大交换场下温度诱导的超导增强

《Physical Review Research》：Temperature-induced superconductivity enhancement under large exchange fields

　　通过全面的自由能分析，我们证明有限温度可以同时削弱超导性并减轻塞曼效应引起的去配对效应，从而在受到大交换场作用的超导体中导致潜在的非单调温度依赖行为。值得注意的是，当塞曼能量超过超导序参量时，由于热效应与磁效应之间的竞争，超导性可以反直觉地被温度增强。我们提出多带效应为这种温度诱导增强提供了一种可能的微观途径，并在两带超导模型中明确展示了这一点。详细的参数分析确定了该现象出现的条件，表明温度增强的超导性可能在MgB2和FeSe等材料中通过输运和隧穿测量观测到。

I. 引言

在大交换场下的超导体行为几十年来一直是凝聚态物理的核心课题。零温临界交换场????首先由Clogston和Chandrasekhar独立确定[1,2]，现称为泡利极限。该理论的有限温度扩展后来由Sarma通过自由能分析发展[3–5]，揭示了从均匀超导态到正常态的转变在低温下是一级的，而在较高温度下是二级的。后续研究表明，具有有限动量配对的非均匀超导态，即Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov（FFLO）态，在略超过泡利极限时可能在能量上变得有利[6,7]。然而，实现FFLO态需要极其清洁的系统以维持序参量的空间调制。这些理论预测已得到在面内磁场下超导薄膜的实验观测支持[8–15]。

我们关注强交换场下超导性的温度诱导非单调行为。在传统理解中，温度升高抑制超导性，导致序参量单调减小。然而，含有磁性杂质或表现出自发铁磁性的超导体挑战了这一预期。Sarma和de Gennes理论上证明，在具有适当浓度磁性杂质的超导体中，杂质的温度依赖极化可导致非单调行为：在低温下，超导性可被热效应增强[16,17]。这一预测得到了超导稀磁稀土合金实验的支持[18–20]。此外，几项独立研究报道了各种铁磁超导体中温度诱导的非单调或再入超导性[21–27]，这些在我们最近的工作中通过引入温度依赖的铁磁性得到了解释[28]。

在本工作中，我们研究了具有自旋单态配对和一般动量依赖能隙函数的有限温度单带和两带超导模型。通过分析自由能，我们表明温度具有两种竞争效应：它通过热准粒子激发削弱超导性，但也减轻了无磁性杂质或磁有序超导体中交换场诱导的去配对效应。当塞曼能量超过相关的超导能隙尺度时，这两种效应之间的竞争可导致超导序参量的非单调温度依赖。此外，我们在两带框架内明确检查了温度诱导的超导性增强，并确定了该现象出现的参数区间。

II. 模型与理论框架

对于承受外部面内磁场（其作用纯粹为交换场）的两带超导薄膜，哈密顿量表示为

(1)

其中（ ）表示在 带中自旋为 的电子的产生（湮灭）算符， 表示 带与 带之间的耦合强度。在多带超导性的平均场和弱耦合处理中，Barzykin和Gor'kov表明两个能隙可近似由与温度和场无关的能隙比 描述[29,30]，这大大简化了计算。在当前的自由能公式中，这种恒定能隙比简化还要求足够强的带间锁定，如补充材料[31]第II节所讨论和测试的。在这些条件下，自由能 可写成闭合形式（详见补充材料[31]第I节）：

(2)

其中 是 带在费米能级附近的态密度， 是对应的超导序参量，满足 ，且 。函数 表征序参量各向异性[ ]，对于各向同性 波配对， ；对于各向异性 波配对， 。为简化，正文中仅讨论 波情况，而 波和其他形式 的结果见补充材料[31]第V、VII和VIII节。最小化自由能 得到自洽的 ，从而能定量分析温度诱导的超导性增强。

为计算方便，将方程(2)以无量纲形式表示为 ，其中 。其他无量纲参数定义为

(3)

无量纲两带自由能的显式表达式见补充材料[31]第I节。由于 和 可互换，在以下讨论中不失一般性，取 为较小的序参量，即 。当 时，两带情况自然简化为单带极限，下面将先作为示例讨论。为分析正常态（ ）与超导态（ ）之间的自由能差，我们定义

(4)

由于 与序参量无关，最小化 得到与 相同的自洽解。区别在于 将正常态的自由能 定义为恒定的零参考，不依赖于 和 。图1(a)显示了单带 波超导体在零温下 随各种 的演化，曲线的最小值对应平衡序参量。一旦 超过泡利极限 ，序参量从 突降至 ，这与先前研究一致[1–3]。值得注意的是， 随 增加而增大，并表现出显著的 依赖。

图1. 单带 波超导体的自由能分析。(a) 在 ，0.5， 和 0.9时 的景观。对应 的 和 轮廓：(b) ， 和 (c) ， 。(d) 在 时 的温度演化图。黑色实线标记 条件，橙色点 表示平衡序参量，颜色尺度代表 的幅度，对应温度效应节省能量的负值。 的等高线表示能量节省的分布。 的区域显示为透明，但通过其正等高线水平仍可追踪。

III. 温度诱导增强的热力学起源

为量化交换场和温度引起的 变化，我们将 偏移其零场和零温参考值 ，如图1(a)中蓝色曲线所示，从而定义

(5)

基于方程(5)和上述讨论， ， 和 分别表示有限 和 联合效应、纯塞曼效应和纯热效应所提升的自由能。这些量在有限 和 下计算，显示在图1(b)和1(c)中，阐明了温度诱导的塞曼型去配对减弱与超导性热抑制之间的竞争。

对于小的 和相对大的 ，图1(b)显示对所有 都有 ，表明温度通过与交换场耦合降低了超导自由能，但无法抵消由超导性抑制引起的增加。相反，对于接近 且 的情况， 在小和中等 时出现，如图1(c)所示。为详细检查这种温度诱导的能量节省， 随温度的演化映射在图1(d)中。图1(d)中的黑色实线与图1(c)的结果一致，表明仅当塞曼能量一般超过序参量时才发生自由能降低。因此，在足够大的交换场下，有限温度能更有效地减弱塞曼型去配对，而不是抑制超导性，导致相对于零温情况的净能量增益（详见补充材料[31]第IV节）。随着温度升高，该节省能量先增加，在中等温度达到最大值后迅速减小。

对于单带 波超导体，序参量随 增加保持恒定（ ），一旦 突降至 。因此，热效应无法降低自由能，且不出现温度诱导的超导性增强。这促使我们寻找序参量在超导性消失前可被部分抑制的场景，使系统能容纳相对于其序参量较大的塞曼能量。一种可能性是高度各向异性的序参量，在补充材料[31]第V节中简要讨论；另一种出现在两带超导体中[29,30,32]。

IV. 两带系统中的温度诱导增强

单带和两带 波系统的超导相图进行了比较。对于单带情况，图2(a)中的 相图显示临界场 在零温达到最大值，并随温度升高逐渐减小。序参量的等高线从上左角单调延伸到下右角，表明超导性不被热效应增强。在固定面内磁场下，序参量 随温度稳定减小[图2(c)]，进一步确认没有温度诱导的超导性增强。

图2. 单带和两带 波系统在大交换场下的超导性。 (a)单带系统和(b)两带系统在特定参数下的 相图。与一级转变（FOTs）和二级转变（SOTs）对应的物理临界场分别用橙色和蓝色实线表示。温度依赖的过冷场用灰色虚线表示。颜色尺度表示序参量 的大小，等高线突出单调和非单调的超导特征。以下图中使用相同的颜色尺度和线约定。 (c)单带系统和(d)两带系统在不同交换场下序参量 的温度依赖。 (e)单带系统在 和(f)两带系统在 下 的温度依赖景观。

相反，温度诱导的超导性增强在特定参数条件下出现在两带系统中。如图2(b)中白色虚线突出显示的， 的最大值出现在有限温度而非零温，证实了有限温度下超导性的增强。我们注意到，最近一项关于两带超导性的工作也通过求解极限 下的能隙方程报告了非单调的场-温度边界[33]。然而，该判据仅对连续的二级转变识别物理临界场。在一级转变存在的情况下， 能隙方程判据给出亚稳极限或过冷场，这不一定是能量上有利的，因此一般不对应于物理热力学临界场[34,35]。这一区别在补充材料[31]第III节中详细讨论。

如图2(a)和2(b)中灰色虚线所示，即使在单带情况下，过冷场的非单调温度依赖也可能出现，尽管物理临界场保持单调。因此，非单调的过冷场本身不应被视为温度诱导超导性增强的证据。在以下讨论中，我们关注由自由能全局最小值确定的物理临界场。

物理上的温度诱导非单调行为进一步由序参量等高线说明。如图2(b)所示，对应小序参量值的等高线（例如 ）在高场区域表现出非单调的温度依赖。此外，图2(d)显示 的温度依赖随施加场 而变化。对于相对小的 ，序参量在零温保持 并随温度升高单调减小，与单带情况一致。当 足够大以驱动一级转变且满足 时，出现序参量的温度诱导非单调行为。

对于相对大 在有限温度而非零温触发一级转变的情况，序参量表现出以下行为序列：突降、逐渐恢复、然后随温度进一步升高而抑制，如图2(d)中 的情况所示。随着 增加，当一级转变已在零温发生但场仍低于 时，序参量随温度先增加后减小，如 在图2(d)所示。最有趣的是，当 在零温略微超过 时，出现再入超导行为，即序参量仅在中间温度范围内非零。

这一现象可从图2(f)中 的景观更好地理解。在大 下，对应中间序参量 的自由能在温度升高时显著降低，这在单带和两带系统中都是如此[图2(e)和2(f)]，与图1(c)和1(d)所示的行为一致。然而，只有两带系统才能在大磁场区域维持超导性，从而允许温度诱导的重入超导性出现。实际上，对于某些参数组，序参量可以出现额外的非单调温度依赖性。相应的结果在补充材料[31]的第八节中给出。在弱耦合近似下，与温度和磁场无关的能隙比编码了带间耦合的效应。根据方程(2)，两带系统的性质随后由和态密度比决定。对于大和小 的两带系统，超导性由较大的序参量主导，类似于由表征的单带系统。相反，对于小（）和大，行为由较小的序参量主导，也有效地模拟了单带系统。如图3(a)和3(b)所示，这两种极限情况的相图与图2(a)中单带系统的相图非常相似。然而，主导的两带系统可以在处表现出弱的非单调温度依赖性，由图3(a)中的等值线所示，而主导的系统则不会，因为它始终满足。此外，两种单序参量主导的系统在临界场附近均未表现出温度诱导的增强，证据是最大值出现在零温度，证实了超导增强对参数和敏感。图3. 超导增强的参数依赖性。两带系统在(a)大和小，以及(b)小和大下的相图。面板(a)和(b)中的白色虚线表示与主导能隙相关的泡利极限。(c)和(d)在参数空间中的映射。面板(c)和(d)中的颜色标尺分别表示和的幅值。对应于面板(a)和(b)的参数点用橙色标记表示。

超导增强的特征由两个关键特征表征：序参量的温度诱导非单调行为和增强。由于序参量的非单调演化难以直接量化，我们关注增强的参数依赖性。我们将零温度下的临界交换场定义为，将最大临界场定义为，其出现在温度下。因此，当满足时，即可识别出温度诱导的超导增强。计算了和中在参数空间中的映射以揭示这种依赖性。如图3(c)所示，增强仅出现在参数空间的适当区域内，其中和大致相当。换言之，参数应避免接近单带极限，从而保留固有的两带特征。图3(d)中相应的映射进一步表明，最大超导增强总是发生在相对较小但非零的温度下。

如图1所讨论的，只有当塞曼能超过超导序参量时才会出现节能，这总是伴随着部分被抑制的序参量。对于零温度下的两带超导体，临界场诱导一阶相变(FOT)，在相变处均匀序参量从有限值突然降至零。为了评估相变前的序参量，记为，我们引入一个小的场增量并定义
(6)
和的参数依赖性如图4(a)所示。等值线主要沿方向显示非单调变化，表明的最小值出现在大和中间处，位于映射的中右区域附近。这种行为可以从图4(b)中的序参量分布进一步理解。对于小和大系统，其中超导性由主导，只出现单一的一阶相变，类似于单带情况。对于中间和大，其中较强的序参量部分保护较弱的序参量，在相对低处出现额外的一阶相变，导致序参量显著抑制。对于大且相对较小的，其中较强的序参量有效地保护较弱的序参量，在低处仅出现二阶相变(SOT)，导致最小的抑制。更多细节在补充材料[31]的第六节中提供。

图4. 零温度下与关系的参数依赖性。(a)的映射。(b)零温度下不同和值的序参量分布。为清晰起见，每条曲线垂直偏移1，靠近的下降用双箭头标记。(c)和(d)的映射。面板(a)、(c)和(d)中的颜色标尺分别表示、和的幅值。为清晰起见，省略了边界以下的等值线。

的等值线分布与图3(c)中的增强映射基本一致，表明超导增强总是与序参量的部分抑制相关。细微差异源于大系统中高场下主导。为了进一步比较临界场处的塞曼能和序参量，我们计算了和的映射，如图4(c)和4(d)所示。在图4(c)中，增大并减小使得显著大于较弱的序参量，从而能够实现图3(a)中观察到的附近非单调序参量行为。相反，图4(d)显示塞曼能始终小于序参量的较强分量，当太大而太小时，系统的行为实际上类似于由主导的单带超导体，抑制了任何增强。

V. 总结与讨论

总之，我们研究了有限温度下的单带和两带超导模型，其中包含自旋单态配对和一般动量依赖的能隙函数。通过系统的自由能分析，我们表明有限温度在交换场下的超导体中具有两种竞争效应：它通过热准粒子激发抑制超导性，但它也可以减少交换场诱导的去配对从而促进超导性。当塞曼能超过相关的超导能隙尺度时，后一种效应可以主导，导致温度诱导的超导增强。达到这一状态的可能微观途径包括自旋-轨道-宇称耦合和两带效应，先前的工作[30,36]在相图中报告了轻微的温度诱导增强，尽管这一现象未被明确识别或强调。

在本研究中，我们详细分析了两带波超导体，并证明了序参量的非单调温度依赖性和增强都是温度增强超导性的特征。我们发现这种增强对参数和敏感：明显的增强仅出现在大和中间处，而非单调序参量行为可以在更宽的参数范围内出现。在大部分分析中，我们采用了Gor'kov和Barzykin引入的弱耦合、恒定能隙比近似，其中被认为与温度和交换场无关。更详细的自由能分析表明，在当前公式中，这种约化还需要强带间锁定[31]。因此，我们还考察了带间锁定较弱的区域。这些计算表明，温度诱导的增强在强锁定区域之外仍然存在，尽管其定量幅度随着带间锁定的减弱而减小。此外，超导能隙的非单调温度依赖性即使在非常弱的带间锁定下仍然存在。因此，恒定能隙比近似捕捉了基本的物理机制，而其定量适用性取决于微观耦合矩阵。

虽然本理论是在平均场水平上表述的，但热涨落预计主要在附近的窄临界区域内重要。由于此处确定的温度诱导增强发生在远离的相对低温区域，这种涨落可能在定量上使相变变宽或移动相边界，但预计不会定性消除本工作提出的热力学机制。

我们的理论预测——温度诱导的增强和序参量的非单调温度依赖性——可以通过大面内磁场下多带超导薄膜的输运和隧道测量直接检验。两带波系统如[37–40]和[41–44]，以及各向异性（可能为波）两带超导体，包括[45–48]和[49–52]，为此类验证提供了理想的平台。

在[40]中，隧道测量揭示了态密度比的空间变化，为检验我们的波预测提供了天然的环境。此外，先前的研究表明，态密度比和序参量比都可以通过衬底诱导的空穴掺杂来调节[53,54]，使其成为实验验证我们理论框架的特别有前途的候选材料。使用从隧道谱提取的代表性参数[39,40,54,55]，我们估计在强带间锁定极限下，和可能表现出约5%的温度诱导临界场增强[31]。对于，相关顺磁场尺度为几十特斯拉量级，这对应于量级的场增加。对于，临界场超过几个特斯拉，相同的相对增强对应于十分之几特斯拉。这些估计表明，预测的增强应该可以在实验上分辨。