600位点腔阵列显微镜的稳定性、简并性和可扩展性

《Physical Review X》：Stability, Degeneracy, and Scalability of a 600-Site Cavity Array Microscope

　　光学腔是控制光与物质相互作用的基础技术。虽然将单个腔与单个原子或原子系综耦合已成为标准工具，但大型原子阵列中单原子控制技术的出现，激发了对“多腔量子电动力学”新前沿的研究兴趣，该领域涉及众多独立谐振腔，能够分别寻址单个量子发射体。在这一快速发展的背景下，腔阵列显微镜应运而生——利用自由空间腔内光学元件构建二维紧密排列的腔TEM00模式阵列，其模腰达到波长量级，非常适合与原子阵列耦合。在此，我们实现了该架构的下一代版本，获得了数百个简并腔模式，精细度更均匀且得到改善，并探索了系统的技术特性以支持进一步的可扩展性。具体而言，我们研究了各种缺陷，包括光学像差、视场限制、阵列非简并性以及光学元件的损耗。我们确定了系统对这些因素的敏感性，并阐述了稳定对准和操作所需的控制旋钮和技术。最终，我们提出了在保持与现有原子阵列兼容性的前提下实现数万个独立腔的路径，为大量应用铺平道路，包括高度并行的远程纠缠生成、快速且非破坏性的电路中读测，以及混合原子-光子哈密顿量的实现。

一、引言

腔量子电动力学（QED）研究的是光子被束缚在高精细度谐振腔中时光与物质相互作用的控制问题[1]。腔增强的态密度使得单光子或多光子模式能够被纯净地分离，这在从生物成像和光谱学[2-4]到引力波探测[5]和量子计量学[6-8]等各个领域都发挥了重要作用。为了推动这些不同领域的发展，腔工程随着超精细度光学[9,10]、纳米光子学[11]和光纤[12]接口、腔内透镜的引入[13-15]、非线性光学[16]以及与高数值孔径成像系统的集成[17]而不断扩展。尽管有这些进展，一个难以解决的挑战是：光学腔通常表现为性能极高的“单像素”，在探测一组发射体时缺乏横跨其模式的空间分辨率。

为了解决这一局限性，一种新的光学腔设计最近问世——腔阵列显微镜（CAM）[18]。该架构采用腔内透镜创建二维阵列的多个独立、小模腰、紧密排列的腔模式，有效实现了多腔量子电动力学的新机制。CAM可以应用于任何需要“多像素”腔接口的场景，在将光学腔与大型单个俘获原子阵列[19-24]耦合时尤为有用，此时并行化的原子-腔接口可以提高原子与光子之间量子信息转换的速率，例如作为分布式量子计算机的一部分[25]，或用于研究新的光-物质耦合哈密顿量[26-28]。这是首次CAM演示[18]的背景，其中单个原子阵列同时与43个独立腔耦合。第一代存在若干局限性：需要距离原子约1毫米处的笨重光学元件，限制了光学通路并引入表面电荷；可访问的腔数量受限；每个腔模式平均覆盖两个“像素”；由于多个非理想光学元件导致腔精细度较低。

在本工作中，我们展示了CAM设计的重大演进，克服了这些挑战，创建了一个可扩展的高性能腔阵列接口，拥有超过600个位点[图1(a)和1(b)]。我们预计这一改进架构将使腔阵列显微镜成为从量子计算和计量学到生物和化学传感等广泛领域的通用工具（补充材料[29]，K节）。系统的关键性能指标包括精细度（在固定模腰下决定腔协同性[1]）、视场（决定腔数量）以及腔之间的相互简并性（决定它们是否可以被同时探测和读取）。在这一新实现中，每项指标都提高了一个数量级。除了这些直接的定量改进外，我们还发现了限制各性能指标的错误和像差来源，并阐明了消除它们的明确路径。

图1. 结果总结。(a) CAM是一种光学成像系统，可生成二维独立、同时共振的光学腔阵列，具有波长量级的模腰和模式间距。(b) 数百个同时驱动的独立腔模式的腔透射。(c)、(d) 我们展示了具有603个腔的腔阵列显微镜，阵列平均精细度为114(17)。当输出耦合优化为收集效率（补充材料[29]，E节）时，537个腔在腔线宽范围内简并，色条上以红线标出。虚线黑圈表示腔内光学元件的视场，超出该范围时场曲会破坏稳定性（第三节）。CAM的简并性对由对准误差、像差、应力和各种光学元件表面不规则性引起的腔间光程差的纳米级变化具有干涉测量级别的敏感性。(e) 通过简单修改腔内光学元件可以增加可实现腔数。通过将MLA密度加倍并利用更宽视场的显微镜物镜，CAM可以在高协同性下支持数万个腔。(f) 我们将CAM与其他最先进的中性原子阵列兼容谐振腔几何结构在带宽（最快可能的读取和纠缠速度）、原子与介质表面的距离以及协同性方面进行比较。灰色阴影是对表面电荷可能对里德伯激发造成损害的目测距离指南[30]。星号：腔阵列显微镜[18]；方块：纳米光子腔[24]；三角形：光纤和微镜腔[9,20]；圆形：宏镜腔[15,19,21-23]。

具体而言，我们在603个腔上获得了114(17)的平均精细度[图1(c)]，其限制因素为涂层损耗和多种光学元件的表面粗糙度。结合我们的标称模腰 \(w_0 = 1.15\ \mu m\)，这对应于阵列平均单原子峰值协同性 \(C \approx 10\)。CAM的视场为 \(r = 1\ \text{mm}\)（半径），由实现预期模腰所需的数值孔径（NA）决定，主要受腔内非球面透镜产生的场曲限制。最后，我们实现了537个腔在读出优化腔线宽内相互简并，其中输出耦合镜的透射率增加，以牺牲协同性为代价，最大化通过腔收集和输出耦合的光子总效率[图1(d)和补充材料[29]，E节]。残余非简并性源于表面不规则性和光学元件上的应力，导致纳米级光程差，我们通过CAM实现的新颖光学表征技术识别了这些因素。通过直接替换光学元件，我们预计CAM可以扩展到数万个腔[图1(e)]——与最大的中性原子阵列[31-33]相当。

也许我们腔设计最大的优势在于其固有的可扩展性——无论是位点的原始数量，还是我们通过对几个自由度进行控制来将所有腔调谐至简并的新颖方案。由于这种高度并行化，我们设想腔阵列显微镜将成为量子网络化的理想平台。我们将系统在信息带宽（定义为腔数量乘以腔线宽和腔耦合的最小值，这两个参数限制原子-光子纠缠速率）方面的预期性能与其他近期光学腔设计进行比较[图1(f)]，预测其带宽达到最先进水平，同时保持高协同性并将原子远离介质表面。后一点很重要，因为典型高性能腔的短长度以及由此产生的原子-表面小间距，增加了对表面电荷的敏感性，从而导致里德伯原子操作的退相干[30]。相比之下，我们的长工作距离非球面透镜实现了5.7毫米的原子-表面间距。因此，我们期望腔阵列显微镜能够为吉赫兹级纠缠速率提供可行路径，同时具备中性原子量子处理器的全部能力。

在以下章节中，我们将详细阐述腔阵列显微镜的能力和局限性：在第二节中，我们描述实验装置、近轴腔阵列稳定性和设计考虑；在第三节中，我们将数据与数值模拟结合以理解场曲对腔视场的影响；在第四节中，我们系统列出影响腔精细度的损耗来源；最后，在第五节中，我们识别非简并性的来源，评估对准误差的敏感性，并预测可实现性能。

二、腔阵列设计

由于CAM由多个腔内光学元件构成，它提供了高度可配置的设计空间，可根据多种应用进行定制，具有谐振腔长度、腔模式间距和模腰的灵活控制。在本实现中，我们采用现成和定制光学元件的组合构建了CAM，以优化其中央像平面处的二维中性原子阵列接口。在此，我们详细介绍了该CAM的实验参数以及将其定制为通用设计约束的启发式方法。腔参数总结见表I。

表I. 腔阵列显微镜的典型参数。括号中的值表示阵列平均量的标准差。模腰通过近轴ABCD矩阵计算提取。在相关谐振腔几何结构中，对相当量级模腰的直接测量已被证明与近轴ABCD矩阵预测在实验不确定度内一致[15,18]。

| 平均参数 | 值 | 单位 |
|---|---|---|
| 自由光谱范围 | 143.8 | MHz |
| 腔线宽（用于 \(^{87}\text{Rb}\) 循环跃迁） | 2π × 1.3 | MHz |
| 原子-腔耦合（阵列平均） | 2π × 10.3 | MHz |
| 精细度（最大） | 145 | |
| 精细度（阵列平均） | 114(17) | |
| 模腰（中央焦平面） | 1.15 | μm |
| 间距（中央焦平面） | 10 | μm |
| 腔长 | 1.0424 | m |
| 实现的腔数 | 603 | |
| 几何协同性（阵列平均） | 10.2 | |
| 预计收集效率（补充材料[29]，E节） | 53 | % |

A. 实验装置

CAM有三个主要组件：(i) 微透镜阵列（MLA），其作用相当于一系列光学势阱，每个势阱定义了一个局部光线轴，该光线轴在腔内往返后返回自身，并且围绕该轴可以展开一族近轴TEM腔模式[34]；(ii) 初级缩小望远镜，将MLA平面成像到中央像平面，我们计划在此与单个原子阵列耦合；(iii) 次级回反射望远镜，将中央像平面重新成像到自身，从而避免了在原子最终驻留的平面上放置反射镜的需求[图1(a)]。对于理想透镜组，该装置创建了一个腔阵列，具有相同的模腰和横向模式谱，模腰在中央像平面中空间分离但紧密排列[图1(b)]。

CAM的主要设计标准是模腰的尺寸和间距。模腰间距直观上是缩小后的MLA间距，而模腰尺寸由包含MLA和后续端镜的有效“短”腔决定[图3(a)]。因此，模腰尺寸取决于MLA焦距 \(f_{\text{MLA}}\)、初级望远镜的缩小倍数 \(M\) 以及MLA与端镜之间的距离 \(L_1\)。当镜与MLA之间的距离恰好为 \(f_{\text{MLA}}\) 时，中央像平面中的模腰可以解析表示为

\[
w_0 = \frac{1}{M} \sqrt{\frac{\lambda f_{\text{MLA}}}{\pi}} \tag{1}
\]

（推导详见下一小节）。我们可以将此表达式理解为由所选MLA焦距设定的本征模腰，并附加一个缩小倍数因子。

对于我们的CAM，我们使用焦距为4.8毫米、间距为300微米的MLA，其设定的本征模腰为21.6微米。我们选择这种短MLA焦距以降低所需的望远镜放大倍数。接下来，我们使用 \(M = 18.8\) 的缩小初级望远镜将模腰缩小到1.15微米，模式间距缩小到10微米。对于该望远镜，我们使用300毫米焦距的球面透镜与10毫米焦距的高数值孔径非球面透镜[35]配对，其工作距离相对较大，为5.7毫米。最后，我们用 \(M = 20\) 的回反射次级望远镜完成腔，该望远镜由相同的高数值孔径非球面透镜和200毫米球面透镜组成（图2）。虽然初级望远镜的放大倍数是与 \(f_{\text{MLA}}\) 共同选择以设定腔模腰，但次级望远镜不受约束——在没有微透镜阵列的情况下，次级望远镜的近轴往返ABCD矩阵只是单位矩阵，因此对中央像平面的模腰没有影响。在望远镜的放大侧，其数值孔径相对较低，因此可以使用低损耗的球面光学元件，而不会受到球差带来的显著影响（补充材料[29]，B节）。图2展示了实验装置。我们实现的CAM实验装置包含现成的和定制的光学元件。使用空间光调制器（SLM）串联耦合到阵列中的每个腔体。中心腔体可以通过相对于SLM路径失谐80 MHz的光独立驱动，从而能够将不同腔体的相对简并性表征到小于腔线宽的精度。所有腔体均通过共用的雪崩光电二极管读出。下方：中心腔体的近轴稳定性图，绘制了最小光腰和往返古伊相位随各光学元件从其最佳望远镜位置（如腔体示意图所示）位移的变化。阵列中所有腔体的稳定性可以通过中心“轴向”腔体的近轴模型来近似。非球面透镜是最敏感的光学元件，其稳定区域仅覆盖微米量级的纵向位移。

为了更好地理解模腰对各种光学元件失调的敏感性，我们建立了一个描述CAM中心腔体的近轴模型。利用该模型，我们计算了模腰和古伊相位随各光学元件从其理想望远镜位置纵向位移的变化（图2下方），发现模腰要么对扰动呈二次不敏感（对于大多数光学元件），要么在毫米尺度上对扰动敏感度极小（对于输入耦合镜和MLA）。这些计算还揭示了非球面透镜的稳定区域非常窄——比其他任何光学元件小近3个数量级。这意味着CAM的组成腔体对非球面轴向位置的微米级漂移以及引起非球面焦平面微米级畸变的光学像差特别敏感（第三节）。在实践中，我们发现在周长时间尺度上的轴向漂移可以忽略不计（补充材料[29]，H节）。

为了测量CAM的性能，我们使用空间光调制器（SLM）依次激发腔体，并用共用的雪崩光电二极管读出产生的光谱。对于精细度测量，腔体使用窄线宽（约1 kHz）的780 nm激光激发，同时压电元件扫描输入耦合镜通过多个腔体自由光谱范围（FSR）。由于压电元件的运动干扰CAM简并性的测量，简并性测量改用频率跨越多个腔体FSR的激光进行。对于简并性测量，我们还添加了一束永久耦合到中心腔体的光束，该光束相对于SLM光束偏移80 MHz，作为静态频率参考（详见第五节）。

B. 设计启发

在上一节的公式(1)中，我们证明了只要满足特定条件，CAM的模腰由 和 决定。在本节中，我们推导公式(1)，并通过将CAM的物理特性系统简化为简单的双镜腔体，将我们的理解推广到不同的 值。最后，我们解释如何将 与非球面位置联合调节，以选择CAM的最大模腰。

为了推导公式(1)，我们从CAM的两个 望远镜施加的约束开始；主缩小望远镜在MLA平面和中心像平面之间为模尺寸和模间距设置线性关系： ，其中 是MLA处的模尺寸， 是模腰， 是望远镜放大倍数。重要的是， 望远镜是成像系统，光线经过双次往返后精确返回自身：通过两个 望远镜的往返作用在 -矩阵公式中等于单位矩阵[36]。因此，我们可以建立CAM模型，移除 望远镜并用MLA正后方的“虚拟”端镜替代，而不改变光线的（近轴）行为。虚拟端镜和MLA的组合在行为上与微镜阵列相同，微镜阵列的曲率半径为 ，从而使我们能够有效地将CAM简化为半平面双镜腔体阵列，每个腔体由平面输入耦合镜和一个 曲面镜组成[图3(a)]。

图3. 腔体模腰。(a) CAM的两个 望远镜对入射光线具有单位矩阵作用（在 -矩阵形式中），这意味着CAM可以简化为由平面端镜和曲面微镜阵列组成的有效双镜腔体。(b) 在这个有效腔体图像中，微镜阵列（和MLA）处的模尺寸随着 从零扫到 而单调增加。(c) 三个 值下的非球面稳定性图，说明 固定了腔体模腰的最大尺寸（随非球面间距变化）。在非球面零散焦处（虚线），模腰恰好等于 。

半平面腔体的稳定性图很简单——仅取决于镜间距和曲率半径[36]。对于间距为 的情况，平面镜上的模腰为 ，曲面镜上的模腰为 。将该表达式与望远镜缩小条件结合，得到公式(1)。

现在考虑调节 时会发生什么。在有效半平面腔体的图像中，当 接近零时，两个镜面上的模腰都无限小。随着 增大，曲面镜上的模尺寸单调增长，在 处趋近于无穷大[图3(b)]。由于 望远镜仅缩小MLA平面，像平面中的CAM模腰随 遵循相同的趋势。

到目前为止，我们在改变 时始终保持望远镜处于完美的 配置；然而，理解非球面透镜位移的影响至关重要，因为非球面稳定性图在微米尺度上敏感。在图3(c)中，我们选择三个不同的 值，并绘制CAM模腰随非球面透镜位移的变化。这些非球面透镜位移使 望远镜略微散焦。在零散焦处，模腰等于 ，符合预期。然而，对于 （ ），最大模腰偏移到望远镜具有轻微正（负）散焦的位置。因此，可以选择 以获得更大（或更小）的腔体模腰，然后纵向移动非球面透镜到该新模腰最大稳定的位置。

在调整CAM时能够推断这个最大模腰是很重要的。在近轴近似下，非球面稳定性图（对于纵向位移）的宽度等于最大模腰的瑞利范围的两倍。在实验室中，这为快速推断模腰和相应的 值并将其调至所需值提供了有价值的诊断工具（补充材料[29]，L节）。

III. 腔体视场

CAM的主要性能指标之一是固有视场（FOV），我们将其定义为中心像平面中同时形成稳定、近衍射极限腔体模式的直径。可实现腔体数量与视场相关为 ，其中 是中心像平面中模腰的间距。

在本实现中，固有视场（约2.8 mm）受非球面透镜的场曲限制为约1.5 mm（对应约615个腔体），如下文所述，而总可观测腔体集合由于输入耦合镜上的环形压电元件而物理限制在约2 mm直径。我们期望通过使用宽视场、高数值孔径的显微物镜替代非球面透镜，可以大幅扩展固有视场[33]。

在上一节中，我们表征了中心腔体对CAM最敏感光学元件——非球面透镜——扰动的稳定性。在这里，我们使用该方法实验和数值地提取CAM中所有腔体的稳定区域。在图4(a)中，我们绘制了一组非球面透镜纵向位移在 范围内的CAM视场。引人注目的是，我们观察到中心腔体首先变得稳定，然后是更大径向指数的腔体。在位移 后——等于预期稳定区域宽度——中心腔体变得不稳定，留下环状结构，随着最内层腔体变得不稳定而变薄。这些数据的径向平均切片明确显示了这些偏移的稳定区域[图4(b)上方]。为确定CAM的理想工作点，我们绘制了稳定腔体数量和阵列平均精细度[图4(b)中间和下方]，发现阵列平均精细度和腔体数量在相似的非球面透镜位移处达到最大，对应于中心和最外层稳定区域即将变得不重叠的点。

图4. 视场。(a)、(b) (a)视场——绘制为腔体精细度阵列——和(b上方)给定径向位移处腔体的稳定性都对两个非球面的微米级纵向位移敏感。径向平均精细度测量用作评估相应稳定区域的代理，连线用于引导视线。我们在同时最大化稳定腔体数量(b中间)和阵列平均精细度(b下方)的位移处工作；随着光学元件的进一步发展，我们预计可实现的视场将大幅提升。(c)非球面的场曲(上方)产生径向相关的二次焦移，将非球面稳定区域转换为径向腔体指数的函数，限制了视场。插图：我们通过光线追踪倾斜平面波单次穿过非球面透镜来可视化这种曲率。下方：实验(圆圈)和数值计算(星号；见补充材料[29]，A节)的稳定性图偏移与非球面场曲的预期焦移一致(乘以4，对应每次腔体往返穿过非球面的次数)，而使用理想透镜的数值计算(三角形)没有偏移。我们将实验数据与数值计算之间的微小差异归因于二次失调像差，如散焦，这些像差会叠加或抵消固有场曲。红线表示最大视场对应的径向指数和稳定性偏移。

为了定量理解径向相关稳定性偏移的来源，我们对CAM进行了一组数值光线追踪模拟[图4(c)下方]。对于由理想透镜组成的CAM，没有观察到稳定性偏移(三角形)；相反，包含实际非球面的模拟(星号)显示的稳定性偏移与实验测量的稳定性偏移(圆圈)一致，残余偏差可归因于额外的一阶像差，如散焦，这些像差由对准不完美引起而非系统固有性质。其他像差，包括像散和球差，在我们的数值计算中发现影响可忽略不计(补充材料[29]，C和B节)。

这些数值计算揭示的稳定性偏移归因于非球面透镜的场曲，如图4(c)上方所示。数值计算的稳定性偏移定量地遵循非球面单次光线追踪场曲，乘以每次往返穿过非球面透镜的次数[图4(c)下方，灰色实线]。在CAM内部，多次往返穿过光学元件约束所有腔体模腰位于平坦的中心像平面，因此，非球面场曲反而表现为单个腔体稳定区域的偏移，这最终限制了CAM的视场。

为了扩展CAM的视场并避免场曲的有害影响，可以用高数值孔径、宽视场的显微物镜替代非球面。此类物镜将有几个独特的设计约束：(i)单次透射损耗应保持在1%以下，以确保高腔体阵列精细度；(ii)除了保持平坦焦平面外，物镜还必须确保到所有场点的绝对光程相等，这是简并性条件所要求的(第五节)。高数值孔径物镜在典型原子阵列实验中已经被设计成在指定视场内提供衍射极限性能并具有亚微米场曲率。在极少额外设计下，我们预期一个间距为1.5毫米视场的物镜能够实现超过17,000个同时共振腔，且模腰均匀，前提是满足损耗条件[33]。IV. 腔精细度

精细度是CAM的主要性能指标之一，对于固定的模腰，它决定了腔协同性，进而决定光收集效率[1]。在本节中，我们将详细考察观测和预期的腔损耗及其腔间变化。

由于CAM的组成元件包含腔内光学元件，存在多种可能降低精细度的损耗来源，包括表面粗糙度散射、反射镜的镜面反射、增透膜（AR）的吸收、透镜孔径处的截断以及灰尘。在此，我们记录每个光学元件的损耗，发现AR镀膜和散射损耗占主导，然后详细阐述缓解这些来源及其他来源的策略。

在表II中，我们总结了每个腔内光学元件以及整个阵列的测量和预测损耗。实验测量的每个腔的平均往返损耗为5.3%，对应阵列平均精细度为114。然而，存在性能较差的个别腔，我们将其归因于灰尘、微透镜阵列和反射镜的局部缺陷，以及径向依赖的截断损耗（在稳定区边缘附近工作的腔最显著）。为了区分本征损耗（由AR镀膜和表面粗糙度引起）与外部损耗（由灰尘和截断引起），我们识别出精细度最高的腔（145），并将其对应的损耗（4.2%）作为与预期镀膜和散射损耗比较的基线。

表II. 腔损耗预算。列出了每个单独光学元件的单程损耗，以及一个腔往返的通过次数。每个腔内光学元件的“测量”损耗是通过将其放置在两个高反射率端镜之间，在低数值孔径下测量所得精细度来确定的。端镜的损耗由制造商提供。“预期”损耗根据制造商提供的AR镀膜反射率和散射损耗计算得出。散射损耗通过透射中的法向入射总积分散射计算[37]： ，其中 ， 为制造商给出的表面均方根粗糙度。所有球面光学元件的表面粗糙度均低于纳米级，因此可忽略不计。总元件损耗计算为 ，其中 为元件损耗， 为通过次数。

光学元件 测量损耗(%) 预期损耗(%) 通过次数
耦合输入镜 0.1 0.1 1
微透镜阵列 0.1 0 2
球面透镜1 0.07 0 2
非球面透镜1 0.8 0.42 2
非球面透镜2 0.8 0.42 2
球面透镜2 0.07 0 2
耦合输出镜 0.1 0.1 1
总计（元件） 3.8 1.9
总计（由峰值精细度） 4.2
总计（由阵列平均精细度） 5.3

我们使用两种方法计算本征损耗：首先，结合制造商提供的AR镀膜曲线和由表面粗糙度计算的散射损耗；其次，通过将每个腔内光学元件放置在已知精细度的简单双镜“表征”腔中，直接测量其损耗。我们将这些损耗合并，得到元件级总测量损耗为3.8%（表II）。我们发现元件级损耗与测量峰值精细度一致，相差少量（0.4%），这可以用腔内透镜上的微量灰尘积累或整个复合系统的不完美对准来解释。

CAM中主要的损耗来源来自腔内非球面透镜，每个透镜具有0.8%的测量单程损耗，因此占腔内总损耗的四分之三以上。其中约一半的损耗可以由制造商提供的AR镀膜反射率和表面粗糙度解释（表II）。我们怀疑剩余的0.4%损耗来自AR镀膜的非理想性，因为非球面透镜高度弯曲，这使得难以沉积均匀厚度的镀膜并确保在所有入射角下性能稳定。

除非球面透镜外，其他腔内光学元件——两个球面透镜和微透镜阵列——也增加了少量损耗。这些球面光学元件由于其极低的表面粗糙度而具有可忽略的散射损耗。每个光学元件都镀有以780纳米为中心的高质量抗反射V型镀膜。理论上，这些镀膜在其设计波长处具有零反射率；然而，实践中，我们测得球面透镜的单程损耗为0.07%，微透镜阵列为0.1%。

灰尘引起的性能退化也是一个主要问题。对于CAM的多个像平面中的腔光学元件，如端镜和微透镜阵列，灰尘和缺陷会导致个别腔的精细度降低。对于位于傅里叶平面及其附近的腔光学元件，包括非球面和球面透镜，灰尘会以相似程度影响所有腔，因为透镜处的腔模较大且重叠。为最大程度减少灰尘损耗，我们发现正压HEPA过滤外壳足以在数月的周期内避免明显的性能退化。如果没有HEPA过滤空气，我们观察到CAM的阵列平均损耗在短短两周内增加百分之几。幸运的是，光学元件可以通过标准清洁技术清洁并恢复至初始性能[38]。

CAM中最后一个损耗来源是腔内光学元件孔径处的截断。在CAM设计中，我们采取预防措施将总截断损耗降至 ，与5.3%的阵列平均总损耗相比很小。截断损耗的主要来源是高数值孔径非球面透镜。将总截断损耗保持在低于0.1%的水平需要选择模腰，使得透镜处的 模直径不大于透镜直径的一半。对于我们的 非球面透镜，约 的模腰是最佳值，低于该值时截断损耗开始显著降低精细度。CAM的欠佳对准也会导致额外的截断损耗，可以通过根据补充材料[29]第L节详述的程序仔细对准来缓解。

有几种方法可以通过仔细选择腔内光学元件进一步减少本征损耗量。对于非球面透镜，可以使用高折射率玻璃来降低其曲率，从而可能在非球面上镀上性能更好的AR镀膜——尽管此类玻璃通常具有较高的吸收。对于可以容忍更大模腰的应用，非球面透镜甚至可以用球面透镜替代，其损耗可低于0.1%。对于需要小模腰和大视场的应用，我们认为由V型镀膜或纳米纹理光学元件组成的腔内高数值孔径显微镜物镜可以实现低于1%的损耗，类似于我们的非球面透镜。最后，通过稍微修改CAM几何结构，可以完全消除微透镜阵列引起的损耗：用微反射镜阵列[9]替换耦合输入镜和微透镜阵列。通过光学设计和AR镀膜的进一步改进，我们预计总损耗可以降低至约1.5%，对应阵列平均精细度超过400，协同性提高 。V. 腔简并性

除了腔数量和精细度外，CAM的第三个性能指标是阵列简并性，即所有腔能同时共振的程度。腔频率由每个腔局部轴的往返光程和Gouy相位控制。特别地，索引为 的腔与中心腔之间的共振频率偏移取决于单程光程变化 以及往返Gouy相位差 ： (2)

实验上，这被测量为分数失谐 。

CAM架构的主要优势之一是，仅通过正确放置腔内光学元件即可实现同时共振，无需对局部腔进行显式控制。对于具有理想光学元件的CAM，当所有透镜在横向上完美居中于同一光轴，且非球面和球面透镜在纵向上处于完美的望远镜配置时，满足此条件。这是因为在傍轴近似下， 成像系统不仅将点成像为点，还将平面波成像为平面波，从而确保通过系统的所有光程相等。

在实践中，各种非理想因素破坏了这一条件。各种腔光学元件的失准会以可预测的方式改变相对光程。例如，如果其中一个端镜倾斜，或者其中一个球面透镜横向偏离光轴，则会在阵列上施加线性失谐梯度。类似地，由表面不规则性或安装应力引起的光学元件像差会导致光程差[图5(a)]。最后，阵列上的Gouy相位变化是 的很大一部分，导致额外的径向依赖频率偏移（补充材料[29]，第D节）。

图5. 简并性表征。(a) CAM的简并性对改变阵列中各腔相对往返光程的扰动敏感。这种扰动例如可能由各种腔内光学元件的失准或其表面缺陷（如端镜的应力或形状误差）引起。(b) 为表征这些效应，我们测量每个腔（蓝色）相对于中心腔（红色）的分数失谐 。(c) 球面透镜的横向失准在阵列上产生线性失谐梯度，而(d) 机械应力端镜在阵列上产生像散。我们通过将失谐图分解为Zernike多项式的和（对数据应用单点高斯平滑）来区分这些效应，从而允许逐阶定量评估像差。误差棒表示拟合的Zernike系数的自助标准误。

我们用耦合到中心腔的固定激发光束和由SLM控制的可变激发光束来探测腔简并性[图2和5(b)]。固定激发光束与SLM光束失谐80 MHz（约半个FSR），并且调节相对功率使得两个驱动在腔透射的同时光电二极管测量中可明确区分[图5(b)]。从这个光电二极管信号中，我们可以提取相对腔失谐，并且通过用SLM寻址阵列中的不同腔，我们可以测量整个阵列的失谐（模腔FSR）。故意使光学元件失准（例如，倾斜端镜）或使用已知像散的端镜会产生反映预期像差的失谐图[图5(c)和5(d)]。关键是，我们能够将这些失谐图分解为低阶Zernike多项式的和，从而定量识别不同像差影响阵列简并性的程度[图5(c)和5(d)，右]。

最终，通过仔细控制光学元件对准和像差，我们能够实现数百个同时简并的腔，失谐小于最优输出耦合线宽[图1(d)]。下面，我们详细描述执行此优化所用的技术和启发式方法、对失准的敏感性，以及我们可以使用CAM在其自身光学元件中以纳米级识别像差的方法。A. 腔成像系统的失准

实现数百个腔的简并需要精确定位CAM 望远镜中的光学元件。如图6(a)所示，CAM球面透镜的横向和纵向失准会引入线性（倾斜）和二次（离焦）非简并性。其他自由度，如端镜的俯仰和倾斜，以类似方式影响简并性——事实上，我们观察到所有失准引起的非简并性主要是线性和二次的。这意味着，在仔细预对准所有光学元件（补充材料[29]，第L节）之后，无论有问题的光学元件是什么，小的残余非简并性都可以完全通过球面透镜位置来补偿。

图6. 腔内光学元件的定位。(a) 实现简并的CAM需要精确对准腔内光学元件。横向（左）或纵向（右）球面透镜的错位分别会在往返光程差阵列中产生线性（即“倾斜”）或二次（即“离焦”）变化，表现为位点频率的变化。我们使用泽尼克多项式拟合每个失谐图，绘制主导泽尼克系数随透镜位移的变化曲线，并在所有轴上该系数过零点处工作。为了视觉清晰，插图失谐图采用单位高斯平滑显示。(b) 位置容差（使相对腔失谐移动一个线宽所需的球面透镜横向和纵向位移的微米数）作为腔索引（，其中）的函数。实线表示方程(4)中建立的理论模型，阴影区域表示若所选中心腔偏离中心光轴（分别为暗红和暗蓝）或（分别为浅红和浅蓝）个腔位时可能出现的偏差范围。单个数据点上的误差棒表示从失谐随透镜位移的拟合斜率中传播的不确定度。(c) 可同时共振的腔数量取决于球面透镜可定位的容差和腔精细度。在我们阵列平均精细度114，以及平移台（Thorlabs MAX381）10纳米精度的条件下，这对应于超过个腔（方块）。对于读出优化的线宽（补充材料[29]，第E节），这对应个腔（星标）。

这种补偿对于校正由阵列间微分古伊相移引起的分数失谐也很重要。古伊相移在径向方向上变化，占据的显著部分，这是因为我通过最大化具有相交稳定区域的腔集合来增大阵列尺寸。由此产生的古伊相移分布近似为径向索引的二次函数，因此可以通过球面透镜的毫米级纵向调整来校正（补充材料[29]，第D节）。然而我们注意到，过度依赖这种补偿可能产生的负面影响尚未充分探究。下文中，我们将聚焦于错位引起的非简并性——推导其解析形式，评估其位置容差，并阐明MLA对简并景观的惊人影响。

错位引起的非简并性源于CAM上微小的光程差。为了更好地理解这些效应，我们推导了分数失谐的傍轴模型（假设零微分古伊相移），作为缩小倍率球面透镜从其理想望远镜位置发生横向（）和纵向（）位移的函数。我们计算了广义离轴腔的，该腔位于球面透镜像平面上的横向位置，其中为MLA间距。这得到

(3)

其中为球面透镜的焦距。方程(3)与我们观察一致：球面透镜的纵向错位导致阵列上的二次非简并性，而横向错位产生线性非简并性[图6(a)]。此外，对依赖表明，远离中心光轴的腔对错位越来越敏感。这些结果定义了一组对准容差，指定了在给定腔从中心腔失谐一个线宽之前的最大允许透镜位移（、、和）。我们通过分别考虑方程(3)中的每一项，解出并除以阵列平均精细度，得到球面透镜每分数线宽位置容差的闭式表达式：

(4)

在图6(b)中，我们实验测量了该容差作为腔索引（，其中）的函数，针对球面透镜的横向和纵向位移。虚线表示方程(4)预测的理论容差，阴影区域表示所选中心腔与光轴之间可能偏离最多腔位所导致的相关不确定度。此外，简并对位移的低敏感性意味着轴间耦合可能导致实测容差低于理论预测（补充材料[29]，第G节）。

这些容差图提供了对简并运行所需条件的洞察，表明为了将这个600腔CAM稳定在简并状态，球面透镜横向位置必须控制在300纳米以内，而纵向位置只需控制在以内。这种精度水平可以通过使用精密三轴压电台（例如我们在此使用的Thorlabs MAX381）的闭环反馈轻松实现。

我们还研究了仅受平移台位置精度限制时，可同时稳定在简并态的腔数的理论极限。如图6(c)所示，这一基本极限超过个腔（在理想输出耦合线宽下为个腔），这意味着其他因素——最显著的是CAM视场——将远在简并稳定成为限制因素之前就限制可实现的腔数量。

在确定了球面透镜定位所需容差后，我们现在进一步识别和表征简并条件。直观上，方程(3)表明存在一个独特的简并点，其中对所有腔位置均成立。然而，由于每个腔纵模谱的周期性，我们只能区分分数失谐。这导致在球面透镜不同位移处出现一系列看似相同的简并点，其间距由MLA间距、透镜焦距和探测波长决定。我们在图7(a)中实验观察到了这一扩展的简并配置网格，其中每个子图显示了给定球面透镜横向位移（纵位移固定为附近）下的失谐图。

图7. 简并条件的混叠。(a) 我们测量了沿两个横向轴（、）多个球面透镜位移选择的失谐图，揭示了多样化的景观：在许多透镜位置，阵列看似简并，导致正确对准存在歧义。(b) 我们将这些效应解释为由MLA有限间距引起的混叠，MLA采样了底层位移诱导的线性相位梯度，用失谐模FSR的示意图说明。(c) 为了识别非混叠对准，我们旋转MLA并绘制(a)中拟合简并点的位置，分别包含（蓝色）和不包含（红色）四度旋转；对于旋转数据，我们比较实测简并点（蓝色叉）和基于原始红点的旋转预测（蓝色空心圆），发现良好一致性。我们将“真实”简并点识别为其他“虚假”简并点绕其旋转的旋转中心。

为了理解扩展的简并点网格，我们重新审视腔纵模的处理。对于一组光程相同的腔，腔间的纵谱将是简并的。然而，如果单向光程在相邻腔之间随整数倍的线性变化，它们也将是简并的。因此，扩展的简并点网格反映了这样的条件：球面透镜横向位移引起的线性失谐误差的大小，使得相邻腔之间产生整数倍的光程变化，该网格由MLA的规则间距建立[图7(b)]。

为了设定可复现的对准目标并减轻潜在离轴像差的影响，我们寻求将球面透镜停在“真实”简并点处，其中且所有光学元件的中心轴共线。我们通过旋转MLA来识别这个真实简并点，从而改变满足上述周期性条件的球面透镜横向位置。在拟合旋转和未旋转两种情况下的简并点位置后，我们看到所有简并点都根据MLA角度绕一个与真实简并位置重合的中心点旋转[图7(c)]。我们将球面透镜停在该位置，将使用其他简并点的负面影响留待未来研究。

B. 分辨纳米级像差

除了接近简并点所需的大尺度调整外，残余非简并性来源于各种缺陷，包括光学元件上的应力和表面不规则性，这些都会引入腔间光程变化。CAM对位于循环光像平面或附近的元件（即独立腔模在空间上分离的位置）的位移和表面误差最为敏感，因为这会引入差分而非共模的光程变化。

我们针对已知像差的平面镜研究了这种情况，其中胶粘引起的安装应力导致镜面有数十纳米的曲率。如上所述测量失谐图，使得CAM在通过调至简并消除图6中的大尺度错位效应后，能够直接将这种表面曲率表征为残余非简并性。在将无应力的平面端镜更换为有应力样品后，我们测量了有应力镜在三个旋转取向下的失谐图，并从拟合的泽尼克多项式中提取由此产生的像散旋转[如图5(d)]，发现两者之间有良好的一致性（图8）。

图8. 测量腔简并性使我们能够评估特定光学元件的固有像差。例如，我们插入一个已知像散镜作为腔的端镜，然后在镜旋转时测量拟合像散的角度，观察到紧密的相关性。水平误差棒表示实测镜旋转角度的不确定度；垂直误差棒表示从自举泽尼克像散系数传播的标准误差。

只要像差光学元件位于腔阵列像平面或附近（从而对光程有影响），且诱导误差的幅度大于分辨率限制，我们就可以将该过程应用于分析表面轮廓和像差的一般变化。在平均精细度下，谐振腔线宽设置了光程分辨率为（小于观察到的约40纳米峰峰像差镜变化），其他光学元件引起的残余非简并性进一步限制分辨率。

VI. 展望

CAM是一种强大的新技术，用于控制光腔阵列中的光-物质相互作用。在本文中，我们确定了控制其可扩展性的基本机制，并展示了迄今为止最大、性能最优的CAM，约有600个腔，固有精细度大于100，相互简并性在输出耦合优化线宽内。结合类似规模的冷原子量子处理器节点，我们预期该架构将实现创纪录的量子网络带宽，同时最小程度地干扰计算操作。本工作的一个关键组成部分是对CAM缺陷的定量分析。通过这些研究获得的洞见，我们预期有一条直接路径通向数万个相互简并的腔，固有精细度接近一千，并相应提升网络性能[25]（补充材料[29]，第I和J节）。

除了网络应用外，CAM还将显著提高冷原子量子处理器的读出速率，在我们预计的53%收集效率下接近约读出（图9和补充材料[29]，第E节）。通过引入腔间的衍射耦合，我们期望实现相邻腔位点之间的光子相干耦合，从而能够研究迄今未探索的光-物质哈密顿量[26–28]。通过将可编程光学元件（如变形镜）引入系统，可以进一步增强连通性，实现单个阵列内快速、并行、非局域的原子-原子相互作用。如果CAM不是从原子收集光子，而是用于将环境光子转换到原子阵列上，它可以实现量子计算增强型光学成像系统的自然组成部分[39]。

图9. 预期腔性能。当前CAM参数的总优化光收集概率（实红线）——见补充材料[29]第E节；我们的预期性能已比标准原子阵列预期的大约5%（虚线红线）高一个数量级，随着固有腔精细度的提高还有进一步发展空间。值得注意的是，即使精细度增大，腔体非简并性的可接受窗口（即图1(d)中颜色条的红色条带）也仅轻微减小（蓝色实线）。我们强调，尽管本版本的腔增强测量装置（CAM）是针对与中性原子量子处理器的兼容性而设计的，但其基本原理具有通用性，并可能在多个领域带来收益，例如生物或化学传感[2,3]。最终，CAM是腔体工程漫长、活跃且富有成果历史的集大成之作；通过研究、表征和优化影响其性能的因素（正如我们在此所做），我们期待多腔量子电动力学领域同样充满希望的崭新前沿即将到来。