混合态相与局部可逆性

《Physical Review X》：Mixed-State Phases from Local Reversibility

　　我们提出了一种基于局部可逆通道电路的混合态相位等价的精确定义。我们证明，这类电路保持拓扑简并性以及所有算符的局域性，包括强对称性和弱对称性。在局部可逆通道下，弱幺正对称性被局域地修饰为通道对称性，这是开放量子系统对称性的一种推广。对于阿贝尔高阶对称性，我们证明该精确定义在一个相内保持反常以及此类对称性的自发破缺。作为一个主要例子，二维经典环圈系综在先前采用的混合态相定义下是平凡的。然而，它由强、弱1-形式对称性之间的相互反常而产生非平凡的拓扑简并性，并且我们的结果表明它不能通过局部可逆通道电路连接到平凡态。

I. 引言

量子信息洞见已促成对量子多体现象理解的重大进展。其中，基于电路的物质量子相定义已成为对能隙量子相进行分类和刻画的关键基石[1,2]。该定义指出，如果两个能隙基态通过一个局域幺正电路相关联，则它们属于同一相，这使得人们能够对量子相的普适性质作出严格表述，特别是那些展现拓扑序的相。

最近，将物相的概念从纯基态扩展到混合态的研究取得了进展。其动机在于，物理系统与环境耦合的方式日益可控，从而能够实现大量非平凡的混合态[3-11]。文献[12,13]提出了类似的混合态相电路定义——即，如果两个混合态能通过一对局域通道电路相互关联（定义1，下称为双向通道定义），则它们属于同一相。利用这一定义，已在混合态拓扑相方面取得了许多富有成效的结果[14-30]。

局域幺正演化 的一个基本性质是，局域算符 在演化后保持局域性，其中 的支集比 略大。保持局域性对于维持相的定义性质（包括拓扑序）至关重要[2,31]。局域幺正电路 的保局域性质源于 光锥之外的各个正向和反向门在局域成对相消；在这个意义上， 是局部可逆的。我们在局域幺正演化中理所当然地接受这一额外性质。然而，对于局域通道而言，这一额外要求要严格更强：根据定义，双向通道是全局可逆的，但相对于给定输入态未必局部可逆。因此，我们发现非局部可逆的双向通道可能无法保持所有操作的局域性；特别地，我们证明混合态的某些弱对称性在双向通道下可能不再保持局域性，从而导致不令人满意的相分类。

因此，在本工作中，我们提出一个基于局部可逆性的混合态拓扑相定义，它显然比双向通道定义更精细。为保证局部可逆性，我们定义两个混合态属于同一相，如果其中一个能通过一个局域通道电路演化到另一个，且该电路在整个演化过程中保持有限马尔可夫长度（见定义2）。非形式地，混合态的马尔可夫长度刻画了一个区域与系统其余部分关联的局域程度。其精确定义通过图1(b)所示的三分块中的条件互信息给出。关键在于，演化态的马尔可夫长度保持有限的局域通道电路的作用被保证是局部可逆的。

图1. (a) 作用于 的通道电路是局部可逆的，如果它的每个门（例如用红色高亮的门）是可逆的，即该门对当时态的作用可以被某个其他门（包含 的门）局域地逆转。因此，局部可逆性是电路和输入态 两者的性质。局部可逆电路是局域幺正电路（对任意输入态都局部可逆）到开放多体系统的自然推广。(b) 马尔可夫长度定义为图中所示空间划分下条件互信息 随 宽度衰减的长度尺度。局部可逆性的一个充分条件是演化态的马尔可夫长度 [等式(9)]在整个电路中保持有限。

利用这一精炼的相等价定义，我们得到以下可能具有独立意义的结果。

(1) 我们在第三节中通过局域不可区分性定义混合态的拓扑简并性，这推广了拓扑序基态中的拓扑简并性。我们证明，在利用局部可逆通道电路定义的每个混合态相中，拓扑简并性是不变量。

(2) 我们在第四节中证明1-形式对称性的自发破缺，或者等价地，与对称性相关的特胡夫特反常，也是相不变量。更具体地说，如果 具有自发破缺的1-形式对称性，那么与 处于同一相的任何其他态 也拥有一个被修饰的1-形式对称性且该对称性自发破缺。值得注意的是，被修饰的对称性通常采取量子通道的形式，我们称之为通道对称性，其显式形式由连接 和 的局部可逆通道电路决定。

(3) 我们在第四节A中展示如何通过莱文-温配分函数[32]中的非零拓扑熵以及环形子区域上的非平凡拓扑简并性来探测破缺的弱1-形式对称性。我们使用二维经典环圈系综[33,34]作为主要例子来激发和展示精炼定义的后果。尽管缺乏量子相干性，经典环圈态展现出拓扑性质，特别是作为非平凡的经典存储器。事实上，我们证明，虽然环圈态在双向定义下被分类为平凡的，但在我们的新定义下，通过上述三个结果，它是非平凡的。尽管我们使用这一具体态来具体说明，但我们的技术和主要发现具有普遍适用性。

II. 混合态相位等价的两种定义

A. 双向通道定义与经典环圈态

在引入我们的精炼相位等价定义之前，我们首先回顾现有工作中常用的定义，我们称之为双向通道定义。

定义1（相位等价的双向通道定义[13]）。如果存在一对局域通道电路 和 使得

(1)

则两个态 和 属于同一相。这里，通道电路是由每个支撑在小区域上的量子通道组成的电路，“局域”意味着电路中每个单独通道的范围和电路深度都至多为 [35]。我们注意到，有时 和 被连续时间局域林布达演化所替代（例如在文献[13]中）。在本工作中，我们互换使用这两个概念。

当我们等同涉及多体态的两个表达式时，其精确含义是它们的差在热力学极限下消失，即

(2)

其中 是一个长度尺度，通常取为总系统或某个子区域的线性尺寸。 表示一个衰减快于任何 的函数。当 和 是数时， 表示绝对值。当 和 是密度矩阵时， 表示算符迹范数。在后一种情况下， 的超多项式衰减保证了 和 的所有局域可观测量和信息论量（例如冯·诺依曼熵）也充分接近。

如引言所述，双向通道定义已被成功应用于将各种量子序扩展到开放系统，包括拓扑序。另一方面，由于混合态也包含经典统计力学系综，一个完整的定义最好也能捕捉经典统计力学相的已知分类。然而，基于定义1的分类在某些情况下并不一致，如下所示。

考虑一个二维方格点阵 ，每条边 上有一个量子比特。泡利 基底下的乘积态 （例如 ）被称为环圈构型，如果在每个顶点 上满足 。 上的经典环圈态 定义为所有可能环圈构型的均匀分布：

(3)

如果 具有非零亏格（即 有“孔”），那么我们进一步要求求和只包含每个孔周围具有偶数个非收缩环的 。对每个孔，存在另一个态 ，它是所有具有奇数个非收缩环构型上的系综。

当定义在圆盘上时，态 可以理解为以下哈密顿量的零温吉布斯态：

(4)

这类似于规范理论，只不过我们将规范场的动能与顶点相关联而不是与plaquette相关联（在方格点阵上，这等价于通常将动能与plaquette相关联的表述），而且，我们没有施加高斯定律。

吉布斯态 具有一个强1-形式对称性 和一个弱1-形式对称性 ，其中 ， ，且 和 分别代表点阵和对偶点阵上的任意闭合边环。关键的是，弱对称性被 自发破缺，因为其荷的算符，例如 ，其中 是对偶点阵上的非收缩闭合环，具有长程关联；我们在第四节中更详细地阐述这一点。因此，我们期望 与无限温度的最大混合系综 处于不同的相。

另一个指向相同结论的线索来自拓扑熵，即冯·诺依曼熵中的次领头项[36]。比较 与 的拓扑熵 ，我们发现前者有 ，而后者有 [33,38,39]。

同样，从纠错的角度来看， 也是非平凡的。两个态 充当经典拓扑存储器：它们在一个非收缩 环算符的值（ ）中编码一个经典比特信息，并且它们是局域不可区分的，这一点稍后将精确阐述。

然而， 非平凡的预期并未被混合态相位等价的双向定义（即定义1）所满足。如下所示，存在一对深度为 的通道电路将乘积态 关联到 并反之亦然。关于沿两条电路路径的相变，也参见附录B进行详尽讨论。

要从 得到 ，可以用一层比特翻转通道演化后者：

(5)

该动力学独立地随机翻转每个量子比特，可以理解为模型的无限温度格劳伯动力学。很容易验证 。

另一个方向（ 到 ）分两步实现。首先，我们通过施加一层阻尼通道将 转变为乘积态 ，该阻尼通道将任意态变为 ：

(6)

接下来，我们施加plaquette翻转通道

(7)

它随机独立地翻转每个plaquette 周围的边量子比特。该动力学将乘积态 转变为 。我们注意到，尽管表示为量子通道，但两种演化都是完全经典的。

局域通道 不保持环圈态的拓扑存储器（将在第三节B中正式定义），因为它将 和 都映射到相同的态。因此，我们看到全局可逆性（双向局域通道）不足以保持相的关键性质。根本原因在于 和 在作用于其输入态时不是局部可逆的，并且不保持 的某些对称性的局域性（见附录B 3）。

B. 马尔可夫长度与精炼定义

为解决定义1的这一缺陷，我们引入一个新的混合态相定义，它比先前的定义“更精细”，并以局部可逆性为动机。正如我们在本工作的其余部分所见，这一新定义将 刻画为处于非平凡相，并揭示了双向定义1未能捕捉的混合态相的若干普适性质。

在引入定义之前，我们提供一些动机。在纯态量子相的研究中，局域哈密顿量的能隙基态自然地指定了一组“物理的”多体波函数。能隙的存在意味着所有有能隙的基态都共享某些普适性质（例如纠缠的面积律标度和关联的指数衰减），这些性质在分析和分类纯态相时起着关键作用。另一方面，物理混合态有多种类型（吉布斯态、林布兰稳态等），它们没有明显的有能隙基态的类比，并且也不清楚一种类型是否包含其他类型。因此，更直接的做法是识别“物理”混合态应当普遍满足的性质。

马尔可夫长度就是这样一个性质，其定义如下。对于一个态 及其支撑集的三划分 ，量子条件互信息（CMI）定义为：
(8)
其中每个 是区域 的冯·诺依曼熵。此后我们关注定义在可能具有非平凡拓扑的二维晶格上的 ，并且 具有如图1(b)所示的几何结构，其中 是一个局部单连通区域， 是环绕 的环状缓冲区域， 是系统的其余部分。我们定义 的马尔可夫长度 为满足下式的最小长度 ：
(9)
对所有有效的 选取均成立。为了获得直观理解，我们将CMI重写为：
(10)
其中 是量子互信息，衡量两方之间的关联程度。在这个意义上，马尔可夫长度刻画了 与系统其余部分 之间的关联有多局部化，因为CMI对 呈指数小意味着大部分关联被宽度为 的缓冲区域 所捕获。

许多重要的纯态和混合态类别都满足有限马尔可夫长度性质。对于纯态 ，有关系：
(11)
对于没有自发对称性破缺的有能隙基态， 通常随 指数衰减，从而导致有限的马尔可夫长度。此外，对易哈密顿量的吉布斯态（在任何温度下）的马尔可夫长度恰好为零，因为当 超过哈密顿量的相互作用范围后， 恰好为零[40]。我们注意到环形态 属于后一类[由于方程(4)]，其马尔可夫长度恰好为零。相反的行为中，具有强到弱自发对称性破缺[41-43]的态是马尔可夫长度发散的混合态的显著例子[41]，尽管它们可以具有从互信息定义的有限关联长度。

基于马尔可夫长度，我们提出以下混合态相位等价的修改定义（在整个通道线路中保持均匀有限的马尔可夫长度，如定义2所规定的，对于局部可逆性是充分但非必要的。我们采用这一明确的熵判据来研究这里考虑的拓扑有序混合态相。对于具有幂律衰减或长程CMI的相，则应直接施加局部可逆性）。定义2（相位等价的马尔可夫长度定义）。两个态 和 处于同一相位，如果存在一个局部通道线路 （每个 是一层不重叠的局部通道门）使得：
(12)
并且，进一步地，对于任意时间 和任意 为 中门的子集所组成的层， 具有有限的马尔可夫长度；即 某个 与 无关。文献[29]表明，两个态在定义2下等价意味着它们在定义1下等价。更精确地说，给定上述定义中的条件，可以构造一个拟局部通道线路来逆转 的作用，并进一步满足局部可逆性。这是因为局部操作 对有限马尔可夫长度态的影响可以通过另一个操作 近似局部逆转[44]，如图2(a)所示。因此，如果我们将通道线路 （“正向线路”）写为：
(13)
那么我们可以构造如下“逆转线路”：
(14)
只要演化态在演化过程中始终保持有限的马尔可夫长度，该线路就能（近似地）以逐门的方式撤销 对 的影响。

图2. (a) 单门局部可逆性的图示。如果存在另一个定域在 周围的通道 （绿色方框）使得 ，我们就称通道门 （红色方框）相对于输入态 是局部可逆的。每条腿代表bra和ket希尔伯特空间。如果 具有有限的马尔可夫长度 ，那么任何局部通道门 相对于它都是局部可逆的。我们注意到， 通常具有比 更大的支撑（更多细节见文献[29]）。为了说明目的，这里我们将其绘制为具有相同的支撑。在所有图中，每个门所示的支撑应理解为 ，对于线路同一层中的不同门，这些支撑应当互不重叠。(b) 左侧描绘了一个两层线路 及其局部逆转线路 。如果 在 的演化下马尔可夫长度始终有限，则后者存在。 中的每个门 （在 中）及其对应的 满足(a)中图示的局部可逆性条件，这是在相应层的态上成立的。得益于这种逐门逆转性质，对于任何空间二分 ，可以相应地划分线路（右侧），使得方程(16)成立。(c) 由于局部可逆性，通道 对 的作用（左侧）可以由另一个支撑略有扩大的通道 来模拟。

由于逐门或局部可逆性，正向和逆转演化 和 比仅满足定义1的演化对更为特殊。具体而言，它们是可局域化的和保局域性的，如下所述。

可局域化——局部可逆性意味着 可以在不同区域上顺序地转换到 并从 恢复，详见下文。假设 满足定义2。对于晶格的一个划分 和 （ ），可以将 和 相应地划分[如图2(b)右侧所示]：
(15)
使得 支撑在 以及分隔 和 的边界附近的区域上； 亦然。参考图2(b)，我们容易验证：
(16)
这也直观地展示如下：
在每个面板中，在蓝色（绿色）区域的内部，态看起来为 （ ）。在第二个面板中，在 和 之间的边界区域周围，态可能不同于 和 。

保局域性—— （以及 ）以保局域的方式将 上的量子操作与 上的量子操作联系起来。设 为作用在 上的量子通道。它诱导一个作用在 上的通道 ，其对 的作用可以由另一个定域在 的支撑周围的通道 （以下称为 被 修饰后的通道）来模拟：
(17)
其中 表示 的（略有扩大的）空间支撑。方程(17)成立是因为 和 中的门由于方程(16)而相互抵消。 的构造也在图2(c)中以图形方式说明。我们注意到，在特殊情况下， 和 是酉线路（即 ），我们有 ，这显然具有与 相同的局域性，只是支撑扩大了。对于局部通道演化，我们需要额外的局部可逆性假设来找到局部的 。

在以下各节中，我们将看到这些性质使定义2成为比定义1更精细的定义，特别是它们将 区分为非平凡相。

III. 混合态的拓扑简并性

拓扑简并性（TD）是零温量子拓扑序的标志。当定义在拓扑非平凡晶格上时，拓扑有序量子哈密顿量具有基态子空间 ，其维度依赖于晶格拓扑。此外， 中的不同态无法通过任何局域观测量区分。

感兴趣的混合态不一定与任何哈密顿量的低能态相关联。因此，当将TD推广到混合态时，最自然的做法是以局域不可区分性为出发点（混合态的类似概念在文献[22,45]中被提出）。

A. 混合态TD

定义3（局域不可区分集合）。对于定义在区域 上的混合态 ，其局域不可区分集合 是态集合，这些态在任何拓扑平凡子区域上与 相同，并且马尔可夫长度不大于 ：
(18)
该定义类似于纠缠自举中信息凸集的定义（参见文献[46]中的定义C.1）。关于该定义的几点说明：
(1) 有限马尔可夫长度约束对于定义的有效性是必要的。正如我们以 例子说明的，该约束去除了“非物理的”局域不可区分态。这些非物理简并是不稳定的，并且不会延续到同一相中的其他态。我们预期在热力学极限下，当 选择得足够大时（特别是， 需要大于 ）， 对 的依赖并不重要。此后我们假设 总是选择得足够大，并省略 中的 。
(2) 定义一个凸集，即如果 ，则 ， 。要看出这一点，只需检查 与 局域不可区分且具有有限马尔可夫长度。前者由 对任意 成立得出。要验证后者，我们注意到 ，其中 是量子条件熵。由于 在马尔可夫长度的定义中是单连通区域， 。我们不能类似地处理 ，因为 一般不是单连通的（例如当 形成环面时）。我们转而应用条件熵的凹性： ，这给出 ，对足够大的 成立。因此， 是有限的，且由 界定。
(3) 自反性：如果 ，则 。
(4) 一个态 属于 当且仅当，对于任何远离 边界的单连通区域 ，存在一个作用在 上的通道 仅满足 。为证明“如果”部分，我们令 为环绕 的宽度为 的缓冲区域，令 为系统的其余部分。则根据 的定义有 。此外，由于 具有有限马尔可夫长度 ，当 时，可以找到一个通道 使得 [44]。因此，令 就达到了我们的目标。为证明“仅如果”部分，我们首先注意到，由于 可以被推出任何局部区域 ， 和 在 上必须不可区分。此外，由于 对任何仅作用在 上的 成立，我们有 。

我们说定义在 [47]上的混合态 具有TD，如果其 作为凸集的形状非平凡地依赖于 的拓扑。

混合态TD推广了量子拓扑序中充分研究的基态简并性。例如，考虑2D环面码哈密顿量：
(19)
其中 和 在方程(4)和(7)中定义。当定义在亏格为 的2D闭流形上时，该哈密顿量具有简并基态子空间 ，其希尔伯特空间维度为 。正如我们将展示的，任何基态 的局域不可区分集合 由下式给出：
(20)
这是所有支撑在子空间 上的密度矩阵的集合。为证明这一论断，我们首先注意到 中的所有态在任何单连通区域 上是相同的；即 与 无关。其次，要验证这些态具有有限马尔可夫长度，只需检查 内的纯态 即可。正如我们之前所述，对于纯态，我们有 。因此， 内所有态具有零CMI，从而零马尔可夫长度。

非拓扑有序的简并基态，例如0-形式对称性自发对称性破缺的基态，不具有非平凡的 ，因为子空间中的不同态可以通过序参量在局域上区分。

B. 经典环形态的TD

我们现在研究定义在环面晶格 上的经典环形态 的拓扑简并性。

为了理解 的结构，我们可以借鉴其与环面码态 的相似性。虽然 是环构型的不相干混合，而 是它们的相干叠加。在环面码中，不同的基态由绕环面两个孔的不可缩回环的宇称来刻画。这表明类似的机制可能产生非平凡的 ，事实证明确实如此。

我们定义四个具有确定绕数宇称的环形态：
(21)
其中 测量绕 方向的不可缩回环的宇称（模2），且 。原始环形态 即为 。

为了证明每个 属于 ，我们采用稳定子形式。给定一组对易且（乘法）独立的 比特泡利算符 ，其对应的稳定子态 定义为每个 的同步 本征子空间中的最大混合态：
(22)
这里，每个 称为 的稳定子生成元（或简称为稳定子）。稳定子态的生成集不是唯一的。例如， 定义了与 相同的稳定子态。两个生成集 和 定义相同的态，当且仅当它们生成相同的阿贝尔泡利算符群，即 的稳定子群。每个 都是一个稳定子态。它们共享一组公共的顶点稳定子[见式(4)中 的定义]，这些稳定子在每个顶点处强制满足环约束[48]。此外，每个 还有两个稳定子，分别固定 方向和 方向上非收缩环的宇称：

(23)

其中 代表对偶格子上沿 方向的任意非收缩环（见图3的示意）。算符 测量穿过闭合环 的“通量”。具有相同拓扑结构的 的不同选择给出等价的态，因为 的形状可以通过乘以顶点稳定子 来修改。

图3. 属于 的稳定子态 的构造。

容易验证，所有 态在任何单连通区域 上都是不可区分的。我们现在考察态的马尔可夫长度。对于稳定子态，条件互信息 由下式给出：

(24)

其中最小值取遍 的所有等价选择[49]。对于具有图3所示拓扑的划分，当 的宽度超过几个晶格间距时，局域 项对 没有贡献。对于非局域稳定子，我们总可以选择仅支撑在 中的路径，因为只有它们的拓扑才重要。因此，

和

(25)

我们现在论证这个包含关系是等式。考虑 中的任意稳定子态，它必须在局域上与 不可区分，并且具有有限马尔可夫长度。所有 项必须保留为稳定子；否则，某些顶点处的环约束会被违反，与局域不可区分性矛盾。此外，不能引入任何支撑位于单连通区域 内的新稳定子，因为这会改变 ，再次违反局域不可区分性。

因此，为了满足局域不可区分性，必须添加具有非单连通支撑的稳定子。虽然有许多可能的选择，例如形式为 的泡利算符（其中 是非单连通的），但大多数此类选择会增加态的CMI并违反有限马尔可夫长度条件。

例如，考虑添加 其中 是原格子（而非对偶格子）上的非收缩环，如图3所示。与 不同， 的形状不能通过乘以 项来修改。因此，对于 所穿越的任何区域（如图3所示）， 会使态的 对于任意 增加1，导致无限马尔可夫长度 。这个论证推广到所有环绕环面的非单连通稳定子，除了那些可以通过乘以 项来变形的“拓扑”算符 。

这个分析推广到亏格 的闭合曲面上的 。相应的局域不可区分集 形成一个单纯形，具有 个极值点，其结构仅由曲面拓扑决定。每个极值点对应于一个环系综，其绕每个“孔”的环绕数宇称是固定的（亏格为 的曲面有 个不等价的孔）。

C. TD作为相不变量

我们现在考察TD是否是混合态相内所有态共享的普遍性质。

我们注意到，如果采用混合态相的双向定义（定义1），答案显然是否定的：在环面上， 和 在该定义下属于同一相（第二节），而后者不显示TD（即乘积态的局域不可区分集仅包含其自身）。

我们现在证明，在马尔可夫长度的相等价定义（定义2）下，TD是一个相不变量。更精确地说，设 为与 同一相中的任意态，其中 是使马尔可夫长度始终保持有限的电路；那么， 和 建立了 中的态与 中的态之间的一一对应关系：

(26)

考虑作用于 且保持其马尔可夫长度有限的局域通道电路。根据定义，所有 态属于同一相，并且（回顾第二节B的讨论）存在另一个通道电路 可以逆转 在 上的作用。

我们首先证明，对于任意 ，用 演化 在整个演化过程中也保持马尔可夫长度有限。只需对单个时间步 验证即可。演化后的态可以写为：

(27)

其中 是满足 的量子通道（见定义3下方的注释4）。对于遵循图1(b)几何结构的任意划分，我们可以选择 （因而 ）的支撑完全位于 内（见定义3下方的注释4）。由数据处理不等式[50]，

(28)

对任意 划分成立，这意味着 。迭代地将这个论证应用于整个演化 ，我们得到：

(29)

这个条件与 和 的局域不可区分性结合，确保 逆转 在 上的作用：

(30)

由于这对任意 成立， （以及 ）建立了 与 之间的等距双射。具体地，对于任意一对态 以及任意在量子运算下满足单调性的量子态距离度量（例如迹距离、相对熵、保真度距离），我们有：

(31)

其中两个不等式都来自单调性。

我们现在将上述结果应用于定义在环面上的经典环态。由于 在这种情况下是作为凸集的四面体， 也必须是四面体，这是由量子通道的线性决定的。这种几何保持排除了 和乘积态 在环面上属于同一相的可能性，因为后者的 是平凡的，仅包含其自身。

我们注意到，这个相不等价证明假设总格点具有非零亏格[否则 和 都是平凡的，因此no-go条件不成立]。在第四节中，我们提出另一个证明，适用于定义在零亏格流形（例如球面和圆盘）上的 。

D. TD中编码记忆的保持与相干信息

作为上述结果的应用，我们现在考虑 的TD作为某些编码信息的存储器，然后该信息遭受噪声的情景。我们将这个情景形式化如下： 的TD存储器是一个三元组 ，其中 是我们要编码的逻辑（混合）态的凸集； 是编码通道； 是解码通道，满足 。 可以是经典的（单纯形）或量子的（例如，一个量子比特的布洛赫球）。

根据上述定义，TD存储器 的保持是 的局域不可区分集 的相不变性的直接结果，如第三节B中对经典环态的论证。确实，如果 是 同一相中的另一个态，那么由于以下交换图[见式(26)]，它具有TD存储器 ：

(32)

对于量子存储器 ，通道 作用于态 后保留的量子信息量可以由相干信息 来刻画[51]。它定义为 ，其中 被纯化到扩展系统 ，然后由 作用变为 。因此，它衡量的是 与 之间仍然存在的关联量。由数据处理不等式，相干信息达到其最大值 当且仅当态可以被完美恢复，这正是 是局域可逆通道电路的情况。对于纯环面码情形，这个结论与先前相干信息的显式计算一致[5,52]。

IV. 弱1-形式对称性的自发破缺

对于量子拓扑序，拓扑简并源于任意子的存在及其非平凡辫子关系。在现代术语中，量子拓扑序（二维）源于1-形式对称性的自发破缺——对称性算符呈环的形式。

在本节中，我们证明 的非平凡性及其相应的混合态相源于类似的机制：弱1-形式对称性的破缺及其相应的分数化激发。值得注意的是，当远离不动点态时，对称性作用采取量子通道的形式。

经典环态表现出以下对称性（回顾 和 ）：

(33)

其中 和 分别代表格点和其对偶格点上的任意可收缩闭合边环。注意， 必须作用于两侧以保持密度矩阵，而 只需作用于单侧。在文献中，这些分别被称为弱1-形式对称性和强1-形式对称性。

的强和弱1-形式对称性在以下意义下表现出' t Hooft反常。当我们把环 截断为顶点 和 之间的开弦 时， 通过在顶点 和 处翻转 和 的符号，在两个顶点处产生两个非局域点状激发。所得态成为在 和 处具有奇异端点的闭合环的混合。

这些激发是非局域的，因为没有任何局域在 和 附近的操作可以移除它们从而从 恢复 。为了证明这一点，考虑任何只环绕顶点 且与 和 保持良好分离的对偶环 。我们发现：

(34)

这源于 和 相交一次，意味着 。关系式(34)是' t Hooft反常的表现，在文献中也称为辫子统计。

反常结构排除了局域移除 和 周围激发的可能性，因为任何这样的局域操作都无法改变 的期望值使其从 回到 ，原因是 远离两个顶点。此外，只有 的拓扑是相关的：如果 是连接 和 的另一条开弦，那么 。

将 视为态上的弱对称性操作，将 视为可观测量也很有用，其中 。反常结构则意味着弱1-形式对称性 自发破缺，其中 是环序参量。或者，可以将 视为强对称性操作，将 视为“保真度可观测量”，满足 。反常结构则意味着1-形式对称性 的强到弱自发对称性破缺（SWSSB），其中 是环序参量[34]。

在本工作中，我们互换使用几个短语：强和弱1-形式对称性之间的相互' t Hooft反常、相互辫子统计、弱1-形式对称性的SSB、以及强1-形式对称性的SWSSB[53]。

我们证明这些对称性破缺性质扩展到与 同一相（在马尔可夫长度定义下）的所有态。每个态都表现出“穿衣的”强和弱1-形式对称性。远离不动点时，这些对称性可能被变形：弱对称性变为“通道对称性”——一个支撑在展宽环上的量子通道——而强对称性变为展宽对偶环上的厄米算符。当被截断时，弱对称性作用继续在其端点产生点状激发，可被强对称性探测。

可以给出这些穿衣对称性的显式表达式。对于与 同一相中的态 ，存在电路 及其局域逆转 使得 和 ，如第二节B所述。 具有以下穿衣的弱和强1-形式对称性：

(35)

其中 在式(17)中定义[以及图2(c)]， 是 的对偶映射，由关系 定义。第一个等式直接来自式(17)： 。第二个等式来自 ，这意味着 由附录A中的引理1[54]给出。

注意，穿衣弱对称性通常具有通道的作用，而 的局域可逆性对于保持该通道对称性的局域性至关重要。这对于确保 上的穿衣弱1-形式对称性 也表现出SSB至关重要：

(36)

其中 和 的构型如图4所示。我们将证明推迟到第四节B。重要的是，上述式(36)意味着任意子在整个 的相中都有良好定义；它们是在弦状通道 的端点处产生的非局域激发，可以被环绕它们的环算符 探测。

图4. 环态 的' t Hooft反常和1-形式对称性自发破缺的示意图（左），以及与 同一相中的一般态 的相应示意图（右）。在两种情况下，将弱对称性作用从闭合弦截断为开弦（实心绿线）都会在两个端点 和 处产生两个点状激发。这类激发可以通过环绕它们的算符（“强对称性”，蓝色虚线）非局域地探测。作用于 的弱对称性 一般采取通道对称性的形式。

量化 产生的激发存在性的一种方法是计算 与 之间的相对熵[5]。原因在于，当两个态彼此近似可区分时，相对熵较高，这符合预期，因为 在 上产生了可探测的激发。实际上，由于 和 由式（35）可知其支撑在 的不同本征子空间中，因此它们的相对熵为 。如果我们在局部恢复方程 和反向通道 的指数尾部中考虑近似误差，我们预期相对熵将随激发点 和 之间的距离缩放，而不是无穷大。这一行为在文献[5]中针对纯环面码态在泡利 和 退相干低于噪声阈值的情况下被发现。

A. 环面上的TD和拓扑熵

到目前为止，我们已经证明 具有非平凡的拓扑简并度 ，并且这是其相的普适特征——即，与 同相中的任何其他态 也具有非平凡的拓扑简并度 ，并且与 一一对应。这里，我们提出 的两个额外的普适特征，将其与平凡相中的任何态区分开来，即其在环面子系统上的非平凡简并度和拓扑熵的下界。这两个性质仅依赖于 在大子区域上的约化态。我们指出，以下讨论适用于任何自发破缺弱1-形式对称性的态。

我们再次假设 是与 同相的一个态，二者都定义在某个二维晶格 上。设 为环面形区域，其宽度和半径都远大于 的范围。我们研究局部不可区分集 ，其中 。

设 为连接 内部点 到外部点 的弦，并设 为环绕 的对偶回路，如下图所示：

考虑定义在 上的如下态：

（37）

态 在任意单连通区域 上与 局部不可区分，因为 总能从 处形变离开而不改变得到的态 。此外，对于 内远离边界的闭合非收缩回路 ，

（38）

由于 满足 ，因此 在希尔伯特空间中的支撑必须与 的支撑正交。（回忆 是厄米算符，因为对偶映射保持厄米性。）因此， 是一个非平凡集合：

（39）

这提供了另一个证明 属于非平凡相的方法：如果取 ，则 只是一个具有平凡 的乘积态。值得注意的是，该证明对晶格的全局拓扑不施加任何条件。

简并性还导致拓扑熵的下界——这是拓扑相的另一标志。长期以来人们注意到 具有非零拓扑熵[33]。这里，我们证明它确实是 的混合态相中所有态共享的普适特征。以下证明受文献[55]中纯态类似证明的启发。

利用Levin-Wen三分法[32]将环面分为 、 和 ，如下图所示，拓扑熵由条件互信息 给出。此外，我们设 为相对于 径向收缩的区域，并设 为覆盖 在 内部部分的区域：

由于CMI在仅作用于 或 的通道下的单调性，

（40）

其中 是通过分解 定义的 的一部分[见式（16）]。回想 在 的内部与 不可区分。

我们定义一个新态 ，它是 和 的等概率混合。我们有

（41）

第一个不等式是由于CMI的数据处理不等式，而最后一个不等式是因为CMI必须非负。由于 是两个相互正交态的等概率混合，我们得到

（42）

因此，

（43）

在式（42）中，括号中的项为零，因为两个态 和 通过一个局域幺正作用相关联，即沿着 在 内的线段上的 的乘积。

我们指出，遵循文献[56]中的类似论证，非零拓扑熵导致环面上拓扑简并度的下界。在这个意义上，上述下界与我们在第三节B中的结论相关。

B. 式（36）的证明

我们现在回到 中缀饰1-形式对称性的SSB的证明，即式（36）。

只需证明 （根据附录A）。利用式（17）和对偶映射的定义，我们有 。设 为与 相交且远离 的区域，并设 为 的补集。这产生了电路划分 。设 为连接点 和 且穿过区域 的曲线。 、 、 和 的几何关系如下图所示：

由于 与 良好分离，式（16）意味着 。此外，由于 形成闭合回路，我们有 。因此，

（44）

一个关键观察是 具有形式 ，其中 表示 在区域 内的部分（ ）。此外， 的支撑在 附近。这导致以下对易关系：

（45）

第二个等式成立是因为 和 由于它们的支撑不重叠而对易。因此，

（46）

这完成了式（36）的证明。

V. 讨论与展望

我们提出了基于局部可逆通道电路的混合态相的新定义，并证明了局部可逆性意味着态上的操作以保持局域性的方式变换。因此，态的所有对称性（强和弱）和反常都在这种通道下被保持。缀饰弱对称性自然地引出了通道对称性的概念，这是推广开放量子系统中对称性的新方向。

我们以一些讨论作为结尾。

（i）通道对称性的含义，特别是关于反常的含义，值得进一步研究。混合态的这些性质与纯态量子相的情况形成鲜明对比，后者的缀饰对称性保持幺正性。此外，缀饰强对称性和弱对称性之间的反常是相对于特定态定义的[如式（36）]，而在纯态情况下反常仅是对称性的性质。一个重要的问题是，对于同相中的两个混合态 和 ， 的幺正强对称性和弱对称性是否能诱导 的也是幺正的缀饰对称性，并且它们的反常能否在算符层面上保持？

（ii）作为我们一般结果的主要应用，我们证明了二维经典环系综在我们的新定义下是非平凡的，尽管它通过双向局域通道与平凡乘积态相连。找到我们精炼定义导致不同相分类的其他态类将是很有趣的。

（iii）在我们的定义中，马尔可夫长度在确保局部可逆性方面起着核心作用。最近已证明局部哈密顿量的量子吉布斯态具有有限的马尔可夫长度[57]。反过来问这个问题很有趣：如果一个态具有有限的马尔可夫长度，是否保证它是（准）局部哈密顿量的吉布斯态？该问题的1D特例在文献[58]中得到了解决，而在更高维度中，只要马尔可夫长度不完全为零，答案似乎未知。

（iv）最后，我们注意到，在文献[27]中，提出了一种混合态实空间重整化群（RG），它理想地对系统的块进行粗粒化，同时保持块与其补集之间的关联。重要的是，这种理想RG方案构成局部可逆通道，正如当前工作所示，它保持态的性质和反常，正如RG流应该做的那样。