使用基于几何信息的变分量子本征求解器探测kagome晶格上反铁磁海森堡模型的基态

《Physical Review Research》：Probing the ground state of the antiferromagnetic Heisenberg model on the kagome lattice using geometrically informed variational quantum eigensolver

　　这项工作利用变分量子特征求解器算法在真实量子硬件上，研究了反铁磁海森堡模型在基本kagome晶胞（一个三角形和一个星形）上的基态性质。我们证明，使用一个浅层的硬件高效量子电路，其参数空间自然具有欧几里得结构，可以实现基态的制备。我们的定制拟设能够准确恢复基态的有意义属性，如自旋-自旋关联项和静态结构因子，而无需显式的误差缓解。这些特性被证明对噪声具有鲁棒性。我们利用Fubini-Study度规构建拟设，确保了参数空间无奇点。通过这种拟设设计，自适应梯度下降优化器在迭代次数上比同步扰动随机逼近方法收敛更快。我们进一步应用了误差缓解技术，包括零噪声外推（ZNE）和逐量子位读取误差缓解（REM）。虽然ZNE不遵守瑞利-里兹变分原理，但讨论了REM保持该原理的条件。 I. 引言 求一个k-局域哈密顿量的基态能量已知是量子梅林-阿瑟问题（QMA-hard）[1]，这是经典NP-hard问题的量子类比。这主要是由于相互作用的量子多体系统中希尔伯特空间的指数增长，使得该问题通常对经典计算机而言难以解决。尽管QMA-hard问题即使在完美的量子计算机上也很难以解决，但后者仍然是破解这类问题最合适的工具，因为它遵循相同的量子力学定律[2–4]。然而，尽管该技术最近取得了进展[5,6]，当前的量子计算机尚未达到其承诺的能有效模拟复杂量子系统的潜力。短相干时间、高噪声水平和有限的连通性，这些都是含噪声中等规模量子（NISQ）时代计算机的特征[7,8]，仍然对量子优势构成重大挑战。此外，识别和制备基态对于研究多体系统至关重要，能够理解它们在低温区域的性质。为此，引入了变分量子特征求解器（VQE）[9,10]。它是一种混合量子-经典算法，专门设计用于使用经典优化的参数化量子电路来近似基态能量。凭借其灵活性和混合特性，该算法提供了几个潜在优势。首先，通过选择合适的拟设，它可以扩展，从而以较低的经典计算成本处理更大的系统，有效降低了与希尔伯特空间增长相关的计算成本。其次，VQE被设计为与当前的NISQ器件[9,11,12]及其低量子体积[8]兼容。这是因为它依赖于相对浅的量子电路来准备试探态，而可观测量测量的过程基于原始采样。然而，使用该算法估计能量是以降低精度为代价的，与量子相位估计（QPE）[13]相比，这种权衡是必要的，因为在缺乏处理QPE深电路所需的容错量子计算机的情况下。已经开发了不同的方法来解决NISQ计算机的这种精度差距。已提出了多种误差缓解[14]和测量优化方案[15]来改进VQE期间的能量估计及其可扩展性，而替代方法，如基于量子采样的算法[16,17]，显示出更好的可扩展性和更高的噪声鲁棒性。本文关注kagome晶格上的自旋-各向同性海森堡反铁磁模型，这是一种自旋的几何排列，因其奇异的磁性和展现量子自旋液体的潜力[18]或拓扑相[18,19]而引起了研究人员的兴趣日益增加，这些相仍然是执行量子计算的有希望的候选者[26–28]。由于该系统的阻挫特性，制备其基态并非易事[18,29]。kagome晶格由共角三角形组成，如图1所示。当自旋放置在每个节点上时，自旋之间的相互作用可以用海森堡相互作用的哈密顿量进行量子力学建模，即，其中总自旋是守恒量[30]。虽然铁磁区域（）在文献中已有充分理解，但反铁磁区域（）非常引人入胜，因为三角形连接使得无法同时满足所有约束。图1. kagome晶格的几何结构。具体来说，我们感兴趣的是各向同性反铁磁自旋-海森堡模型： (1) 其中是耦合位点和的配对。哈密顿量与和形成对易算子集合，使得，其中是总自旋矢量算符，是总自旋矢量的分量。即，使得如果和互为最近邻则，否则。此外，哈密顿量连同总自旋算符与晶格对称操作对易。一般来说，哈密顿量与对易，如附录C所示。因此，哈密顿量与梯算符对易，并且是SU(2)不变的。对于单连通三角形晶格中的海森堡模型，其中每个三角形可以形成单态，我们可以遵循Shastry和Sutherland[31]的论证表明，二聚体态是基态。后者定义如下： (2) 其中对于来自所有可能二聚体构型集合中的二聚体构型中的每个邻居对。单连通三角形的例子包括单个三角形、两个相连三角形、一个kagome星形以及kagome星形链。然而，该论证对任意kagome晶格（例如如图1所示的三个叠加的kagome星形）不成立，因为该构型变得几何阻挫，且在每个三角形中形成单态的条件被违反。因此，提出了共振价键（RVB）自旋液体态，其特点是短程关联和有隙激发[32]。然而，数值研究显示具有代数衰减和无能谱的迹象的长程关联[33]。例如，使用Gutzwiller投影波函数，已表明对于48个位点，U(1)狄拉克自旋液体与精确对角化有更好的一致性[34]。该系统的一般基态尚未被完全理解，特别是在热力学极限（即无限晶格）下。有趣的是，数值研究显示出非常不同的结果；最初的密度矩阵重正化群（DMRG）数值方法显示了一个带隙的基态，具有短程纠缠[35]，而最近的DMRG研究暗示了诸如狄拉克自旋液体[36]或手性自旋液体[37]等代数态。此外，Liao等人[38]使用投影纠缠单纯态表明，在无限晶格极限下，基态展现无间隙量子自旋液体。精确对角化方法表明，基态与理论候选态不同，至少在36和48个自旋位点的小有限尺寸下如此[39]。最近，一种物理导向的神经网络拟设已被用于48个位点的晶格，并显示出自旋对密度波的迹象，该波不破坏时间反演对称性或任何晶格对称性[40]。关于kagome晶格的量子实验仍然非常有限。理论建议和经典模拟已经进行。一些研究致力于优化哈密顿量变分（HV）拟设的实现[20,21]，而一些研究如Guo等人[23]利用HV拟设，并显示了在考虑第二近邻与第一近邻相互作用的不同比率时的相变。尽管HV拟设在物理上受到启发，但对于NISQ器件来说仍然太深。为了激励我们的方法，我们将其与最近从不同出发点探索类似方向的努力进行比较。Sajjan等人[22]遵循混合经典-量子流程：他们首先对约化哈密顿量进行DMRG计算以提取关联数据，然后设计一个拟设来复制这些特征，最后模拟并实现VQE电路，辅以误差缓解技术，如twirled读取误差消除和零噪声外推（ZNE）。然而，他们的实现最终将整个12量子位问题简化为一个有效的两量子位拟设。虽然这种简化是合理的，但它并未为我们的设置提供一个有用的基准，因为我们的目标是评估VQE过程在更问题无关、更少信息的条件下。相反，我们基于硬件连接和原生门设计了一个通用拟设，然后调整它至少给出一个基态，并用Fubini-Study度规分析它，以避免能量景观中的零度规或未定义几何。尽管存在噪声，我们仍然能够表征所得的量子态并提取结构信息。值得注意的是，我们的优化从高能直积态开始，并且仍然收敛，突出了变分景观和优化策略的鲁棒性。Weaving等人[24]使用基于对称性的量子位约简策略，识别出精确和近似的对称性，将哈密顿量锥化到五个量子位。在通过DMRG验证谱后，他们应用带有广泛误差缓解的VQE，包括读取误差缓解（REM）、多重ZNE和测量结果的对称性验证。虽然他们的方法在强量子位压缩下擅长保持能量估计，但其范围仅限于能量本身。相反，我们的目标侧重于量子态本身的结构和关联，这对于理解有序、纠缠和超越光谱分析的潜在量子相至关重要。Semeghini等人[19]通过使用里德堡原子阵列制备RVB态，遵循了不同的实验方向。他们将kagome晶格的每条边编码为一个原子，并使用具有 blockade 机制约束的绝热演化来制备二聚体覆盖，从而能够研究拓扑性质和准粒子激发。尽管其平台具有可扩展性并适合探测RVB物理，但它仅限于特定的候选态，并未解决海森堡模型的一般解。在这项工作中，我们专注于当前量子器件中表征基态的能力。我们将展示，尽管存在噪声，仍有可能以足够的精度探测自旋-自旋关联。为了制备基态，我们设计了一个定制的浅层硬件高效拟设，针对两个系统：单个三角形和六个共角三角形组成一个kagome星形——这些几何形状的基态对应于简单的二聚体覆盖，因此是直积态。我们采用了量子自然梯度下降（QNGD），这是一种使用Fubini-Study度规张量[41]线性变换梯度更新的优化技术，从而考虑了参数空间的局部几何。最近，研究表明，QNGD方法能够在里德堡原子和超导电路平台上，使用现实模拟，优于普通梯度下降方法[42]。为了进一步改善收敛，Atif等人[43]开发了自适应QNGD（AQNGD），将QNGD与回溯线搜索结合以动态调整步长。我们没有显式实现QNGD优化，而是构造拟设使得Fubini-Study度规隐式对角且恒定。因此，AQNGD被简化为自适应梯度下降（AGD），任何与该拟设一起使用的优化器都等同于其量子自然实现。除了这种设置之外，在VQE结束时应用了具有低后处理成本的误差缓解，以改善最终基态能量估计。我们使用分区响应矩阵方法[44]实施REM来逆转态制备和测量（SPAM）误差。而不是重建完整的响应矩阵，我们直接将分区逆响应矩阵应用于测量的位串。对于稀疏VQE测量，其中观察到个唯一位串（有个量子位），这种方法在最坏情况下规模为，并有可能基于截断进行增强，从而改进了Geller和Sun[44]的工作，后者需要完整的矩阵乘法进行后处理。这在附录E中有详细说明。除了能量估计之外，我们还能够通过测量自旋-自旋关联和静态结构因子来表征二聚体态，这显示出对噪声的鲁棒性。我们提供了有和没有REM的静态结构因子图，并显示与基态静态结构因子有合理的一致性。在接下来的第二节中，我们概述了基于量子自然梯度的优化方法及其在第三节中的实现。II A，以及第二节B中硬件高效的欧几里得拟设电路的设计。用于高效能量测量的泡利项分组以及测量方差和标准误差期望详见附录D。读出误差缓解和零噪声外推方法分别详见附录E和F。关于一个三角形和单个kagome星形结构的实验结果详见第三节，主要讨论见第四节，结论见第五节。II. 方法一般而言，变分量子算法中量子电路的参数优化方式与机器学习模型中的其他经典优化问题类似。然而，电路的量子特性带来了一些真正的挑战。首先，即使在没有噪声的理想量子计算机中，量子测量结果本质上也是概率性的。此外，当前量子设备还存在来自相干和非相干误差、态制备误差以及测量误差的额外噪声源。另外，拟设需要大量参数来覆盖包含基态的希尔伯特空间区域。在基于梯度的优化器中，估计梯度的成本与参数数量成正比；不过，仍可使用参数位移规则优化梯度估计的采样次数[45,46]。最后，成本函数景观十分复杂。除了局部极小值外，变分量子算法还可能面临贫瘠高原问题，即梯度幅度随系统尺寸呈指数级消失[47]。鉴于这些特性，VQE算法的设计必须仔细考虑硬件能力和问题特征，以设计出合适的拟设-优化器组合。A. 自适应量子自然梯度下降搜索代表基态的正确参数是VQE经典部分的核心挑战。为此，人们使用了各种优化器，如普通梯度下降和随机微扰优化器。然而，它们没有考虑参数化量子态空间的几何结构，即凯勒流形或射影量子空间，而是将其视为无奇点的欧几里得空间。在量子应用中，参数化量子态空间很少是欧几里得的[48,49]；它通常具有由Fubini-Study度规表征的曲率，并存在奇点和协变参数，这使得最优参数的搜索非常困难[50]。受经典机器学习中的自然梯度方法[41,51]启发，QNGD优化器被提出作为其量子对应物。该优化器在参数空间中使用具有诱导Fubini-Study度规的最速梯度下降，成功避免了奇点并考虑了参数的协变性。从欧几里得空间到黎曼参数空间的变换是通过取Fubini-Study度规张量的逆来实现的，该度规张量是量子费舍尔信息矩阵的实部。如下文所示，Fubini-Study度规还可用于设计具有自然欧几里得参数空间的拟设，这种拟设比更复杂的拟设更易训练且成本更低。有关QNGD的更多细节，参见附录C以及Yamamoto[50]和Stokes等人[41]的工作。尽管QNGD能以更快的速度沿正确收敛方向训练参数，但它仍面临选择理想学习率的问题。如果几何结构变得比步长更紧，算法可能会卡在基态附近而无法达到最小值，这在具有大学习率的纠缠系统中很常见[50]。另一方面，选择极小的步长将显著减慢算法，因为在几何结构不需要小步长时算法仍会迈出非常小的步。选择单调递减的步长也不是可靠方案，因为它不具几何信息性，且高度依赖于具体问题。Atif等人[43]提出了一种解决方法，他们使用具有可变、基于几何信息的学习率的QNGD，遵循Armijo规则，这是一种具有收敛性证明的高效回溯规则。这使我们能够自适应地选择大步长以加快收敛，同时不丧失在几何结构狭窄部分穿行的能力，从而通过每次迭代时将步长自适应于局部几何结构来避免停滞。通过这一改进，QNGD性能对所选步长的依赖性得到了缓解。虽然该方法引入了新的超参数需要设定，但比起步长的选择，这些超参数更容易确定。该AQNGD算法详见附录A。值得注意的是，Fubini-Study度规并不能缓解贫瘠高原问题。由于贫瘠高原被定义为梯度幅度的指数衰减，仅用度规重新缩放梯度无法恢复丢失的信号。事实上，梯度幅度由观测量的局域性、电路深度和初始态复杂度决定[47]。此外，在噪声诱导的贫瘠高原情况下，信息完全丢失；因此，度规完全无效。B. 欧几里得拟设理想情况下，针对特定物理问题的拟设应满足三个条件：（1）表达性，即拟设制备系统基态的能力。（2）硬件高效性，确保有意义的信息能在固有的量子处理单元噪声中存续。（3）可训练性，即参数空间行为良好，使经典优化器能高效收敛到最优参数。迄今为止，针对kagome晶格的最佳物理启发式拟设设计基于哈密顿变分拟设，可视为绝热演化的数字近似。Park和Killoran[52]证明，在没有非相干噪声且满足特定约束条件下，HVA不会遭受贫瘠高原。Bosse和Montanaro[20]优化了在具有方格架构的QPU上HVA所需的层数。Kattem?lle和van Wezel[21]提出了一种受HVA启发的对称保持拟设，使用从二聚体态开始的稠密参数化海森堡相互作用门层，并进一步预测了在任意系统尺寸下达到给定保真度所需的误差率和电路深度。Sajjan等人[22]引入了一种更具硬件友好性的拟设，针对由二聚体键组成的价键态。在本工作中，我们的目标是开发一种具有表达性、可训练性、硬件高效性的拟设，可在当前QPU上实现，而不依赖于大量的问题特定约简，仅受硬件约束。为实现这一目标，我们基于参数化单量子比特旋转与物理连接量子比特之间的纠缠门的简单模式构建拟设，以避免交换门。我们的拟设如图2所示，受著名的实振幅拟设启发，但减少了Rz门的数量。具体来说，我们发现不需要在纠缠层之前和之后都在每个量子比特上放置Rz旋转。相反，我们交替放置它们，将它们分配到纠缠层两侧，使每个量子比特仅携带一个Rz旋转。这一选择旨在减少参数数量，使拟设更易训练，同时通过其后的参数化门缓解来自纠缠层的一些相干噪声。虽然选择阶梯式CNOT结构增加了深度，但更紧凑的砖墙结构会增加相干串扰噪声[53,54]。图2。（a）硬件量子比特连接用实线表示，海森堡相互作用用虚线表示。（b）用于为kagome星形情况制备试探波函数的拟设电路。该拟设具有硬件兼容性：它线性纠缠，局限于硬件连接，且深度低，仅有一个纠缠层和12个参数化旋转门。除了这种结构简化外，我们拟设的一个核心特征是它自然具有欧几里得几何的参数空间。通过解析计算Fubini-Study度规（见附录C），我们证明对于我们的结构，该度规是对角且恒定的。这意味着参数独立变化（即无过参数化），参数空间无奇点，通过参数位移规则获得的梯度与真正的自然梯度一致。换句话说，我们的拟设不仅硬件高效，而且本质可训练。由于Fubini-Study度规是对角且恒定的，条件数（即最大特征值与最小特征值之比）最小。这意味着度规是稳定的，正如Haddou和Bennai[55]最近所示。在这种设置下，AQNGD等同于自适应梯度下降，本文余下部分将称之为AGD。总之，该拟设满足上述三个条件：它具有表达性、硬件高效性，并因其欧几里得参数空间而本质可训练。我们的结果证实了其表达性，因为它成功制备了基态并重现了物理可观测量，如静态自旋结构因子S(q)。展望未来，这一构造为进一步研究将这类欧几里得硬件高效拟设扩展到更大的kagome晶格以及更广泛的受挫量子磁体开辟了道路。III. 实验结果在本节中，我们展示了在量子设备上进行的基态实验的变分量子本征求解。目的是测试优化器和量子误差缓解技术在实际情况中的性能。首先，我们展示针对三个自旋-1/2位点系统的三量子比特实验。然后，展示连接成一个kagome星形的12个海森堡相互作用自旋-1/2位点的实验。A. 反铁磁海森堡相互作用的三自旋三角形一个三角形中反铁磁海森堡相互作用的自旋具有三个简并基态，其能量值为-3/4。我们在图4的上图中展示了使用AGD优化的变分能量，在IBM Oslo（7量子比特）和IBM Kyoto（127量子比特）上评估。该优化能平稳地收敛到三个线性连接的量子比特上。VQE算法在IBM Oslo上运行了19次迭代。此外，我们在更新的量子硬件平台IBM Kyoto上进行了额外实验，使用了足以实现满意收敛的有限迭代次数。两个QPU的本征门详见附录G。两张图显示出非常接近的行为，尽管初始拟设参数向量θ，按与图3相同的索引顺序，是随机选取的。即，θ = (0.2, 1.8, 0.4) 用于IBM Kyoto实验，而θ = (1.0, 0.8, 2.0) 用于IBM Oslo实验。值得回顾的是，由于量子电路的结构，Fubini-Study度规是恒定的，即M(θ) = I，详见附录C。步长使用线搜索回溯进行调整，如第II A节所述。每次迭代中寻找最佳步长所需的执行次数N在每步中绘制于图8(a)。图4的下图清楚地展示了由于满足Armijo规则而实现的学习率自适应工作机制。开始时，初始大步长足以开始探索，然后随着Armijo自适应数N值的增加，步长趋于减缓，使步长适应成本函数景观。我们注意到，在IBM Oslo实验中，由于量子自然梯度范数的减小和灵活的学习率，步长持续减小。总体而言，图4中AGD优化的VQE能量曲线的收敛性非常显著。尽管实验规模小且量子电路浅，但它展示了真实量子设备的低噪声率以及使用量子自然梯度下降和Armijo自适应方法的拟设可训练性。图3。（a）硬件量子比特连接用实线表示，海森堡相互作用用虚线表示。（b）三角形情况下用作试探波函数的拟设电路。该拟设具有硬件兼容性：首先，它线性纠缠，遵循原生硬件连接。其次，它深度低，仅有一个纠缠层和三个参数化旋转门。图4。上图显示了在三角形晶格上海森堡模型的VQE按迭代次数的收敛图，分别在IBM Kyoto 127量子比特和IBM Oslo 7量子比特QPU上运行，使用AGD优化方法。在VQE优化过程中未应用REM和ZNE量子误差缓解技术。下图表示步长大小，由梯度向量范数与Armijo自适应数设定的学习率之积决定。我们注意到，最终训练得到的拟设参数向量由下式给出（3）对于IBM Kyoto，按照与图3相同的索引顺序，以及（4）对于IBM Oslo实验，这些值与精确参数值非常接近，而可取任意值。通常，当时，我们可以复现理论基态之一，即（5）这无非是一个二聚体态，在态矢量模拟（SVS）中的保真度值为，而使用IBM Kyoto的VQE优化参数（式(3)）时误差为。

然而，如果量子态无法通过实验表征，仅精确参数是不够的。为了提高最后态能量测量的精度，我们探索了误差缓解（EM）技术。需要指出的是，在VQE过程中并未使用EM。在IBM Kyoto机器上实施EM前后的能量值绘于图5的上图中。未缓解的归一化值为，而使用完整校准矩阵的读出误差缓解（REM）给出，带正概率保持的REM给出，两者均显示出更好的精度。在REM之上应用ZNE误差缓解并使用二次外推时，能量低于基态能量，如图5所示。另一方面，对前折叠点的原始能量值应用ZNE，二次外推给出值，这是拟合三点的最小多项式。观察到REM和ZNE分别单独使用比组合使用效果更好。这些结果将在第四节中讨论。

图5. 使用ZNE和REM技术进行量子误差缓解的基准测试，如附录F和E所述，采用贝叶斯多项式回归（BPR）。在IBM Kyoto上对一个三角形反铁磁自旋-海森堡模型的基态能量测量进行读出和零噪声误差缓解（上图），以及在IBM Torino上对一个kagome星进行同样处理（下图）。

值得注意的是，局部二聚体的检测可以通过REM方法增强，如表I所示。误差缓解使得当二聚体键存在或不存在时，不同自旋对之间的关联差距变得清晰。这一观察在定性上符合精确基态的理论预期，而定量接近程度通过REM得到增强。

表I. 三角形中每对边自旋之间的关联项。

关联 边 IBM Oslo IBM Kyoto 精确
原始 REM 原始 REM
(0, 1) 0.1476 0.0701 0
(1, 2)
(2, 0) 0.0472 0.0440 0

B. 反铁磁海森堡相互作用自旋kagome星

kagome星上自旋的反铁磁海森堡模型有两个可能的二聚体基态，（6）这是由图2中拟设预期的唯一二聚体态。另一个态应为，其中量子比特按图2所示标记。由于kagome星由简单连接的三角形构成，如第一节所讨论，两个态均对应基态能量。图2量子电路中描绘的拟设仅针对第一个态。尽管这在拟设中引入了物理偏差，但它作为量子设备的基准，使我们能够评估量子计算机在NISQ体系下处理此类问题的性能。为了评估AGD自适应性及其精确梯度的优势，我们将其与同步扰动随机逼近（SPSA）进行比较。

VQE收敛图如图6所示，分别针对SPSA和AGD优化器。AGD优化实验中训练得到的拟设参数向量的最终分量，按照与图2相同的索引顺序，在全局相位意义下由下式给出（7）其中右边定义了基态的收敛精确拟设参数。即，根据图2中的拟设，参数化态应产生如下态。

图6. 上图显示每次迭代的VQE收敛图，以能量变化表示，针对在IBM Torino 133量子比特QPU上使用AGD和SPSA优化器运行的单kagome星晶格上的海森堡模型。注意AGD每次迭代需要比SPSA更多的量子电路执行来评估梯度（每个12个参数各一次执行）并调整学习率，这反映在图8(b)中的执行次数。然而，这些执行大多数彼此独立，因此可并行化。下图表示步长大小，由梯度向量范数与AGD情况下Armijo自适应数设定的学习率之积决定。

使用式(7)中的参数，当结果分别与基态和基态能量比较时，我们在态矢量模拟器中得到保真度值和。

为了从量子结果中获取更准确的信息，我们利用REM和ZNE技术。首先，我们在图5中展示误差缓解技术的结果。原始能量值为，与理论值相差约三个单位。然而，仅使用REM时，我们得到和，分别对应直接REM和保正REM。仅使用带贝叶斯二次外推的ZNE给出。另一方面，REM和ZNE的组合下探超过，详见Table II。这些结果与第三节A中三角形情况下REM和ZNE的类似行为一致。

表II. (a) 在IBM Torino QPU上进行的单个kagome星AGD驱动VQE结果，如图6所示，并使用REM和ZNE进行缓解，如图5所示。(b) IBM Algiers对单个kagome星的基态测量和缓解。(c) IBM Torino对单个kagome星的基态能量测量和缓解。(b)和(c)实验的参数从经典模拟VQE获得。

方法 能量值 ()
IBM Torino (a) IBM Algiers (b) IBM Torino (c)
未缓解
REM
REM + 保正
多项式次数 = 1 ZNE
多项式次数 = 2 ZNE
REM + 多项式次数 = 2 ZNE
REM + 保正 + 多项式次数 = 2 ZNE
精确能量
基态能量

为了更深入了解，我们在IBM Torino和IBM Algiers量子计算机上运行了两个不同的误差缓解实验。结果详见表II。在这些实验中，我们使用来自经典模拟VQE的参数。尽管REM在IBM Algiers中表现并不始终良好，但它提供了上界，特别是当保留采样计数的正性时。另一方面，我们再次观察到带贝叶斯二次外推的ZNE与理论值之间的匹配。这一观察也与三角形情况下的ZNE实验一致。

值得注意的是，即使在有噪声的后端上，自旋关联结构也可以被有效表征，如图7所示。这里，静态自旋结构因子基于每对自旋关联的测量计算，定义为（8）其中求和遍历所有自旋在位置，且是倒格空间中的动量矢量。静态结构因子揭示了系统磁化序的特征。这是等时自旋-自旋关联函数的傅里叶变换，而不仅仅是晶格几何的傅里叶变换，因此反映了量子态中自旋之间的关联模式。精确与实验自旋结构因子的比较表明，单个自旋关联中的误差不足以消除关联序特征。此外，我们利用REM方法增强自旋结构因子的形貌。皮尔逊相关系数指示了、和与精确的相似度，分别对应模拟噪声结果、QPU结果和REM缓解的QPU结果。相应的均方误差按相同顺序为0.013、0.042和0.007。因此，REM在精度和定性模式相似性之间取得平衡。

图7. 自旋-自旋关联静态自旋结构因子（等时自旋-自旋关联函数的傅里叶变换），由IBM Torino器件的噪声模拟测量结果计算[面板(a)]，带散粒噪声的理想模拟器[面板(b)]，无误差缓解的真实IBM Torino QPU[面板(c)]，以及带REM的[面板(d)]。虚线六边形画出布里渊区边界。零动量处的抑制表明不存在铁磁序。

IV. 讨论

在这里，我们将讨论AGD制备基态的能力、测量噪声鲁棒性质（如静态结构因子）的需求，以及进一步讨论使用EM增强的能量值。

在图6中，我们可以清楚地看到AGD在真实、受噪声影响的量子设备上优于SPSA的优化性能。与固有噪声自适应的SPSA方法相比，AGD需要更少的迭代次数即可收敛。尽管电路执行次数多于SPSA实现所需，随参数数量线性增长，但AGD可以通过每次迭代的分布式计算加速，并保证收敛，因此比零阶随机优化方法更具可扩展性[41,43]。为了评估自适应性在AGD性能中的作用，检查优化过程中步长的分布就足够了。图6的下图展示了AGD和SPSA步长幅度的比较。首先，我们注意到Armijo自适应步长的分布与SPSA指数衰减学习率呈定性相似的演化模式[10]。其次，Armijo规则允许取任意较大的初始步长以更快收敛，如该图所示，同时在需要时调整学习率进行微调。这些观察得到图8和图9中模拟实验的支持。

图8. AGD优化结果，针对三角形晶格上的海森堡模型，比较IBM Oslo QPU和IBM Oslo噪声模型上的VQE实验模拟，100次运行[面板(a)]；以及针对单kagome星晶格，比较IBM Torino QPU和相同VQE实验在IBM Torino噪声模型上的模拟，100次运行，从相同初始参数开始[面板(b)]。两种情况下的步长范数。

图9. SPSA优化结果，针对单星kagome晶格上的海森堡模型，比较IBM Torino QPU和相同VQE实验在IBM Torino噪声模型上的模拟，100次运行，从相同初始参数开始。步长范数。

此外，如第三节A和B所示，尽管基态能量存在显著的噪声诱导间隙，但优化参数与精确基态参数显示出惊人的一致性，且不依赖任何误差缓解技术。这一观察可以通过使用拟设的态矢量模拟评估保真度和能量值来量化。即，一个三角形情况下的态矢量保真度为，一个kagome星情况下的态矢量保真度为，而能量间隙分别为三角形和kagome星的和。

尽管这一观察突显了VQE协议在有误差情况下制备精确态的潜力[10,56]，但如果这种精确态无法通过量子计算手段访问，则变得不实用且不可扩展。我们的结果表明，即使没有误差缓解，也能通过自旋关联和自旋结构因子表征二聚体态。此外，可以通过诸如REM等误差缓解手段增强态的自旋结构分辨率，如图7所示。这一结果与Lively等人[57]近期的研究一致，他们表明从VQE结果预测能量导数、两位点自旋关联函数和保真度敏感性可以准确，即使没有误差缓解。例如，局域观测量对噪声的敏感度低于非局域观测量[58]。

本研究的主要结果之一是自旋-自旋关联具有噪声鲁棒性。噪声鲁棒性是指它在一定退相干噪声阈值下保持稳定。为了证明这一点，我们进行了大量模拟实验，测量了不同噪声水平下的自旋-自旋静态结构因子（SSF），如图10所示。图10展示了在噪声影响下制备态的自旋-自旋关联SSF与理想自旋-自旋关联SSF之间的皮尔逊相似距离随噪声水平的变化。噪声强度是通过对任意单量子比特和双量子比特门进行受控折叠引入的，在此情况下，序列为（ ）。为了比较，同一图中还包含了能量偏差，定义为（ ），其中（ ）是基态能量，（ ）是同一状态在非相干噪声下的能量。随着噪声水平的增加，SSF的相似误差并未表现出线性或多项式缩放关系。相反，它呈现出阶跃状的S形依赖关系，特征是两个准平台区域被一个尖锐的交叉区域分隔。在低噪声区，SSF保持近乎恒定并接近理想值，表明关联结构的鲁棒性。超过某个临界噪声阈值后，SSF迅速过渡到第二个平台，此时关联显著退化。尽管这种过渡是连续的，但其尖锐的交叉类似于两种不同关联区域之间的近似相变。值得注意的是，交叉的宽度与SSF保持物理有效性的区域一致。与SSF在噪声下的行为相反，能量随着噪声的增加向混合态值单调衰减。这种相反的趋势突显了，虽然能量在噪声下逐渐退化，但SSF在阈值之前保持结构完整性，然后经历快速的定性变化，强调了基于关联的观测量对噪声放大的非平凡敏感性。我们需要提醒读者注意，噪声强度是任意且无量纲的。它通过遵循序列（ ）的单量子比特和双量子比特门受控折叠引入，有效地放大了底层硬件噪声而不改变目标幺正变换。需要说明的是，这种噪声鲁棒性是可预期的，因为自旋-自旋关联由局部二聚体形成能隙保护，从而保护了SSF。另一方面，我们必须强调，仅凭双位点描述符不足以区分任意两个纯量子态。也就是说，Bosse和Montanaro [20]已经表明，自旋-自旋关联结构可以非常接近基态，而态保真度却很低。然而，他们也表明，即使VQE态尚未达到高全局保真度，这些态也能很好地表示这些局部观测量。最后，误差缓解（EM）技术在此背景下至关重要。对于从一个kagome星体通过VQE获得的最后一个拟设上实施的误差缓解结果，详细列于表II中。尽管结果高度随机，但使用不同的EM技术提高了精度。首先，我们注意到，仅使用REM（读出误差缓解）在IBM Algiers案例中未能达到显著精度，尽管在其他案例中它成功了。REM和ZNE（零噪声外推）的组合在大多数情况下会过冲。令人印象深刻的是，使用二次外推的ZNE在不同实验中反复获得了最佳精度，如图5和表II所示。REM和ZNE的组合超过了基态能量，这与Kurita等人 [59]的结果一致，他们表明在无SPAM错误的情况下，ZNE与随机编译结合使用时能获得更好的精度，以抑制相干噪声。此外，没有REM的ZNE可能会低于精确能量，但幅度较小。这部分是因为相干噪声通道以非随机方式偏移了测量的能量值，这可能被ZNE拟合函数捕获。一项仔细的研究——目前作者正在进行的工作重点——对于提供更坚实的机制解释是必要的。最后，需要提醒的是，REM不违反变分原理，如附录E所解释，而ZNE没有已知的这种保证。V. 结论在本工作中，我们专注于在真实量子设备上制备kagome晶格碎片的基态，表明这可以通过使用VQE的浅层电路实现。值得注意的是，即使在显著噪声存在且不应用误差缓解的情况下，这仍然成立。虽然噪声限制了能量估计的定量精度，但基本定性特征——如二聚体态的自旋关联结构——仍然可访问，这得益于保护某些观测量免受噪声影响的能隙。我们利用Fubini-Study度量作为分析拟设几何结构的工具，并将其设计为具有欧几里得参数空间（即常对角Fubini-Study度量），这允许平滑且容易的优化，而不会遇到奇点。基于此，我们认为这种仔细设计拟设几何结构的方法具有巨大潜力。我们假设这种设计方法可以被利用来设计问题定制的拟设，具有可解析计算的Fubini-Study度量，从而以低成本产生表达性强、硬件高效且内在可训练的拟设。这表明，随着量子硬件的进步，这种拟设架构可能实现越来越精确和鲁棒的复杂基态制备，包括更大的kagome晶格和量子自旋液体。我们分析了使用回溯搜索的AGD（自适应梯度下降）与SPSA（同步扰动随机逼近）的性能比较，表明AGD在更少的迭代次数内实现收敛，同时保持有竞争力的运行时间，并隐含了拟设的欧几里得参数化空间。我们展示了通过回溯搜索的自适应特性可以实现更快的收敛并减少对起点的依赖。我们的结果进一步揭示，误差缓解技术可以显著提高观测量估计的精度：REM保持变分原理，提供可靠的上界，而ZNE不遵守这个界限但通常实现最高精度，暗示未来研究的潜力。我们还表明，某些观测量，如静态自旋结构因子，对噪声的敏感性低于哈密顿量，这表明尽管量子硬件存在挑战，仍能良好地表征一些基态性质。最后，我们强调，在重六边形架构上解决设备原生问题，如单个kagome星体的基态，不仅实现了现实的基准测试，而且为扩展到更大的kagome晶格铺平了道路。未来的工作将集中于扩展这些方法，以表征更大量子自旋液体系统的基态。