非阿贝尔量子信号处理：用于混合振子-量子比特处理器的快速解析控制的复合脉冲

《Physical Review X》：Non-Abelian Quantum Signal Processing: A Composite Pulse for Fast Analytic Control of Hybrid Oscillator-Qubit Processors

　　量子信号处理（QSP）将一个由经典变量??参数化的幺正变换转换为一个由多项式函数??(??)支配的变换。尽管量子力学是线性的，但这种高度非线性的变换自然源于量子比特布洛赫球面的曲率。这一能力支撑着许多量子算法，并通过降低对控制参数误差的敏感性实现鲁棒控制，或通过增强对所测量变化量的敏感性实现量子传感。在此，我们将QSP从经典的、对易的控制参数扩展到非对易的量子算符。我们将这一新的多变量类别称为非阿贝尔QSP。非阿贝尔QSP并非将量子控制变量的非对易性视为复杂性，而是利用其更丰富的对易子代数作为高效控制的资源。一个自然的场景是在超导和离子阱处理器中实现的混合振子-量子比特系统，其中控制变量可以是量子谐振子的非对易位置和动量。我们引入高斯控制旋转（GCR），这是非阿贝尔QSP的一个典型实例，它消除振子控制的量子比特旋转的高斯量子涨落误差，在匹配经典复合脉冲鲁棒性的同时，具有更短的电路和低一个数量级的误差。GCR实现了用于制备压缩态、猫态、GKP态和福克态的完全解析电路，其性能可与最先进的数值优化协议相媲美。在此基础上，我们开发了一个用于GKP玻色子码通用控制的解析框架，其中逻辑读出兼作分段门传送，为有限能量GKP实现了首个高保真、误差缓解的单量子比特和双量子比特逻辑门，即使在无噪声情况下也超越了先前的方案。同一框架提供电路中间误差检测，并以闭式形式扩展到任意晶格、量子比特（qudits）以及与超导电路实验相关的多模码，这些实验现已展示了超越盈亏平衡点的GKP存储器。我们进一步应用这些思想来弥合振子辅助量子相位估计中的一个关键缺口。这些结果共同表明，量子控制算符的非阿贝尔结构可以为鲁棒且高效的量子控制提供实用资源，将非阿贝尔QSP确立为新的理论框架和实验可访问的控制范式。

I. 引言

量子信号处理（QSP）[1,2]是一个基本的算法原语，粗略地说，它将一个由经典变量参数化的量子比特幺正变换转换为一个由该变量的多项式函数支配的变换。例如，对于单量子比特旋转的情况，我们可能有

(1)

其中是泡利矩阵。正如我们将要解释的，QSP变换是通过重复应用固定幺正变换与其他量子比特旋转交替来实现的。尽管量子力学是线性的，但这种高度非线性的变换自然源于量子比特布洛赫球面的曲率。QSP起源于核磁共振领域的早期工作，该领域开发了对脉冲控制中不同类型误差具有鲁棒性的复合脉冲序列。其在鲁棒量子控制中的广泛效用源于选择多项式的方式，使得对控制参数误差的敏感性降低。相反，在量子传感中，人们选择多项式以增强对所测量的参数微小变化的敏感性。重要的是，更一般地说，QSP原语已被证明支撑着本质上所有已知的量子算法[3]，从而将其影响远远超出磁共振的根源。

在这项工作中，我们开启了QSP的新多变量领域——非阿贝尔QSP——其中控制参数是非对易的量子算符。我们表明，这种非对易性不仅仅是复杂性，其本身可以被利用作为量子控制的资源。我们并非发展该领域的一般理论，而是提供其第一个明确的构造性实例：单个复合脉冲，即高斯控制旋转，本文的所有结果均由此导出。这种更丰富代数结构的实验实例化目前正在混合振子-量子比特（CV-DV）系统[4-6]中探索，这些系统在超导[7,8]、离子阱[9,10]和中性原子[11,12]量子处理器中实现，其中非对易变量是量子谐振子的位置和动量。在超导系统中，振子是谐振器的电磁模式；对于离子阱，振子是离子的集体机械运动模式。在中性原子阵列中，（近似）谐振子对应于每个原子在其各自光镊束缚势中的机械运动。

我们的工作建立在两个独立的研究线索之上。非对易多变量QSP的抽象必要条件在[13]中给出，但没有任何充分性结果、构造性算法或明确实例。独立地，量子控制文献中有一个单独的历史，即开发用于混合CV-DV系统的门序列，以在振子中制备压缩态、猫态、福克态和GKP态[7,10,14-22]，或制备与振子耦合的量子比特的纠缠态[23,24]，但这些门序列并非从非阿贝尔QSP的视角发展而来。其中一些最简单的门序列，如离子阱中的M?lmer-S?rensen门[23,24]，是解析的且“人类可读的”，但其他一些仅是半解析的[14-16]或纯粹从随机初始门序列进行数值优化的结果[7]。这些通常难以解释且难以推广。受此启发，我们在这项工作中表明，用QSP和非阿贝尔QSP的语言形式化关键概念和操作，可以实现对门序列更深入的理解和更系统的解析设计，使其匹配或超越最先进的数值方案。特别是，我们展示了将这些序列解释为提供对非对易控制参数中量子涨落的鲁棒性的好处，正如普通阿贝尔QSP可用于提供对控制参数中经典涨落具有鲁棒性的控制。

在阿贝尔QSP中，方程(1)中的控制参数通常由控制器施加到量子比特上的（本质上经典的）电磁脉冲的幅度决定，或者在量子传感的情况下，由待传感信号的幅度决定。在我们将考虑的混合CV-DV系统中，经典控制参数被量子算符替代

(2)

其中是振子位置（）和动量（）的线性函数算符，它在非阿贝尔QSP（NA-QSP）下被转换为多项式函数。

由于量子振子相空间的辛结构，用固定的二维矢量通过以下方式参数化线性多项式是方便的

(3)

这清楚地表明是振子在相空间中沿方向位移的生成元。

如果我们只处理单个线性函数，那么这实际上是一元阿贝尔情形[25,26]，这是传统QSP到混合CV-DV系统的平凡扩展。然而，如果我们还处理（例如）第二个这样的线性函数，那么我们就有了二元非阿贝尔情形，前提是和不共线，使得

(4)

其中，如附录A中所解释，我们使用满足以下关系的无量纲位置和动量变量

(5)

这说明了相空间平移的Weyl-Heisenberg群的非对易性质。

和的非对易性，结合DV量子比特旋转的非对易性，产生了更丰富的代数结构，为NA-QSP提供动力。有趣的是，方程(2)中的混合CV-DV操作[27]有两种互补的解释。为了说明这些解释，考虑简单情形，其中是常数

(6)

(7)

方程(6)可以被解释为振子受到依赖于量子比特状态的动量提升（见方程(5)和附录A以理解因子）。相反，完全等价的方程(7)可以被解释为量子比特绕轴旋转一个角度，该角度与振子位置成线性关系。这种形式的门在离子阱和超导电路中都是天然可用的[5]。

很容易证明，将与组合产生丰富的代数结构，由于旋转角和的非对易性，使混合CV-DV系统实现通用控制成为可能[5]。特别是，NA-QSP序列可用于生成更高阶的多项式，如，其可以被解释为振子在相空间中依赖于量子比特状态的旋转，或量子比特绕轴旋转一个与振子能量成比例的角度。四次多项式可用于合成地生成振子中的有效非谐性，以执行相互作用的玻色子、自旋或费米子与玻色子耦合的量子哈密顿模拟、分子在非抛物线势能面上的核运动、格点规范理论等。

振子位置和动量是非对易的这一事实当然会导致这些量存在海森堡不确定性。因此，我们面临一个难题：虽然我们可能希望将量子比特旋转一个与振子位移成比例的角度，但不可避免地要应对振子位置的量子涨落。有趣的是，这些量子涨落的有害影响可以使用基于NMR社区开发的纯经典鲁棒控制技术的阿贝尔QSP门序列来缓解[28]。

然而，事实证明，问题的原因也可以是解决之道。产生这些量子不确定性的同一非对易性可以被利用来构建更简单且更鲁棒的NA-QSP序列——高斯控制旋转（GCR）——以抑制它们。GCR作为我们解释NA-QSP及其在实验上实用的有限能量GKP玻色子码近似上展示其能力的原型，在此它显著改善了误差综合征和逻辑态到DV量子比特上的映射以进行测量，并实现了一种改进形式的门传送。正如我们所展示的，这一单一原语已经可以在振子态制备、GKP纠错量子比特的通用控制以及振子辅助相位估计等领域产生完全解析协议——在这些领域中，以前的结果需要数值优化。

A. 大纲和读者指南

我们预计这项工作将引起熟悉DV量子比特并希望了解QSP思想扩展到非阿贝尔CV领域的读者的兴趣，以及熟悉CV量子信息并寻求更系统的玻色子控制问题方法的读者的兴趣。在第二节中，我们将简要回顾标准量子信号处理并引入NA-QSP，在表I中给出混合CV-DV系统不同类型QSP的层次结构概述。我们还定义了可用于QSP的实验实现混合门的具体细节。第三节展示了传统NMR复合脉冲序列如何应用于补偿脉冲参数的量子涨落而非经典涨落。然后我们详细介绍了GCR；这个NA-QSP序列特别利用了振子的零点涨落导致其位置和动量呈高斯分布这一事实。在第四节中，我们介绍了GCR在确定性制备压缩态和非高斯态（如猫态和GKP纠错码字）方面的应用，并与最先进的数值策略进行了比较。第五节介绍了GCR在GKP玻色子纠错码中的重要NA-QSP应用，给出了逻辑读出、纠错和门传送的新算法原语。第六节重点介绍了未来方向，包括相位估计的具体实例、通过制备旋转对称态（如四腿猫态和福克态）实现通用控制，以及混合优化的扩展。第七节给出了总结、结论和开放问题。

表I. CV-DV QSP的景观。该表按控制变量是否对易组织QSP协议，从经典复合脉冲进展到本工作开启的非阿贝尔领域。文献中发现的具有对易和非对易量子变量的不同类型QSP技术概述，面向通用振子控制而开发。底下两行属于非阿贝尔量子信号处理的很大程度上未探索的领域。在混合振子-量子比特系统中，非对易变量是振子位置和动量。本工作提出了非阿贝尔QSP序列的明确解析构造，并在CV-DV控制理论领域有应用。

CV-DV QSP类型 条件 用例 参考文献
一元QSP 传统QSP方法[1,3,29]到量子控制变量的适应 [25]
具有对易变量的多元QSP 多个振子的控制 [13,30]
具有非对易变量的二元QSP 单振子高保真控制，低电路深度 本工作

II.量子信号处理用于混合系统的控制在本节中，我们介绍构建混合连续变量-离散变量（CV-DV）控制问题所需的关键概念：从经典复合脉冲序列出发，回顾量子信号处理及其向混合振子-量子比特系统的扩展，引入混合控制中的两个核心问题陈述，并解释振子状态中的高斯不确定性如何产生第三节所讨论的控制挑战。在本文中，我们使用\(\left|g\right\rangle\)、\(\left|e\right\rangle\)表示量子比特的基态和激发态，而\(\left|n\right\rangle\)用于表示振子的福克态，其中\(\left|0\right\rangle\)表示真空态。

A. 单量子比特控制的复合脉冲

QSP形式体系是复合脉冲的推广——复合脉冲是由核磁共振（NMR）领域发展起来的多个单量子比特旋转的组合，用于校正控制参数中的系统误差。举例来说，假设目标旋转为
\[
R_{\phi}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -ie^{-i\phi}\sin(\theta/2) \\ -ie^{i\phi}\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix} \tag{8}
\]
\[
R_{\phi}(\theta) = \exp(-i\theta(\cos\phi\,\sigma_x + \sin\phi\,\sigma_y)/2) \tag{9}
\]
对于实验上常见的脉冲控制器具有良好相位控制\(\phi\)但振幅控制较差的情况，实际施加的旋转为
\[
\tilde{R}_{\phi}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\tilde{\theta}/2) & -ie^{-i\phi}\sin(\tilde{\theta}/2) \\ -ie^{i\phi}\sin(\tilde{\theta}/2) & \cos(\tilde{\theta}/2) \end{pmatrix} \tag{10}
\]
\[
\tilde{R}_{\phi}(\theta) = \exp(-i\tilde{\theta}(\cos\phi\,\sigma_x + \sin\phi\,\sigma_y)/2) \tag{11}
\]
其中\(\tilde{\theta} = \theta(1+\epsilon)\)表示脉冲振幅中的小分数误差。

为了抑制此类误差，构造了复合脉冲\(R_{\phi_1}(\theta_1)\cdots R_{\phi_n}(\theta_n)\)，其由具有不同相位\(\phi_i\)的多个（带误差的）单量子比特旋转组成，用以消除直到第\(k\)阶的所有低阶误差项，从而将旋转保真度提升至
\[
F = 1 - \mathcal{O}(\epsilon^{2k+2}) \tag{12}
\]
针对\(\epsilon\)中的经典（标量）误差，已开发出几种著名的复合脉冲序列，包括BB1[28]、SCROFULOUS[31]和TYCKO[32]。在量子比特的量子控制背景下，已开发出相关但更系统化的方案[3,33–35]。

就我们的目的而言，BB1序列实现了最简单且最有效的误差消除，因此将作为我们比较的基准。该序列设计用于在经典控制误差下实现对旋转\(R_{\phi}(\theta)\)的鲁棒近似，由下式给出
\[
R_{\phi}(\theta) = R_{\phi}(\theta_1) R_{\phi+\pi}(2\theta_1) R_{\phi+2\pi}(\theta_1) R_{\phi}(\theta_2) \tag{13}
\]
其中\(\theta_1 = \pi\)，\(\theta_2 = 2\pi\)。复合序列的净效应是产生形如方程(1)所示的幺正变换，其中多项式\(P\)被设计为对于目标角度\(\theta\)附近的所有输入角度产生近似恒定的输出
\[
P(\theta) \approx e^{-i\theta/2} \cdot \mathcal{O}(\epsilon^{k+1}) \tag{14}
\]
对于某个次数\(d\)。对于BB1序列，\(d=3\)，因此产生的保真度为\(F = 1 - \mathcal{O}(\epsilon^6)\)。

B. QSP回顾

量子信号处理作为复合脉冲序列的系统化推广而出现。特别地，这些序列将信号（通常为单量子比特\(Z\)旋转）夹在单量子比特\(X\)旋转之间[29]。对于信号处理向量\(\vec{\Phi} = (\phi_0, \phi_1, \ldots, \phi_d) \in \mathbb{R}^{d+1}\)，我们可以将单量子比特QSP序列写为
\[
U_{\vec{\Phi}}(x) = e^{i\phi_0\sigma_z} \prod_{k=1}^{d} \left[e^{i\arccos(x)\sigma_x} e^{i\phi_k\sigma_z}\right] \tag{15}
\]
\[
U_{\vec{\Phi}}(x) = R_{\phi_0}(0) \prod_{k=1}^{d} \left[R_{\pi/2}(2\arccos(x)) R_{\phi_k}(0)\right] \tag{16}
\]
我们将采用算符乘积从右向左排序的约定，使得第一项先施加，最后一项最后施加。最终的表达式假设\(R_{\phi}(0) = e^{i\phi\sigma_z/2}\)。因此，QSP序列是一系列关于布洛赫球赤道平面上轴的单量子比特旋转，旨在实现幺正多项式\(U_{\vec{\Phi}}(x)\)。例如，方程(13)中的BB1(90)复合脉冲序列可以用QSP形式表示为
\[
U_{\vec{\Phi}}(x) = R_{\phi_1}(0) R_{\pi/2}(2\arccos(x)) R_{\phi_2}(0) R_{\pi/2}(2\arccos(x)) R_{\phi_3}(0)
\]
其中\(\vec{\Phi} = (\phi_1, \phi_2, \phi_3)\)。QSP序列产生的矩阵可以使用\(x\)的多项式函数来表示[3]：
\[
U_{\vec{\Phi}}(x) = \begin{pmatrix} P(x) & iQ(x)\sqrt{1-x^2} \\ iQ^*(x)\sqrt{1-x^2} & P^*(x) \end{pmatrix} \tag{17}
\]
对于BB1，该矩阵的第一个分量为\(P(x) = \cos(3\arccos(x)) - i\sin(3\arccos(x))\)。

QSP框架随后从单变量扩展到多变量设置。涵盖所有信号处理算子为单量子比特旋转的一般QSP序列由下式给出
\[
U_{\vec{\Phi}}(\vec{x}) = e^{i\phi_0\sigma_z} \prod_{k=1}^{d} \left[e^{i\arccos(x_k)\sigma_x} e^{i\phi_k\sigma_z}\right] \tag{18}
\]
其中\(\vec{x} = (x_1, \ldots, x_d)\)表示每个信号处理步骤的信号变量。注意，该扩展可以包括多量子比特系统、混合振子-量子比特系统或多振子系统。对此类序列可实现的多项式类别的刻画在表I中讨论。该方向的近期工作开发了具有多个对易控制变量的QSP[13,30]，其中\([x_i, x_j] = 0\)对所有控制信号变量对成立。

虽然对易情形现已被充分理解，但在本工作中我们超越该范畴，开始解决更广泛的挑战——合成依赖于非对易可观测量的算子值多项式，其中至少存在一对指标\((i,j)\)使得\([x_i, x_j] \neq 0\)。尽管非阿贝尔QSP的一般构造性框架仍然开放——非对易变量下可实现多项式类别的刻画以及将目标多项式映射到相位序列的构造性算法都是悬而未决的问题——表I中概述的层次结构为未来发展提供了路线图，并识别了当前技术可处理的有前景的中间协议类别。

我们关注混合振子-量子比特系统，使得控制变量是振子位置（\(\hat{x}\)）和动量（\(\hat{p}\)）的量子算子值线性函数：\(\hat{X} = \alpha\hat{x} + \beta\hat{p}\)。重要的是，关于\(\hat{X}\)线性的假设足以实现通用控制[5,7]。值得注意的是，上述定义的QSP序列\(U_{\vec{\Phi}}(\hat{X})\)可以写成作用于DV量子比特的\(2 \times 2\)算符形式：
\[
U_{\vec{\Phi}}(\hat{X}) = \begin{pmatrix} U_{gg}(\hat{X}) & U_{ge}(\hat{X}) \\ U_{eg}(\hat{X}) & U_{ee}(\hat{X}) \end{pmatrix} \tag{19}
\]
其中四个分块中的每一个都是仅作用于振子的CV算符。例如，\(U_{gg}(\hat{X})\)是当量子比特输出为\(\left|g\right\rangle\)时施加于振子的有效操作，类似地，\(U_{ge}(\hat{X})\)、\(U_{eg}(\hat{X})\)、\(U_{ee}(\hat{X})\)等。值得注意的是，这四个作用于振子的分块编码算符不必是幺正的——这一特性可在各种量子算法中被加以利用。

C. 混合系统控制的问题陈述

对于以下每个问题，我们设定目标为：在将\(U\)施加于初始状态\(\left|g\right\rangle \otimes \left|0\right\rangle\)（量子比特处于\(\left|g\right\rangle\)，振子处于真空态\(\left|0\right\rangle\)）后，量子比特应完全与振子解除纠缠。也就是说，我们希望\(U\)为分块对角矩阵，且\(U\)对振子执行指定的目标（幺正）操作\(V\)。如果这些条件未完全满足，那么我们有几个重要的保真度度量。

首先，了解对量子比特最终处于\(\left|g\right\rangle\)进行选择性测量的成功概率是有用的：
\[
P_{\text{success}} = \langle 0| \langle g| U^{\dagger} (\left|g\right\rangle\langle g| \otimes I_{\text{osc}}) U |g\rangle |0\rangle \tag{20}
\]
第二个量是混合保真度\(F_{\text{hybrid}}\)，对于态制备问题，由下式给出
\[
F_{\text{hybrid}} = \langle \psi_{\text{target}}| \langle g| U |g\rangle |0\rangle \tag{21}
\]
这给出了辅助比特从\(\left|g\right\rangle\)开始并结束于\(\left|g\right\rangle\)，且振子从\(\left|0\right\rangle\)开始并结束于我们想要制备的目标态\(\left|\psi_{\text{target}}\right\rangle\)的概率。我们还可以定义第三个量，即选择性后保真度，在量子比特确实最终处于\(\left|g\right\rangle\)的条件下，由贝叶斯法则得
\[
F_{\text{post}} = \frac{F_{\text{hybrid}}^2}{P_{\text{success}}} \tag{22}
\]
在辅助量子比特可以发出指示泄漏错误已发生的标志的情况下，还可以考虑额外的容错度量[36–38]，但这超出了本工作的范围。

在定义算符的保真度时，有必要将可数无穷希尔伯特空间维数截断为有限维数\(N\)。我们将假设\(N\)足够大，使得由此截断引起的误差可忽略[5]。如果我们允许量子比特-振子纠缠误差的上界为\(\epsilon\)，则振子-量子比特控制的问题陈述如下：

1. （问题1）通用态制备
要实现从真空开始的任意振子态\(\left|\psi_{\text{target}}\right\rangle\)，我们需要一个混合幺正变换\(U\)，使得：
（i）\(U\)是分块对角的，且
（ii）\(U_{gg} = V_g\)，\(U_{ee} = V_e\)，
其中\(\|\cdot\|\)是态范数，\(V_g\)（\(V_e\)）是测量量子比特在\(\left|g\right\rangle\)（\(\left|e\right\rangle\)）基下时条件于结果的振子有效操作。

2. （问题2）通用控制
要合成一个多项式哈密顿量\(H(\hat{x}, \hat{p})\)，实现任意振子幺正变换\(U_{\text{target}}\)：定义\(F(U, V)\)为算符\(U\)和\(V\)之间的算符保真度，我们需要\(U\)满足：
（i）\(U\)是分块对角的，且
（ii）\(F(U_{gg}, U_{\text{target}}) \geq 1 - \epsilon\)。

有了这些问题陈述，我们现在引入指令集并讨论QSP必须抑制的控制误差的物理起源。

D. 相空间指令集

用于混合架构的量子信号处理，其中控制算子\(\hat{X}\)是振子位置和动量的线性函数，采用相空间指令集[5]（详见附录A）。信号是条件于量子比特状态的振子位移，或者是振子控制的量子比特旋转：
\[
\text{CD}(\alpha) = \left|g\right\rangle\left\langle g\right| \otimes D(\alpha) + \left|e\right\rangle\left\langle e\right| \otimes D(-\alpha) \tag{23}
\]
我们使用简写符号\(\text{CD}(\alpha)\)表示该算符。这些门已在超导和离子阱系统中通过色散和边带相互作用实现[7,10,17]。条件位移最近已被用于高效编译混合CV-DV硬件的量子奇异值变换（QSVT）预言机[39]，展示了该指令集更广泛的算法适用范围。振子位置\(\hat{x}\)和动量\(\hat{p}\)不对易——这一事实将混合CV-DV设置与所有纯经典或对易变量控制问题区分开来，我们在第三节A中直接利用这一点。

E. 量子涨落

由于不确定性原理，振子中的量子态不能具有完全确定的动量和位置。相干态\(\left|\alpha\right\rangle\)是一个最小示例，在位置基中用高斯波函数表示：
\[
\psi_{\alpha}(x) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{1/4} \exp\left(-\frac{(x - \bar{x})^2}{4\sigma^2} + i\frac{\bar{p}x}{\hbar}\right) \tag{24}
\]
其平均位置为\(\bar{x} = \sqrt{2}\text{Re}(\alpha)\)，高斯不确定性为\(\sigma = 1/\sqrt{2}\)。这种不确定性只是与振子基态或真空态（对于真空态\(\bar{x} = \bar{p} = 0\)）的零点涨落相关的自然不确定性，但在压缩态中可能更小或更大（见第四节B）。对于未压缩相干态，我们写为\(\sigma = 1/\sqrt{2}\)。就我们的目的而言，压缩相干态中的关键相空间信息主要在于编码在\(\alpha\)中的平均位置和动量，其次在于不确定性\(\sigma\)。

这种高斯不确定性是解决问题1和2的核心实际障碍：由于振子控制的旋转角正比于振子位置，而位置具有宽度为\(\sigma\)的高斯分布，量子比特累积的是一系列旋转角而非单一确定值。在第三节中，我们展示了如何改编来自核磁共振的经典复合脉冲序列来抑制这些误差，并引入GCR作为典型的非阿贝尔复合脉冲，利用\(\hat{x}\)和\(\hat{p}\)的非对易性来超越BB1——传统核磁共振文献中最佳的复合脉冲序列——同时使用严格更低的电路深度。

III. 相空间中的复合脉冲

对于玻色子纠错重要的振子态，如猫态和GKP态，是具有相同高斯不确定度展宽的波函数的叠加。这种相关的高斯不确定性在振子控制的量子比特门CD中引起过旋转和欠旋转：因为旋转角正比于振子位置，而位置具有宽度为\(\sigma\)的高斯分布，量子比特累积的是一系列旋转角而非单一确定值。本节的目标是设计抑制这些误差的QSP序列，如图1所示。

图1. 相空间中复合脉冲的框架及其应用。混合CV-DV系统通过相空间指令集控制，该指令集作为阿贝尔和非阿贝尔复合脉冲序列的基础，应用于振子-量子比特（CV-DV）控制理论。蓝色曲线显示振子位置\(\hat{x}\)的概率分布。目标是仅使用振子控制的旋转，基于\(\hat{x}\)的符号，独立于位置不确定性\(\sigma\)，将辅助量子比特自旋从\(\left|g\right\rangle\)旋转到\(\left|e\right\rangle\)。量子比特状态描绘在布洛赫球的\(xy\)平面上：初始态\(\left|g\right\rangle\)指向\(+z\)方向，目标态\(\left|e\right\rangle\)指向\(-z\)方向。左图：描绘处于乘积态的混合CV-DV系统，通过方程(7)所示的振子控制的量子比特旋转\(R_{\phi}(\hat{x})\)进行控制。时钟中围绕目标态在布洛赫球\(xy\)平面上刻度的展宽说明了由高斯位置不确定性\(\sigma\)引起的过旋转和欠旋转。底部图引入了我们的关键思想——在振子相空间中施加基于QSP的阿贝尔（BB1）或非阿贝尔（GCR）复合脉冲来抑制这些旋转误差。右图：该框架的关键应用包括振子态的确定性制备、GKP码字的通用控制，以及面向通用态制备和量子相位估计的算法原语。

按照方程(2)的精神，我们定义目标变换
\[
U_{\text{target}}(\hat{x}) = R_{\phi}(\hat{x}) \tag{25}
\]
使得当将\(U_{\text{target}}\)施加于混合振子-量子比特态时，在\(z\)基下测量量子比特产生关于平均位置\(\bar{x}\)的一位信息。最简单的情况是区分\(\text{sgn}(\bar{x})\)。例如，选择\(\phi = 0\)，\(\hat{X} = \hat{x}\)，\(\theta(\hat{x}) = \pi \hat{x}/2\)可得
\[
U_{\text{target}}(\hat{x}) = R_0(\pi \hat{x}/2) \tag{26}
\]
将\(\hat{x}\)的符号映射到两个正交量子比特态。注意，\(U_{\text{target}}\)只能区分重叠极小的态，即当\(\bar{x}\)较大且态\(\left|\alpha\right\rangle\)和\(\left|-\alpha\right\rangle\)接近正交时。

更一般地，对于由位于\(x_i\)处的高斯峰叠加组成的态，量子比特在第\(i\)个峰上累积的旋转角为\(\theta(x_i)\)。由于量子比特每次测量只能编码一位信息，单次施加\(U_{\text{target}}\)只能提取\(\bar{x}\)的一个二元性质——例如，奇偶性\(\text{parity}(\bar{x})\)，通过选择\(\hat{X} = \hat{x}\)，\(\theta(\hat{x}) = \pi \hat{x}/2\)获得。这正是后面章节中用于猫态和GKP态控制的测量原语。为清晰起见，我们首先关注实数\(\hat{x}\)值。

一种朴素方法是单量子比特位置控制的旋转\(R_{\phi}(\hat{x})\)。这个脉冲仅在高斯峰值处达到目标，但在远离峰值时会因不确定性而发生过转和欠转： (27) (28)
第一个因子是目标酉算子，第二个因子代表该旋转的误差部分，如左图蓝色面板所示。由于高斯包络的存在，振子远离峰值的概率很小，这限制了这些误差对大值的影响。
为了在保持振子状态的同时忠实地获取其信息，必须以QND方式校正这些误差。这里的误差算子与第II节中讨论的经典核磁共振旋转具有相同的形式，因为误差与目标振幅成正比。因此，我们可以采用核磁共振中的传统复合脉冲序列来消除这些过转和欠转误差——经典复合脉冲因此成为我们混合振子-量子比特QSP方法的自然先驱。以往所有振子控制方法[7,14,15,40]都使用数值优化的基于色散相互作用的电路，借助辅助量子比特实现误差消除。相比之下，QSP构造完全是解析且直观的。
量子控制变量。只要脉冲序列中所有旋转参数对易，就可以将传统QSP复合脉冲中的经典控制变量替换为量子算子。这种替换使得单变量QSP技术[29,41]能够直接应用于量子系统。一个自然的出发点是BB1序列，它可以通过将相同的脉冲逻辑应用于振子控制旋转来提升到混合量子设置中。在其原始上下文中，BB1抑制了对由脉冲振幅误差引起的经典变量波动的敏感性。关键是，当参数提升为量子变量时，相同的序列可以重新用于读出振子的平均位置——现在抑制的是由海森堡不确定性原理引起的波动敏感性，而非经典噪声，同时保留编码相空间信息的访问。具体来说，为了校正旋转，使用式(13)中的经典BB1序列，我们定义 (29)
其中，直接转化为一系列位置控制旋转。这种混合复合脉冲序列通过减轻由高斯不确定性引起的量子涨落误差，提高了目标振子控制量子比特旋转的保真度，从而更精确地将振子平均位置的符号传递给辅助量子比特。该序列也已在量子干涉测量中找到应用[25]。
像BB1这样的传统QSP序列只能适用于混合控制的阿贝尔单变量设置——非对易控制变量的潜在收益完全未被利用（见图1右侧蓝色面板）。这引发了一个自然问题：非阿贝尔QSP能否超越其阿贝尔对应物？我们在第III.A节中肯定地回答这个问题。
A. 高斯受控旋转：非阿贝尔复合脉冲
为了构造式(26)中目标酉算子的良好近似，我们现在引入高斯受控旋转，这是一种非阿贝尔QSP复合脉冲序列，定义为 (30)
这是式(18)多QSP序列中具有个分量的双变量QSP序列，使用式(23)中定义的混合门。与式(29)中使用四次位置控制旋转的阿贝尔BB1序列相比，GCR仅使用两个门——一个以为条件，一个以为条件。此外，它与传统多变量QSP[30]的不同之处在于其两个角变量是非对易的。正如我们将展示的，正是这种非对易性使得在误差波动已知为高斯型时，能够用更少的门实现误差消除。非对易变量QSP的必要条件在参考文献[13]中给出，但未提供充分性结果或显式构造。使用控制参数和的交替序列的数值优化脉冲此前已用于实现CV-DV架构的控制[14,40]，但没有在复合脉冲或双变量非阿贝尔QSP的背景下提供任何解析解释。我们将GCR作为非阿贝尔QSP序列的一个具体且解析优化的实例。
GCR的工作原理如图2所示。我们首先注意到式(30)中的第一项是先前讨论的简单位置控制量子比特旋转。正如我们将在下面进一步展示的，第二项是一种“预旋转”校正因子，旨在针对已知高斯不确定性的具体情况，近似消除第一项的误差。利用式(28)，我们可以将式(30)重写为 (31)
图2. 高斯受控旋转。朴素方法（黄色箭头所示）应用会产生关于目标旋转的过转和欠转。使用GCR（红色箭头所示），动量控制旋转作为预校正，其绕平均位置旋转量子比特的方式恰好消除了过转和欠转，使得量子比特的最终旋转主要归因于每个峰值的平均位置值（）。
当作用于输入态时，预旋转消除误差项至一阶，使得GCR产生一个有效多项式，将量子比特旋转一个由高斯波函数的平均位置决定的角度： (32)
即式(26)给出的目标酉算子：绕任意赤道轴按固定角度旋转量子比特，其符号由振子的平均位置决定。关键步骤在于，条件位移预校正有效地执行绕的旋转，该旋转抵消了由位置高斯不确定性引起的旋转误差[见式(28)]至的一阶。与仅依赖于平均位置的BB1不同，GCR还依赖于不确定性。该电路的误差抑制严格优于BB1，电路持续时间至少减少，电路深度减少2。表II总结了完整的比较。
表II. 对于相干态（图3中的第一个点），GCR在最坏情况下的BB1和GCR性能比较。指标：色散相互作用门数量（）、电路持续时间（）、混合不保真度（）和失效率（）。振幅为1的色散相互作用需要。脉冲 BB1 4 GCR 2
我们现在展示条件位移如何作为主位置控制旋转的预校正：它执行一个振幅依赖于振子状态导数的旋转。 (33) (34)
并且要求量子比特初始化为，因为，这意味着 (35)
这些计算假设，因此将泰勒展开截断到式(33)、(35)中的一阶是合理的。因此，我们证明了条件位移充当振幅正比于（）的位置控制旋转。现在，设并将式(35)代入式(30)，得到酉算子的目标效果，如式(32)所述，证实预校正恰好抵消了第一阶位置不确定性误差。
B. 误差界
控制正确性的关键小参数是 (36)
这是一个无量纲参数，设定了由信号不确定性引起的旋转误差尺度。为了界定脉冲中的误差，我们注意到，且理想情况下应只是振子-量子比特态上的恒等运算。为了量化这种效应，我们使用以下性能指标，其推导在附录B.3中给出。
(i) 失效率将量子比特旋转误差量化为[见式(19)]。展开式中的奇阶项（,）是量子比特旋转误差的唯一贡献者（附录B.3），给出 (37)
作为比较（见附录B.2、B.4）： (38)
GCR和BB1实现相同的标度[类似于式(13)中经典BB1的标度]，但BB1的前置因子差。
(ii) 混合不保真度量化振子反作用。当足够小时，混合态保真度决定性能。GCR的残余不保真度， (39)
标度为而不是。这种较软的标度反映了GCR中动量控制旋转不期望的反作用——这是BB1中不存在的代价，因为它仅使用位置控制旋转，因此满足 (40)
GCR以较软的标度换取在操作范围内更低的绝对不保真度，使得（见图3）。例如，我们在表II中明确计算了处的几个指标值。
(iii) 电路深度。门持续时间随位移振幅缩放（），因此总位移振幅是合适的电路深度指标。这给出和，因此 (41)
在处取等号，这是GCR的最坏情况。[42]由于DV辅助量子比特衰减——混合CV-DV架构中的主要误差源——随电路持续时间缩放，这种减少直接提高了高保真性能。
图3. 非阿贝尔复合脉冲序列GCR在量子相空间中的性能，对于和。(a) 与对于的比较。彩色线：来自qutip[43]的模拟失效率（实线）和不保真度（虚线）；黑线：解析表达式Eqs. (37)–(39)（见附录B）。的不保真度标度为；两种方案的失效率标度均为。的的优势来自等标度下前置因子的比率。(b) 相干基在、下的性能。（左）固定改变证实了相同的标度。（右）固定改变显示与无关（式(42)），因为只需简单旋转即可处理态。
数值模拟证实了所有解析结果[图3(a)]：GCR和BB1的曲线均匹配，对于未压缩相干态（,），优势需要。在没有量子比特或腔衰减的情况下，GCR实际上是确定性的——辅助测量仅用于预示外部故障，如量子比特或腔衰减误差。
C. GCR的推广
该序列消除高斯位置不确定性的能力启发了“高斯受控旋转”或GCR的名称。该序列可以简单推广：量子比特算子可以绕轴旋转任意角度（,），相空间正交分量可以替换为任意一对垂直方向, [见式(23)]。还有两种进一步的情况需要考虑。
对于动量压缩态，其中和，，位置涨落被反压缩，校正应沿而不是作用。这通过简单地选择、将替换为来实现，确认了对于GCR仍是最坏情况。
对于同时具有和的态，波函数形式为（在归一化和相位差范围内）。动量偏移引入了一个额外的位置依赖相位，标准GCR序列未考虑这一点。这通过在应用标准GCR序列之前进行简单的初始量子比特旋转来校正： (42)
数值确认如图3(b)所示，证实GCR自然地扩展到沿任意相空间向量的相干态。
非阿贝尔复合脉冲的一个可能扩展是阿贝尔和非阿贝尔脉冲的级联。GCR抑制高斯位置不确定性误差，但当振子经历小位移误差时会退化；相比之下，BB1对此类位移误差具有鲁棒性，但不携带关于的信息。将两者级联——将每个BB1旋转替换为相应的GCR脉冲——似乎会结合这些互补优势，但确定性（酉）组合表现不佳：物理上可实现的预校正仅在旋转角的前导阶抵消位置不确定性误差，因此BB1的大角度脉冲破坏这一条件并抹平响应。相反，精确的GCR校正可以通过预示辅助量子比特在该组合中概率性地实现，在后选择分数上恢复近乎理想的响应。该脉冲及其预示模拟的问题已在附录C中描述。我们不追求这种组合，因为级联序列较长且不利于噪声鲁棒性。
基于这些结果，我们使用GCR设计在相空间中具有有利表示的态的解析制备方案，如压缩态、双支猫态和GKP态，见第IV节，而旋转对称态（如四支猫态和Fock态）的制备在第VI.A节给出。我们还在第V节中强调其在玻色子纠错中的效用，包括稳定化和GKP态通用控制的逻辑门。
IV. 确定性玻色态制备
在本节中，我们利用第III.A节开发的高斯受控旋转复合脉冲序列，推导结构化非高斯振子态——特别是非重叠高斯波函数的叠加——的确定性制备方案。我们引入一组使用GCR构建的模块化混合量子控制例程（或称“小工具”），并使用它们设计完全解析的方案，用于确定性制备双支猫态（第IV.A节）、压缩真空态（第IV.B节）和GKP码字（第IV.C节）。这些协议是解析推导得到的，其性能相当或优于数值优化方案，并且可直接在当前的超导和离子阱平台中实现。这些工具的结构化特性自然延伸至本文所展示的即用型结果之外。在应用与展望部分（第六节），我们使用这些相同的工具作为解析制备旋转对称态（包括多腿猫态和福克态）的出发点，这是朝着第二节问题1所提出的通用振子态制备这一更广泛开放问题所迈出的具体步骤。这些例子既展示了相位空间ISA的适用范围，也揭示了当其被推向自然领域之外时出现的基本约束。在本节其余部分，我们对联合系统采用张量积约定，并将脉冲序列中条件位移（CD）的总振幅称为电路时长（以 为单位）。从CD振幅到实际运行时间的精确映射详见附录D。本节重点关注无噪声态制备，而对真实噪声参数下的性能将在下一节讨论。

在介绍我们的态制备协议之前，我们先定义两个工具，它们将在下文中所有方法中使用。考虑形如式(43)的状态，其中 为复系数。具有这种描述的状态对应于等间距高斯峰叠加，例如猫态或GKP态。我们引入的这些工具允许我们将量子比特与单个峰（由 索引）纠缠（ ）或解纠缠（ ），而不会对每个峰的位置或动量涨落敏感，从而能够制备形如式(43)的状态。

（a） ：一种依赖于高斯峰的纠缠工具可定义为式(44)。将纠缠序列作用于形如式(43)的状态，该纠缠工具的作用效果如式(45)所示，其中 为任意量子比特态。注意，此纠缠工具依赖于 和 ，这需要预先知道该序列所作用的态。

（b） ：从上述形式的纠缠混合振子-量子比特态出发，解纠缠电路将量子比特态固定于电路末端[见图4(a)]。我们将解纠缠工具定义为任何形如式(46)的电路。该工具用于解纠缠纠缠的振子-量子比特对，使得式(47)成立，其中 具有式(43)的形式， 为固定量子比特态。显然，选择 可实现此目标（即 ）。然而，任何满足式(48)的 选择也可实现预期目标，可能产生 。特别地，选择 导致 仅对形如式(43)的状态施加平凡作用，正如我们在下文第五节中所示，这引出了有趣的纠错特性。

图4. 两腿猫态的确定性制备。(a) 确定性猫态制备需要由 给出的解纠缠序列。(b) 我们展示了数值结果，包括无校正选项（ 为黄色）、单变量或传统QSP校正（ 为青色）、双变量非阿贝尔QSP校正（ 为红色）。(左)辅助比特最终处于 态的失败概率。(右)成功时输出振子态与目标猫态的不保真度。

由这些工具，我们现在引入各种遵循式(43)表示的振子态的制备协议。

A. 两腿猫态

振子相位空间中位于直径相对位置的两个相干态的叠加称为两腿猫态。我们定义式(49)和式(50)，如果在此定义中使用基底态 且 ，则 为压缩猫态。这些态具有式(43)的形式，其中 且 对 。

协议。该协议从量子比特处于基态、振子处于（压缩）真空态开始。通过序列式(51)获得偶猫态。为简化起见，我们下面假设 ，即初始真空态，并选择 。在第一次条件位移之后，态由式(52)给出。这使振子-量子比特处于纠缠态。此时，通过在 基中测量量子比特，可以概率性地制备偶或奇猫态[8,44,45]。然而，对于确定性过程，可以替代地施加 量子比特旋转，其中旋转的符号取决于关联的振子态。这正是上述 序列的效果，它对量子比特施加旋转 ，参见式(30)。在完整序列之后，所得态由式(53)给出，其中 为式(36)中定义的误差参数。[46]奇猫态 可以通过从量子比特态 开始类似地制备（见附录E2）。

讨论。在图4(b)中我们固定 ，变化 并绘制两个量：(i) ，由辅助比特在 中的测量标记；(ii) ，混合输出态相对于目标偶猫态（量子比特处于 ）的不保真度。GCR和BB1的低 表明不需要辅助比特测量。如第三节A所示，解纠缠误差 随 增大和 减小而减小。我们可以在图3中看到与我们的框架相应正确性度量相同的趋势。为了研究QSP的有效性，我们还展示了选择更简单的解纠缠步骤为 时的相应曲线。该曲线的解析表达式 已在附录E3中推导。GCR和BB1的解析保真度已在附录B中计算。因此，我们展示了在连续变量旋转误差校正量子比特时，使用相位空间复合脉冲框架所实现的数量级改进。

B. 压缩态

我们提出了一种生成压缩态的新方法。这一结果可与参考文献[7,15]中最先进的方案相媲美，且无需数值优化工具。此外，我们的构造允许相对于电路时长优化保真度。我们的协议具有由GCR组成的基本单元，可理解为确定性小偶猫态制备电路，或等价地，稍微压缩的态。

1. 压缩工具

我们的工具 将方差为 的态输出为方差为 的态。我们考虑振子态波函数式(54)，其中位置和动量不确定度分别为 。为简化起见，我们下面关注 和动量压缩，即 。

如图5(b)所示，我们的压缩工具在协议第 步由两个条件位移组成，如式(55)所示，其中 的选择决定所得涨落 以及最终态与真实压缩态的距离。该序列在动量基中镜像了GCR的基于位置的旋转。

图5. 压缩态的确定性制备。(a) 使用增量GCR的确定性压缩协议。(b) GCR作为压缩工具 的解释。这些图显示了该序列在将量子比特从最终态解纠缠的同时引入少量压缩，其中 。(c) 所有图共享 轴图例：时间（ ）。(上)对于三个不同的协议，目标压缩为11.2 dB，在 范围内取10个点，变化压缩率 时的保真度和电路时长变化。(中)压缩（栗色）和反压缩（红色）作为较快协议（ ）的电路时长的函数。 、 关于 的定义见附录D。(下)较快协议的费舍尔信息。(c)中的空心圆表示激活后选择时的结果绘图。这里 表示条件位移的总长度；转换为实际运行时间可参见附录D。

为了获得对过程的直观理解，将CD门解释为量子比特态在振子态条件下的旋转更容易。因此，在第一个条件位移 作用于联合态 之后，条件于振子位置的量子比特算符期望值由式(56)、(57)、(58)给出。注意 ，因此对于初始化为 的量子比特，我们有式(59)，这是应有的情况。然而，对于特定的 值， 是可能的。保持 较小确保在 具有显著支持的区间上 ，这使量子比特能够更好地解纠缠。为解纠缠量子比特并恢复 ，我们对 施加 的量子比特旋转，即 。这校正了 的线性部分，在 的范围内设定式(60)。 和 的精确表达式见附录D。在量子比特解纠缠后，振子态对应于小的偶（压缩）猫态，即两个高斯态的叠加，其近似于具有增大方差 的单个高斯态。该压缩工具的重复应用可产生真空态的任意压缩。

协议。在图5(a)中，我们展示了压缩工具 的重复应用产生期望的目标方差 。对后续步骤 仔细选择 至关重要：为获得最优压缩， 应尽可能大，同时确保(1) 的斜率在 上是线性的，且(2)所得两个重叠高斯态之和能很好地近似为单个高斯态。为了使斜率在态的FWHM上保持线性，我们推导出 （附录D）。为系统地探索收敛速度（电路时长）与解纠缠（振子-量子比特保真度）之间的权衡，我们针对各种 和 参数化 ，目标为 [图5(c)]。对于 ，增加 或 改善保真度但减慢收敛。对于 ，收敛更快但态变得愈发非高斯，最终偏离真实压缩态太远。这些案例是为教学理解收敛速度与高斯性之间的竞争而研究的，通过不保真度来捕捉。对于图5(c)的底部两个图，我们在边界情况 处使用半优化协议。基线 协议给出与 无关的斜率 和最快的收敛，但对于 的动量压缩， 中的非线性增长，使解纠缠复杂化。我们通过数值拟合 的直线来跟踪 增大时斜率对 的偏离（附录D），从而得到用于图5中间和底部面板的加速协议。结果，以dB为单位的压缩随电路时长线性缩放，优于基线。

压缩态可用于测量净位移或动量提升，其灵敏度由费舍尔信息 量化[47]。虽然该公式严格仅对高斯态有效，但我们在此应用它，因为我们的态比其他使用此方法量化压缩的工作[7,15]更接近高斯，从而实现直接比较。最高的费舍尔信息 在 、 时达到，不保真度为0.007（在 中）。

每次 后在 中对量子比特进行后选择（空心圆）在无量子比特误差的情况下不会显著改善结果，证实 的选择在每一步实现了良好的解纠缠。在存在误差的情况下，这些电路中段测量充当辅助比特误差检测。

讨论。我们解析推导的电路与半解析和数值最优方法[7,15]性能相当。我们绘制结果对电路时长而非电路深度的曲线，因为条件位移门的速度和误差显著依赖于振幅的长度[7]。我们的协议实现了压缩水平， 的压缩和 的反压缩，伴随 的不保真度（在 中），而参考文献[15]报告 和 的不保真度为 。我们方案的性能也与数值优化方案[7]相当（见附录图15）。更多细节可在附录D中找到，我们还在那里讨论了我们方案相对于Trotter化的优势。最后，我们的解析方法使用条件位移振幅的增量值，在所有步骤中保持态接近高斯，这与参考文献[15]考虑大的初始条件位移形成对比。

C. GKP态

GKP码在量子传感和玻色子纠错中有应用[10,19,20,48]。在本节中，我们仅讨论逻辑码字的制备，将其他细节留给第五节，在那里我们讨论这些码字的通用控制。虽然我们专注于方形GKP（量子比特）码字以给出显式制备构造，但我们的协议可推广到其他晶格，如六边形或qudit GKP码。这种推广对于数值优化电路[7]来说不易实现，因为对于每个qudit码字都需要运行新的优化。使用以下方法制备的态具有高斯峰，其振幅为二项式系数，这与GKP态的通常定义（使用高斯包络）形成对比：
(61)其中 ， ， 和 表示由算符 产生的振子无条件位移 。我们使用牛顿-拉夫逊法来寻找给定包络尺寸 所需的最佳步数 （见附录F）。

**协议。** 从某种意义上说，GKP态的制备是压缩双足猫态制备的扩展，它要求创建多个压缩相干态的叠加，而不仅仅是两个。制备方案的示意图如图6(a)所示。

**图6. 确定性GKP逻辑态制备。** (a) 用于GKP制备的电路组件，其中 （如近期实验中所用[7,20]）。 表示图5中的压缩电路， 表示由正文中公式(62)给出的迭代猫态制备序列，SBS是一轮小-大-小协议。电路深度合理性见表III。（上图）每一步后的重缩放维格纳分布函数。注意SBS前后态的变化。（下图）每个 前后的波函数和相应的自旋极化。在 之后，量子比特仍轻微纠缠，有 和GKP保真度 。 (b) 各种协议的收敛性，通过有限能量稳定子的期望值 和 来追踪 [见公式(64)–(63)]。使用GCR（通过 ）的非阿贝尔QSP协议从 开始，计入实现11.2 dB压缩所需的时间（见图5和第四节B）。空三角形标记附加SBS的部分。我们的协议与数值方案[7]的性能相匹配，同时显著优于基于稳定化的方法（仅使用SBS[49]）。 (c) 混合失真度、失败概率（上）和电路持续时间（下）与压缩（或 ）的关系，针对数值电路和分析（非阿贝尔QSP）电路。我们的协议实现了与数值方案相当的保真度和电路持续时间，同时保持了较低的失败概率。所有模拟均忽略了物理误差，如阻尼、加热和退相干，这些在第五节中讨论。

协议从初始的压缩真空态开始，该态可以使用第四节B中的协议制备。然后，重复应用猫态制备电路 ，其中 对应第四节A中描述的协议，而电路中通用小工具的一般定义对应门序列：
(62)每个 使振子和量子比特（近似）解纠缠，并以概念上类似于所谓“猫育种”协议[50]的方式向峰中添加一个高斯。在第 步时，所得态呈现 个峰。解纠缠小工具 内的 参数由GKP晶格间距设定，在这种情况下我们使用 ，对应于方形GKP量子比特码的维格纳单位。最后，在应用一系列 电路后，我们应用单轮纠错，例如SBS协议，可选地，可以精化该态。

**1. 保真度和电路深度**
可以说，制备程序应制备一个接近GKP流形的态，以便后续的纠错轮次可以纠正残余的（但仍可纠正的）误差。为了避免因特定的保真度选择而导致性能上的不重要变化，在图6(b)中，我们还根据有限能量稳定子的期望值[49]对制备的态进行基准测试：
(63)
(64)
在图6(b)中，我们看到我们的方案（橙色）比通过稳定化制备逻辑态（虚线）收敛到GKP态更快，并且与数值制备（蓝色）相当。图6(c)给出了针对目标GKP态对应的失真度以及两种协议的电路深度时间，验证了我们关于本工作中讨论的分析方案与最先进的数值方案性能相当的声明。注意，我们在图6(c)中已计入压缩的电路深度，因为非阿贝尔QSP的第一个点从 开始。

**2. 成功概率**
对于电路 我们需要 且 对于 。对于 ，如图6(a)所示，在最远端峰处旋转量子比特所需的角度为 。因此，解纠缠小工具 在该点按需要在两个极端峰处将量子比特旋转 。然而，它也会旋转与中间峰纠缠的量子比特，而那些峰不需要任何旋转。虽然中心峰处的旋转不显著，但与 相比，存在不同的旋转角度，这可能为 产生更好的解纠缠效果。我们使用附录F中给出的程序计算最佳旋转角度。使用此协议，我们获得图6(a)和6(b)的结果，其中 （在近期实验中使用[7,20]）。 之后的态产生4个峰，对目标GKP态的保真度为 ，而成功概率为 。因此，我们也可以在每个 后重置辅助量子比特。如此高的成功概率证明了使用测量来保持辅助误差受控的合理性（见第五节A）。

**3. 其他GKP晶格**
最后，为了实现不同的矩形和六边形晶格基GKP码，我们只需要根据变形晶格峰的位置 改变晶格间距 和旋转角度 ，在电路组件 中：
(65)
任意GKP态（除泡利本征态外）可以使用第五节D中讨论的门隐形传态电路来制备。

**讨论。** 我们在图6(b)和6(c)中展示了我们的方案与两种不同的GKP制备方法[7,17,49]的比较。我们发现我们的方案比稳定化方案小-大-小[17,49]快两倍，后者将在第五节中详细描述。此外，我们的电路深度和保真度[见表III和图(6)]与文献[7]中优化的ECD电路相当，后者在近期实验中使用。重要的是，我们的方案提供了一种自然的方法来使方案对电路误差具有容忍性，并在存在故障时实现更高的保真度。在每个 之后，在没有误差的情况下，量子比特处于已知的纯态，与振子解纠缠的概率非常高（ ），如图6(c)中的低失败概率所示。此时，如果量子比特处于期望态，可以对GKP态进行后选择。因此，我们也可以用此方案保持量子比特误差受控。

**表III. 从 开始，在 下制备 所需的最佳大条件位移数（ ），由 得到。**
压缩 (dB) 0.1 20 31 0.2 14 7 0.3 10.45 3 0.4 7.95 1

此外，在文献[14]中，作者提出使用相同的交替条件位移和动量提升模式来制备GKP态。然而，由于缺乏非阿贝尔QSP脉冲，在这种情况下，量子比特需要使用数值方案来解纠缠。我们的方案在每一步使用较小的位移，诱导较少的辅助误差，并可能允许电路中误差检测。

**V. 玻色子纠错量子比特的通用控制**

相空间指令集最适合平移不变网格码（GKP码），我们专注于这些码以实现有限能量纠错的高保真通用控制[7,20,49,51]。这些码在自主纠错中显示出前景，实现了量子存储的盈亏平衡增益，迄今为止仅由最新的表面码实验[52]使用 DV量子比特相匹配。我们的方案可推广到任意晶格间距，从而为方形、六边形和矩形GKP量子比特、GKP量子比特和GKP量子比特以及多模GKP码提供通用控制。我们首先总结我们的GKP控制结果，然后深入细节。

我们首先将第四节C的状态制备结果扩展到第五节A中的噪声情况。然后，我们在第五节B中将文献[40]的辅助辅助有限能量GKP读出和文献[17,49]的稳定化方案在一个框架内联系起来。此外，我们在第五节C中给出一个端线读出电路，该电路可以使用阿贝尔QSP序列BB1为具有可纠正位移误差的GKP量子比特提供更好的读出保真度。

本文的一个关键结果是纠错门隐形传态方案（第五节D），该方案在应用目标逻辑运算的同时纠正振子位移误差——据我们所知，这是首个高保真的这种门，无论是单量子比特还是双量子比特，均原生适用于有限能量GKP，直接源于将读出和稳定化识别为同一GCR电路的两半。该设计的分段版本进一步减轻辅助退相干，抑制原本不可纠正的辅助诱发故障。因此，我们的方案即使使用具有偏置噪声的辅助量子比特如猫量子比特[53–56]，也能实现高保真的通用单量子比特逻辑旋转。据我们所知，这是迄今为止对GKP量子比特进行非克利福德运算的最有效方法[57]。

我们将推导和讨论限制在方形GKP的情况，其中 和 被对称处理，针对第五节A–第五节D，但注意这些电路可以扩展到量子比特和量子比特晶格。

**A. 高保真误差检测状态制备**

逻辑GKP态的容错制备是玻色子量子纠错的重要资源。在本工作的前面部分，我们描述了一种以小步骤 制备GKP态的协议，在该步骤结束时，辅助量子比特处于确定性状态。在本节中，我们研究该方案在振子和量子比特噪声存在下的性能，这提供了对我们制备方案（在第四节B–第四节C中讨论）在诸如超导硬件平台这样的实验平台上性能的理解。

**1. 噪声状态制备**
对于第四节C中提出的协议，我们通过在每轮后对结果 进行后选择，引入辅助误差的电路中检测；将量子比特重置为 并在该步骤失败时重新开始。在电路的每个门期间，我们添加光子损失率 ，辅助衰减率 ，以及辅助退相位率 。我们重复协议 次，持续 轮。对于每轮制备，我们执行图6所示的GKP态制备电路 ，并在每个 处进行测量。我们丢弃任何在这些点中的任一点遇到辅助量子比特 测量结果为 结果的轮次，并从头开始，振子处于真空态。

**2. 性能**
此模拟的成功概率（保留的轮次比例）为0.94，平均保真度为0.96，而无噪声情况下为0.9969。文献[7]中的数值方案报告了对于相同 且无后选择的数值优化电路的模拟（和实验）保真度为0.85。使用他们的电路进行后选择是可能的，但只能在完整电路结束时进行，其长度与我们的完整制备电路相当。因此，这种电路通过后选择检测误差的效率会很低。相对于文献[40]，我们的方案因类似论证而表现更好。与该协议的第一步相比，我们片段 的长度小得多，从而降低了误差概率，提高了成功概率和保真度。

**B. 非阿贝尔QSP框架中的GKP协议**

**1. 文献[40]中数值优化读出方案的分析解释**
文献[40]展示了一种用于改进GKP读出的数值优化电路，该电路是一个旋转小工具，旨在如果逻辑码字为 （ ）则使用 将态旋转 （ ），量子比特从 开始。因此，读出电路不过是纠缠小工具。对于有限能量GKP，我们可以使用带有小GCR预校正 的纠缠小工具。因此，我们给出逻辑基X（ ）、Y（ ）和Z（ ）的逻辑读出电路：
(66)
参见第二节中 的定义。注意，实现逻辑 运算所需的位移比实现逻辑 或 运算所需的位移长 。
这里给出的纠缠小工具 的GCR校正正是文献[40]中数值优化的校正。

**2. 基于耗散工程的稳定化和位移误差纠正**
将文献[49]中的稳定化电路SBS分成两半（见图7），前半部分可以精确识别为用于读出的纠缠小工具，如公式(66)所述。后半部分满足第四节A中解纠缠小工具 确定的约束，因为：
(67)
如公式(48)所要求。因此，(68)注意，此处 ，使得该电路仅在振子处于GKP码空间时才具有平凡反作用，这是其纠错成功的关键。图7. 非阿贝尔QSP框架中的有限能量GKP读出[40]和稳定化[49]协议。将SBS电路沿位置正交分量解释为GKP码字上的逻辑恒等操作。该电路分为纠缠和非纠缠部分。该电路的前半部分 是GKP读出电路。此处， 和 。该电路的纠错特性已在文献[20]中通过实验验证并定性讨论。在此，我们利用我们的框架提供定量论证，以计算该电路对受位移误差（例如 ）影响的GKP码空间的作用。在这种情况下，GKP态位于 ，其中 为 的峰（ 的谷）对应的任意奇（偶）整数。现在，SBS纠缠部分的作用是将量子比特旋转 。因此，对于错误态 ，其中 表示具有位移误差 的错误GKP态 ，我们有：(69)电路的后半部分 具有修正 ，最终量子比特态取决于该修正。非纠缠程序 正确地将量子比特态旋转回 ，对应每行中的第一项。然而，对于第二项，其中量子比特将被旋转到 ，有限能量修正的符号是错误的。因此，此处 的有限能量修正将施加 的反作用。因此，经过 后，混合振子-量子比特态的形式为：(70)如果 ，则该态等于 ，且一个确定性的逻辑泡利操作已作用于 。该泡利操作可以被追踪，因此在稳定化中不起任何作用。协议的下一个步骤是测量量子比特，结果为 的概率由下式给出：(71)此处，对振子态的反作用取决于量子比特测量结果。在量子比特投影到态 的情况下，反作用由下式给出：(72)(73)(74)考虑到初始 ，在 结果的情况下，单轮SBS通过对 施加 的位移来部分纠正误差。当量子比特投影到态 时的反作用由下式给出：(75)该反作用独立于误差参数 ，但其概率随 增加而增加。该算符沿位置轴施加对称化位移。在动量基中，这等价于态上的余弦包络。到 的二阶，余弦包络可近似为高斯分布：(76)其中 。我们将该包络修正与目标高斯包络的动量部分 进行比较，并注意到 结果将动量不确定性降低了15%。目前，我们对于该反作用如何支持纠错或稳定化尚无直观解释。两种反作用的概率随误差 的增加而增加，这对于任何自主纠错方案都是应有的情况。类似地，逻辑 基的稳定化纠正了沿动量轴的位移误差和包络误差。总之，我们已经证明SBS是概率性（或自主）纠错的一个实例。C. 具有可纠正误差的逻辑读出在任何量子电路结束时，逻辑量子比特被测量以确定其状态。不可避免的是，被测量的逻辑码态中可能存在残余的可纠正误差。对于GKP编码，此类误差可能是可纠正的随机位移，即小于 的位移。当前问题由图8(a)描述，这表明我们需要提取一位信息 ，其中 （ ）对应于希尔伯特空间中所有更接近逻辑 （ ）而非相反逻辑态的态。在使用单CD（一位相位估计协议）读出的无限能量GKP情形中，读出保真度遵循余弦曲线[如图8(c)所示]，作为位移 的函数。当使用单CD作为有限能量GKP态的读出方案时，保真度值小于1（见图8）。在V B节中描述的有限能量读出产生了更好的读出保真度，其遵循相似的曲线，峰值（无误差情况）更接近1。然而，由于小误差原则上可纠正，我们希望读出序列产生方波响应，如图8(a)中黑色虚线所示，我们将此问题重新表述在QSP框架中。图8. 具有可纠正误差的GKP态的逻辑读出。GKP读出程序将逻辑态映射到辅助量子比特态 和 上，然后进行测量。(a) 实线曲线表示有限能量GKP码字；虚线曲线表示相应的位移码字。用于读出具有可纠正位移误差 的态的理想序列末端脉冲是方波（黑色虚线）。它对所有具有 的逻辑 态产生正确的测量概率 （对于 测量），对 类似。 (b) GKP读出方案：无限能量方案仅纠正峰值位置；非阿贝尔QSP读出（也在文献[40]中数值发现）纠正高斯展宽；阿贝尔BB1(90) QSP序列通过平坦化余弦响应来纠正峰值位置模糊性。(c) 不同方案获得正确结果 的读出概率作为位移误差 的函数，无电路级误差：无限能量（无纠正）、GCR（高斯纠正）和BB1（峰值位置纠正）。颜色图例在(d)中。(d) (c)的放大图显示 在 的Voronoi胞内。此处，GCR-BB1表示用条件位移增强BB1(90)，而BB1(GCR)对应于式(C1)中导出的组合序列的优化版本。在BB1(GCR)中，蓝色区域电路根据该方程进行替换。这些序列在产生方波响应的同时纠正高斯不确定性。参数 和 遵循图7。(e) 读出非保真度：颜色编码与(b)、(d)一致。BB1和GCR-BB1显示出最高的非保真度，而有限能量读出和BB1(GCR)达到最低，主要受可能进一步稳定化的包络误差限制。所有曲线对应于由 设定的GKP态宽度。 1. 阿贝尔QSP读出我们可以使用式(29)中BB1(90)的自适应版本用于混合振子-量子比特控制，来实现接近所需方波的结果。参见图8(b)中的电路。与有限能量读出电路相比，该电路对所有可纠正误差态产生改进的读出保真度，如图8(c)所示。图8(d)中显示了放大版本，以评估无误差情况 下的情形。注意，对于给定的 值，Helstrom界为 ，远低于BB1协议在 处的读出误差。因此，我们不需要考虑GKP逻辑泡利态的非正交性。阿贝尔序列末端线工作得相当好，并且对于 情况相对鲁棒。然而，其在无误差情况 下的性能不如有限能量读出序列[在图8(c)和8(d)中标记为GCR]。 2. 非阿贝尔线端读出将BB1的峰值位置鲁棒性与GCR的有限能量修正相结合的自然的、可部署的方式是GCR-BB1，其中在四个裸BB1旋转之前预置单个条件位移，产生简单的幺正脉冲序列。该GCR型修正的振幅被数值优化，以综合考虑BB1中四个旋转的有限能量修正。GCR-BB1在可纠正区域上优于裸BB1，同时仅增加小的条件位移，其短长度使其在噪声下累积的退相干保持适度。然而，由于它施加一个集体修正而非每次旋转一个修正，在无误差点处残存高斯涨落误差[见图8(d)]，这为其读出精度设定了相干下限。该下限通过BB1和GCR的完全串联（称为BB1(GCR)，在附录C中讨论）而降低，该串联将GCR修正与每个BB1旋转交错，从而逐次消除高斯涨落误差，将无误差读出推近Helstrom界。代价是长度：BB1(GCR)由8个条件位移组成，对于某些 比BB1长，因此相应地累积更多退相干。因此，两个序列在序列长度与相干读出精度之间进行权衡，而非一个严格支配另一个。在存在噪声的情况下，两个脉冲在无误差点处的性能都远差于更短的GCR读出。 3. 反作用注意，在每个读出序列期间，GKP态沿与被测正交分量正交的坐标轴被位移 ，这是一个确定性的位移，可以被计入。抵消该位移后，我们计算所得态与初始错误态的保真度。大的非保真度表明相应电路的更大反作用。参见图8(e)了解本节讨论的所有读出方案的反作用。对于线端读出序列，反作用不重要；对于反作用最小的方案，可以重复读出以提高测量保真度。D. 分段电路的通用量子比特旋转对有限能量GKP态的任意操作通常不易获得。回想一下，泡利运算是简单的相空间平移。然而，逻辑旋转是泡利算符的指数，其（通过泡利-欧拉恒等式）可以写成恒等和相空间平移的相干叠加。不幸的是，不可能施加处于零振幅（以实现恒等）和非零振幅（以实现相空间位移）叠加态的经典控制脉冲。规避此问题的一种方法是使用辅助系统，通过条件位移将门隐形传送到GKP码空间中，条件位移纠缠GKP和辅助量子比特，例如通过有效的CNOT门。然而，当考虑辅助的物理误差时，该方法限制了门的逻辑保真度。在此，我们设计了一种传送门的技术，该技术同时：(1) 纠正振子中的误差，和(2) 防止辅助衰减误差，从而为使用偏置噪声辅助的高保真门操作提供空间。这种防错机制不同于使用SNAP门[36–38]设计的通用路径无关机制。我们的构造不需要任何硬件工程技巧，如chi匹配[36,58]，尽管这些可能带来进一步改进。 1. 纠错门隐形传态纠错门隐形传态序列是通过认识到稳定化电路 由纠缠和非纠缠部分构成（见图7）而构建的。通过在两个部分之间引入量子比特门，我们可以构建相位传递电路，如图9(a)所示。对于逻辑 门和初始GKP态 ，该电路遵循以下方程，直至全局相位：(77)(78)(79)为了执行逻辑 （ ）旋转，只需将量子比特与GKP码的逻辑 （ ）本征态纠缠。例如，如果 ，则相同的电路变为逻辑 门。如果这有利于DV辅助系统，则电路可以容易地改为使用辅助 门，进行必要的修改。图9. 误差抑制的GKP门隐形传态。(a) 通过从逻辑 （ ）基的稳定化器获得的纠缠-非纠缠序列实现逻辑 （ ）门的纠错门隐形传态。(b) 用于减轻偏置噪声辅助误差影响的分段电路玩具模型。(c) 在存在辅助误差的情况下， 的平凡门隐形传态和分段门隐形传态的比较。此处，左图中的黑色实线呈现了分段隐形传态情况下从式(80)获得的状态非保真度解析曲线。用于右图所示模拟结果的GKP态具有 的包络尺寸。如果我们忽略量子比特误差，这些电路将产生对应于所需门操作的 。在没有任何物理误差且 的情况下，这些门的保真度为99.88%，而成功逻辑门操作的概率为0.9994。注意，我们序列的纠错特性源于它是由逻辑恒等电路 构建的，对应于SBS稳定化电路，该电路不是通用恒等（其中 ）。也就是说，纠错后的门传送电路除了对逻辑GKP码字施加逻辑门外，还会对错误的GKP态施加类似于第V.B节讨论的小-大-小稳定化电路的纠错反作用。
2. 防止偏置辅助比特错误
然而，上述传送电路在存在辅助比特错误时会受到严重影响（与任何传送电路相同）。在我们的电路中，辅助比特错误往往发生在作用于振子的（相对较长的）受控位移门期间。对于偏置噪声辅助比特，电路只会受到一种类型的辅助比特错误影响，因为其他错误在很大程度上被抑制[55,56]。为了防御单一类型的辅助比特错误，我们提出了如图9(b)所示的分段电路。例如，不失一般性，假设一个偏置噪声辅助比特，其主导错误为\(\hat{Z}\)。该门的影响如图9(b)的顶部电路所示。辅助比特上的\(\hat{Z}\)错误通过反转逻辑运算的符号传播到振子，即作为GKP态上的逻辑旋转角误差\(\pi\)。我们建议通过将电路分成\(m\)段来解决这个问题，每段施加旋转\(\pi/m\)，如图9(b)的下方面板所示。我们称这种方法为分段门传送。在这种情况下，单个\(\hat{Z}\)错误会引起误差旋转\(\pi/m\)，随着\(m\)的增加，对逻辑保真度的影响减小。GKP逻辑旋转角可以有效地描述为随机游走，使得门的平均旋转为\(\pi\)，标准差为\(\pi\sqrt{p(1-p)}/\sqrt{m}\)，其中\(p\)是\(\hat{Z}\)错误的概率。重要的是，角度的标准差随着\(m\)的增加而减小。采用一个有效纯量子比特态的玩具模型，所得态的保真度由下式给出：
\[
F = \frac{1}{2}\left[1 + e^{-p(\pi/m)^2/2}\right]
\tag{80}
\]
平均旋转角中的系统误差可以通过选择更大的目标角\(\pi\)来补偿。图9(c)中的曲线是使用qutip[43]计算的，表明非保真度的有利下降与\(1/m\)成正比。在玩具模型中，我们仅在CX门之前以概率\(p\)施加错误，以模拟GKP态的情况，其中CD门比量子比特旋转更长且更容易出错。在GKP模拟中，我们以相当大的速率\(\chi\)在所有条件位移期间施加\(\hat{Z}\)错误（以模拟大条件位移期间的概率\(p\)）。我们使用的度量是：大小为1的条件位移花费时间\(\tau\)，如附录D所述，并使用\(\chi\tau\)使所有速率无量纲化。我们还在GKP态上模拟了上述分段门传送的性能，并在图9(c)的右图中与单次平凡门传送随后进行\(m\)轮稳定化进行了比较。然而，平凡协议的第一步传送门并不纠正GKP态中的错误。这导致了保真度曲线中的初始凸起，见图9(c)的右图。
注意，对于平凡门传送，人们可以使用测量结果更有效地检查辅助比特错误[59]，但这会使协议依赖于测量，而测量可能是电路中最慢（或最容易出错）的部分。就像在稳定化电路中一样，量子比特在电路每一段结束时被重置为\(|0\rangle\)。这种重置可能有误，这种错误在我们的模拟中没有被明确考虑。
E. 纠缠GKP量子比特：将GCR扩展到多模态操作
文献[60]中为无限能量GKP码提出的双量子比特门对有限能量码具有较差的保真度，并且需要几轮稳定化来改善错误率[18]。
1. 单量子比特辅助比特
对于有限能量态，文献[18]推导了双量子比特纠缠门的有限能量版本，该版本也可以使用非阿贝尔QSP扩展来推导两模态情况。我们在此讨论这个扩展。对于在位置\(2\pi n\)处有支撑的理想GKP码，条件SUM门将第二模态位移第一模态的位置，位移的符号由辅助比特的状态决定。等价地，对于两个GKP态的每一对峰，分别在位置（第一模态）和动量（第二模态）基中，条件SUM门\(C_Z\)将量子比特旋转\((-1)^{mn}\)，其中\(m\)和\(n\)是两个峰位置的两个整数乘积。该操作等效于联合振子-量子比特态上的\(Z\)相位，并且对两个逻辑GKP码字施加\(CZ\)门，量子比特回到原始状态（\(|0\rangle\)，在这种情况下）。由于包络大小\(\Delta\)相对于第一（第二）GKP量子比特，该操作纠缠半部分\(CZ\)的非阿贝尔校正为\(e^{-2\pi^2\Delta^2}\)，假设辅助比特初始状态为\(|0\rangle\)。因此，由于两种模态产生的GCR型预校正是：
\[
C_\phi = e^{-2\pi^2\Delta^2} e^{-2\pi^2\Delta^2} = e^{-4\pi^2\Delta^2}
\tag{81}
\]
相应的SBS型电路，其中\(\theta = \phi\)由式(81)给出，将量子比特绕\(\hat{z}\)轴旋转角度\(\phi\)，并施加所需的逻辑操作。该操作类似于稳定化电路SBS，受偏置噪声辅助比特错误的保护。然而，使用该电路制备的贝尔态的保真度为0.98（对于\(\Delta=0.34\)）。更高的保真度需要额外的校正项，或者如我们接下来所示，采用双辅助比特构造；但首先，我们讨论单辅助比特门的快速回波双模态实现，然后给出双辅助比特方案。
该操作所需的快速条件双模态操作可以使用高斯操作和振子与量子比特之间的弱色散耦合来实现。文献[18]建议该序列需要更多的门（5次条件双模态操作，相当于一个SUM门）。然而，我们声称，如果我们能够使用回波条件位移的双模态扩展获得快速\(CZ\)门，该电路可以在三个门序列中实现[7,19,20]。该分解在文献[5]中给出，用于弱色散区域中的纠缠振子门，我们在附录H中将其放在双量子比特GKP操作的背景下。
快速回波条件位移是使用位移框架中的（弱）色散耦合获得的。类似地，我们可以使用双模态压缩框架中的（弱）色散耦合获得快速回波条件SUM门。该操作所需的双模态压缩可以从单模态压缩和分束器通过Bloch-Messiah分解获得[5]。因此，该电路涉及两个单模态压缩操作和两个分束器，以使用\(U(\Delta)\)进入双模态压缩框架（参见文献[5]中的定义）。在这个新框架中，电路在该框架中的色散相互作用下演化时间\(T = \pi/(4\chi)\)，其中\(\chi\)是弱色散耦合的强度。因此，通过增加\(\chi\)，可以使该过程更快。理论上，\(\chi \to \infty\)是允许的，然而，实际上，由于与振子（谐振器）色散耦合的非线性辅助比特中的不需要的状态跃迁，我们被限制在\(\chi\)的有限且更低的值[7,20,56]。
2. 双量子比特辅助比特
为了避免实际实现可能更困难的条件高斯操作，另一种选择是实现在第V.D节中讨论的门传送电路的双量子比特版本，该版本仅使用条件位移和（双）量子比特门。该电路如图10所示（另见附录G），在无错误情况下产生比单量子比特辅助比特方案更好的保真度。它类似于图9(a)，除了中间门可以是两个DV量子比特之间的受控泡利操作，给定初始态和最终要实现的运算。任何受控泡利逻辑操作都可以以类似方式实现。然而，由于错误传播的方式，这些门中的大多数不能从将旋转分成更小的角度中受益。
图10. 分段GKP纠缠操作。使用两个辅助比特的逻辑泡利操作电路。这里，\(\theta = \pi/2\)。对于\(|00\rangle\)，如果\(\theta=\pi\)，我们可以制备一个贝尔态。该贝尔态制备的保真度为0.9997（根据第V.D节），量子比特结果\(|00\rangle\)的成功概率为0.5。
在逻辑\(CZ\)操作的特殊情况下，辅助比特\(Z\)错误作为旋转误差\(\pi\)传播到GKP码。这类似于单量子比特门示例，因此可以应用相同的分段构造，参见附录G，产生一个自主防止辅助比特错误和光子损失的纠错双量子比特纠缠操作。在无错误情况下，该序列产生0.5的成功概率，对于有限能量GKP码字的完美纠缠逻辑操作来说是最高的。我们相信该过程的状态保真度将与单量子比特门传送方案相同。例如，对于具有两个截断振子（每个希尔伯特空间维度为50）和两个量子比特的系统，计算SBS制备态保真度为0.98（受截断问题而非协议上限限制）。我们使用我们的传送协议构造的贝尔对实现了相同的保真度。该保真度远低于预期（第V.D节的0.998），我们认为这是由于希尔伯特空间约束。逻辑错误概率随着使用双量子比特DV门而增加，而在条件位移错误增加时保持不变，类似于第V.D节中分析的单量子比特门传送情况。
我们在本节中推导的所有协议都是通过使用NA-QSP解析获得的，这些协议要么解释了先前数值优化的协议[14,15,40,61]，要么为GKP码字的通用构造提供了新协议。GKP码字的问题之一是，大多数建立有限能量GKP码字协议的工作无法达到通用控制的保真度[18,57]。新发现的纠缠操作和分段门传送协议为有限能量GKP码字提供了最佳协议，即使是在无噪声设置下，与所有先前工作相比也是如此。
VI. 进一步方向
非阿贝尔QSP自然扩展到上述状态制备和纠错过程之外。在本节中，我们探讨了NA-QSP提供优势的三类问题，但将完全解决这些问题留待未来工作。我们首先从更一般的状态制备算法开始，即我们朝着解决第II节中的问题1迈出一步。更具体地说，我们提出了制备旋转对称态（包括\(N\)足猫态和福克态）的解析工具。然后，我们提出一个用于振子辅助相位估计的非阿贝尔控制序列，并评论NA-QSP的解析结构如何为混合解析-数值优化策略提供信息并播种。总之，这些结果表明NA-QSP不仅是实用工具，而且是识别和解决混合CV-DV量子控制中未解决问题的理论框架。
A. 走向通用状态制备
相空间指令集特别适用于自然表示为非重叠高斯波包叠加的态——压缩态、猫态和GKP态——如前几节所示。一个自然的问题是，该指令集在通用状态制备方面能扩展到多远，以及当它被推向其自然域之外时会浮现出什么基本约束。在这里，我们探讨了两种情况——旋转对称态和福克态。我们注意到，一大类态的制备可能使用福克空间指令集更有效[5,62]。
1. 旋转对称码字
\(N\)足猫态由相空间中正\(N\)边形顶点的\(N\)个相干态的叠加组成。要制备这些态，我们至少需要\(N-1\)个条件位移，之后量子比特必须同时与所有\(N\)个振子波包完全解纠缠。例如，制备四足猫态（见图11），一种策略是先制备动量二足猫态（使用第IV.A节中的协议），然后制备两个猫态的叠加。然而，这揭示了GCR脉冲的一个约束，该脉冲设计时假设高斯态的平均动量为0。放宽这个要求，GCR可以用于具有偶数纵横比\(k/l\)的矩形猫态，\(k/l=2\)（参见附录I.1）。这一约束反映了GCR中的预校正依赖于单一正交分量，而对于腿猫态，解缠脉冲应当同时作用于由两个正交坐标标识的高斯态。阿贝尔BB1序列没有此类几何约束，能够制备任意长宽比的四腿猫态，代价是额外的电路深度以及猫态四个相干态中两个上的局部相位（当取特定值时该相位消失）。随着增大，两个序列保真度均提升至各自的目标态（图11(b)）。类似策略可推广至更高腿数，但针对任意腿数的最优解缠序列的确定，以及晶格几何与QSP序列结构之间的相互作用，仍是开放问题。

图11. 利用QSP序列制备四腿猫态的电路。(a) 从动量猫态出发，使用图4(a)电路制备两腿猫态的缩放维格纳分布函数。该协议不要求初始为未纠缠的两腿猫态；从真空态出发，沿两个方向施加条件位移同样足够。使用完美猫态简化了模拟且不会低估保真度损失。绿色圆圈标示每个团块处的量子比特自旋极化；所有团块自旋排列一致是确定性制备所必需的。在解缠过程中，GCR（右图）只能制备长宽比为偶数的矩形猫态，因此；而BB1没有此约束（左图）。(b) GCR与BB1制备矩形（方形）四腿猫态的性能比较；黄色曲线表示未进行QSP校正时的性能。

2. 福克态制备

福克态并非有限个不重叠高斯态的叠加，因此不属于相空间ISA的自然适用范围。一种方案是利用受控位移来近似Law-Eberly协议[63]，该协议在可访问纯JC或AJC演化的条件下，能够制备任意福克态叠加态。附录I 2 a表明，Jaynes-Cummings哈密顿量的Trotter化在电路时长上优于数值优化电路，但在电路深度上并不占优。另一方案是考虑一系列条件位移与动量提升的通用序列。对于包含个CD的序列，这对应于

(82)

该式与量子随机游走[64]存在关联。第一个CD参数被选择为以最大成功概率和保真度制备最小的奇猫态。如图12所示，与通过交替施加和的极小值于第1步和第2步谐振子在位置和动量空间波函数极大值处来确定，从而分别得到第2步和第3步的态。该协议得到的值为、和。详见附录I 2 b。该算法可推广至和。我们的构造为先前实验实现中仅使用相空间指令集进行数值优化的福克态制备协议所获得的显著保真度提供了解析解释[7]。

图12. 使用GCR制备福克态。波函数、及缩放维格纳分布函数随位置和动量变化。(左) 之后量子比特期望值；混合保真度。(中) 之后；。(右) 之后；最终保真度，与文献[5,7]中最新数值优化协议相匹配。

B. 使用辅助振子进行量子相位估计

上述章节考虑了使用量子比特作为辅助系统来控制振子或从振子提取信息。考虑相反情形也很有趣：能否利用振子提取量子比特幺正变换的信息？这种混合QSP的应用属于第II节所述的混合控制问题2，其核心是实现振子的任意哈密顿量演化。

例如，考虑相位估计问题：假设可以对单量子比特旋转进行预言机（即黑箱）访问，任务是学习。Liu等人[65]讨论了一种方法：若信息可编码在振子位移中（处于压缩相干态），单次零差测量即可一次性提取的多个比特信息。他们的分析假设可访问（但未提供）混合控制门作为基本操作（对应我们的问题即为）。这里，我们展示如何从现实门——对的幺正访问结合相空间指令集——合成这样的基本操作，并分析由此得到的精度。

下面，我们推导一个混合QSP序列，它通过访问相空间指令集（见第II节）和，使振子位移量依赖于。在本节及附录J中，我们采用（而非其他章节的）。[66] 协议具体如下：目标是通过构造一个混合幺正变换来学习幺正变换的本征值，该变换作用于本征态时，将振子动量位移一个正比于的量。

构造

(83)

其中用于在无访问权限时合成的伴随算符，作用于。在的最低阶，该构造简化为一个量子比特旋转，包含两个分量：项和项。分量在振子上印刻动量位移相位，可通过零差测量读出。分量驱动与之间的跃迁，将比例为的测量结果转移到错误符号的动量冲击，使均值减小并将方差增大[式(J15)]。但在协议有效的小区域，且该效应可忽略[67]。因此，平均动量在有效工作范围内可作为的良好估计量，这在图13(a)中得到了数值验证。该构造仅通过对的幺正访问及相空间指令集，合成了Liu等人[65]所假设的哈密顿量印刻基本操作。

图13. 混合振子-量子比特架构中的量子相位估计。(a) 使用第VI B节控制序列的相位估计，数值验证表明：在小区域，缩放平均动量趋近于，从而直接读出。图中使用，此时精确结果式(J14)与该最低阶形式的偏差小于。(b) 标准差的平方根在零压缩（）时以式(J15)一致的结果为上限，并随动量压缩因子而改善。

此例展示了混合QSP在识别振子哈密顿量演化控制脉冲方面的应用价值，这些脉冲可作为增强仅含离散变量算法的基本操作。更多技术细节见附录J。零差分布保持高斯型（数值上，在Kullback-Leibler散度上偏离高斯性小于）。在更大的区域，式(83)产生的振子-量子比特纠缠会导致非高斯甚至双峰动量分布，附录J也推导了精确适用于任意值的解析表达式。

1. 精度与开销

现在我们讨论协议确定精度及其代价。零差读数的逐次测量方差由输入振子态的压缩参数决定，我们以压缩因子概括：零压缩（）对应真空输入，而更大的指数地降低的噪声。因此，单次测量仅提供的噪声估计，协议必须重复次以将推断值的统计不确定性按通常的因子抑制。通过Cramér-Rao界的标准误差传播，在上述建立的小高斯区域内，估计达到目标精度（即目标标准差）需要

(84)

次总的应用，其中将每次测量的两次查询计入的调用次数。式(84)表现出标准量子极限标度，压缩因子作为乘法资源降低测量次数。完整推导及所基于均值和方差的解析表达式见附录J。

式(84)的标度再现了Liu等人[65]的“压缩作为精度倒数”行为，他们针对假定的哈密顿量印刻基本操作达到了相同标度，但在未知时不天然可用；构造式(83)仅通过对的幺正访问即可提供此基本操作。前因子反映了合成的实际代价：虽然更大的会给出成比例更大的信号并减少测量次数，但Cramér-Rao分析所需的高斯性在超过后失效（附录J），因此界式(84)仅适用于该区域。

作为比较，最简单的仅量子比特相位估计——将作用于一次并从结果的经验频率推断——同样达到标准量子极限标度，且无需振子辅助。当可用压缩满足最优工作点（其中为整数）时，我们的协议优于该平凡基线，在分析区域内对应压缩因子；实际达到该工作点需要粗略的先验估计，可通过少量预备测量获得。海森堡标度的替代方案如鲁棒相位估计[68,69]以电路深度换取查询次数；式(83)的常数深度特性——每次测量仅需两次调用，与无关——使得我们的协议在深度相干电路受量子比特退相干限制时（如电路QED）成为自然的替代方案。这一常数深度优势是否在现实噪声（量子比特退相位、振子光子损耗、有限带宽脉冲不完美）下仍然成立，是自然的下一个研究方向，我们留待未来工作。

C. 混合解析-数值优化

我们解析方法性能的提升源于显式利用控制哈密顿量的代数结构，这允许系统性地消除低阶误差项，同时保持脉冲结构紧凑且可解释。一个有趣的方向是将我们的脉冲序列作为数值优化方法的种子。这可能有助于减轻杂散误差源的影响，例如振子非线性或辅助系统有限寿命。

VII. 结论

本工作的核心信息是：单一非阿贝尔QSP基本操作已具有显著能力。利用一个复合脉冲——高斯控制旋转（GCR）——我们为混合连续变量-离散变量控制中的问题提供了全解析构造，这些问题此前要么依赖数值优化，要么即使在无噪声条件下也没有高保真解：确定性制备压缩态、猫态、GKP态和福克态；GKP玻色量子比特的通用控制，包括读出、稳定和纠错门隐形传态；以及从现实门合成的相位估计基本操作。在每个案例中，解析方法均与最新数值方案的性能相当。关键之处在于，匹配数值优化并非本质要点：解析结构提供了数值优化在结构上无法提供的能力——在明确定义的点进行中电路错误检测，以及向其他晶格、量子系统和多模码的闭式推广——将一系列单独优化的电路转化为一个单一、可迁移的构建模块。

该基本操作本身利用了非对易量子控制变量，我们将其与来自经典核磁共振的领先单变量复合脉冲BB1进行了解析和数值基准比较。GCR在电路时长上实现相当的性能并缩短，从而在噪声存在下优于BB1；我们通过三个品质因数并配合完整数值验证确认其正确性。对于态制备，我们的解析压缩和GKP构造达到与最新数值方法相当的保真度和电路时长，同时在外加相同时间下非保真度优于半解析方法。解析结构进一步能够在明确界定的中间点实现中电路辅助错误检测，这是纯数值优化无法实现的能力。利用该技术，我们在实验现实错误参数下以0.96保真度和0.94成功概率制备了GKP逻辑泡利态。

GCR还为最初通过耗散工程和数值优化推导的GKP稳定和逻辑读出协议提供了直观的解析解释，将它们统一为有限能量GKP码与量子比特辅助系统之间的纠缠和解缠操作。这一洞见产生了针对单比特和双比特逻辑GKP门的纠错门隐形传态（ECGT）方案，该方案在施加目标逻辑旋转的同时校正振子位移错误。通过分段构造抵御辅助系统衰变和退相位，ECGT电路在偏置噪声模型下保持容错——据我们所知，这是迄今为止针对GKP量子比特非克利福德操作最有效的方法。

所有上述应用均源自单一基本操作，展示了非阿贝尔QSP的力量。GCR为非阿贝尔QSP提供了具体原理验证，并引出了其留下的核心开放问题：一个完整的构造性理论，刻画非对易控制变量可实现的多项式类。正如同量子奇异值变换推广了量子信号处理并统一了所有已知的仅量子比特量子算法一样，我们预期这样的理论可能催生非阿贝尔量子奇异值变换，从而有望统一混合连续变量-离散变量量子算法，并将其应用从混合系统扩展至多量子比特门合成。我们的结果为这一愿景提供了基础性的一步。