克尔猫量子比特隧穿时间因辅助电路模式而失效

《Physical Review X》：Breakdown of the Kerr-Cat Qubit Tunneling Time Induced by Auxiliary Circuit Modes

　　Kerr-cat量子比特已被实验证明展现出大的噪声偏置，其中一种衰减通道被抑制了数个数量级。在超导实现中，增加驱动非线性振荡器的微波驱动——该振荡器承载着Kerr-cat量子比特——原则上应进一步增强这一偏置。然而，实验揭示，在超过临界驱动幅值后，隧穿时间（即占主导地位较弱的衰减通道）不再增加，甚至出现下降。在此，我们表明这种失效源于电路实现的多模特性。具体而言，额外的模式，包括用于传递稳定化驱动的缓冲模式以及约瑟夫森结阵列的高阶模式，可能诱发多光子共振，从而急剧降低Kerr-cat的相干性。我们通过保留完整的电路非线性，并在一个Floquet-Markov框架内精确处理强驱动——该框架考虑了Kerr-cat谱的准简并性——揭示了这一机制。我们的结果不仅为隧穿时间的突然减小提供了解释，而且证明，在精心设计的电磁环境下，Kerr-cat量子比特可以非常鲁棒。超越Kerr-cat量子比特，本文开发的方法为研究耗散超导电路中广泛的驱动诱导现象打开了大门，涵盖共振和非共振驱动机制。示例包括具有任意非谐性和驱动强度的电路中的非弹性散射，以及次谐波驱动的器件，如参量放大器和耦合器，以及其他受准简并性主导相干性的受保护量子比特。

一、引言

玻色编码是极具前景的实现容错且硬件开销最小化的方案，这一特性常被称为硬件效率[1-7]。这些编码利用振荡器的大希尔伯特空间，在一个精心选择的d维子空间中编码逻辑信息。一个特别引人注目的例子是猫量子比特，其逻辑态编码在相干态叠加所张成的流形中，这些叠加态被称为薛定谔猫态，记为|C_α^±? = N_±(|α? ± |-α?)，其中N_±为归一化因子[8]。这一选择基于如下动机：局域噪声——作用于振荡器相空间中的局域区域——诱导|α?和|-α?之间跃迁的速率在α上呈指数抑制[9-11]。这种相位翻转误差的抑制仅被局域噪声诱导的比特翻转错误率——即猫态|C_α^+?和|C_α^-?之间的跃迁——随α线性增长所适度抵消。由此产生的大噪声偏置可被用于实现硬件资源最小化的纠错协议[12-20]。

在超导量子电路中，两类主要的猫量子比特是耗散猫量子比特[10,21-27]和Kerr-cat量子比特[11,28-34]。在耗散方法中，工程化耗散稳定一个跨越期望猫态子空间的稳态流形。相比之下，Kerr-cat方法依赖于哈密顿量工程，其中猫态作为压缩Kerr哈密顿量的简并本征态出现：

H_K = K a^?2 a2 - ε? a^?2 + h.c. (1)

其中a是振荡器的湮灭算符，ε?是双光子驱动强度，K是自克尔非线性。H_K的因子化形式明确表明，满足α = √(ε?/K)的相干态|±α?是哈密顿量的简并本征态[11]。它们的对称和反对称叠加即为猫态|C_α^±?，其平均光子数为?a^?a? = α2。

为深入理解该哈密顿量的结构，分析其相空间表示V_eff(α)，即通过Weyl对应获得，是有帮助的。这种超势，如图1(a)所示，呈现出双阱结构，势垒高度为ε?，将两个位于α = ±√(ε?/K)的极小值分开，对应Kerr-cat相干态的位置。随着双光子驱动（进而α）增加，态对相继进入势阱中。当它们落入势阱更深时，由于势垒的存在，它们之间的隧穿被迅速抑制。这导致谱亲吻现象，即能级对变得近乎简并；见图1(b)，圆圈表示不同对的亲吻[30]。

图1. (a) 平移压缩Kerr哈密顿量在α = 3、ε? = 6K下超势的截面。水平灰线表示本征能量，彩色曲线表示对应本征态Wigner分布的边缘分布。对于准简并能级对0-1、2-3和4-5，跨双阱的耗散隧穿由于两个弛豫路径之间的相消干涉而被抑制。阱间粒子转移可以通过爬升能级阶梯——通过光子发射和吸收——直到布居非简并能级（此处为6和7）来实现。阱内准简并能级对的数量由光子数α2控制。(b) Kerr-cat量子比特的Floquet准能谱，显示谱亲吻（圆圈），其中激发态对之间的准能差渐近趋近于2K。虚线表示这些差值变得与衰减率相当的驱动幅值。平均光子数?n? = α2 = 9对应于ε? = 9K。电路参数选取接近文献[30]的值，K/2π = 1.5 MHz，ε?/2π = 13.5 MHz，缓冲腔频率κ_b/2π = 11 MHz，耗散率κ_b/2π = 20 MHz，得到0-1跃迁频率ω_ge/2π = 9.7 MHz和自克尔非线性K/2π = 1.5 MHz。(c) 猫量子比特流形的布洛赫球表示。

然而在实践中，阱底相干态之间隧穿的指数抑制不会随着α的增加而无限持续。从这些相干态热激发到尚未亲吻的高能态可以恢复阱间隧穿[36-38]。这一现象随着每对新态进入势阱而重复，导致隧穿时间对α呈现阶梯状依赖。这一行为已在实验中被测量[30,32]，并使用微扰方法进行了理论研究[39]。更引人注目的是，在更大的光子数下，阶梯行为被破坏：观测到隧穿时间随光子数增加而减小，并伴随特定驱动幅值处的尖锐特征[34,40]。虽然现有理论模型能够捕捉阶梯区的定性特征，但它们与实验数据并不定量匹配。此外，阶梯图案的失效并未被当前理论方法所再现，这引发了一个问题：这种差异反映了微扰处理的局限性，还是存在理论中尚未考虑的其他机制。

在本工作中，我们通过表明隧穿时间的阶梯行为失效以及尖锐共振的出现均源于文献[30,34]中Kerr-cat量子比特电路实现的多模特性，并可通过一个不进行任何微扰展开但包含电路额外模式的模型来捕捉，从而回答这一问题。在没有额外模式的情况下，我们发现Kerr-cat量子比特异常鲁棒。这一观察表明，工程设计Kerr-cat的电磁环境以避免这些模式的存在，可以导致比当前实验观测到的显著更长的隧穿时间。

这些结果通过三个关键要素获得。第一，我们保留电路的完整非线性势，因为势的任何有限阶展开都可能遗漏非线性振荡器与电路其他自由度之间的共振。第二，使用Floquet形式精确处理驱动，确保多光子过程和非线性驱动效应被完全计入。这类多光子过程已被证明是微波场驱动的高激发原子电离[41]以及transmon量子比特驱动诱导共振的起源[42-51]。第三，我们使用部分久期Floquet-Markov主方程[52-54]纳入驱动和耗散之间的相互作用。虽然标准久期Floquet-Markov处理在近简并准能存在时变得无效，但部分久期方法保留了准简并弛豫通道之间的干涉。这一特性对于准确描述Kerr-cat量子比特中的耗散至关重要。

更一般地说，这种对驱动、电路非线性和耗散之间相互作用的非微扰处理可以应用于广泛的驱动-耗散超导电路，涵盖共振机制（如参量驱动系统和Floquet量子比特）和非共振机制（如量子比特读出）。特别地，它适用于低阻抗和高阻抗驱动电路。举几个具体的（虽非详尽）例子，本文开发的方法可用于分析fluxonium量子比特读出过程中电磁环境辅助的非弹性散射过程，从而将先前的处理[50]扩展到高阻抗量子比特。它们也可用于量化次谐波驱动门操作中耗散的影响[49,55]。

本文组织如下。在第二节中，我们回顾Kerr-cat量子比特的标准单模近似。然后展示Floquet理论如何再现该系统的关键特征，如谱亲吻，并引入一种考虑这些近简并的Floquet-Markov Lindblad主方程形式。利用这一框架，我们计算Kerr-cat量子比特的隧穿时间，证明其内在鲁棒性。在第三节中，我们纳入实验中用于驱动Kerr-cat量子比特的缓冲模式，并表明它导致隧穿时间在临界驱动幅值以上突然减小。在第四节和附录G中，我们考察超导非线性不对称电感元件（SNAIL）阵列模式和杂散几何电感对量子比特相干性的影响。更多推导细节见附录。我们的发现总结和讨论于第五节。

二、单模描述

Kerr-cat量子比特在电路QED中的实验实现依赖于SNAIL[56,57]并联一个大电容，并通过缓冲模式控制；见图2(a)[29-34]。在本节中，我们分析该电路单模近似下Kerr-cat量子比特的行为，识别这一简化所依据的关键假设。虽然该模型足以再现谱亲吻物理和观测到的隧穿时间平台[30,32,58]，但我们发现该简化模型无法捕捉观测到的隧穿时间在驱动幅值阈值以上的突然减小。基于这些观察，在下一节中，我们展示当考虑图2(a)中电路的多模特性时，这种失效是如何被捕捉的。本节介绍理解更一般多模情况所需的关键思想和方法。

图2. (a) Kerr-cat量子比特的电路实现，由SNAIL阵列并联一个大电容（绿色）构成，并通过缓冲模式（蓝色）驱动，其谐振频率接近驱动频率。(b) 单个SNAIL的电路图，由能量为E_J的大型约瑟夫森结阵列与能量为E_J′的较小结并联组成，形成环，环中穿过外部磁通（灰色）。(c) 图(a)中电路的半经典表示——驱动的缓冲模式被替换为经典驱动（灰色）和一个由导纳Y_b(ω)建模的耗散环境（蓝色）。(d) 典型谱函数Y_b(ω)，在驱动频率ω_d附近呈现宽峰，反映缓冲模式的低品质因数。ω_d/2π ≈ 8.1 GHz处的值取自文献[39]。

考虑缓冲模式，描述图2(a)中电路的哈密顿量为（设? = 1）：

H = ω_b b^? b + H_SNAIL + g(b + b^?) n + Ω_d (b e^{-iω_d t} + b^? e^{iω_d t}) (2)

在此表达式中，ω_b是湮灭算符为b的缓冲模式的频率。缓冲模式的实现因实验而异：它可能对应由腔体几何定义的3D盒模式[29-31,34]或便于SNAIL参量驱动的带状线谐振器[33]。在所有情况下，该模式的存在是有意设计的，其谐振频率被设计为接近驱动频率以驱动SNAIL。方程(2)中的第二项H_SNAIL是SNAIL阵列哈密顿量，定义如下。第三项对应缓冲模式与SNAIL阵列的耦合，其中g是该耦合强度，n是SNAIL阵列的电荷算符。最后一项是以频率ω_d施加于缓冲模式的电荷驱动Ω_d。为更清楚地看到缓冲模式上的驱动如何有效作用于SNAIL阵列，我们使用位移变换将缓冲模式位移到其经典响应[59]。这得到位移哈密顿量：

H_displaced = ω_b b^? b + H_SNAIL + ε_d (b + b^?) n + g(b + b^?) n + Ω_d (b e^{-iω_d t} + b^? e^{iω_d t}) (3)

其中ε_d是正比于缓冲模式光子数平方根的有效驱动幅值。到目前为止未作任何近似；位移变换是精确的，如文献[60]所示。在下文中，我们使用ε_d而非Ω_d作为驱动强度的度量。作为第一近似，遵循参考文献[45,46]，我们忽略了缓冲模式中的量子涨落，从而得到简化哈密顿量（4），其描述了一个电压驱动的SNAIL，如图2(c)所示。如图2(a)和2(b)所示，该电路由两个SNAIL组成的阵列构建而成，每个SNAIL由三个相同的大型约瑟夫森结（能量为）与一个较小的结（能量为，且）并联组成。假设跨越阵列的总相位降均匀分布在六个大型约瑟夫森结上，则SNAIL阵列可由单一自由度描述。这种单相位近似依赖于如下假设：该结构构成一个弱非线性振子，其谐振频率远小于单个大型约瑟夫森结的等离子体频率。只要阵列中每个岛的对地杂散电容足够小（），此条件即满足[61–63]。我们在第四节中超越了这一近似，分析了阵列的高频集体模式对Kerr-cat量子比特能谱和寿命的影响。

在单相位近似下，电容并联双SNAIL的哈密顿量为（5）其中表示由并联电容主导的充电能，表示每个SNAIL的外部约化磁通偏置。算符表示跨越SNAIL阵列的相位及其正则共轭电荷。引入并联SNAIL的湮灭算符，使得，其中表示势能最小值处的相位，表示相位算符的量子涨落振幅，我们将式(5)的势能项展开至的四阶。选择驱动频率，变换到适当的参考系，并应用旋转波近似(RWA)，式(4)的单模哈密顿量取Kerr-cat哈密顿量的标准形式即式(1) [29]。该近似模型足以捕捉系统的基本性质[11]。然而，在transmon中测量诱导态跃迁的背景下[42,44,46,64,65]，进行这些近似（余弦势展开和RWA）会显著改变观察到跃迁前的阈值驱动振幅。我们预期这些近似同样会改变Kerr-cat阶梯行为崩溃的阈值。因此，在本工作中我们使用式(5)的完整余弦势。

为了准确考虑强驱动的影响，我们使用Floquet理论。在任意时刻，系统的状态可分解为周期Floquet模及其相应的准能，它们满足本征值方程（6）其中是幺正传播子，由式(4)中的哈密顿量在一个驱动周期内生成[54]。Floquet模和准能通过数值对角化该算符获得。由于准能是作为相位参数得到的，它们在模驱动频率下定义，即。此后，我们记时刻的Floquet模为。在时，准能与无驱动双SNAIL哈密顿量的本征能（模）一致，Floquet模退化为相应的无驱动本征态。从这一点出发，我们以小步长递增，并通过最大化模与前一驱动振幅下模的重叠来为每一步的Floquet能谱分配标签。该过程使得能够根据每个模在无驱动能谱中的来源进行一致的追踪[41,46,66]；见附录A。

随着驱动振幅增加，两个最低的Floquet模，1，从无驱动哈密顿量的基态和第一激发态连续演化成（位移的）cat态；图3显示了这些模在时的Wigner分布。与近似压缩Kerr哈密顿量式(1)中cat本征态以原点为中心不同，这里它们略有位移，因为显示在实验室参考系而非位移参考系中。重要的是，在这些计算中，为了补偿ac-Stark位移，驱动频率在每个驱动振幅值处都被调整以匹配两个最低模之间Floquet准能差的两倍，即。在本工作所考虑的全部驱动振幅范围内，该调整不超过20 kHz。这反映了例如参考文献[30,33,34]中所使用的实验方法。偏离该频率选择时，与式(4)中哈密顿量相关联的Floquet模和1不再对应于相空间中相反相干态的对称叠加[31,34]。

图3. 前两个Floquet模和在驱动振幅（对应cat流形中约九个光子）下的Wigner分布。这两个模是逻辑cat态。

A. 强驱动和完全非线性存在下的谱相交

获得作为驱动振幅函数的Floquet能谱后，将其以便于与参考文献[30–33]中报道的光谱学测量进行比较的方式呈现是有用的；更多细节见附录A。为此，我们首先将准能从Floquet布里渊区展开到实轴上，然后相对于基态能量按模重新折叠。这导致如图1(b)所示的能谱，具有一系列成对简并，即谱相交（圆圈）。这种谱相交与实验观测一致，是理想压缩Kerr振子哈密顿量式(1)的关键特征，之前使用微扰理论推导得到[30,37,67]。这里，我们证明它被精确的单模哈密顿量无修改地捕捉。

值得注意的是，Kerr-cat的准能谱在高达（对应36个光子）的范围内保持无避免交叉——即无不想要的共振的迹象——这是本模拟中考虑的最大振幅（未显示）。这与强驱动下的其他量子比特（如transmon）形成鲜明对比，在后者的准能谱中由于不想要的多光子共振而显示出大量避免交叉[42–49]。关键的是，在transmon中，计算态对应的准能经历的ac-Stark位移与transmon余弦势顶附近状态（非谐性改变符号处）的符号相反。这可能导致准能在“临界”驱动振幅处碰撞，并导致从计算态到高激发态的不想要跃迁。由于transmon的余弦势相对较浅且只支持约10个态，这些碰撞通常发生在中等驱动振幅下。Kerr-cat量子比特的情况非常不同，其对多光子共振的鲁棒性源于其非常深的势阱。事实上，对于本工作中使用的参数（接近参考文献[30]实验的参数，见图1(b)的说明），SNAIL势阱中的束缚态数量约为530。因此，所有相关能级——包括cat态和高激发态——都经历相同符号的ac-Stark位移。因此，准能碰撞在非常大的驱动振幅之前都被避免。我们的结果表明，在单模设定中，精确保留完整电路势不会在实验上观察到隧穿时间突然减小的驱动振幅范围内导致多光子共振。我们还注意到，虽然基于经典混沌的分析表明单模Kerr-cat最终变得不稳定[68,69]，但该混沌机制开始的阈值出现在远超实验崩溃观察点的驱动强度处[34]。

B. 具有准简并跃迁的Floquet-Markov-Lindblad

为了完全考虑驱动和SNAIL非线性的影响，我们采用Floquet-Markov主方程[53,54,70]。与标准量子光学主方程——其中耗散被视为与时间无关哈密顿量本征态之间的非相干跃迁[71]——不同，Floquet-Markov方法将耗散描述为Floquet模之间的跃迁。关键的是，相应的速率考虑了涉及驱动光子和环境光子同时吸收或发射的过程[54,72]。

在Kerr-cat的背景下，主方程必须捕捉准能的谱相交，这一点至关重要。因此，在主方程的推导中，我们不能使用常用的久期近似，该近似假设所有跃迁频率都很好分离，导致独立耗散算符的和，每个跃迁一个[54]。相反，我们使用部分久期近似，考虑某些跃迁的近简并性，同时丢弃广泛分离的跃迁频率之间的快速振荡非对角项[52,53]。这种方法允许在谱简并附近精确描述动力学，而这对于Kerr-cat相干性的保护至关重要。

更精确地说，我们使用的Floquet-Markov主方程在相互作用绘景中给出为（7）具有两组不同的耗散算符。第一组（8）其中，形式为所有涉及非近简并跃迁过程非相干和。在该表达式中，（9）是Floquet模和之间最多驱动光子的失谐，且（10）是时刻SNAIL电荷算符的矩阵元在Floquet模基中的傅里叶系数。在式(10)中，电荷算符的零点涨落隐含在的定义中。指标考虑了跃迁可以涉及驱动光子的发射或吸收。第二组形式为（11）是所有涉及准简并跃迁过程的和，这些过程在耗散算符内被相干相加。素指标遍历那些与准简并的相关联跃迁频率的三元组。对于本工作中使用的参数，当，我们将两个跃迁和定义为准简并，这约为下文采用的量子比特衰减率的10倍。

在两组中，速率由下式给出（12）其中是环境中频率处的热布居数，是浴谱函数，用输入导纳表示[73–75]；见图2(c)和2(d)。其中为Heaviside函数，对应从浴中吸收，对应向浴发射。该主方程的推导可在附录B中找到。

对于Kerr-cat量子比特，相关Floquet模之间的跃迁聚集在的谐波附近，或者换句话说，其中；见图1(b)和附录A中的图14(b)。我们假设谱函数在每个谐波附近是平坦的，与Markov近似一致[76]。据此，我们通过谱函数在相关谐波处的值来参数化它。由于缓冲模式在处充当带通滤波器，我们取，如图2(c)所示。此外，遵循参考文献[39]，我们考虑缓冲模式的不完全热化导致驱动频率处的温度高于其他谐波，。在第二节E中，我们更详细地探讨谱函数和热布居数如何影响Kerr-cat量子比特的隧穿速率。

C. 进入和的典型过程示例

在使用上述Floquet-Markov主方程展示结果之前，先考虑几个进入耗散算符和的典型过程示例是有启发性的。首先，给定驱动频率的选择，对于所有驱动振幅都存在精确简并和。相应的跃迁加入到中的同一耗散算符。例如，关注频率为的跃迁，进入式(11)中的算符之和为。因为振幅为的cat态近似为，其中是来自原点的位移，该表达式可写为（13）右边第一项在cat量子比特流形内以正比于的速率诱导比特翻转（逻辑Pauli）。第二和第三项在对应于相位翻转（逻辑Pauli）的相干态之间诱导跃迁，速率正比于。换句话说，最后两项导致在metapotential的两个势阱之间的隧穿。正如第一节讨论和图4(a)所示，该速率随驱动振幅增加而指数减小（深蓝色线）[11,77]。

图4. SNAIL电荷算符在Floquet模基中的矩阵元作为驱动振幅的函数，分别负责(a)直接隧穿和(b)阱内泄漏。在(a)中，谱相交事件前的线是透明的，因为相应的矩阵元仅在之后才进入同一耗散算符（垂直虚线）。在(b)中，我们突出显示了三种类型的加热过程：实线表示光子吸收发生在某处，虚线表示发生在另一处，而点线表示在零温度下持续存在的驱动诱导过程。在\(\epsilon_0\)与\(\epsilon_1\)发生交叉之前（最左侧的垂直虚线），隧穿主要由向超势双阱外这些模式的中间跃迁所主导，其速率正比于某个量，并伴随其他跃迁的额外贡献，其矩阵元如图(b)所示。在交叉之后，这些主导过程发生干涉，它们对隧穿速率的贡献被抑制。此外，向这些模式的泄漏不会导致直接隧穿，因为速率也被抑制。这种模式在其他两个由垂直虚线指示的谱交叉事件处，对更高模式重复出现。

当考虑更高能级时，这种噪声偏置会显著降低[36–38]，这一点在方程(7)的Floquet-Markov主方程中通过能级交叉前后跃迁的非相干或相干叠加得以体现。例如，在交叉之前，从阱底状态\(\epsilon_0\)到下一对状态\(\epsilon_1\)的两个加热过程，在\(\mathcal{L}_d\)中通过耗散子的非相干和计入，即\(\sum_{j=1,2}\mathcal{L}[\hat{L}_j]\)。如上所述，向尚未交叉的状态的向上跃迁导致跨越双阱势的隧穿，其速率由图4(b)中的深蓝色线给出。这一效应如图5(a)所示，图中展示了初始局域在超势一个阱中的相干态\(\epsilon_0\)，在非相干耗散子和的作用下如何演化，最终形成局域在两个阱中的状态混合。

图5. Wigner分布展示了耗散子作用如何影响初始局域的相干态（由黑色圆圈表示）。(a) 在\(t=0\)时，在谱交叉之前，跳变算符\(\hat{L}_1\)和\(\hat{L}_2\)非相干作用。所得状态为\(\hat{\rho}=\frac{1}{2}(|\epsilon_0\rangle\langle\epsilon_0|+|\epsilon_1\rangle\langle\epsilon_1|)\)，其中\(|\epsilon_0\rangle=\mathcal{D}(\alpha)|0\rangle\)和\(|\epsilon_1\rangle=\mathcal{D}(-\alpha)|0\rangle\)。状态在双阱上变得离域。(b) 在\(t=t^*\)时，在交叉之后，跳变算符相干干涉。所得状态为\(\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|\)，其中\(|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\epsilon_0\rangle+|\epsilon_1\rangle)\)，保持了在原阱中的局域性。

在\(\epsilon_0\)和\(\epsilon_1\)谱交叉之后，上述两个跃迁相干叠加，对\(\mathcal{L}_d\)的贡献为\(\mathcal{L}[\hat{L}_1+\hat{L}_2]\)。如图5(b)所示，这个联合跳变算符作用于\(|\epsilon_0\rangle\)后不再导致超势上的离域。为了理解这一点，我们将Floquet模\(\epsilon_n\)表示为局域在各自阱中的态的叠加：
\[|\epsilon_n\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathcal{D}(\alpha)+(-1)^n\mathcal{D}(-\alpha))|n\rangle \tag{14}\]
其中\(\mathcal{D}(\alpha)\)是位移算符，\(|n\rangle\)是单光子Fock态[20]。利用这个表达式进行与方程(13)类似的分解，我们发现上述耗散子产生两类过程。第一，它贡献于阱内泄漏\(\hat{L}_a=\sqrt{\gamma}(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)\)，速率为\(\Gamma_{\text{intra}}\)。第二，它贡献于阱间隧穿\(\hat{L}_b=\sqrt{\gamma}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)\)，速率为\(\Gamma_{\text{inter}}\)。关键的是，当驱动振幅增加到超过交叉点后，这个阱间跃迁速率被指数抑制，如图4(a)中的红线所示，并由附录D中的解析结果进一步支持。然而，阱内泄漏速率并未被抑制；见图4(b)中的深蓝色线。

向\(\epsilon_1\)和\(\epsilon_2\)的泄漏导致跨越双阱势垒的隧穿，但该隧穿速率在第一次交叉事件后被指数抑制，如图4(a)中的浅蓝色线所示。如果Floquet模\(\epsilon_2\)及以上可以忽略，隧穿过程在更高的驱动振幅下将保持指数抑制。然而，主方程(7)考虑了将\(\epsilon_1\)连接到更高模式的耗散子，导致上述通过更高能级隧穿的情景重复出现。在每次新的谱交叉之前，非相干耗散路径之和使得隧穿成为可能。在交叉之后，两个竞争跃迁之间的干涉抑制了隧穿，只留下阱内泄漏；见图4(a)中进一步矩阵元差异如何随\(\epsilon_0\)被抑制。

即使加热矩阵元随状态数增加而增大，如图4(b)中的实线所示，激发态中的布居仍然有限，因为衰减速率也随状态数增加。Floquet矩阵元随激发数\(n\)增长，控制从\(\epsilon_n\)到\(\epsilon_{n+1}\)（对于奇数\(n\)）和从\(\epsilon_n\)到\(\epsilon_{n-1}\)（对于偶数\(n\)）的跃迁，其速率正比于\(n+1\)，这是一个从环境吸收频率为\(\omega_d\)的光子的过程。然而，逆过程以正比于\(n\)的速率发生，并将相同频率的光子发射到环境。由于在低温下这些光子被发射的可能性远大于被吸收，高激发态的布居保持有限，泄漏通常限制在最初几个激发态。

总之，计算态之间的整体隧穿时间由直接和顺序隧穿过程的组合决定。在第一次谱交叉事件之前，从计算流形到第一激发流形的加热跃迁是非相干相加的，并直接导致阱间转移，其速率正比于\(\gamma\)；见图4(b)中的深蓝色线。在谱交叉之后，这些跃迁相干叠加。它们的和（正比于\(n+1\)）继续在同阱内产生向第一激发流形的泄漏，而它们的差（\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)）支配激发诱导的阱间隧穿，被强烈抑制；见图4(a)中的红线。此外，第一激发流形内的直接阱间隧穿（由\(\hat{L}_b\)支配）在谱交叉后也被抑制，如图4(a)中的浅蓝色线所示。因此，转移到该激发流形的布居主要保持局域在原阱内。阱间隧穿随后需要进一步的加热到尚未发生谱交叉的更高能量准能对。下一节中评估的整体隧穿时间源于这些直接和顺序过程的综合效应，所有这些都包含在Floquet-Markov主方程中。

D. Kerr猫量子比特的隧穿和相干时间

现在我们转向本节的主要结果：(i)在方程(4)的单模近似下，隧穿时间以阶梯状方式增加，并随驱动振幅持续增长而无饱和；(ii)隧穿时间与Kerr猫相干时间\(T_{\text{coh}}\)不一致，后者最初增加但随着驱动振幅进一步增大而减小。图6(a)显示了Kerr猫隧穿时间作为驱动振幅的函数，通过两种方法获得：(i)跨越猫态的相干态\(|\pm\alpha\rangle\)的时间演化分布的判别（蓝色圆圈）和(ii)方程(4)中Lindbladian\(\mathcal{L}\)的最小能隙（红色三角形）。这些方法之间的一致性极好。

图6. (a) Kerr猫量子比特的隧穿时间，从时间动力学提取（深蓝色）和Lindbladian能隙的倒数（红色）。相干时间（由逻辑Pauli算符\(\hat{Z}\)的初始衰减定义）以浅蓝色显示。垂直虚线标记了与谱交叉事件对应的驱动振幅。(b) 初始状态\(|\alpha\rangle\)在驱动振幅\(r=0.2\)下\(\langle\hat{Z}\rangle\)的时间演化。红色和浅蓝色虚线分别表示短时间和长时间下的指数拟合。(c) 三个驱动振幅值下阱内泄漏概率随时间的函数。系统参数与图3中使用的相同。浴参数取自文献[39]，其中\(S(\omega_d)\)和\(n_{\text{th}}(\omega_d)\)；在其他谐波处，\(S(\omega)\)和\(n_{\text{th}}(\omega)\)。

在第一种方法中，对于每个驱动振幅值\(r\)，系统初始化为两个相干态之一，\(|\alpha\rangle\)或\(|-\alpha\rangle\)，由最低Floquet模\(\epsilon_0\)和\(\epsilon_1\)的叠加构成。然后，这些相干态在Floquet-Markov主方程(7)下演化。在每个时间步，计算这些演化态的Husimi-Q分布，并用于构建对数似然函数，从中评估假设外差测量的分配误差。通过分析分配误差的时间依赖性并拟合指数衰减，我们获得隧穿时间。此过程紧密模拟了用于通过外差检测测量隧穿的实验方法[30,32–34]；详见附录C。在第二种方法中，隧穿时间作为Lindbladian能隙的倒数获得，它定义了系统中最慢的弛豫速率。它通过对方程(7)右侧Lindbladian在Floquet模基下对角化得到。

与实验观察一致[30,32]，我们在图6(a)中发现隧穿时间随驱动振幅以阶梯状方式增加，每个平台精确终止于谱交叉点（垂直虚线）。这里值得一提的是，虽然平台之间的尖锐转变是Kerr猫物理的内在属性，但图6(a)中看到的不连续阶梯来自部分近似的主方程的数值实现，这导致在准简并附近分组耗散子的离散重组。重要的是，这些结果不依赖于非线性或驱动强度的微扰展开。相反，它们源于最小假设：系统哈密顿量方程(4)的单模近似和弱、短时相关耗散的标准近似。阶梯行为也可以在微扰框架内重现，基于余弦非线性的展开和通过保留超出标准旋转波近似的项而导出的有效Lindbladian[39]。在附录D中，我们重新推导了微扰解析表达式，并将它们与精确数值结果进行比较。然而，最重要的观察是，超越文献[39]的微扰处理并精确处理非线性和驱动，不足以捕捉实验中观察到的大驱动振幅下隧穿时间的减小。

我们还发现隧穿时间与Kerr猫的相干时间\(T_{\text{coh}}\)显著不同，后者由逻辑Pauli算符\(\hat{Z}\)在短时间内的期望值衰减时间定义；见图6(a)中的浅蓝色方块。事实上，后一个量在低驱动振幅下达到最大值，并不显示隧穿时间的特征阶梯行为。如图6(b)所示，\(\langle\hat{Z}\rangle\)的期望值表现出两阶段衰减：在时间尺度\(T_{\text{coh}}\)上的初始下降（浅蓝色虚线），随后是由隧穿时间支配的慢得多的衰减（红色虚线）。这两个时间尺度在低驱动振幅下重合——具体来说是在第一次谱交叉之前；见图6(a)，其中\(T_{\text{coh}}\)在第一条垂直虚线之前与隧穿时间匹配——但随着驱动振幅超过该点开始分歧。这种差异的产生是因为，虽然阱间隧穿随\(r\)增加而强烈抑制，但阱内泄漏速率持续增长，降低了相干态的占据概率。图6(c)对此进行了说明，显示了三个驱动振幅值下阱内泄漏概率随时间的变化。在这里，我们将泄漏概率定义为\(P_{\text{leak}}=1-P_\alpha(t)-P_{-\alpha}(t)\)，其中\(P_\alpha(t)\)是占据相干态\(|\alpha\rangle\)的概率，\(P_{-\alpha}(t)\)表示处于相干态\(|-\alpha\rangle\)局域侧的概率。阱内泄漏随时间积累并饱和于随驱动振幅增加而增大的值。关于此泄漏概率的更多细节可在附录C中找到。

E. 加热和驱动诱导耗散

虽然我们的主要关注点是触发Kerr猫量子比特破坏的机制，但隧穿时间的总体量级也具有实际意义。在本节中，我们表明隧穿时间平台的高度对环境的具体参数——即环境谱函数\(S(\omega)\)和有效温度\(T_{\text{eff}}\)——高度敏感。因此，对实验测量的隧穿时间的定量预测需要精确知道SNAIL看到的宽带输入阻抗和热环境。

在II C节中，我们讨论了通过吸收频率为\(\omega_d\)的浴光子而实现的加热过程，例如由\(\hat{L}_1\)和\(\hat{L}_2\)支配的过程，这些过程同时贡献于阱间隧穿和阱内泄漏。另一个重要的加热来源涉及吸收频率为\(\omega_d\)的环境光子。虽然这些跃迁的矩阵元较小，但由于谱函数\(S(\omega)\)在\(\omega_d\)处强烈峰值，它们被显著增强；见图2(d)。特别地，矩阵元\(\langle\epsilon_2|\hat{a}|\epsilon_0\rangle\)和\(\langle\epsilon_3|\hat{a}|\epsilon_1\rangle\)对应于连接相同宇称态的跃迁，例如\(|\epsilon_0\rangle\)和\(|\epsilon_2\rangle\)以及\(|\epsilon_1\rangle\)和\(|\epsilon_3\rangle\)。在第一次谱交叉之前，这些跃迁以总速率贡献于隧穿
\[\Gamma_{\text{tun}} = 2\pi S(\omega_d)\left|\sum_{n}\langle\epsilon_{n+2}|\hat{a}|\epsilon_n\rangle\right|^2 \tag{15}\]
第一项对应于从浴中吸收频率为\(\omega_d\)的光子，即使在零驱动振幅下也存在。实际上，在极限情况下，相应的Floquet矩阵元会约化为裸SNAIL态之间的电荷矩阵元和。这些矩阵元虽然较小但非零——对于此处所用的参数，其量级约为——这反映了双SNAIL哈密顿量不具有宇称对称性。增加驱动幅度会进一步增强矩阵元；见图4(b)中的蓝色虚线。附录D中给出的解析结果支持了这一结论。重要的是，这种泄漏机制在保持宇称对称性的电路实现中被抑制——即哈密顿量在变换下不变的实现——例如基于对称超导量子干涉器件的设计[11,78]；更多细节见附录D。

另一方面，式(15)中的第二项对应于一种更微妙的、由驱动引起的、频率为的向浴的发射，该过程与从猫子空间的泄漏同时发生，并在零温下仍然存在。如图4(b)中的黄色和棕色点线所示，相应的矩阵元当时消失，但随着增加会增长几个数量级。这些速率的微扰表达式在附录D中给出。这些由驱动引起的非弹性散射过程已被证明是高频区色散读出的限制因素[50,51]。

对于图6中使用的浴参数——取自文献[39]——我们得到。因此，我们发现，即使；见图4。此外，这两个速率远大于，表明对于这一参数选择，驱动引起的过程可以忽略。重要的是，这些不同的速率强烈依赖于谱函数的具体形式以及相关频率处的浴温度。例如，在平坦谱函数和整个频率范围内温度恒定的情况下，如果，泄漏将主要由处的加热过程主导。相反，在较低温度下，主要贡献将来自驱动辅助过程。

作为说明，图7显示了隧穿时间随驱动幅度的变化，使用与图6相同的系统参数，但采用了不同的浴谱函数和温度值以及。首先，我们发现隧穿时间的整体尺度和阶梯状特征的高度对这些参数高度敏感：减小或温度都会增加隧穿时间，这与上述讨论一致。

图7. 不同浴谱函数和温度下隧穿时间随驱动幅度的变化。(a) 固定温度，三种不同谱函数。(b) 零温，三种不同谱函数。(c) 固定，三种浴温度组合和。具体的和值在图中标出。

在图7(a)中，我们改变，同时保持和两个温度固定。结果，我们观察到从处加热主导的区域（浅蓝色）到处加热主导的区域（深蓝色）的转变。红色曲线表示之前讨论过的中间区域，其中两个通道的贡献相当。-诱导加热的一个关键特征是第一个平台的逐渐下降而非平坦。这种行为是因为相应的矩阵元随驱动幅度增长，如图4(b)中的蓝色虚线所示。

在图7(b)中，我们考虑零温极限，对所有频率取，使得驱动诱导的过程成为唯一的加热机制。在该区域，平台之间随着驱动幅度的增加下降得更陡峭，这是因为相关矩阵元（和）随驱动幅度强烈增强，如图4(b)中的橙色和棕色点线所示。

图7(c)显示了与图7(a)类似的效果，但现在是改变在和处的温度，同时保持谱函数固定。深蓝色和浅蓝色曲线再次强调了处加热主导的区域，而红色曲线是从图7(a)中复制用于比较的。

有效温度范围的选择使得相关频率和处的热光子数大致跨越，这与强驱动超导电路中报道的值一致；例如，参见关于量子比特测量的文献[79]。我们进一步注意到，驱动频率处的谱密度可以用其他电路参数表示，，其中是缓冲模线宽，是其与SNAIL模的耦合强度；详见附录B1。

III. 缓冲模

失效的一个可能原因是导致Floquet谱中出现不期望共振的机制，这些共振可以介导到更高能态的泄漏，从而在meta势阱之间转移占据概率。此类谱共振在先前的工作中已被确定为驱动下高度激发氢原子电离的主要机制[41]，以及超导电路中的相应机制[42–49,80,81]。考虑到Kerr猫量子比特电路实现中存在额外的自由度，自然要问它们的存在是否能引起此类共振。

为了探究这种可能性，我们现在将缓冲模重新纳入系统描述中，并研究其对Kerr猫量子比特的影响。我们的出发点是式(3)的精确位移框架哈密顿量，其中包含猫模与缓冲模之间的相互作用。对于实验相关参数——具体地，缓冲驱动失谐和耦合强度——这种相互作用导致缓冲模与双SNAIL振子之间约10 kHz量级的色散位移[30,31,33]。如下所示，这个额外的自由度引入了单模模型中不存在的共振过程，并导致阶梯行为的失效。在下文中，我们首先关注正失谐的情况，此时缓冲模位于驱动频率之上，如文献[30,34]中实现的那样（见第IIIA和IIIB节）。为了完整性，我们也在第IIIC节中分析负失谐的情况。

A. 缓冲模对Floquet谱的影响

分析遵循与上述相同的步骤，但特别需要注意的是，在识别联合SNAIL-缓冲系统的缀饰态时要格外小心。为此，我们首先对角化未驱动哈密顿量：

(16)

得到一组缀饰本征态及相应的缀饰能量。遵循文献[44]，我们首先通过将缀饰态与无缓冲激发的裸态进行比较，识别出具有个SNAIL激发和零缓冲激发的缀饰态。然后，我们将作用于每个这样的缀饰态，生成态的候选，从剩余的中选择重叠最大的态。重复此迭代过程以构造和标记更高激发态。与上一节一样，我们将希尔伯特空间截断为双SNAIL模的160个能级和缓冲模最多五个激发。

在位移框架下，我们然后如式(3)那样加入双SNAIL模上的驱动，并按照第II节讨论的过程，使用跟踪谱时步长增量为获得Floquet谱随驱动幅度的变化；关于增量的选择讨论见文献[46]。在这个扩展系统中，猫态对应于Floquet模和。为了便于与单模近似比较，我们在图8(a)中显示了（在处折叠的）Floquet谱，包括零缓冲激发的最低模（实线）以及九个相关的单缓冲激发模（虚线）。

图8. (a) 存在缓冲模时准能谱的谱接吻，缓冲模频率位于驱动频率之上。实线表示无缓冲激发的准能级，虚线表示单缓冲激发的准能级。灰色虚线对应从左到右依次为、14、13、11、10、9的准能级。(b) (a)中方框标出的三个避免交叉的放大视图，它们中断了低位准能级的谱接吻。(c) 在处的避免交叉附近，模（左）和（右）的Wigner函数。

与单模近似一样，对于直到的驱动幅度，我们恢复了涉及例如准能级对和的谱接吻。然而，中断谱接吻的避免交叉出现在无缓冲激发的低能准能级和涉及单缓冲激发的更高能态之间。这些特征在图8(a)中用方框标出，并在图8(b)的放大视图中详细展示。第一个反交叉是在处和之间——对应于猫流形中的个光子。类似的避免交叉发生在处的和之间，以及处的和之间。

关键的是，上述三个避免交叉并非仅有的交叉，而只是在我们用于Floquet谱跟踪的驱动幅度有限步长下分辨出的那些。事实上，在没有选择定则的情况下，正如此处的情况，所有准能级对之间都存在有限耦合，因此交叉一般被避免交叉所取代。因此，当图8(a)中虚线所示的准能级与低位准能级相交时，它们实际上形成了避免交叉。这些共振涉及较高能态——如、和——与参与谱接吻的较低能态之间的杂化，它们密集地发生在驱动范围内，对应猫流形中的10–18个光子，与文献[34]中的实验观察一致。改变驱动频率会改变缓冲-驱动失谐，从而移动相关准能级变得共振时的驱动幅度。因此，扫描预计会将这些避免交叉连续移动到不同的值，正如文献[34]中实验观察到的那样。对这一依赖关系的系统研究留待将来进行。注意，虽然这些共振的分裂很小，约为10 kHz量级，如图8(b)所示，但它们的存在对隧穿时间有显著影响，这将在下一小节进一步讨论。

这些避免交叉尽管间隙很小，但仍能被分辨，因为它们很宽：涉及的准能级在宽范围的驱动幅度内保持近平行，因此它们的相对分离变化缓慢，相比步长增量的大小。结果，模在较宽的驱动幅度范围内发生显著杂化，即使本征态标签在避免交叉处不交换。进一步减小跟踪中的步长增量虽然可行，但对于分辨这些特征并不必要，我们因其计算成本而避免这样做。

这些避免交叉——谱接吻被中断的地方——的重要性在于，在任何一个这样的交叉处，参与接吻的Floquet模的任何叠加都不能局域在Kerr猫meta势阱的单个势阱内。图8(c)说明了这一点，显示了在和之间避免交叉处，处的Floquet模和的Wigner分布。在避免交叉之前，大约通过位移宇称变换与相关；结果，它们的叠加产生形式的态，这些态局域在单个势阱中[20]。然而，在避免交叉处，与一个更高能模发生显著杂化——如其Wigner分布所示——不能再与之组合产生良好局域的态。

避免交叉以及随之而来的谱接吻的连续中断，是能级的交流斯塔克位移以及缓冲模与驱动频率之间中等失谐的结果。为了说明这一点，我们关注和之间的避免交叉。在没有驱动的情况下，相应缀饰态之间的能量差约为

(17)

其中最后一项来自自Kerr非线性，此处为。该表达式表明，在存在驱动的情况下，如果交流斯塔克位移足够强以补偿失谐，这两个态可以共振（模）。当，如本文所考虑的以及近期实验中的情况[30,34]时，这种情况很可能发生对于该跃迁或其他跃迁。这是因为对于，驱动对从到的跃迁产生负的交流斯塔克位移，导致每当时的多光子共振条件。对于此处考虑的驱动幅度范围，约为或更小的失谐是有问题的，因为交流斯塔克位移在中等驱动幅度下就能弥合该间隙。在单模情况下，这类共振无法发生，因为能量差如 无法被驱动引起的负频移所补偿。此外，由于较小的克尔非线性意味着随着 增大，交流斯塔克频移增长缓慢，近共振条件可以在很宽的驱动幅度范围内持续存在。因此，即使是弱的色散相互作用也能导致这些弗洛凯模之间的强杂化。类似的论证可以解释图8中标记的另外两个避免交叉。重要的是，如果使用非线性微扰展开，精确捕捉这种杂化即使并非不可能，也是困难的；另参见文献[41,46]。在附录E中，我们表明导致 与 之间耦合的最低阶过程仅在非线性势展开至其最小值周围的第11阶时才出现。

B. 缓冲模式对隧穿时间的影响

我们扩展了第二节中引入的弗洛凯-马尔可夫形式，以考虑SNAIL和缓冲模式耦合到不同环境的事实。主方程现在包括两类耗散通道，分别与SNAIL电荷算符的矩阵元 (18) 和缓冲电荷算符的矩阵元 (19) 相关联。在这些表达式中，每个指标 和 标记一对 SNAIL和缓冲激发。第一类矩阵元 描述由于双SNAIL固有热库引起的耗散，例如考虑介质损耗。重要的是，与单模近似中类似外观的表达式Eq. (10)相比，该热库不被缓冲模式滤波。因此，我们考虑平坦的谱函数 和单一有效温度 。第二类矩阵元 描述缓冲模式与其环境的耦合，主要受驱动线耦合的支配。该热库同样被假定具有平坦的谱函数 和恒定的有效温度 。谱函数和温度的具体数值选择使得第二节中考虑的耗散动力学在单模近似中得以恢复。

有了这些定义，我们现在遵循第二节D中讨论的方法，从赋值误差计算隧穿时间作为驱动幅度的函数，如图9(a)所示。对于低于 的驱动幅度，隧穿时间表现出阶梯状增加，这得益于最低准能级的谱亲吻和耗散过程的诱导干涉，就像第二节中对缓冲模式半经典处理的情况一样。对于较大的驱动幅度，谱亲吻被避免交叉所中断，隧穿时间受到显著影响。图9(b)显示了 范围内的隧穿时间。图9(c)中伴随有弗洛凯追踪的保真度（ ），它测量每次驱动增量前后每个弗洛凯模之间的平方重叠，图9(d)中则展示了代表性的弗洛凯矩阵元 。虽然我们在此关注第一类矩阵元，但我们注意到第二类 表现出类似的特征。

图9. (a) 在缓冲模式频率高于驱动频率的情况下，隧穿时间作为驱动幅度的函数。(b) 在 的约化范围内与(a)相同，对应约10-17个光子的猫态。参见左侧图例。(c) 弗洛凯追踪保真度， 。保真度下降（虚线标出）表明共振的存在。(d) 代表性弗洛凯矩阵元 作为驱动幅度的函数。追踪保真度的下降与连接低激发态到高激发态的矩阵元的共振增强相吻合，导致观察到的隧穿时间凹陷。参见左侧图例。

在 处，隧穿时间中观察到尖锐的凹陷。如图9(c)中浅蓝色线所示，这与 的追踪重叠的突然下降相吻合， 与 发生杂化。尽管在这些状态之间在 的特定值处杂化相对较弱——约为2%——但它足以破坏隧穿时间的阶梯状增加，因为到高能模的跃迁率显著增长。事实上，如图9(d)所示， 与 （深蓝色线）、 （红色和浅蓝色线）以及 （蓝色线）之间的弗洛凯矩阵元 增加了几个数量级。这种杂化不仅打开了从 到双势阱势垒外状态的新泄漏通道，而且还使得从其他低激发态 、 和 到这些高能态的直接跃迁成为可能。

在 以上，隧穿时间表现出尖锐的增加，随后出现新的平台，这是由于 和 之间的谱亲吻——这种行为类似于单模情况。然而，这个平台被多次中断，每当低激发模之一——即 到 ——与更高能态杂化时。例如，在 处，模 与 杂化，导致前者的追踪保真度下降，如图9(c)中红线所示。这种杂化破坏了负责抑制 和 之间隧穿的跃迁算符的相干干涉（参见，例如图5）。同时，它也增强了连接 和其他低激发模到高能模的矩阵元，如图9(d)中橙色和红色曲线所示，最终导致隧穿时间的显著下降。

有趣的是，第三节A中讨论的 与 之间的杂化，以及图9(c)中追踪保真度的大幅下降（棕色曲线）所强调的，并未导致隧穿时间的急剧下降，因为准能 和 在 处尚未亲吻。因此，泄漏到这些状态独立于它们与其他高能模的杂化来限制隧穿时间。

隧穿时间的后续凹陷由进一步的共振引起，包括 与 以及 与 之间的杂化。超过 后，这些杂化变得足够强，使得猫态和第一激发态 对于 的 依次侵蚀隧穿时间的阶梯状增长；参见图9(c)中的粉色、深蓝色和红色曲线，以及图9(d)中相应的矩阵元增强。

隧穿时间的整体下降——以尖锐凹陷为点缀——作为驱动幅度超过某一阈值的函数，在文献[34]中被实验观察到，但其起源一直是一个悬而未决的问题。我们的结果表明，这一观察的原因涉及额外自由度的多光子共振，这些共振中断了负责抑制隧穿的耗散通道的相消干涉，并打开了通往克尔猫元势双势阱势垒上方状态的新泄漏通道。

C. 缓冲模式频率低于驱动频率的影响

前面的讨论会暗示，当缓冲模式低于驱动频率，即 时，在本文探讨的驱动幅度范围内不应出现多光子共振，因为跃迁 的负交流斯塔克频移与零驱动时的失谐 具有相同的符号，后者由 决定。然而，如下所示，在负失谐区域，一种不同的有害机制发挥作用，同样导致克尔猫量子比特的隧穿时间崩溃。这种负失谐区域已在文献[33]中实验实现。除了改变 的符号，该区域也可以通过使用外部磁通控制翻转自克尔非线性 的符号来模拟[34,82]。

这种替代的崩溃机制可以从图10(a)中理解，其中我们展示了弗洛凯谱，不仅包括零缓冲激发的猫的相关能级 （实线），还包括一个缓冲激发的对应能级 （虚线）。如前所述，猫态由最低的两个能级 和 定义。与上述讨论一致，能级 对于 不与更高能态发生碰撞，这些能级的谱亲吻在本文显示的驱动幅度范围内保持不间断——与正失谐情况不同。然而，出于与第三节A中讨论的正失谐情况相同的原因，能级 （彩色虚线）与零缓冲激发的激发猫态 （其中 ，灰色实线）碰撞，如图10(a)所示，其中灰色实线多次穿过彩色虚线。

图10. (a) 在缓冲模式频率低于驱动频率的情况下，折叠在 处的弗洛凯谱。实线对应零缓冲激发的低激发准能，偶和奇猫态分别用粉色和深蓝色标出。虚线表示一个缓冲激发的状态。(b) 对于缓冲模式频率低于驱动频率的情况，隧穿时间作为驱动幅度的函数，在不同缓冲热库温度 下显示。

如果缓冲被限制在接近其真空态（在位移框架中），正如零温度 时那样，这些共振是无足轻重的：猫态和元势下方的相关状态不与高能模杂化，隧穿时间随 增加而不会崩溃。图10(b)证实了这一点，该图显示了对于不同缓冲热库温度 ，隧穿时间作为驱动幅度的函数，所有其他热库参数（ 、 和 ）与图9相同。在 （深蓝色圆圈）处，隧穿时间几乎恢复到单模结果，尽管驱动引起的加热（参见第二节E）开始在4-5 GHz范围内略微限制它。将缓冲热库温度提高到 （红色三角形）引入了小凹陷，中断了阶梯状增加。这些凹陷对应于 与 之间对于 和 的能级交叉，如上所述。

确实，在有限缓冲温度下，热库诱导从能级 到 的泄漏，由矩阵元 促成。通过考虑 并注意到主要的缓冲弗洛凯矩阵元（ ）以 的形式进入主方程，可以明确看到这一点。 (20)

其中弗洛凯模近似为 对于 和 。因此，即使主要的缓冲弗洛凯矩阵元不直接诱导隧穿——得益于相消干涉，如Eq. (20)所示——它们仍然导致缓冲模式的占据： 。由于这个过程在 处探测热库，它由驱动频率处的热光子使能。由此产生的具有有限缓冲激发的状态，由驱动引起的交流斯塔克效应频移，然后可能与高激发模 （其中 ）共振并与其强烈杂化；参见图10(a)。这促进了跨越双势阱势垒 的隧穿。这种机制在更大的缓冲模式温度下变得更加明显；参见图10(b)中 的浅蓝色方块，其中隧穿时间显示出由于单激发缓冲流形共振引起的明显凹陷。

总之，缓冲模式的存在可以解释最近关于克尔猫隧穿时间崩溃的实验观察。当缓冲位于驱动频率之上时，涉及低激发谱的共振是量子比特过早失效的原因。另一方面，在负失谐情况下，是缓冲加热，连同影响有限缓冲激发模的共振，导致隧穿时间的突然下降。

IV. SNAIL阵列模式

在上一节中，我们证明了在电路描述中包含缓冲模式可以解释实验观察到的猫隧穿时间阶梯模式随驱动幅度增加而崩溃的现象。在本节中，我们探讨了我们在Eq. (5)的单相位近似中忽略的SNAIL电路内部自由度的作用。这些是双SNAIL的高频集体模式，我们迄今为止隐式假设它们保持在其基态。在磁通量子比特的背景下，类似的阵列模式已被理论上证明会产生涉及阵列激发的额外多光子共振，并降低测量诱导状态跃迁的起始阈值[81]。此外，一旦被占据，这些模式会在长时间尺度上贡献退相干[63,81]，这可以显著降低克尔猫量子比特的相干时间[36,83]。

在此，我们表明SNAIL的阵列模式同样可以诱导多光子共振，导致隧穿时间阶梯模式的崩溃，类似于缓冲模式引起的崩溃。这种共振的发生敏感地取决于阵列模式的频率，后者由电路设计决定。重要的是，这些共振主要源于SNAIL模式与阵列模式之间的二次耦合，该耦合由阵列中的杂散接地电容引起，而杂散接地电容原则上可以设计得可忽略不计。在图2(a)的双SNAIL电路中，存在六个相互作用的阵列集体模式。最低能量模式对应于式(5)单相位近似中保留的模式。用两个SNAIL的六个大结上的磁通量表示，该模式的约化相位变量为，我们将其称为对称模式（见图16）。其余五个集体模式是非线性振荡器，其基频接近大结的等离子体频率，远高于对称模式的频率[62]。由于这种大失谐和通常较弱的耦合，它们一般仅以色散方式与对称模式相互作用[62,63,81]。更多细节见附录F。

然而，其中一个模式因其相对较低的等离子体频率以及与对称模式显著更强的电荷耦合而突出[62,63,81]。为使分析易于处理同时捕捉主导效应，我们仅保留该模式。其约化相位坐标用大结上的磁通量定义为，并在两个SNAIL交换时改变符号；因此，我们称之为反对称模式。描述耦合的对称和反对称模式的哈密顿量为
(21)
其中是一个关联两个电容能量的因子。这两个模式既通过余弦非线性耦合，也通过二次项耦合，后者由阵列中的杂散接地电容产生；详见附录F。

在存在驱动的情况下，每当反对称模式频率接近驱动频率的整数倍时，哈密顿量可以导致与缓冲模式情况下类似的多光子过程，从而破坏Kerr-cat量子比特的光谱亲吻和相干性。事实上，可以重写为
(22)
其中我们引入了反对称模式的有效约瑟夫森能量
该哈密顿量与缓冲模式情况具有相同形式，除了两个额外项：(i)额外模式势能中的非线性部分，它不起重要作用；以及(ii)额外模式与对称模式之间的弱非线性耦合。

如果反对称模式的等离子体频率低于最近的整数倍，则能谱保持无有害共振。然而，如果超过这样的整数倍，多光子共振就会像缓冲模式情况一样出现。为评估其影响，我们首先选择参数使得，从而设置，超过的量。由于对于小到中等，共振较弱，我们通过设置来探测最坏情况，从而使电容耦合成为主导相互作用。

与上一节一样，我们首先对角化式(21)中的哈密顿量以获得缀饰本征态，其中和分别标记对称和反对称模式中的激发。然后我们将驱动添加到对称模式，并计算Floquet谱作为驱动振幅的函数，如图11(a)所示。与缓冲模式情况一样，准能量之间的成对光谱亲吻被与准能量的回避交叉所打断。这里，为清晰起见，我们选择按照每个交叉处的渐近模式来标记Floquet谱。我们还注意到，与缓冲模式一样，没有选择定则：图11(a)中看到的所有交叉都是实际的回避交叉。

图11. (a)在反对称约瑟夫森结阵列模式存在时准能量的光谱亲吻，该模式频率位于上方。实线表示阵列反对称模式中零激发模式对应的最低准能量，虚线对应一个激发的模式。在约4.2 GHz以上（阴影区域），没有交叉打断相关准能量的光谱亲吻。(b)相应的隧穿时间作为驱动振幅的函数。

该谱揭示了与缓冲模式情况相比的两个关键差异。首先，对于约4.2 GHz以上的驱动振幅（阴影区域），没有回避交叉打断准简并对0–1、2–3、4–5和5–6，这意味着隧穿时间在该范围内应保持较长。其次，在较低驱动振幅下，与反对称模式的杂化仅涉及低激发对称态。相比之下，在缓冲模式情况下，Kerr cat被激发到高能级，导致从势阱双阱中的显著泄漏。

转向耗散动力学，我们使用与第二节相同的Floquet-Markov主方程。由于驱动端口与对称模式的耦合远强于与高能模式的耦合[63]，我们假设只有对称模式是有损的，通过电荷算符与环境耦合。我们采用与第二节相同的环境谱函数和频率相关温度。图11(b)显示了从赋值错误概率计算的隧穿时间随驱动振幅的变化。如前所述，它呈现出阶梯状增加，被与Floquet谱中共振相关的尖锐下陷打断。在处出现一个显著下陷，这是由于与之间的共振。关键的是，对于该组参数，隧穿时间在高驱动区域（，阴影区域）不会崩溃，这与缓冲模式情况形成对比。在该范围内，共振原本会最具破坏性，但没有涉及相关近简并准能量对的共振。结果，隧穿时间随驱动振幅增加而不受干扰。

然而，将增加到16.43导致失谐，阵列模式开始发挥类似于第三A和第三B节分析的缓冲模式的作用。图12(a)显示了光谱亲吻，现在被阵列模式中一个或两个激发的态对应的众多准能量打断（虚线）。关键的是，这些共振主要发生在大的驱动振幅下，这与上述小失谐情况形成对比。如图12(b)所示，隧穿时间显示一系列下陷，随着驱动振幅增大而变得更加突出，多光子共振变得更宽更频繁。

图12. (a)当约瑟夫森结阵列模式失谐在上方时准能量的光谱亲吻。实线表示阵列反对称模式中零激发模式对应的最低准能量，虚线对应一些单激发和双激发模式。(b)相应的隧穿时间作为驱动振幅的函数。

值得注意的是，对于非常小的接地电容（小，例如），与阵列模式的多光子共振被大幅抑制，其对隧穿时间的影响被强烈减弱。

最后，这里考虑的阵列模式——共振频率接近且与Kerr-cat量子比特电荷耦合——扮演着类似于谐振器缓冲模式的二次谐波或3D腔盒模式的角色[30,33]。因此，为阵列模式得出的所有结论同样适用于缓冲模式的二次谐波。

V. 结论

我们证明，在单模近似内，Kerr-cat量子比特隧穿时间的阶梯模式持续到高驱动振幅。换句话说，在不存在额外模式的情况下，Kerr-cat量子比特本质上是稳健的。这一结论是通过使用Floquet-Markov主方程得出的，该方程考虑了谱中的准简并，并非微扰地处理约瑟夫森结非线性和驱动。在该框架中，隧穿时间随驱动振幅的阶梯平台源于准简并能级对之间耗散跃迁的相干叠加：在每个光谱亲吻点，由于两个弛豫路径之间的相消干涉，势阱之间的隧穿被抑制。此外，我们发现隧穿时间不能可靠地指示Kerr-cat量子比特的相干时间，后者由定义为的逻辑Pauli算符的初始衰减确定。

为解释实验中观察到的阶梯模式崩溃，我们考虑了Kerr-cat量子比特实现中存在的额外模式。具体而言，我们考虑了用于驱动Kerr cat的缓冲模式、Kerr-cat量子比特电路中双SNAIL的集体阵列模式以及杂散几何电感的存在（附录G）的影响。对于接近参考文献[30,34]实验的参数，我们发现缓冲模式在准能量谱中产生多光子共振，而SNAIL中的阵列模式可以——取决于其频率——导致类似的共振。已知这类共振是高激发氢原子电离[41]以及transmon[42–51]和fluxonium量子比特[81,84–86]中驱动诱导跃迁的基础。在Kerr cat中，共振源于缓冲和约瑟夫森阵列模式，并直接导致阶梯模式的崩溃。重要的是，由于大隧穿时间依赖于较高激发能级之间的近简并，涉及这些能级的共振会影响Kerr-cat相干性。这与其他量子比特（如transmon和fluxonium）形成对比，后者只有涉及计算态的共振直接影响量子比特。

依赖约瑟夫森结阵列或使用缓冲模式或滤波器来传递驱动的Kerr-cat量子比特实验实现可能会遇到这些共振。本工作呈现的分析可以解释这些不同场景。这包括例如参考文献[32]的实现，其中驱动通过多模滤波器而非单个缓冲模式施加。这种滤波器可以视为一个耦合的谐振子网络，其共振频率接近驱动频率，从而实现高效驱动传递，而模式间的耦合产生干涉并在量子比特频率附近产生响应陷波；参见例如参考文献[87]。从这个角度来看，本文使用的形式体系无需任何概念修改即可适用。实际上，为处理这种情况，可以再次应用位移变换来消除线性滤波器模式上的显式驱动，这导致作用在SNAIL模式上的有效电荷驱动。随后的Floquet分析以与本文相同的方式进行。只要导致崩溃开始的共振涉及单个滤波器模式激发的态（如第三节所述），而涉及更高滤波器模式激发的共振仅出现在更大驱动振幅下，每个滤波器简正模可以单独分析以估计崩溃开始点。这一观察也表明，如果必须同时考虑多个滤波器模式，滤波器模式希尔伯特空间可以按总激发数截断，而不是像参考文献[88]那样对每个模式施加独立截断；详见附录A。因此，本文开发的框架及其结论适用于各种物理实现。

虽然隧穿时间的确切转折点取决于SNAIL参数、和，但我们的分析表明，这些参数仅通过交流斯塔克位移和相关矩阵元的变化对临界驱动振幅产生轻微影响；见附录D和E。另一方面，显著改善隧穿时间的最敏感参数是SNAIL与辅助模式之间的耦合强度以及这些模式频率的放置。特别是，模拟与测量的多光子共振位置之间的定量一致需要精确知道缓冲模式频率及其与SNAIL的耦合强度。

一个关键设计要素是驱动与辅助模式（缓冲或滤波器）之间失谐的符号。将该模式置于驱动频率之上会导致多光子共振，将cat态与势垒以上的激发态混合，在位移坐标系中辅助模式激发为零。相反，如果调谐到驱动频率以下，相应共振转移到具有有限辅助模式激发的态，因此它们仅通过缓冲或滤波器的加热间接影响隧穿动力学。正负失谐之间的这种不对称性源于双SNAIL元件的负非谐性。因此，如果使用正非谐性电路，分析应反向进行。在失谐符号之外，其绝对值同样扮演着重要角色。我们的分析表明，将失谐从数百兆赫兹降低到仅几十兆赫兹，可能有利于在大多光子数区域运行的Kerr-cat操作。在这种情况下，那些不想要的共振会被推至更低的驱动幅度，如图11中的小失谐阵列模情形所示。较小的缓冲器或滤波器驱动失谐，在实际中还有一个优势，即在固定输入功率和固定耦合下，能够增强稳定化驱动。

另一个关键要点是，为了减轻阵列模对Kerr猫隧穿时间的影响，电路设计应优先避免模频率接近驱动频率的有理分数，并减小约瑟夫森阵列中大结的寄生接地电容。后者会降低阵列模与编码Kerr猫的模之间的有效电荷-电荷耦合，从而削弱我们分析中识别出的有害共振。

在电路实现中，除了此处考虑的模之外，其他邻近模若其频率接近量子比特频率或其谐波，也可能同样导致Kerr-cat量子比特的失效。因此，对Kerr-cat量子比特的微波环境进行详细表征——例如文献[51]在高频读出背景下所做的那样——对于识别能够恢复Kerr-cat量子比特内在鲁棒性的参数区域至关重要。此外，通过例如漏抑制技术[36,39,89]来减轻阱内泄漏，可以进一步延长隧穿时间和相干时间，从而缩小两者之间的差距。

从器件设计的角度来看，在优化流程的每一步都进行完整的隧穿时间计算并非必要。对于给定的一组参数，共振首次出现的驱动幅度可以从不考虑辅助模耦合的准能谱中估计出来，因为对交流斯塔克位移的相应修正可能很小；见附录E2。虽然这种未耦合谱自然表现出能级交叉而非真正的避免交叉，但这些交叉的位置为一旦耦合恢复后实际多模共振将出现的位置提供了估计。这些估计随后可以利用精确的闭合系统多模Floquet谱加以修正。预计最具破坏性的共振，是那些将已经发生过谱接触的低位准能对中的某个模与超势阱外的模杂化的共振，其中相关的对属于零辅助模激发或单辅助模激发流形，具体取决于失谐的符号。避免交叉间隙、模杂化和Floquet矩阵元可用于评估这些共振的相关性，如第三和第四节所示。因此，完整的Floquet-Markov模拟可以保留给经过筛选的设计，此时必须包含环境的谱函数和有效温度，才能定量预测隧穿时间；更多细节见附录A。

为了进一步提高我们对隧穿时间的预测及其与实验的对比，在主方程中包含退相位噪声通道将是有价值的，这可以自然地纳入我们的形式中。具体而言，可以通过对外部通量在操作点附近的涨落进行平均，来包含通量噪声。在实际操作中，这相当于计算在不同通量实现下由Floquet-Markov处理得到的隧穿时间分布。这种形式的噪声已被证明主要影响隧穿时间的初始上升，而对其在更高驱动幅度下的行为基本没有改变[30,32]。相比之下，白噪声（马尔可夫型）退相位影响平台的高度[30,32]，可以通过将Floquet矩阵元方程(10)中的替换为，以类似方式纳入。如第二节E所讨论的，拥有一个更精细的模型——理想情况下由实验提供信息——关于系统所见的谱函数和有效温度，将有助于更准确地匹配阶梯平台的高度。此外，虽然某些避免交叉在系统未偏置在由驱动引起的共振附近时可能不会影响隧穿时间，但它们仍然对猫态的绝热制备构成问题。所有影响Kerr猫准能和的避免交叉，都必须被足够快地穿越，以使系统能够绝热地通过它们。朗道-齐纳跃迁概率可以直接从Floquet谱中使用本文提出的方法计算（例如，见文献[46,48]），这可以为未来的实验提供参考。

除了Kerr-cat量子比特之外，这里开发的方法适用于任何强驱动耗散超导电路，无论其是否具有谱准简并性。由于它不依赖于势能的微扰展开，因此可用于研究任意非谐性非线性系统中的非弹性散射[50,51]和其他驱动诱导的耗散现象。此外，由于它在Floquet谱存在准简并时仍然有效，因此适用于非共振和共振驱动区域。例子包括亚谐波驱动下的超导电路[49,55,90,91]，以及运行在多阱势中的受保护量子比特，其中准简并同样控制着相干性和隧穿动力学[92,93]。