基于Max-Cut图的方法驱动的量子电路设计，用于具有类自旋玻璃能量结构的几何受挫平面自旋系统

《Physical Review Research》：Max-Cut graph-driven quantum circuit design for geometrically frustrated planar spin systems with spin-glass-like energy landscapes

　　寻找几何挫败自旋系统的基态是一个具有广泛影响的挑战性问题。许多复杂的优化问题，包括NP完全问题，都可以映射到挫败的伊辛模型中，在这些模型中，竞争相互作用会产生崎岖的、类似自旋玻璃的能量景观。这种难度在弱场条件下尤为明显，此时几何挫败起主导作用，能谱间隙变得极小，使得识别真正的基态变得非常困难。在这项工作中，我们考虑了由三角形基元构成的平面挫败晶格，这是几何挫败的最小单元。我们提出了一种基于图的方法，可以准确初始化包含多达20个节点的挫败三角自旋晶格的状态，同时避免了无效的能量平台。为了优化电路效率和可训练性，我们采用了一种基于最大割技术（Max-Cut）的对量子比特进行分组的方法，该方法将晶格划分为两个最大程度不相连的子集。我们提供了证据，表明这种基于Max-Cut的晶格划分方法为优化电路设计和有效建模挫败系统提供了一个稳健的框架，并且计算成本为多项式级别。所有模拟都是在变分量子本征求解器框架内进行的，这是当前处理噪声中等规模量子设备的标准方法，但也可以扩展到其他情况。我们的结果凸显了混合量子-经典方法在解决复杂优化问题方面的潜力。

**I. 引言**
几何挫败现在被广泛认为是产生崎岖能量景观和慢速动态的核心机制，即使在不存在瞬态无序的情况下也是如此，这种现象也与传统的伊辛自旋玻璃的关键特性相吻合[1–10]。确定伊辛自旋玻璃的基态[11]是一个属于组合优化类的问题，随着系统规模的增加，对于经典计算机来说优化难度呈指数级增长，这与其他多体问题类似。量子计算机早在20世纪80年代初就被提出[12–14]，预计通过利用量子力学现象（如叠加、干涉和纠缠）能够克服这些限制。量子计算的这一进步为解决特定的计算挑战提供了巨大潜力。该领域最著名的两种算法是量子相位估计（QPE）[15–19]和变分量子本征求解器（VQE）[20,21]。QPE算法通常需要较深的电路来准确确定基态能量，这需要进一步发展纠错硬件。因此，VQE作为一种量子-经典混合方法，由于其较浅的电路深度，成为噪声中等规模量子设备的可行替代方案[22]。然而，这一优势带来了在训练过程中可能遇到NP难度优化问题的风险[23]。VQE的目标是找到一个参数化的假设，以确定目标状态的能量或为QPE提供合理的量子状态估计。该假设是通过设计具有变分形式的量子电路来准备的，该电路由指定旋转模式的层和cnot门组成。VQE中最具挑战性的方面之一是设计深度较浅的高效变分量子电路，在噪声环境中这一点至关重要，并且需要最少的参数以避免无效平台问题和陷入局部最小值的情况。伊辛问题与优化问题有着紧密的联系。量子近似优化算法（QAOA）由Farhi、Goldstone和Gutmann在2014年提出[24]，是一种基于VQE方法的优化算法，用于解决组合问题。QAOA已被广泛研究用于解决二次无约束二进制优化（QUBO）问题[25,26]，例如最大割（Max-Cut）[24,27]、最大独立集[28]、二进制油漆店问题[29]、二进制线性最小二乘[30]等。QAOA方法在科学和工业应用中有很多应用，如投资组合优化[31]、尾部分配[32]、蛋白质折叠[33]等。在某些情况下，如QUBO，QAOA可以映射到寻找伊辛系统基态的问题上。

探索伊辛自旋玻璃的基态属性是固态物理和统计力学中的一个关键难点，几十年来一直受到广泛研究[34–37]。自旋玻璃一词表示一种无序磁状态，其中磁性原子或分子的自旋相互作用导致出现挫败的磁现象[38]。在CuMn和AuFe等合金中观察到了挫败磁性金属的行为，其中锰（Mn）或铁（Fe）作为杂质引入到铜（Cu）或金（Au）中[39,40]。伊辛模型因其简单性和有效性而被广泛使用，因为它能够捕捉到真实自旋玻璃的本质特征，同时考虑了杂质之间的相互作用能量[41,42]。晶格中存在未满足的边可能导致多种几何排列的原子仍然稳定的情况。对于具有自旋的平面图，在没有外部磁场的情况下，无论是否存在周期性边界条件，都可以用多项式时间找到基态[43–48]，这与解决Max-Cut问题相当。然而，Barahona证明了在存在磁场的情况下，计算二维（2D）模型的基态能量是NP难问题的，即使没有周期性边界条件，也没有多项式算法能够解决这个问题[42]。

在过去的几十年里，已经开发了各种方法，如蒙特卡洛模拟[49]和进化算法[50,51]（包括遗传算法[52]），来确定伊辛自旋玻璃的基态能量。然而，这些方法通常只能提供近似值而不是确切的基态，且不能保证找到真正的基态[41,53]。此外，这些启发式方法的另一个主要缺点是在存在简并性时的表现。两个能量水平几乎相同的状态在定性上可能仍然不同。因此，尽管这些算法可以给出接近基态的能量，但它们可能并不接近真实的基态。因此，这些方法不足以分析真实的基态，例如在蛋白质折叠应用中发现的基态，如参考文献[54]中提到的。然而，寻找具有横向场的2D伊辛模型的确切基态本身就是一个NP难问题，因此无论是经典方法还是量子方法，都无法可靠地为一般情况提供精确解。

寻找真正基态的另一种方法是绝热方法，如模拟退火（SA）[55]、量子退火（QA）[56]和量子绝热算法（QAA）[57]。SA方法是一种通过模拟系统逐渐冷却到低能量状态来寻找基态的优化技术。这种方法的缺点是冷却过程必须延长；否则，系统可能会陷入局部最小值而不是达到全局最小值。QA依赖于量子波动，通过逐渐减少施加在自旋系统上的横向磁场来寻找最优解，温度尽可能低。实验[58]和模拟[59,60]表明，QA可以在自旋玻璃中比SA更快地达到平衡状态，后者通过热退火操作。然而，移除磁场会减少量子波动并迫使系统通过临界点。对于在大场强下发生的无序相与在小场强下出现的自旋玻璃相之间的转变，目前仍然缺乏完整的理解，这仍然是一个活跃的研究领域。最近的一项研究[61]利用极端尺度模拟（主要基于蒙特卡洛方法）表明，只要避免奇偶性改变的激发，就可以在多项式时间内达到量子自旋玻璃相，前提是避免使用奇偶性改变的激发。这种乐观的前景的一个可能限制是，仅仅穿越临界点与通过整个玻璃相到达零横向场的最终状态可能是不同的，后者仍然具有挑战性[62]。QAA与QA密切相关，但是一种基于哈密顿量的量子算法，其中哈密顿量经历缓慢演化，使系统能够保持在其基态。确定QAA的复杂性至关重要，特别是当第一个激发能隙（ΔE1）的最小值较小时，因为总演化时间（T）与ΔE1成反比。如果在演化的任何阶段ΔE1变得指数级小，模拟时间可能会呈指数级增长，从而使QAA效率降低[63]。QA也面临同样的问题，因为它也需要从临界点绝热过渡到零磁场。在高维情况下，这一任务的复杂性变得更加突出[64–66]。相关的受退火启发的方法，如snapshot-QAOA[67]，依赖于保持能隙的插值，因此在多体激发能隙变得非常小的挫败情况下可能会遇到类似的挑战。

鉴于绝热方法的局限性，探索替代方法非常重要。例如，已经提出了一种代数方法，用于设计一个量子电路，该电路可以有效地对角化伊辛哈密顿量，并通过直接准备计算基态来访问所有本征态。这种方法已经应用于四量子比特系统，并且有潜力扩展到更大的量子比特数；然而，这仅适用于一维伊辛模型[68,69]。最近的一项有前景的研究[70]展示了在127量子比特重型六边形晶格上实现的2D横向场伊辛模型（TFIM）的量子模拟中，噪声缓解技术的有效性。其结果超过了几种经典张量网络方法在同一问题上的表现，即使这些经典方法使用了大量的计算资源。此外，King等人[71]最近使用了一个大规模的可编程量子退火器来分析自旋玻璃中的纠缠增长，展示了在二维、三维和无限维度拓扑结构中的面积律缩放。他们表明，基于张量和神经网络的最新经典方法无法在合理的时间内达到量子退火器的精度。从复杂性理论的角度来看，伊辛自旋玻璃基态任务自然有两种形式：优化版本（计算最小能量）和决策版本（给定一个阈值ε，判断基态能量是否满足ε）。前者是NP难的[42]，而后者是NP完全的[72]。因此，决策形式可以与任何NP完全问题多项式时间内归约，这正式说明了伊辛模型与一系列复杂组合决策问题之间的紧密联系。这种联系有助于解释为什么在低能量伊辛配置方面的算法进展可以产生广泛的影响：许多具有挑战性的优化问题——包括旅行商问题和蛋白质折叠——都采用伊辛（或密切相关）的表述[72–74]。尽管普遍认为量子计算机不会在多项式时间内解决NP完全问题，但它们仍然可能在实际速度上带来提升——例如，通过减少某些问题家族中最著名的指数缩放的指数[75]。确定伊辛模型低能量配置的更广泛问题解决潜力激励了来自不同学科的研究人员来迎接这一挑战。例如，Hopfield模型[76]以及其他神经网络模型揭示了神经网络与伊辛自旋玻璃在一般网络中的重要联系[77–79]。一系列深度神经网络架构，包括生成模型[80–86]和强化学习[87,88]，已被应用于解决伊辛模型。设计神经网络来解决更大和更复杂的图上的伊辛自旋玻璃模型不仅可以为开发强大的优化工具打开大门，还可以揭示深度学习辅助算法的局限性和边界[86]。

鉴于具有横向场的挫败伊辛模型的计算难度，我们的目标并不是为任意系统提供一个精确的多项式时间算法。相反，我们将我们的贡献定位为一种结构引导的启发式假设，用于VQE，该方法明确利用了底层晶格的几何形状和对称性。通过结合（1）基于Max-Cut的分割，将晶格划分为最小挫败的组；（2）保持对称性的两量子比特簇（2-qc）构建块；以及（3）与哈密顿量的全局自旋翻转对称性对齐的电路布局，我们构建了变分电路，这些电路保持在物理相关的子空间内，并大大降低了无效平台的风险。正如本研究所展示的，这种利用结构的设计显著提高了可训练性、高基态保真度以及多项式电路的可扩展性，即使在标准VQE、QAOA [24]或自适应导数组装伪Trotter变分量子本征求解器（ADAPT-VQE）[89]难以处理的领域也是如此。在早期的工作中，人们使用最大权重切割技术来计算具有随机高斯耦合的二维Ising自旋玻璃模型在正方形晶格上的基态能量，这些工作依赖于经典硬件[41,53]。后续的研究考虑了更具挑战性的情况，即相互作用的大小是固定的，但每条边的符号是随机的[49]。通过使用分支剪枝技术，可以处理像网格这样的大型实例；然而，运行时间难以预测，对于更大的晶格，获得具有保证的多项式扩展性的精确解仍然具有挑战性。在当前的工作中，我们没有通过随机耦合引入无序性，而是专注于具有固定反铁磁相互作用的几何 frustration 晶格，并使用Max-Cut作为设计高效量子电路的结构指南。在弱场条件下，这种几何 frustration 产生了复杂的低能量景观，这些景观与无序自旋玻璃系统中报告的特性有共同之处。

在这项研究中，我们将提出的方法应用于复杂度高达20个节点的三角自旋晶格，并使用VQE来计算基态能量。我们展示了Max-Cut在将系统划分为两组以及建立相应的簇间耦合方面的自然且有效的作用。本文的其余部分组织如下：首先介绍几何 frustration 的概念，并为三角横向场Ising模型发展出一个精确的理论框架。作为最小的 frustration 模式，三角形是三角晶格的基本构建块，我们使用基于图划分的簇电路构造来描述它。然后，我们将这一框架扩展到研究具有5个和7个节点的复杂系统，以及一个10个节点的三角晶格。最后，我们探讨了所提出方法在预测更大复杂度晶格的磁行为方面的适用性，这些晶格的系统大小可达20个节点。

### 几何 frustration
几何 frustration 是指自旋系统中的相互作用模式使得所有的成对反铁磁（AF）耦合无法同时得到满足。三角形是最简单的例子：对于AF Ising相互作用，最多只有两个自旋可以反向对齐，因此必然有一个键不被满足。这种约束产生了六个简并的经典基态配置，如图1所示。

### 图1. 三角形上的六个简并AF Ising基态

这种低能量配置的多样性是几何 frustration 的一个定义特征，并且在更大的复杂晶格中变得更为明显。

#### A. 横向场Ising模型
为了研究复杂系统中的量子效应，我们考虑了TFIM模型，其中：
$$ H = -\sum_{i,j} J_i \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j $$

其中 $ J_i $ 表示AF Ising相互作用，$ \vec{S}_i $ 表示自旋矢量。引入无量纲参数 $ \lambda $ 和 $ \alpha $，我们在方程(1)中设置 $ \lambda $ 和 $ \alpha $。因此，$ \lambda $ 控制横向场的强度，而 $ \alpha $ 控制反铁磁相互作用的强度。横向场通过翻转单个自旋引入量子涨落，从而混合了由 frustration 引起的许多简并的经典配置。本工作中考虑的模拟晶格几何结构如图2所示。

### 图2. 本研究中研究的几何 frustration 晶格概览
左上角：5个节点的房屋几何结构。右上角：7个节点和19个节点的六边形晶格。下图：10个节点和20个节点的带状晶格。

为了展示几何 frustration 如何产生类似自旋玻璃的能量景观——其特征是近乎简并的状态和多个局部最小值——我们将每种复杂几何结构与其对应的未受 frustration 的链状几何结构进行比较。这种比较突出了 frustration 在产生玻璃态行为中的作用，特别是在弱场条件下。

图3展示了系统大小为 $ N $ 的链状和复杂几何结构的低能量谱。对于 $ N = 2 $，显示了完整的能谱（所有能级）；而对于 $ N = 4 $ 和 $ N = 20 $，我们仅展示了最低的100个能级。

#### （a）弱场条件
在弱场条件下（图3(a)），几何 frustration 产生了近似简并的基态流形，其本征态集中在基态能量附近，并且随着系统大小的增加，基态能量之间的能隙呈指数级减小。随着系统大小从2增加到4，低能量谱变得更加密集和不规则，表明出现了崎岖的能量景观。图3(a)的放大插图以5个节点的情况为例，显示了能级的分裂程度，这表明流形在宏观上是简并的，但在微观上仍然是非简并的。图4中对复杂晶格的第一激发能隙进行的补充分析进一步证实了能隙随系统大小的增加而呈指数级减小。相比之下，未受 frustration 的链状结构保持了良好的隔离基态和更平滑的低能量谱。

#### （b）强场条件
在强场条件下（图3(b)），横向场占主导地位，并抑制了几何 frustration 的效应。基态变得唯一且与激发态明显分离，两种几何结构的整体谱变得更平滑且间距更规则，消除了在弱场下观察到的玻璃状聚集现象。

### B. RVB 观点和量子比特连贯性的挑战
在更广泛的复杂磁性背景下，Anderson的共振价键（RVB）框架[90]提供了一个有用的视角。在类海森堡的自旋模型中，哈密顿量取形式
$$ H = \sum_{i,j} J_{ij} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j + \sum_{i} S_i S_j \theta $$
其中 $ J_{ij} $ 表示两个节点之间的单态键，它形成了2个节点相互作用的一个精确本征态，并最小化了局部能量。因此，整个系统的基态可以看作是价键覆盖的叠加态，如图5所示，单个节点之间的单态（VB）对构成了RVB框架的基本构建块（图6）。

即使在中等系统大小下，不同配对的数量也会随着自旋数的增加而呈组合式增长。虽然RVB框架抓住了类海森堡模型中的基本物理现象，但直接将这种结构导入量子电路会导致实际困难，因为编码所有可能的配对模式会导致组合爆炸，这将需要指数级多的电路组件。

一个关键观察是，VB单态分解为交替的自旋向下/向上组分自然类似于底层图的二分着色。将红色分配给自旋向下的状态，蓝色分配给自旋向上的状态，将晶格分为两个颜色类，其中连接相反颜色的边由反铁磁相互作用满足。相反，连接相同颜色节点的边对应于未满足的键（图7）。在这个意义上，每个VB单态隐含地强制了一种局部二分结构：没有价键连接相同颜色的两个节点。这种着色观点提供了RVB共振图与下一节中介绍的基于切割的 frustration 分类之间的概念联系。

### C. 复杂类别和基于切割的共振
在几何 frustration 的Ising系统中，可以根据它们未能满足的相互作用约束数量将经典自旋配置分组。对于一个配置 $ \vec{S} $，设 $ m $ 表示未满足的AF边的数量，并定义相应的“复杂类别” $ C_i $（公式(3)）。这引入了一个自然的层次结构，其中最低级别的类别 $ C_0 $ 包含具有最少 frustration 数量的配置，而更高级别的类别 $ C_i $ 包含逐渐增加的 frustration。在经典极限下，能量线性依赖于违反边的数量（公式(4)），因此复杂类别形成了一个明确的能量排序。

当引入横向场时，系统的基态不再集中在单一的经典配置中。术语 $ \theta $ 引发了单个自旋的翻转，这些翻转混合了不同的复杂类别，导致了量子基态（公式(5)），其振幅随着 frustration 的增加而系统性地减小（公式(6)。复杂类别可以根据图划分得到自然解释：每个经典自旋配置对应于相互作用图的某个特定划分（切割），并且在给定复杂类别内的所有配置具有相同数量的违反AF约束的边。因此，复杂类别的层次结构反映了按照未满足相互作用数量排序的图切割的层次结构。

尽管横向场Ising模型不像SU(2)对称的海森堡模型那样表现出单态形成，但几何 frustration 引出了类似的共振形式。在海森堡系统中，基态在多个价键覆盖之间共振，而在Ising情况下，共振发生在与复杂几何结构兼容的经典图划分的集合上。然而，这样的划分数量呈组合式增长，直接将它们全部纳入量子电路中是低效的。

为了规避这一挑战，我们从方程(1)中的横向场项的基态开始。这个乘积态为所有计算基础配置赋予了相同的权重，每个配置代表一个图划分。然后我们使用主要的低 frustration 分割来定义哪些量子比特对通过局部两量子比特门连接。这些门调节配置振幅并产生纠缠。这种策略捕捉了复杂系统的本质共振结构，而不需要明确列举所有可能的划分。

这种共振结构自然导致了基于切割的描述。最小化未满足边的数量直接对应于Max-Cut问题。

### D. Max-Cut 分割
Max-Cut问题的目标是将图的节点划分为两个不同的集合，以便最大化连接它们的边数。为了标记这两个不同的组，我们可以分配二进制数字0和1。需要注意的是，我们不能切割连接同一组内节点的边。为了解决Max-Cut问题，我们旨在最大化一个特定的成本函数（公式(7)），其中 $ w_{ij} $ 表示节点 $ i $ 和 $ j $ 之间的边的权重，$ n $ 是图中节点的数量。由于图是无向的，权重满足 $ w_{ij} = 1 - \frac{1}{n} $。将每个节点分配一个自旋状态 $ \sigma_i $（$ \sigma_i \in \{0, 1\} $），其中自旋值对应于图中的节点编号，允许我们将图分类为两个集合：自旋向上的节点（$ C_0 $）和自旋向下的节点（$ C_1 $）。在量子计算的背景下，我们测量由泡利算符组成的可观测量的期望值，这种映射与自旋晶格映射是逻辑上一致且连贯的。实际上，可以通过以下分配来完成这项任务：

$$ \vec{S}_i \to \vec{S}^{\prime}_i = \theta \vec{S}_i $$

其中 $ \theta $ 是一个拓扑变换，它将自旋状态转换为对应的颜色。利用方程(8)并将其代入方程(7)，我们得到：

$$ \sum_{i,j} \theta \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j \rightarrow \sum_{i,j} \theta \cdot \theta \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j $$

此外，量子计算机的本质倾向是寻找最小值，通常是最低能量，而不是最大值。因此，我们的目标是最小化（公式(11)中的期望值，而不是最大化（公式(7)。

在统计物理和无序系统中，Max-Cut问题类似于在没有外部磁场的Ising自旋玻璃中最小化哈密顿量。这简化了方程(1)的形式为：

$$ H = -\sum_{i,j} J_{ij} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j $$

利用QAOA算法[24]，我们可以最初利用量子计算机来识别任意图中的最大切割。然而，鉴于系统的相对较小规模（$ N \leq 8 $），我们在这里采用了一种更启发式的方法。

### E. 哈密顿量和对称性
很容易验证横向场Ising模型的哈密顿量与总自旋翻转算符 $ \hat{\prod} $ 是可交换的（公式(14)。

证明归结为显示所有的局部 $ \hat{\prod}_i \hat{\prod}_j $ 都与 $ \hat{H} $ 可交换。我们得到：

$$ \hat{H} \hat{\prod}_i \hat{\prod}_j = \hat{\prod}_i (\hat{\prod}_j \hat{H} \hat{\prod}_i) $$

因此，哈密顿量的本征态也必须是 $ \hat{\prod} $ 的本征态。由于 $ \hat{\prod} $ 的幂等性（$ \hat{\prod}^2 = I \hat{\prod} $），出现了一个对称性，其本征值对应于对称（$ \hat{H}_{\text{sym}} $）和反对称（$ \hat{H}_{\text{antisym}} $）部分。算符的本征态展现出一个特殊性质：任意两个具有最大汉明距离（定义为对应的二进制字符串在不同比特位置上的差异数量）的状态具有相等的振幅。然而，它们的相位可能会不同。例如，在两量子比特的情况下，本征态具有以下形式：(16) (17) 因此，对称态或反对称态的线性组合也是该算符的本征态。因此，本征态的一般形式可以重写如下：(18) 此外，该算符涵盖了2站点哈密顿量的所有状态(19)。考虑2站点哈密顿量(19)，状态(20)是第二和第四象限的基态，具有(21)，而第一和第三象限的最高激发态具有(22)。这里，QI–QIV表示四个象限。类似地，(23)包括第一和第二激发态，(24)产生第一激发态(25)，(26)产生第二激发态(27)。值得注意的是，(28)通常不是该算符的本征态。然而，它通过其作用保持(29)的形式：(30)保持形式意味着输出状态对于具有最大汉明距离的状态具有相等的振幅，可能存在相位差异。这一性质源于伊辛哈密顿量与该算符的对易。通过利用这些性质，可以使用与目标状态结构对齐的量子电路在有限的搜索空间内搜索目标状态。这种简化很重要，因为它解决了成本景观优化中的主要问题之一[91]。在下一节中，我们将介绍基于系统哈密顿量对称性设计的量子电路的基本构建块，并解释如何根据最大割分（Max-Cut partition）将这些块放置在图中。

F. 最大割分（Max-Cut-partitioned）假设在这里，我们介绍了生成最近邻相互作用的基本电路组件，称为2-qc：(22) 该组件旨在与系统哈密顿量的对称性对齐，并使用割分来表示最简单的2站点系统的划分机制。2-qc算符(33)与量子比特(qubit)控制(34)可以对易，因为(35)。其结果是，一旦参考状态是该算符(36)的本征态(37)，对该参考状态作用任何算符(38)将保持在相同的对称性扇区内：(39)因此，由任意2-qc门组成的电路将是该算符的本征态，前提是参考状态(或初始状态)(40)是该算符的本征态。可以通过对每个量子比特应用(41)门轻松准备参考状态作为该算符的本征态。引理1。设(42)表示产生两自旋子系统精确本征态的两量子比特簇幺正算子。应用(42)不会改变(43)的结构；它只是改变了有效旋转角度：(44)证明。(45)的作用在有序基中是块对角的：(46)使用(47)和(48)的定义，(49)因此，(50)直接简化为方程(27)。

?下一步是将这种电路设计推广到具有(n)个节点的任意图。这种基于图的2-qc块的放置完全由最大割分决定，定义了我们的最大割分2-qc假设（MPA）。考虑一个根据最大割分解决方案(51)将节点着色为两个集合（“红色”和“青色”）的图。对于穿过割分的每条边，2-qc块有两种可能的定向，这取决于选择(52)作为控制（源，53）还是(54)作为目标（汇，55）。对于单条边，这可以图形化表示为(56)。给定最大割分着色，我们定义两个子电路：(57) 源子电路(58)，其中所有2-qc块的定向都是所有红色节点作为控制，青色节点作为目标。(59) 汇子电路(60)，其中定向相反：红色节点是目标，青色节点是控制。然后构建完整的假设层作为一个(61)对，前面是用于状态准备的单量子比特(62)旋转。图8显示了三角形情况的完整电路。我们还定义了一个平均场电路(63)，它只包括初始层，不包含任何2-qc块；这个参考用于在第IV A节中量化恢复的相关能量(RCE)。

图8. 三角形上反铁磁伊辛自旋的完整电路。和子电路的两个结构特性值得强调：(64) 在每个子电路(65或66)中，2-qc块彼此对易，因为它们的旋转要么作用在不同的目标量子比特上，要么作用在一个共享的目标量子比特上，而控制量子比特是不同的。因此，输出状态不依赖于给定割分的边被遍历的顺序，消除了块放置的任何组合歧义。(67) 和的相对顺序无关紧要：交换和层相当于重新参数化和成本景观的整体移动。在第II G节中，我们明确展示了两种排序都可以产生精确的三角形基态。通过根据最大割分着色反复应用2-qc块，我们获得了任意图的结构化、保持对称性的假设。在下一小节中，我们将专门研究单个三角形，并展示在这种情况下，单个层已经具有方程(19)中所有参数值的基态的精确表达性。

G. 三角形上的精确表达性令人沮丧的三角形构成了建立我们电路设计方法的最小非平凡系统。这种情况的分析结果在下面以定理的形式总结，突出了本节的核心主张。定理1。考虑在一个三角形上的3站点反铁磁横向场伊辛哈密顿量，具有均匀耦合(68)和横向场(69)，如方程(1)所示。设(70)表示其基态。那么，对于所有的(71)，存在一个单一的实数参数(72)，使得一层最大割分2-qc电路（一对；图8）准备精确的基态(73)。等价地，该假设再现了精确的基态能量(74)和使用单一变分角的(75)的对称适应振幅结构。为了证明这个主张，我们分析了三角形伊辛哈密顿量的对称结构。三角形伊辛模型有(76)种可能的配置。我们可以根据未满足边的数量对可能的配置进行分类，其中边上的两个站点具有相同的自旋。总共有两类不同的配置：一类是一个未满足边(1U类)，另一类是三个未满足边(3U类)。后者的能量更高，因此代表了一个不太有利的状态。通用波函数具有以下形式：(77)，其中(78)是归一化因子，(79)和(80)分别代表3U类和1U类。(81)和(82)代表每个类别中配置的振幅。同一类别中的配置在幅度上具有相等的振幅。这种平等性源于它们的对称性和对波函数的平衡贡献，其中没有一种配置比其他配置更稳定，使它们同等重要。然而，同一类别的振幅的相位可以变化。我们可以用(83)和(84)分别表示3U类和1U类的振幅幅度，利用它们在同一类别内的绝对幅度等价性。因此，归一化因子可以如下确定：(85)类似于两量子比特情况，我们可以使用表I中的标记方案基于该算符的本征态来证明基态。该算符的八个本征态是(86) (87) (88) (89) 表I. 和状态的标记方案，分为3U类和1U类。类 标签 基础状态 3U 1U 基础集涵盖了哈密顿量的所有状态。构建基态时每个基础状态的正确相位是通过检查其在所有可能相位分配下的期望能量来确定的。为了简洁起见，我们省略了这些细节，而是专注于作为我们目标状态的基态。可以明确显示目标状态具有以下形式：(90)，其中角度(91)满足(92)，基态能量由(93)给出。目标状态中的每个配置都由自旋向上和自旋向下站点的数量决定符号。具有奇数个1的配置被赋予负号，而具有偶数个1的配置具有正号。例如，(94)带有负号，而(95)带有正号。因此，如果两个不同的配置具有最大汉明距离，它们应该相对于彼此表现出相反的符号。如我们所见，目标状态由两个系数组成，这意味着只需要一个参数就可以获得它。为了保持一致性，图8中的电路使用单个参数再现了所需的状态，对于所有(96)和(97)的值如下所示：(98)，从而得到输出状态：(99)，其中(100)代表子电路(101)和子电路(102)的一层，(103)和(104)的顺序从左到右进行。通过应用恒等式(105)，可以推导出方程(90)。在这种情况下，变量(106)满足以下关系：(107)如前所述，我们可以通过交换子电路(108)和(109)来获得目标状态，并推导出(110)，其中(111)得到输出状态：(112)，其中(113)。通过使用恒等式(114)，可以推导出方程(115)。这导致了(116)和哈密顿量的参数(117)和(118)之间的关系：(119)对于更大的系统，我们将应用2-qc构建块来基准测试电路寻找目标状态的能力。虽然MPA能够精确地再现三角形的基态，但对于更大的图则不再如此。然而，将三角形作为令人沮丧系统的构建块，可以沿用和电路。

III. 数值方法论
A. 提取最大割分位串
为了获得最大割分，我们使用方程(13)并将(119)设置为给图中所有边分配相同的权重。我们运行QAOA算法并识别输出概率最高的位串，这些位串对应于最大割分解决方案。

B. 性能指标
我们使用互补指标来评估MPA方法的性能，这些指标既考察了能量精度，也考察了准备的量子状态的质量。
1. 恢复的相关能量
RCE量化了MPA捕获的相关能量的多少——相关能量定义为精确基态和平均场近似[92]之间的能量差。其计算公式为(120)，其中(121)是从仅包含单量子比特旋转的电路中获得的平均场能量（即，不包含任何两量子比特纠缠块），(122)表示使用MPA电路获得的能量，(123)是目标状态能量。负的(124)值表明变分假设的表现不如平均场参考；也就是说，它未能恢复超出产品状态描述的相关能量。
2. 保真度
为了量化MPA状态与目标状态的接近程度，我们使用Uhlmann保真度[18,93]。对于MPA密度矩阵(125)和目标密度矩阵(126)，保真度定义为(127)。我们注意到，保真度在当前的量子硬件上不是直接可观测的量，因为其估计需要访问精确的目标状态或完整的（或部分的）量子态层析成像。这两种方法都对统计噪声非常敏感，并且随着系统大小的不利扩展。因此，这里使用理想模拟进行评估，其中进行了无限次拍摄，它作为一个诊断工具来评估变分假设的内在表达性，而不是作为硬件级别的基准。
3. 相关函数和磁化强度
尽管能量和保真度提供了良好的全局性能度量，我们还使用实验上可访问的可观测量——即相关函数(128)和磁化强度(129)——作为19站点和20站点晶格的性能指标。为了进行公平的比较，QAOA和ADAPT-VQE的模拟使用了相同的经典优化设置。在所有情况下，变分参数都是通过每次模拟使用单一的初始化随机初始化的。额外的、符合硬件实际情况的模拟，其中包含了从后端派生的噪声模型，在附录D中单独报告，并且这些模拟仅限于基于能量的可观测量。

D. 优化协议
参数在一个网格上进行优化。对于大型图（19-20个节点），使用绝热延续方案：在某个值处的最优参数被用作下一个值的初始点。

IV. 结果与讨论
A. 5节点挫败伊辛模型
在这里，我们展示了在husel图[96]上对5节点挫败伊辛模型的结果。对于不同的切割方式，包括Max-Cut，以评估电路在不同图划分方法下的性能（见图9）。为了区分不同的切割方式，我们定义了某个指标，其中该指标表示切割中的边数。在这种情况下，Max-Cut对应于某个特定的切割方式。在每种情况下，电路从初始状态开始，并按顺序使用三层某种结构，并进行若干次子电路操作。恢复的相关能量和状态保真度在图10中展示。

图9. 5节点husel配置的六种可能的切割方式，包括Max-Cut。

图10. 不同切割方式下恢复的相关能量（见图(a)）和状态保真度（见图(b)）的比较，用于5节点挫败伊辛模型。
图10表明，基于Max-Cut的MPA电路在整个参数区间内都能以高保真度得到精确解。然而，对于切割(4)和切割(4*)，只有在某个参数范围内才能得到精确结果，而随着该参数的减小，保真度会迅速下降。如前所述，当磁场较弱时，模拟自旋玻璃系统变得特别具有挑战性。因此，如果电路与目标状态的表示不完全吻合，它很可能会与激发态的结构对齐。这导致收敛到基态和激发态的线性组合，而不是基态本身。

我们分析了相对精确结果的RCE（相关能量）和状态保真度，对于某个特定的参数范围。结果在表II中展示，并在图11中可视化。如图所示，对于较小的参数值，QAOA方法需要较多的层才能获得准确的能量和波函数结果。然而，即使在310层的深度下，QAOA电路的保真度也没有达到1.000，并且与MPA方法相比，其能量误差更大。对于ADAPT-VQE，需要某个梯度阈值才能达到1.000的保真度。然而，使用某个较低的梯度阈值，可以获得准确的能量结果，尽管能量误差比所提出的方法高，但代价是状态保真度较差。使用非常小的梯度阈值会增加电路的深度，并增加水池中操作符所需的测量次数。这个例子表明，MPA电路能够在显著降低电路复杂度的同时获得最高保真度的结果，其深度仅为QAOA电路的十分之一，为ADAPT-VQE的五分之一（见图11）。

图11. 对于具有特定参数范围的挫败5节点husel伊辛模型，QAOA、ADAPT-VQE(2)和本文介绍的MPA电路之间的电路复杂性比较。

表II. 对于具有特定参数范围的挫败5节点husel伊辛模型，QAOA、ADAPT-VQE和本文介绍的MPA电路之间的能量误差、%RCE（相关能量）和状态保真度的比较。ADAPT-VQE(1)和ADAPT-VQE(2)对应于自适应操作符选择过程中不同的梯度收敛阈值选择。

B. 7节点和10节点挫败伊辛模型
为了进一步评估MPA电路的能力，我们将晶格尺寸增加到7个和10个节点，以确定在特定参数范围内获得准确结果的层数和操作层数。符号“某层”表示由连续的层组成的一个假设，其中每一层都由一对操作符共同作用于整个量子比特寄存器（见图12）。

图12. “某层”假设的示意图，其中“某对操作符”表示使用的操作符对数。

图13. 使用QAOA算法为7节点六边形图获得的四种不同解中的一种可能的Max-Cut配置。相应的结果在图14中展示，表明一个准确的解对应于某个特定的切割方式。

图14. 对于7节点六边形挫败伊辛模型，不同“某层”配置下恢复的相关能量（见图(a)）和状态保真度（见图(b)的比较。平均场曲线对应于仅使用单量子比特操作符旋转构建的乘积态假设（见第III.B节）。

对于10节点带状晶格，使用QAOA算法从六种不同解中获得一种可能的Max-Cut配置，以及另一种配置（见图15和图16）。模拟是按照图15所示的配置进行的，而两种Max-Cut配置之间的比较，包括另一种配置的结果，在附录B中提供。有趣的是，“某层”再次提供了高状态保真度和准确能量，如图17所示。

图15. 10节点带状图的六种可能的Max-Cut解决方案之一。

图16. 10节点带状图的另一种可能的Max-Cut配置。

图17. 对于10节点带状挫败伊辛模型，不同“某层”配置下恢复的相关能量（见图(a)）和状态保真度（见图(b)的比较。

在表III中，对于具有特定参数范围的挫败5节点husel伊辛模型，将%RCE和状态保真度与QAOA、ADAPT-VQE进行了比较。对于QAOA方法，使用了100层的问题哈密顿量和混合器哈密顿量[24]。然而，如表所示，尽管重复次数很多，状态保真度仍然非常差，能量误差也很显著。由于第一个激发能隙极小，要获得准确的结果需要将层重复次数过多，从而导致电路深度和cnot门数量的指数级增加。另一方面，ADAPT-VQE方法提供了准确的能量估计。然而，使用某个梯度阈值时，状态保真度并不令人满意，因为这种配置导致电路深度很大且参数数量过多。因此，如果不显著降低梯度阈值，使用ADAPT-VQE获得高保真度的输出状态变得具有挑战性。进一步降低阈值会产生一个深度极深且参数过多的电路，这使得实际应用变得不切实际。表IV展示了在具有特定参数范围的情况下，MPA电路、QAOA和ADAPT-VQE的电路复杂性随系统规模从5节点到10节点的缩放情况。观察到QAOA方法的电路深度显著增加，但保真度仍然非常低。对于ADAPT-VQE方法，缩放大致是线性的，与我们的方法类似；然而，10节点系统的保真度较差，且电路深度和参数数量都显著增加。值得注意的是，使用我们方法的10节点系统的电路深度仍然低于使用ADAPT-VQE方法的5节点系统所需的深度。

表III. 对于具有特定参数范围的挫败10节点带状伊辛模型，QAOA、ADAPT-VQE和本文介绍的MPA电路之间的能量误差、%RCE和状态保真度的比较。

表IV. 不同方法在不同系统规模下的电路复杂性缩放比较。节点 数量 方法 深度 cnot门数量
5 QAOA 310 216 36
ADAPT-VQE(2) 161 98 59
MPA 31 30 15
10 QAOA 4701 3800 200
ADAPT-VQE 551 342 194
MPA 121 168 84

为了进一步评估所提电路在非均匀相互作用下的鲁棒性，我们还研究了具有非均匀（随机）耦合的挫败10节点带状晶格。这个额外的基准测试在附录C中展示，表明该电路在相互作用不均匀性下仍能保持其性能。

在下一节中，为了评估所提方法在更大晶格上的可扩展性，并验证“某层”是否仍然能提供高保真度的输出状态，我们将晶格尺寸扩展到20个节点。

C. 19节点和20节点挫败伊辛模型
我们采用了相同的程序来模拟具有20个节点的晶格，对应于某个希尔伯特空间维度。从使用QAOA作为电路设计初始步骤获得的40种解中选择了一种可能的Max-Cut配置，如图18所示。由于这种晶格缺乏对称性，与之前的晶格相比，它有助于评估MPA电路的能力。我们从“某层”开始并采用了绝热优化。对于不同的参数范围，结果显示在图19中，表V展示了电路复杂性。

图18. 20节点带状图的一种可能的Max-Cut配置。

图19. 对于20节点带状挫败伊辛模型，不同“某层”下的%RCE（见图(a)）和状态保真度（见图(b)的比较。

表V. 不同系统规模下MPA电路中的cnot门数量和参数数量的总结。

结果表明，“某层”足以在几乎整个参数范围内高保真地再现目标状态。然而，通过将“某层”增加到4，可以进一步减少能量误差。尽管如图4所示，在弱场范围内，随着晶格尺寸的增加第一个激发能隙呈指数级减小，MPA电路仍表现出显著的鲁棒性，始终保持高保真度。

我们继续使用“某层”评估电路的性能，分析相关函数和磁化强度，并将它们与精确结果进行比较。计算针对具有特定参数范围的值进行，这对应于最具挑战性的情况，通过评估所得输出状态上所有可能的作用并与其精确结果进行比较。图20展示了精确结果的相关函数，而图21展示了与模拟结果的差异。结果表明，相关函数的误差平均来说是小的；然而，对于涉及节点16-18的作用，观察到了最大高达某个百分比的偏差。一致地，通过分析磁化强度，我们观察到尽管对于小的“某层”值，节点16、18和19的误差与其他节点相比较大，最大绝对误差为0.096（见图22）。

图20. 从精确结果获得的20节点带状系统的相关函数。

图21. 20节点带状系统精确结果的相关函数与模拟结果之间的差异。

图22. 从精确结果获得的20节点带状系统的磁化强度（见图(a)），以及从精确结果和模拟结果获得的磁化强度之间的差异（见图(b)。

从节点16、18和19的位置来看，我们假设体内部的相互作用更难以捕捉到，因此我们对19节点六边形晶格进行了额外的模拟（见图23），其配置比20节点带状晶格稍微更复杂。图24和图25分别展示了精确值和精确结果与模拟结果之间的差异。输出状态的保真度为0.972，能量误差为某个百分比。表V总结了19节点晶格对应的电路复杂性。结果表明，所提方法成功地产生了高保真度的状态。此外，从模拟得到的相关函数对于大多数相互作用都显示出良好的一致性。值得注意的是，对于位于图中心的节点9，由于距离边缘较远，该节点的相关函数误差相对较低。

图23. 19节点六边形图的四十种可能的Max-Cut配置之一。

图24. 从精确结果获得的19节点六边形系统的相关函数。

图25. 从精确结果获得的19节点六边形系统的相关函数。19个格点的六边形系统精确结果与模拟结果之间的相关函数差异。此外，还计算了磁化强度，并将其与精确结果进行了比较，如图26所示。从电路获得的值与精确结果非常接近，最大绝对误差为0.083。如图26(b)所示，尽管由于晶格对称性，位置5和13的行为应该相同，但MPA电路破坏了这种对称性，导致位置13的误差比位置5更大。图26：(a)面板显示了19个格点六边形系统从精确结果获得的磁化强度；(b)面板显示了从精确结果和模拟结果获得的磁化强度之间的差异。

**结论**：
我们引入了一个2-qc模块，使用VQE框架设计了伊辛自旋玻璃的变分量子电路。基于最大割（Max-Cut）问题的图划分被用来最小化电路深度。该方法已经在多达20个格点的受挫晶格上进行了测试。值得注意的是，当电路从10个格点扩展到20个格点时，cnot门的数量、电路深度和所需参数都增加了2倍，尽管可能配置的数量呈指数级增长，20个格点的配置数量超过了一百万种。在RVB（Random Valley Binding）模型中，20个格点的可能配对数量超过了6.5亿种，而10个格点只有945种配对。这表明为了容纳所有可能的配对，电路深度需要呈指数级增长，从而突显了通过识别重要配对来减少搜索空间的方法的重要性。通过使用基于最大割的图划分，电路复杂性显著降低。

一般来说，寻找最大割是一个NP难问题。最有效的经典多项式时间近似算法是Goemans和Williamson [97]提出的方法，该方法结合了半定规划和随机舍入，实现了大约88%的最大割近似比。对于量子算法，单层QAOA（Quantum Alternative Optimization Algorithm）在3-正则图上实现了大约69%的最大割近似比[24]。然而，对于平面图，存在经典的多项式时间方法可以将最大割问题重新表述为可以使用多项式时间算法解决的最大权重匹配问题[47]。

在门的数量方面，对于一个具有n个顶点和m条边的平面图，设x表示在最大割中剪掉的边的数量，其上界为O(m√n)。因此，MPA的单层需要O(m√n)个cnot门和n个变分参数，而单层QAOA使用O(m√n)个cnot门和两个参数。因此，MPA的每层cnot数量介于QAOA的m√n和O(mn)之间。尽管QAOA每层的参数效率更高，但要达到类似的性能通常需要多层。

根据结果，该电路与精确解相比具有可接受的准确性，这意味着电路复杂性仍然保持多项式级别。应当提到的是，由于对精确基准结果的计算限制（这些结果需要在指数级增长的希尔伯特空间中进行精确对角化），因此似乎恒定的参数数量x并未在超过20个自旋的更大系统上进行测试。然而，如果能够确认参数数量与系统大小呈恒定或多项式级别增长的关系，MPA电路设计可能会为在量子设备上实现RVB自旋玻璃的多项式级别模拟打开大门。

最后，2-qc模块表现出群结构，因为这个操作在希尔伯特空间的任何输入下都是封闭的。此外，与总自旋翻转算子（如问题的哈密顿量）的交换性质可以通过研究相应的李代数结构和构建块的动态李代数来提供潜在的见解。这一方面将在未来的工作中进行探讨。