通过基于擦除的闭合类时曲线直接表征量子过程

《Physical Review Research》：Direct quantum process characterization via erasure-based closed timelike curves

　　表征微观世界中的复杂量子演化对于理解基础物理和推进量子信息应用至关重要。在常规量子过程层析中，单个过程矩阵元是通过重构间接获得的。在这里，我们使用顺序系统-辅助比特耦合和量子擦除来直接访问任意量子过程的这些矩阵元。在伪密度矩阵框架内，这些操作实现了一种有效的基于擦除的闭合类时曲线相互作用。在E-CTC辅助测量中，该协议将选择性计算基寻址与固定的叠加态制备和投影相结合。尽管对于一般过程，配置数量并未减少，但当计算基态易于寻址时，这些固定设置可以简化控制。我们在光子平台上通过表征若干个二维和四维量子过程实验演示了该方案，平均保真度超过99%。我们的工作提供了一种在基于擦除的闭合类时曲线框架内进行高维量子过程表征的无基旋转方法。I. 引言随着大规模量子信息处理的发展，在大希尔伯特空间中高效且忠实地表征量子动力学正成为一个紧迫且关键的问题。常规方法是量子过程层析[1]，它可以通过使用多个输入态的一系列投影测量，采用复杂的间接重构算法来重建动力学过程。然而，当用于大希尔伯特空间时，它在所需操作的数量和多样性以及算法复杂性方面面临重大挑战。具体而言，对于一个维系统，如果该维度存在完备的个相互无偏基，则它需要个测量结果。然后通过重构程序从测量概率中推断出过程矩阵元。相比之下，直接表征方法在获取量子演化中的某些信息（如相干性[2]、保真度[3]和传播子[4]估计）方面更为高效。通过量子纠错技术[5–9]和顺序弱值[10,11]已经开发了用于直接表征量子过程的方法。然而，它们在大规模、高维系统中的实际应用仍受到制备复杂纠缠态或实现复杂耦合操作挑战的限制。此外，弱值的近似会导致固有的高阶误差和精度降低[12]。一般而言，时间箭头施加了一个约束，要求过程前后操作可分离，从而限制了我们操纵和分析量子动力学的能力。在存在闭合类时曲线的情况下，这一限制可以被规避[13,14]。闭合类时曲线是爱因斯坦方程的解，允许观察者向过去旅行并与过去相互作用。有趣的是，当量子过程嵌入闭合类时曲线内时，会出现奇异的动力学，为Deutsch闭合类时曲线[15]和后选择闭合类时曲线[16,17]模型中著名的祖父悖论提供了解决方案。闭合类时曲线中过去与未来之间相互作用的能力为我们提供了新的工具来集体处理量子过程前后的量子信息。已经证明，闭合类时曲线对许多信息处理任务具有显著优势[18–25]。然而，与不同系统之间的瞬时相互作用不同，时间过去与未来之间的相互作用是否存在于现实物理世界中仍是未知的。相反，闭合类时曲线已在D-CTC[26]和P-CTC[17,25]框架基础上进行了实验模拟。在这项工作中，我们证明了闭合类时曲线中过去-未来相互作用的能力可用于直接量子过程表征。首先，我们提出了一种基于擦除的闭合类时曲线方案，其中一个辅助比特与系统相互作用两次，随后的量子擦除[27,28]导致对过去-未来相互作用的后选择。与D-CTC和P-CTC相比，E-CTC的自洽性自然满足。随后，利用E-CTC，我们提出了一种通过选择性计算基寻址和固定叠加态制备与投影来直接表征量子过程的方法。然后，我们通过在光子系统中表征若干个二维和四维过程来实验演示了我们的方法。II. 理论框架我们首先根据伪密度矩阵形式[29–32]介绍我们基于擦除的实现闭合类时曲线相互作用的方案。在该框架中，不同时间的量子系统被描述为独立过去和未来希尔伯特空间中的维量子态，分别记为和，如图1(a)所示。下标表示在遵从时间顺序的过去和未来时间空间中的方向。描述过去和未来空间之间关联的时间伪密度矩阵定义为。在闭合类时曲线存在的情况下，中的量子态通过幺正算子传播回并与自身过去的版本相互作用。因此，我们有关系式 (1)闭合类时曲线演化后的状态表示为。然而，这种因果关联的相互作用由于因果约束目前被认为是物理上不可行的：源自于未来的不能反过来影响。图1. 闭合类时曲线及其基于擦除的实现。(a) 量子态与自身过去相互作用的模型。虚线箭头表示时间方向。黑色和蓝色锥体表示量子态传播回其过去。(b) 基于擦除的闭合类时曲线相互作用方案。一个辅助比特通过和顺序与系统相互作用，最终通过投影擦除。我们基于擦除的闭合类时曲线方案示意图如图1(b)所示。为了后续在DQPC中的应用，我们旨在实现由下式定义的演化 (2)其中和是任意厄米算子，分别在本征基和上分解。应当注意，通过通用量子电路合成方法，我们可以进一步构造任意的闭合类时曲线演化。引入一个辅助比特与系统的过去态和未来态顺序相互作用。我们首先考虑辅助比特的维度也是，这样辅助比特可以用正交态基表示，其中是一个从0到的整数。下标表示辅助比特的时间空间。实现基于擦除的闭合类时曲线相互作用的步骤如下：(1) 辅助比特态制备在，并通过与系统的过去耦合 (3)其中我们定义。(2) 辅助比特通过以下方式与系统的未来相互作用 (4)其中相位用于实现方程(2)中的相位。这两步演化是幺正的，因此是可逆的。(3) 通过将辅助比特投影到态来擦除与之间的关联 (5)然后，从到的映射为，其中（见补充材料[33]第IB节）。中的因子来自辅助比特擦除投影。结果保持未归一化。因此，通过使用一个维辅助比特，可以以恒定的成功概率构造方程(2)中定义的任意过去-未来耦合。直观地说，来自过去的信息通过预选择和操作被相干地转移到辅助比特，在它们之间建立量子关联。与结合，未来通过与辅助比特关联的中介与过去相互作用。特别地，如果和中的非零元素数量分别减少到和，则辅助比特维度可以相应地减少到，导致成功概率为。虽然擦除诱导的演化也可以用双时关联来描述，但我们使用E-CTC图像作为有效过去-未来连接的操作性解释。底层电路遵循时间顺序，其实现和重构公式来源于顺序系统-辅助比特耦合和量子擦除。在概念层面上，这种过去-未来相互作用图像与D-CTC和P-CTC模型相关，尽管底层构造不同[15,17]。除了概念作用外，闭合类时曲线思想还激发了可在遵从时间顺序的实验中实现的计量协议[24,25]。然后，由于E-CTC相互作用，输入-输出关系可以写为（见补充材料[33]第IC节） (6)其中 (7)中的时间伪密度矩阵描述了和之间的关系，因此意味着自洽性。上标表示关于正交基的偏转置。接下来，我们通过将维量子过程嵌入E-CTC相互作用中，对从到的进行直接表征。该方法的示意图如图2(a)所示。完整描述的伪密度矩阵可以定义为 (8)其中是伪密度矩阵的元素。图2. 直接量子过程表征方案。(a) 表征任意过程的步骤。一个维量子过程被表示为一个伪密度矩阵，彩色元素表示使用E-CTC施加的相位。(b) 相干量子过程的E-CTC相互作用量子电路图。我们将系统制备在态 (9)并随后将其投影到态 (10)然后，E-CTC相互作用后的输出概率由下式给出（见补充材料[33]第ID节） (11)为了获得元素，我们将两个相应相位设为和[34]，其他相位设为零。因此，我们只需要一个qutrit辅助比特，且。方程(11)给出的相应输出概率记为。的非对角元素的实部和虚部可以计算为 (12) (13)对角元素可以通过下式获得 (14)这是通过输入并在上测量而不施加E-CTC相互作用得到的输出概率。完全表征量子过程所需的实验配置总数为。对于一般过程，我们的协议并未减少配置数量。特别地，我们考虑相干量子过程，这是一类重要且广泛使用的保持量子态纯度的操作。相干演化的伪密度矩阵可以表示为，其中 (15)表示Choi-Jamio?kowski同构[35]。在这种情况下，我们的方案可以进一步简化，通过仅设置一个相位为[36]，其他相位为零，直接获得。因此，一个qubit辅助比特就足够了，且。示意图如图2(b)所示。系统初始制备在态，最终测量在态。输出概率可以通过下式获得（见补充材料[33]第ID节） (16)然后，矩阵元可以求解为 (17) (18)其中和。为了确定的“”符号，我们可以进一步测量，这对应于通过制备输入态在并投影在而不施加E-CTC相互作用可以实验测量的概率。如果测量的值分别大于或小于，我们分别分配符号“”或“”。因此，确定所有元素所需的总实验配置数为。常规量子过程层析会变化输入态和测量基，而我们的E-CTC辅助测量保持叠加态制备和投影固定。不同的矩阵元通过选择性寻址和来自小型固定集合的辅助比特操作来访问。辅助比特对于一般过程有三个能级，对于相干过程有两个，独立于。这可以在计算基态易于寻址时简化控制。每个矩阵元通过方程(12)–(14)和(16)–(18)从少量固定数量的概率中获得。无需对完整Choi矩阵进行矩阵求逆或优化。III. 实验实现我们基于线性光子平台实验演示了二维和四维幺正量子过程的直接表征。预示单光子源的实验装置如图3(a)所示。波长为405 nm的连续波激光用于泵浦周期性极化磷酸钛氧钾晶体，通过II型自发参量下转换产生中心波长为810 nm的光子对。然后光子对被偏振分束器分离，一个光子被检测为触发信号，另一个作为预示单光子。图3. 直接量子过程表征的实验装置。(a) PPKTP晶体中的II型自发参量下转换用于预示单光子产生。用于直接表征二维[面板(b)]和四维[面板(c)]量子过程的装置，包括(i) 恒等操作，(ii) 路径-CNOT，和(iii) 极化-CNOT操作。两个装置都由四个部分组成：态制备、量子过程、操作和测量。每个部分使用BD、HWP、QWP和PBS的组合实现。为清晰起见，HWP和显示为虚线区域内的两个独立HWP。DM，二向色镜；-BD，垂直位移光束位移器；-BD，水平位移光束位移器；APD，雪崩光电二极管。二维和四维量子过程的实验装置分别如图3(b)和3(c)所示，每个装置包含四个模块：态制备、量子过程、带有 的 操作以及测量。辅助量子比特编码在光子处于上行和下行路径的状态中，基态定义为 和 。二维系统 的基态编码在水平和垂直偏振态中，即 和 。在四维系统中，我们将偏振和左/右路径结合起来，将基态编码为 、 和 。为方便起见，图1(b)中所示的态制备和 操作被合并为一个单一的态制备阶段，通过使用半波片(HWPs)和光束位移器(BDs)来实现（见补充材料[33]的第II A节和第III A节）。考虑到为测量 而制备的 基态，以及 个不同的 操作，二维和四维实验制备的总态数分别为4和8。二维量子过程使用不同光轴角度 的半波片或四分之一波片(QWP)来实现（见补充材料[33]的第II B节）。如图3(c)的插图所示，四维量子过程通过由BD和HWP组成的干涉仪来实现（见补充材料[33]的第III B节），包括恒等操作 、路径-控制非门（以路径为控制、偏振为目标）和偏振-控制非门（以偏振为控制、路径为目标）。量子过程之后带有 的 操作使用四分之一波片 来实现。该QWP在二维实验中固定于底部，而在四维实验中位于左下或右下位置（见补充材料[33]的第II C节）。最后，BD和波片的组合构成了二维和四维实验的测量模块（见补充材料[33]的第II D节和第III C节）。IV. 结果首先，我们展示二维量子过程直接表征的实验结果。基于方程(17)和(18)，光轴角度 下HWP和QWP操作的矩阵元 的实部和虚部分别绘制在图4(a)和4(b)中。实验结果与从相应理想矩阵推导出的理论曲线吻合良好。性能通过实验 与理想 之间的保真度来量化，由 给出[37]。HWP和QWP操作在光轴角度上的平均保真度分别计算为 和 。对于每个二维量子过程，我们的方法需要13个实验配置。图4. 使用HWP和QWP实现的二维量子过程的直接表征。(a) 不同光轴角度下 的矩阵元的虚部和实部。(b) 不同光轴角度下 的矩阵元的虚部和实值。实线为来自 和 的矩阵元理论值，标记为实验结果。误差条通过50次泊松采样计算得出。然后，我们展示三个四维量子过程的直接表征实验结果，包括 、路径-控制非门和偏振-控制非门，分别如图5(a)、5(b)和5(c)所示，其中蓝色和绿色条表示 的矩阵元的实部和虚部，红色条表示用于比较的理想值。相应的与理想矩阵的保真度分别为 、 和 。利用酉性的先验知识，我们的协议需要 个实验配置，因此对于 需要49个配置。与传统的完整过程层析相比，配置数量的减少得益于酉性的先验知识，这与其他同样实现 测量复杂度的特定酉性表征方案一致[38,39]。图5. 四维量子过程的直接表征。 门[图(a)]、路径-控制非门[图(b)]和偏振-控制非门[图(c)]的相应矩阵的实部和虚部。蓝色和绿色外条表示实验结果。红色条表示理想过程的理论值，对于实验中研究的虚部为零。误差条通过50次泊松采样计算并以紫色显示。V. 讨论总之，我们在时间伪密度矩阵框架内开发了一个基于擦除的类闭合时间曲线框架。利用E-CTC相互作用，我们提出了一种直接表征任意量子过程的方案。我们在二维和四维光子过程上实验验证了该协议，平均保真度高于 。我们方案的一个关键优势在于其简化实验控制的潜力。虽然一般过程的实验配置数量与标准层析相比没有减少，但我们的方案受益于固定的叠加态制备和投影下的选择性计算基址寻址。具体而言，如方程(9)所示，E-CTC辅助测量所需的初始态是计算基态上的等幅叠加态。对辅助系统和系统的投影测量同样在该等幅叠加基中进行，如方程(5)和(10)所示。此外，耦合操作以计算基中的系统状态为条件，如方程(3)和(4)所定义。这些叠加设置在配置之间保持不变，尽管它们的实现仍需固定的基变换。额外的计算基制备和投影提供了对角线元素和解决相干过程符号歧义所需的幅度。这一特性可以简化实验实现并减少操作开销，特别是在计算基态易于寻址的情况下。以光子平台为例，在高维路径（空间）[40,41]和时间[42,43]希尔伯特空间中执行旋转操作需要使用复杂且精确控制的干涉仪，而频率编码旋转[44,45]可以使用电光调制、脉冲整形或非线性频率转换。因此，我们的方法可以通过改变选择性寻址和辅助操作，同时在E-CTC辅助测量期间保持叠加制备和投影固定，来促进此类系统中量子过程的表征。对于路径编码系统，选择性寻址通过对选定空间模式的局域操作来实现。除了这些控制特性外，我们的协议直接从测量概率中提取各个矩阵元，无需矩阵求逆或对整个Choi矩阵进行优化。闭合时间曲线是理解我们宇宙的努力中产生的一个基本概念。时间旅行中固有的悖论迫使现有的量子CTC模型采取各种策略来强制执行自洽性。具体而言，Deutsch的CTC通过要求由CTC相互作用确定的定点量子态 来实现一致性，而基于选择后的CTC则通过量子隐形传态到过去来实现一致性。与这些强加的一致性条件不同，我们的E-CTC模型具有内在的自洽性，这种自洽性自然源自伪密度矩阵形式中编码的时间相关性，尽管以非确定性为代价。因此，E-CTC图像描述了一个在尊重时序的实验中的有效时间相互作用，而不意味着物理的闭合时间曲线或违反因果性。我们相信，这一模型有助于在理论和实验中理解确定性、量子擦除和量子因果性[46]之间的相互作用。