非对称性时间反演倍增轴子绝缘体

《Physical Review X》：Nonsymmorphic Time-Reversal-Doubled Axion Insulators

　　轴子绝缘体展现出一种由轴子角??=??表征的拓扑磁电效应，而时间反演双重轴子绝缘体（??-DAXI）可以被视为两个由时间反演对称性相联系的时间反演轴子绝缘体的副本。在本工作中，我们证明了具有滑移（或螺旋）对称性的非对称拓扑晶体绝缘体可以承载非对称的??-DAXI相，其由非平凡的沙漏（螺旋）不变量???=1（????=1）来诊断。在该相中，部分轴子角（??±=??）由滑移和/或螺旋对称性量子化，而带隙表面实现了半量子化的量子自旋霍尔态。此外，我们还证明了非对称??-DAXI也表现出自旋磁电效应。也就是说，外加磁场可以在实空间中诱导出拓扑非局域自旋极化。当磁场随时间周期性变化时，这会导致实验中可探测的交替自旋电流。利用从头算计算，我们证明了混合铋单卤化物Bi4????????4???实现了非对称??-DAXI。我们的研究结果不仅揭示了非对称拓扑晶体绝缘体中对称性强制的??-DAXI，还证明了自旋磁电效应是非对称??-DAXI中可探测的拓扑自旋响应。

I. 引言

近几十年来，物质的拓扑相在凝聚态物理和材料科学中引起了持续的关注[1–8]。三维（3D）拓扑材料的一个引人入胜的特性是源于有效作用量的拓扑磁电效应，其中是定义在一个周期上的轴子角[9–13]。一个绝缘体，如果其被可逆奇数次时空坐标的对称性（例如，，，和）量子化，则被称为（磁性）轴子绝缘体（AXI），并表现出可探测的量子化磁电效应[14–17]。AXI可以由弱耦合的交替陈绝缘体层构建，其陈数为[18–20]。诸如[21–24]、[25]等材料以及其他材料[26–33]在理论上被提出作为AXI的候选者。此外，由于宇称反常，AXI在表面上具有半个量子反常霍尔态的特征[34–36]。事实上，半量子化的表面电导由手性铰链态承载[37]，这将AXI与手性高阶拓扑绝缘体（HOTI）或磁性拓扑晶体绝缘体（TCI）联系起来[38–45]。

另一方面，时间反演（）不变的TCI[46–52]在保持保护晶体对称性的边界处承载无间隙的螺旋边界态[53,54]。一个例子是-不变的反演TCI中的螺旋铰链态，其反演指数为[55–59]，也称为螺旋HOTI[40–42]。最近的工作[60]表明，对于选定的自旋分辨方向，反演TCI可以实现三种精细化的自旋分辨拓扑相之一：三维量子自旋霍尔绝缘体（QSHI）、自旋外尔费米子态，以及特别引人注目的-不变双重轴子绝缘体（-DAXI）。-DAXI可以视为两个由时间反演对称性相联系的磁性AXI的副本，其非平凡的部分轴子角由反演对称性量子化。-DAXI的发现扩展了轴子物理的可能场景，例如半量子化的二维表面QSHI。特别是，在这些基于反演对称性的HOTI和/或-DAXI中引入了新颖的自旋磁电响应[54,60,61]。然而，对于反演TCI的自旋分辨拓扑，部分轴子角的0和都是允许的，因此-DAXI能否实现取决于投影自旋能带的细节。这些事实提出了三个自然的问题：(i) -DAXI相能否在部分轴子角由其他晶体对称性而非反演对称性量子化的情况下出现，(ii) -DAXI相能否由任何拓扑不变量来诊断，以及(iii) 自旋磁电效应在非对称-DAXI相中是否仍然存在？

在本工作中，我们引入了具有滑移或螺旋对称性的三维-不变绝缘体的自旋分辨拓扑分类，如表I所示。在（）自旋分辨拓扑中，我们发现-DAXI相由具有非平凡沙漏（螺旋）不变量（）的TCI中的非对称对称性所保护。非对称-DAXI在自旋子空间中定义的部分轴子角由对称性（）量子化。为了阐明非对称-DAXI的性质，我们构建了一个滑移TCI模型作为示例，并明确揭示了以下性质，包括量子化的部分轴子角、具有表面半量子化自旋陈数平台的表面量子反常，以及产生可探测输运特征的拓扑自旋磁电效应。最后，利用从头算计算，我们预测混合铋单卤化物和可以实现非对称-DAXI，为实验探测提供了一个有前景的平台。

表I. 自旋ful三维非对称TCI中的自旋分辨拓扑分类。是部分轴子角，是上自旋子空间中的部分陈数。由于时间反演对称性，有和。非对称TCI

自旋方向
轴
平面
平面
轴

子空间中的对称性

拓扑数

分类和拓扑

(-DAXI)
(3D QSHI)
(-DAXI)
(3D QSHI)

II. 非对称TCI中的-DAXI

为了研究自旋分辨拓扑，需要通过投影-方向自旋算符将占据能带空间分离为两个自旋子空间[62]：

(1)

其中投影到占据能带空间，表示自旋方向。当上下自旋能带之间存在自旋能隙时，以本征值和标记，占据能带可以分离为两个扇区。因此，在QSHI中，可以定义两个扇区的部分陈数，而时间反演对称性要求。因此，非零自旋陈数表明本征自旋霍尔电导（SHC）存在拓扑贡献[63,64]。如果系统自旋守恒，其本征SHC将严格等于量子化值。当自旋守恒被微扰破坏时（通常在真实材料中），如果自旋非守恒的自旋轨道耦合（SOC）相对较弱，本征SHC不会立即消失，而是偏离并接近该量子化值。

滑移TCI（gTCI）可以在实空间中通过沿方向堆叠QSHI层来构建，其中每个晶胞中的两个QSHI通过相联系，分别占据和平面[这里，表示米勒指数和到原点的距离]，如图1(a)所示。同时，螺旋TCI（sTCI）是通过简单地将滑移平面替换为二重螺旋轴来构建的。这种层状构建产生了非平凡的沙漏不变量或螺旋不变量，对于gTCI或sTCI，其强和弱时间反演指数平凡[55]，在本工作中我们称之为非对称TCI。对于gTCI，当能带被的本征值分离时，对称性在每个自旋扇区中保持不变，并且可以量子化部分轴子角。基于自旋分辨气泡等价分析，自旋分辨拓扑是分类的（见附录A）。在图1(b)中，由于两个QSHI通过相联系，它们的自旋陈数相反，与两个自旋扇区中的非平凡部分轴子角一致[图6(b)]。因此，该系统实现了-DAXI的自旋分辨拓扑态。对于其他自旋分辨方向，-DAXI相不被允许或保护，因为由于每个自旋能带集中缺乏，部分轴子角不再量子化。此外，当能带被分离时（我们记作平面中的任意自旋方向），由于，每个QSHI层的部分陈数相同，自旋分辨拓扑是分类的，对应于自旋分辨的三维QSHI。对于具有对称性的sTCI，平面内自旋方向的自旋分辨拓扑产生-DAXI，其部分轴子角由对称性量子化，而自旋分辨产生-保护的三维QSHI。特别地，与反演对称TCI中自旋分辨拓扑（-DAXI或3D QSHI）依赖于详细自旋谱诊断不同[60]，非对称-DAXI的（）自旋分辨拓扑是由gTCI（sTCI）的不变量所保护和指示的。

图1. 非对称TCI的层状构建和非对称-DAXI的对称性强制自旋分辨相。(a) 具有沙漏不变量的gTCI的层状构建，其中两个QSHI通过相联系。(b) 对于(a)中的gTCI，在自旋方向上滑移-DAXI的对称性强制自旋分辨拓扑。(c) 具有螺旋不变量的sTCI的层状构建，其中两个QSHI通过相联系。(d) 对于(c)中的sTCI，在自旋方向上螺旋-DAXI的对称性强制自旋分辨拓扑。在(b)和(d)中，由于滑移和螺旋对称性，两个QSHI分别携带相反的和自旋陈数，两者都实现了非对称-DAXI。

III. 最小模型

为了研究非对称TCI中的-DAXI，我们以gTCI为例，构建了一个八能带模型：

(2)

这里，，和分别是层、自旋和轨道自由度的泡利矩阵。和描述晶胞中的两个QSHI层（），分别位于和，通过滑移对称性相联系。我们不失一般性地选择和。表示层间耦合，其中和。gTCI模型的能带如图2(a)所示。

图2. (a) 方程(2)中gTCI模型的体态能带。参数为，，，，和。(b) 四个占据能带的-方向威尔逊环的WCCs。红点和蓝点分别携带不同的滑移本征值和。插图显示了沿的WCCs的放大图，以绿色突出，显示出沙漏型图案。(c) 示意图：gTCI的锯齿形连接沙漏型威尔逊能带，改编自文献[48]。实线和虚线携带不同的滑移本征值。(d) 沿方向的棒状几何结构示意图，由(110)和()表面包围。(e) (110)和()表面的表面谱，由于它们相同。(f) (d)中棒状结构的-方向谱。拓扑螺旋态位于铰链处。

如果忽略，基于实空间层状构建，该模型实现了不变量为和的gTCI[55]。在加入而不闭合体隙后，这些不变量保持不变。此外，gTCI也可以通过滑移保持表面上的沙漏威尔逊能带的锯齿形图案来确认。为了说明这一点，我们计算了滑移保护的-方向威尔逊环，并在图2(b)中绘制了沿(100)表面布里渊区路径的瓦尼尔电荷中心（WCCs）。可以看出，威尔逊能带具有非平凡的锯齿形图案，与图2(c)中改编自文献[48]的图案相同，证实了gTCI相。同时，滑移保护的威尔逊环携带一个滑移值[65–67]，可以计算为

(3)

其中分别是两个滑移扇区中-方向威尔逊环的WCCs。获得的滑移不变量为，进一步证实了gTCI相。

在滑移保持的表面上，gTCI中预期存在沙漏型表面态。然而，在没有滑移对称性的(110)表面上，滑移破缺微扰引入了质量项，使表面谱带隙化。同时，由于滑移对称性，()和(110)表面具有相同的谱但质量项相反。因此，螺旋铰链态出现在两个表面的界面处，如图2(f)所示。拓扑螺旋铰链态的存在表明滑移TCI也表现为螺旋HOTI。我们进一步发现，螺旋铰链态延伸穿过顶部和底部表面，环绕整个滑移TCI样品。顶部和底部螺旋铰链态的位置与样品总QSHI层数的奇偶性有关，如图3(c)和3(d)的插图所示。我们注意到，环绕整个滑移TCI样品的螺旋铰链模式需要真实样品具有近乎完美的滑移对称性。

图3. (a) 四单元板的上自旋能带的部分WCCs，其中八个上自旋瓦尼尔能带分布在八层上（每个晶胞两个QSHI层）。(b) 板的部分轴子项在分辨率下随的演化。当趋于时，被量子化为，表明-DAXI相。(c) 上图：15个晶胞板（偶数个QSHI层）的层依赖自旋陈数。下图：累积到深度的自旋陈数。(d) 去除最顶层QSHI层后的修正板（奇数个QSHI层）的层依赖自旋陈数及其累积。图(c)和(d)中的插图：分别展示了偶数和奇数层QSHI几何结构中的螺旋形铰链态构型（绿色线条），它们作为表面自旋霍尔电导的导电通道。

IV. -DAXI的性质

我们的gTCI模型在 方向上的自旋分辨拓扑结构由此产生了一个 -DAXI，如前述讨论。在本节中，我们利用gTCI模型从三个方面研究 -DAXI的性质，包括部分轴子角、表面部分量子反常以及自旋磁电效应。

A. 部分轴子角

作为磁性AXI的两个 -相关副本， -DAXI可以通过部分轴子角 来表征，这些轴子角可以从在分离的自旋子空间中构造的部分Wannier函数计算得到[19]。在此情形下，对于沿 方向的 -单胞厚度板，我们定义辅助板的部分轴子项：

(4)

其中， 是在自旋子空间 中定义的 -方向位置算符的本征值， 投影到两个自旋子空间上。 是定义在 本征态上的相应部分非阿贝尔Berry曲率[68–71]。 是占据能带的数量。在无穷厚度极限下，方程(4)中的板部分轴子项收敛到由两个自旋子空间中的Chern-Simons三形式定义的部分轴子角[19]，即 。

为了说明，在 分辨率下，我们在图3(a)中展示了gTCI模型四单胞厚度板的上自旋能带对应的 。八个分离的部分WCC对应八个弱耦合的QSHI层。在图3(b)中，上（下）面板展示了 随 倒数变化的演化（ ）。在 轴上的截距表明 ，从而确认了 -DAXI相。这里， 前的符号“ ”可以通过渐近收敛行为结合时间反演对称性来明确定义。

B. 层依赖的自旋Chern数

我们现在讨论由部分轴子角隐含的表面反常。在磁性AXI中，表面反常霍尔电导是半量子化的，即 [11,14,34,35]。对于 -DAXI，由于时间反演对称性，净表面AHC为零。然而，在自旋守恒的情况下，对表面自旋霍尔电导的拓扑贡献应是非平凡的，并半量子化为 [60]。这种半量子化表面SHC特征可以通过层依赖的自旋Chern数 来捕捉，其中 将Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs整数分解为各层的贡献[14]：

(5)

这里， 是反对称张量，且 。 投影到板的第 层（ ）。在图3(c)的上方面板中，我们绘制了gTCI模型 -单胞厚度板在 分辨率下的层依赖自旋Chern数 。 主要局域在表面，并以振荡方式在体态中衰减为零。然后，我们根据 将层依赖自旋Chern数累积到深度 ，其中 是两个相邻层的平均值[34]。结果绘制在图3(c)的下方面板中。尽管板的总自旋Chern数为零，但底部和顶部表面的自旋Chern数半量子化为 ，与 -DAXI的表面部分量子反常一致。此外，如果我们通过从板中移除最顶层的QSHI层（半个单胞）来修改板（得到 ），剩余表面上的半量子化平台仍然存在，而 的符号翻转（即 ）。因此，修改后的板的总自旋Chern数变为非零，即 。

C. 自旋磁电效应

对于磁性AXI，量子化轴子角 意味着拓扑磁电效应：施加磁场 会诱导平行于磁场的量子化电荷极化 ，使得电子从一侧表面累积到另一侧表面[9,10] [见图4(a)]。在 -DAXI中，部分轴子角 导致自旋磁电效应。在磁场下，由于时间反演对称性，净电荷响应消失，但携带相反自旋的电子将在两个相对表面上累积，产生平行于外磁场的非局域自旋极化，如图4(b)所示。

图4. (a) 磁性AXI中由外磁场诱导的拓扑电荷极化。(b) -DAXI中由外磁场诱导的拓扑非局域自旋极化。(c) 对于 守恒的参数，通过设置 和 ，展示了在 -方向磁场下，每个单胞内的 自旋分布沿 方向。红色和蓝色虚线分别表示 自旋向上和 自旋向下。总非局域自旋极化达到量子化值 。(d) gTCI隧穿结中由时间周期外磁场诱导的交变自旋电流。利用 -方向极化的铁磁自旋过滤器，自旋阀结构可以将自旋电流过滤并转换为可测量的电荷电流。

为了在参数修改为 守恒的gTCI模型中计算实空间非局域自旋极化，我们考虑一个 -单胞厚度的板，置于沿 方向的静态磁场 下，这贡献了Peierls替换 且 。我们通过 获得 自旋分布，其中 且 是位置 处自旋向上和自旋向下的总密度算符。 是板的体积。在图4(c)中，我们展示了20单胞厚度板沿 方向的 自旋分布 ，该分布相对于平均值 测量。可以清楚地看到 -自旋向上电子从底部表面转移到顶部表面，而 -自旋向下电子向相反方向转移，从而产生实空间非局域自旋极化。我们进一步通过 量化非局域自旋极化，它量子化为 ，由部分轴子角决定。此外，如果施加的磁场是时间周期的，频率为 ，即 ，那么非局域自旋极化也应是周期的，从而在隧穿结中产生交变自旋电流，即 。利用 -方向极化的铁磁自旋过滤器，自旋阀结构可以将自旋电流过滤并转换为可测量的电荷电流，如图4(d)所示。这为 -DAXI中的自旋磁电效应提供了直接的输运特征。当自旋守恒被放宽时，尽管 -DAXI相在没有关闭自旋能隙的情况下仍然明确定义，但如果自旋非守恒的自旋轨道耦合相对较弱，自旋磁电响应将偏离但仍接近量子化值（详见附录C）。

V. 应用于

混合铋一卤化物 （ ，3）已被实验合成[72]，其结晶为属于空间群 的基础中心结构（#SG 36）。我们在正文中取 作为例子，如图5(a)所示。链沿 轴延伸，并在 平面内组装成层。两个相邻的范德瓦尔斯层形成 堆叠排列，并由滑移 和螺旋 对称性相联系，而层间滑移破坏了体相晶体的反演对称性。 在无SOC和有SOC情况下的电子能带结构分别绘制在图5(b)和5(c)中，两者都显示出整体体相能隙。在包含SOC后，能带反转沿布里渊区的 路径发生。轨道投影的能带结构揭示了这个能带反转涉及不同位置处具有Bi -轨道特征的能带 [图5(a)中的 和 ]。由于时间反演对称性， 可以用四个 拓扑不变量分类。Wilson loop计算得到 ，表明该化合物既不是强3D TI也不是弱3D TI。然而，在图5(d)中，我们展示了占据能带的 -方向Wilson loop的WCC 。两组孤立的WCC位于 和 附近。图5(e)进一步展示了 附近WCC的 -方向嵌套Wilson loop [图5(d)中蓝色虚线框内]。非平凡的锯齿形图案表明 平面处存在 QSHI层。由于 和 ，另一个QSHI层位于 。通过实空间层构造，这揭示了一个由 和 共同保护的非对称TCI，如图1(a)和1(c)所示。简而言之，我们的计算表明 是一个具有 和 的非对称TCI。此外，我们在图5(f)中计算了滑移保护的 -方向Wilson loop，其携带滑移 值 ，表明gTCI相。此外，我们在图8(a)中展示了沿高对称路径的 自旋谱，并计算了整个布里渊区的全局最小自旋能隙。获得的最小自旋能隙为 ，大于 的 [60]。因此，在 自旋方向上， 实现 -DAXI相。为了进一步验证自旋分辨拓扑，我们进行了自旋分辨嵌套Wilson loop计算（见附录B），其结果与第II节讨论的非对称TCI中的自旋分辨拓扑分类一致。此外， 和 的一种新体相——记为 相——理论上被预测为动力学稳定[73]，并且在我们的计算中也实现 -DAXI。

图5. (a) 的晶体结构。(b) 无SOC的电子能带结构。插图：布里渊区和高对称路径。(c) 有SOC的电子能带结构。红色（绿色）圆点的大小表示两种Bi原子（ 和 ，在图(a)中标记）的 -轨道成分。(d) 占据能带的 -方向Wilson loop的WCC 。(e) 图(d)中蓝色虚线框所示的 附近的 -方向Wilson能带的嵌套Wilson loop。它显示了锯齿形图案，表明QSHI相。(f) 占据能带的 -方向Wilson loop，携带滑移 值 。红色和蓝色点分别携带不同的滑移本征值 （ 滑移扇区）和 （ 滑移扇区），分别在 和 路径上。插图显示了绿色高亮区域的放大。通过水平参考线（灰色虚线），可以通过简单计算Wilson能带穿过该线的次数来计算方程(3)中的 ，即 。 定义为沿 和 的 滑移扇区中正斜率交叉次数减去负斜率交叉次数。 是 上的交叉次数，由于双重简并，需乘以因子2。

VI. 结论与讨论

总而言之，我们已经确定了自旋分辨拓扑分类，并揭示了非对称TCI中的 -DAXI。在某些自旋分辨方向上， -DAXI由非对称对称性保护。具体而言， - -保护的 和 -DAXI分别由沙漏不变量 和螺旋不变量 指示，同时具有平凡的时间反演 指数 。非对称 -DAXI被揭示具有几个自旋分辨特征：量子化部分轴子角、半量子化表面自旋Chern数以及拓扑非局域自旋极化。然后可以提出一些新颖的、实验可及的 -DAXI特征。环绕整个样品的滑移或螺旋保护的螺旋形铰链态为角分辨光电子能谱或扫描隧道显微镜提供了光谱特征。表面量子反常产生相反的、拓扑贡献的非零表面自旋霍尔电导，在自旋守恒的情况下，顶部和底部表面半量子化为 。这可以在自旋输运实验中探测。由于自旋磁电效应，时间周期外磁场可以在隧穿结中产生交变自旋电流，为部分轴子物理提供了动态输运探针。这些实验可以在混合铋一卤化物 和其他具有非对称对称性的TCI中进行。此外，通过在偶数和奇数层数之间改变板样品，可以控制gTCI或sTCI的总自旋Chern数使其消失或量子化为1，系统的响应也相应地在 -DAXI和QSHI之间交替。这种层敏感性暗示了通向层操控的“层电子学”的途径。此外，尽管这项工作专注于 -不变系统，对称性论证自然应该推广到磁性gTCI和sTCI。在这些磁性非对称TCI中，可以预期手性铰链态出现在整个样品周围，并且轴子角被非对称对称性量子化为 ，具有可测量的量子化磁电响应，而无需涉及无能隙边界态。最后，我们期望这项工作将激发对利用部分轴子物理的材料实现和器件概念的进一步实验和理论研究。