的时间，给出一个诱导密度波的有效对流粒子浴，这是相互作用的可积模型中粒子扩散的主要且唯一机制，例如，参考文献[113,121,125–129]。区分这两个项的动机是两个不同的动力学机制；参见与对流扩散相关的图4。第一项，交叉项，源于两点关联的扩散，其中两个关联粒子从未通过接触相互作用相互作用。这可能是例如两个准一维系统通过仅作用于两个不同管之间的长程势相互作用的情况。第二项，自项，源于两个粒子的自诱导扩散，它们也可以通过接触相互作用相互作用；即，其中一个粒子作为另一个粒子的对流密度波，反之亦然。如补充材料[114]所示，当长程相互作用仅作用于不同管之间时，此散射项不存在，但当它也作用于同一管时存在。在长程势作用于不同管和同一管的情况下，方程(66)中的散射积分也应包括由于其他管产生的交叉项。我们将在第VI节中将此形式应用于偶极量子气体实验装置时讨论这些情景。 图4. 导致方程(66)中两个项的两个热化机制的示意图。(a) 给出 \(\mathcal{I}_{\lambda^4}^{\text{self}}\) 项的动力学：两个相距 \(x\) 的关联粒子经历由于其他准粒子携带的对流波引起的涨落，给出交叉扩散，并且它们之间也散射，给两点函数一个自扩散。(b) 给出交叉项 \(\mathcal{I}_{\lambda^4}^{\text{cross}}\) 的动力学：两个关联粒子从不与接触相互作用相互作用；因此，它们只通过系统经历对流密度波，给两点函数标准扩散。 需要强调，即使单点函数在 \(t \sim \lambda^{-4}\) 量级的时间尺度上热化，高阶点函数仍远非热态，这就是为什么我们称此过程为广义热化，与标准热化相对照。特别是，三点函数表现出长程关联，这些关联在这些时间尺度上不衰减，且完全由局域可积相互作用产生，反映了完全可积动力学中两点函数的行为[113]。为了推导碰撞积分，在补充材料[114]中，我们推导了由方程(49)给出的三点函数动力学的显式表达式；这里我们报告其大时间极限，即在时间 \(t \sim \lambda^{-4}\) 量级的区域中， \(g_3^{(1)}(t) \sim \int_0^t dt' e^{\mathcal{L}_1(t-t')} \mathcal{L}_3[g_2^{(0)}(t'), g_2^{(1)}(t')]\) ， (70) 其中符号 \(\partial_x\) 表示对函数的空间参数进行求导，符号 \(\mathcal{L}_1\) 定义在方程(46)中，两点函数 \(g_2^{(0)}\) 和 \(g_2^{(1)}\) 由其在时间中的渐近值给出。鉴于后者在 中迅速衰减，上述表达式表明在 平面内存在不同的方向，例如来自第一项的沿线方向，在这些方向上，长程三点关联在远超热化时间尺度后依然持续存在。因此，在 量级的时间处，热化是不完全的（广义的），偏离标准热态可以通过更高阶点函数来诊断。 C. 极限情况下的热化动力学 在极限 下，广义朗道方程，即方程(67)和(68)的贡献，消失，因为它与 成正比。如上所述，由广义朗道方程编码的热化机制仅存在于受扰动的可积相互作用模型中。在 的情况下，热化仅由长程相互作用驱动。文献[68,69]推导了该区域内弱长程势的动力学方程。使用与第四节引入的相同近似，控制热化的标准BBGKY方程，类似于方程(57)和(58)，给出如下 (71) (72)同样， 演化的主导方程包含一个与势成正比的强迫项。因此， 、 、 和 的四个嵌套方程（必须积分以推导散射积分）右边有相互作用势，产生与 成正比的热化率，下一节也将通过数值验证。在这种情况下，图像更简单（见图4），热化率首先由两点函数的形成决定，即 ，然后由热化所需的三点函数的形成决定，以此方式给出另一个因子 ，并贡献最终的热化率 。 V. 带长程相互作用的硬球体 为了数值验证gBBGKY方程层级，我们将其应用于直径为 的经典不可穿透硬球体气体（Tonks气体）[130-133]，与方程(1)的长程势相互作用。具体来说，我们考虑势 (73) 它模拟了一维冷原子中出现的偶极相互作用，如我们将在下一节所见，以及标准的Lennard-Jones相互作用势[60-64]（特别是在 的情况下）。一维硬球体（或杆）气体在没有其他相互作用的情况下是可积的，即在极限 下，具有众所周知的流体力学描述[133-136]，其结构与量子可积系统相同，模数改变统计因子[137]，与准粒子的统计 相关，并具有恒定的散射位移 。我们专注于具有恒定粒子密度的均匀系统，并将gBBGKY预测与精确微观模拟进行比较。我们从有限温度态开始时间演化，其中一半粒子以速度 加速，一半以速度 加速， ，且 。该态在无扰动哈密顿量 下是稳定的，但只要 有限，它就会非平凡地演化。作为热化动力学的探针，我们计算了（归一化的）准粒子分布的峰度和两点关联。峰度在热态中预期为零，此时准粒子分布为高斯分布。求解gBBGKY方程组（方程(47)–(49)）在计算时间和内存使用方面过于昂贵。实际上，它需要保存并对三点函数 进行操作，即使在均匀系统中，这也是一个五阶张量。为了降低数值计算的复杂度，我们分别求解小时间和大时间下的动力学。对于小时间 ，我们通过将方程(48)中与 成正比的贡献替换为已知的Kubo扩散项（对于可积系统明确已知），如方程(50)所示，并忽略 的剩余贡献，来求解gBBGKY层级方程(47)和(48)。对于大时间 ，我们通过求解朗道方程（方程(66)）来演化系统，使用在时间 处获得的gBBGKY解作为初始状态。关于gBBGKY层级的数值解的其他信息，请参见附录C。在图6中，我们展示了gBBGKY理论如何再现完整的分子动力学，预测峰度演化以及两点函数演化。我们可以观察到准粒子演化的两个区域：短时间 的快速演化，由系统中密度-密度关联的建立引起的相互作用能变化驱动，以及动力学区域 ，其中系统缓慢地向热态演化。在该区域内，动能大致恒定，动力学由朗道方程很好地描述，该方程以速率 很好地描述（广义）热化，见图7，如前一节所预测。我们可以从单条轨迹快照中观察到点粒子 与有限 动力学之间的显著差异，见图5： 且 有限的动力学由平滑的长程相互作用粒子给出，而 有限的动力学由长程相互作用和局部散射共同给出，即使在长时间，热化机制开始起作用时也是如此。这两种情况之间的差异也在图6(a)中突出显示，其中我们展示了 （虚线）的gBBGKY方程解，即BBGKY方程，在任意宏观小时间下都远离硬球体分子动力学。有趣的是， 的短时间动力学似乎比 的相互作用情况更快，即，在存在接触相互作用的情况下，系统似乎被阻塞。然而，在长时间下，两种情况的热化率标度表现出相反的行为：自由情况下为 ，而 情况下为 ，导致相互作用情况 下（广义）热化快得多。图5. 具有长程相互作用（由方程(73)的势给出）的硬球体微观轨迹示例，包括 （自由粒子）和有限 。在后一种情况下，我们可以在有限 的轨迹中注意到局部散射和长程相互作用的相互作用。图6. 长程相互作用硬球体（HR）的数值结果，具有 、 和 ，从两个加速热态 开始，其中 ， ， 。系统在环上是均匀的。在所有图中，点代表系统的分子动力学，实线代表gBBGKY预测。(a) 快度分布的峰度动力学，对于 且 ，作为重标定时间 的函数。gBBGKY层级的数值解详见附录C。特别地，对于 ，实线代表两个耦合方程（方程(C1)和(C2)）的解，而对于 ，它显示广义朗道方程（方程(66)）的解。我们观察到对于所有可积性破坏势 的值，分子动力学与理论预测之间令人信服的一致性。额外的虚线代表标准BBGKY层级的解，即gBBGKY中 ，截断到前两个层级。正如预期，这种纯微扰理论不能预测系统的正确演化。类似地，(d) 显示动能 的动力学。(b) 快度分布 在不同时间的演化。(c),(e),(f) 两点关联函数 的演化，分别具有 。如预期，gBBGKY理论能够预测单点和两点函数的演化。图7. 预测热化率 的数值确认，当 和 时，当 时。两个图分别显示了 的峰度，对于不同的 、 值，在 （顶部）和 （底部）情况下，作为重标定时间 和 的函数。动力学首先经历快速的小时间演化，然后对于 ，发生晚期的热化动力学。我们表明，在这种适当的时间标度下，由不同势参数引起的晚期动力学完美坍缩，确认热化率为 对于 和 对于 。更准确地说，在此图中，我们引入了一个考虑小时间行为差异的常数偏移参数，以重新归一化晚期动力学的起点。黑线代表 和 的gBBGKY方程解，与数值模拟良好一致。 VI. 偶极一维量子气体的应用 由附加长程相互作用引起的可积性破坏自然出现在具有大磁矩的原子或分子量子气体中[84]。在这些系统中，基本哈密顿量由方程(2)给出。当受限到一维时，范德华相互作用可以通过接触势有效建模[138]，气体由可积的Lieb-Liniger（LL）哈密顿量描述[27,28]， (74) 其中 是玻色子的质量， 是相互作用强度。如果原子带有非零磁矩，它们还会通过偶极势相互作用，该势在空间中衰减更慢，必须单独处理。在我们考虑的几何构型中（见图8），偶极相互作用既耦合管内原子（管内相互作用），也耦合相邻管中的原子（管间相互作用）。我们首先讨论管内势。在积分出两个“冻结”的横向自由度后，有效的一维偶极耦合变为[139,140] (75) 其中 是横向振子长度。前置因子为 (76) 无量纲形状函数为 (77) 这里， 是偶极矩， 是偶极子（由外场对齐）与管轴之间的角度；通过调节 ，可以有效地控制偶极相互作用的强度。图8. 热化率（蓝色实线），如方程(84)所定义，用于文献[58]的实验参数，由gBBGKY获得，阴影区域表示实验中13%密度变化引起的不确定性。右下插图显示了装载偶极原子的准一维管的几何结构。左上插图显示了初始态 （实线）与实验测量的初始态（点）[由文献[58]的图2(c)–2(e)数据确定]以及最终的、热态 （虚线）的比较。参考[58]，我们考虑 （ ）个原子装载到一维管的二维晶格中（晶格间距 ），每个管的平均密度为 （见图8的草图）。横向限制由谐振子陷阱提供，振子长度为 。除了管内偶极相互作用，不同管 中的原子通过 (78) 与管(0,0)中的原子相互作用，其中 和 表示磁场方向。在 时，一个Bragg脉冲将原子分裂成两个动量分量 ，其中 和 。气体然后预热化到由参考密度 描述的状态（图8），这与动力学第一阶段结束时的实验观测非常吻合。尽管偶极势在大距离下按 衰减，但它也包含一个短程分量。为了将可积硬核部分与真正的长程贡献分开，我们注意到LL耦合 有两部分：范德华项 (79) 和偶极项 (80) 因此， 。为了估计长程势的影响，我们引入特征距离 。在LL模型中，散射位移定义了准粒子相互作用的有效硬球体直径[19,141] (81) 估计 （反映初始动量展宽）并与偶极长度尺度比较得到 (82) 因此，管内偶极相互作用可以吸收到接触耦合中，而管间相互作用充当真正的长程微扰。这一观察与文献[23,93]中近期实验结果的建模一致，作者表明管内偶极效应主要在平衡时[23]和动力学过程中重整化耦合 ，与文献[58]的原始解释略有不同。此外，我们观察到，将来自管指数 （我们假设每管处于相同状态）的朗道碰撞积分贡献相加足以捕获弛豫率，因为更远的管影响可忽略。为了模拟Bragg分裂协议下观察到的两阶段动力学（参见硬杆气体），我们调整理论以适应实验参数。文献[58]中的关键可观测量是作为 函数的热化率。我们考虑一个与文献[58]中研究的非常相似的（广义）热化距离度量 。我们拟合高斯分布 到每个时间 的状态 ，然后 计算为 (83) 测量时间 的状态与高斯分布的距离。第一阶段动力学之后，观测到指数衰减，其中(84)我们根据朗道碰撞积分的表达式计算，与实验速率符合得很好，见图8，从而为gBBGKY框架在实验环境中的首次直接应用提供了依据。需要强调的是，在我们的方法中，追踪的是快度分布的高斯性，而文献[58]中测量的是动量分布。然而，由于状态温度较高，这两者预期相近。这在最终状态中尤为明显，见图8的插图，该分布非常接近高斯分布，与文献[58]中测量的最终动量分布一致。此外，我们的结果也可用于推断热化速率的重要特征。实际上，更传统的理论方法是将碰撞积分在热分布附近线性化，并研究线性化碰撞算子的谱。等价地，可以追踪守恒荷中的微扰(85)其中矩阵是对称半正定的，并具有三个零模（粒子数、动量和能量）。矩阵的显式表达式及其推导见补充材料[114]。第一个非零本征值确定。然而，该方法预测的热化时间量级为——远长于实验可及的时间范围——因为它捕捉的是最慢衰减的模，而当前最先进的实验只能探测最快的弛豫通道。A. 费米黄金规则方法与广义朗道方程的验证限制在微扰利布-林尼格气体这一情形，也为我们提供了通过另一种方法对广义朗道方程（方程(66)）以及我们的gBBGKY方法进行非平凡检验的可能性。事实上，量子近可积系统的动力学也可以用费米黄金规则（FGR）处理，该规则可用于写出玻尔兹曼方程[47,48,142]。在本节中，我们简要回顾这些结果，并将其与从我们的层级结构得到的广义朗道方程进行比较。FGR方法在很大程度上依赖于形状因子的知识，即对于可积理论计算的微扰算子的矩阵元。在可积性破缺微扰为附加长程相互作用的情况下，相关的形状因子是密度算子的一点和两点函数。通常这些对象是未知的，然而，在状态间小激发极限下，LL模型中存在精确结果[143–147]。我们将看到，小激发极限将由可积性破缺势的长程极限自动保证，使FGR玻尔兹曼核在当前工作的感兴趣范围内可计算。我们再次假设哈密顿量为，其中是微扰，(86)LL模型具有费米子统计，我们定义空穴密度。在均匀系统中，动力学由类玻尔兹曼方程给出[47,48](87)其中，涉及不同粒子-空穴散射过程的测度为(88)除了密度因子外，方程(87)中有两个要素。首先，函数与微扰算子的粒子-空穴形状因子相关[148]，(89)假设粒子-空穴对称性，我们有。修饰能量和动量分别为(90)其中是底层可积模型的回流函数[149]。明确地，狄拉克函数内部的项为和。为后续使用，我们注意和。方程(87)中的第二个要素是由项实现的回流效应，其表达式为(91)评估碰撞项的主要实际困难是对不同数量粒子-空穴激发的无限求和。明确地，将和式中的积分测度写出，我们有(92)其中我们提取了修饰算子，定义了裸碰撞积分。由于这种结构，需要额外的小参数来有效截断求和。这种情况将发生在我们的长程相互作用情形中，其中势只允许小动量转移，这等价于将视为大参数。有了这些要素，我们可以将求和截断为的领头项，对应于三粒子-空穴（）激发。项为零，是由于第IV.A节描述的动力学阻塞效应。从现在开始，我们将假设所有转移动量都很小（该近似在补充材料[114]中讨论）。因此我们引入新变量和，得到的碰撞积分形式为(93)其中积分测度为，对于费米子统计有。此外，在该极限下，回流算子变为，实现了通常的修饰程序。为了继续，我们现在需要分析密度-密度算子的形状因子。考虑双局域算子的形状因子。我们在两个算子之间插入单位分解，得到(94)复合形状因子的领头贡献来自三粒子-空穴激发的二部划分。更明确地，对于，有六个相关划分。其中三个是单粒子-空穴激发：、和。另外三个是双粒子-空穴激发、和。利用热力学形状因子的重参数化不变性[150]，即左矢和右矢共有的激发可以吸收到热力学状态中这一性质，单粒子和双粒子-空穴激发的贡献成对相同，仅相差依赖项。形状因子的表达式（假设小动量转移）为[143,145](95)(96)并给出六个相关贡献，可写为如下形式：(97)碰撞积分中出现的因子为(98)其中我们定义了、，并使用了。关键的是，展开平方我们找到两类贡献，它们与方程(66)中的两个贡献一一对应。交叉项正比于，而自项涉及因子。碰撞积分因此有两个贡献，它们恰好等于方程(67)和(68)的两个贡献，因此为gBBGKY方法提供了一个独立且数学上高度非平凡的验证。VII. 结论在本工作中，我们将著名的BBGKY层级推广到具有可积接触相互作用的系统。我们从关联流体单元系综出发推导了该层级结构，这使我们能够在标准BBGKY框架（其中未微扰哈密顿量是自由的）和更一般的设置中精确表征多点关联。对于具有长程相互作用的经典硬球，我们通过分子动力学模拟检验了理论，观察到极好的一致性，即使在相对强的耦合下也是如此。对于由具有长程相互作用的利布-林尼格模型描述的量子气体，我们证明了广义朗道方程与费米黄金规则方法一致，为我们的理论和热化假设提供了严格的验证。最后，我们为文献[58]的实验结果建立了理论基础，证明这些准一维系统中的动力学由gBBGKY层级所涵盖。后者在强接触相互作用存在的情况下，能够精确捕捉预热态阶段的短时动力学，这一阶段由我们的形式体系精确追踪的快速关联建立所驱动。传统动力学方程无法描述这一瞬态阶段，而这通常是实验和模拟中唯一可及的区域。因此，gBBGKY为预热行为提供了概念框架和定量预测。在晚期时间，gBBGKY方法克服了一维中众所周知的动力学阻塞。对于微扰自由系统，热化由外势产生的三体散射驱动，其速率标度为。相比之下，对于接触相互作用，长程相互作用与粒子间对流扩散的联合效应产生量级为的热化速率。重要的是，这种热化不是完全的（广义热化），因为只有一点和两点函数达到其正则热值。高阶关联在同一时间窗口内仍远离热值，并保持其可积结构，导致有限的长程关联，这在热吉布斯系综中是不存在的，但由关联流体单元系综正确捕捉。我们的方法具有广泛适用性：其核心要素是未微扰可积模型的热力学描述，为各种经典和量子系统提供了一个通用框架。与基于费米黄金规则和显式矩阵元的方法不同，gBBGKY层级能够直接访问广泛的微扰可积模型中的玻尔兹曼散射积分和多点关联的时间演化。它可以应用于晶格系统——如长程自旋链和费米子模型[89,151–154]——受近期实验启发。此外，它为通过波湍流[59,155]将相互作用波的动力学理论与一般非线性波系统[156–158]联系起来开辟了一条路径。我们期望gBBGKY层级将成为进一步研究从低维冷原子实验到具有可调相互作用的复杂凝聚态和光学系统等各种物理背景下热化和预热的的重要工具。