三体哈尔随机态无两体纠缠

《Physical Review X》：Tripartite Haar Random State Has No Bipartite Entanglement

　　我们证明，当每个子系统A、B或C拥有的量子比特数少于总量子比特数的一半时，无法通过局部酉变换或局部操作从三体哈尔随机态|Ψ?_ABC中蒸馏出类爱因斯坦-玻多尔斯基-罗森（EPR）的二体纠缠。具体而言，我们推导了在给定的EPR保真度容差下采样到具有类EPR纠缠态的概率上界，该上界显示出在量子比特数上的双指数抑制。我们的证明依赖于一个简单的体积论证，辅以ε-网论证和测度集中。将|Ψ?_ABC视为二体量子纠错码C→AB，这意味着输出子系统A或B都不支持任何非平凡的逻辑算符。我们还建立了哈尔随机态中三体纠缠结构的一般约束，表明W型或格林伯格-霍恩-蔡林格型纠缠无法被蒸馏，并且不存在非平凡的整体对称性。最后，我们在AdS/CFT对应中讨论了物理解释，指出连通的纠缠楔并不一定意味着二体纠缠，这与先前的观点相反。

I. 引言

量子纠缠是量子物理学中许多基本问题的核心。然而，强纠缠量子系统的研究面临重大挑战，因为解析和数值方法往往受限。哈尔随机态为某些多体量子系统的物理性质提供了有用的见解。这些态以其在随机系综上平均的纠缠特性为特征，为理解具有某种程度解析可处理性的复杂量子系统提供了有力工具。在凝聚态物理中，哈尔随机态（和酉变换）已被证明在理解动力学性质方面至关重要，例如本征态热化假说[1]、混沌动力学[2]和随机矩阵理论[3]。在AdS/CFT对应中，哈尔随机态和酉变换作为量子黑洞的最小玩具模型[4-6]，哈尔随机张量网络作为在AdS尺度上领头阶满足Ryu-Takayanagi公式的玩具模型[7,8]。此外，哈尔随机态的性质在量子信息理论中发挥了核心作用，因为许多协议和基本问题都依赖于这些态或模仿其行为的近似[9]。这些例子只是哈尔随机性广泛应用的一小部分，它已成为现代物理学各个领域中不可或缺的概念。

当总系统被分为两个互补子系统 和 时，哈尔随机态 的二体纠缠已被很好地理解[4,10,11]。特别地， 包含大约 个近似爱因斯坦-玻多尔斯基-罗森（EPR）对，在 和 之间共享，直至某些局部酉变换 。然而，当系统被分为三个互补子系统 、 和 时，哈尔随机态 中三体纠缠的性质仍然远未被充分理解。虽然三体哈尔随机态的各种纠缠度量和性质已被广泛研究，但最基本的问题仍然悬而未决： 中的两个子系统 和 是否表现出二体类EPR纠缠（图1）。

图1. (a) 二体哈尔随机态，满足 。通过施加局部酉变换 可以蒸馏出EPR对。(b) 三体哈尔随机态。能否通过局部酉旋转或局部操作蒸馏出EPR对？

在本文中，我们证明当每个子系统 、 、 拥有的量子比特数少于总量子比特数的一半时，通过LU变换或局部操作（LO）无法在两个子系统之间蒸馏出类EPR纠缠。具体而言，我们推导了采样到具有二体纠缠量子态的概率的上界，该上界具有双指数抑制（以 表示）。因此，我们表明三体哈尔随机态 中的量子纠缠是非二体的，尽管约化混合态 拥有大量的量子（非经典）关联[例如，互信息 和对数负性 ]。我们还讨论了结果在量子纠错码背景下的应用。将 视为具有输入 和输出 的随机编码等距 ，我们的结果意味着如果 且 ，则每个输出子系统 或 不支持该码的任何逻辑算符。

我们还讨论了结果在AdS/CFT对应背景下的意义。即，我们关于LU和LO可蒸馏性的结果表明，连通的纠缠楔并不一定意味着存在类EPR纠缠，这与先前的观点相反。此外，我们关于逻辑算符的结果导致了一个关于纠缠楔重构的惊人预测：它们表明可能存在广泛的体区域，其自由度无法在 或 上重构，当边界被二分为 和 时。

A. 哈尔随机态中的纠缠

考虑一个 量子比特的哈尔随机态，其中量子比特被分为两个互补子系统 和 ，分别具有 和 个量子比特。对于 ，我们有

(1)

其中 表示哈尔平均[12]。这个结果通常被称为Page定理[4,10,11]，表明 与 中的一个 维子空间近似最大纠缠。即，存在一个仅作用于 的局部酉变换 ，使得

(2)

其中 和 ， 表示子系统 中的量子比特数。因此，通过施加一些局部酉变换，可以在 和 之间蒸馏出大约 个近似EPR对，而无需使用测量或经典通信。这种酉变换可以通过酉近似Petz恢复映射来显式构造[13]。值得注意的是，可以从 的单份拷贝中蒸馏出EPR对，而无需考虑渐近（多拷贝）情形。

接下来，考虑 上的三体 量子比特哈尔随机态 ，分别属于 、 和 。我们关注每个子系统占据系统不到一半的区域，因此满足

(3)

对于 、 、 。特别地，我们关注大 的渐近极限。两个子系统，比如 和 ，具有大量关联，如互信息所示

(4)

虽然互信息通常不区分经典关联和量子关联，但可以通过计算对数负性[14,15]来验证这些是非经典的：

(5)

其中 是部分转置密度矩阵 的本征值。

自然出现的问题涉及 中量子纠缠的性质。即，我们感兴趣的是，通过施加一些局部酉变换 或某些局部操作 ，是否可以从 的单份拷贝中蒸馏出EPR对。

当 从（量子比特）稳定子态中随机采样时，混合态 包含大约 个酉（Clifford）旋转的EPR对。这主要是由于三体量子比特稳定子态只有两种纠缠类型：二体纠缠（即Clifford旋转的EPR对）或类格林伯格-霍恩-蔡林格（GHZ）纠缠[16,17]，后者在随机稳定子态中很少见[18]。

三体哈尔随机态是否也主要由二体纠缠组成？之前已有大量工作在各种背景下讨论这个问题，但尚未提供明确的或定量的答案。特别地，在AdS/CFT对应中，基于位线线程形式主义进行了广泛研究（例如，参见文献[19-23]），这些研究隐含或明确地假设 中的纠缠主要是二体的，具有大约 个EPR对。然而，另一条研究路线[24-27]提出了哈尔随机态中存在真正三体纠缠的证据。

B. 主要结果：三体哈尔随机态

考虑一个支持在 维希尔伯特空间上的哈尔随机纯态 ，具有 个量子比特（ ）。在本文中，我们证明当 对于 、 、 在大 极限下成立时，无法通过局部酉变换或局部操作从 中蒸馏出EPR对。

1. 局部酉变换

对于非负常数 ，（单次）LU可蒸馏纠缠定义为

(6)

其中 表示作用于 的局部酉变换， 是投影到 和 上支持的 个EPR对的投影算符。这里， 和 ， 其中 和 分别表示子系统 和 中的量子比特数。参数 控制EPR对的保真度，其中 对应于完美EPR对，而 对应于低保真度EPR对。

定理1. 如果 ，那么对于任意常数 ，有

(7)

注意假设 是必要的。事实上，即使不施加任何酉变换，区域 已经包含大约 个保真度约为 的EPR对，因为 近似最大混合。

当式(7)的第二项是次主导项时，定理1提供了一个有意义的界，确保右侧为负。该界则意味着无法以优于最大混合态的保真度从 中LU蒸馏出EPR对。换句话说，任何通过施加LU变换 来增强EPR保真度的尝试都将是无用的。

具体而言，如果要求 为常数，则假设 就足够了[这里， 表示超常数：函数 当且仅当 ]，这确保了 。即，

(i) 如果 ，则 每当 。注意到 ，我们看到 和 包含类EPR纠缠的概率在量子比特数上是双指数小的。

更一般地，允许 消失的更低EPR保真度也是允许的。事实上，只需要求 对于足够大的常数 ，这确保了第二项保持次主导而第一项发散到负无穷。只要 ，我们就有 ，确保我们选择的 可以满足。因此，

(i) 如果 ，则 每当 对于足够大的常数 。

2. 局部操作

类似于式(6)，保真度为 的（单次）LO可蒸馏纠缠定义为

(8)

其中 表示作用于 的局部操作（通道）， 是投影到 和 上支持的 个EPR对的投影算符，其中 。

定理2. 如果 ，那么对于任意常数 ，有

(9)

的阈值 也是最优的。事实上，我们可以考虑两侧的简单量子通道：在 上附加 个辅助量子比特，然后不做任何操作。对辅助量子比特进行贝尔测量，得到 个EPR对的概率已经是 。我们的界本质上表明，任何增强EPR保真度的尝试都无法胜过这个简单量子通道。

这个结果类似于定理1，只是阈值 被 替换， 和 在第二项中被 和 替换。根据上述讨论，我们得出结论：

(i) 如果 ，则 每当 ；
(ii) 如果 ，则 每当 对于足够大的常数 。

3. 逻辑算符

由于子系统 与 近似最大纠缠（假设 ），可以将哈尔随机态 视为近似等距 ，它编码 个逻辑量子比特

(10)

通过Choi同构，其中 （ ）对应于输入（输出）希尔伯特空间。

我们感兴趣的是，当互补子系统 被求迹时（例如，在擦除错误下），编码的量子信息是否可从单个子系统 恢复。这个问题可以通过询问逻辑算符是否可以支持在 上来解决。粗略地说，当 在编码码字子空间中实现 的作用时， 被称为 的逻辑酉。如果逻辑算符 可以支持在 上，那么可以从 推断出关于初始态 的某些信息。

与LU蒸馏问题的关系通过考虑一对反对易的Pauli逻辑算符而变得明显。即，如果Pauli逻辑算符 和 可以支持在 上，这将意味着EPR对可以在 和 之间LU蒸馏。因此，可以推断逻辑Pauli算符 和 不能支持在 内部。这一观察使我们能够建立关于随机编码的以下不可行结果。（严格且定量的界将在定理4中给出。）

定理3（非正式）。考虑随机编码 。如果 且 ，则 不包含关于 的量子信息。即， 不支持任何非平凡的逻辑酉算符[28]。

这个结果的一个有趣推论是，所谓的清理引理不一定适用于非稳定子码。简而言之，稳定子码的清理引理断言，如果子系统 不支持非平凡逻辑算符，则互补子系统 支持该码的所有逻辑算符[29]。这个基本结果在建立拓扑稳定子码（那些具有几何局域生成元的码）的容错性方面至关重要，因为它确保逻辑算符可以支持在避开受损量子比特的区域上。虽然最初的公式化表述仅限于稳定子码，但类似的性质（例如弦逻辑算子的可变形性）已知在各种拓扑相模型中超出稳定子形式主义的情况下也成立。尽管有这些例子，我们的结果表明，清理引理在其原始表述（见文献[29]）中并不推广到一般的非稳定子量子纠错码。

4. 推广
我们还在第V节中将主要定理沿三个不同方向进行了推广。

(i) 三方纠缠——本质上，没有非平凡的三方纯态（如GHZ态或W类态）能通过局部酉变换从哈尔随机三方态中蒸馏出来。
(ii) 手性——三方哈尔随机态本质上具有手性。即，不存在三方局部酉变换能将 转换为 。
(iii) 全局对称性——三方哈尔随机态不具有任何（近似）全局对称性。即，不存在满足 的三方局部酉变换。

C. 其他评论
让我们提及另一个关于局域操作与经典通信（LOCC）可蒸馏纠缠的相关问题。回顾渐近情形下LOCC可蒸馏纠缠的哈希下界 [30,31]：

(11)

在文献[32]中，我们考虑了 中的单次单向LOCC可蒸馏纠缠，并证明了（另见文献[33]）

(12)

因此，在单次单向情形下，哈希下界对三方哈尔随机态是紧的。

D. 物理与证明直觉
在本文中，我们分别给出了定理1和定理2的证明。第一个证明采用初等的体积计数方法；第二个证明需要一些额外的预备知识，但核心思想相似。事实上，定理2的证明可以简化来建立定理1。由于证明在技术上有些复杂，首先提供一些物理直觉并突出关键的技术要素和挑战将会有所帮助。

1. 计数论证
我们首先介绍第一个证明（第II节）背后的直觉。考虑一个三方态 ，其中每个子系统都小于总大小的一半，即 。假设仅通过作用于 和 上的局部酉变换，我们可以在它们之间蒸馏出 对EPR对。在移除这些蒸馏出的EPR对之后，剩余状态存在于 个量子比特上，并且可以是任意的：

(13)

我们的目标是论证：允许这种结构的状态构成整个希尔伯特空间中极小的子集。

在一个 量子比特系统中，存在 个相互正交的纯态。然而，如果我们放宽严格正交性的要求，仅要求不同状态具有较小的相互重叠，则可以证明实际上存在双重指数数量的这种近似正交态。即，令 表示在某个小内积截止内近似正交的 量子比特态的数量，我们有

(14)

绘制一个哈尔随机态实际上等价于从这个巨大的量子态集合中选取一个态。同样地，令 表示可区分的 量子比特酉算子的数量， 也是双重指数的：

(15)

这里，指数上的差异可以通过Choi-Jamio?kowski同构来理解，其中 量子比特酉算子可以看作一个 量子比特纯态。

现在我们可以估计具有LU可蒸馏EPR对的状态总数。第一步是选取蒸馏出 对EPR对的局部酉算子 。由于 是双重指数增长的，此类酉算子的选择数量上界为

(16)

其中 是 常数。一旦移除EPR对，剩余的 个量子比特可以处于任意状态，给出 种可能性。因此，具有LU可蒸馏EPR对的状态总数上界为

(17)

重要的是，如果 [更精确地说，如果 ]，则

(18)

这是双重指数小的量。[这里， 是另一个 常数。] 换句话说，在 量子比特希尔伯特空间中双重指数大量的近似正交态中，只有双重指数极小比例的状态允许 和 之间的LU可蒸馏纠缠。这个直觉也阐明了计数论证何时适用：当 （即一个子系统包含系统的一半）时，计数论证不再抑制此类状态，EPR对的LU蒸馏变得可能。

2. -网
虽然上述论证在直觉上具有吸引力，但将其提升为严格证明需要克服两个技术障碍。首先，论证的范围仅限于精确EPR对[即，等式(13)完美成立]，但我们也希望考虑包含按保真度测量的近似EPR对的状态。其次，尽管哈尔测度定义在连续空间上，但上述直觉论证基于离散的状态集。为了解决这些挑战，我们采用 -网的思想，这使我们能够离散化连续的希尔伯特空间。具体来说，一个 -网是一个有限的参考态集合 ，具有这样的性质：整个空间中的任何状态都保证在距离 内接近 中的某个状态[34]。 -网的元素作为参考点，使我们能够刻画希尔伯特空间。

一个 -网 的状态数（基数）的通用下界可以通过简单的体积论证获得。然而，已知的构造包含比这个下界多得多的状态[34]。在本文中，我们证明了存在基数本质上紧于此下界的 （引理1和推论1）。这一构造至关重要，并使我们能够获得LU蒸馏结果的本质上紧阈值。该构造也可能具有独立的意义。

3. 测度集中
虽然上述计数论证提供了物理上透明的直觉，但不幸的是它不适用于LO蒸馏问题。主要原因是LO允许初始未纠缠的辅助量子比特，这破坏了体积计数论证。此外，LO显著改变了相关的保真度阈值，如下文定理2所述。因此，我们需要使用不同的策略。

关键思想是利用测度集中。许多为哈尔随机态计算的物理量表现出测度集中，这意味着它们的概率分布急剧集中在期望值附近。这一现象最精确地由列维引理刻画，该引理对满足连续性（更精确地说，利普希茨）性质的可观测量建立了指数集中。结果表明EPR保真度满足这一条件。

我们感兴趣的是EPR保真度的分布。对于给定的LO（由等距 和 表征），EPR保真度的期望值取决于等距的选择。因此，我们无法直接确定集中的位置。然而，关键的观察是，我们可以统一地上界所有可能等距上的平均保真度。这使我们能够得出结论：测度集中发生在阈值或阈值以下，因此，LO蒸馏的概率被指数抑制。

为了将论证从固定等距扩展到任意局域操作，我们统一地对等距的 -网应用集中界，然后取并集界。尽管候选局域操作的数量随子系统维度指数增长，但集中估计在总希尔伯特空间维度上是指数强的。因此，并集界不会压过集中效应，任何局域操作实现高于阈值保真度的概率仍然被指数抑制。

II. 局部酉变换：定理1的证明

A. 球冠
回顾一个纯态可以写为

(19)

其中 。因此，一个纯态对应于 中单位球面上的一个点。采样一个哈尔随机态对应于从单位球面上均匀随机选取一个点[35]。在本文中， 中的单位球面称为单位( )-球面，记为 ，而其内部称为单位 -球。它们的面积和体积为

(20)

其中 是伽马函数。

考虑 中的单位( )-球面。令 为坐标，球冠 是球面被高度 处的超平面切下的部分，其中 ，即，

(21)

其中冠的半径为 。参见图2(a)的示意图。我们还考虑推广的球冠，定义为

(22)

对于 。注意， 由 的两个副本组成，分别对应 和 。

图2. 单位球面 上的球冠及其表面积的上下界。图示为 ； 是垂直轴。(a) 中的球冠 。(b) 下界。(c) 上界。

B. -网
对于 ，当对于希尔伯特空间中的每个纯态 ，都存在 使得

(23)

时，状态集 被称为2-范数下的 -网[34]。参见图3的示意图。对于一个 维希尔伯特空间，一对纯态之间的2-范数距离对应于 中的欧几里得距离。文献中通常以1-范数讨论 -网，但2-范数下的 -网足以建立所需的结果。注意，2-范数下的 -网是1-范数下的 -网[34]，但反之不成立。

图3. -网的示意图。希尔伯特空间中的任何点都有 网中某个 -邻域点。

我们首先证明存在一个 -网 ，其基数 至多含有次主导因子。这一构造产生一个基数接近最优的 -网，结果在维度上比文献[34]中的结果指数级更紧。为此，我们使用以下关于单位球面 上 -网的引理。

引理1. 假设 和 。对于任何区域 ，存在一个绝对常数 和一个 的 -网 ，使得

(24)

这里， 是 球（在欧几里得距离下）， ，且 不需要包含在 中。

证明。文献[36]中证明了 可以被 个球覆盖，使得单位球面 上的每个点被覆盖少于 次。我们选取这样一个覆盖。对于任何 ，我们收集与 相交的 个球。记 为这些球的球心集合。那么， 是 的一个 -网，因为这些球的并集覆盖了 。另一方面，根据三角不等式，这些球的并集包含在 中，且 的每个点被计数少于 次；因此，

(25)

这完成了证明。?

观察到 是半径为 的球冠 ，其面积可以下界为

(26)

参见图2(b)的示意图。因此，通过选取 ，我们得到以下推论。

推论1. 对于 维希尔伯特空间中的纯态，存在一个 的 -网 ，满足

(27)

对于 ，其中 。

C. 具有裸EPR对的状态
考虑一个状态集，其中 对EPR对已经近似地准备在较小的子系统 和 上，无需应用局部酉变换。即，我们定义

(28)

对于某个固定的 ， 且 。

引理2. 对于 ，存在 的一个 -网 ，使得

(29)

其中 。

证明。令 且 。展开 为

(30)

其中 和 上的正交归一基，且选取 。状态 属于 当且仅当

(31)

因此， 中状态所占的总表面区域为 中的 。使用引理1，取 并观察到 ，我们得到所需结果。?

区域 的面积对于大的 有简单的渐近表达式，即，

(32)

其中 是“阶跃函数”：对于 ， 的面积将可忽略地小，而对于 ，面积几乎与单位球面的面积一样大。就我们的目的而言，我们只需要在 时的估计，这在以下引理中形式化。

引理3. 令 。对于 ，

(33)

证明。 的面积有精确表达式。使用 上的极坐标，我们有

(34)

其中 是贝塔函数。即，它等于 ，其中随机变量 服从贝塔分布 。对于 ，我们有

(35)

因此，对于大的 ，分布窄峰在均值 处。特别地，文献[37]表明 是 -次高斯的，这意味着

(36)

其中 。?

D. 具有可蒸馏EPR对的状态
让我们定义具有LU可蒸馏EPR对的状态集

(37)

注意， 可以通过对 中的状态应用形如 的酉变换来构造。

引理4. 令 为 的一个 -网 。令 ，其中 。则存在 的一个 -网 ，使得

(38)

对于某个绝对常数 。

证明。对于每个 ，我们可以将其施密特分解为

(39)

其中施密特秩 因为 。因此，我们可以将 表示为 ，即一个复维度为 的归一化复向量。这种表示是从空间 到 的等距映射，其中 表示作用于子系统 的幺正群。反之， 上的任意一点也对应于 上的归一化纯态。因此，我们可以利用 上的一个 -网来构造 纯态空间的一个 -网。根据推论1和 ，该网的基数上界为 。对 重复相同的论证，并利用2-范数的三角不等式，我们找到 空间的一个 -网。对所有处于 -网 中的态 重复此过程，我们得出结论：存在 的一个 -网 ，其基数上界如引理所述。? 结合引理2和引理4，我们得到如下结果。引理5. 对于 ， ，存在一个 -网 ，满足 (40) 其中 为某个绝对常数。 E. 综合整理回顾 (41)因此，我们有 (42)令 为 中的元素。利用并集界，我们有 (43) 引理6. 令 按Haar测度选取，且 为任意固定态。令 。则 (44) 其中 。证明。 的 -球由 给出，其中 。该面积可由半径为 的( )-球上界给出 (45) 参见图2(c)中的说明。证明完成。? 利用引理5、引理6和式(43)，我们有 (46)取以2为底的对数，得到 (47)其中乘法因子 贡献了 。将各项分为三组如下： (48)则我们有 (49)注意，该界对任意 均成立（只要 ）。让我们评估每一项。对于 ，我们有 (50)其中我们使用了 。因此，我们有 (51)对于 ，引理3给出 (52)其中第二个不等式由 得出，并假设 。对于 ，回顾 (53)因此，我们有 (54)综合这些结果，对于 ，我们有 (55)通过选取 和 ，其中 为足够小的常数，我们有[38] (56)这完成了定理1的证明。 III. 局域操作：定理2的证明本节中，我们将可蒸馏纠缠的界扩展到局域操作。为方便起见，我们在Stinespring膨胀图像中工作，其中局域操作描述为先应用等距映射（或附加辅助系统并应用幺正变换），然后求迹掉一个子系统。事实1——每个量子通道 可表示为 (57)其中 为等距映射。此外，由于 的Kraus秩至多为 [39]，我们总可以选取 。将其应用于我们的设定中的 和 ，我们得到两个等距映射 和 ，其中[40] (58)换言之，关键的是，我们不需要附加大量辅助系统，因为每一侧相关的输出系统仅包含 个量子比特。我们首先考虑等距映射 和 固定的情形。引理7. 假设量子通道 （和 ）由给定的等距映射 （和 ）通过式(57)定义， ，则 (59) 此处，概率是在 上态 的Haar测度上取的， ，且 是任意的。证明。我们定义一个函数 为 (60) 此处我们稍微滥用了 的记号：在第三项中，它现在作为 上的算子作用。我们声称 是1-Lipschitz的。事实上， (61) 此处， ， 是 和 之间的（厄米）夹角，定义为 ， 是将 和 视为 上的点时的（测地）距离。第一个不等式是由于 的特征值为 。让我们计算 在Haar随机 上的平均值。通过标准Haar平均值计算，我们有 (62) 虽然它可能依赖于 和 ，但以下关系始终成立： (63) 其中不等式来自事实：对于两个半正定矩阵， 。因此， 意味着 。现在，对 应用Levy引理（见下文），我们得到所需的界： (64) ? 在上述证明中，我们使用了关于高维球面上测度集中的以下事实[41,42]。事实2（Levy引理）——如果函数 在 意义下（测地距离）是 -Lipschitz的，则 (65)接下来，为了允许 和 上的任意等距映射，我们考虑等距映射空间上的 -网。我们将等距映射 的空间记为 。它是一个Stiefel流形 ，且 。我们引用文献[43,44]中的以下结果。事实3——存在绝对数 使得 在算子范数 下具有一个 -网 ，满足 (66)现在我们证明定理2。定理2的证明。根据事实3选取等距映射的 -网，分别记为 和 。我们稍后再选取 。对于任意 、 和 ，我们总可以选取 和 使得 和 ，从而 。由式(61)可得 (67) 我们记 。根据定义，对于任意 ， (68)因此，由并集界可得 (69)应用事实3和引理7，我们得到 (70)只要 。现在我们选取 ，其中比例常数可以取任意小。对式(70)取对数，得到 (71)? IV. 随机编码中的逻辑算子 A. 二部子系统中的无逻辑算子给定两个参数 ，如果存在幺正 使得 (72)则称等距编码 容许一个逻辑幺正算子 。第一个不等式通过其Choi态之间的保真度对两个等距映射 和 进行比较，从而对逻辑幺正算子 施加了保真度 ： (73)其中 为 的Choi态。注意 (74)因此，较大的 也是 和 在算子范数下接近的必要条件。第二个不等式确保了逻辑算子的非平凡性。即，需要 来确保 对输入态非平凡地作用。否则， 意味着 是一个相位 ，且 对于 始终是平凡逻辑算子。另一方面，如果 是Pauli算子的幺正共轭，则 。定理4. 假设 ，存在绝对常数 使得，对于Haar随机等距映射 ， (75) 此处， 。为证明此定理，我们需要关于 上测量集中的以下结果（文献[41]，第II.1节），其中 为等距映射 的空间。事实4——如果 是 -Lipschitz的： ，其中范数定义为 ，则存在绝对常数 ， ，与 和 无关，使得 (76) 定理4的证明。固定幺正 和 ，定义函数 如下： (77) 此处， ，且 。下文中，我们有时省略下标。通过标准Haar平均值计算，我们有 (78) 现在我们建立 的Lipschitz性质。记 （ ，2）。我们有 (79)因此， (80)在最后一步中，我们使用了初等不等式 。因此，类似于式(61)，我们有 (81)因此， 关于Frobenius范数是 -Lipschitz的。对 的实部应用事实4，我们得到 (82)其中 。现在我们利用事实3选取 的 -网[以及 的 -网]，使得基数小于 [以及 ]。注意，如果 且 ，则 (83)对 取期望，也得出 (84)我们现在假设给定的等距映射 容许一个完全支持在区域 上的逻辑算子：存在 和 使得 和 如式(72)所示。不失一般性地，我们总可以假设 （否则，我们可以将 或 乘以一个相位），这意味着 (85)该不等式与式(83)和(84)一起，意味着存在分别位于两个 -网中的 和 使得 (86)将其代入式(82)，并对 -网应用并集界，我们得到 (87)然后，通过选取 并取足够小的比例常数，定理4得证，类似于式(71)的证明。 ? B. 杂项评论我们已经证明，当 为Haar随机态（或当 为随机等距映射）时，在假设 下，编码的逻辑量子比特不能从子系统 或 中恢复。相反，当 为随机稳定子态（或当 为随机Clifford等距映射）时，部分编码的逻辑量子比特可以从子系统 和 中恢复。即，令 为支持在子系统 上的独立非平凡逻辑算子的数量；以下关系是众所周知的[16]： (88)其中在我们的设定中 ，且当 对于 ， ， 时近似成立。这表明 个逻辑算子可以支持在 上。事实上，当 随机采样时， 上的给定逻辑算子 很可能能在 上找到某个与 反对易的逻辑算子 。因此，人们可以在 上选取 对互反对易的基底逻辑算子，这表明 个逻辑量子比特可以从 中恢复。在上述讨论中，考虑幺正逻辑算子 至关重要。事实上，一些非幺正逻辑算子可以在 或 上构造。例如，让我们将 进一步分为两个子系统 ，其中 仅包含一个量子比特，而 包含 个量子比特。考虑以下算子： (89)其中 为作用在 上的投影算子。观察到 作用于Haar随机态 在适当归一化后实际上生成了另一个Haar随机态 。那么，为 寻找逻辑算子 等价于为 寻找逻辑算子 ，将问题简化为在投影态 中的EPR蒸馏。然后，如果 包含超过一半的 ，即 ，则 可以支持在 上，即使没有逻辑幺正算子可以支持在 上。我们注意到，事实上，定理4对于具有有界算子范数的非幺正算子也成立。无法排除非幺正逻辑算子的原因在于保真度阈值 ：对于式(89)中的 ，我们有 ，当 时，这使得定理4中的界变为空洞的。将式(89)称为非幺正逻辑算子隐含地假设了对 结果的波后选择，这有效地将保真度阈值按测量的成功概率重新缩放。值得注意的是， 上非幺正逻辑算子 的重建可以解释为（单次）LOCC纠缠蒸馏，其中(i)在 上执行投影测量 ，(ii)将测量结果 发送给 ，(iii)在 上应用适当的LU以在 和 之间制备EPR对。详见文献[32]。 V. 推广本文开发的方法是通用的，具有更广泛的适用性。本节中，我们建立三个定理，突出Haar随机三体态的纠缠结构。由于证明与第三和第四节中的类似，我们省略本节中的一些技术细节。 A. 没有什么是LU可蒸馏的我们已经证明，二体EPR类纠缠在Haar随机三体态中基本上不存在。这自然引出了更广泛的问题：任何其他三体纯态能否通过LU蒸馏？例如，人们能否蒸馏GHZ类或W类纠缠？我们现在证明一个更强的不可行性陈述：本质上，任何局部维度较小的非平凡三体纯态都不能从Haar随机三体态中LU蒸馏。令三部分别为 ， ， ，并将每个子系统分解为 (90)我们询问是否存在局域幺正 和纯态 使得 (91)不失一般性地，我们可以假设 （此处， ）。如果 ，我们可以考虑输出 上纯态 的等价问题。定理5（无LU可蒸馏性）。令 为 的Haar随机态。则存在可LU蒸馏的三体纯态 的概率在大 极限下为 。证明概要。考虑 关于 和 二分之一的纠缠熵，记为 。如果 上存在LU可蒸馏的三体纯态 [即，式(91)成立]，则 。此处，该熵跨越 切割。下面，我们将此条件放宽为 并上界其概率。Page定理表明， 对任意 成立。此外，我们有以下关于纠缠熵Lipschitz连续性的引理。引理8. 作为 的函数是 -Lipschitz的。证明。给定 和 ，我们考虑由它们张成的二维子空间，并定义 为单位时间内将 旋转到 的旋转。我们有 ，其中 。文献[45]表明 (92) 其中 。因此， 。莱维引理于是意味着，当 被良好地控制在远低于 的范围内时（例如， 对于某个 ）， 是双重指数小的： (93) 通过用一个大小为 的 -网覆盖LU空间并应用联合界，我们可以确立，以压倒性的概率，不存在更小的三体纯态 可以通过LU蒸馏得到。? 这一结果表明，随着 、 和 的增加（同时保持在 以下），一个哈达玛随机态代表了一种真正新颖的三体纠缠形式，它无法通过局域酉变换约化为任何更小的三体纯态。在这个意义上，三体哈达玛随机态在LU蒸馏下是最大不可约的[46]。

B. 波函数的手征性
我们方法的另一个有趣应用涉及波函数的内在手征性。传统上，手征性通过对外部扰动的动态响应来表征，例如鲁棒的边缘电流或量子化的输运系数。最近，在直接从一个多体波函数表征手征性方面取得了重要进展[47]。在本小节中，我们聚焦于基于多体局域酉变换的表征[48]。更具体地说，一个 -体纯态 被称为 -体非手征的，如果存在形式如下的局域酉变换 (94)其中 表示 在计算基下的复共轭。每个分量 可以是任意的。如果不存在这样的局域酉变换，则该态被称为 -体手征态。

我们现在问，哈达玛随机态在这种意义下是否是手征的。首先考虑二体情形是有启发性的。一个哈达玛随机态 不是二体手征的。事实上，根据佩奇定理[式(2)]，它可以通过二体局域酉变换转化为近似EPR对的张量积和一个乘积态。由于每个EPR对可以选择为实的，所得态可以通过进一步的局域酉变换映射到其复共轭。因此，二体哈达玛随机态通常是非手征的。

情况在三体情形中发生了巨大变化。

定理6（三体手征性）。设 为一个哈达玛随机态，且 。则 以概率 在大 极限下是三体手征的。

证明概要。假设存在一个三体局域酉变换 使得 或等价地， (95) 定义 (96) 可以验证 在单位球面 上是 -利普希茨的。接下来我们评估 的哈达玛平均。哈达玛测度在整体相位旋转 下不变。在此变换下，我们有 (97) 因此， (98) 对所有 成立，这蕴含 (99) 应用莱维引理，我们发现，对于任何固定的 ， 在 中是双重指数小的。因此，使用 -网和联合界论证，我们可以确立，以压倒性的概率，不存在三体局域酉变换将 映射到 。?

C. 全局对称性的缺失
我们方法的最后一个应用涉及全局对称性的缺失。传统上，全局对称性被表征为作用在局域自由度上的群的张量积表示。一个典型的例子是由 生成的量子比特上的全局 对称性，它实现每个位点上的同时自旋翻转，并对应于总 电荷的守恒。

更一般地，人们可以将纯态的全局对称性表征为在张量积酉变换下的不变性。即，给定一个 -体态 ，如果存在一个张量积酉变换 (100)其中至少一个 在式(72)的意义上是非平凡的（不正比于恒等算符），则称该态具有一个（可能是近似的）全局对称性。这是一个宽泛的表征，因为我们不要求这些算符构成有限群，也不要求精确相等。尽管如此，这种表述包含了有限群下（精确或近似）全局对称性的传统概念作为特例。

一个自然的问题是，哈达玛随机态是否允许任何这样的（近似的）张量积对称性。二体情形再次提供了有用的直觉。一个哈达玛随机态 可以通过局域酉变换转化为近似EPR对的张量积和一个乘积态。由于每个EPR对在非平凡算符如 和 下不变，将这些对称性通过逆局域酉变换共轭回去，会产生非平凡的张量积算符 使 保持不变。因此，二体哈达玛随机态通常具有二体张量积对称性。

相反，这种结构在三体情形中消失了。

定理7（全局对称性的缺失）。设 为一个哈达玛随机态，且 。则以概率 在大 极限下，不存在张量积酉变换 (101)其中至少有一个 是非平凡的。这里以及定理8中，非平凡性按式(72)的第二个不等式定义。

证明概要。假设这样的张量积酉变换存在。则 。定义 (102)其中 在单位球面上是 -利普希茨的。我们首先计算其哈达玛平均： (103)其中 。如果 、 和 中至少有一个是非平凡的，则 且因此 (104) 应用莱维引理，我们发现，对于固定的 ， 是双重指数小的。通过用一个 -网覆盖张量积酉变换的空间并应用联合界，我们可以确立，以压倒性的概率， 不具有非平凡的三体全局对称性。?

一个类似的陈述适用于哈达玛随机等距，这扩展了定理4。

定理8（张量积逻辑算符的缺失）。设 为一个哈达玛随机等距，且 和 。则以压倒性的概率， 不承认形如 的非平凡逻辑算符。

证明过程与定理4相同，通过考虑 (105)在哈达玛测度上的集中并应用 -网论证。

VI. 全息
在本节中，我们说明我们的结果在AdS/CFT对应中的两个特定应用。第一个问题涉及全息混合态中二体纠缠的存在或缺失。第二个问题涉及纠缠楔重构的逆命题是否成立。这两个问题都一直未解决，并导致了重要的概念困惑。虽然我们将本节的内容保持在最低限度，但我们鼓励读者参考文献[32]以了解这些问题的详细讨论以及在AdS/CFT对应中的背景。

A. 纠缠蒸馏
在AdS/CFT对应中，边界子系统 的纠缠熵 由Ryu-Takayanagi (RT)公式给出 (106)在静态几何中 的领头阶，其中 是渐近AdS时空中与 同宿的体表面， 是牛顿常数。（回想 是一个非常小的常数。）这个公式预测，两个边界子系统 和 即使它们在边界上空间分离且有一个分离子系统 ，也可以具有大的互信息： (107)当极小表面 延伸到体内部并将 和 与一个连通的纠缠楔连接起来时。[49] 一个典型的例子如图4所示，对应于 。

图4. 连通纠缠楔。这里， 的极小面积表面由实线所示的测地线给出，导致大的互信息 。两个子系统 和 是否包含类似EPR的纠缠？

中的纠缠结构仍然是神秘的。一方面，互信息对经典相关性敏感，例如GHZ态中的相关性。来自量子引力思想实验和玩具模型[17,50,51]的证据表明，在 的领头阶，全息中的 相关性并非经典性质。此外，之前的工作[24]表明，全息中的 在 的领头阶必须包含一些三体纠缠。

在文献[32]中，我们提出，当两个独立的极小表面 和 在体内部不重叠时，全息混合态 不包含二体纠缠。也就是说，连通的纠缠楔并不一定意味着类似EPR的二体纠缠。本文为我们的提议提供了支持证据。回想一下，哈达玛随机态作为全息的最小玩具模型。我们有 在 的领头阶，这可以解释为类似于RT公式的面积（等于跨越切割的量子比特总数）最小化，通过使用张量图： (108)当 时，我们有 (109)其中极小表面 不包含中心的张量。这模拟了如图4所示的连通纠缠楔的情况。即，通过将 分成两个子系统， 的极小表面可以示意性地描绘如下： (110)我们的结果表明，即使 和 具有“连通的纠缠楔”，它们之间也不包含类似EPR的纠缠。

虽然我们的工作为全息混合态的纠缠性质提供了见解，但我们急于强调，真实全息中的 是否具有类似EPR的纠缠仍然是开放的。重要的是要记住，哈达玛随机态（及其网络）再现了固定面积态的纠缠性质，其中面积算符的量子涨落由于平坦谱而受到强烈抑制。真实全息态具有次领头涨落，这可能导致二体纠缠。此外，体物质场中的二体纠缠可以贡献于边界中的次领头二体纠缠。

我们关于三体哈达玛随机态的结果是针对具有张量积结构 的有限维希尔伯特空间表述的。然而，许多物理相关系统，特别是那些出现在量子场论（QFT）中的系统，是无限维的。此外，在相对论性QFT中，由于Reeh-Schlieder性质和局部冯·诺依曼代数的III型性质，希尔伯特空间对于空间相邻区域并不字面地因式化为张量积。这自然引出了一个问题：我们的结果应如何在连续统或“非量子比特”系统的背景下解释。

在连续统理论中，二体纠缠可以是无界的甚至发散的。例如，相对论性QFT中有限空间区域 的纠缠熵发散，两个互补区域 和 可能共享无限量的纠缠。这种发散通常使用紫外截断（例如晶格间距或能量截断）来调节。产生的纠缠由纠缠面附近的短距离模主导，因此被称为紫外纠缠。这种贡献确实包含相邻子区域之间大量的二体、类似EPR的纠缠。

乍一看，这种QFT纠缠的传统图景似乎与我们的结果相矛盾，后者断言类似EPR对的缺失。一种自然的解释是，哈达玛随机态的结果涉及纠缠的红外、长距离结构，在粗粒化紫外相关性之后。在这个意义上，哈达玛随机态可以被视为在去除所有紫外、短程二体相关性后剩余的纠缠结构的玩具模型。

这在图4所示的全息纠缠结构中可以清楚地看到。在该几何中，相邻区域 和 ，或 和 ，共享大量紫外二体纠缠。相反，空间分离的区域 和 不表现出紫外发散纠缠，尽管它们的总纠缠仍然参数地大，量级为 。紫外贡献的缺失反映在互信息 独立于截断尺度这一事实中。等价地，与 和 相关的极小表面在体内部空间分离，确保边界附近的短距离模不贡献于 相关性。因此，产生的纠缠本质上是纯红外的。这种红外贡献在几何上被编码在由 、 和 的极小表面界定的中心体区域中。

B. 纠缠楔重构（及其逆命题）
在AdS/CFT对应中，体量子引力的物理被全息地编码为边界量子系统，如量子纠错码。这一解释背后的概念支柱是纠缠楔重构[52]，它断言，如果体算符 位于边界子系统 的纠缠楔 内，那么它可以表示为某个完全支持在 上的边界算符 ： (111)虽然体重构的微观机制仍然有些神秘，但随机张量网络玩具模型可以提供关于体算符如何在边界子系统上重构的关键见解。让我们通过使用哈达玛随机态 作为最小玩具模型来说明这个想法。让我们首先假设体只包含一个量子比特，它被编码为 个边界量子比特，通过将一个 -量子比特哈达玛随机态 视为编码等距 ，如下示意所示： (112)其中体量子比特由 表示，边界量子比特被划分为 。

在这个玩具模型中，体幺正算符 是否可以在子系统 上重构的问题等价于在 量子纠错码中，逻辑幺正算符 是否可以支持在 上。众所周知，当\( \)时，\( \)支持一个非平凡的逻辑算子\( \)，而当\( \)时不支持（见文献[53]）。这一关于哈代数编码的标准结果可以理解为纠缠楔重构。回想在AdS/CFT对偶的静态情形中，纠缠楔是通过最小化广义熵来计算的：
\[
\tag{113}
\]
其中，\( \)是\( \)所包围子区域上的体熵。当\( \)占据总系统的一半以上时，我们有：
\[
\tag{114}
\]
其中体量子比特\( \)位于\( \)内部，表明其在\( \)上可恢复。这里，\( \)来自\( \)。另一方面，当\( \)占据总系统不到一半时，最小曲面由下式给出：
\[
\tag{115}
\]
此时体量子比特位于\( \)外部。相反，在这种情况下，体量子比特位于\( \)内部，表明其在\( \)上可恢复。因此，关于\( \)的体信息可以从\( \)或\( \)中恢复（除非\( \)和\( \)的大小恰好匹配）。

在\( \)对应中也可以考虑类似的设置，如图5(a)所示。这里观察到，当体自由度（d.o.f.）\( \)携带次导熵（\( \)或更一般地，\( \)当\( \)时），用于定义纠缠楔\( \)的最小曲面\( \)与最小面积（Ryu-Takayanagi）曲面\( \)一致：
\[
\tag{116}
\]
因此，如果体自由度\( \)被\( \)包围，作用于\( \)的算子可以在\( \)上重构。另一方面，如果\( \)位于\( \)外部，则由于\( \)（除非微调\( \)和\( \)的大小使得存在多个最小面积曲面），它将由\( \)包围。因此，作用于\( \)的算子可以在\( \)上重构。回顾不可克隆定理，这也意味着如果\( \)位于\( \)外部，则作用于\( \)的算子不能在\( \)上重构。（否则，编码在\( \)上的量子信息可以在\( \)和\( \)上同时重构，从而产生两个\( \)的副本。）因此，除非体自由度\( \)恰好位于最小曲面\( \)上，否则它总能且仅能在一个子系统（\( \)或\( \)）上重构。

图5. 纠缠楔重构。(a) 当\( \)携带次导熵时，最小曲面\( \)和\( \)重合。因此，\( \)可以且仅能在子系统\( \)或\( \)上重构。(b) 这里，\( \)且\( \)。当\( \)携带主导熵时，最小曲面\( \)和\( \)不一定重合，且\( \)可能不包含在\( \)或\( \)内。\( \)或\( \)能否重构\( \)？

在上述关于哈代数随机态和全息对偶的论证中，我们观察到，当体\( \)携带次导熵时，纠缠楔重构在\( \)（或\( \)）的首阶是一个“当且仅当”陈述：
\[
\tag{117}
\]
自然产生的问题是，当\( \)携带主导熵时，这种情况是否仍然成立。确实，值得强调原始纠缠楔重构方程(111)是一个“如果”陈述，意味着如果体算子包含在\( \)内，则它可以在\( \)上重构。一些先前的工作表明，如果互补恢复是可能的，则逆陈述也成立（见文献[55]）。然而，当体区域\( \)携带主导熵时，互补恢复通常会失败。在这种情况下，支持逆陈述的物理或分析证据迄今仍然缺乏。换言之，逆陈述是否成立仍不清楚：
\[
\tag{118}
\]
当体\( \)为次导时，我们能够将其提升为“当且仅当”陈述，因为\( \)在首阶成立。然而，当\( \)不是次导时，这可能失败。

文献[56]考虑了一个特定的全息设置，突出了这一微妙之处（图5(b)）。这里，边界被分成四个大致相等大小的片段，并组织成\( \)和\( \)。在没有体自由度的情况下，\( \)和\( \)的最小曲面是相同的，并由图5(b)中红线和蓝线中较小的那条测地线给出。然而，当\( \)时，最小曲面的位置可能在首阶发生变化，因为\( \)需要包含在广义熵的评估中。特别地，我们可以观察到，当红蓝测地线的长度差乘以\( \)小于\( \)时，\( \)在首阶成立（图5(b)）。在这种情况下，体\( \)位于\( \)或\( \)之外[57]。

关键问题是体\( \)是否可以从\( \)或\( \)恢复。纠缠楔重构的逆陈述会说“不”，因为\( \)位于\( \)或\( \)之外。然而，我们可以观察到在Choi态中\( \)，这表明输入\( \)和输出子系统\( \)和\( \)之间存在首阶关联。我们关于逻辑算子的结果支持纠缠楔重构的逆陈述，因为哈代数随机编码中的\( \)模仿了图5(b)考虑的情况：
\[
\tag{119}
\]
其中\( \)和\( \)不包含\( \)。然后，第四节中的定理4表明，非平凡的逻辑幺正算子\( \)不能在\( \)或\( \)上重构。

总之，我们的结果表明，即使体自由度携带主导熵，纠缠楔重构的逆陈述仍然成立。一个有趣的推论是，可能存在一个体区域，其信息无法在\( \)或\( \)上重构。在文献[32]中，这样的体区域被称为纠缠楔阴影。这与随机稳定子态形成强烈对比，在后者的首阶，体信息\( \)可以从\( \)或\( \)恢复。注意，在以上论证中限制幺正逻辑算子是必要的，如第四节所讨论。

VII. 展望

在本文中，我们证明了在满足\( \)的非平凡三分割下，大\( \)极限下哈代数随机态不包含二部纠缠。在量子纠错图景（\( \)）中，这意味着如果\( \)且\( \)，则子系统\( \)和\( \)都不能支持任何逻辑算子。我们还讨论了我们的结果在AdS/CFT对应中的两个特定应用：一个是关于全息混合态中二部纠缠的存在与否，另一个是关于纠缠楔重构的逆陈述以及可能存在的、无法从二部子系统重构的大规模体区域。

一个自然的下一步是考虑更具结构化的全息玩具模型，例如哈代数随机张量网络。虽然哈代数随机态作为最小玩具模型，但张量网络包含几何局域性，因此更接近AdS/CFT的精神。一个重要的问题是，一旦引入这种几何结构，二部可蒸馏纠缠的缺失是否仍然存在。技术上，这需要理解支撑我们结果的集中测度论证在随机张量网络系综中是否仍然有效。

全息中互补恢复的可能失效也可能有重要影响。我们的结果预测了半经典区域的存在，该区域不包含在任何二部边界子系统的纠缠楔中。例如，在相关工作中，我们提出哈代数随机等距映射的互补恢复失效为半经典闭婴宇宙的出现提供了可能机制[58]。我们期望这一视角在理解黑洞内部和黑洞奇点的作用方面可能证明有用，其中哈代数随机（或伪随机）思想已经发挥了重要作用。

另一个重要方向是确定我们的结论实际需要多少随机性。哈代数随机性是一个极端假设，物理上相关的态可能仅近似满足它。研究类似的抑制结果是否适用于来自较少随机性系综的态，例如近似幺正\( \)设计或\( \)掺杂的克利福德电路，将是有趣的。技术上，这相当于询问我们的证明所依据的集中现象是否在较弱的伪随机性假设下仍然存在，以及识别消除二部可蒸馏纠缠所需的最小扰乱程度。

此外，我们的分析对蒸馏协议中使用的局域操作的计算复杂度没有任何限制。然而，实践中可实现的操作受到电路深度和门数量的约束。因此，研究在有界复杂度限制下的纠缠蒸馏，并理解计算约束如何改变抑制行为，将是有趣的。