时序外输运理论

《Physical Review X》：Theory of Out-of-Time-Ordered Transport

　　我们构建了一个有效场论（EFT），该理论捕捉了具有守恒律的通用量子多体系统中，非时序关联函数（OTOCs）在晚期的普适行为。该EFT的核心在于将强-弱自发对称破缺模式推广到适应非时序观测量，并且当探测时序观测量时，它退化为常规的涨落流体力学。我们使用该EFT解释了OTOCs在晚期观测到的不同幂律行为，并表明许多OTOCs在领头阶完全由常规输运数据确定。然而，我们证明特定组合的OTOCs对常规时序关联函数中不可见的新型输运参数敏感。我们在一个空间维度上的哈密顿系统和Floquet自旋链中检验了我们的预测。

一、引言

量子多体系统的热化动力学在过去几十年中一直是活跃的研究课题[1–4]。尽管微观动力学非常复杂，但在晚期通常会涌现普适行为，包括流体力学形式、随机矩阵行为以及纠缠或算符生长的模式。特别是，涨落流体力学为在具有守恒律的混沌量子多体系统中做出定量预测提供了少数几种可控工具之一。有效的经典流体力学描述的成功，在一定程度上掩盖了使其得以涌现的微观量子复杂性和广泛纠缠。理解流体力学区域是否隐藏了底层量子动力学的特征，是一个重要的悬而未决问题。

最近，在那些没有明显经典对应的量子观测量中观察到了流体力学行为。这些观测量包括谱形因子[5,6]、纠缠增长[7,8]以及非时序关联函数（OTOCs）[9,10]。虽然流体力学特征渗透到超越常规线性响应和输运的观测量中并不令人惊讶，但定量理解和预测这些特征需要一种超越常规Martin-Siggia-Rose（MSR）形式[11–14]的量子涨落流体力学描述。

使我们能够超越经典观测量的框架是最近在Schwinger-Keldysh回路上将涨落流体力学表述为有效场论（EFT）[15–19]。虽然迄今为止这些EFT的大多数应用产生了可以从经典MSR形式获得的结果，但它们的构造自然可以扩展到捕捉纯粹的量子观测量。在本文中，我们关注此类观测量中最简单的之一——OTOCs，旨在揭示它们在通用热化系统中的普适行为。

OTOCs的早期工作大多是在半经典、大N或弱耦合系统的背景下进行的，其中微观计算和有效描述表明OTOCs在蝴蝶锥内具有指数型Lyapunov增长[20–32]。尽管Lyapunov增长在远离这些简化极限时不再存在，但数值研究表明蝴蝶锥可能更为普遍[9,10,33–36]。导致蝴蝶前沿的算符生长动力学在局部量子多体系统中发生，无论是否存在守恒量。参考文献[9,10]研究了具有守恒律的系统，并发现了这种“信息动力学”与守恒密度之间的有趣相互作用。

本文的目标是建立一个可控的理论框架，以捕捉具有守恒律的通用量子多体系统中的OTOCs。OTOCs中的流体力学特征是否与更常规关联函数中的特征定量相关？能否仅从时序关联函数（TOCs）的知识预测渐近的晚期OTOCs？我们将发现在一定程度上确实如此——常规OTOCs在渐近极限下完全由时序关联函数确定；然而，某些OTOCs的线性组合揭示了单独在时序关联函数中不可见的新型输运参数。

我们首先在第二节中描述一个简单的启发式论证，解释先前数值研究中观察到的幂律。在第三节中，我们构建了EFT，为晚期OTOCs提供可控方法。这一构造揭示了即使在简单的扩散系统中也存在新型输运参数，这些参数仅在OTOCs中可见。第四节进一步探讨这些输运参数并讨论EFT的性质。最后，在第五节中，我们将预测与具有守恒律的哈密顿系统和Floquet系统进行比较。

二、启发式标度论证

在具有守恒律的系统中，OTOCs在参考文献[9,10]中被观察到具有扩散尾巴。图1重现并推广了他们的结果到非重合点的OTOCs，揭示了几个不同的幂律：\(\sim t^{-3/2}\)，\(\sim t^{-3}\)，以及\(\sim t^{-1/2}\)。在提出定量预测晚期OTOCs的EFT详细构造之前，我们描述一个简单的启发式论证，以捕捉这种观察到的标度行为。在晚期，在流体力学区域中，与守恒密度重叠的算符近似对易：\([\mathcal O(t),\rho(0)]\sim \mathcal O(t)\omega_{\rm int}/\omega\)，其中\(\omega\)是探针的频率尺度，而\(\omega_{\rm int}\)是流体力学描述的内禀时间尺度（\(\omega_{\rm int}\ll \omega\)在流体力学区域中）。这一陈述将在后面被精确化——事实上，我们将看到这是EFT的预测——但现在我们仅指出它与两点函数的涨落耗散关系\(\langle \mathcal O(t)\mathcal O(0)\rangle\sim \omega_{\rm int}/\omega\)一致，其中在这种情况下，内禀时间尺度由逆温度\(\beta\)设定（我们设\(\hbar=1\)）。

图1. 混合场伊辛模型在\(h=0.5, J=1\)时的非时序关联函数[(a)-(c)]和Floquet XXZ模型在\(J_z=1, \tau=0.8\)时的非时序关联函数[(d)-(f)]。在两个模型中，算符\(\mathcal O=\rho\)，其中\(\rho\)是守恒的局域密度。重合时间处的OTOC \(\langle \mathcal O(t)\rho(0)\mathcal O(t)\rho(0)\rangle_\beta\)，以及分离时间处的（不）连接OTOC \(\langle \mathcal O(t)\rho(0)\mathcal O(t)\rho(0)\rangle_\beta\)和\(\langle \mathcal O(t)\mathcal O(0)\rangle_\beta\langle \mathcal O(t)\mathcal O(0)\rangle_\beta\)服从三个不同的幂律，正如EFT所预测的。

因此，OTOCs近似等于TOCs。例如，
\[
\langle \mathcal O(t)\rho(0)\mathcal O(t)\rho(0)\rangle_\beta\approx \langle \mathcal O(t)\mathcal O(0)\rangle_\beta\langle \mathcal O(t)\mathcal O(0)\rangle_\beta \tag{1}
\]
其中\(\langle\cdots\rangle_\beta\)表示在热态\(e^{-\beta H}/Z\)中的期望值。等式的修正项在大时间分离\(t\)处具有相对\(O(\omega_{\rm int}/\omega)\)抑制（这个误差估计是保守的，当算符在空间上分离时可以改进）。

因此，形式如(1)的OTOCs在领头阶可以从常规时序高阶函数获得。流体力学区域中的非线性TOCs在参考文献[37]中研究过，其特征是简单的标度行为，我们简要回顾。考虑一个由标度\(x\sim t^{1/z}\)描述的流体力学区域，其中\(z=2\)对应扩散。电荷密度两点函数表现为
\[
\langle \rho(t,x)\rho(0,0)\rangle_\beta\sim t^{-1/z} e^{-x^2/t^{2/z}} \tag{2}
\]
因此电荷涨落标度为\(\delta\rho\sim t^{-1/(2z)}\)。非线性响应或高阶函数来自EFT中的非高斯性，它们被额外的涨落幂次\(\delta\rho\)抑制。由于连接\(n\)点函数需要\(n-2\)个这样的插入，其整体标度为
\[
\langle \mathcal O(t,x)\mathcal O(0,0)\rangle_{\rm conn}\sim (\delta\rho)^{n-2}\sim t^{-(n-2)/(2z)} \tag{3}
\]
这里\(\mathcal O\)是与扩散密度\(\rho\)重叠的任意算符。其他算符也可能由于与复合流体力学场（\(\rho^2\)，\(\epsilon\)等）的重叠而具有幂律衰减[38,39]；例如，在混合场伊辛模型中，每个有限支撑算符预计都具有多项式衰减[40]。

设定\(n=4\)，\(z=2\)（扩散），以及\(x\sim t^{1/z}\)，方程(3)解释了图1中观察到的\(t^{-3/2}\)标度。这一陈述隐含了常规（非连接）关联函数近似因子化，因为流体力学EFT是弱耦合的（即使底层微观系统是强耦合的）。因此，对于\(n\)偶数，非连接\(n\)点函数近似等于\(n/2\)个两点函数的乘积，其标度为\(t^{-n/(2z)}\)。再次设定\(n=4\)，\(z=2\)，重现了图1中观察到的\(t^{-1}\)标度。

我们仍需解释图1以及参考文献[9]中观察到的“重合”OTOC的\(t^{-1/2}\)标度。当两个算符被取到彼此之间的距离小于流体力学EFT的紫外截断时，上述结果失效。超出这一极限，相邻算符对可以被视为单个复合算符，并在EFT的算符乘积展开中展开[37]。因此，四点OTOC简化为单个两点函数，其标度确实与观察到的行为一致[41]。

这些启发式结果——特别是方程(1)，它表明OTOCs在晚期近似简化为TOCs——已经指向了可能发现新型普适现象的地方：在OTOCs和TOCs之间的差异中。涉及对易子的关联函数可以捕捉OTOCs和TOCs之间的差异，例如，
\[
\langle [\mathcal O(t),\rho(0)][\mathcal O(t),\rho(0)]\rangle_\beta \tag{4}
\]
如下文将讨论的，这个观测量揭示了在时序关联函数或常规响应函数中不可见的新型输运参数。这些输运参数也对其他OTOCs（如方程(1)）在晚期给出次领头贡献，但它们控制方程(4)的领头阶行为这一事实，使它们在物理上最相关且最容易在数值中提取。

三、非时序输运的EFT

A. OTOCs的生成泛函

考虑一个由哈密顿量\(H\)生成时间演化的量子多体系统。我们的构造也适用于具有守恒律的Floquet动力学和局部幺正电路，但为了具体性，我们使用哈密顿演化的符号。我们假设系统具有至少一个连续全局对称性，可以是时间平移不变性，导致守恒流
\[
\partial_t\rho+\nabla\cdot j=0 \tag{5}
\]
将这一流耦合到外部源将是有用的：
\[
H(t)=H+\int d^dx\, \rho(t,x)\phi(t,x) \tag{6}
\]
类似地，人们也可以为其他算符引入源。我们将省略\(i\)指标，让\(\phi\)表示所考虑的任何源。时间演化幺正算符为
\[
U(t,t')=\mathcal T\exp\left(-i\int_{t'}^t ds\, H(s)\right) \tag{7}
\]
其中\(\mathcal T\)表示时序。常规的Schwinger-Keldysh生成泛函为
\[
Z_{\rm SK}[\phi_+,\phi_-]=\langle U^\dagger(t_f,t_i)U(t_f,t_i)\rangle_\beta \tag{8}
\]
其中我们使用简写符号
\[
\langle\cdots\rangle_\beta=\mathrm{Tr}(e^{-\beta H}\cdots)/Z \tag{9}
\]
这个泛函可用于生成流和密度的任何时序关联函数。我们将考虑一个具有四个“回折”的推广：
\[
Z_{\rm OTOC}[\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4]=\langle U^\dagger(t_f,t_i)[\phi_4]U(t_f,t_i)[\phi_3]U^\dagger(t_f,t_i)[\phi_2]U(t_f,t_i)[\phi_1]\rangle_\beta \tag{10}
\]
相应的闭合时间路径（CTPs）如图2所示。\(Z_{\rm OTOC}\)可以生成任何四点OTOC，以及一大类高阶函数。我们的目标是找到一个控制\(Z_{\rm OTOC}\)的渐近晚期展开的EFT。

图2. 1-CTP（“闭合时间路径”）和2-CTP轮廓。

这个生成泛函也可以用微观作用\(S[\psi]\)的路径积分形式表达，其中\(\psi\)表示微观场或晶格自由度：
\[
Z_{\rm OTOC}[\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4]=\int\mathcal D\psi_1\mathcal D\psi_2\mathcal D\psi_3\mathcal D\psi_4\, e^{iS[\psi_1,\phi_1]-iS[\psi_2,\phi_2]-iS[\psi_3,\phi_3]+iS[\psi_4,\phi_4]} \tag{11}
\]
对应于对象(10)的边界条件（BCs）为\(\psi_1(t_i)=\psi_4(t_i)\)，\(\psi_2(t_i)=\psi_3(t_i)\)，以及\(\psi_1(t_f)=\psi_2(t_f)\)，\(\psi_3(t_f)=\psi_4(t_f)\)，最终路径积分由矩阵元\(\langle\psi_1(t_i)|e^{-\beta H}|\psi_4(t_i)\rangle\)加权。

B. 生成泛函的性质

生成泛函(10)满足许多性质，这些性质在任何微观实现中都是自动满足的。然而，由于本文构建的EFT不是微观的，这些性质必须仔细地手动施加，以约束EFT。

(1) 坍缩：如果任意两个连续腿上的源被等同（例如，\(\phi_1=\phi_2\)），则这两条腿“坍缩”\(U^\dagger U=1\)，结果独立于\(\phi_1=\phi_2\)。在方程式中，
\[
Z_{\rm OTOC}[\phi,\phi,\phi_3,\phi_4]=Z_{\rm SK}[\phi,\phi_3,\phi_4] \tag{12}
\]

(2) 时间演化算符的幺正性意味着
\[
Z_{\rm OTOC}[\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4]=Z_{\rm OTOC}^*[\phi_2,\phi_1,\phi_4,\phi_3] \tag{13}
\]

(3) Kubo-Martin-Schwinger（KMS）：热态\(e^{-\beta H}\)可以交换到任意数量的幺正算符上，给出
\[
Z_{\rm OTOC}[\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4]=Z_{\rm OTOC}[\phi_4,\phi_2,\phi_3,\phi_1] \tag{14a}
\]
\[
Z_{\rm OTOC}[\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4]=Z_{\rm OTOC}[\phi_1,\phi_3,\phi_2,\phi_4] \tag{14b}
\]
在第二个方程中，\(e^{-\beta H}\)被交换越过\(U^\dagger(t_f,t_i)[\phi_3]\)和\(U(t_f,t_i)[\phi_2]\)。在第一个方程中，在将\(e^{-\beta H}\)交换越过\(U^\dagger(t_f,t_i)[\phi_4]\)和\(U(t_f,t_i)[\phi_1]\)之后应用了时间反演对称性。我们注意到时间反演对称性并非强制施加KMS对称性所必需的[43–45]：可以替代地定义一个反向生成泛函\(Z_{\rm OTOC}^R\)，并将\(Z_{\rm OTOC}^R\)与\(Z_{\rm OTOC}\)联系起来（在EFT中，两者的Wilson系数必须相同，因为它们可以产生相同的观测量）。

这些约束推广了\(Z_{\rm SK}\)的类似性质，后者在从Schwinger-Keldysh回路上的EFT恢复涨落流体力学中发挥了重要作用[16–18]。注意到坍缩约束(12)特别意味着2-CTP EFT简化为常规1-CTP EFT（涨落流体力学）。因此，我们将构建的2-CTP EFT将包含涨落流体力学的所有信息，以及可以在OTOCs中出现的新型输运参数。

生成泛函还满足比方程(12)更强的“部分坍缩”约束：如果两个连续源在某个时间\(t\)之后被设为相等[例如，\(\phi_1(s)=\phi_2(s)\)对于\(s>t\)]，则生成泛函对\(s>t\)的源依赖性消失。这个条件有时被称为最新时间条件，并在附录B中进一步讨论。正如我们将看到的，这个更强的条件将在EFT中自动满足。

C. 混合态时间演化的对称性

让我们具体取微观系统在全局\(U(1)\)对称性下不变，\(H[U(1)]\)。混合态动力学中存在自然的对称性加倍：密度矩阵\(\rho\)的时间演化与对称生成元在密度矩阵任一侧\(\rho\)的作用对易[46]。这种加倍已经在方程(8)中使用，其中对称性流被耦合到独立的规范场。

在OTOCs的生成函数中，对于每个回折还有额外的对称性。可以将被时间演化的对象视为四重希尔伯特空间中的元素——对于闭合系统，任何一条腿上的对称性作用都与时间演化对易。该动力学因此在对\(\)下保持不变。既然我们已经讨论了时间演化的对称性，我们想知道可观测量是否尊重这些对称性。考虑一个在\(\)下带电荷的算符。注意到带电荷的热关联函数通常不会消失（15）我们尚未指定算符的时空参数，因为它在下面不发挥重要作用；可以想象它们在时间上略微分离。用式(11)中出现的\(\)的关联函数来表示，带电荷热关联函数的非零意味着，例如，（16）因此我们看到，所有对称性\(\)通常被观测量破坏，除了对角\(\)，它以相同方式作用于所有腿，即\(\)。我们将观测量仅在对角\(\)下的这种不变性解释为对称性的自发破缺（SSB）。注意，对称性和SSB模式取决于所考虑的观测量：对于生成泛函\(\)、\(\)，或更一般地\(\)，对称性是\(\)，并预期自发破缺到对角群：（17）这一陈述推广到任何对称群\(\)，可以是非阿贝尔的、更高形式的，并包括离散因子；我们通常预期热动力学实现SSB模式（18）对于连续对称群，这种SSB模式将导致\(\)个Nambu-Goldstone型场，它们非线性地实现该对称性。这推广了将涨落流体动力学视为热态中连续对称性强到弱自发对称性破缺（SWSSB）的Nambu-Goldstone（NG）玻色子理论的观点[47,48]，这是我们陈述的\(\)版本（关于从SWSSB视角对涨落流体动力学的进一步讨论，参见文献[40,49–52]；关于强离散或广义对称性及其破缺的研究，参见文献[53–55]）。Nambu-Goldstone场可以被视为涨落流体动力学中伴随密度的噪声场，在我们的情况下，OTOC的绕行历史允许多重噪声实现。D. EFT的自由度上述确定的SSB模式立即暗示了控制晚期动力学的集体场内容。首先考虑与\(\)和时序关联函数相关的对称性破缺模式\(\)。如果整个\(\)被自发破缺，EFT将包含两个NG场（19）使用在两腿交换下偶和奇的场（“Keldysh旋转”）是方便的（20）这样的EFT描述了有序（超流）相，例如，有序温度以下或Berezinskii-Kosterlitz-Thouless（BKT）温度以下的XY模型。相反，在我们正在考虑的常态中，对角对称性被保留；这意味着\(\)不是NG场。扩散EFT因此应包含\(\)，但不包含\(\)。尽管如此，如附录A所回顾的，施加塌缩规则和KMS对称性的最简单方式是为\(\)引入一个Keldysh伙伴：一个具有\(\)应有的相同变换性质的场\(\)。注意关键的时间导数；因此\(\)在\(\)对称性下不变，不需要在作用量中出现导数。EFT的构建在附录A中回顾：在导数的最低阶，作用量为（21）其中\(\)。物理密度\(\)满足最低阶导数下的噪声扩散方程：\(\)。现在让我们转向与\(\)和四点OTOC相关的对称性破缺模式\(\)。如果\(\)对称性完全自发破缺，EFT现在将包含四个NG场（22）与式(20)类似，我们引入基（23）场\(\)是必须带着导数进入作用量的NG场。对角对称性被保留的事实意味着\(\)不应进入EFT。然而，EFT将再次包含一个伙伴\(\)，其在塌缩或KMS下的变换性质与\(\)相同。E. EFT的约束确定了相关自由度后，我们希望构建生成泛函(10)的有效场论表示（24）对称性破缺模式(17)意味着NG场\(\)必须带着导数进入作用量，而\(\)不需要导数。在III.B节中获得的关于\(\)的一般约束可以转化为对有效作用量\(\)的约束。虽然幺正性(13)和KMS(14)基本上转化为\(\)的对称性，但塌缩约束(12)在EFT中有些不寻常：它不会在源上的群作用时把生成泛函与自身联系起来，因此不具有对称性的解释。尽管如此，我们在附录B中表明，它导致作用量的一个简单条件。总之，作用量必须满足（1）塌缩：如果任何两个相邻场被等同，作用量独立于该场，并塌缩到1-CTP EFT。在\(\)基中，这意味着\(\)必须满足（25）（2）幺正性对作用量施加实条件（26）（3）KMS对称性施加（27）KMS变换场\(\)由下式给出（28a）（28b）其中，在1234基中，（29）[符号\(\)反映了我们在式(14)中跨密度矩阵\(\)排列了腿\(\)次，而\(\)指时间反演。]在实践中，通常在\(\)中微扰地实现KMS常常是有用的；参见附录C.1。F. EFT的构建现在我们准备为OTOCs构建EFT。首先考虑高斯作用量（30）其中\(\)且\(\)。施加所有塌缩约束(25)导致在\(\)基中的一个矩阵（31）施加KMS(27)然后固定（32）最后，施加幺正性(26)导致关系（33）这意味着\(\)是\(\)的实函数（实泰勒系数）。它还意味着\(\)（作为\(\)的函数）是纯虚的，且在\(\)下为偶：（34）我们现在可以在\(\)（或导数）中展开作用量。SWSSB意味着\(\)必须带时间导数\(\)出现，因此\(\)。进一步利用式(33)，其小动量展开必须取形式（35）其中\(\)。式(34)则意味着（36）参数\(\)、\(\)对应熟悉的电荷磁化率和扩散率这一事实，由式(25)得出，该式要求2-CTP作用量在特定条件下简化为1-CTP作用量（规则涨落流体动力学）。位置空间中的最终作用量形式为（37）其中\(\)表示高阶导数项。唯一进入的系数是熟悉的热力学和输运参数\(\)和\(\)（或电导率\(\)），它们已经出现在1-CTP EFT中。这并不奇怪：高斯作用量仅捕获两点函数，这可以从1-CTP EFT获得。现在让我们转向相互作用。在本文中，我们关注三次和四次项：（38）（39）其中\(\)。这些将给出最简单OTOCs（即四点函数）的主要贡献。我们在附录C.1中对三次和四次作用量施加约束，以找到最低阶项。对于三次作用量，我们找到的唯一项等价于进入1-CTP EFT的三次项[37]（最低阶项与热力学或输运参数对化学势\(\)和\(\)的导数有关）。重要的是，在三次2-CTP作用量中没有不出现在1-CTP作用量中的参数。这是预期的，因为这些参数贡献给三点函数，而热态中的任何三点函数都可以在1-CTP轮廓上表示（对于非热密度矩阵则不是这样；参见例如文献[56]）。相反，四次作用量可以具有1-CTP EFT中不存在的新项，因为存在不能在1-CTP上表示的四点OTOCs。主要的1-CTP四次项在文献[37]中研究并在附录C.1中回顾：它们再次具有熟悉的输运参数\(\)的导数的解释。这些项当然在2-CTP EFT中有体现。在导数和标度的最低阶，我们找到两个从任何1-CTP关联函数中消失的新项：（40）其中\(\)。幺正性约束(26)意味着这些系数是实的\(\)。省略号表示在标度上更高阶的项（参见IV.A节），以及由KMS对称性强加的项\(\)；这些项在式(C5)和(C6)中详细列出。这些系数也进入电流\(\)的本构关系：（41）第一行是扩散电荷电流的通常本构关系，尽管由于2-CTP表示而具有不寻常的噪声场基。新的非时序输运参数\(\)可以解释为涉及两个副本之间关联噪声的非线性响应形式。IV. OTOC及其输运参数我们的构建揭示了扩散系统的新输运参数，这些参数仅在OTOCs中可见。在本节中，我们探讨这些参数，并使用EFT更一般地预测OTOC的行为。A. EFT中的标度EFT有效性的控制参数是小频率\(\)或波矢量\(\)。对高斯作用量(21)或(37)的修正可以根据其标度维度分类，以预期它们对观测量的贡献。扩散的有趣标度区域是\(\)；在这个区域中，描述传统涨落扩散的1-CTP EFT(21)表明场按以下方式标度（42）对于规则密度\(\)，这个标度确实预测扩散关联函数\(\)。将同样的逻辑应用于2-CTP高斯作用量(37)，我们发现（43）注意，其中一个Goldstone场（\(\)）更相关。在式(23)中引入的Keldysh基的优点正是它是标度的本征基。这个标度支撑了III.F节中EFT的构建。在1-CTP作用量中，主要的四次项\(\)和\(\)具有\(\)的两个额外幂次，所以（44）式(40)中发现的新OTOC参数具有相同的标度（45）特别地，对扩散的修正是无关的，动力学在最低阶由高斯扩散固定点控制。这已经证明了II节中启发式论证的一部分：更高点的TOC和OTOC分解为两点函数的乘积（换句话说，任何与流体动力学场重叠的算符近似满足Wick定理）。虽然动力学在最低阶由简单扩散固定点描述，但许多观测量在固定点消失；本文关注的连通OTOCs就是这种情况。因此，这些观测量由扩散固定点的主要无关修正控制，即\(\)和OTO输运参数\(\)。B. 预测观测量的标度现在我们准备使用EFT对一般热化量子多体系统中的OTOC做出预测。一个简单的论证表明，在热态\(\)中，相同算符\(\)只有三个独立的四点函数[43,45]。设\(\)。利用迹的循环性，以虚时平移的代价将\(\)移过热密度矩阵，可以使\(\)成为最右边的算符。每个四点函数然后可以与关联函数相关联（46a）（46b）（46c）及其复共轭。\(\)是规则时序Wightman函数。\(\)不是时序的，但可以在1-CTP上表示。最后，\(\)是需要在2-CTP上的真正OTOC。关联函数的2-CTP Keldysh基（47）其中\(\)，是高度冗余的；每个都可以用式(46)中的三个复函数表示。我们在附录D中提供了这两个基之间的映射。在将物理观测量表示为具有简单标度性质的Keldysh场后，现在可以直接估计观测量(46)。如上所述，它们近似分解为不连通部分；然后我们关注这些关联函数的连通版本\(\)，即\(\)、1、2。我们发现它们都近似相等，并由最大的Keldysh关联函数给出（48）最后一个关系由\(\)使用式(43)和一个顶点(45)花费\(\)这一事实得出。\(\)在晚期时的事实是II节启发式论证的EFT推导：算符在晚期近似对易。如那里所讨论的，这激励我们研究涉及对易子的\(\)之间的差异。这在附录D中详细进行，结果报告在表I中。表I. 对式(46)中定义的连通关联函数标度的EFT预测。虽然第一列直接来自标度分析，但在\(\)处的几次抵消导致更小的关联函数。C.OTOC输运参数的久保公式

除了可观测量的标度行为之外，有效场论还提供了对整个空间和时间分辨关联函数的预言 (49)

如式(46)所示，这些关联函数可以分为可在1-CTP上表示的关联函数（和）以及需要2-CTP的关联函数（）。前者在文献[37]中已研究并在附录A中简要回顾。这里我们聚焦于真正的OTOC，它探测新的OTO输运参数。如上所述，在晚期近似等于时序关联函数，而有趣的观测量是，如式(4)所预期的那样。我们在附录D中证明其实部和虚部可以通过以下凯尔迪什关联函数得到：

(50)

（这些表达式在时成立；对的推广见附录D。）这些关联函数的领头行为由有效场论中的树级图描述，如图3所示。它们在动量空间中的完整表达式见式(C15)。值得注意的是，该OTOC的实部和虚部在行为上有本质区别：在晚期展开的领头阶，虚部完全由可从时序关联函数提取的传统输运数据决定（具体而言，和，以及它们对热力学参数的导数），而实部则揭示了式(40)中识别的OTO输运参数。与传统输运参数一样，这些关联函数的极限可用于建立式(40)中识别的OTO输运参数，的久保公式。特别地，的静态极限同时涉及和；见式(C16)。波矢的不同运动学构型可以用来分别分离每个参数，例如：

(51)

这里为简单起见我们假设了粒子-空穴对称性以禁止三次有效场论项，否则它们会对式(51)产生额外贡献。这些久保公式有助于在可处理的微观模型中识别OTOC参数。

图3. 对有效场论中OTOC有贡献的费曼图。在存在粒子-空穴对称性时三次顶点被禁止，在这种情况下只存在右图。在领头阶只有四个不同的四次顶点：两个可以在常规输运中测量（和），以及两个OTO输运参数和。

当然也可以在时间域中测量OTO输运参数。例如，中的尾部系数探测和的线性组合，并在第V.D节的模型中进行数值测量。

D. OTOC输运参数的约束

除了条件(12)–(14)之外，生成泛函还满足一个界

(52)

它源自幺正性[18,19,57]。这个界与幺正量子力学中谱密度的正定性密切相关。通常假定这一条件转化为对流体力学有效作用量的约束

(53)

该约束必须对任意场构型成立（在我们的情况下为）。在场和导数的领头阶，将此界应用于作用量(21)或(37)正确地要求电导率为正：。然而，我们在附录B中证明该条件过强，并通常会导致错误的结论。在这里，我们提出一个略有不同的判据，并探讨其对OTOC参数的影响。

在高斯作用量(37)中，注意只有涉及场的构型会耗散。为了获得除之外的非平凡正定界，式(53)建议我们考虑涉及其他场的构型，或。如附录B中所讨论的，这会导致非物理的约束。我们转而考虑具有的场构型。对于常规1-CTP有效场论，这将把整个作用量缩减为0，除了之外不会获得任何正定界（正如预期）。有趣的是，2-CTP有效场论反而有一个不涉及的虚部，完全来自OTO输运参数。来自式(40)的这个虚部为

(54)

它具有的形式，因此如果OTO输运参数满足

(55)

则为非负。对于无关算符的系数被流体力学中耗散的正定性所限制，这是令人惊讶的——确实，这在常规1-CTP有效场论中不会发生——因为耗散通常由领头输运参数主导。我们强调上述论证并不严格；证明这些推测的界将会很有趣，也许可以通过考虑由OTO输运参数主导的双局域算符的谱密度来实现。我们将此留待未来工作。

E. 有效场论的有效范围

第III节构建的有效场论是在导数和涨落中的展开，正如涨落流体力学中的常规做法。这与涨落修正是不相干的观测[式(45)]一起，保证了有效场论在小频率和波矢下提供受控展开。然而有趣的是，这并不意味着它在晚期对任意是受控的。这最容易通过考虑扩散方程的梯度修正来看出：

(56)

其中。高阶导数项显然会在小波矢处对动量空间观测量给出小修正。例如，对的对称格林函数为

(57)

其中我们还允许静态磁化率有高阶导数修正。傅里叶变换可以用作用于通常扩散关联函数的微分算子表示：

(58)

其中。在扩散区中求值，梯度展开变成的展开，因此在晚期是受控的

(59)

然而，沿着声波前求值，展开是不受控的：

(60)

中的高阶导数修正已经成问题，因为它们在该区域给出修正。中的修正更糟：它们增长。可以验证，沿着任意轨迹（其中）控制可以恢复，但如果，需要保留导数修正到以捕获关联函数的领头晚期行为。

这一讨论的结论是，扩散有效场论对时空关联函数的预言在一个宽阔的“锥”中是受控的，该锥略微向内弯曲，并且在晚期不包括任何声锥。这是值得注意的，因为对于某些模型，人们预期OTOC中存在“蝴蝶锥”[10,36]。这与有效场论结果并不矛盾，后者并不预言这种弹道传播的激发，正是因为有效场论在该区域变得不受控。这些不重叠的有效范围，如图4所示，使得建立同时受控地捕获扩散前线和蝴蝶锥的有效场论具有挑战性。从这个角度重新审视文献[29,30]的结果将会很有趣。

图4. 有效场论有效范围与蝴蝶锥的对比。有效场论要求，且对于有。

F. 时间流

实时施温格-凯尔迪什量子场论具有有趣的因果结构，导致费曼图中“时间流”的概念[58,59]。这一性质来自附录B中详细讨论的最晚时间条件。它带来了几个图解简化，而这些简化从直接的对称性原理中并不明显[58–60]：否则有效的费曼图若不尊重这种时间流结构，在求值时将不可避免地消失。

在常规1-CTP有效场论中，必须向未来流向，而对于任何时间排序都是非零的。在我们的2-CTP有效场论中，一种广义的时间流在起作用：必须向未来流向，必须向未来流向，而和对任何时间排序都是非零的。这种因果结构如图5所示。在运动方程方面，场和满足先进扩散方程（类似于），而和满足常规扩散方程（类似于）。

图5. (a) 1-CTP和(b) 2-CTP施温格-凯尔迪什关联函数中的时间流。面板(a)说明了两个非零关联函数，以及的事实。面板(b)显示了相应的四个非零2-CTP传播子及其因果性质。

V. 与数值结果的比较

为了检验我们的解析预言，现在我们在两个表现出扩散输运的一维自旋模型中展示数值模拟。作为第一个模型，我们考虑自旋-混合场伊辛模型

(61)

其中是方向上的泡利算符，我们使用周期边界条件。能量是该模型中唯一的守恒量；晶格能量密度算符为

(62)

这里考虑的参数量为、和。

作为第二个模型，我们考虑一个Floquet XXZ模型，其Floquet算符为

(63)

其中，

(64)

这里

(65)

且

(66)

沿方向的磁化

(67)

是唯一的守恒量。该系统没有能量守恒，并达到最大混合态（对应于）。我们考虑形式为的态，取不同的值。当（即不存在次近邻耦合）时，系统是可积的，并表现出各种类型的自旋输运——弹道、扩散或反常——取决于和的值。当时，系统变为不可积，输运行为通常预期为扩散[61]。在整个数值模拟中，我们考虑两个不同的参数和。我们再次考虑周期边界条件。我们的数值方法基于动力学量子典型性[62,63]，这种方法已被广泛应用于量子输运[64–68]，并最近扩展到OTOC的研究[69]（另见文献[70]）。与两点关联函数相比，OTOC模拟的计算复杂度按标度增长，使得模拟变得相当具有挑战性。

我们首先重现文献[9,10]中关于重合时间算符的OTOC标度的发现；见图1。如第II节所解释的，这种标度在有效场论中来源于重合算符的OPE，它将OTOC简化为两点函数。图1进一步表明，非重合点的OTOC也具有与有效场论预言一致的行为：一个断开部分和一个连接部分。

如上所述，新的OTO输运参数可以通过考虑涉及对易子的OTOC来测量，特别是式(46)中定义的。这个观测量如图6所示：我们首先观察到在晚期，证实了算符在晚期近似对易的启发式论证（这由有效场论所证实）。此外，确实在晚期出现快速的幂律衰减，与有效场论预言一致。该衰减的系数是对OTO输运参数的测量。在该观测量中似乎还存在一个中间行为[另见图7(c)]，我们对此没有解释；理解该中间区域是否具有普遍性将会很有趣。

图6. 在Floquet XXZ模型中测量OTO输运参数，取和参数。虚线表示表I中的有效场论预言。这里系统尺寸为，26，28，30（从浅到深）。

图7. 有限温度下混合场伊辛模型的结果：[(a),(d)]；[(b),(e)]；[(c),(f)]。实部和虚部分别呈现在左图和右图。虚线表示表I中的有效场论预言。面板(c)中的点划线是为了便于观察。这里系统尺寸为，26，28（从浅到深）。

最后，我们通过考虑表I中给出的所有六个幂律行为预言来彻底检验有效场论的预言。我们发现有效场论与数值结果在所有这些幂律上都符合得很好[除了上述的中间区域]；见图7。注意所有对数-对数图都显示了相应关联函数的绝对值。虽然大指数的流体力学尾部通常难以在数值和理论之间匹配[38,61]，但和幂律与理论符合得很好这一点令人鼓舞。附录E显示了不同参数和温度下的类似结果。

VI. 讨论

我们的有效场论揭示了扩散量子多体系统中存在仅在OTOC中可见的新型输运参数。这些参数在第V节中在几个一维模型中进行了数值测量。应该可以在可处理的模型中解析地评估这些OTO输运参数，例如全息系统或布朗模型[47]。近期的实验突破也使得OTOC在实验平台中可及，包括离子阱[71–73]、大分子上的核磁共振[74,75]和超导量子电路[76,77]，我们的预言可以在这些平台上进行检验。

理解OTOC中的扩散动力学与信息动力学及蝴蝶前沿之间的相互作用将会很有趣；关于这一方向的观测见文献[10,78]。蝴蝶前沿通常通过算符权重的视角来讨论，这些权重满足守恒律，因此具有类似流体力学的描述[10,35]。然而，尚不清楚该描述在有限温度下是否也适用于非时序关联函数（OTOC）本身。正如第四节E所讨论的，在预期存在蝴蝶前沿的区域，要在有效场论（EFT）中保持控制乍看之下颇具挑战性。此外，虽然蝴蝶前沿对退相干噪声的存在非常敏感[79]，但我们预期OTO输运参数会更加稳健。了解如何将我们的EFT与在大N全息量子场论背景下提出的其他EFT相统一，也将是有趣的，那些EFT捕捉了李雅普诺夫增长[24,29,30]。关于流体力学与蝴蝶效应在大N全息量子场论中的其他联系，参见文献[80–82]。识别OTOC的经典版本——除了由蝴蝶效应和李雅普诺夫增长主导的明显的泊松括号之外——也可能是有趣的，在这些经典版本中可能会出现我们OTO输运参数的类比[83–85]。关于OTOC在不同背景下的进一步丰富现象学，另参见文献[86,87]。从形式上看，OTOC能够揭示在TOC中不可见的输运参数，这多少有些令人惊讶，因为两者都可以通过欧几里得（虚时）格林函数的解析延拓获得。当然，流体力学输运参数仅在渐近晚期展开中定义，因此这并不构成矛盾。同样有趣的是，与平衡态EFT不同，实时热动力学EFT是“依赖于可观测量的”。例如，如果人们对高阶OTOC感兴趣，那么给定系统所适用的EFT将包含越来越多的回折（图2）。我们已经看到，更复杂的观测量对额外的输运参数敏感。理解更复杂的观测量是否可能呈现完全不同的普适类，将是值得探究的。参考文献[6,88]暗示这确实可能发生；对于那里所考虑的观测量，适当的EFT包含一个在传统1-CTP EFT中会因最晚时刻条件而被禁止的项。我们的EFT有许多可能的推广，包括推广到具有声模式、非阿贝尔对称性、反常对称性或高形式及其他广义对称性的系统。研究大流体动力学涨落对OTOC的影响将尤其有趣，例如在一维空间中伴随声模式的KPZ普适类中所出现的情形。