用于轴子探测的彭宁阱单光子计数器

《Physical Review Research》：Penning trap single-photon counter for axion detection

　　揭示暗物质的微观组成是当今物理学中最重要的未解问题之一。轴子是目前暗物质的主要候选者之一；然而，由于标准量子噪声极限的限制，对全部可能轴子质量范围的搜索一直受阻。这使得利用晕镜技术搜索质量大于约100 μeV的轴子，在当前技术下难以实现。为了克服这一限制，我们提出了一种光子计数技术，旨在30–60 GHz频段工作，用于探测质量在124至248 μeV之间的轴子。该技术基于Penning陷阱中的单个电子，电子回旋模式吸收微波光子，并通过连续斯特恩-格拉赫效应，将这种吸收转化为可测量的轴向运动相移。本文全面分析了这种光子探测方法。我们引入了一种快速、相位敏感的轴向探测技术，利用轴向-回旋参量放大来克服探测器约翰逊噪声并消除相关的频率偏移。该方法可能在其他精密Penning陷阱频率测量中找到应用。我们将电子单光子计数器与理想器件的效率进行了比较，发现我们提出的光子计数器具有足以搜索高质量轴子的性能。一、引言暗物质是一种未知物质，影响从亚星系尺度到宇宙学尺度的天体物理观测。没有一种标准模型粒子能够解释暗物质，目前正投入大量努力，试图通过实验发现可能构成这种缺失质量的粒子。轴子是一种可能构成暗物质的粒子。轴子是赝标量玻色子，最初是为了解释强相互作用为何似乎守恒某一对称性而提出的[1–4]。轴子被预测并非完全暗物质，其轴子-光子相互作用拉格朗日量在自然单位制下为 (1)，其中电磁场张量，其对偶，轴子场，相互作用强度由轴子-光子耦合常数决定，同样在自然单位制下为 (2)。这里，精细结构常数，轴子质量，一个称为拓扑磁化率的QCD参数[5]，以及一个无量纲耦合常数。存在多种能够解决强CP问题的轴子模型，模型的选择影响的值，有时也写作。两个成熟的模型是Kim-Shifman-Vainshtein-Zakharov (KSVZ) [6,7]和Dine-Fischler-Srednicki-Zhitnitsky (DFSZ) [8,9]模型，其分别对应和[10]。因此，尽管轴子质量未定，但轴子质量与耦合强度之间存在明确的关系。实验已排除了质量大于1 eV的轴子，但亚eV质量的轴子仍然是可行且动机充分的暗物质候选者，早期宇宙中存在产生机制，可以直接产生与冷暗物质模型及观测到的冷暗物质密度一致的轴子丰度[11–14]。在我们的宇宙中，轴子将形成引力束缚的暗物质晕，这可以与地面“晕镜”探测器相互作用。大多数实验试图利用公式(1)给出的轴子-光子耦合，将轴子转换为射频光子。构建一个具有足够灵敏度来从轴子-正常物质相互作用中产生可探测信号的装置是极具挑战性的。单光子计数器显著改进了对质量大于约的轴子的搜索，可能将可探测的轴子质量范围的扫描速率提高多个数量级。此应用需要低暗计数和高占空比；目前，在这个频率范围内还没有具备所需特性的单光子计数器。在这项工作中，我们提出Penning陷阱中的电子可以填补这一空白。束缚电子已被用于一系列丰富的基础物理测试。它们可用于测量电子g因子[15]和轻子CPT测试[16]，也可用于Paul阱[17–21]和Penning陷阱[22–24]中的量子计算。束缚电子也被提议作为直接探测暗物质-正常物质碰撞[25,26]和暗光子转换为正常光子[27]的传感器，这是近期一系列利用量子技术探测暗物质的实验的一部分[28]。电子也可以用于探测非常弱的电磁辐射。利用Penning陷阱中的电子，已经检测到腔内的单个热微波光子[29]。观察到微波光子驱动束缚电子的修正回旋态之间的跃迁，这些跃迁可以通过测量电子轴向频率来检测。在本文中，我们提出将该技术扩展到探测由陷阱外部产生的入射微波光子，从而使束缚电子能够用作单光子计数器。我们光子计数概念的基本物理原理与Cridland等人[30]和Fan等人[31]的提议相似；但是，我们选择了不同的实验配置和测量协议来实现光子检测。本文结构如下：在第二节中，我们考虑为什么单光子计数器对于某些寻找暗物质轴子的实验至关重要，并回顾了在相关微波频率下用于单微波光子计数的技术。第三节概述了利用束缚电子计数微波光子的方法。第四节讨论电子与腔之间的腔量子电动力学相互作用，以及这如何导致电子轴向运动上的额外相移，该相移取决于电子是否吸收了一个光子。第五节考虑轴向和回旋模式在光子计数序列中的演化，并描述了进入电子轴向相位测量的噪声源，这些噪声源影响我们分辨光子吸收信号的能力。第六节展示了在各种实验配置下的预期探测效率。最后，在第七节中，我们讨论结果，将其与这些频率下的其他光子计数提案进行比较，并提出进一步提高效率的途径。二、轴子搜索实验的单光子计数器我们的目标是开发一种能够改进轴子搜索实验的光子计数器。为了理解这种装置为何有益，我们首先考虑一个通用的轴子腔晕镜实验。在该实验中，轴子在置于强磁场中的谐振腔内转换为光子。监测腔的特定模式的输出，如果轴子（角）康普顿频率，由轴子质量和速度确定，与晕镜腔的谐振频率匹配，那么一些轴子可能在腔内以频率转换为光子。速度分布导致轴子转换前能量分布展宽，其半高全宽相对能量展宽由给出，其中轴子品质因子为。从通用腔晕镜耦合输出的轴子源射频功率由[32,33]给出： (3)。第一对括号内的因子不在实验者的控制范围内。除先前引入的因子外，还有局部暗物质密度。第二括号内是实验可控的因子（除以外）：耦合常数，它给出了耦合到腔外的功率与每周期总损耗功率之比，负载腔品质因子，腔所处的平均外加磁场振幅，以及模式的体积因子： (4)。这里，腔的电场，为（位置相关的）相对介电常数，为外加磁场。使用和临界耦合腔，光子发射率（光子/秒）为，其中所有量均采用国际单位制（SI），且。对于，我们预计大约为1次/秒到1次/小时。我们团队正在开发这样一个高品质因子腔用于轴子-光子转换，但对于更高轴子质量，也存在其他非腔方法，包括使用磁化反射镜[34,35]或使用等离子体共振[36]。在所有情况下，信号是相同的：当结构配置为对特定轴子质量范围敏感时，从结构发射的光子数预期增加。本文不专注于轴子-光子转换步骤，而是描述一种检测的方法。任何通过将轴子转换为微波光子来寻找轴子的实验，都必须以某种方式检测从轴子-光子转换器发射的功率。传统上，这涉及使用基于高电子迁移率晶体管（HEMT）、超导量子干涉仪（SQUID）或约瑟夫森参量放大器的线性放大器来增强来自轴子衰变的低功率微波信号。放大的信号可以下变频到合适的频率，数字化，并在频谱分析仪中进行傅里叶变换。轴子信号会导致频率处出现过量噪声，高于放大器噪声基底。为了评估可分辨轴子信号的大小，需要将轴子源功率与该特定频率下的噪声进行比较。对于线性放大，即使腔和探测器都接近零温，噪声基底也存在一个基本下限。这被称为标准量子极限（SQL），其出现是因为线性放大允许同时测量场的相位和振幅，但这些量遵循海森堡不确定性关系，阻止了以任意精度进行同时测量[37]。通过计数光子可以避免标准量子极限，这个过程不保留相位信息，因此不受SQL噪声影响。为了比较单光子计数与线性放大在轴子搜索中的效果，最佳品质因数是扫描频率范围所需的时间，以使得单光子计数器和线性放大器都能以相同的显著性水平检测或排除轴子源信号。单光子计数与线性放大扫描速率之比近似为[33] (5)。这里，和分别是单光子计数和线性放大的探测效率，是热黑体光子速率，代表来自设备读出的其他非热暗计数。由于，其中与无关，该表达式表明单光子计数在更高轴子频率下更有优势。我们可以利用此表达式来考虑光子计数对轴子实验有益的点。在足够低的温度下，。我们通常也可以控制使其远小于。对于大多数现有实验，约为1/100，但在未来的腔实验中，包括我们实验室正在开发的那些，可以想象。在这种情况下，假设，增强因子为 (6)。在30 GHz下，效率为的单光子计数器将优于线性放大器。对于可达的、和的典型计数率约为0.001–1次/秒，这表明即使对于非常低的单光子计数器效率也有巨大的提升。假设次/秒，效率为的单光子计数器在30 GHz下将比线性放大器提高1500倍，而在相同频率下，效率为将扫描速率提高30000倍。对于工作在10 GHz以上频率的轴子实验，单光子计数的益处早已被认识到[37]。不幸的是，在30–300 GHz窗口内以高效率和低暗计数率计数单光子的技术目前尚不存在。在此频段以上，转变边传感器[38]和超导纳米线[39]通常在太赫兹频率下工作，而超导热电子辐射热计工作在300 GHz以上。目前正在努力使转变边传感器对低至90 GHz的频率敏感[40]，以部分填补这一空白。在此频率范围以下，电路量子电动力学（cQED），即超导量子比特与微波腔相互作用，可用于计数单光子[41]。在标准cQED配置中，这些设备的暗计数率可能不足以用于轴子搜索；然而，最近使用改进测量协议的进展[42]在6.011 GHz下展示了高达0.409(55)的计数效率和假阳性率，占空比为65%。这种方法似乎可以直接扩展到30 GHz或更高，并且最近在这方面已取得进展[43]。未来，更高的微波频率可能可以通过使用由更高临界温度超导体构成的超导量子比特来探测。另一种方法是使用铝基隧道约瑟夫森结，在电流偏置状态下工作[44]。如果约瑟夫森结与光子场耦合，它会切换到电阻态，从而在结两端产生电压。通过这种方法，在10 GHz下演示了少光子探测灵敏度。还提出了在30–300 GHz范围内使用量子点[45]和光机械传感器[46]的单光子计数器。里德伯原子也已用于单光子计数实验，以进行轴子搜索[47,48]，并提议用于探索10–50 GHz范围[33]。最后，表面[30]和宏观[31]彭宁阱中的电子也被提议用于探测微波光子。在接下来的章节中，我们提出了一种利用囚禁电子计数单光子的方法。在第七节中，我们将我们的方法与其他方法进行对比并得出一些结论。III. 光子探测方法概述我们的微波单光子计数器由低温彭宁阱中的一个单电子组成。彭宁阱如图1(a)所示，它通过强静磁场和由施加在电子周围一组封闭圆柱形电极上的电压产生的二次静电势来约束质量为的电子。这里，对不同几何形状的各个电极施加不同电压的总效应由单个有效电压、特征长度（由阱半径和阱中心与端盖电极之间的距离确定）以及无量纲常数表示。在双曲阱中，将是环电极与端盖之间的实际电势差，且。该理想系统的哈密顿量可以写成三个量子谐振子和磁场中自旋的和[49]： 图1. 光子计数器和探测序列示意图。面板(a)展示了彭宁阱中的三种运动以及阱和电子探测电路的横截面。面板(b)展示了光子探测序列期间的回旋加速器状态，面板(c)说明了轴向振幅，面板(d)显示了磁控管振幅。(e)是轴向振荡的放大图，说明了由回旋加速器吸收事件引起的相移是如何由瞬态频率偏移产生的。频率偏移的大小被夸大以使其在图中更明显。(f)是重复光子计数序列后相位分布的示意图，故意夸大以说明效果：黄色表示未吸收光子时的分布，蓝色表示吸收后的分布。这里，“”表示修正的回旋加速器模式，“”表示轴向模式，“”表示磁控管模式，是泡利矩阵，和分别是相应模式的产生和湮灭算符。囚禁电子的模式振荡频率由、和给出，其中是自由回旋加速器频率，是电子的因子，是拉莫尔频率。该哈密顿量不包括相对论效应，在此情况下可以忽略。电子运动如图1(a)顶部所示。通过调节磁场，修正回旋加速器频率可以匹配微波光子的频率；要匹配30–60 GHz之间的光子频率，需要1–2 T的磁场。原则上，更高频率也可以通过这种方法实现。轴向频率由选择和的大小决定，可以选择在范围内，相应的磁控管频率为几十到几百千赫兹。在我们的情况下，这些频率始终为正且为实数。阱通过连接到稀释制冷机混合室的热连接保持在温度。在这个温度下，回旋加速器模式通过辐射发射冷却到基态，时间常数为毫秒。轴向和磁控管模式可以通过使用频率为的射频驱动耦合使它们的模式占有数相同，然后通过使用频率为的微波在回旋加速器和轴向模式之间交替驱动进行边带耦合，使两个模式冷却到基态。谐振LCR电路可以与轴向模式相互作用，如图1(a)所示。它根据图中两个开关的位置有三种工作配置。在探测模式下，LCR电路与轴向模式谐振，连接LCR电路通过电容器到传输线和放大器的开关“1”闭合，开关“2”断开。这使得轴向模式的振幅和相位可以被读出；然而，在这种配置下探测电路的电子温度相当高，阻尼时间常数较低，受放大器损耗限制，从而降低了LCR电路的因子。第二种配置是冷却配置，其中放大器与LCR线圈之间的开关1断开。这在边带冷却引起不希望的相移的情况下，允许轴向模式快速冷却到。最后，在去耦状态下，开关1保持断开，并通过开关2在LCR电路两端连接一个附加电容，使其与轴向模式失谐，从而防止该模式的加热和阻尼。这是谐振电路的默认状态。在我们的彭宁阱中，电子周围的电极被设计成充当谐振腔，具有品质因数和谐振频率，通过控制腔端盖位置也将其调整以匹配和。光子通过图1(a)左下角所示的传输线进入腔体，一旦进入腔体，它们可以被囚禁电子的回旋加速器模式吸收。通过铁磁环形电极（图1(a)中灰色所示）添加形式的额外磁场，使得微波光子的吸收能够影响轴向频率[49]。这是因为磁场在哈密顿量中引入了一个附加项 (7)回旋加速器模式具有平行于的磁矩，磁矩的大小与回旋加速器量子数成正比。光子吸收后回旋加速器状态的变化导致磁矩的变化等于。对于沿轴振荡的粒子，势能的变化因此为，从而给轴向频率赋予一个频率偏移 (8)其中是回旋加速器量子数的变化。图1(b)–1(e)说明了在我们的方案中执行单光子计数测量的基本序列，使得频率偏移可以被检测到。顶部的图[面板(b)]显示了粒子的回旋加速器状态。粒子初始处于回旋加速器基态。在时，回旋加速器状态被入射光子短暂激发到，持续时间为，然后返回基态。图1(c)显示了测量序列期间的轴向运动，而图(d)显示了投影到一个轴上的磁控管运动。最初，在标记为“激发”的期间，轴向振幅通过频率为的射频脉冲激发。然后是一个标记为“演化并等待光子”的期间，在此期间轴向运动自由演化，实验对入射光子敏感。微波光子的吸收导致轴向频率短暂偏移，如方程(8)所述。这在放大图[图1(e)]中更清楚地显示。这里，红色虚线表示没有回旋加速器激发时的轴向运动，实线表示实际的轴向运动。相移为。粒子继续自由演化，直到预定时间读出相移。这个过程有几个步骤，旨在最小化探测器约翰逊噪声对相位不确定度的贡献，同时不引入额外的相位噪声。首先，在标记为“放大”的期间，使用频率为的射频脉冲对轴向运动和磁控管运动进行参数放大。然后，在标记为“冷却”的期间，通过将谐振电路置于冷却配置中与轴向模式谐振，使轴向模式的振幅快速冷却。在此期间磁控管模式不受影响。现在，在标记为“”的时间段内，使用频率为的脉冲交换磁控管和轴向振幅。轴向冷却开始与脉冲开始之间的时间被仔细调整，使得在磁控管演化过程中由磁瓶存在下轴向模式放大引起的不希望的频率偏移被抵消，这将在第V E 2节中进一步讨论。这种操作导致最终的放大轴向振幅保留了放大前轴向激发的相位信息，但幅度显著更大。现在，在标记为“探测”的阶段，放大器与探测电路之间的开关1闭合，并在相位敏感测量中读出轴向相位和振幅[50]。最后，开关1再次断开以将放大器与LCR电路断开，并使用边带驱动将轴向和磁控管模式冷却到基态，为下一个周期做准备。从重复测量轴向相位得到的指示性直方图如图1(f)所示。在两种情况下，没有光子入射到腔体时的平均轴向相位已被减去。这里，黄色直方图对应于电子未吸收微波光子的情况。由于轴向零点涨落相关的相位噪声，存在相位分布而不仅仅是恒定相位，即使它被冷却到基态后也是如此。蓝色直方图由电子吸收微波光子的点生成。在这种情况下，最终相位是两个贡献的卷积，一个来自轴向零点涨落的高斯分布噪声贡献，另一个来自瞬态占据激发态导致的相移，由于寿命分布，这近似服从指数分布。我们可以看到，在这个假设的情况下，如果我们将截止相位设置在约0.75°[图1(f)中的虚线]，那么高于此的相位必须对应于光子吸收事件，具有某个假阳性率，而低于0.75°的相位主要对应于没有光子吸收，具有某个假阴性率。改变截止位置会降低假阳性率（这是读出噪声或暗计数的一种形式），但以牺牲探测效率为代价。该图中显示的分布纯粹是说明性的，在本文的过程中，我们将推导它们的真实形式，以便准确表征整体探测概率。在本文的其余部分，我们详细分析这种探测方法，以计算可实现的探测概率。虽然我们通常以相对抽象的方式分析光子计数方法，不涉及特定阱几何或实验参数选择，但使用一组可实现的特定参数值来评估表达式是有帮助的，以确保该方法仍然可行。这些合理的实验值列在附录A中，除非另有说明，否则通篇使用。选择这些参数的原因将在本文中阐明。我们现在继续详细分析光子探测序列。IV. 腔-回旋加速器模式相互作用我们现在考虑囚禁电子与彭宁阱电极形成的圆柱腔场之间的相互作用。我们注意到，最近一个密切相关的系统，即圆柱波导中的电子，也已被求解[51]。回旋加速器和腔态的量子力学演化，包括腔损耗的影响，可以使用密度矩阵的Lindblad主方程处理： (9)其中是下面定义的耗散部分，是系统的哈密顿量。假设回旋加速器模式仅通过与腔电场的相互作用衰减；其他衰减被忽略。我们确定了相互作用哈密顿量的形式，然后求解方程（9）以表征吸收概率和电子在回旋激发态中的寿命。接着，我们考虑如何通过轴向模式的相位敏感探测来测量激发回旋态的短寿命占据，并检查由光子吸收引起的相移如何被分辨。最后，我们回到所提出的彭宁阱光子计数器的总光子吸收概率。A. 哈密顿量的形式忽略轴向和磁控管模式，哈密顿量是腔和回旋模式相关的哈密顿量的和，即（10），以及腔模式的电磁矢势和电子动量之间的相互作用哈密顿量：（11）假设腔的设计使得只有单个腔模式与电子相互作用，我们可以将该特定模式的场产生和湮灭算符展开，从而在海森堡绘景中算符变为（12）这里，是在电子位置（取为原点）处所考虑模式的归一化矢势，且是算符在时的值。对于接近基态的回旋模式（其回旋半径远小于波长）与腔场之间的相互作用，其中是奇数且模式以电子位置为中心，我们可以忽略空间依赖性并写成，其中是平面内的线性偏振。对于更复杂的模式，可以使用腔中场的标准表达式来求值（参见文献[52]）。场被归一化使得腔体积内的总能量等于单光子的能量，有效模式体积由下式给出：（13）其中是在被俘获电子的位置处测量的。回旋模式是纯径向的，因此我们可以写成，其中是平面内的径向速度。这可以写为[49]的形式：两个矢量的时间依赖关系是。由于腔在附近工作，我们可以忽略项，从而写成（14）速度矢量本身也可以用修正回旋模式的升、降算符和写成[49]。为说明一个简单情况，我们考虑沿轴线性偏振的场模式，并利用和。然后，忽略远离共振的项，得到（15）矩阵元可以用基矢来写出，其中表示腔中的光子数，表示电子的回旋态：（16）和（17）在附录B中，我们确认这样定义矩阵元会导出自由空间中电子发射率的熟悉公式。在腔中最多有一个光子且修正回旋模式处于基态或第一激发态的特定情况下，矩阵元变为，我们可以定义耦合率为：现在我们可以求解林布兰德方程。B. 林布兰德方程的解我们考虑一个受限基集合，和，以研究单个微波光子发射到腔中，或者一个初始处于回旋基态的粒子吸收随后发射单个光子的情况。我们以通常的方式构建密度矩阵，使得其矩阵元为。在这种情况下，林布兰德超算符的耗散部分为（18）其中。这是谐振子与量子化场之间相互作用的最基本例子之一，已被广泛研究。为完整起见，我们提供这一简单情况下的解。对于这个受限基集合，该方程可以解析求解。首先考虑电子初始处于且所有其他密度矩阵元为零，并且腔频率与修正回旋频率匹配的情况。回旋态的演化由下式给出：（19）其中。在弱场耦合极限下，当时，这给出了腔内自发辐射率珀塞尔增强的熟悉形式：（20）有趣的是，这个回旋发射率的量子计算在弱耦合极限下与考虑阱电极上感应的镜像电荷而计算的经典速率完全匹配。这种等价性在附录C中得到了证明。将此表达式与自由空间公式（见附录B）比较，我们发现自发辐射率通常可以被珀塞尔因子显著增强：（21）将附录A中的一些典型数值代入衰减率的表达式中，在时有效，我们发现对于在半径3.7 mm、长度24.55 mm的圆柱腔中、模式为且、腔品质因子的单个电子，其寿命为。这个寿命相比于通常进行的电子运动镜像电流测量的时间尺度非常短。例如，在文献[53]中，作者描述了一种自激振荡器方法来检测被俘获电子的微小频移。根据所采用的具体方法，带宽从150到8不等，意味着响应时间在6以上。有可能实现更快得多的测量[31]。我们的方法是使用一种不需要在激发态下测量电子的方法，将在下一节中充分描述。现在我们考虑系统初始处于腔中有一个光子的状态，这与光子计数相关。主方程中对应于系统分别处于基态、和状态的概率的密度矩阵对角元的解为：（22）（23）（24）由此得到的概率绘制在图2中，用于这些评估的参数列在图注中。图2(a)显示了弱耦合极限。在这种情况下，腔中的初始激发大部分迅速衰减掉，而一小部分（约1%）被激发到，其衰减更慢。图2(b)显示了强耦合的开始。在这种情况下，近50%的布居被转移到，然后它随后在和之间振荡，同时缓慢衰减。相对于进一步增加会使的初始峰值高度进一步增加，从而接近100%。图2. 由方程(22)-(24)给出的绝对基态、激发腔态和激发回旋态的布居评估。参数为（a），和。（b），和。第一个振幅峰值，即光子转移到激发态的概率最大处，由方程(23)的第一个最大值求出，并且仅取决于比值：（25）其发生在时刻（26）方程(25)表明，腔需要尽可能高的品质因子，理想情况下应尽可能接近由轴子信号频率宽度设定的最大值，以使相对于尽可能大。这远大于在同时作为微波腔的彭宁阱中实现的因子，其TE模式通常约为。将因子提高到这些值以上是我们方法的主要技术挑战。在这些频率和低温下，由铜等普通金属制成的腔仅限于约[54]。涂有超导的腔在1 T时达到，在2 T时降至[54]。使用混合铜/NbTi腔涂层可以获得更好的性能，在1 T时达到，在2 T时空载腔降至[55]。这两个腔都是在接近9 GHz的谐振频率下测量的，因此我们预期因子在30–60 GHz时会更低。通过在像氧化铝这样的厚低损耗衬底[56]上所有平行于磁力线的表面使用薄超导NbTi涂层，可以实现更高的品质因子。通过这些方法，我们认为最终可以实现范围内的因子。在本文中，我们考虑。到目前为止，我们假设腔频率与修正回旋频率完全匹配。在接下来的章节中，我们将看到电子的运动如何引入可能导致这些频率之间相对失谐的频移。为了理解这如何影响电子-腔耦合，我们针对一系列失谐数值计算，然后找到相对于的半高全宽，我们称之为电子-腔系统的吸收线宽。得到的电子-腔线宽如图3所示。在此图中，我们将电子-腔线宽除以，即无电子时的腔线宽。等值线表示电子-腔线宽比腔线宽更宽或更窄的程度。对于电子光子计数器，典型的工作参数位于此图的底部区域，即低区域，在那里我们可以将吸收线宽近似为腔线宽。图3. 当单个电子放置在腔中时，电子和腔的吸收线宽除以腔线宽。这里，。我们现在考虑电子因占据激发态而积累的相位。首先，为了感受该效应的典型量级，我们计算平均相移。这可以从在回旋激发态中花费的平均时间来计算。有趣的是，这个平均相移与无关。对于表II中的参数，当时，表明需要分辨的相移的典型大小。为了进一步进行，我们需要推导相位累积的概率密度函数的形式。一旦向状态发生衰变，激发就从腔-电子系统中消失，并且不能再通过连续斯特恩-格拉赫效应贡献最终的轴向相位。给定系统确实从腔中的激发开始，并且它只能从腔激发态向状态衰变，那么向状态衰变的时间的概率密度函数为（27）系统在时间期间仍处于激发态所积累的额外相位为（28）我们可以使用方程(28)通过概率密度函数变量变换的标准规则将转换为：（29）其中是的反函数。概率分布应折叠到跨度的区间内。然而，限制于腔中单个光子，现实的电子单光子计数器很少因单次吸收导致相位超过。在存在多个光子的情况下，必须考虑相位折叠的影响。比概率密度函数更有用的是生存函数，其中是累积密度函数。生存函数给出了相位大于的分布比例。通常会有与测量轴向相位相关的相位不确定度，这意味着应超过某个最小值，以便明确检测到相移。因此，我们感兴趣的是最大化。图4(a)和4(b)分别绘制了对于各种或值的。考虑图4(a)，我们发现通常对于小相位，如果尽可能小，则被最大化。在较大相位时，有时选择较大的值是有益的，例如，在时优于。图4(b)表明，如果是固定的，的最优值取决于的选择。如果检测的相位阈值很小，那么通常有是优的。然而，如果是大的，可能更好的是取与相当或更小。作为一般规则，为了实现高效率检测，应尽可能小，并且一旦已知与检测轴向相位相关的相位分辨率，就应优化。图4. (a) 对于和不同值的生存函数。(b) 对于和不同值的生存函数。在两个图中，和，其他参数如附录A中所示。每幅图中的绿色曲线对应回旋谐振腔粒子布居振荡与过阻尼衰减之间的边界。在本节中，我们推导了一种从回旋能级瞬态布居计算相位移动的方法，并说明了该相位移动如何依赖于 和 。为了判断该相位是否可分辨，我们需要知道与轴向模式测量相关的相位噪声。在下一节中，我们将考虑轴向和磁子运动的动力学，并利用这些结果推导轴向相位分辨率的极限，进而得到整体探测概率。V. 轴向与磁子运动 A. 运动的维格纳函数描述由于我们感兴趣的是跟踪从绝对基态开始的电子运动，因此必须首先对运动进行量子力学处理。激发、放大和耦合脉冲的相互作用哈密顿量可通过使用 ，并选择适当的静电势算符 来得到，其中电场 对应激发脉冲， 对应放大期间， 对应耦合脉冲期间， 表示可能的频率失谐。当出现算符 和 时，利用文献[49]中的表达式，将其替换为轴向和磁子模式的产生与湮灭算符的函数。哈密顿量为：激发脉冲的哈密顿量 (30)放大脉冲的哈密顿量 (31)耦合脉冲的哈密顿量 (32)现在，我们描述系统在第III节所述的脉冲序列下的演化。激发脉冲下的状态变化可用标准幺正算符描述；然而，放大及序列中其余步骤最好用维格纳函数处理。在分析这些步骤时，我们根据需要引入文献[57,58]中维格纳函数的标准结果。 1. 激发激发脉冲哈密顿量使状态在位移算符 下演化，其中 。我们用复数相干态振幅 和 分别标记轴向和磁子模式的状态， ，其中 和 。我们将作用于初始处于磁子和轴向基态粒子的位移 所产生的相干轴向振幅态标记为 。 2. 自由演化在轴向激发后的自由演化期间，状态获得相位因子 ，其中若回旋态保持不变则 。因此，放大脉冲前的状态为 ，其中 。 3. 放大从一个热态或相干态开始，并根据双模非简并参量放大哈密顿量 演化的系统动力学，已被Mollow和Glauber深入研究[57,58]，我们大量重现其分析。我们定义 ，并调整初始时间以去除复数前因子。我们注意到，由于磁子能量为负，为与文献[57,58]的表达式匹配，我们需要设定 和 ，这解释了为何在我们的情况下参量放大发生在 而非 。时间演化在海森堡绘景中求解，其中含时产生算符可用不含时产生算符和双曲函数表示为 (33) (34)其中 (35) (36) (37) (38)由于我们希望建立系统量子描述与经典相空间概率分布之间的联系，我们使用维格纳函数追踪系统状态。尽管磁子能量为负，但这并不妨碍对该模式进行维格纳函数描述；磁子模式是亚稳态的，向低能态的自发衰变可忽略不计，并且每当需要热化或冷却磁子模式时，均通过模式耦合到（正能量）轴向或回旋模式来实现。该双模系统的维格纳函数为 (39)其中特征函数为 (40)对于我们的系统，放大一段时间 后的维格纳函数用函数 表示为： (41)其中 和 。约化密度矩阵的维格纳函数绘制在图5中。这里，顶行对应轴向模式（相干振幅 ），底行对应磁子模式（相干振幅 ）。双模维格纳函数开始时两模式均处于基态。激发驱动后，其可写为两个指数项的乘积，这两个指数项分别仅依赖于 和 ，对应于振幅为 的相干轴向态与磁子基态的乘积。参量驱动将轴向和磁子模式耦合在一起，如图5中的“放大”步骤所示，并阻止联合维格纳函数被表示为仅分别依赖于 和 的函数的可分离乘积。随着参量驱动持续，振幅间的相关性越来越强。这源于海森堡算符 ，代表振幅差，是一个运动常数[57]。其期望值可在 处计算， (42)由于各振幅根据双曲函数相干增长，但振幅差保持恒定，分数振幅差变得紧密相关。图5. 光子计数序列中轴向和磁子模式约化密度矩阵的维格纳函数，用相干振幅 和 的实部和虚部表示，它们出现在维格纳函数定义[式(39)]中。黑圈表示前一步骤维格纳函数的标准差以作比较。 的函数也是运动常数。这意味着振幅差 的标准差不增长，并可在放大脉冲开始时计算为 (43)这种有用的相关性将使我们能够在探测期间消除由磁瓶施加的最麻烦的频率移动。我们注意到，尽管经过放大，但在参量放大脉冲完成后，磁子半径与轴向振荡振幅相比仍然很小。此时最可几磁子半径的绝对值为 (44)其中 。这可与放大后最可几轴向振幅比较 (45)其中 。注意，对于 的大放大情况，磁子半径仍然小一个因子 ，这意味着在大多数几何构型中，磁子模式将远离陷阱壁。 4. 轴向冷却当轴向谐振电路以其冷却模式连接时，其作用是迅速阻尼轴向运动，如图5所示。所得维格纳函数可表示为轴向模式热态与磁子模式约化密度矩阵 的维格纳分布的乘积，其中轴向态矢量已被求迹。轴向冷却完成后一段时间 的维格纳函数为 (46)这里， 是模式冷却到 后的平均轴向量子数。我们已将磁子模式维格纳函数的部分用 函数表示，该函数可用于将约化密度矩阵按磁子模式相干态 展开为 (47)在我们的情况下 (48)这里， 和 。使用P表示强调系统密度矩阵对应于复数轴向位置 的经典相空间概率分布。我们将在探测序列结束时更清晰地阐述这种联系。 5. 轴向-磁子翻转现在我们使用频率为 的射频脉冲交换轴向和磁子振幅。文献[57,58]的基本处理方法可轻松扩展以处理哈密顿量 。该哈密顿量下含时算符的解为 (49) (50)其中 (51) (52) (53) (54)再次地，维格纳函数的时间演化可用两个含时函数 和 的复数变量 和 的时间演化表示： (55)在这种情况下，函数为 和 。我们可以看到，忽略一些相位因子，这对应于 以拉比速率 的周期性交换。特别地，如果我们设置脉冲持续时间为 脉冲， ，那么如果初始状态为 且 ，维格纳函数变为 (56)利用轴向冷却后的维格纳函数形式[式(46)]，在轴向-磁子 脉冲后，我们有 (57)我们可以完整写出 以表明最终相位按要求依赖于 ： 其中 B. 轴向探测最后，我们现在闭合谐振电路和轴向放大器之间的开关并探测轴向振幅。由于不探测磁子模式，我们可以对磁子模式的状态取部分迹。所得单模维格纳分布可在P表示中写出，使用式(48)中P的表达式： (58)该维格纳函数自然地解释为相干态上的经典概率分布，其中每个振幅为 的相干态被赋予权重 。通过使用式(47)，对应于式(58)的电子复数位置 的振幅 和相位 的经典概率密度函数为 (59)这里， (60)和 (61)在本文剩余部分，我们使用此经典PDF分析探测噪声。只要 ，这就能很好地近似所有感兴趣的物理量。如果初始激发振幅较小， ，则从式(59)推导出的表达式形式不正确；然而，在光子计数应用中并非这种情况。探测系统会引入约翰逊噪声，我们将其经典地纳入分析。当与探测系统相互作用时，探测电路阻抗 两端在频率 处的电压瞬时振幅为 (62)这里， 是轴向探测的有效电极距离，对于典型的陷阱几何构型可解析计算，其数量级与陷阱半径相同。所得信号通常在探测前进行傅里叶变换，信号带宽 由测量时间 指定。正如我们稍后将展示的，探测期间的频率移动通常在带宽 内，这意味着我们可以忽略它们。探测期间，振幅按 衰减，其中 是采集时间开始时的轴向振幅，这意味着时间 后的平均信号振幅为 (63)由粒子-探测器相互作用引起的轴向衰减率为 (64)探测器在时间 上平均的电压振幅的均方根值为 (65)这里，平方根中的第一项是来自有限探测器温度 的约翰逊噪声，第二项是放大器固有的可能等效输入噪声 。原则上，我们可以将所有轴向振幅转换为探测电路两端的电压，并在电压/相空间中继续讨论。然而，对于后续章节中讨论实验缺陷，继续使用粒子振幅和相位而不是探测器电压进行讨论更具物理意义。因此，我们使用式(63)将探测器噪声电压转换回额外的虚拟轴向振幅噪声。这意味着我们将与探测器相关的噪声源视为一个额外的、高斯分布的矢量，具有随机相位，并选择其振幅使得通过式(62)转换为电压时，所得电压噪声为 。包括粒子和探测器涨落的最终分布为位移高斯分布 (66)其中 (67) (68)这是我们在本文剩余部分使用的最终分布。注意，尽管我们针对冷却到基态的粒子推导了此表达式，但对于具有初始轴向温度 和磁子温度 的粒子，基本结果相同。在这种情况下，我们替换 ，其中 (69) C. 初始轴向激发后的零点噪声我们考虑紧接放大脉冲施加前的轴向相位散布。在图6(a)中，我们用蓝色绘制此时轴向相位的标准差 ，作为初始轴向激发振幅 的函数，根据式(66)数值计算得到。在下轴上，这被表示为基态振幅的比例，而在上轴上，则使用附录A中的数值以毫米表示。同时，用红色绘制了附录D中给出的近似值，即 (70)该近似值在时与真实值匹配。如预期的那样，增大初始轴向振幅会导致更低的相位不确定性，因此如果没有其他考虑因素，使用尽可能大的值将是有利的。图6. (a) 测量相位的标准差作为轴向振幅的函数；蓝色由公式(66)数值计算得出，红色为附录D中给出的近似值。(b) 回旋频移的标准差作为轴向振幅的函数，使用附录A中的数值评估公式(71)。项的存在虽然对于解析回旋相位跳变至关重要，但同时也有效地限制了以及可达到的相位分辨率。项导致回旋频率依赖于轴向振幅。频率偏移为。该偏移的直接效应可以被补偿：一旦选择了所需的激发振幅，回旋频率的变化可以通过调整磁场或使谐振腔与偏移后的回旋频率谐振来消除。然而，这对回旋线宽存在残余效应。这可以通过计算频率偏移的标准差来确定，当时，该值可以直接使用附录D中的方程进行评估： (71)公式(71)的评估结果绘制在图6(b)中。我们在第四节中表明，在我们关注的区域内，电子-腔线宽与裸腔线宽大致相同。这意味着为了避免回旋共振展宽超过此宽度，项的存在意味着最大初始轴向振幅为 (72)其中，是由于自然衰减引起的回旋线宽与由于项展宽引起的线宽之比。在后续讨论中，我们通常设定，由于线宽以平方和方式合并，这会导致吸收概率降低10%。D. 包括探测器约翰逊噪声现在，我们考虑光子计数序列结束时的相位不确定性，并纳入探测器约翰逊噪声的影响。在这种情况下的最佳探测时间，考虑到公式(68)中的形式，为。在此最佳条件下，与探测相关的噪声为 (73) 探测将使用并联LCR电路，在这种情况下，和，其中是单位高度的洛伦兹函数 (74)这里，是LCR电路的品质因数，是其谐振频率。因此，变为 (75)如果粒子振荡频率接近，则第二项占主导地位；而如果粒子远离谐振，则第一项更为重要。在粒子与谐振器的最佳失谐处， (76)噪声达到其最小值，并呈现为 (77)其中。我们已经测量过GaAs金属半导体场效应晶体管(MESFET)放大器，其，而铜线圈可以达到，这使得在时为。换句话说，使用这些参数进行优化探测过程，会在轴向振幅上增加一个等效于温度为0.35 K的粒子热运动的有效噪声源。如果测量在谐振状态下进行，即与匹配，则噪声将固定为，几乎高出三倍，并且只能通过冷却探测系统来进一步降低。这具有挑战性，因为所有探测器都会耗散一些功率，因此通常不能在低于1 K的温度下工作。略微偏离谐振检测为我们提供了更多空间来通过使用超导谐振线圈进一步增大或通过从GaAs MESFET切换到SQUIDs来减小，从而降低这一噪声贡献，在这种情况下，偏离谐振测量的好处将更加明显。虽然上述分析显示了如何最小化探测系统的噪声贡献，但它仍然高得无法接受。为了进一步抑制该噪声，必须放大轴向和磁控模式以满足条件 (78)如果我们令，这相当于将轴向振幅放大了27倍，那么使用和，我们得到。所得的放大分布与公式(59)非常接近，增加了5%。由于放大很大，。在这种情况下，由放大分布计算出的矩几乎与放大前分布计算出的相同。唯一的区别在于，增加了倍，该因子来自于第二个模式额外的零点能量所带来的额外噪声，以及1.05的因子来自于的残余影响。放大脉冲对施加了额外约束，即，其中是陷阱中可用的最大可行轴向振幅，受限于陷阱几何结构。综合考虑来自和放大的约束，初始轴向振幅因此不能大于 (79)相关的相位不确定性，包括由放大引起的增加噪声，可以很好地近似为 (80) 和 的绘图分别在图7(a)中以蓝色和橙色显示，作为陷阱因子的函数。在这种情况下，我们假设。在低于的因子处，陷阱的回旋线宽相对较宽，受条件限制。在之上，主要的限制是不应导致过度展宽，这对初始振幅施加了更严格的限制。图7. (a) 来自公式(79)的初始轴向振幅（蓝色），以及假设时的最终轴向振幅（橙色）。(b) 基于公式(79)中的，以红色绘制。虚线也表示如果没有对的限制。点线绘制了在假设探测器噪声可忽略且因此无需放大的情况下的。图7(b)绘制了使用放大后的最终轴向振幅发现的相位不确定性，以红色显示。该不确定性表现出与图7(a)中蓝色趋势相反的依赖关系。黑色虚线表示如果没有限制时可达到的相位不确定性。点线对应于当非常小以至于可以省去放大阶段且没有限制时的情况。这条点线比虚线低倍。我们顺便指出，该图还显示了常用于彭宁阱实验中的脉冲与相位(PnP)[50]和脉冲与放大(PnA)[59]方法之间的重要区别。如果探测器噪声与粒子温度噪声相比可以忽略，PnP可达到的相位噪声比PnA低倍。PnA方法允许将信号放大到可以忽略的水平，但代价是噪声增加倍，前提是PnA放大阶段中使用的两个模式在测量前都热化到相同的平均量子态。在本节中，我们已经考虑了在光子计数实验的简单实现中预期的相位噪声，并探讨了由和需要将信号放大到探测器约翰逊噪声水平以上所施加的限制。在下一节中，我们将考虑由进一步频率偏移引入的相位不确定性的额外贡献。E. 频率偏移静电和磁缺陷、磁瓶项以及相对论质量增加都会导致频率偏移，这些偏移可能干扰光子检测方法。我们已经讨论过项与轴向振幅噪声结合如何限制初始激发振幅。在本节中，我们将详细回顾其他频率偏移的影响。一阶偏移的形式描述于参考文献[49]，而高阶偏移则总结于参考文献[60–62]等。需要注意的相关要点如下： (1) 静电势的完整形式和磁标量势的完整形式可以在圆柱坐标和中使用勒让德多项式从陷阱中心展开为 (81) (82) 其中，和已在前面定义。对于的系数和是不希望的缺陷，而项是负责轴向捕获的项，是刻意引入的瓶项。 (2) 系数是无量纲的，仅取决于陷阱几何形状，而系数具有单位，因此通过磁场强度和磁化强度同时依赖于几何形状和材料属性。 (3) 轴向反射对称性意味着在这些求和中只需考虑偶数幂次，因此从现在起我们忽略奇数。 (4) 一般来说，每个项对于和对于会导致、、和的独立偏移，每个偏移取决于轴向、磁控和修正回旋模式中的总能量。 (5) 粒子在任何模式中的能量增加都会导致速度增加，从而引起相对论质量增加。这种偏移在轴向和修正回旋能量变化时最为显著，并对轴向和修正回旋频率的影响最大。在一个补偿的7极陷阱中，通过控制五个陷阱电压和接地两个端电极，应该可以将所有系数（对于）设为0，最高到。在实际陷阱中，制造公差意味着抵消可能不完美，这些项产生的残余偏移可能仍然存在。图8显示了在7极陷阱中，随着轴向振幅变化，由静电和相对论扰动引起的典型轴向频率偏移范围。蓝色线对应于我们针对3.7 mm半径陷阱的优化7极设计的模拟；由于优化所施加的时间限制，它略微非零。绿色和橙色线分别代表制造公差为5和的陷阱。红色数据对应于一个实际的7极陷阱[63]，缩放到轴向频率为。我们使用参考文献[63]中的数据作为对彭宁阱中可实现效果的合理估计。从这些数据中，我们看到在我们的陷阱中预期有残余偏移。我们可以将其归因于残余贡献。图8. 3.7 mm半径7极陷阱中由静电缺陷引起的轴向频率偏移。蓝色线表示理想陷阱的上限，绿色线表示制造公差的陷阱，黄色线表示公差的陷阱。红色点来自参考文献[63]，缩放到轴向频率为。与静电缺陷类似，理想的磁瓶产生纯场，而实际的瓶也会产生不期望的贡献和高阶项。我们的数值计算表明，如果不加注意，值是典型的。通过仔细设计磁性材料的位置以及可能的垫片调整，模拟表明应该可以限制。我们现在讨论、和对检测过程的不期望影响。在整个过程中，我们主要关注频率偏移的方差，该方差源于轴向和磁控零点运动。这种频率噪声可能导致我们最终希望测量的相位中的相位噪声。 1. 轴向激发点的偏移基态中轴向运动的零点涨落意味着，在激发之后，轴向能量不可避免地存在展布 (83)将该能量方差代入由和引起的偏移表达式中（项不会引起与轴向能量相关的轴向频率偏移），我们可以使用附录A中的参数确定相关的频率噪声。为了将其与计数序列结束时的最坏情况相位噪声相关联，我们假设最大积分时间为100秒。由此产生的相位噪声在图9中以蓝色和橙色绘制。由轴向零点涨落和有限尺寸引起的相位噪声也以黑色虚线绘制——与图7(b)中的红色线相同。可以看出，由初始轴向激发的振幅噪声引起的相位噪声远小于与轴向零点噪声相关的相位散布，可以忽略。图9.各种相位噪声源，作为腔体因子的函数，对应于附录A中列出的参数。蓝线表示来自...和初始轴向振幅噪声的噪声贡献，橙线表示来自...和初始轴向振幅噪声的噪声贡献，红线表示来自...以及第V.E.2节讨论的放大阶段产生的轴向和磁控管方差噪声。图中还绘制了忽略本节讨论的额外噪声源的预期相位噪声（黑色虚线）以及包含这些噪声源的预期相位噪声（黑色实线）。

2. 放大、轴向冷却和轴向-磁控管翻转过程中的频移

轴向振幅在放大过程中显著增长，磁控管半径从其基态被提升。这两种效应都会对翻转后检测到的最终相位施加额外的相移。静电效应源于轴向和磁控管振幅的方差，结合...，导致激发后磁控管频率的方差。由于轴向冷却需要有限的时间，且轴向冷却开始与翻转之间存在有意的延迟，这种频率方差转化为相位噪声。幸运的是，对于附录A中的参数，这些效应导致的额外相位噪声可以忽略不计。更麻烦的是等效静磁效应，其中放大后的轴向和磁控管振幅方差与大的...项结合产生额外的噪声。放大后的磁控管频移由[49]给出：

(84)
(85)
(86)

注意，磁控管半径的增加导致与轴向振幅增加时符号相反的频移。这是预期的，因为该频移由四极...项驱动，该项在轴向和径向上具有相反的曲率。我们上面看到，放大后，轴向和磁控管振幅是强相关的。我们可以利用这种相关性，结合精心选择的等待时间，几乎完全抵消这种相移，并将其方差降至绝对最小值。

为简单起见，我们假设放大时间...远小于检测器快速冷却模式中能量阻尼常数...的倒数。在这种情况下，轴向振幅被完全冷却后，轴向激发施加的总磁控管相移为...。我们选择参量放大脉冲结束与...脉冲之间的等待时间等于...，这样在...脉冲时刻，由磁控管振幅引起的磁控管频移为...。那么由于有限冷却时间，放大后的总磁控管相移为：

(87)

这可以用参量放大结束时的振幅...和...重新表示为：

(88)

该相移的标准差可以立即使用式(43)计算：

(89)

该噪声在图9中以红色绘制。尽管这是最大的频移，但对于我们设想使用的...值，其大小是可控的，并且不会增加显著的额外噪声。

3. 检测期间的频移

在检测期间，随着粒子被检测系统冷却，轴向振幅减小。如果轴向频率在冷却期间发生剧烈变化，则恢复所需相位信息会更加困难，这可能对观察到的相位噪声产生影响。在讨论检测期间的相位噪声时，我们仅考虑了检测期间的小频移。该讨论成立的最严格要求是频率漂移不超过傅里叶变换镜像电流信号的一个频率仓。由于最佳采集时间为...，这意味着频率漂移应不超过...。使用...和...，我们得到...。放大后的典型最终最大轴向振幅约为2.5 mm。对于静电缺陷，再次使用参考文献[63]中的测量阱数据，这对应于1.8 Hz的频移，完全在检测带宽...内。

F. 其他实验缺陷

1. 电压噪声

轴向自由演化期间...由于电压波动引起的俘获频率...的波动...可能导致相位噪声...。对于我们的参数，我们需要分数电压噪声...被控制在优于每演化时间秒...的水平。彭宁阱中最佳轴向稳定性是通过使用三个堆叠的Stahl Electronics UM-14电源和一个2000 s时间常数低通滤波器实现的[64]。该实验中的长期漂移为...，这将允许约1 s的自由演化时间。使用可编程约瑟夫森电压标准可以实现更高电压稳定性和更短滤波器时间常数[65]，这应允许达到更长的平均时间。一种补充方案是将电压源连接到第二个带有第二个电子的阱，并利用该辅助阱中的测量来校正电压漂移[66]。

2. 加热率

改进的回旋、轴向和磁控管模式的加热需要在实验中仔细控制。腔中的热微波光子是一个背景噪声源，会增加暗计数。腔占据数为：

(90)

对于临界耦合腔，该腔占据数等效于入射光子率...。对于...和...，暗计数率始终小于0.01计数/秒。正如我们稍后将看到的，轴子转换所需的计数率为...计数/秒，这对于可行的轴子搜索实验是必需的，远大于暗计数率。因此，与其他噪声源相比，回旋暗计数对噪声的贡献不大。

该实验对轴向或磁控管加热的鲁棒性优于对回旋加热的鲁棒性。尽管对此的完整描述超出了本文范围，但我们预计任何发生的加热都会增加相位噪声，而不是完全破坏测量。从轴向模式开始，我们注意到，除了需要冷却时，检测系统与轴向共振远失谐。要求是...，这可以通过切换与LCR电路并联的电容来实现。为估计轴向加热率，我们可以使用其他低温彭宁阱实验中实现的回旋加热率，并将其按比例缩放至我们的俘获频率和粒子质量。参考文献[67]展示了一个低温彭宁阱，在频率...处具有...的电场谱密度。该电场密度将导致电子在...处离开基态的轴向跃迁率：

(91)

为...，这允许在平均发生光子吸收事件之前有长达100 s的演化时间。我们可能还期望...在我们提出的阱中相比于参考文献[67]可能有利地缩放。...随阱尺寸...、频率...和温度...的精确缩放关系是复杂的，并显示出实验间的巨大差异[68]。然而，使用缩放...，这似乎对低温阱是经验证实的[68]，我们可能期望电场密度进一步降低至...，这将导致每小时...，可以忽略不计。

磁控管模式由于频率低得多，更容易受到噪声影响。对该模式重复跃迁率计算，对于未缩放的...和...，假设...按预期随频率、温度和距离变化，得到...。这些率对实验的自由演化有些限制，因此为了匹配电压噪声施加的限制，需要将磁控管加热率进一步降低至少一个数量级。这可以通过使用专门调谐到磁控管频率的陷波滤波器在提供阱电压的线路上实现。

VI. 计算检测效率

A. 品质因数

在本节中，我们计算单光子计数器的性能，换句话说，给定从分布中提取的轴向相位，我们能多好地推断腔的光子态。

在进行使用相位分布完整形式的详细计算之前，考虑检测器性能的简单代理指标是很有趣的。这是...，即腔中存在光子时的平均相移除以轴向相位的标准差。最大化该品质因数预计将最大化检测效率。对于大的初始激发振幅，并且参量放大足够大使热检测噪声可忽略时，最终轴向相位的标准差近似为：

(92)

因此，使用先前计算的值...：

(93)

令人惊讶的是，该计算表明几乎所有阱参数的选择对器件分辨相移的能力没有根本影响，可以选择这些参数使其他不希望的频移可控。回想一下，...是腔吸收线宽与磁增宽的比值，不能在不损害吸收概率的情况下降低——在以下章节中，我们选择...。

我们现在进行的更精细的处理表明，器件的预期性能确实取决于诸如...和...等参数。这些参数影响相位分布的形状，器件的性能更关键地取决于分布中移动到大于与...相关的某个截止值的大相位部分的比例，而不是取决于比值...。

为表征检测器的性能，我们引入两种不同的效率，检测效率...和排除效率...。检测效率是当微波单光子存在于腔中时光子计数器检测到该光子的预期运行比例——这与传统光学光子计数器的光子检测效率相同，对于理想器件...。对于轴子实验，我们预期大多数时间内腔中没有光子。因此，表征器件需要运行多久才能排除腔中存在任何光子，与理想光子计数器相比，也是有意义的。排除效率是该额外等待时间的倒数。我们现在确定这些效率。

B. 检测效率

检测效率...定义为如果光子最初存在于腔中，记录到光子检测事件的概率：...。在具有读出噪声的检测器中，例如我们的检测器，定义检测效率首先需要确定我们想要拒绝计数实际上是由读出噪声而非入射光子引起的假设的显著性水平...。在我们的电子单光子计数器中，轴向相位是光子计数序列结束时报告的单个数，参考于没有光子入射到腔时记录的平均轴向相位。我们假设该参考相位是稳定的，并且从初步测量中已知得足够好，不会引入额外的不确定性。当没有入射光子时，与该均值相比的轴向相位差的分布为高斯...，均值为零，标准差...由式(80)给出。

如果腔中存在一个光子，最终相位的分布...由高斯噪声分布...与...（第IV节中发现的轴向相位推进的概率密度函数）卷积给出：

(94)

...符号是表示两个函数卷积的标准方式。分布...和...的示例如图10所示；这里，...是腔中某点存在一个光子时的PDF，...是腔中没有光子时的PDF。我们定义两个相位...和...，也在图10中示出，其中...使得如果测量的相位...在光子计数序列后满足...，我们认为检测到了一个光子。...的值通过要求假阳性的概率为...来确定，考虑到...是高斯分布的，并且只要...近似为：

(95)

其中...是逆误差函数。

图10.一个展示 \( \kappa \) 在 \( \kappa_- \) 和 \( \kappa_+ \) 之间的部分（以黄色标出）的示意图，用于定义检测效率 \( \eta_{\text{det}} \)。假阳性率则是通过对 \( \kappa \) 在相同区间内的积分（以蓝色标出）来求得。在该图中，\( \kappa_- = 0.1 \) 且 \( \kappa_+ = 1 \)；其他参数与表 II 相同。检测概率 \( P_{\text{det}} \) 因此简单地表示为 (96)。

图 10 展示了 \( \kappa \) 在 \( \kappa_- \) 和 \( \kappa_+ \) 之间的积分部分。

一般来说，\( P_{\text{det}} \) 是通过数值积分第四章所述的腔体占据数方程来求得的。在 \( g \ll \kappa \) 的情况下，可以使用一个近似形式 \( P_{\text{ph}}(\phi) \)，其适用于 \( g \ll \kappa \)，从而为 \( P_{\text{det}} \) 提供一个解析表达式。当 \( g \ll \kappa \) 时，我们将 \( P_{\text{ph}}(\phi) \) 建模为以 \( \phi = 0 \) 为中心的 delta 函数分布与单边指数分布之和

\[
P_{\text{ph}}(\phi) = (1 - P_{\text{abs}}) \delta(\phi) + P_{\text{abs}} \frac{e^{-\phi / \bar{\phi}}}{\bar{\phi}} \quad (97)
\]

其中 \( \bar{\phi} = 2g^2 / (\kappa \gamma) \)，并假设 \( \phi \ge 0 \) 如同我们考虑的情况。该概率分布具有简单的物理解释：在弱耦合极限 \( g \ll \kappa \) 下，光子要么被电子吸收（概率为 \( P_{\text{abs}} \)），要么不被吸收（概率为 \( 1 - P_{\text{abs}} \)）。如果没有吸收，则不会产生额外的相位；而如果发生吸收，激发态寿命将遵循时间常数为 \( 1/\gamma \) 的指数衰减。将处于激发态的时间与累积相位联系起来，便得到了 \( P_{\text{ph}}(\phi) \) 的表达式。\( P_{\text{ph}}(\phi) \) 与 \( P_{\text{noise}}(\phi) \) 的卷积也可以解析计算，结果为

\[
P_{\Delta\phi}(\Delta\phi) = (1 - P_{\text{abs}}) P_{\text{noise}}(\Delta\phi) + P_{\text{abs}} \int_0^\infty P_{\text{noise}}(\Delta\phi - \phi') \frac{e^{-\phi' / \bar{\phi}}}{\bar{\phi}} \, d\phi' \quad (98)
\]

这种近似形式允许在弱耦合情况下快速计算 \( P_{\text{det}} \)，但在 \( g \sim \kappa \) 时失效。完整计算的 \( P_{\text{det}} \) 和近似 \( P_{\text{det}} \) 的结果如图 11 所示。这两种效率都乘以了 \( \mathcal{F} \) 以计入 \( \kappa_{\text{br}} \) 引起的展宽造成的效率损失。

这里，图 11(a) 显示了要求 5σ 显著性才能检测的 \( P_{\text{det}} \)（\( \kappa_- = 0.1 \)，\( \kappa_+ = 1 \)）。蓝色虚线表示 \( P_{\text{det}}^{\text{approx}} \)，而橙色实线显示了无近似的完整形式的 \( P_{\text{det}} \)。黑色线为 \( P_{\text{max}} \)，表示如果每一次光子吸收都能在光子计数器中产生足够大的相位超前，从而能够明确地将其归因于吸收事件，理论上的最大效率。计数器在低 \( \kappa \) 下跟踪此线，但在较高 \( \kappa \) 时发生偏离。这正是轴向相位噪声导致检测效率损失的区间。一旦 \( \kappa \) 超过最佳值后效率的下降，可归因于增强的自发辐射率导致激发态寿命缩短，而更短的激发态寿命超过了更高吸收概率带来的益处。

图 12 绘制了使用 \( P_{\text{det}} \) 计算的 3σ 和 5σ 显著性下的 \( \eta_{\text{det}} \) 关于 \( \kappa \) 和 \( g \) 的函数，其中绘制的 \( \eta_{\text{det}} \) 再次乘以了 \( \mathcal{F} \)。这些图显示，对于 3σ 置信度，效率在 \( \kappa \sim 0.3 \) 附近的对角区域达到峰值，对于 5σ 置信度则在 \( \kappa \sim 0.7 \) 附近，同时 \( g \) 取较低值，但随后随着这两个参数增大而下降。这种下降是由图 9 所示的有限阱深对 \( \kappa \) 的下限造成的。在 \( \kappa \) 和 \( g \) 的最佳值处，最大检测效率分别为 3σ 置信度时的 \( \sim 0.6 \) 和 5σ 置信度时的 \( \sim 0.2 \)。

图 11. 5σ 置信水平下的检测效率 \( P_{\text{det}} \)，以橙色标出。黑色线表示由方程 (25) 给出的最大可能检测效率。蓝色虚线表示由相位分布函数 \( P_{\text{ph}}(\phi) \) 的解析近似计算得到的检测效率。

图 12. 由 \( P_{\text{det}} \) 计算得到的检测效率 \( \eta_{\text{det}} \) 关于 \( \kappa \) 和 \( g \) 的函数。面板 (a) 为 3σ 显著性，面板 (b) 为 5σ 显著性。

C. 排除效率

我们现在转向排除效率 \( \eta_{\text{exc}} \)，它衡量了设备在排除腔中是否存在光子方面的表现。我们定义排除效率 \( \eta_{\text{exc}} = t_{\text{ideal}} / t_{\text{meas}} \)。这里，\( t_{\text{ideal}} \) 是理想单光子计数器以一定置信水平 \( \text{CL} \) 排除入射光子率 \( R \) 所需的等待时间，而 \( t_{\text{meas}} \) 是我们所考虑的电子光子计数器的等待时间。倒数 \( 1/\eta_{\text{exc}} = t_{\text{meas}} / t_{\text{ideal}} \) 告诉我们，与理想设备相比，使用电子单光子计数器平均需要多长等待时间才能排除一定的计数率。

对于轴子实验中预期的低光子计数率，在区间 \( t \) 内出现的光子数应服从泊松分布。对于理想光子计数器，所需的等待时间可以从等待时间 \( t \) 后观察到零计数的概率中找到。通常，需要 \( \text{CL} = 95\% \) 的排除区间 \( t_{\text{ideal}} \)，因此 \( e^{-R t_{\text{ideal}}} = 1 - \text{CL} \)。

现在我们必须找到我们的光子计数器的等效时间 \( t_{\text{meas}} \)。如果光子率为 \( R \)，我们期望平均有 \( N = R t_{\text{meas}} \) 个光子占据腔体。我们设想这 \( N \) 个光子依次到达，相位读出在它们全部到达后进行。这些 \( N \) 个光子的存在改变了最终的相位分布，现在由 \( P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \) 给出。这可以通过对相位概率密度 \( P_{\text{ph}}(\phi) \) 和噪声概率密度 \( P_{\text{noise}}(\phi) \) 进行重复卷积来求得：

\[
P_{\text{exc}}(\Delta\phi) = P_{\text{noise}}(\Delta\phi) * P_{\text{ph}}(\Delta\phi)^{*N} \quad (99)
\]

图 13(a) 中展示了不同 \( N \) 值下 \( P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \) 的示意图。这里，蓝色分布对应于 \( N = 0 \)，较大的 \( N \) 值将分布向更大的相位值偏移并使其变宽。目标是确定 \( N \) 必须多大，才能使 \( P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \) 分布中的典型相位不太可能（以置信水平 \( \text{CL} \)）来自 \( P_{\text{noise}}(\Delta\phi) \) 分布。为了形式化这一概念，我们指定一个介于 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 之间的相位区间，使得在等待时间 \( t \) 之后，任何落在 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 之间的测量相位都应以置信度 \( \text{CL} \) 排除光子率 \( R \)。这意味着满足以下方程的值 \( N \)：

\[
\int_{\phi_{\text{exc}}^-}^{\phi_{\text{exc}}^+} P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \, d\Delta\phi = 1 - \text{CL} \quad (100)
\]

定义了 \( N_{\text{exc}} \)。图 13(b) 显示了 \( N \) 随 \( N \) 增加而 \( P_{\text{exc}} \) 变化的情况，对于 \( \text{CL} = 95\% \)。\( N = N_{\text{exc}} \) 的点也已标出。

图 13. 定义排除效率 \( \eta_{\text{exc}} \) 的过程，对于 \( R = 1 \) 计数/秒；其他参数列于表 II。(a) 绘制了多个 \( N \) 值下的 \( P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \)。\( P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \) 在 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 之间的部分以彩色填充至 \( \Delta\phi \) 轴。(b) 显示了 \( P_{\text{exc}} \) 作为 \( N \) 的函数，以及 \( N = N_{\text{exc}} \) 的点以线标出。

相位 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 被选择为包含 \( N = 0 \) 时分布的绝大部分，从而使所得的排除效率代表该设备的典型性能。\( P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \) 分布产生的相位落在 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 之间的运行比例简单地为

\[
P_{\text{exc}}^{\text{inside}} = \int_{\phi_{\text{exc}}^-}^{\phi_{\text{exc}}^+} P_{\text{exc}}(\Delta\phi) \, d\Delta\phi \quad (101)
\]

使用落在 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 之间的相位，而不是大于单一界限的相位，使我们能够处理相位从 \( 2\pi \) 绕回 \( 0 \) 的情况。任何大于 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 的测量相位都可以用来对 \( R \) 设定较低的置信限，或以相同的置信度排除更高的光子率。

与对 \( \eta_{\text{det}} \) 的考虑类似，可以通过用 \( N_{\text{exc}} \) 代替 \( N \) 评估方程 (99) 来推导解析积分 \( P_{\text{exc}}^{\text{approx}} \)，并预期其在 \( g \ll \kappa \) 极限下有效，且与轴向相位缠绕相关的效应不显著时也有效。\( P_{\text{exc}}^{\text{approx}} \) 的表达式在附录 E 中给出。

图 14 显示了为电子单光子计数器计算的 95% 排除效率，设置 \( \phi_{\text{exc}}^- = 0.2 \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ = 2.2 \)，其他参数在说明中列出。选择 \( \phi_{\text{exc}}^- \) 和 \( \phi_{\text{exc}}^+ \) 意味着预计至少 84% 的测量会对给定光子率设定 95% 的置信限或更好。由 \( P_{\text{exc}}^{\text{full}} \) 和 \( P_{\text{exc}}^{\text{approx}} \)（蓝色虚线和橙色实线）得出的效率已乘以 \( \mathcal{F} \) 以计入 \( \kappa_{\text{br}} \) 引起的展宽造成的效率损失，以及该效率仅在 84% 的测量中达到的事实。

图 14. 排除效率 \( \eta_{\text{exc}} \)，对于 \( \text{CL} = 95\% \)。面板 (a) 绘制了作为 \( \kappa \) 和 \( g \) 函数的效率，面板 (b) 绘制了作为 \( \kappa \) 的函数，当 \( g = 0.5 \) 且 \( g/\kappa = 2 \) 时。橙色线为使用 \( P_{\text{exc}}^{\text{full}} \) 的完整计算。蓝色虚线给出了由 \( P_{\text{exc}}^{\text{approx}} \) 推导出的近似，黑色线为使用方程 (12) 中吸收概率的最大可能效率。橙色和蓝色效率已乘以 \( \mathcal{F} \)，如文中所述。

比较图 11 和图 14(a)，我们看到排除效率通常高于检测效率，并且最有效检测的最佳 \( \kappa \) 因子更高。这是因为来自每次光子吸收的相移（单独太小而无法在相位噪声中分辨）在 \( N \) 较大时可以叠加在一起并导致可测量的偏移。图 14(b) 绘制了当 \( g = 0.5 \)（等价地，\( g/\kappa = 2 \)）时 \( \eta_{\text{exc}} \) 作为 \( \kappa \) 的函数。这表明排除效率随着 \( \kappa \) 的增加而持续上升，并在 \( \kappa \) 和 \( \gamma \) 变得可比较时饱和在约 \( 0.99 \) 左右。

VII. 讨论与结论

在这里，我们讨论我们的发现对轴子探测的意义，并将我们的方案与使用囚禁电子进行光子计数的其他提议的预期性能进行比较。

我们开发单光子计数器的动机是加速轴子搜索实验。在第一节中，我们指出，对于 \( g_{a\gamma\gamma} \) 为 30 GHz 的轴子实验，并假设 \( \eta = 0.1 \)，效率为 \( \epsilon = 0.1 \) 的单光子计数器将优于线性放大器。假设轴子解决了强 CP 问题并构成全部暗物质，我们可以预期一台射频腔在 30 GHz 处产生约 0.001–1 计数/秒的计数率，具体取决于设计。我们可以根据电子阱的构造材料和设计，考虑五种不同的电子-光子计数器方案。相应的 \( Q \) 因子、耦合强度 \( g \)、排除效率和加速时间如表 I 所示，假设在放大器和轴子-光子转换装置之间还有额外的 \( \kappa_{\text{coup}} \) 耦合损失（如第二节所介绍），因此总排除效率为 \( \eta_{\text{exc}}^{\text{total}} = \eta_{\text{exc}} \times \mathcal{F} \)。

表 I. 各种潜在光子计数器的参数。对于最后一列，\( R = 1 \) 计数/秒，\( g_{a\gamma\gamma} = 0.1 \) GeV\(^{-1}\)。

| 方案编号 | 腔体类型 | \( \kappa \) (krad/s) | \( g \) | 相对线性放大器的加速比 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| (1) | 铜 | 0.01 | \( 1.4 \times 10^{-3} \) | 1 |
| (2) | NbTi | 0.08 | \( 1.3 \times 10^{-2} \) | 13 |
| (3) | 铜/NbTi | 4.2 | 0.63 | 630 |
| (4) | 薄 NbTi | 15 | 2.3 | 2300 |
| (5) | 薄 NbTi | 29 | 4.3 | 4300 |

我们看到，即使是一个适度效率的单光子计数器也能加速轴子搜索，而最终的设备对于 1 Hz 的轴子计数率带来 4300 倍的增加。

另一种将光子计数器的实用性置于背景中的方法是考虑扫描特定轴子质量范围所需的总积分时间，假设轴子射频腔产生计数率 \( R \)。再次假设 \( \eta = 0.1 \) 和 \( g_{a\gamma\gamma} = 0.1 \) GeV\(^{-1}\)，在轴子质量 \( m_a \) 和 \( 2m_a \) 之间扫描所需的时间，假设中心频率每次增加一个因子 2，为

\[
t_{\text{scan}} = \frac{1}{R} \frac{1}{\eta_{\text{exc}}^{\text{total}}} \ln(2) \quad (102)
\]

图 15 中的虚线对应于 \( t_{\text{scan}} \) 为一天、一个月、一年和十年，作为 \( \kappa \) 和 \( g \) 的函数。图中还显示了代表表 I 中考虑的五个光子计数方案的水平线。我们认为，需要 10 年测量时间来测量从 \( m_a \) 到 \( 2m_a \) 的一个倍频程的实验是可行性的极限。从该图可以看出，方案 (1) 仅在使用产生超过 \( R = 10^3 \) 计数/秒计数率的轴子射频腔时才可行。另一方面，方案 (2) 可以允许计数率 \( R \sim 10^2 \) 计数/秒的实验，而 (3)、(4) 和 (5) 分别允许计数率 \( R \sim 1 \)、\( R \sim 0.1 \) 和 \( R \sim 0.01 \) 计数/秒的实验。方案 (3)–(5) 的计数率可以通过射频腔设计实现。

图 15. 在频率倍频程 \( m_a \) 到 \( 2m_a \) 上以 95% 置信度排除轴子信号所需的总积分时间作为 \( \kappa \) 和 \( g \) 的函数，以虚线表示。红色水平线表示表 I 中设想的单光子计数效率。

我们的最终目标是一个具有 \( \kappa = 10^4 \) 的彭宁阱，并且 \( g \) 可在 \( g = 0.1 \)（用于高检测效率）和 \( g = 10 \)（用于高排除效率）之间控制。可通过在腔体的电场中移动电子位置来实现可变的 \( g \)。或者，我们可以改变阱中的电子数量，并利用小电子云的集体轴向模式，这会使 \( g \) 按电子数量的平方根增强。

现在我们将我们的方法与其他使用囚禁电子计数单光子的提议进行比较。Cridland 等人 [30] 提出将一个电子囚禁在同时用作微波共面波导的表面彭宁阱上方。该方法的基本原理与我们类似：一个具有 \( Q \) 因子的阱被用来使电子轴向频率在吸收光子时发生偏移。利用传输线理论分析了电子波导模式耦合。为了增强被俘获电子与波导中传播的微波光子之间的耦合，将电子俘获在波导导纳（阻抗的倒数）相对于电子有效导纳（通常为几十pS）尽可能小的位置。研究表明，通过短截线微波终端在距离电子位置对应的电学距离处短路，可以实现低波导阻抗。据估计，介电损耗主要来自低温下共面波导的蓝宝石衬底，可实现900 pS的导纳，若电子位于俘获表面上方的某处，则可获得百分之几的吸收效率。这与我们方法可实现的中等效率相似。参考文献[30]的方法主要优点在于，它使用波导而非谐振腔，因此器件的敏感频率可通过调节陷阱的磁场来调整，而我们的方法则还需移动端盖以保持谐振腔与修正回旋加速器模式谐振。表面陷阱方法也存在技术挑战，主要挑战在于保持电子位置处的低导纳。我们注意到，稍微偏离优化位置会显著增加导纳，从而降低吸收效率。参考文献[30]中提出的相敏检测方法需要激发的轴向振幅，这可能与允许的电子位置范围较窄难以协调。在表面陷阱上方俘获电子具有挑战性，由于非理想俘获势引起的复杂性，目前尚未在这样的陷阱中观测到单电子。如果这些挑战得到解决，我们指出参考文献[30]的方法可以与我们的方法结合，通过使用共面波导谐振腔而非传输线。该结构将比圆柱形陷阱具有高得多的耦合常数，从而能够在较低的因子下达到强耦合区域。Fan等人[31]最近提出了一项完整实验方案，利用宽带反射器轴子探测（BREAD）设计[34]中磁场内的反射镜将轴子转换为光子，并使用彭宁阱中的电子探测这些光子。在他们的工作中，通过将粒子置于高激发回旋加速器态，增大了电子的轨道电偶极矩。该电子随后表现得类似里德伯原子，增强了与电场的相互作用，且耦合率按比例缩放。与我们的建议和参考文献[30]一样，参考文献[31]中的回旋加速器态通过瓶和测量轴向频率来检测。Fan等人提议中的特征信号是回旋加速器态增加一个量子，叠加在衰减的回旋加速器信号上。在参考文献[31]的附录B中，估计高激发电子光子计数器的光子探测效率约为，低于我们方法可实现的最大效率。然而，参考文献[31]中的光子计数方法比我们的方法宽带宽得多，有效探测带宽为，其中，而我们的带宽为，在相当高的探测效率下。这种对入射光子的宽带敏感性充分利用了BREAD型天线，无需调整即可将宽范围可能质量的轴子转换为光子。相比之下，我们的方法，针对表II中考虑的典型参数，将从窄带腔体基轴子-光子转换器发射的光子检测中获得更高效率，前提是转换腔的品质因数大约大于。表II。除非另有说明，本文中用于评估表达式的陷阱参数。参数名称 符号 值 单位 修正回旋加速器频率 30 轴向频率 100 磁控管频率 167 轴向频率偏移 静态磁场 1.07 磁瓶强度 四次磁场修正 陷阱长度 24.55 陷阱半径 3.7 陷阱电体积 腔体频率 30 腔体耦合常数 9.2 自由相位演化时间 1–100 检测系统并联电阻 300 检测系统有效电极距离 12.75 展宽与腔体线宽比 2 无 最大轴向振幅 2.5 mm 轴向放大因子 27 无 探测器噪声 在这项工作中，我们描述了一种使用彭宁阱中电子计数单光子的技术。该方法专为轴子搜索而优化，其中光子计数器可将30 GHz以上实验的速度提升数个数量级。该方法将在合理的实验时间内实现以上的轴子搜索。在未来的工作中，我们将描述如何将此电子单光子计数器与我们实验室正在开发的高品质因数轴子转换腔结合，制造出能够探测以上DFSZ轴子的轴子晕镜。