混合振荡器-量子比特量子处理器：模拟费米子、玻色子与规范场

《Physical Review X》：Hybrid Oscillator-Qubit Quantum Processors: Simulating Fermions, Bosons, and Gauge Fields

　　解决材料科学、量子化学和核物理学中许多社会相关问题的关键，在于理解其微观层面的量子行为。这些问题都可以表述为费米子（例如电子、夸克）和玻色子（例如晶格振动、光子）之间的相互作用。然而，求解这些强相互作用费米子-玻色子系统，对于经典计算机以及未经纠错的纯量子比特量子计算机而言，都是遥不可及的。在本文中，我们提出了一种混合量子比特-玻色振子量子模拟框架，该框架极为高效，即使没有纠错，也能模拟其中一些强关联问题。具体而言，我们利用可用的通用玻色门集，每个门操作数作为玻色截断的函数为???(1)。这使得我们的框架能够精确分解高阶费米子-玻色子相互作用，包括诸如(2+1)维规范理论这类极具挑战性的项。我们展示了如何用量子比特-玻色变分量子本征求解器和量子信号处理来编译动力学演化、无辅助比特的部分错误检测、非局域可观测量测量以及基态能量估计。我们提出了一个“后量子比特量子优势”实验，该实验对于近期的纯量子比特量子计算机和经典计算机都是无法企及的。我们通过高玻色子占据数下的林布德（Lindblad）模拟来估算玻色门保真度，并与纯量子比特算法进行比较，从而论证这一提议的合理性。对于后者，我们开发了一种新的基于量子比特的算法，用于模拟具有玻色子数截断??max的分束器，其缩放为????(??1+???(1)max)，在渐近意义上优于先前已知的量子比特方法。然而，要达到与量子比特-玻色硬件相同的电路保真度（每门保真度99.9%），使用已知最优方法的量子比特量子计算机仍需至少99.9999%的保真度，这很可能需要大量的纠错。我们的框架可用于超导硬件（本文重点），也可用于离子阱和中性原子硬件。这项工作确立了数字混合量子比特-玻色量子模拟作为一种有前景且具有优势的方法，用于解决科学技术中许多具有挑战性的强关联费米子-玻色子模型。

I. 引言

自然界中许多机制的底层是费米子和玻色子之间的相互作用，例如声子介导的电子吸引导致超导性，或光合作用中的光下转换。费米子粒子的例子包括电子、空穴、费米子原子、重子、质子、中子、夸克和轻子；玻色子粒子的例子包括光子、声子、激子、等离子体激元、库珀对、玻色子原子、介子、W玻色子、Z玻色子、希格斯玻色子和胶子。当这些粒子之间的相互作用很强时，解析和数值方法都失效，导致高能物理、化学和凝聚态物理中出现了大量的开放问题。特别是，量子蒙特卡洛模拟仅对静态平衡性质（或虚时动力学）有效，并且仅在不存在费米子符号问题的特殊情况下有效。张量网络方法仅对纠缠受限的系统效果良好。一些最难以模拟的例子可以在粒子物理标准模型的晶格规范理论（LGT）表述中找到[1]。LGT构成一个特别困难的问题，因为除了包含费米子或玻色子物质外，它们还包含规范场，这些规范场需要实现具有 的多体相互作用，例如规范不变的动能项（ ）和plaquette磁场项（ ）。

量子模拟器[2–4]为研究这些问题提供了一种有吸引力的替代方案，因为它们可以自然地承载纠缠态，这些纠缠态可以强关联[5–7]；此外，它们还可用于研究实时平衡态[8–10]和非平衡动力学[11–14]。LGT的类比模拟已被提出[15–26]，并已在例如冷原子[27–31]、离子阱[32,33]和超导量子比特平台[34,35]上实现，但类比量子模拟器在可实现的哈密顿量和可测量的可观测量方面受到限制。特别是，LGT中出现的多体相互作用使得其类比模拟具有挑战性，但最近通过加入数字组件使其变得可行[36]。数字模拟器原则上可以通过分解为两量子比特门或直接使用多量子比特门来实现多量子比特门（参见例如文献[37,38]），并且LGT的原理验证数字模拟已经完成。然而，将玻色子和费米子映射到量子比特时遇到的额外开销使得这些问题在基于量子比特的离散变量（DV）硬件上难以实现，其中离子阱和超导硬件尤为领先[35,39–51]。虽然基于数字qudit的量子处理器为高效编码玻色子和规范场的大希尔伯特空间提供了一种有前景的方法[42,52–55]，但迄今为止探索的qudit维度仅比量子比特略微增加了希尔伯特空间维度。更重要的是，量子比特和qudit系统都不能原生实现创建玻色子哈密顿项所需的玻色操作——特别是，在基于量子比特的编码中，合成玻色子升算符和降算符所需的依赖于占据数的平方根因子，会导致模拟玻色子模型时产生大量额外开销[56,57]。使用连续变量硬件模拟纯玻色子 理论已被提出[58]——例如，使用微波腔[59,60]或光子器件[61]——但这种方法不容易促进涉及玻色子和费米子物质之间相互作用的模型研究。

具有玻色子物质的 晶格规范理论让人联想到粒子物理标准模型中与非阿贝尔 电弱规范扇区（W和Z玻色子）耦合的希格斯扇区，但进行了两个简化：维度更低，以及 规范场代替非阿贝尔 电弱规范场。

在这项工作中，我们研究了混合量子比特-玻色量子处理器[57]在解决上述挑战方面的前景。特别是，我们利用这种硬件实现了模型与计算自由度之间的直接映射，如图1所示。通过将玻色子物质和规范场都编码在原生振子模式中，我们避免了玻色子到量子比特编码所带来的昂贵开销。更具体地说，我们方法的主要目标是探索原生可用玻色门集带来的优势，这是模拟包含玻色子的哈密顿量的关键组成部分，但在基于量子比特的硬件中实现成本高昂。虽然由于线性振子的等能级间距，振子模式的通用控制具有挑战性，但这里通过利用混合量子比特-玻色架构[62]解决了这个问题，其中量子比特提供了非线性，从而产生非高斯量子态[63,64]。为此，我们基于在配套论文[57]中最近开发的通用量子比特-玻色门集。特别是，我们专注于具有高Q值3D腔的电路量子电动力学（cQED）架构，尽管我们讨论的许多混合量子比特-玻色操作和技术也可以在其他平台实现，例如离子阱[57,65–70]，其中已经提出了用于规范理论的类似量子比特-玻色方法[71]，或光镊阵列中的中性原子[57,72,73]，其中也提出了与数字纠错费米子模式的耦合[74]。

图1. 数字混合量子比特-玻色电路。将物理费米子-玻色子问题映射到全量子比特（离散变量，DV）电路会导致大量的量子比特和门数量。相反，我们提出直接实现混合振子（连续变量，CV）-量子比特电路。

我们专注于模拟动力学的任务，即在依赖于时间的哈密顿量 下演化初始状态，使用一种数字方法，其中我们将该哈密顿量下的演化编译为基本的、原生的量子比特-玻色操作。许多量子算法可以以哈密顿量下的（受控）时间演化[75]作为基本子程序来表述，我们将其中一些算法改编为量子比特-玻色处理器，以确定基态和可观测量。我们工作的目标是为涉及费米子、玻色子和规范场的量子多体物理中最重要的模型找到这些编译方法，并证明与使用纯量子比特硬件的编译相比，这种分解带来了优势。

A. 文章结构

本文的结构如下。我们首先回顾基本概念（第I节）。然后我们介绍关于编译策略的主要结果，分为基本原语（第II节）、物质场方法（第III节）以及规范场及其与物质的相互作用（第IV节）。然后我们对我们的方法进行端到端的资源估计，并与全量子比特硬件进行比较（第V节）。最后，我们介绍测量可观测量的方法、执行动力学模拟和基态制备的算法，以及数值基准（第VI节）。我们在第VII节中给出结论。

作为读者的指南，我们依次对本文七个部分中的每一部分提供更详细的说明。在第I节，即本引言部分的剩余部分，我们通过广泛介绍LGT（第I E节）及其模拟相关的挑战来提供背景。我们选择范型模型[27,76]作为案例研究，即 -希格斯模型和 量子链模型，我们在第VI节中稍后使用它们来基准测试量子比特-玻色算法。然后我们介绍超导混合量子比特-玻色振子硬件，该硬件包括transmon量子比特耦合到高Q值微波腔谐振器，后者承载玻色振子模式，我们的研究基于此（第I F节）。最后，我们介绍特罗特算法（第I G节），这些算法是我们量子比特-玻色算法中使用的基本子程序。

在第II节中，我们介绍了本文中使用的混合量子比特-玻色编译策略工具集。我们回顾了先前介绍的方法，但也开发了用于合成玻色子宇称依赖和密度-密度操作的精确方法，以及振子介导的量子比特-量子比特纠缠门，我们将其扩展为多量子比特门。

在第III节中，我们利用该工具集开发了在混合超导硬件中实现常见玻色子（第III A节）和费米子（第III B节）哈密顿量项的时间演化算符的编译策略，包括单点势能、最近邻和同位点相互作用，以及跳跃项。我们同时考虑 和 。对于玻色子物质位点，我们利用到微波腔谐振器单个玻色振子模式的直接映射。对于费米子物质，我们利用Jordan-Wigner映射，使用transmon量子比特或微波腔中的双轨（DR）量子比特。

在第IV节中，我们提出了实现纯规范场和规范场-物质哈密顿量项的编译策略，专门研究 和 规范场在 中的情况。

在第V节中，我们引入了 -希格斯模型和 量子链模型的显式特罗特电路，并对特罗特误差进行了分析，从而推导出动力学模拟所需门数的端到端渐近缩放，包括编译中遇到的误差。然后，我们对我们提出的量子比特-玻色模拟与全量子比特模拟的玻色子跳跃哈密顿量进行了显式门数比较。为此，我们在Fock-二进制编码中开发了一种量子比特算法来模拟玻色子跳跃。

在第VI节中，我们使用前面章节的编译方法，将基态制备和动力学算法改编为我们的量子比特-玻色方法。我们使用 -希格斯模型和 量子链模型作为使用玻色Qiskit [77]进行数值基准的示例模型。特别是，我们开发了一种量子比特-玻色变分量子本征求解器（VQE）（第VI C节和第VI D节）的拟设。在VQE方法中，并在 -希格斯模型的背景下，我们研究了硬件和散粒噪声对VQE基态制备的影响（第VI D节），并证明了基于高斯定律进行后选择在改善基态制备方面的效用。接下来，我们展示了如何在这些基态中测量可观测量，特别是非局域可观测量，例如弦序关联函数和超流刚度（第VI E节）。最后，我们讨论了使用量子信号处理（QSP）进行基态制备，并比较了QSP和VQE在基态制备误差作为求解时间函数方面的差异（第VI F节）。

在第VII节中，我们总结主要结果，讨论使用我们方法实现量子优势的前景，并对未来研究方向进行展望。

在继续之前，我们简要评论一下本文使用的词汇和符号。我们使用术语“玻色子模式”（或简称“模式”）来指代玻色振子模式（qumodes）；更广泛地说，我们使用术语“量子比特-玻色”作为“量子比特-振子”的同义词。我们使用术语“腔”来指代包含玻色振子模式的实验腔谐振器。一般来说，我们将某些混合量子比特-玻色门称为“受控的”，这意味着门的生成元包含量子比特或模式数算符；即相位与状态中的激发数成比例（该门不影响 ）。我们通常将门称为“条件化”的，当它们获得一个依赖于状态的相位时，即当生成元中包含一个依赖于量子比特或模式福克态的相位时，这可以通过例如投影仪来实现。

B. 关键结果

在本节中，我们为读者提供本研究中的关键结果（见图2）。这些结果涉及新颖的编译技巧，以及我们新方法相对于经典方法和量子比特方法所获得的量子优势、用于模拟玻色子的新型和改进型纯量子比特电路，以及在新方法下关于动力学、基态生成和含噪硬件中可观测量测量的初步结果。

图2. 结构概览。有关关键结果的概述，请参见第I B节。

首先，我们展示量子链接模型可以高效地映射到目前正在量子纠错背景下构建的玻色子腔-量子比特架构上（将量子比特编码到玻色子振荡器模式中）（图4和第I F节）。

关于量子比特-玻色子编译的结果如下：
(i) 作用于一个模式上的任意玻色子操作，若受另一个模式福克空间占据数控制，可以编译为量子比特-玻色子门，其中 \(N\) 是选择该操作作用的最大能级（第II C和II D节）。这一特性尤其克服了先前在量子比特-玻色子硬件中数字实现模式-模式密度-密度相互作用的障碍（第III A 4节）。
(ii) 多量子比特门可以通过M?lmer-S?rensen构造的数字版本中的模式作为中介来实现（第II F节）。
(iii) 双轨 \(ZZ\) 门可以在缩短的时间 \(t_{ZZ}\) 内实现；这里 \(t_{ZZ} = \pi/(4\chi)\)，其中 \(\chi\) 是色散相互作用，即使对于最大纠缠情况 \(t_{ZZ} = \pi/(4\chi)\)，也比先前的 \(t_{ZZ} = \pi/(2\chi)\) 更短（第II H节）。

接下来，我们考察在量子比特-玻色子架构中编译模拟子程序。我们注意到，通过将我们的结果与表II中玻色子操作的纯量子比特编译相结合，这些分解也可能对纯量子比特架构有用。我们的发现如下：
(i) 玻色子在位相互作用可以通过单个选择性数相关任意相位（SNAP）门实现，代价是单个辅助量子比特（第III A 3节），并且在模拟 \(Z_2\) 晶格规范理论时可以移除辅助量子比特（附录B）。
(ii) 利用第II F节中引入的 \(ZZ\) 门，可以在平面双轨架构中实现Jordan-Wigner费米子到量子比特的映射。我们使用当前保真度估计比较了双轨量子比特和传输子量子比特在模拟费米子时的实现，发现双轨量子比特每门实现高一个数量级的保真度，代价是100个门的测量次数开销约为10倍（第III B节）。
(iii) 我们展示了如何使用量子比特-玻色子硬件实现声子-物质以及光-物质相互作用，其中费米子编码在传输子或双轨量子比特中（第III C 1和III C 2节）。
(iv) 我们找到了一个显式构造，用于在双轨量子比特中以常数深度实现 \(Z_2\) 磁通圈场项（第IV A 2节）。
(v) 我们将 \(U(1)\) 电场项重新构造为可以通过两个SNAP门实现的形式（第IV B 1节）。
(vi) 我们的主要结果之一是关于磁场项的常数截断构造（第IV B 2节），其标度为 \(O(\epsilon^{-1}J^2)\)，其中 \(\epsilon\) 是特罗特步长，\(J\) 是耦合强度。这一发现与朴素预期相反，后者认为由于其包含八个玻色子产生或湮灭模式算符，其复杂度应为截断的四次方，这是任何平台中首个实现常数深度的编译。
(vii) 我们展示了在 \(Z_2\) 和 \(U(1)\) 规范理论中，所有规范不变的跃迁项都可以在玻色子物质和费米子物质的常数深度内实现（第IV D节），使用方形晶格腔-量子比特阵列（图15），利用传输子量子比特和双轨量子比特编码费米子。在此背景下，我们还引入了一种使用三波混合的新方案（附录C），与两波混合相比减少了所需的总门数。

我们对特罗特模拟端到端复杂度分析的结果如下：
(i) 我们引入了一个基于引入虚拟截断来分析量子比特-玻色子特罗特模拟误差的通用框架（第V A节）。据我们所知，以下门估计是首次在量子比特-玻色子硬件中模拟晶格规范理论的端到端估计。
(ii) 使用此框架，我们表明模拟玻色子 \(U(1)\) 规范理论至时间 \(t\)、二维 \(L \times L\) 晶格和误差 \(\epsilon\) 所需的门数，对于二阶特罗特公式和恒定填充率，标度为 \(O(L^2 t \epsilon^{-1/2} N^2)\)（第V B节）。
(iii) 在大截断极限下，模拟二维 \(U(1)\) 规范理论的二阶特罗特步数标度为 \(O(N^2)\)（第V C节）。然而，重要的是要注意，在大 \(L\)、\(t\) 和小 \(\epsilon\) 的渐近极限下，门数的截断依赖性由于特罗特误差和编译误差之间的相互作用而消失（参见第V D节中的方程(145)），即使 \(N\) 随 \(\epsilon\) 具有大多项式标度。相反，我们发现门数相对于这些参数标度为 \(O(L^2 t \epsilon^{-1/2} \text{polylog}(1/\epsilon))\)。据我们所知，这一发现是首次在渐近极限下与该模型截断无关的门估计。

接下来，我们列出量子优势的前景，以及量子比特-玻色子硬件相对于纯量子比特硬件的优势。
(i) 为了与全量子比特架构进行比较，我们计算了在全量子比特硬件中模拟分束器所需的门数（第V E节）。先前已知的结果需要 \(O(N^2)\) 个CNOT门来模拟希尔伯特空间中玻色子截断为 \(N\) 的分束器[56]。我们在附录D中通过开发两种新算法改进了这些结果，一种使用算术电路（用于实时计算平方根），另一种使用查找表（以避免实时平方根计算，代价是渐近更高的深度和门数），找到了一种在全量子比特硬件中模拟玻色子分束器的算法，其标度为 \(O(N^2 \log^{3/2} N)\)，其中 \(N\) 是特罗特阶。
(ii) 我们进行了端到端门复杂度分析，表明使用当前最佳可用的纯量子比特方法在较小截断下模拟玻色子，截断为10的单个分束器在全量子比特硬件中的门数比振荡器量子比特硬件高出3个数量级以上（第V E节中的图17）。换言之，为了达到与量子比特-玻色子硬件相同的电路保真度（每门99.9%保真度），量子比特量子计算机需要99.9999%的保真度，这可能需要大量的纠错。
(iii) 一个关键结果是演示了量子优势的交叉点（第V F节中的图19）。我们表明，量子比特-玻色子硬件可能超越矩阵乘积态TEBD模拟的能力，用于模拟从高占据初始状态开始的20个格点、截断20的 \(U(1)\) 模型的时间演化。近期条件奇偶校验保真度达到99%可能产生量子优势，而长期保真度达到99.9%则在极短时间即可实现。为此，我们使用林布德模拟条件奇偶校验和分束器门在光子损耗、量子比特衰减和退相干情况下的截断依赖性，并应用这些来预测这些高占据 \(U(1)\) 模型特罗特电路的电路保真度（附录H）。由于这是矩阵乘积模拟最有利的区域（二维会更难），这些结果显示了即使没有纠错且物理元件数量很少，该硬件也有望实现量子优势。

量子比特-玻色子量子算法和数值基准结果如下：
(i) 我们展示了当前含噪硬件可以通过数值模拟电路在现实硬件噪声存在下，模拟五格点软芯玻色子 \(U(1)\) 模型的特罗特化动力学，最多85步特罗特步（第VI B节中的图21）。这一结果应与当前最先进的模拟模拟器[94,95]（仅实现两个格点）和量子比特数字模拟[96]（仅模拟硬芯玻色子版本）进行比较。
(ii) 我们设计了一个用于 \(U(1)\) 模型的量子比特-玻色子变分量子本征求解器（VQE）拟设，能够在四层内达到两个格点和四个玻色子的相对误差小于 \(10^{-2}\)（第VI C 1节），以及用于 \(Z_2\) 模型，能够在两层内达到三个格点和两个规范场的相对误差 \(10^{-2}\)，并重现其一级相变（第VI C 2节中的图23）。
(iii) 我们提出了一种测量分束器期望值的方法[第VI C 1节中的方程(161)]，并利用该方法提出了一种实验方法来测量 \(Z_2\) 和 \(U(1)\) 晶格规范理论的能量，用于VQE训练。
(iv) 我们在最具有挑战性的竞争哈密顿量项区域中，模拟了 \(Z_2\) 模型在散粒噪声和现实硬件噪声影响下的VQE训练（第VI D节中的图24）。为此，我们设计了一个迭代过程，随着梯度变平增加测量次数，并使用精心调制的平均过程。在没有硬件噪声的情况下，我们在2500次迭代中仅用115,000次测量就达到了大于95%的保真度。在存在硬件噪声的情况下，在类似迭代次数内达到了远低于第一激发态的能量。
(v) 我们还发现了一个使用电路中测量的无辅助量子比特电路，使我们能够在能量测量期间对高斯定律进行部分后选择（第VI D 5节）。我们数值表明，这使我们的噪声模型中的能量误差减半（图25）。
(vi) 我们引入了用于测量许多相关函数的编译方法，包括可从扭曲边界条件下的基态能量中提取的超流密度（第VI E节）。最重要的是，我们展示了如何使用微扰方案测量弦序关联函数，该方案在测量精度和测量次数之间有权衡，表明10,000次测量即可在数值制备的含噪VQE基态上对弦序关联函数实现良好分辨率（图27）。
(vii) 我们使用这些方法数值表明，上述获得的VQE态高精度地重现了精确关联函数（图26）。
(viii) 我们引入了量子比特-玻色子量子信号处理，这是一种具有可证明性能保证的基态制备方法（附录E和F）。我们数值表明，将 \(U(1)\) 模型基态制备到指定精度的时间与VQE相当（图28），这令人惊讶，因为VQE是启发式的，因此朴素预期应更快。然而，由于QSP电路较深，只有当量子比特-玻色子门保真度降至远低于 \(10^{-4}\) 时，它才具有竞争力，这有利于VQE在近期的测量次数权衡，后者可以容忍较低保真度的门。
(ix) 我们最终比较了噪声对量子比特-玻色子硬件和全量子比特硬件在模拟玻色子模型时的影响（第VII节和附录G），指出在全量子比特硬件中采用二进制编码时，单量子比特比特翻转噪声可能导致有效 \(N\) 个玻色子的损失，这甚至可能对纠错的全量子比特硬件构成挑战。

综合这些结果，确立了混合振荡器-量子比特处理器作为强关联晶格规范理论及相关费米子-玻色子模型后量子比特量子优势的可扩展且实验可行的途径。

C. 相对于经典、模拟和量子比特方法的优势

我们在图3和表III中总结了量子比特-玻色子处理器的优势，并在下面进行解释。

图3. 数字量子比特-玻色子量子模拟相对于其他方法在模拟玻色子量子模拟问题上的优势。

具有大局部截断 \(N\) 的玻色子问题的基本经典困难在于可以波动的振幅数量增长非常快。精确对角化必须存储并演化每个允许的玻色子占据模式的所有振幅，对于 \(N_b\) 个无限制的玻色子格点，希尔伯特空间标度为 \((N+1)^{N_b}\)。稀疏和固定数量方法减少了这个基，但当玻色子在格点间聚集或强烈波动时，剩余扇区仍然可能是组合大的；例如，第V F节中使用的固定数量扇区已经有维度 \(\binom{20+20}{20} \approx 1.4 \times 10^{11}\)。这些规模对于基准测试很有用，但它们很快超出了强力动力学的范围，最大可比较的稀疏模拟达到约 \(10^{14}\) 量级的希尔伯特空间[98]。

张量网络方法通过只保留实际产生的纠缠结构来降低这种成本。这种方法对于低纠缠的一维态很强大，但对于玻色子，局部物理指标本身很大：短程一维玻色子动力学的优化时间演化块收缩（TEBD）标度为 \(O(D^3 N^2)\) [99]，其中 \(N^2\) 来自在两个局部希尔伯特空间上应用双格点门，\(D\) 是键维数。标准基于奇异值分解（SVD）的实现方法在扩展性上可能表现较差，且当实时动力学、淬火或散射产生纠缠时，必须随之增长[100,101]。在更高维度中，瓶颈更为严峻，因为张量收缩需要求和对虚拟键网络，而不仅仅是局域物理指标；因此，投影纠缠对态（PEPS）算法的键维数成本陡增，常见收缩中可达[102–105]。其他经典方法具有互补性，但依赖于受相同物理效应制约的近似。量子蒙特卡罗（QMC）方法对于某些平衡态和无符号问题系统是高效的；然而，实时振幅是振荡性的而非正概率，费米子或阻挫会导致抵消。密度泛函理论（DFT）、密度泛函微扰理论（DFPT）、米格达尔-埃利亚什伯格理论以及构型坐标方法之所以实用，是因为它们将多体问题简化为有效的单粒子、微扰或反应坐标描述；然而，强非谐性、极化子、缺陷和关联电子可能削弱这些简化[82–84,106]。凯尔迪什、非平衡平均场和变分方法可以处理驱动系统，但它们需要截断关联或选择受限的拟设类别；非线性声子和长时间演化可能产生这些闭包之外的关联[85,86]。同样，分级运动方程（HEOM）、多组态含时Hartree（MCTDH）、面跳跃及相关非绝热分子方法对于选定的模式或浴结构是有效的，但大量活性模式、长浴记忆、低温和分支核波包会迅速增加所需的分级元素、构型或轨迹数量[79,81,107,108]。因此，量子比特-玻色子硬件针对的是若干上述瓶颈同时出现的区域：大、强非谐性、实时动力学、费米子以及高纠缠。

数字量子比特-玻色子方法相对于模拟玻色子量子模拟有许多优势。首先且最重要的是，可以依赖为量子比特实现纠错的大量已有工作，并且已有针对玻色子模式误差抑制的提案[109–119]。我们注意到，仅凭高斯资源无法纠正高斯误差，如文献[120]的不可行定理所确立；上述提案通过采用非高斯元素来规避这一问题，如文献[114]中的振荡器到振荡器编码。数字方法能够灵活实现和研究不同的哈密顿量，以及测量长程可观测量（如弦序关联子）。我们还可以将现有的量子模拟算法适配到量子比特-玻色子平台（特罗特、相位估计、变分量子特征求解器、量子信号处理等）。向高维系统的直接推广也是可行的。我们研究的一个特别进展是展示了如何在二维中模拟面（plaquette）项，其门复杂度与玻色子截断无关，这曾是该领域的一个开放挑战。

我们注意到，这些方法也可以在不同的物理平台中实现。虽然我们聚焦于超导硬件，但我们的方法可以直接在离子阱和中性原子中实现，这些平台在玻色子模式的相干操控方面取得了快速进展（例如，见文献[73]）。

最后，要在量子比特设备上模拟玻色子问题，需要将玻色子模式映射到量子比特。我们在第五节中进行比较并讨论这一问题。常用的映射包括一元或独热编码（需要个量子比特）、二进制或格雷编码（仅需个量子比特），或约旦-李-普雷斯基尔编码（需要在相空间中选择离散化，从而使其成为近似）。

比计算元素开销更重要的是原生实现玻色子操作的问题。具体而言，这种情况需要从产生或湮灭算符的作用计算平方根，例如。在全量子比特硬件中，最好使用牛顿迭代法[121]计算（见第五节），但该方法成本高且是近似的。正如我们在第五节E和附录D中讨论的，我们提出的模拟单个玻色子幺正算符的算法具有已知最优的渐近门成本，至少与成线性关系。对于玻色子量子计算机，只需一个原生可用的操作。因此，使用量子比特-玻色子处理器来量子模拟量子比特-玻色子量子模拟问题也更容易、更直接，因为不需要将玻色子映射到量子比特。此外，可以使用施温格玻色子映射的原生实现来模拟大自旋系统。与量子比特设备类似，量子比特-玻色子处理器可以从特罗特、VQE、QSP、中间电路测量和前馈等数字算法中受益。可以使用纠错来提高量子比特寿命，这是量子比特-玻色子处理器的限制因素。已有玻色子到玻色子误差抑制的提案[109–118]；然而，这一方向仍需更多工作。

D. 开放费米子-玻色子问题

本文提出的这类量子比特-玻色子设备特别适合模拟涉及大玻色子涨落的系统。这是因为对于经典数值模拟和量子比特量子计算机的量子模拟而言，小涨落系统的模拟是容易的：每个位点只需要表示少量离散态，相应地只需要少量操作。虽然我们在附录D和G中更精确地阐述这些陈述，但在这里我们讨论量子模拟中几个涉及大玻色子涨落的重要挑战，这些挑战将受益于量子比特-玻色子设备。使用经典、模拟和量子比特方法模拟大玻色子截断和非谐性的一般困难已在第一节C中讨论。在本节中，我们有时会提及已用于处理相应问题各个方面的经典方法。

化学与生物学。一个关键领域是离子核振动与电子波函数的相互作用起重要作用的量子化学问题类别，即玻恩-奥本海默近似失效的情形[122]。例如，理解光合作用系统中能量转移为何能以如此高的效率（约99%）发生——考虑到这些系统是无序的、液体的、开放的系统——可为生物介质的未来能量转移技术设计提供参考[123]。玩具模型的各个方面已使用HEOM及相关振动电子模型求解[79,124,125]；然而，由于蛋白质环境中许多振动电子模式可以共同参与超快能量传输，且类量子比特激子自由度与玻色子模式强耦合会产生有效非谐性，因此出现了具有挑战性的大截断。

类似地，一个可能将太阳能电池效率提高到肖克利-奎伊瑟极限（约33%）以上的开放化学问题是定量预测哪些材料发生高效单线态裂变并分离所得三重态激子[126–128]，这将使一个高能光子产生两个电子激发而非一个。该问题的各个方面已通过MCTDH和量子化学筛选方法进行研究[80,107,129–133]；然而，由于三重态对的形成、分离和电荷转移依赖于强耦合的分子振动，且非谐性通过电子态依赖的振动势出现，因此需要大量相空间点。

在光动力治疗中，尚无法预测哪些光敏剂能同时优化吸收、系间窜越、光稳定性和活性氧生成；解决这一问题将加速靶向光活化癌症治疗的发现[134]。该问题的各个方面已通过医学物理模型、量子化学和非绝热动力学进行研究[81,135–137]，但需要大量相空间点，因为三重态产率动力学依赖于耦合的振动和自旋振动电子坐标，非谐性来自激发态分子畸变。

更广泛地说，振动电子效应对于非辐射弛豫和超快能量转移过程[138,139]、光伏材料和有机共轭体系中的非绝热电荷动力学[140,141]、圆锥交叉[142,143]（例如，见离子阱[69]和超导量子比特[144]中的小尺度量子比特-玻色子演示）、约翰-泰勒和赝约翰-泰勒相互作用[145]、分子光磁体[146–150]、OLED热激活延迟荧光材料[151–154]、防晒分子[155–158]以及DNA光稳定性和修复[159–161]都是核心。

材料科学。目前尚无法微观预测卤化物钙钛矿中的非辐射复合和缺陷辅助载流子捕获；解决这一问题将指导更便宜、更稳定、更高效的太阳能电池设计。该问题的各个方面已通过DFT、DFPT、光谱引导的极化子模型和非绝热载流子捕获计算进行处理[82]，但大声子截断的出现是因为软极性和非谐晶格模式在载流子弛豫和缺陷辅助复合过程中可能发生强烈位移。

类似地，目前尚无法定量预测半导体中的缺陷介导载流子捕获和持久光电导；解决这一问题将改进光电探测器、光电器件和缺陷工程材料。该问题的各个方面已通过构型坐标和第一性原理缺陷计算进行研究[83,84]，但强非谐性和大截断源于缺陷周围的大晶格弛豫。

在腔耦合材料中，尚无法预测非平衡相图和涨落工程化相；解决这一问题将把结构化电磁环境转变为超导、磁性、莫尔和拓扑物质的设计工具。该问题的各个方面已通过非平衡平均场、凯尔迪什和材料特定的非线性响应计算进行处理[85]，但玻色子占据可以从真空涨落扩展到强相干驱动，而有效非谐性取决于驱动的声子或极化激元模式。

表一。量子比特-玻色子量子模拟应用领域概述。玻色子截断列表示从相应系统的理论或数值处理中得出的代表性玻色子希尔伯特空间截断或相空间需求。领域 | 玻色子截断或相空间点 | 非谐性 | 开放计算问题（示例）

光合作用能量转移 [79] | 弱 | 具有多个声子模式、无序和多激发效应的非平衡振动电子输运

单线态裂变太阳能电池 [80] | 强 | 三重态对的形成、分离和收集

光动力治疗 [81] | 弱–中等 | 吸收、系间窜越、自旋振动电子效应和三重态产率的预测

卤化物钙钛矿 [82] | 强 | 非辐射复合和缺陷辅助载流子捕获的微观预测

半导体光电导 [83,84] | 强 | 定量缺陷介导载流子捕获和持久光电导

腔量子材料 [85] | 弱–强 | 非平衡相图和涨落工程化相的预测

光诱导超导 [86] | 驱动导致强 | 从驱动非线性声子微观预测瞬态超导性，包括电子加热、声子压缩和材料特定的非线性耦合

格点规范理论 [87,88] | 强 | 实时动力学，例如散射

更广泛地说，目前尚不清楚声子在微观层面多大程度上控制常规、高温和光诱导超导性；解决这一问题将阐明如何设计更好的超导体和瞬态超导相[162]。平衡电子-声子模型（如霍尔斯坦-哈伯德模型）的各个方面已通过行列式量子蒙特卡罗和张量网络方法进行研究[163–165]，而驱动超导性已通过非平衡变分和凯尔迪什方法建模[86]；然而，由于声子涨落、压缩和非线性驱动声子坐标可以与费米子电子强耦合，即使平均占据很小，也会出现强有效非谐性。

高能与核物理。目前尚无法计算与散射、早期宇宙动力学、重离子碰撞和致密核物质相关区域的格点规范理论的通用实时动力学；解决这一问题将把量子模拟直接与核物理和高能物理中原本不可及的问题联系起来[43]。在这一背景下，强相互作用场论被离散化为格点规范理论，以预测例如原子核的性质[166]。这些理论的各个方面已通过欧几里得格点规范理论、量子蒙特卡罗、张量网络方法和量子模拟资源估算进行研究；然而，当连续规范场被截断为有限维链希尔伯特空间时，玻色子截断就会出现，且相关规范场占据在实时散射和强场区域可能增长[87,88]。由于格点规范理论是费米子和玻色子的强相互作用模型，它们代表了量子比特-玻色子量子计算机最自然的应用之一。

E. 格点规范理论

在下文中，我们简要介绍将用作范例的格点规范理论（LGT）——一个-希格斯模型和一个量子链模型；在本研究的其余部分，我们展示如何将它们编译到量子比特-玻色子硬件上。在这里，我们解释为什么选择这些模型并引入哈密顿量，为讨论如何实现它们做准备。在第六节A中，我们在数值实验的背景下介绍物理内容，特别强调以往的工作。注意，这些模型仅作为示例；由于我们方法的数字特性，我们的研究能够模拟涉及玻色子、费米子和规范场的广泛模型类别。

在格点规范理论中，物质场位于格点上，规范场位于格点之间，通常（对于的情况）在方格几何结构中。我们选择了一个具有类希格斯玻色子物质的模型，称为 -希格斯模型，以及一个具有费米子物质的模型，即 量子链接模型。 -希格斯模型格点规范理论由Wegner [167]引入，作为一个简单模型，展示了在临界点处禁闭和退禁闭的特征 [168]，使其成为早期测试格点规范理论模拟新方法的理想试验台。在没有电场的两个空间维度中，其基态编码了一个自旋- 自由度，因此可用于量子纠错 [169,170]。值得注意的是，具有玻色子物质的 格点规范理论让人联想到粒子物理标准模型中与非阿贝尔 电弱规范部分（W和Z玻色子）耦合的希格斯部分，但有两个简化：维度更低，以及用 规范场代替非阿贝尔 电弱规范场。 量子链接模型可以通过引入晶格间距 并取极限 来与连续场理论相联系。在 中，该模型与 中的量子色动力学有许多共同性质：手征对称性破缺、禁闭、 量子反常，以及给出非平凡拓扑真空结构的拓扑 -项 [171,172]。 -希格斯模型。在这个模型中，规范场是自旋- 自由度。哈密顿量写为如下形式 [167,173]： (1)其中 ， 表示方形晶格上格点 和 之间的链接， 表示对所有 ， 组合求和，使得 和 为最近邻， 是一个由四个格点组成的方格 [见图4(a)]。物质格点 处的湮灭算符为 ，密度或占据数为 。物质可以是玻色子（ ）或费米子（ ），分别满足对易关系 和反对易关系 和 。注意 和 是作用在格点 和 之间链接上的规范场的泡利算符。式(1)中的第一、第二和第三项分别代表电场（耦合 ）、磁场（耦合 ）和规范不变跃迁（耦合 ）。最后一项是强度为 的格点内相互作用，对于玻色子物质这是最简单的可能相互作用项；然而，对于（无自旋的）费米子，由于泡利不相容原理， ，该项不作为相互作用项贡献。图4. 将格点规范理论模型映射到电路量子电动力学中的量子比特和振子自由度。(a) 格点规范理论。格点规范理论模型的组成部分（物质格点和规范场）、哈密顿量项（规范不变跃迁、电场、磁场）和约束（高斯定律）。(b) 上图：3D腔架构。传输子量子比特通过与腔最低能量模式重叠来耦合到该模式。SNAIL将两个腔彼此耦合。腔长约50毫米 [78]，直径约10毫米。下图：3D腔阵列的相应示意图。同心圆代表腔，实现振子；叉号代表传输子量子比特，实现量子比特；线条表示SNAIL，用于实现腔之间的分束器操作。映射到该架构的模型示例显示在面板(c)和(d)中。(c) -希格斯模型。规范场映射到传输子量子比特自由度，每个腔有一个玻色子物质格点，由该腔中的玻色子微波模式之一表示。(d) 量子链接模型。使用Schwinger玻色子编码，规范场映射到两个相邻腔中的一对模式，费米子物质映射到传输子量子比特。在 中，规范场链接数是物质格点数的两倍，这在图中可以看到。腔模式之间的高保真SWAP操作实现了该模型所需的连接性。规范理论的定义性特征是局域规范变换下的不变性。这一特性导致高斯定律的存在，将理论的希尔伯特空间划分为哈密顿量不耦合的扇区。这个约束类似于经典电动力学中穿过表面的电场通量积分与表面所包围电荷之间的关系，其中场算符的乘积代替了积分。注意 扮演电荷的角色。在量子力学中，高斯定律被表述为对本征态 的约束；对于所有 ， ，其中 和 (2)在 中，其中乘积是对连接到格点 的四个链接 [见图4(a)和4(c)]。我们在整个工作中选择 。对于开放边界条件，终止于物质格点，边界上的高斯定律约束通过设想系统周围的虚拟量子比特格点并将它们固定在 乘积态来固定。当必要时，我们为这些量子比特设定 。 量子链接模型。 格点规范理论，在晶格间距趋于零的极限下等同于量子电动力学，具有连续规范场。量子链接形式 [174,175] 将规范场替换为具有对易关系 和 的离散自旋- 自由度 [176–179]，其中 是自旋长度，导致希尔伯特空间截断为 。连续的 规范场物理在 时恢复 [180]。选择（大）有限的 ，这种编码近似保持玻色子代数。该形式中的哈密顿量为 [175] (3)其中第一项是电场项，第二项是磁场项，第三项是规范不变跃迁项。注意 是规范-物质耦合强度， 是跃迁强度。在一维空间中，恒定背景电场 对应于一个拓扑项 [172,181–183]。最后一项是质量为 的交替质量项，它来自连续狄拉克费米子场到晶格的映射，因此仅对费米子必要 [184]。我们在此将晶格间距设为单位1。还要注意，为了将上述哈密顿量取到QED的连续极限，跃迁项和交替质量项中的相位需要略微改变，参见[180]。这个过程在我们的实现中不引入任何额外挑战，因此为简单起见我们选择上述约定。此外，哈密顿量的物理态，即规范不变态，必须满足高斯定律：对于所有 ， ，其中 和 (4)为了阐明高斯定律的空间结构，我们仅在本段中将格点指定为二维向量 。这里， 分别是晶格 方向的单位向量。在上述表达式中， 是交替电荷算符，其中 是格点 到任意选择的原点的曼哈顿距离。固定值 对应于静态背景电荷构型的选择，在本文其余部分，我们将自己限制在静态电荷为零的扇区，即对于所有 有 。为了将 量子链接模型中表示 规范场的自旋 自由度编码到玻色子模式中，我们使用Schwinger玻色子映射 [15,76]。它由两个玻色子模式组成，标记为 和 ，满足约束 。在这种编码中，电场算符表示为 (5)电场上升算符 变为 (6) (7)与仅在一个振子中编码相比 [185]，我们的编码允许模式更低的占据数来表示电场为零，从而减少模式衰减的影响。我们在图4(d)中展示了该模型在我们架构中的可能编码。F. 电路量子电动力学平台我们现在概述研究中考虑的后续平台的主要特征——一个与超导传输子量子比特耦合的微波腔晶格 [见图4(b)]。具体来说，我们讨论该平台的固有哈密顿量以及可以通过微波脉冲实现的量子门。在电路量子电动力学框架内，长寿命玻色子模式可以在三维超导微波腔中实现，铝腔中的典型寿命在1到10毫秒（ms）量级 [78,186] [图4(b)]。最近，铌腔已被用于提高相干时间，观察到单光子寿命为34毫秒 [187] 到超过2秒 [188]。腔模衰减率随光子数线性增加；即，如果 具有1毫秒的衰减时间， 具有 的衰减时间。另外，平面微波腔谐振器因尺寸更小和制造优势而更易扩展，近年来备受关注 [189]，最近的工作已经展示了达到1毫秒单光子寿命的能力 [190]。在这个平台上，通常每个腔使用一个模式，尽管最近的工作表明多模腔也是可行的 [191]。超导传输子量子比特通常耦合到片上微波腔谐振器以进行控制和读出 [192]。与微波腔耦合时传输子的弛豫 和退相干 时间通常处于 量级 [193–195]，最近一些基于钽的传输子相干时间达到 [196]。在第六节中模拟硬件操作时，我们考虑了硬件误差的主要来源，即量子比特衰减和退相干，除非另有说明，采用保守值 。超导非线性非对称电感元件（SNAIL）[91]是实现腔之间可编程耦合的有吸引力的选择。SNAIL由三个大结与一个小结并联组成。当施加非零直流磁通偏置时，SNAIL（或SNAIL阵列）产生三波混频哈密顿量，能够实现腔之间强度为 的参数化分束器相互作用，同时最小化不需要的非线性静态相互作用，如交叉Kerr相互作用 [91,197–199]。我们提出的架构是一个“量子比特-玻色子振子对”阵列，每个对包含一个高Q值的腔模式，该模式色散耦合到一个传输子量子比特 [见图4(b)上方面板]。这些单元被排列成二维方形晶格，相邻腔通过SNAIL连接，SNAIL可用于实现分束器 [见图4(b)下方面板]。在本文的其余部分，我们用圆圈（叉号）表示腔（量子比特）。这种符号表示将有助于表示将费米子、玻色子和规范场系统映射到这种二维硬件布局的各种可能性。虽然这种架构在物理尺寸上很大（每个腔长约50毫米 [78]），因此可能表现出扩展限制，但平面腔谐振器虽然目前相比3D腔谐振器具有更短的相干时间，但尺寸更小因此更具可扩展性。因此，图4(b)中提出的架构也可以用平面腔谐振器实现，本文中呈现的所有结果都适用于这种情况（需要注意的是，哈密顿量参数、损耗率和门速度基于3D腔的最新实验，需要适当调整以准确反映平面情况）。在这种架构中，阵列中每个传输子-腔对处于强色散耦合区域 [192]。在旋转波近似下，二维阵列的有效哈密顿量可以写为 (8) (9) (10) (11)这里， （ ）是第 个腔模的湮灭（产生）算符， 是相应的数算符， （ ）是与第 个模式耦合的传输子的降低（升高）算符。注意 包括色散位移（ ）、腔驱动（ ）、传输子拉比驱动（ ）以及通过SNAIL实现的可调分束器耦合（ ）。所有参数中的时间依赖性可用于设计不同的耦合。这里， 包括额外的非理想静态耦合，如自Kerr（ ）和交叉Kerr（ ）耦合。这些非线性耦合来自于每个腔模式与传输子和SNAIL耦合器的杂化。通过精心设计，可以设计组件使得来自传输子和SNAIL的Kerr贡献抵消或几乎抵消，并且可以在单个磁通点实现 ， ，残余的小耦合不太可能影响本文的主要结果 [91]。当分束器相互作用未被激活（ ）时，每个量子比特-玻色子振子对可以被独立控制。我们在附录H中计算了条件宇称门和分束器门保真度作为福克态的函数。提出的超导混合量子比特-玻色子平台中可用的量子门也在参考文献[57]中讨论，其中解释了通用指令集架构的要求。直接从系统哈密顿量产生的本征门收集在表II中。需要注意的是，在某些参数范围内，某些受transmon条件控制的玻色子操作，例如条件位移（有时称为“受控位移”）[89]，可以原生实现。表II. 原生transmon-模门。注意，仅当两个索引对应直接耦合的腔-transmon对时，transmon-模门才是原生的。的情况可以通过按顺序组合原生门来合成。类似地，当和是最近邻时，即模通过SNAIL直接耦合时，分束器才是原生的，否则必须使用额外的SWAP操作。注意，对应于第个腔与transmon之间的“常开”色散相互作用（尽管可以通过动力学解耦来有效“关闭”其效应——见下文讨论）。对于SNAP和SQR门，表示占有数为的Fock态，满足，而和是向量，的条目。是一个条件位移门[89]。参数是复数，而所有门的是实数。持续时间指的是已展示的门时间，其中每个门都在针对该门优化的参数架构中得到展示。我们在附录H中计算条件奇偶性和分束器门作为Fock态函数的保真度。门名称操作持续时间模门“软件中”[89]9 ns [90][91]Transmon门[89,92][89,92]Transmon-模门[90][89]200 ns [90][89][89]500 ns [93][89]500 ns [93][89]所有相空间旋转都可以通过将它们吸收到后续微波脉冲的相位中来实现“软件中”，因为所有操作都在腔振荡器模自由演化的旋转框架中进行（每个transmon只连接到一个腔）。因此，可以通过改变后续微波驱动的相位来应用相空间旋转，该驱动在相应模上执行门操作（如分束器或位移）。任意量子比特旋转门也可以类似地在软件中实现。每个腔的任意初始态可以使用最优控制来制备[89,200]：量子比特和腔都初始化为基态；量子比特将腔制备到所需的Fock态，然后进行测量以验证该制备[201]。特别地，具有低光子数的Fock态可以以当前最先进的Fock制备非保真度来制备[201–203]。代表transmon量子比特与腔模色散耦合的原生哈密顿量参数可以在数个数量级范围内变化，从kHz到数十MHz[204]。的大小主要由量子比特-腔耦合和失谐通过决定（忽略更高能级修正）[205]。在弱色散区域，通常在10–100 kHz量级[89,195]。对于处于强色散区域的transmon量子比特，在该平台上已实验证明可达到1–4 MHz[90,204,206,207]。量子比特-玻色子相互作用的动力学控制与压缩也已得到展示[208]。最近使用“动力学-(LINC)”耦合器的实验采用三波混合元件按需将腔耦合到量子比特。它们可以在约20 ns内将色散位移调制4个数量级（0.3 kHz到2.5 MHz）[90]。然而，在不违反色散近似（）或引入不必要非线性的情况下，不能任意增大。保持该原生相互作用持续时间为会实现条件奇偶性门，导致条件奇偶性门持续时间从处的[209]（在下文中取为的下界）到已展示的处的200 ns[90]。由于模衰减随Fock态线性增加，操作保真度也随模占据数变化。我们实现了条件奇偶性保真度的Lindblad计算，其中包括光子跳跃算符，如transmon量子比特的衰减和退相位，以及腔模的衰减（退相位已被证明可忽略）。这些计算的结果在附录H中给出。如上所述，可以使用动力学解耦来有效关闭“常开”色散相互作用。具体来说，transmon可以在时间内以Rabi速率驱动，其中是整数，以将腔模与transmon解耦并使transmon保持其初始状态。因此，分束器门通过同时驱动transmon和并驱动连接模和的SNAIL耦合器来实现。基于transmon回波的替代方案也可用于解耦并实现与transmon态无关的分束[210]。除了幺正控制外，transmon还可用于腔模的测量。特别地，可以在总持续时间（对数于最大Fock态）内测量模中的玻色子占据数。该过程通过逐位读取其二进制表示中的光子数来完成。每个比特映射到与腔色散耦合的transmon量子比特上，进行测量后重置[144,211]。G. Trotter模拟在本工作中，我们专注于动力学的Trotter分解作为基本模拟算法。在此类模拟中，直到时间的含哈密顿量的时间演化算符被划分为个持续时间为的时间步，即。如果选择足够小，则可以使用乘积公式近似将哈密顿量分解为仅作用于少数量子比特和振荡器模的幺正算符。例如，阶Trotter公式通常可以写成从提取的哈密顿量项的个指数和时间的序列，满足(12)这种分解的选择有很大的自由度；然而，某些排序可能更便宜、更准确或更自然。我们选择由多体哈密顿量中格点求和的局部项给出的分解，参见方程(1)和(3)。例如，一维空间中-Higgs模型的阶Trotter分解，其中，由下式给出(13)本文的主要目标之一是展示如何将作用于两个或更多格点的幺正算符（如规范不变跳跃）编译为电路QED硬件或其他具有等效指令集架构的硬件中可用的原生操作。在第五节中，我们讨论Trotter近似产生的误差及其与编译误差的相互作用。II. 实现原语在本节中，我们介绍用于从原生操作合成玻色子振荡器–玻色子振荡器、量子比特-量子比特和量子比特-玻色子振荡器门的关键编译策略。在整个过程中，我们使用“量子比特”一词来指代transmon量子比特或编码在两个腔中的双轨量子比特[201,210,212–216]，仅在需要澄清时才区分这两种可能性。通过这些编译策略获得的门的总结在表III中给出。这些原语将在第三节和第四节中用于将包含费米子、玻色子和规范场的哈密顿量项编译为原生操作。具体来说，在II A节中，我们讨论玻色子SWAP门，这是一个特别有用的原语，能够合成非相邻模之间的纠缠门。在II B节中，我们展示如何使用条件奇偶性门合成量子比特条件控制的玻色子操作，在II C和II D节中，我们开发了实现由另一模的Fock空间占据数条件控制或受控的玻色子操作的策略。基于这些“Fock投影仪条件”和“Fock投影仪受控”操作，我们随后在II E节中讨论如何按顺序应用它们以实现更复杂的密度控制门。接下来，我们在II F节中讨论实现振荡器介导的多量子比特门的技术，随后在II G节中讨论合成多模门的近似方法。最后，我们在II H节中讨论双轨编码作为在提出的混合量子比特-玻色子架构中实现量子比特的替代方案。A. 玻色子SWAP我们图4中的架构并非全连接，因此能够实现玻色子位点之间的SWAP操作是有用的。特别地，玻色子SWAP门实现远程玻色子模之间的量子通信和纠缠操作，并允许使用玻色子模作为量子总线在量子比特之间实现纠缠操作[57]。为此，可以使用分束器和一对相空间旋转来实现玻色子SWAP门，(14)其中和定义在表II中。这里，相空间旋转的作用是消除分束器作用产生的杂散相位。如前所述，所有这些相空间旋转都可以通过将它们吸收到后续微波驱动的相位中来在软件中实现。在所提出的具有连接相邻腔的SNAIL的架构中，SWAP操作已展示持续时间约为100 ns，保真度约为0.999 [91,217]，最近的工作展示了持续时间为9 ns的SWAP操作[90]。如I F节所述，我们提出的架构假设每个量子比特-玻色子对之间具有原生纠缠门，且分束器仅可在相邻位点之间使用。然而，如参考文献[57]所述，可以使用分束器网络（即一系列玻色子SWAP）来合成非原生玻色子振荡器–玻色子振荡器和量子比特-玻色子振荡器门，例如对任意模和，以及对任意transmon和模。因此，此后我们将假设可以使用此类非原生门，并抽象掉底层玻色子SWAP。B. 量子比特条件玻色子操作某些玻色子操作，如分束器或位移，可以通过用条件奇偶性门共轭来使其受量子比特条件控制，[57]。这种方法的直觉由以下关系提供：(15)其中我们使用了Baker-Campbell-Hausdorff公式(16)并且是表II中定义的条件奇偶性门，通过色散相互作用演化时间实现[见方程(9)]，其中以角频率表示，如[209]。可以通过简单地附加一个玻色子相空间旋转来实现埃尔米特伴随，(17)因为和。实际上，应用门需要应用和相空间旋转，如I F节所述，可以通过修改后续微波驱动的相位在软件中实现。表III. 本研究中使用的非原生原语及其合成解释的章节参考。行是幺正算符的量子比特条件变体，其中是与和交换的任何算符。例如，对应条件位移[见方程(18)]，而给出条件分束器[见方程(19)]。在第三行中，我们给出了模上幺正算符的辅助介导变体，其受模上算符的条件控制。这里，可以是Fock空间中任何具有特征值的对角算符。角度根据方程(32)选择。第四行显示了受模光子数条件控制的辅助介导变体。该示例利用原语的迭代序列，其中第次迭代以的第个比特为条件，需要总迭代，其中是模的最大光子数截断。第五行显示的有用实例，其中。这里定义在方程(41)中。第六行是两个transmon之间振荡器介导纠缠门的示例。在第七和第八行中，我们给出了近似方法（相关章节讨论及参考文献[97]中BCH方法）。CU中的上标和表示算符所条件控制的量子比特轴。该轴可以通过用单量子比特旋转共轭来控制。这里和表示对模索引向量的支持。门定义门分解参考Sec. II A图5，Sec. II BSec. II C图6，Sec. II ESec. II E图7，Sec. II FBCH图8，Sec. II GTrotter图8，Sec. II G方程(15)中的关系使我们能够将某些玻色子操作的生成器“转换”为依赖于量子比特状态的生成器。例如，条件位移门可以通过无条件位移和一对条件奇偶性门合成：(18)其中。注意无条件位移中修改的相位，这是由于方程(15)中变换继承的因子。此外，我们强调，虽然该序列精确产生表II中定义的条件位移门，但该门可以使用参考文献[89]中开发的技术更有效地原生实现。在原生实现中，该门已被证明需要[89]。这种编译方法需要的时间对应于两个条件宇称运算，每个运算在[90]处可快至200纳秒，以及一个耗时10纳秒的位移[89]，总实现时间为410纳秒。
作为另一个例子，我们可以如下精确编译条件分束器门： (19)其中 。该门将在第四节中发挥关键作用，用于编译物质与规范场之间的相互作用项。其持续时间在实验上受限于每个条件宇称门的速度，每个大约需要 。因此，条件分束器门大约需要 ，包括最坏情况约100纳秒，这是完全SWAP分束器所需的时间[217]。
更一般地，如图5(a)所示，我们可以采用这种策略，从其无条件对应部分实现一个条件幺正 ： (20)该分解对任何满足 的算符 都成立。例如， 对应于公式(18)中的条件位移，而 得到公式(19)中的条件分束器。
图5. 量子比特条件玻色门。包含量子比特（细线）和模（粗线）的电路图，时间从左向右流动。所有条件门代表依赖于 的条件幺正。(a) 公式(20)中定义的 形式的量子比特条件门。这里， 表示 的无条件变体。波浪线表示相位被 修改——例如，参见公式(18)。虚线框中的门可以按照I F节所述在软件中实现。(b) 多控制玻色运算，通过重复面板(a)中的基本操作实现[参见公式(21)]。
这种策略可以迭代以实现受多量子比特条件控制的玻色门。例如，可以实现如下形式的双重条件门 (21)对于任何与 、 和 对易的算符 。在这种情况下，条件宇称门在模 上针对量子比特 和 顺序实现，借助SWAP门。或者，可以如图5(b)所示，并行施加作用于不同量子比特-玻色子对的条件宇称门。
我们注意到，在上述内容中，我们交替使用“量子比特条件”和“量子比特控制”来指代实施依赖于量子比特 基态的玻色运算的门。特别地，对于量子比特状态 和 两者都实施不同的非平凡运算。然而，在某些上下文中，合成一个“1控制”的玻色运算是有用的，即仅当量子比特处于 时才作用的运算。在这项工作中，我们将此称为 -控制门，指的是在生成元中作为乘法因子出现的算符。例如，对于 -控制模旋转，我们有 (22)其中 。更一般地，我们有 (23)对于任何与量子比特上的运算对易的 。C. 福克投影子条件玻色运算
图4中混合量子比特-玻色子架构中的一个重要基本操作是合成非平凡的双模纠缠门。在本节中，我们开发了一种技术来实现依赖于第二模福克空间信息的玻色算符： (24)其中 是一个特征值为 的算符（因此称为“条件的”），“anc”指的是辅助传输量子比特， 是作用于模 的任意（厄米）运算。对于振子的任意子空间 ， 给子空间 内的状态一个 的相位，给子空间外的状态一个1的相位。数学上， (25)其中每个投影子作用于模 。注意，为了简化符号，我们定义算符 而不带帽。
因为 具有特征值 ，核心思想是将此信息映射到一个辅助量子比特，然后通过混合量子比特-玻色子门将该信息传递给第二个模。这种方法有效地实现了公式(24)中的福克投影子条件玻色门，并需要辅助量子比特初始化到 的特征态。该辅助量子比特可以对应于与模 或 色散耦合的传输量子比特，或通过适当使用玻色SWAP门对应的任何其他量子比特。
为了进一步解释，我们从一个特定示例开始，即宇称条件门，定义为 (26)其中 (27)是作用于模 的宇称算符，特征值为 。因此，对于初始化为 的辅助比特， 在模 具有偶数（奇数）宇称时将幺正 （ ）作用于模 。为了实现该门，首先注意到 (28)其中 和 ，而 （区别于 ）是奇福克态上的投影子。换言之，SQR门就是一个福克投影子控制的量子比特旋转。通过利用公式(16)中的Baker-Campbell-Hausdorff公式，可以证明 (29)因此，与II B节中合成量子比特条件玻色运算的策略直接类似，我们可以利用一对SQR门来使玻色运算依赖于第二模的宇称： (30)其中我们使用了 这一事实。该方法需要实现中间量子比特-玻色子门 ，无论是原生实现，还是例如使用II B节中的技术。
回到公式(24)的通用形式，可以通过将 替换为 来推广该技术，这允许通过为公式(30)中的SQR门选择适当的角度来实现任意福克态集合 。特别地，公式(29)推广为 (31)其中 和 (32)类似于公式(28)，该方法利用了 实现投影子控制量子比特旋转的事实： (33)因此，可以实现广义福克投影子条件门， (34)该序列如图6(a)所示。
图6. 模条件和控制幺正。(a) 玻色福克投影子条件幺正，参见公式(34)。(b) 玻色宇称控制幺正。(c) 通过二相相位获取编译玻色控制或占据数控制幺正[参见公式(39)]。上方的“模”可以包含任何与下方量子比特及SQR操作的模对易的模或量子比特集合。D. 福克投影子控制的玻色运算
在本节中，我们基于前一节开发的技术来实现由另一个模的福克空间信息控制的玻色算符， (35)其中 是到子空间 的福克空间投影子， (36) (37)第二个等式提醒我们，投影子及其关于正交补 的反射算符 与量子比特的 和 类似，其中 。因此，虽然 对模 的每个值都施加不同的非平凡运算，但门 仅当模 为 时才施加 （因此称为“控制”）。
事实上，使用公式(37)，我们可以类似公式(23)的构造轻松构造目标门(35)： (38) E. 玻色密度控制的运算
公式(38)中广义控制门的一个强大用例是顺序应用多个这样的门，以合成两个模之间的复杂纠缠门，由处于已知 特征态的辅助量子比特中介。在本节中，我们利用该技术精确编译玻色密度控制的运算： (39)
为了获得该门，我们遵循图6(c)中所示的迭代过程。核心思想是顺序地使量子比特-玻色子门 依赖于 的二进制表示的每一位。每次迭代选择适当的旋转角度，使得整个序列共同产生所需的运算 。该策略让人联想到二进制光子数读出[144,211]，并且需要与玻色子数截断 成对数的电路深度。
具体而言，作为公式(34)的一个特定实例，我们定义由 生成的、依赖于模 的第 个超宇称的算符， (40)其中我们显式写出了可变角度 ，原因稍后将会明确。类似地，我们定义 与公式(38)类似[参见图6(b)]。这里， 是返回 的第 位的投影算符（ 是其对应的反射算符，返回 ），且 ，其中 (41)例如， 等同于公式(28)下方定义的宇称向量，将SQR门转换为受 最低有效（第零）位控制的量子比特旋转。我们注意到 ，其中后者定义于公式(27)。同样，选择 对应于受 第一位控制的量子比特旋转。一般来说， (42)并且选择 使得能够实现受 第 位控制的量子比特旋转。
对 的每一位连续施加受控运算，则产生一般形式 (43)需要 次（超）宇称控制门的迭代，其中 是位算符 的任意线性函数。回到合成公式(39)中 的初始目标，我们注意到 (44)因此，选择 实现期望的门。该序列如图6(c)所示。
作为该门的一个特定示例，将在III A 4节中用于实现密度-密度相互作用，可以选择 来实现一个模受第二模密度控制的相空间旋转， (45)对于SQR门持续时间为500纳秒[93]且条件旋转持续时间小于等于200纳秒， [90]，向 门的一次迭代将花费 。
最后，我们强调，虽然我们的重点一直是合成密度控制算符 ，但一般形式 使得超越该特定选择的更多可能性成为可能。具体而言，它允许依赖于任何线性于位算符 的函数 的运算。此外，我们注意到任意函数 可以通过迭代基本操作 实现，迭代次数线性于 。该可能性在我们共同工作的参考文献[57]中讨论。F. 振子介导的多量子比特门
由于图4所示的架构不包括传输量子比特之间的直接耦合，它们编码费米子与规范场自由度的实用性依赖于使用原生门合成传输量子比特-传输量子比特纠缠门的能力。在这里，我们采用我们共同工作参考文献[57]中提出的振子介导方法来实现此类纠缠门，这些门与离子阱平台中的M?lmer-S?rensen门[218,219]非常相似，也与硅中的介导门[220-222]有一些相似之处。至关重要的是，这种方法允许多量子比特门的精确解析编译，独立于（且不改变）在无噪声情况下中介振子的初始状态。核心思想是使用一系列条件振子位移，形成一个依赖于量子比特状态的闭合相空间路径[例如，参见图7(a)]。完成后，该闭合路径使振子保持不变，但赋予系统一个依赖于量子比特状态的几何相位，从而实现目标门。
图7. 振子介导的多量子比特门。在所提出的架构中，可以通过在振子上施加一系列条件位移门来实现多量子比特门，使得总包围面积 对应于赋予振子的几何相位 。(a) 由公式(47)中的条件位移序列产生的相空间轨迹，包围面积 并实现门 ，其中 。绿色圆圈表示起点。至关重要的是，该门的实现不依赖于也不改变模的初始状态，因为相空间中的所有点都经历所示轨迹的平移。(b) 对应于面板(a)的电路图。重要的是，该门的实现不依赖于也不改变模的初始状态。(c) 通过公式(50)中的序列实现四量子比特门 的相空间轨迹。与面板(a)不同，所有位移都依赖于量子比特对，利用II B节中讨论的基本操作。(d) 实现 的电路图，需要顺序施加四个双重条件位移。
为了实现这些振子介导的多量子比特门，我们需要能够实现第 个振子依赖于第 个传输量子比特的位移， (46)对于 ，此类条件位移可以原生实现[89]或使用条件宇称门和无条件位移编译，如公式(18)所示；此外，如参考文献[57]所讨论并在II A节中总结，可以通过额外利用连接两个位点的分束器网络来合成任意 和 的条件位移。
作为特定示例，二量子比特纠缠门 可以通过四个条件位移序列实现， (47)相应的相空间轨迹和电路图分别如图7(a)和7(b)所示。四个条件位移每个耗时 [89]，总序列持续时间为 。如参考文献[57]所述，该序列可以通过利用模 和 上的条件位移进一步优化，使得每个模并行累积几何相位，与上述单模方法相比，门持续时间减少因子 ，同时减少自Kerr相互作用（非谐性）等非理想效应的潜在影响。详见文献[57]以获得更多细节。该策略可推广用于实现振荡器介导的\(n\)量子比特门，这对研究晶格规范理论很有用。例如，将在第四节IV A 2中讨论，四量子比特门(48)对于实现式(1)中引入的\(\mathbb{Z}_2\)晶格规范理论中的磁场项很有用。为了实现该门，我们修改式(47)中的序列，使得每位移都以量子比特对联合态为条件，例如\(|00\rangle\)或\(|11\rangle\)，如图7(c)所示。为此，我们将双重条件位移定义为(49)。该门可以通过第二节II B中描述的技术实现。如图7(d)所示，通过顺序执行四个这样的双重条件位移，可以精确实现四量子比特项：(50)，其中\( \theta_{\text{tot}} = 4\theta \)。与\( ZZ \)门的实现类似，并行使用多个模式来累积必要的几何相位并减少位移参数\( \alpha \)是有益的。此外，该策略可以推广以实现形式为\( e^{i\theta \prod_{i} P_i} \)的任意操作，其中\( P_i \)是任意权重的泡利算符。更完整的讨论见文献[57]。

最后，我们注意到，一种类似的振荡器介导的\(k\)体纠缠门策略已在离子阱平台中被提出[223]并得到演示[37]。在那里，自旋相关压缩操作被用来替代条件位移算符，但整体框架与这里描述的用于图4中超导架构的策略相似。

G. 多模门的近似合成

为了近似实现超出第二节II C和II E范围之外的任意多模操作，我们使用文献[97]中介绍的方法。该方法依赖于贝克-坎贝尔-豪斯多夫(BCH)公式的一个变体：(51)

关键洞见是选择算符\(A\)和\(B\)，使它们执行对易的玻色子操作\(M\)和\(N\)（可能作用于不同模式的不同集合），但对同一个量子比特以非对易的泡利算符为条件，例如使用第二节II B中描述的方法。例如，我们可以利用这一思想如下：(52) 另见图8(a)的电路图。通过这种方式，可以实现\(M\)和\(N\)之间的算符乘法。将此情形与用于实现加法的特罗特公式结合，根据文献[97]和图8(b)，我们可以实现产生和湮灭算符非线性函数的指数形式。

图8. 任意高阶算符编译。(a) 使用贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式进行算符乘法。(b) 使用特罗特公式进行算符加法。(c) 示例：量子比特条件四次项的编译。注意，这些方法只有在\( \theta \to 0 \)时才精确。变量参数\( \theta \)在分束器BS中被省略以简化符号，因为对所有分束器该参数相同。辅助条件操作可以用第二节II B中描述的方法合成。

当通过上述BCH公式得到的对易子同时包含期望和非期望的高阶模式项时，我们可以通过第二次应用式(52)并选择不同的算符来消除后者。通过特罗特公式，我们得到(53)其中误差项在两条线之间会不同，我们通过泰勒展开指数将误差重写为加法误差。这里，每个项都以同一个量子比特为条件，无论是本征的还是通过量子比特或模式之间的SWAP操作。

在图8(c)中，我们使用该技术来近似合成四模式算符：(54)这将在第四节IV B 2中用于实现\( \mathbb{Z}_2 \)量子链模型中的plaquette项。

H. 双轨量子比特

虽然到目前为止我们讨论了使用transmon作为数据或辅助量子比特、模式用于编码玻色子自由度来将模型映射到硬件的原语，但另一种可能性是使用模式来编码量子比特。在本节中，我们讨论这种编码：双轨量子比特。核心思想是使用共享单个光子的腔模式对来编码单个量子比特。光子的位置代表量子比特态[201,214,216]：(55) (56)

将腔光子数表示为\( n_L, n_R \)，我们看到泡利\( Z \)算符有各种等价表示：(57) (58) (59)其中我们使用了\( n_L + n_R = 1 \)的事实。其余的泡利算符由下式给出：(60) (61)

注意，这仅仅是自旋\( 1/2 \)的施温格玻色子表示。

双轨编码的主要优点是，左腔或右腔中的光子损失会导致可擦除错误，可以通过联合宇称测量检测到[201,214,216]。此外，单量子比特操作很简单：关于方位平面内任何轴的旋转可以用分束器完成，而关于\( Z \)轴的旋转对应于其中一个模式的相空间旋转（最多相差一个全局相位）。此外，已经证明可以构造一个通用门集，能够检测辅助transmon的退相干和弛豫错误，后者通过利用transmon量子比特的三个能级成为可能[210]。因此，对于需要许多量子比特-量子比特门（例如需要费米子SWAP网络的二维费米子问题）的模型，双轨编码在近期实验中通过后选择减轻错误可能是有利的。

\( ZZ \)情形。作为双轨量子比特之间纠缠门的例子，我们考虑\( ZZ \)门的编译。利用\( ZZ = e^{i\pi/4} e^{-i\pi/4 Z_1} e^{-i\pi/4 Z_2} e^{-i\pi/4 Z_1 Z_2} \)的事实，该门可以表示为(62)其中为简化符号，我们省略了上标\(^{(1)}\)。因此，该门可以通过将一对相空间旋转与第二节II E中引入的实现\( ZZ \)的技术相结合来实现——参见式(45)。

然而，注意在双轨编码中，模式\( a \)的玻色子数被限制为0或1，这意味着用于实现第二节II E中式(45)的SQR门可以简化为条件相空间旋转（最多相差单量子比特操作）。对于\( \theta = \pi/4 \)的选择，\( |0\rangle\langle 0| \)子空间中的这种条件旋转对应于条件宇称门：(63)其中\( H \)是量子比特\( a \)上的哈达玛门，我们定义简写\( CP_{a\to b} \)表示\( a \)-条件-宇称门。因此，我们可以将\( ZZ \)的分解重写为(64)其中第一行（相差全局相位）对应于截断双轨子空间中的\( ZZ \)。完整的电路（单量子比特旋转已简化）如图9(a)所示。我们注意到，使用同一个transmon（但不同模式）的顺序辅助条件门需要隐含的SWAP操作，图中未显示。

图9. 双轨纠缠门。两个面板都显示了\( ZZ \)的编译方法。灰色和彩色线分别对应双轨量子比特处于\( |0\rangle \)或\( |1\rangle \)态时玻色子的位置。在两种方法中，辅助transmon必须起始于\( |0\rangle \)。(a) 使用第二节II C中所示方法编译的电路。注意，\( \theta = \pi/4 \)且\( U_{SQR}(\pi/4) \)。测量是可选的——它有助于检测振幅阻尼错误。(b) 文献[210]中提出的实现\( ZZ \)的方法。注意，\( \theta = \pi/4 \)。\( a \)-条件旋转门指\( R_a(\theta) \)。测量将有助于检测振幅阻尼错误以及相位错误[210]。

虽然图9(a)中的电路是精确的，但它不能检测transmon退相干错误。为此，文献[210]提出了一种合成可检测错误的纠缠门的方案。它利用一种“求幂电路”，将辅助控制的幺正变换（控制-\( U \)）与辅助旋转交替进行，以构造任何幺正变换\( V \)，前提是\( V^2 = I \)。回到\( ZZ \)的情形，该门可以按照上一段中的描述构造，选择\( U = XZ \)并使用一对条件宇称门实现控制-\( U \)。我们在图9(b)中以离散门集的形式展示了完整实现。值得注意的是，后一个电路可以理解为图9(a)中对应电路的进一步分解，其中中间的\( U_{SQR} \)门使用第二节II C中的恒等式分解为条件宇称门和单量子比特操作。

虽然两个电路在数学上是等价的，但图9(b)的结构能够部分检测一些主要错误，包括transmon退相干。然而，它的代价是需要四个条件宇称门，每个门持续时间为\( T_{CP} \)。因此，忽略SWAP、单量子比特和模式操作的成本，使用图9(b)方法实现\( ZZ \)的最短持续时间为\( 4T_{CP} \)，与\( \alpha \)无关。相比之下，图9(a)中的方法需要\( T_{SQR} \)，即使对最大纠缠情形\( \alpha = 2.0 \)也有减少。因此，在错误可检测性和门持续时间之间存在权衡，图9(a)中的方法在某些情况下可能是有利的，特别是对于小\( \alpha \)的重复应用\( ZZ \)（例如用于特罗特化电路）。

III. 物质场的实现

在本节中，我们利用上一节的编译策略来实现涉及玻色子和费米子物质的各种常见哈密顿量项的幺正时间演化算符\( U(t) \)。对于纯玻色子物质项，在第三节III A中，我们展示了一些常见的动力学项对应于本征门，而其他项则可以使用上一节的编译技术来实现。对于纯费米子物质项，在第三节III B中，我们演示如何将费米子SWAP网络编码到混合量子比特-玻色子硬件中可能的各种量子比特编码中。对于费米子-玻色子相互作用项，在第三节III C中，我们提出了针对混合量子比特-玻色子硬件的新的编译策略。我们总结了这些结果在表IV和表V中。所有涉及规范场的项将在第四节中处理。

表IV. 玻色子哈密顿量项及在所提出架构中\( U(t) \)的实现。注意对于在位相互作用，需要一个辅助量子比特——参见附录B，了解利用\( \mathbb{Z}_2 \)晶格规范理论中的高斯定律约束的无辅助实现。
| 项 | 门 | 细节 |
|---|---|---|
| \( a_i^\dagger a_j + \text{h.c.} \) | \( BS_{ij}(\theta) \) | 表I F, 第三节 III A 1 |
| \( n_i \) | \( R_i(\theta) \) | 表I F, 第三节 III A 2 |
| \( n_i(n_i-1) \) | \( \text{SNAP}_i(\theta) \) | 表I F, 第三节 III A 3 |
| \( n_i n_j \) | \( ZZ \) + 单量子比特 | 图6, 第三节 III A 4 |

表V. 费米子哈密顿量项。我们列出了在所提出架构中实现基本哈密顿量项所需的本征门。这里，\( \theta \)与时间和哈密顿量参数成比例。第四列只列出了必要的门；它没有提供完整的电路——这些在表最后一列所列的相关章节中描述。在位项\( n_{i,s} n_{i,s'} \)包含依赖于\( s \)和\( s' \)的项，它们指费米子自旋。将这两种自旋物种映射到两个不同的费米子位点\( i \)和\( i' \)将此项转化为与表中底行最近邻项相同的形式。
| 中间步骤 | 实现 | 门 | 细节 |
|---|---|---|---|
| (1) FSWAP | 双轨 | \( ZZ \), \( e^{i\theta Z} \), \( e^{i\theta X} \), \( e^{i\theta Y} \) | 图10, 附录A 1 |
| | Transmon | \( U_{SQR}(\theta) \), \( e^{i\theta X} \) | 图7, 第二节 II F |
| (2) \( e^{-i\theta n_i n_j} \) | 双轨 | \( ZZ \) | 表I F, 附录A 3 |
| | Transmon | \( U_{SQR}(\theta) \) | 表I F |
| (3) \( e^{-i\theta (a_i^\dagger a_j + \text{h.c.})} \) | 双轨 | \( BS(\theta) \), \( ZZ \) | 附录A 3 |
| | Transmon | \( U_{SQR}(\theta) \) | 图7, 第二节 II F |

A. 玻色子物质

在本节中，我们讨论玻色子物质场最常见的哈密顿量项（通常涉及产生和湮灭算符的小幂次）。结果总结在表IV中。我们首先讨论跃迁，因为这是耦合玻色子模式最基本的项。然后讨论与数算符\( n \)的幂和乘积相关的项：在位势（\( n \)的线性项）、在位相互作用（\( n \)的二次项）和位点间相互作用（双线性，\( n_i n_j \)）。我们将玻色子物质场映射到图4中混合量子比特-玻色子硬件支持的本征玻色子模式。

1. 跃迁

玻色子物质位点之间跃迁相互作用\( H = J(a_i^\dagger a_j + \text{h.c.}) \)的时间演化算符\( U(t) \)可以通过特罗特化使用一系列分束器门\( BS_{ij}(\theta) \)（定义于表II）来实现，选择\( \theta = Jt \)。此外，静态规范场（矢量势）作为复数相位出现在跃迁\( J e^{i\phi} \)中[224]，这对于模拟分数量子霍尔效应模型[225]很重要。为了实现该项，只需调整每个链路上分束器的相位\( \phi \)，使得在绕每个plaquette移动时积累净相位。

2. 在位势

在位势为\( H = \sum_i \mu_i n_i \)，其中\( n_i = a_i^\dagger a_i \)。该项的时间演化可以在每个位点上分别使用相空间旋转门（定义于表II）来实现，如表IV所示。

如第一节I F中所述，可以将相空间旋转吸收到包含产生或湮灭算符的算符中，如分束器。特别地，可以通过激活分束器的微波音调的固定频率失谐来产生恒定位点能量偏移。

3. 在位相互作用

玻色子在位相互作用为\( H = \sum_i U n_i(n_i-1) \)。为了实现该项的时间演化算符，可以使用SNAP门[200]。正如表II中所定义，系统工作在强色散耦合区域，其中量子比特频率依赖于模式占据数，因此SNAP门实际上对由量子比特和模式组成的系统施加一个独立选择的相位，对于模式占据数的每个值。选择\( n_{ph} \)，其中\( n_{ph} \)是特定福克态对应的光子数，实现第\( i \)个模式上的局域相互作用\( U n_i(n_i-1)/2 \)。此过程还需要一个初始化为状态\( |0\rangle \)的辅助量子比特。

4. 格点间相互作用

两个不同腔体中模式之间的最近邻密度-密度相互作用\( V n_i n_j \)的时间演化，例如在扩展哈伯德模型或偶极相互作用系统的模拟中很有用，可以通过第II.E节提出的方法，利用方程(45)中定义的\( ZZ \)门来实现：

\[
e^{-iV n_i n_j t} = \text{diag}(1, e^{-iV t}, e^{-iV t}, 1)_{ij} \quad (65)
\]

这里，我们使用了一个辅助量子比特，其开始和（确定性地）结束于状态\( |0\rangle \)。正如第II.E节所讨论并显示在表III中，该门所需的原生门数量与玻色子截断\( N_{\text{max}} \)成对数关系。格点\( i \)和\( j \)之间的长程相互作用可以通过玻色子SWAP门实现，其数量与格点间的曼哈顿距离成线性关系。

B. 费米子物质

在本节中，我们展示了在所提出的混合量子比特-玻色子架构中处理纯费米子项的可能性。虽然我们不期望该领域相比于纯量子比特硬件具有明显优势，但我们表明与现有量子比特平台相比，不会增加显著成本。注意，本工作中的许多编译策略与硬件无关，可以与数字费米子模式[74]结合使用。然而，在下面的内容中，我们专注于使用量子比特自由度来表示费米子模式。

我们通过将费米子映射到量子比特来处理费米子物质，并依赖约旦-维格纳（JW）弦的FSWAP网络[226]来实现低深度实现（此处提出了对数深度实现[74]）。关于在基于量子比特的硬件中实现二维费米子哈密顿量\( H_F \)所需操作集的概述，请参见附录A。总之，二维晶格被虚拟映射为一维链。二维晶格中的最近邻跳跃变为一维JW链中的最近邻跳跃（我们称之为“JW相邻”）或长程跳跃（我们称之为“非JW相邻”）。前者仅需要iSWAP操作，而后者还需要FSWAP操作。涉及费米子数密度的门被映射为涉及\( Z \)算符的门，并且不增加与约旦-维格纳编码相关的额外开销。

我们首先总结在传输子（第III.B.1节）或腔双轨量子比特（第III.B.2节）中编码费米子（即实现iSWAP和FSWAP操作）的可能性。前者更具硬件效率，而后者能够进行错误检测，因此对于噪声硬件上的近期模拟尤其有前景。两种编码的高层结果总结在表V中。在第III.B.3节中，我们讨论了双轨编码中费米子模拟基础门的保真度。

1. 传输子量子比特

在所提出的三维腔后电路QED装置中，将费米子编码到传输子中使得腔体能够用于其他目的，例如表示哈伯德-霍尔斯坦模型中的声子模式或编码玻色子规范场，这将在本工作稍后的\( Z_2 \)晶格规范理论背景下得到展示。

由于图4所示的架构不包括传输子之间的直接耦合，我们依靠第II.F节讨论的振子介导编译策略来实现纠缠门\( ZZ \)，特别是。我们再次强调，该方法不要求中介振子处于已知的特定状态。因此，它们可以同时用于编码物质或规范自由度。

2. 双轨量子比特

我们现在讨论将费米子映射到双轨量子比特的另一种可能性。如第II.H节所讨论，双轨量子比特具有多种优势，包括检测光子丢失以及辅助量子比特弛豫和退相位错误的能力[210]。

FSWAP操作。对于非JW相邻跳跃项，作为FSWAP操作的一部分，双轨量子比特之间需要完整的\( ZZ \)操作。该操作可以通过分别对表示\( |0\rangle \)和\( |1\rangle \)态的腔施加\( ZZ \)操作来实现，如图10所示。如附录A.1所述，FSWAP还需要一个\( Z \)门，该门等效于\( ZZ \)门加上单量子比特相位门。如第II.H节所讨论（参见附录A.1），这些单量子比特相位门对应于当双轨量子比特处于\( |0\rangle \)态时，容纳玻色子的模式上的相空间旋转。相应的电路如图10(a)所示。

图10. 双轨量子比特中的费米子SWAP网络操作。(a) FSWAP门。(b) 用于实现JW相邻格点间跳跃的任意角度iSWAP门。连接叉号的垂直线是玻色子模式之间的SWAP门（两者一起实现双轨量子比特之间的SWAP门），\( R(\theta) \)是相空间旋转门\( R(\theta) = e^{-i\theta n} \)的简写，BS表示表II中定义的 beamsplitter \( \text{BS}(\theta) \)，作用于双轨量子比特的\( ZZ \)门在第II.H节中定义。灰色和黑色模式线分别对应双轨量子比特处于\( |0\rangle \)或\( |1\rangle \)态时玻色子的位置。

\( ZZ \)门。对于JW相邻跳跃项，根据方程(A3)，我们只需要实现图10(b)中定义的变角度iSWAP门，该门仅需要\( ZZ \)门以及\( R_x \)和\( R_z \)单量子比特旋转。双轨量子比特之间可错误检测的\( ZZ \)门实现在参考文献[210]中提出，并在第II.H节中总结。我们在图10(b)中展示了在支持双轨量子比特的模式层面实现\( ZZ \)门的电路。

3. 不同费米子编码平台的优点比较

我们注意到，不同平台在实现非JW相邻跳跃方面具有不同的优势。

在具有可调耦合器的平面传输子量子比特阵列中，FSWAP操作可以使用FSIM门实现，通过\( \sqrt{iSWAP} \)具有高保真度（约0.9930）[227]。\( ZZ \)操作可以使用\( \sqrt{iSWAP} \)实现，也具有高保真度（目前约0.9962）[227]。

在离子阱QCCD架构[228,229]中，FSWAP操作可以使用SWAP操作和\( ZZ \)实现。由于离子可以在电路中物理移动以实现全连接，FSWAP操作的保真度降低到\( ZZ \)的保真度，目前为0.9980[228,229]，与平面传输子实现相比具有保真度优势。此外，\( ZZ \)可以通过两个\( ZZ \)实现，目前保真度约为0.9960[228]。

在基于双轨量子比特的电路QED装置中，如所讨论的，我们可以使用\( ZZ \)门实现类似于离子阱QCCD架构的费米子SWAP网络。高Q腔装置中实现双轨量子比特间SWAP操作所需的 beamsplitter 操作具有非常高的保真度0.9992[91,217]（与传输子上的单量子比特门相当）。重要的是，我们可以利用错误检测能力通过后选择来提高操作保真度，如参考文献[210,214]中所讨论。该过程在噪声和后选择存在的情况下，理论上计算出的\( ZZ \)门保真度约为0.9999[210]，对于纯退相位通道，时间\( T_2 = 100 \mu s \)。错误检测以需要后选择为代价，导致射击开销。对于上述\( T_2 \)值，估计错误将在2%[210]的射击中被检测到。虽然该百分比随电路深度指数增加，但即使对于100个\( ZZ \)门，也只有约\( 0.02 \times 100 = 2\% \)的射击会因检测到错误而被丢弃，这导致射击开销因子为\( 1/(1-0.02) \approx 1.02 \)。

C. 费米子-玻色子相互作用

在这里，我们编译两个典型的费米子-玻色子模型的幺正时间演化算符：固体中的声子-电子相互作用和强光场与电子的耦合。利用前几节的技术，我们讨论使用传输子或双轨量子比特来编码费米子物质，并采用模式来表示玻色子物质。

1. 声子-物质相互作用

霍尔斯坦模型[230]描述了固态中（无色散的）光学声子与电子密度的耦合。它由电子的动能项（参见表V第一行）、声子的局域势能项（参见第III.A.2节）和电子-声子相互作用项组成：

\[
H_{\text{e-ph}} = g \sum_i n_i (a_i + a_i^\dagger) \quad (66)
\]

为了实现后者，注意在约旦-维格纳编码中，独立于维度，该哈密顿量项变为等效于自旋-霍尔斯坦耦合[231,232]：

\[
H_{\text{e-ph}} = g \sum_i \frac{1 + Z_i}{2} (a_i + a_i^\dagger) \quad (67)
\]

该哈密顿量下的时间演化可以很容易地实现，因为求和中的所有项都对易，且每项都有简单的实现；与\( Z_i(a_i + a_i^\dagger) \)成比例的项生成条件位移门，剩余项可以通过对每个振子进行简单的坐标框架移动来消除（导致费米子的恒定化学势偏移）。

传输子量子比特。如果量子比特映射到传输子量子比特，条件位移可以使用条件宇称\( CZ \)（表II）和位移\( D(\alpha) \)进行编译。该控制已在第II.B节中讨论并如图5(a)所示。

双轨量子比特。在双轨量子比特的情况下，\( Z = |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1| \)，其中下标\( L(R) \)表示双轨量子比特处于\( |0\rangle \)（\( |1\rangle \)）态时容纳玻色子的模式。因此，所需的双轨量子比特条件位移将采用\( D\left(\frac{g t}{2} Z_L\right) \)的形式，其中\( Z_L = Z \)。该位移以另一个模式\( a_R \)的宇称为条件，可以通过\( C_a^\dagger \)实现，其编译在第II.C节中给出。图11中所示的完整操作如下：

\[
U_{\text{e-ph}} = D\left(\frac{g t}{2}\right) C_{\text{anc}}^\dagger (Z_L) D\left(-\frac{g t}{2} Z_L\right) C_{\text{anc}}(Z_L) \quad (68)
\]

其中\( D(\alpha) \)对应于表II中定义的条件位移门，\( C_{\text{anc}}^\dagger \)表示方程(63)中引入的哈达玛共轭条件宇称门。下标“anc”指辅助传输子量子比特，其初始化为\( |0\rangle \)并保证在序列结束时以\( |0\rangle \)结束，除非发生错误——这一事实可用于错误检测目的，如前所述。

图11. 声子-物质相互作用。我们展示了一个在双轨量子比特的\( Z_L \)条件下对模式实现位移的电路。该电路可用于实现方程(67)中哈密顿量下持续时间\( t \)的时间演化（直至无条件位移）。

2. 光-物质相互作用

当光与晶格上的带电物质相互作用时，例如，当材料放置在光学腔中时，哈密顿量由[233]给出：

\[
H = \omega_c a^\dagger a + J \sum_{\langle i,j \rangle} \left( e^{-i \theta_{ij}} c_i^\dagger c_j + \text{H.c.} \right) + g \sum_i n_i (a + a^\dagger) \quad (69)
\]

对于单个光模式\( a \)，其中\( \omega_c a^\dagger a \)对应于光子的自由演化，\( J \)是跳跃强度，\( g \)是取决于系统特性（如腔的几何结构和材料组成）的耦合常数，\( N \)是晶格格点数。在派尔斯替代近似内，指数项\( e^{-i \theta_{ij}} \)由粒子电荷乘以电磁矢量势沿从格点\( i \)到格点\( j \)的链路的线积分给出。

对于小的\( \theta_{ij} \)，第二项中的指数可以展开：

\[
e^{-i \theta_{ij}} \approx 1 - i \theta_{ij} \quad (70)
\]

第一项可以使用第III.A.2节中讨论的玻色子相空间旋转来实现。第二项对应于费米子跳跃，可以使用附录A.1的策略来实现，用于编码在传输子或双轨量子比特中的费米子。第二项可以重新表示为\( -i \theta_{ij} c_i^\dagger c_j \)对于约旦-维格纳相邻格点。该表达式对应于两个双重条件位移，即由两个量子比特条件化，加上单量子比特旋转。

传输子量子比特。如果量子比特映射到传输子量子比特，双重条件位移可以使用第II.B节中描述的技术进行编译，如图5(b)所示。它需要一对条件宇称门\( CZ \)（表II）和一个条件位移\( D(\alpha) \)（或者，两对条件宇称门和一个无条件位移）。

双轨量子比特。如果量子比特映射到双轨量子比特，双重条件位移可以通过迭代方程(68)中单条件位移的编译策略来合成，该策略是在声子-物质相互作用的背景下开发的。完整序列如下：

\[
U = C_{\text{anc}}^\dagger (Z_{L,1}) D\left(\frac{g t}{2} Z_{L,2}\right) C_{\text{anc}}(Z_{L,1}) D\left(-\frac{g t}{2} Z_{L,2}\right) \quad (71)
\]

其中，与之前的门类似，我们已经投影出辅助量子比特，其初始化为\( |0\rangle \)并保证（在无噪声情况下）在序列结束时解纠缠。在上述门实现后，单双轨量子比特门（即 beamsplitter）可用于将算符\( Z_{L,i} \)旋转到\( Z_{L,j} \)或\( Z_{L,j} \)，从而能够实现所有期望的门。

IV. 规范场和规范-物质耦合的实现

在本节中，我们提出纯规范哈密顿量项——即电场和磁场——以及将规范场耦合到物质的规范不变跳跃的\( U(t) \)实现。具体而言，我们讨论了这些项在中的两个示例实现：一个规范场和一个规范场，二者在第一节E中讨论的典型晶格规范理论中均扮演着至关重要的角色。然而，我们强调，由于实现方式的数字特性，利用本节中的技术，可以实现比第一节E中更复杂的模型，例如同时包含与规范场耦合到同一物质场的模型。我们分别在第四A节和第四B节中介绍纯规范场和纯规范场的实现。接下来，在第四C节中简要讨论实现静态规范场（即本身不具有任何自身动力学）的可能性。然后，我们回到这两个示例，并在第四D节和第四E节中分别描述与规范场和规范场相关的规范不变跳跃项的实现。最后，我们在表VI和表VII中汇总了所实现的各项。

表VI. 纯规范哈密顿量项及其使用原生门实现的方式。我们在中间步骤中用作门角度，以强调其与角度不同。

| 中间步骤 | 门 | 细节 |
| :--- | :--- | :--- |
| 电场 : | 表II | : 第四B节1 |
| 磁场 : , | 图12 | 第四A节2 |
| : , , | 图13 | 第四B节2 |

表VII. 在提出的架构中将规范不变跳跃哈密顿量项编译为原生门的策略（见图4）。我们用作为平行传输子的占位符。

| 中间步骤 | 门 | 定义 |
| :--- | :--- | :--- |
| 玻色子 | | |
| 传输子 | , | 第四D节1 |
| 双轨 | , , | |
| 双轨 | , , | 第四E节1 |
| 费米子 | | |
| (1) SWAP, FSWAP | 传输子和双轨费米子 | , , , , , | 第四D节2 |
| (1) SWAP, FSWAP | 双轨规范和传输子费米子 | , , , | 第四E节2 |
| 双轨规范和双轨费米子 | , , , , | 第四E节2 |

A. 纯规范动力学场
在本节中，我们提出两种在我们的架构中表示规范场的策略——一种使用传输子量子比特，另一种依赖于第二节H中讨论的双轨编码。关于哈密顿量的引入和符号表示——特别是我们如何标记规范场所在的链，也请参见第一节E。

1. 电场
表VI中定义的电场的时间演化算符为，其中耦合强度如公式(1)中所定义。该结果对应于单量子比特旋转。

传输子量子比特。该项通过使用表II中定义的门对每个传输子进行共振驱动来直接实现。

双轨量子比特。该项是单量子比特旋转。如第二节H所讨论的，绕轴和轴的单量子比特旋转（定义于表II）使用组成双轨量子比特的两个腔之间的分束器来实现。

2. 磁场
与表VI中定义的磁场项相关的时间演化算符为，对应于一个四量子比特纠缠门。

传输子量子比特。实现该项的精确门序列在第二节F中讨论，并在图7中说明。在我们提出的电路QED架构中，传输子量子比特的多体门具有紧凑形式：所需的位移都可以使用单个辅助模来完成。该方法消除了对昂贵的Pauli小工具[235]的需求，后者使用六个两量子比特门来实现这个四量子比特门。然而，它转而需要玻色子SWAP门来介导多量子比特相互作用。然而，如前所述，玻色子SWAP操作在提出的架构中具有非常高的保真度（见第二节A）。

双轨量子比特。在第三节B2中，我们讨论了如何使用参考文献[210]中提出的求幂小工具获得门，该工具在满足条件时实现任意算符的。因此，使用相同的方法，我们可以将此结果推广以包括中更高权重的Pauli串。该电路如图12所示。如前所述，除了光子损失外，辅助模的弛豫和退相位误差也可以使用这种通用门方案来检测[210]。

图12. 双轨磁场项。(a) 参与磁场项的腔的表示。(b) 相应的电路。灰色和黑色模导线分别对应于双轨量子比特处于态或时玻色子的位置。

B. 纯规范动力学场
接下来，我们转向由公式(3)中的哈密顿量描述的量子链模型。如第一节E所述，我们利用Schwinger玻色子表示来编码链的自由度，每条链需要两个玻色子模。我们注意到，Schwinger玻色子表示可以理解为双轨量子比特编码向自旋[57]的推广。

1. 电场
在Schwinger玻色子表示中，电场能量可以写为

(72)

其中是电场强度，是拓扑参数。当展开平方时，交叉克尔项会出现。虽然原则上我们可以实现这些项（参见第三节A4），但它们比同一位置上的自克尔项更难实现。幸运的是，我们可以通过使用Schwinger玻色子约束来消除交叉克尔项。由于这个恒等式，我们可以向公式(72)中的哈密顿量添加一项——由于约束，该项只是一个常数——从而得到

(73)

(74)

在忽略常数的情况下，从而消除了交叉克尔项。

在下的时间演化满足。由于模和模对易，。该结果可以使用表II中定义的两个门在模和上精确实现：

(75)

其中和。

2. 磁场
在中，磁场哈密顿量如图13(a)所示，作用于连接一个由费米子位点标记为、、、的正方形（也称为plaquette）的四个规范场升算符上。我们讨论单个plaquette指数项的编译，其中

(76)

使用我们对规范场的Schwinger玻色子映射（公式(6)），我们得到产生和湮灭算符的乘积，为了符号简单，我们将其重新标记为链的模、，链的模、，链的模、，以及链的模、，使得

(77)

我们在此展示如何使用参考文献[97]中引入并在第二节G中总结的方法来实现plaquette项，该方法利用了由BCH公式给出的群交换子关系，具体而言，关系式

(78)

通过适当选择杂化量子比特-玻色子算符和，我们获得了实现可对易玻色子算符之间乘法的手段。我们还使用Trotter公式来实现加法。

图13. 量子链模型中plaquette项的Baker-Campbell-Hausdorff合成。(a) 对应于产生量子比特条件四次项的BCH电路。(b) 使用Trotter公式移除额外的非期望四次项。(c) 能够编译包含八个项乘积（八次项）的BCH电路。(d) 电路的最后一步，使用Trotter公式移除非期望的八次项。(e) 参与模的表示。组成规范场的模用字母至标记，物质场用至标记。根据几何结构，并非所有的都能直接以同一量子比特为条件，这导致需要额外的SWAP门。

我们依赖上述方法，并提出一种可能实现方案，该方案利用公式(19)中引入的条件分束器门作为基本构建块。这种方法具有依赖简单硬件原语的优点，代价是引入了Trotter误差。接下来，我们简要评论在硬件层面实现三波混合项的可能性（见附录C）。后一种方法能够在没有Trotter误差的情况下编译所需项，但它使用了一个在硬件层面更难工程实现的门。

这种合成的关键思想是将BCH公式应用于作用在plaquette周围四对模上的条件分束器，所有这些都受同一个辅助量子比特控制。直观上，这个过程导致四对模的产生和湮灭算符相乘，从而得到公式(77)中的八模项。

我们首先展示如何合成四模算符的乘积。选择与，其中是量子比特上的Hadamard门，定义于公式(19)，我们定义基本操作

(79)

这一组操作如图13(b)所示。为了将误差降低到足够小，我们在高阶乘积公式中使用这个基本操作[236]，

(80)

(81)

其中。

该表达式包含两个不属于plaquette算符的项。为了消除非期望项，我们再次应用相同的四模合成，但使用不同的相位。这个过程产生一个新项，使用基本操作和获得，其中和。将和组合在二阶Trotter公式中，我们消除非期望项：

(82)

这一组操作如图13(c)所示，我们忽略了Trotter误差，因为BCH误差占主导地位。使用量子比特上的单量子比特门，我们也可以获得。相同的表达式也可以在参与plaquette项的其他四个模上获得：

(83)

注意，选择使得在量子比特上执行而非，以便于BCH公式的进一步使用，我们将在下面解释。

为了获得实现plaquette项所需的八波混合，我们根据下式将四个四模项串联起来：

(84)

这一组操作如图13(d)所示。与四模项类似，公式(84)会产生不属于plaquette项的项。为了消除它们，我们将乘以以相同方式但使用不同分束器相位获得的项：

(85)

该项的组成操作部分如下，我们使用与讨论合成时相同的带撇和波浪号的记号。在模、、、上，我们使用

(86)

(87)

(88)

(89)

在模、、、上，我们使用

(90)

(91)

(92)

(93)

总共，我们得到

(94)

(95)

如图13(e)所示。选择，我们获得在单个plaquette哈密顿量下的时间步长时间演化。每个CBS门可以使用两个条件宇称操作和一个分束器来实现，参见公式(19)。我们在下文中统计条件宇称操作的数量。每个可以使用六个操作[见公式(79)]来实现，这些操作需要八个条件宇称来执行，因此每个需要48个条件宇称。每个操作使用对称Trotter公式需要三个操作，这意味着它需要144个条件宇称。每个由四个项构成，因此每个需要576个条件宇称。然后，最终近似需要1152个条件宇称，因为它由两个操作组成。

条件宇称在使用LINC耦合器在时需要200 ns[90]；因此，全部1152个条件宇称将需要，这比最近实验证明的钽寿命小一个数量级[237]。在附录H中，对于这些参数，我们发现Fock态高达10的条件宇称不保真度为，重复1152次后，保真度为93%（对于[209]，我们得到82%）。考虑到实现类似项的量子比特电路需要高几个数量级的门数（见第六节和参考文献[238]），这个结果非常重要。因此，我们量子比特-玻色子硬件所需的大幅减少的门数将这些多体量子比特-玻色子相互作用的模拟推向了更近的未来（特别是因为高保真局部可观测量并不总是需要高保真态）。这一发现显示了这种硬件的前景，值得更多关注和发展。此外，我们认为进一步改进我们的算法是可能的，例如通过脉冲工程。此外，数字方法的一个优势是可能包含从振荡器到振荡器的错误抑制，这已经被提出[109–119]。

我们最后讨论误差项。因为每对模算符在大自旋的Schwinger玻色子编码中具有范数，并且误差项包含五对这样的算符，我们的结果意味着这样实现的幺正算符与精确plaquette指数之间的距离为

(96)

特别地，该误差与无关。

合成该项的另一种方法是使用附录C中引入的三波混合项。由于上述分束器方法中出现的额外项在使用三波混合时不会出现，我们可以节省Trotter误差，并将所需原生操作的数量减少一个前置因子。然而，由于特罗特误差是次主导的，这种方法不会改变上述渐近误差标度。
C. 耦合到物质的静态规范场
当磁场[224]耦合到物质时会出现静态规范场，例如在考虑分数量子霍尔效应[225]时，它们至关重要。在这种情况下，哈密顿量的跃迁项在每个链路上具有固定的复振幅，即（97）
其中我们专门考虑了玻色子物质的情况。该术语可以直接通过表II中定义的分束器来实现，通过为每个链路适当选择相位。
对于费米子物质，跃迁项推广为（98）
相位可以作为附录A1中描述的Jordan-Wigner编码所需门的一部分来实现，对于任选的量子比特类型。该操作将保持不变，但可以通过在其中一个量子比特上用共轭费米子跃迁来合并相位。
D. 耦合到物质的动态场
这里，我们讨论Z2-Higgs模型规范场耦合到玻色子和费米子物质。我们首先在IV D 1节讨论玻色子规范不变跃迁，将规范场映射到传输子，然后双轨量子比特。接下来，我们在IV D 2节讨论费米子规范不变跃迁，将费米子和规范场映射到传输子和双轨量子比特。
1. 玻色子规范不变跃迁
由规范场介导的规范不变玻色子跃迁的时间演化算符具有形式（99）
接下来，我们讨论使用传输子或DR量子比特来实现该算符。对于两种情况，我们使用模式来直接编码玻色子物质。
场—传输子；物质—模式。
对于将规范场映射到传输子量子比特的情况，式（99）对应于条件分束器，这在II B节中讨论。
场—双轨；物质—模式。
对于将规范场映射到双轨量子比特的情况，我们利用一个事实：其中一条轨道中光子数的宇称等价于泡利算符[见式（59）]。因此，位置i和j之间跃迁的时间演化具有形式（100）
并且可以使用II C节所述方法编译，如图14所示。
图14. Z2规范不变跃迁电路。以双轨量子比特作为Z2规范场，模式作为物质位点的规范不变跃迁的实现。参与双轨量子比特（两个上方模式）的灰色和黑色模式导线分别对应于双轨量子比特处于状态或时玻色子的位置。分束器以状态为条件。
2. 费米子规范不变跃迁
用于实现费米子规范不变跃迁的费米子SWAP网络需要与附录A1中讨论的完全相同的FSWAP操作，其中规范场也需要被交换。为了使跃迁规范不变，我们将iSWAP操作替换为（101）
利用和的事实，其中定义在表II中。我们注意到，可以通过将连续的单量子比特门合并为一次旋转来进一步压缩该门序列。
我们不讨论该模型的全传输子量子比特实现，因为这种情况没有利用我们平台的优势。
场—传输子；物质—双轨。
根据式（101），可以使用分束器门对双轨量子比特进行单量子比特旋转，而是一个传输子Z2条件双轨操作。后一个门在式（64）中使用初始化为状态的辅助传输子进行编译，该辅助传输子最终被求迹。然而，我们可以通过用编码未知状态规范场的传输子替换辅助量子比特来适配相同序列以实现所需门[并移除式（64）中的矩阵元投影]。
场—双轨；物质—传输子。
该项需要实现，这可以使用来自的附加单量子比特旋转来实现。后者是II C节中引入的宇称控制门的一个实例。具体而言，式（30）中的中间门将被我们在II F节所述技术实现的二传输子量子比特门替换。
场—双轨；物质—双轨。
根据式（101），除了单量子比特旋转，我们还需要实现。这种多双轨门可以使用泡利指数化小工具来实现，如IV A 2节所述，图12显示了四个双轨量子比特的稍复杂情况。或者，可以迭代II C节的宇称控制合成技术，类似于式（71）中实现的双条件位移。
E. 耦合到物质的动态场
接下来，我们讨论耦合到玻色子（IV E 1节）和费米子物质（IV E 2节）的动态场的实现。我们展示如何实现式（3）中描述的跃迁动力学，其形式为（102）
在本节剩余部分，我们将假设大并写出。如IV B节，我们利用表示规范场的Schwinger玻色子编码。此外，对于费米子物质的情况，我们分别考虑传输子和双轨量子比特。
1. 玻色子规范不变跃迁
对于由算符表示的玻色子物质位点，位点i和位点j之间的规范不变跃迁由（103）给出。其中是链算符的Schwinger玻色子表示。该幺正算符由四模式混合项生成，可以使用BCH公式合成[见式（54）]。
2. 费米子规范不变跃迁
对于中的费米子，我们首先使用FSWAP网络将位点移动到JW编码中的相邻位点。然后，为了执行规范不变跃迁，我们还交换相应的规范场，如图15所示。剩余操作由最近邻跃迁给出（104）
其中j是i的相邻位点。在中，SWAP和FSWAP操作不是必需的。我们现在讨论在费米子被编码在传输子或双轨量子比特的情况下如何合成该项。
图15. 费米子跨Z2规范场的规范不变跃迁。（a）水平跃迁。该跃迁仅需要最近邻规范不变跃迁操作，其中费米子算符被量子比特算符替换。（b）垂直跃迁。FSWAP网络通过首先在执行FSWAP的同时交换规范场模式，然后在垂直键上应用与水平跃迁相同的操作来推广。水平跃迁中涉及的规范场模式保持不变。
费米子物质—传输子。
我们提出两种方案：一种包含特罗特误差的朴素实现，另一种（仅对于该项）避免特罗特误差但需要硬件的特定实验适配。对于方案1，我们将规范不变跃迁项重写为（105）
其中我们使用了特罗特化并定义了（106）（107）
注意到和可交换，和也可交换，因此我们只需实现双重条件分束器，这通过将分束器夹在条件宇称操作之间来实现，条件为量子比特和，如式（19）所示。然而，因此该项将获得特罗特误差。
方案2不引入特罗特误差，但需要在硬件层面进行额外工程。我们将幺正算符定义为，其中为简单起见，我们省略了模式上的索引和，并定义了。我们首先将分解为，其中（108）（109）
确实，因为。重写（110）（111）是有帮助的。
因此，我们现在可以将所需的时间演化算符表示为（112）
其中（一个单传输子量子比特旋转门）和门定义在表II中。这将实现四体相互作用的问题简化为实现三体相互作用哈密顿量的更易处理问题——后者在电路QED架构中更自然地实现，因为主要非线性来源是约瑟夫森结的四波混频特性。我们在附录C中推导了这些相互作用的一种可能实现。
费米子物质—双轨。
在这种情况下，我们必须实现一个多体门，涉及表示规范场的两个Schwinger玻色子模式和组成两个双轨量子比特的四个模式，以及：（113）
为了实现这样的门，我们使用IV B 2节中针对纯规范场提出的BCH公式合成方法。具体而言，我们应用式（52），其中我们设置，其编译如式（82）所示，并设置。该过程产生不需要的项，我们使用式（53）中的特罗特公式，通过使用分束器中具有适当相位的BCH公式来消除这些项。
V. 量子优势提议：门复杂度与全量子比特算法的比较
在本节中，我们分析我们的量子比特-玻色子特罗特方法的门复杂度。特别地，我们讨论特罗特误差与某些编译方案引入的误差之间的相互作用。我们首先回顾特罗特误差分析的一般原则。然后我们讨论Z2-Higgs模型和U(1)量子链模型的一种特定特罗特实现及其误差。虽然所有编译对于Z2-Higgs模型都是精确的，但U(1)量子链模型中磁场项的编译（参见IV B 2节）引入了额外误差。因此，我们讨论特罗特误差与该编译误差的相互作用。虽然以下各节侧重于整个特罗特算法的渐近标度，但我们最后比较了量子比特-玻色子方法和全量子比特方法中单个特罗特步骤的显式门数。为此，我们引入了一种用于模拟玻色子模式之间分束器的量子比特算法。
A. 一般特罗特误差分析
我们将哈密顿量写成项之和。我们首先将直到时间的时间演化分解为个时长为的时间步，即。误差的估计为（114）
对于I G节中引入的阶特罗特公式，其误差估计为[239]（115）
因此，对于目标特罗特误差，特罗特步数为（116）（117）
由此表达式，我们获得总门数为（118）（119）
其中是各个指数所需的门数。我们使用了以下事实：当递归定义时，阶特罗特公式所需的门数是阶特罗特公式的5倍[239]。二阶特罗特公式所需的门数是一阶特罗特公式的两倍。最后，一阶特罗特公式所需的门数是每个指数所需门数的总和。在单个指数只能以误差（依赖于）合成的情况下，对总体复杂度有贡献。注意，通常，特罗特公式的复杂度在固定时评估。因此，在估计符号中的渐近复杂度时，上述诸如的因子被忽略。
用哈密顿量项的范数近似特罗特误差会高估误差，因为多体哈密顿量中的大多数项彼此可交换。因此，我们预计特罗特误差在实践中要小得多；例如，参见文献[234]对费米子U(1)量子链模型的更紧估计。
原则上，玻色子哈密顿量具有无界范数，因此天真地表现出无界的乘积公式误差。然而，在实践中，动力学过程中不会占据无限高的Fock态，因此误差保持有界。特别地，在U(1)量子链模型中，玻色子算符的谱范数以...为界。类似地，在Z2-Higgs模型中，使用系统中总数为的玻色子的初始态，玻色子算符以...为界。
接下来，我们详细说明U(1)量子链模型和Z2-Higgs模型的具体特罗特分解及其误差。我们在方形晶格上指定开放边界条件，并使用三角不等式以及。对于玻色子物质，我们假设在总玻色子数的扇区内演化以估计特罗特误差。
B. Z2-Higgs模型的特罗特分解和门复杂度
电场项和局域相互作用项彼此可交换，因此我们可以选择（120）
其中表示对具有个位点的方形晶格上的个键求和。由三角不等式和，在具有个粒子的固定粒子扇区中，可得（121）
接下来，我们将规范不变跃迁分成四个非对易项H_1, H_2, H_3, H_4，其中1（2）表示水平方向上的偶数（奇数）跃迁，3（4）表示垂直方向上的偶数（奇数）跃迁，参见图16（a）。我们将这种情况写为（122）
接下来，我们找到，其中我们使用了的事实。由此，我们得到（123）
其中对于费米子。最后，我们将plaquette项分成方形晶格的两个不重叠棋盘模式[参见。图 16(b)]，我们将其标记为 ， 2，使得 (124) 并且根据三角不等式，得到 (125) 这里我们使用了每个plaquette有 个的事实。图 16. Trotter分解示意图。 (a) 规范不变的跃迁，分为四个部分 ， 2，3，4，使得所有部分内的项都对易 (b) Plaquette项。我们将方格晶格分为两个不相交的棋盘格图案。在两幅图中，数字对应 索引。 (c) 时间演化直到时间 被划分为不同子哈密顿量的示意图。对于 -Higgs模型 [式(120)–(124)]，进一步将式(124)分解为 在 下的演化是不必要的，但对于 量子链路模型 [式(128)–(132)] 的式(132)则是必要的。

将式(121)、(123)和(125)代入式(117)，我们得到Trotter步数为 (126) 其中 和 适用于费米子物质。

特别地，我们发现对于玻色子物质，相互作用项主导误差。如果 ，那么跃迁项是误差的主要来源。对于费米子物质，跃迁项和场项对Trotter误差的贡献相等。

我们对 -Higgs模型中所有项的编译都是精确的，因此 。在方格晶格上有 个plaquette项。因此，我们发现总门数为 (127) 对于固定的 。因此，对于 中较大的 和 值，门数大约按 标度，即总位点数目的平方。这个结果是合理的，因为哈密顿量中的项数随位点数目线性增加，而在我们粗略的估计中，对于特定目标误差的Trotter步数 与哈密顿量中的项数成线性关系。我们注意到，在大多数有趣的情况下， ，因此 的标度会更高；特别是，在这种情况下，在位项主导了 的标度，即对于大 近似为 。然而，我们预期在考虑Trotter误差的更紧的界时，这种标度会得到很大改进 [239]。

C. 量子链路模型的Trotter分解

电场项和质量项相互对易，并且在晶格位点之间也对易。因此，我们选择 (128) 利用自旋 算符满足 和 的事实，根据三角不等式，我们得到 (129) 此外，我们以与 -Higgs模型相同的方式分解规范不变的跃迁，即分为方格晶格的两个棋盘格图案，写作 (130) 由于 ，范数的 依赖性被前因子抵消，我们发现 (131) 最后，与 -Higgs模型类似，我们使用plaquette项的棋盘格分解，将其写为 (132) 同样，范数没有 依赖性。由于有 个plaquette，范数为 (133) 将式(129)、(131)和(133)代入式(117)，我们发现 (134) 其中我们省略了一些 和 中的次主导贡献。同样，对于费米子物质， 。对于较大的 ，我们发现 (135) 注意，进一步将 分解为仅局域作用的项不会产生进一步的Trotter误差，因为组成哈密顿量相互对易。例如， 没有误差。

与 -Higgs模型相反，并非我们所有的编译对于 量子链路模型都是精确的。具体来说，磁场项使用BCH公式编译；因此导致依赖于时间步长 的误差。由于 的磁场项对总门数有贡献，我们需要将此误差纳入分析，这是下一小节的主题。

D. 量子链路模型的门复杂度

我们专注于纯规范理论的模拟，即仅包括电场和磁场项，以使方程更易读。规范不变的跃迁可以无误差地合成，而Trotter误差在任何情况下对于较大的 都由电场项主导；因此，下面的分析可以平凡地推广到含物质的 量子链路模型。我们讨论在plaquette项中遇到的BCH合成误差，然后将其与Trotter误差结合。

首先，考虑单个plaquette项合成的误差，我们在第IV B 2节中证明其为 。这个误差可以通过将演化分成 个时间为 的步骤来进一步减小 [参见图16(c)]，得到 (136) (137) 对于在时间 内演化单个plaquette哈密顿量，误差 为 。解出 ，我们得到 (138) (139) 由于BCH误差取决于Trotter化方案中选择的时间步长 ， 取决于目标Trotter误差与BCH误差之间选择的关系。我们做出选择，即合成所有Trotter步骤的所有plaquette项所产生的总BCH误差与Trotter误差 的标度相同。由于磁场哈密顿量中有 个plaquette项，并且一个 阶Trotter公式在每个 个Trotter步骤中调用磁场项 次，因此这个总误差为 (140) 解此方程求 并要求 ，我们得到 (141) 将此方程代入式(139)，我们得到 (142) (143) 其中在第二步中我们代入 。

每个Trotter步骤中有 个plaquette项和电场项。电场项可以用 个门合成，而plaquette项需要 个门。因此，实现 规范理论的总门复杂度为 (144) 将式(135)的 和式(143)的 代入，我们得到 (145) 其中括号内的第一项（第二项）是电场（磁场）的贡献。

这个表达式表明，来自磁场项（第二项）的总门数贡献与截断 无关。这个结果与Fock-二进制编码中的量子比特方法形成对比，后者中的贡献按 标度 [238]。这种改进是以 和 的高阶多项式标度为代价的。然而，这种标度可以通过在磁场项的合成中使用更高阶的BCH公式来系统性地改进 [236]。

E. 相对于全量子比特硬件的门复杂度优势

在这里，我们通过计算在量子比特架构中实现Trotter分解中使用的单个哈密顿量项的显式门数，来比较我们的混合量子比特-玻色子编译与全量子比特编译。

为此，我们必须首先选择一种从玻色子到量子比特的映射。存在多种不同的玻色子到量子比特的映射：一元编码 [240]，它在量子比特数量上是浪费的，但门的应用相对简单；用于相空间表述的玻色子哈密顿量的Jordan-Lee-Preskill编码 [241]，适用于可以表示为少量相干态叠加的初态；Gray编码，在Fock态之间转移时需要最少的比特翻转次数 [240]；以及Fock态基的二进制编码 [242]，它在量子比特数量上是高效的。另参见参考文献 [88] 关于模拟规范理论中玻色子复杂度的讨论。

这里，我们关注Fock-二进制编码，它在量子比特数量上是最有效的。例如，Fock态 以截断7编码为三个量子比特，使得 。态在二进制中的编码需要 个量子比特，其中 是模拟过程中可以访问的最大Fock态。我们协议的思想是将这个寄存器与一个辅助量子比特纠缠。辅助量子比特存储Fock态 和 的相对振幅，使得辅助量子比特上的单量子比特门在这个子空间上实现一个操作。位移的更简单情况在参考文献 [57] 的第VIII节中讨论。

用量子比特模拟玻色子运算的一个严重限制来自于产生和湮灭算符作用的前因子： 和 ，其中 是Fock态。在下文中，我们讨论三种应用它们的方法：使用上述任何编码将整个 门酉矩阵强行分解为量子比特门，将它们作为Fock基的单热表示中的相位包含，或者通过使用算术即时计算或显式应用依赖于Fock态的相位来直接应用平方根。

首先，我们讨论将玻色子酉矩阵强行分解为两量子比特门和单量子比特门。这种情况自然会包含平方根值，但对任意大小的酉矩阵进行强行分解的标度在 中是指数级的，使得精确分解对于 是不可行的 [243]。对于小系统，强行分解一个六量子比特门（例如，以二进制编码的截断Fock态7的两个模式之间的分束器矩阵）的已知最佳上界为1783个两量子比特门 [243]。在两量子比特门误差为 时（被认为只有通过纠错才能实现），1783个门导致一个分束器的保真度约为99.8%。相比之下，根据附录H中的Lindblad计算，使用当前演示的模和量子比特寿命，Fock态7的电路QED分束器可以实现99.9%的保真度。因此，非纠错电路QED分束器与仅使用量子比特的纠错分束器相当。虽然这一发现依赖于分束器强行门分解的最坏情况上界，但当前已知的最佳方案仍然使用数百个CNOT门（参见图17）[56]，对于大于7的截断甚至需要数千个。

图 17. 实现分束器的CNOT门数。玻色子模式到仅量子比特硬件的映射之间的比较。二进制预计算（ 和 ）和二进制原位（ 和 ）是本工作中开发的分束器映射方法（参见附录D）。强行分解结果已知最多到六量子比特矩阵 [243]，并且所有标签上带有 * 的方法来自参考文献 [56]。

其次，单热编码可以预计算平方根，因为它为每个量子比特预先分配一个值，因此可以将具有特定相位的门分配给每个量子比特。量子比特的数量随希尔伯特空间截断线性增加，而二进制编码是对数增加。因此，由于像分束器这样的玻色子门会改变编码一个模式的所有量子比特的状态，门的数量也至少线性增加。结果，对于截断为 的两个模式之间的分束器，已知最佳算法 [56] 所使用的门数与强行分解大致相同，即使使用通过编译的进一步门优化，这些优化也不可扩展到大量的量子比特。

在下文中，我们介绍两种新的方法，用于在量子比特中使用Fock-二进制编码进行分束器哈密顿量的时间演化。它们在截断上是完全可扩展的，因此也允许渐近标度分析。我们的两种方法在附录D中详细讨论；我们在这里提供概述。两种方法都依赖于将分束器矩阵分裂为一稀疏分量，然后使用辅助量子比特实现。因为这些分量一般不对易，因此使用Trotter方案来保证精度 。

一种方法原位计算由产生和湮灭算符作用产生的平方根，使用量子计算机即时计算；另一种方法预计算它们并将它们作为门角度应用。避免平方根的复杂计算并将其简单地作为门角度的一部分应用，听起来可能更有效。然而，如果平方根要作为门的角度应用，状态必须经过大量测试来检查哪个平方根是合适的。这个过程需要与Fock态数量成正比的电路深度，以便检查每个Fock态并应用正确的平方根，对于作用在两个模式上的分束器为 。这种方法导致单次应用分束器指数（不含Trotter）的CNOT门数按 标度。现在，考虑到应用（2p）阶Trotter公式 [244] 来减少由我们将分束器指数分解成的项的非对易性引起的误差，我们发现渐近地，这种方法按 标度。

相比之下，用牛顿迭代法 [121] 原位计算平方根，首先使用牛顿迭代计算逆平方根，然后将结果与初值相乘得到平方根。该方法导致每次平方根计算需使用个门[121]，其中是以二进制表示最大Fock态所需的量子比特数，是为达到设定精度所需的牛顿迭代次数。由于牛顿法具有二次收敛性，通常取或即可使误差小于[121]。对于单个指数函数（不含Trotter分解），该方法的标度关系为。考虑到采用(2p)阶Trotter公式来减小因光束分离器操作分解后各项不对易性所带来的误差，我们发现在渐近情况下，我们的方法标度关系为(146)，前提是对于大的，牛顿迭代次数的标度与无关。令人惊讶的是，这一标度远比预计算平方根的方法更优。然而，尽管这属于用量子比特模拟玻色子模式的最佳渐近方法之一，据我们所知——此前能找到渐近CNOT门计数的方法为[56]——它仍远未达到二进制编码对数标度的朴素假设，原因在于为减小大希尔伯特空间算符分解后非对易项的误差而使用的Trotter公式。

两种方法的比较见图17。值得注意的是，对于较小的截断值，预计算平方根并检查应用哪一个是有利的，因为原位计算它们的前因子非常大。我们还注意到一项更近期的研究，可能提供更优的门计数（未给出CNOT门计数）[245]。因此，至少在使用朴素算术方法时，平方根的需求导致数千个CNOT门的大量开销。

我们现在计算使用Fock-二进制编码，在维中，在纯量子比特硬件上执行-Higgs模型单次Trotter步所需的CNOT门数，并保留规范场。我们不考察在更高维中出现的外磁场项。然而，对于可映射到量子比特的规范场，实现该项的纯量子比特和量子比特-玻色子电路将是相同的。因此，对于该模型，在更高维中无需进行额外的Fock-二进制门计数计算或比较。CNOT门计数源于将玻色子物质的规范不变跃迁项用量子比特表示，因为维规范场的电场项仅对应单量子比特门（见第IV A 1节）。我们不处理玻色子Hubbard局域相互作用；然而，它可以通过在二进制中印刻相位来实现，开销为关于的多对数。规范不变跃迁对应于量子比特条件光束分离器项。我们使用Fock-二进制编码将该项转换为全量子比特电路，其门计数在附录D中说明。

在图18中，我们比较了两种硬件类型下量子链模型和-Higgs模型的门计数；渐近标度总结在表VIII中。纯量子比特线中的跳跃是由于表示递增希尔伯特空间截断所需的量子比特寄存器的对数标度所致。维中的量子链模型对应Schwinger模型，我们报告其单次Trotter步所需的CNOT门数为[234]。相比之下，在混合量子比特-玻色子硬件中实现这些模型所需的纠缠门数为表VIII。

表VIII：对于维中含玻色子物质的-Higgs模型和量子链模型（称为Schwinger模型），在纯量子比特和混合量子比特-玻色子硬件中，单次Trotter步的纠缠门数随希尔伯特空间截断的渐近标度，保留规范场。注意是每个玻色子物质格点处的最大Fock态，或导致希尔伯特空间截断为的自旋长度。玻色子模式的衰减时间随Fock态在硬件中线性增加。量子比特（Fock-二进制） 量子比特-玻色子
-Higgs模型 ()
Schwinger模型 [234]
(147)
-Higgs模型和量子链模型所需的条件宇称数为(148)(149)

图18：混合量子比特-玻色子硬件相对于纯量子比特硬件在规范场论模拟中的优势，假设采用简化的量子比特电路构造。纠缠门计数作为单格点希尔伯特空间截断的函数（上图）和电路保真度作为纠缠门保真度的函数（下图），针对-Higgs模型（虚线）和量子链模型（称为Schwinger模型——实线），包括规范场，纯量子比特硬件（红色）使用Fock二进制编码，与混合量子比特-玻色子硬件（蓝色）比较，两个物质格点单次Trotter步。量子比特-Higgs模型需要平方根，通过两次牛顿迭代计算。门计数在正文中报告；对于全量子比特硬件我们计数CNOT门，对于混合量子比特-玻色子硬件计数（单量子比特门和光束分离器假设为理想的）。我们将希尔伯特空间截断设为系统中的格点数。Trotter误差未计入电路保真度，因为对于此处考虑的电路它是相同的。

最后，我们考虑系统大小为两个格点时执行单次Trotter步的相应电路保真度。在NISQ时代，纠缠门保真度很少超过99.99%[228]，这一考虑至关重要。在保真度计算中，我们假设单量子比特门和光束分离器具有理想保真度。我们绘制电路保真度与纠缠门保真度的关系，在全量子比特情况下对应CNOT门保真度，在混合量子比特-玻色子情况下对应保真度。两种硬件基于相同的量子比特-玻色子电路，因此会遇到相同的Trotter误差（玻色子-Higgs模型映射是精确的）。因此，Trotter误差未计入电路保真度。

在容错时代，理想的保真度只能通过大距离码来逼近，这会直接增加计算的空间-时间体积。因此，即使在容错时代，对于全量子比特硬件，纠缠门保真度仍然是关注点，而非纠错的混合量子比特-玻色子硬件可能提供优势。考虑到将规范场或玻色子模式映射到量子比特时所需的极大电路深度，这一点尤其成立。对于含玻色子物质的-Higgs模型，平方根因子导致纯量子比特器件需要极高保真度的操作，除非我们看到算术方面的实质性算法改进。在这种情况下，混合量子比特-玻色子硬件的实验改进可能使得在相当大的系统尺寸（如本文所述）上推进玻色子模型成为可能。然而，反过来，我们必须注意到，如果需要大的占据数截断，用于原生玻色子硬件的谐波近似可能会失效。由于这些原因，本工作表明存在优势区域，但需要更详细地考虑实验和算法现实以验证这一优势。

这些结果表明，对于基于Trotter的模拟，混合硬件可能显示出优势；然而，量子比特与量子比特-玻色子器件的全面比较很难进行。首先，两者之间的全面比较需要以不可知的方式比较两种硬件的最佳算法实现。这一比较尤为重要，因为其他模拟方法，如量子化或LCU[246,247]，不需要平方根，但代价是增加辅助量子比特的数量。全面比较需要考虑两种硬件平台所有可用算法的优化版本。其次，需要更详细地讨论方法中产生的近似误差（例如大极限或使用BCH近似，以及基于哈密顿量形式的Trotter公式中的不同误差），以正确比较不同方法。基于这些原因，我们不能声称本工作表明模拟或LGT具有普遍优势，但它强烈表明在特定区域可能存在优势，后续工作需要了解这些优势区域的形状和大小。

F. 量子优势的前景

在本节中，我们提出一个小规模玻色子问题，使用经典数值方法和量子比特方法都极具挑战性。它包含大的玻色子数涨落，需要大的局域希尔伯特空间截断。类似问题在物理和化学的社会相关领域中的例子在第I D节中讨论。

我们提出模拟具有大玻色子涨落的大Trotter步长量子动力学作为示例问题。总希尔伯特空间维数为，因此十个具有截断的玻色子格点已经超过了最大约40个量子比特的量子模拟的希尔伯特空间（可用精确对角化）。非精确TEBD算法，即短程一维系统最有效的张量网络时间演化算法，标度为[99]，其中是键维数。因此，对于大的，达到此类经典模拟边界所需的格点远少于量子比特：假设恒定的键维数模拟，单个截断为的格点产生的代价等同于100个量子比特格点。

为了超越渐近标度，即找到经典TEBD数值计算实际变得困难的系统尺寸，我们研究一个初始状态为的一维Z2格点规范理论，即系统中部的两个相邻格点上有16个玻色子，玻色子格点之间的量子比特格点初始化为。该初始状态受到最近在格点规范理论[248]中发现的聚束相的启发，此时电场强度主导跃迁，而跃迁主导局域相互作用。然后我们通过交替使用和门层来演化，其中是玻色子湮灭算符，模拟Floquet型量子模拟，即大Trotter步长时间演化。我们选择的希尔伯特空间截断为、个玻色子格点和个量子比特格点。由于规范理论中存在高斯定律约束，量子比特态完全由玻色子态决定，因此总希尔伯特空间维数等价于20个格点上的32个玻色子数扇区，即。因此，精确稀疏矩阵模拟是不可能的。

我们在图19中显示范数损失作为Trotter步数的函数，以确定TEBD失效的Trotter层数。根据柯西-施瓦茨不等式，范数是模拟全局保真度的上界，其中我们利用精确态归一化这一事实。我们发现，对于键维数400，三次Trotter步足以将保真度降至90%以下。这是极小的可行步数，且需要近一天的单个CPU模拟时间。

图19：格点规范理论长时间演化的量子优势交叉。对于多次Trotter步（每步具有长时间步长），纠缠增长对经典MPS（红色，键维数400，一天模拟时间，保真度代理为TEBD范数损失）具有挑战性，而含噪混合量子比特-玻色子硬件（蓝色）保持更高的保真度（保真度代理为电路不保真度，门保真度预测包括光子损失和退相干，单量子比特门假设理想；近期：，长期：）。对于全量子比特架构，使用当前最佳方法对该模拟进行单次Trotter步需要超过个纠缠门。

为了在现有、近期或最先进的量子比特-玻色子处理器上提供时间演化态的保真度，我们需要了解对于更高Fock态（如）的条件宇称门和光束分离器门的保真度，这些将在聚束相中出现。这些门在高Fock态下的保真度估计不同，因为模式衰减随Fock态线性增加；即，如果的衰减时间为，则的衰减时间为。因此，我们实现了包含光子跳跃算符的Lindblad计算，如量子比特的衰减和退相干，以及腔模的衰减（退相干已被证明可忽略）。这些计算的结果在附录H中给出。我们发现，利用当前可实现的模式与量子比特衰减时间，即使对于高福克态截断，也能够实现高保真度。顺便指出，超导传输子量子比特是模拟中噪声的主要来源，因为其衰减时间远短于腔体。因此，对传输子加入纠错可能有助于解决这一挑战。另一方面，开发针对数字玻色模式的抑制错误方法是一个活跃的研究领域[109–118]。可进一步探索的方法包括先进的错误缓解策略，如概率误差消除、零噪声外推、读取误差缓解、基于学习的缓解、纯度约束，或缓解寄生门的方法。

在图19中，我们展示了使用计算得到的未经错误缓解的量子比特-玻色子门保真度，模拟玻色子晶格规范理论在聚束相中动力学的预期全局保真度。值得注意的是，我们发现，在仅5–10个Trotter步的窗口内，量子比特-玻色子量子计算机就能超越经典TEBD模拟，只需在门时间和相干时间上相对于当前演示值有中等程度的改进即可。这一发现令人惊讶，因为对于量子比特NISQ门保真度而言，如此浅的1D电路通常很容易被经典模拟，这表明有噪声的量子比特-玻色子硬件很有希望在不久的将来在物理和化学的相关问题上达到量子优势——这些甚至在量子比特量子计算机上也可能具有挑战性。事实上，对于纯量子比特量子计算机来模拟此问题，我们需要大约1000倍大的双量子比特门数（参见图17），这意味着只有高度纠错的量子比特量子计算机才能达到未纠错的量子比特-玻色子量子计算机所能达到的保真度。

可能可以创建更好的张量网络算法。例如，我们没有使用文献[99]中基于QR的算法，而是使用了iTensor中的SVD算法，其复杂度为O(χ3)；此外，我们的基于CPU的实现远不如当前GPU方法。然而，模拟此问题所需的键维数随着Trotter步数的增加而急剧增长，根据我们在此展示的结果外推，我们预计要达到五个Trotter步的90%保真度，需要超过当前GPU记录的键维数约[99]，这意味着该问题的经典模拟似乎遥不可及，至少对于这些方法而言是如此。最近，有人提出了一种函数化MPS方法，可以更自然地模拟具有特定输入态的玻色模式[249]，但其在量子比特-玻色子电路中的性能尚不清楚。

我们将结果与TEBD进行比较，据我们所知，TEBD是已知最有效的基于态矢量的一维量子系统算法。探索海森堡图像方法（例如位移传播[250]）是否能为量子比特-玻色子系统提供更好的结果，是一个开放的研究方向。但需要注意的是，基于非高斯态模拟的方法通常会在非高斯门数量上产生指数级成本。尽管如此，已有研究表明，在某些情况下，非高斯性实际上可以使有噪声的模拟更容易。这是否适用于当前研究的模拟，是未来研究的一个潜在方向。

我们没有在模拟中包括其他噪声源，最重要的是克尔项和交叉克尔项（即振荡器的非线性），这可能会改变此处的优势声明。然而，当包含非线性的模型是模拟目标时（例如文献[248]中研究的Z?-Higgs模型或Bose-Hubbard模型），这些项的存在甚至是有益的，因为它们不必被合成。需要注意的是，在纯传输子实现中达到低非线性区域是具有挑战性的；参见文献[251]。

最后，1D可能是经典模拟的“最容易”选择。我们在第三和第四节将数字量子比特-玻色子电路推广到2D，并期望2D电路对经典模拟更加困难。

VI. 测量、算法和数值基准

在前几节中，我们已经介绍了模拟Z?-Higgs模型和U(1)量子链模型（包含玻色子或费米子物质）在(2+1)D中所需的所有编译方法。为了明确演示这些编译方法在实际中的应用，在本节中，我们将它们应用于这两个模型的(1+1)D变体。特别地，我们提出了测量短程和长程可观测量的方案，以及近期（Trotter和变分方法）和长期（量子信号处理）用于动力学和基态制备的算法，并对它们进行了数值基准测试。特别地，为了实现使用VQE方法的近似基态制备，我们展示了如何测量哈密顿量的期望值。我们还开发了一种无辅助比特的方法，利用高斯定律规范约束的筛选进行部分错误检测。

我们在模拟中使用Bosonic Qiskit [77]。每个模式用N_qubits个量子比特表示，N_qubits为系统中玻色子的总数（对于我们的哈密顿量是守恒的），以确保截断模式算符的交换关系在可访问的希尔伯特空间内满足[a, a?] = 1。我们还使用Qiskit Aer [252]包含单量子比特振幅和相位阻尼误差通道，并忽略腔体的光子损失和退相干。对于传输子量子比特，T? = 50 μs [196]。在钽传输子中，已证明T? = 300 μs是可能的[196]；然而，我们选择保守的T? = 50 μs [195]，这意味着纯退相干时间为T_φ = 20 μs。腔体具有非常小的退相干和超过1 ms的光子损失时间[187]，我们的大多数数值示例不涉及高福克态，这证明我们忽略这些过程是合理的。

本节结构如下。在VI A节中，我们讨论Z?-Higgs和U(1)量子链模型的(1+1)D变体、它们的物理性质以及先前方法中解决它们的挑战。在VI B节中，我们研究时间动力学，对Z?-Higgs模型进行数值基准模拟，同时包括主要噪声源。在VI C节中，我们展示这些模型的基态可以使用VQE制备，为此我们引入了一种更适合噪声的优化技术。在VI D节中，我们详细分析如何减轻散粒噪声和退相干的影响。在VI E节中，我们展示如何测量与识别相变相关的可观测量，例如对隙、超流密度和相对于VQE基态的弦序关联函数。在VI F节中，我们提出了关于如何实现具有可证明成功概率的基态制备技术（即量子信号处理）的展望。

A. 模型与物理

首先，我们介绍在本节中用于明确演示的两个模型：包含玻色子物质位点的Z?-Higgs模型和包含费米子物质位点的U(1)量子链模型，两者都在(1+1)D中（见图20）。这些模型是第一节E小节中介绍的一般LGT哈密顿量的特例；下面我们讨论每个模型的细节和实现。特别地，我们可以通过在方格晶格上缠绕“蛇形”图案，使用图4(c)和4(d)中展示的架构来处理一维空间。因此，每个腔体和量子比特代表一个规范场或物质位点。

图20. 第六节中考虑的晶格规范理论示意图。(a) Z?-Higgs模型。玻色子物质（蓝色）由位点上的玻色模式表示，而量子比特表示链上的规范场（灰色）。两者之间的规范不变耦合（绿色）将一个玻色子从一个位点跳到相邻位点，并对链上的量子比特进行相位翻转（通过作用σ^x）。电场项作用于量子比特，作用算符为σ^z。这里，H_t、H_m和H_E分别是方程(150)中的第一、第二和第三项。(b) U(1)量子链模型。物质位点由量子比特表示，链上的规范场由一对玻色模式实现施温格-玻色子编码。它们的占据数示例如用粗线所示；占据数对于顶部或底部模式分别向顶部或底部增加。电场值是组成场模式之间占据数的差（粗黑线）。规范不变跳跃（红色）交换两个相邻量子比特之间的一个激发，同时增加或减少规范场（等同于将一个玻色子从一个组成模式转移到另一个）。每个物质量子比特上的Z项具有相反符号，表示交错质量。这里，H_J、H_m和H_E分别是方程(151)中的第一、第二和第三项。

1. Z?-Higgs模型

Z?晶格规范理论由Wegner引入[167]，作为一个简单的模型，在临界点处显示出禁闭和退禁闭的特征[168]，使其成为早期测试LGT模拟新方法的理想试验台。在没有电场的两维空间中，其基态编码一个自旋-1/2自由度，因此可用于量子纠错[169,170]。具有玻色子物质的Z?晶格规范理论让人联想到粒子物理标准模型中的非阿贝尔SU(2)×U(1)电弱规范扇区（W和Z玻色子）耦合的希格斯扇区，其两个简化是较低维度和用Z?规范场代替非阿贝尔电弱规范场。在(1+1)D中的哈密顿量写为：

H_Z?-Higgs = -t ∑_{?i,j?} (a_i? σ^z_{ij} a_j + h.c.) + h ∑_i (a_i? a_i - 1/2) - J ∑_□ ∏_{(i,j)∈□} σ^z_{ij} (150)

其中符号与引言中描述的相同（见第一节E小节），N_s是链中的位点数。

(1+1)D中硬核玻色子极限n→∞的Z?模型已被深入研究[253]，揭示了绝缘体和卢廷格液体相之间的有趣相变[168,254]。该模型硬核玻色子的数字模拟已在文献[49]中实现。两物质位点和一个规范场位点的基本构件已在超冷原子实验中以Floquet方法实现[27]。然而，由于Floquet加热，这种方法很难在存在位点相互作用U的情况下推广到单粒子极限之外，这在考虑远离硬核玻色子极限的参数区域时很重要。我们的数字实现使该模型的研究具有完全灵活性，包括远离硬核极限的区域。虽然这里我们专注于模型的实现方面，使得能够研究远离硬核玻色子极限的情况，但我们在一篇单独出版物中研究其物理和相图[248]。

2. U(1)量子链模型

约束到θ = 0和费米子物质的U(1)量子链模型[175–179]为：

H_U(1)-QLM = -J ∑_{?i,j?} (ψ_i? U_{ij} ψ_j + h.c.) + m ∑_i (-1)^i ψ_i? ψ_i + (g2/2) ∑_l E_l2 (151)

其中，与方程(3)相比，U的定义相差e^{iθ}，我们设置θ = 0在跳跃项的分母中；即我们考虑极限J→∞。

该模型可以通过引入晶格间距a，通过m = m_0 - 2J/a和g2 = g_02 a将其与连续场论联系起来，并取极限a→0。该模型与(1+1)D中的量子色动力学共享许多性质——手征对称性破缺、禁闭、θ量子反常和拓扑θ项——这产生了非平凡的拓扑真空结构[171,172]。由于符号问题，该模型的θ依赖性无法用量子蒙特卡洛方法研究。规避符号问题的一种可能方法是使用张量网络方法，特别是一维中的矩阵乘积态。使用MPS，U(1)量子链模型的谱已被计算，该模型已在非零温度和非零化学势以及非零θ项下被研究[181–183,255,256]（参见文献[257]的综述）。特别地，文献[181,182]研究了θ = π处的一阶相变，其中C对称性被自发破缺。一阶相变线终止于二阶临界点[181,182]。该模型已在超导量子比特中被广泛模拟[44–48,51,258]。

尽管在利用张量网络研究受符号问题影响的区域方面取得了这些成功，但该方法存在几个局限性。首先，高度纠缠的态，如具有体积律纠缠的态，可能在淬灭后的演化或热态中出现，无法用矩阵乘积态高效描述[101]，这是最广泛使用的张量网络。这种局限性在多重热化动力学中尤为明显，例如不稳定性之后[259]。第二，张量网络算法的计算成本随着所考虑的晶格场论维数的增加而增加。对于MPS，一种特殊的一维张量网络，开放边界条件下变分基态优化的主要计算成本为O(χ3) [102–104]，其中χ称为键维数，表示MPS中的张量大小。对于推广到二维，称为投影纠缠对态[260]，计算成本可能高达O(χ^{10}) [105]。这些成本在键维数上仍然是多项式级的，但在实践中严重限制了可达到的 值。已有关于 和 中规范理论的张量网络研究[261–263]，但在更高维度上设计高效张量网络算法仍然是一个根本性挑战。

对于该哈密顿量[式(151)]，文献[182,264]探讨了规范自由度是否可以用有限维系统高效表示。对于中等耦合值， ，文献[264]证明结果收敛迅速，这意味着即使采用较小的规范场截断值 也可以获得合理的精度。更准确地说，截断的 量子链模型在 从3到9的范围内快速收敛到精确基态，在 时达到亚千分之一的能量密度精度[264]。然而，当接近连续极限时， ，不断增强的电场涨落需要越来越多的态，因此需要越来越大的（直至指数级增长的）截断值，这强烈激励了将混合量子比特-玻色子量子器件应用于 格点规范理论。

B. 动力学

为了展示我们提出的量子比特-玻色子量子模拟格点规范理论的数字方法的威力，我们展示了某些规范约束诱导的动力学可以在近期含噪硬件上被观测到。在此，我们聚焦于 的 -希格斯模型。

我们首先需要制备一个感兴趣的初始态。如第I F节中cQED平台的阐述所讨论的，将模式制备为福克态直积态是直接的。我们考虑一个 -格点链，制备在态 和 上。限制为五个格点在短时间尺度上并不具有约束性；因为相互作用是短程的，激发以有限速度传播，只要“光锥”未到达边界，这里获得的结果就与更大系统中的结果相同。表示 -希格斯模型规范场的量子比特必须根据高斯定律进行初始化，这要求量子比特与每个模式中的宇称之间保持一致：选择最左侧的规范场量子比特处于 ，格点处于福克态 ，则位于玻色子格点之间链路上的规范场量子比特需要初始化为 。同样地，对于处于 的玻色子格点，相应的规范场态为 。规范场态完全由格点态决定这一事实表明，规范场可以被积分掉，这在 中的格点规范理论中通常是成立的。然而，反之则不成立：规范场态并不能完全确定玻色子格点的态，只能确定它们的宇称。这一发现与硬芯玻色子形成对比，在硬芯玻色子中宇称完全确定占据数[168]。另请参见文献[265]，其中在离子阱混合模拟的背景下对这些动力学进行了更深入的考虑。

我们在 下演化初始态 和 的 -希格斯模型。即使使用一阶特罗特化 和时间步长 ，有

(152)

(153)

在第IV节中，我们已经讨论了式(150)中各个哈密顿量项的时间演化算符如何在我们提出的架构中使用原生门来实现。

在模拟结束时，我们测量量子比特和模式的状态。模式占据数的测量以二进制表示逐位进行：首先使用SQR门将玻色子数宇称映射到量子比特上，进行电路中间测量，重置量子比特，测量超宇称，依此类推，这已在实验中得到验证[144,211]。该过程需要电路深度与最大玻色子占据截断值成对数关系。如果表示规范场的量子比特首先被读出，它们可以被重新用于迭代读出它们所色散耦合的腔模的福克态。

为了展示这些动力学可以在近期硬件中被探测，我们在Bosonic Qiskit[77,266]中实现了 门序列，假设 规范场编码在传输子中。为了模拟噪声存在下的动力学，我们需要指定在潜在实验实现中假设的门持续时间，使用第I F节中的硬件。我们假设色散相互作用强度为 。每个特罗特步的持续时间由条件分束器操作主导，其量级为 ，由两个条件宇称门（每个耗时 ）和一个分束器（持续时间约100 ns）组成[91,217]。单量子比特门耗时约10 ns。我们数值模拟中的特罗特步长 ，选择得足够小，以便与精确对角化相比恢复预期的物理行为。我们选择每个电路1000次采样，这既产生了低的散粒噪声误差，又实现了实际的实验运行时间：因为每个特罗特步深度为2，深度为1的电路耗时小于 ，我们需要85个特罗特步演化到 。因此每个电路最多耗时 。我们测量85个电路；因此，使用每个电路1000次采样，获得图21(b)中 实验数据的总预计时间为 。

图21. 传输子退相干存在下的 模型特罗特化动力学。左图：自由跳跃区域 ，初始玻色子态为 。右图：强场区域 ， ，初始玻色子态为 。(a) 使用Bosonic Qiskit的数值模拟结果，选择1000次采样以将散粒噪声误差降低到百分之几，一阶特罗特化，特罗特步长 。(b) 精确对角化结果。

一方面，在无限跳跃强度区域（即 ），从福克态 出发并采用开放边界条件，我们发现玻色子呈线性光锥状传播，参见图21。另一方面，强场强度阻止规范场在跳跃事件中翻转，这导致玻色子被束缚在中心格点上，正如冷原子文献[27,49,253]中所预测和观察到的。引人注目的是，对于强场强度，当从具有偶数初始玻色子数的福克态（如 ）出发时，即使在强场强度区域我们也再次发现线性光锥。我们发现跳跃发生在更慢的时间尺度上。这种跳跃是由强度为 的微扰能量守恒对跳跃过程实现的，其中第一个玻色子跳跃翻转一个量子比特，然后第二个玻色子跳跃将其翻回原始值[248]。尽管存在传输子退相干和更长的时标（演化到 最新时间点的电路需要约 实验时间），这些相干动力学仍可观测且与精确对角化一致。

C. 量子比特-玻色子基态制备与VQE

在本节中，我们展示VQE[267,268]（重要的后续工作参见文献[269–272]）不仅可以在振子或模式上实现[273–275]，也可以在我们提出的混合量子比特-玻色子架构上实现，以制备 -希格斯模型和U(1)量子链模型的基态。VQE是基态波函数的变分拟设，其中若干层幺正算符 作用于某个初始态。我们方法中的幺正算符，有时称为量子近似优化算法，与哈密顿量有关

(154)

其中 是哈密顿量的项， 是它们所作用的格点指标。我们选择

(155)

其中 是待优化的变分参数。拟设中的每个门具有独立角度；我们用 表示角度向量。

在VQE中，经典处理器和量子处理器协同工作以达到基态，执行优化算法更新拟设角度向量 ，并使用量子计算机测量由这些角度 表征的拟设的期望能量。这种VQE过程背后的直觉来自这样一个事实：对于我们选择的拟设、足够大的层数以及特定的 选择，VQE实现了绝热态制备（注意选择与时间成正比的门变量角度用于动力学与选择它们作为基态搜索的优化参数之间的相似性）。因此，我们知道原则上VQE能够制备基态，如果哈密顿量具有足够大的能隙，使得必要的演化时间在量子计算机的相干时间之内。在没有一阶相变的情况下，能隙始终是系统尺寸的多项式函数，因此可以找到高效的态制备路径。在规范理论设置中，以这种方式构造变分拟设还具有满足高斯定律的优势，如果哈密顿量中每一项都单独守恒高斯定律（这对我们下面的情况成立），则恰好如此。如果并非如此，可以通过选择足够小的角度来近似满足高斯定律，从而本质上实现绝热时间演化的特罗特极限。

VQE背后的希望是，通过最小化关于 角的能量，可以找到一个电路，以比绝热态制备所需的更浅的电路制备基态，而在这种数字设置中，绝热态制备将需要特罗特化。下面，我们在cQED架构中讨论 -希格斯模型和 量子链模型在 中的VQE。

1. -希格斯模型

对于 -希格斯模型，第VI C节第一段、式(155)中讨论的拟设所需的 为

(156)

(157)

(158)

(159)

虽然技术上并非必要（其他所有门一起已经能够通过近似绝热演化制备基态），但我们发现包含 在相同层数下比不包含时导致更低的能量误差。上述所有幺正算符都可以使用前面讨论的技术用我们的原生门集实现；特别地， 和 是条件分束器[参见式(19)]， 是单量子比特旋转， 可以使用SNAP门实现（参见第III A 3节，或者备选地，附录B中无辅助比特的实现）。

使用这些资源幺正算符，我们构造一个具有 个场格点和 个物质格点的 -层拟设为

(160)

其中 是易于制备的态， 是该拟设中 个实值角度组成的向量，对 （奇数）的乘积仅包含指标为偶数（奇数）的场量子比特。因此，每层中每个格点上的每个门都有不同的角度需要优化。图22(a)显示了VQE拟设的一层。

由于式(156)–(159)中的 资源幺正算符精确保持高斯定律（在没有退相干的情况下），整个电路演化将发生在初始态选择的高斯定律子空间内。将VQE电路的演化限制在特定子空间内是先前工作中引入的强大技术[276]，在约束优化问题如最大独立集[277]中具有许多应用。这里，我们选择初始态 为一个易于制备且满足高斯定律的态，具体而言，是占据数为1的福克态直积态。

图22. 中 -希格斯模型的VQE。(a) VQE拟设的单层。不同颜色指代不同的哈密顿量项。(b) 无散粒噪声和退相干情况下VQE的数值模拟， 。我们展示估计基态能量 与真实基态能量 之间的相对误差 作为层数的函数，针对不同格点数和单位填充（上图）以及两格点不同玻色子数（下图）的情况。VQE运行之间性能的波动（由随机优化器引起）很小，导致相对误差的波动至多5倍（参见四格点结果偏离光滑曲线的情况；我们展示典型单次运行的结果）。(c) 用于测量能量的三组测量电路：规范不变跳跃（绿色）、电场项（紫色）和每个格点上的在位相互作用（蓝色）。面板(c)中的颜色与面板(a)中的相对应。我们注意到，量子比特测量对应于对 的测量，而模式测量则对应于对 的测量。由于我们的目标是为大系统尺寸提供可扩展的方法，因此以往晶格规范理论研究中使用的全局优化器（如DIRECT）[40]在此并不适用。我们比较了多种优化器（Python SciPy 名称分别为 COBYLA、Nelder-Mead、CG、trust-constr、BFGS、L-BFGS-B 和 SLSQP），发现在所测试的优化器中，SLSQP（序贯最小二乘规划）在无量子比特退相干或散粒噪声的 模型中收敛速度最快，其能量计算是通过直接利用电路态矢量计算哈密顿量的期望值来实现的，不含散粒噪声。

我们发现，VQE 电路（无噪声，因此无采样误差）在分别使用一层、四层和七层电路时，对于两个、三个和四个格点，其基态能量估计值与真实基态能量之间的相对误差约为 ，如图 22(b) 所示。对于两个、三个和四个格点，VQE 平均需要约 、 和 次电路求值，这一增加是由于在单位填充下表示更大希尔伯特空间所需的福克态数量相应增加所致。增加层数会增加变分参数的总数，这可能导致更高的最终保真度；然而，这一结果存在权衡——在存在噪声的情况下，只有浅层电路才能提取出可靠的结果。因此，当使用大量层数时，整体保真度会下降[278]。

此外，我们发现玻色子填充数越高，所需的层数就越多，对于两个格点中的四个玻色子，需要多达四层才能将相对误差降至 以下。这一发现可能与希尔伯特空间尺寸的增大有关，即由于将玻色子分布在一组固定格点上的可能组合增加所致。

为了测量 VQE 优化过程所需的哈密顿量期望值，我们讨论如何分别测量哈密顿量的每一项[269]。场项 是 基量子比特测量的简单求和。单个格点上的在位相互作用项 可以通过使用二分搜索读出法[144,211]读出腔的光子数来测量。这一过程能够实现对 的单次读出，进而可用于重构 。对于规范不变的跃迁项 ，我们面临一个困难：无法通过数基测量腔来直接读出分束器项。相反，我们注意到以下恒等式： (161)其中，我们在跃迁两侧插入了 ，并将表达式改写为变换后态 的形式。因此，就像哈达玛门便于对量子比特进行 基测量一样，我们可以通过经由一个 分束器将模式“旋转”到福克态基，然后进行福克基测量，来测量玻色子跃迁项的期望值。通过将此结果与规范场链 基测量结果相关联，可以重构规范不变跃迁的期望值。

只有对易项才能同时测量；因此，对于 模型，我们执行三个独立的测量电路来估计能量。在图 22(c) 的第一个电路中，同时在所有格点上测量在位相互作用。在同一电路中，也可以测量场项，但这一步必须 precede 在位相互作用的测量，以便规范链量子比特随后可以被重置并用于二分读出。接下来，我们测量一半的规范不变跃迁项，之前先在每个其他规范链上测量电场（ ）。最后，测量另一半规范不变跃迁项，同时测量另一半场点。

总之，在本节中，我们展示了针对混合量子比特-玻色子硬件中可用操作类型量身定制的 -Higgs 模型的 VQE 拟设，确实只需要很少的层数就能确定我们数值上可访问的小系统尺寸的基态，用于原理验证演示。该拟设的实现直接遵循本文第一部分（第 II–IV 节）中提出的方法，这意味着混合量子比特-玻色子硬件将需要比量子比特硬件更浅的电路，如第 V E 节所讨论。然而，在这些原理验证结果之外，还需要做更多工作，以确定电路深度和所需的测量次数作为系统尺寸的函数。

2. 量子链模型

接下来，我们描述如何在 中对式 (151) 中的 量子链模型进行混合量子比特-玻色子 VQE。此外，我们演示如何在我们提出的架构中检测 处的一阶相变。虽然式 (151) 中的模型与 中的量子电动力学之间的对应关系仅适用于偶数个晶格格点（由于费米子的交错），但出于基准测试目的，我们这里也研究奇数个格点。

遵循与 -Higgs 模型相同的方案，我们选择由式 (151) 中哈密顿量的各项生成的资源幺正变换。此外，我们利用第 I E 节中描述的规范场的施温格玻色子映射，并使用 Jordan-Wigner 编码将费米子映射到量子比特（这在 中特别简单）。通过这些选择，我们使用以下资源幺正变换构造 VQE 拟设： (162) (163) (164) (165) (166)这些幺正变换中的每一个都可以使用前面章节中描述的技术来实现。特别地， 和 是原生门——参见表 II。如第 III A 3 节所述， 可以使用 SNAP 门合成。最后，规范不变跃迁幺正变换 和 可以采用第 IV E 2 节中描述的策略来实现。

我们波函数的拟设为 (167)对于 个物质格点。注意，与 -Higgs 模型的拟设相反，每个格点具有相同的参数，因此总共有 个参数。

哈密顿量的期望值可以使用关联测量来测量。为了评估规范不变跃迁项，我们首先使用 将其拆分为 (168)使用我们在式 (161) 中的方法，我们可以将上述方程中玻色子项的测量映射为两个模式的数量密度测量。将这些数量密度与适当的量子比特测量相关联，我们可以测量上述展开中的所有四项。由于我们需要两个电路来测量所有可能的晶格格点 ，因此规范不变跃迁需要八个独立的测量电路。所有其他项都可以通过直接测量模式中的玻色子数[209,211]和量子比特状态来获得。

使用 Bosonic Qiskit [77]，我们实现了这一拟设，并测试了 VQE 相对于层数的收敛性，结果如图 23 所示。对于单个规范场格点和两个物质格点，我们将系统初始化为“真空态” ，其中中间的标签表示 的本征态，并假设能量测量是完美的，即无散粒噪声和退相干。我们发现，一层足以获得 的相对能量误差。这一发现与以下事实相关：该系统的基态为 。对于三个格点，初始化为 ，我们从数值评估中发现需要两层才能达到 的低相对误差，且总迭代次数仅比两格点情况略有增加。

图 23. 中 量子链模型的数值 VQE 结果。我们忽略了散粒噪声和退相干。(a) 通过使用 Bosonic Qiskit [77] 模拟 VQE 得到的估计基态能量与真实基态能量之间的相对误差，针对两个和三个格点的 VQE 结果。(b) VQE 与精确对角化结果的比较。在三个格点系统、四层的情况下，可以在 处看到电场 期望值的一阶相变。自旋长度选择为 。 。

在大 区域， 量子链模型在 的半整数值处具有一阶相变[171,172]。这一特征可以通过取 来简单看出，此时电场项主导哈密顿量，将 钉扎在最接近 的整数处。这一相在有限 下持续存在，直到质量达到 [参见式 (151) 哈密顿量中 和 的定义]。在一阶相变处，基态和第一激发态之间的能隙通常随系统尺寸呈指数级小。因此，我们预期这一转变相对尖锐，即使对于两个或三个格点的小系统也是可见的。因此，它是一个很好的小规模实验原理验证目标。

对于用于通过上述 VQE 拟设 [式 (162)–(166)] 寻找基态的各种 值，我们测量电场（在施温格玻色子表示中） 的期望值。在图 23 中，我们确实发现了对应于 处一阶相变的急剧下降。Bosonic Qiskit VQE 结果与我们的精确对角化结果相符，相对误差约为 。

我们的结果表明，使用混合量子比特-玻色子硬件的 VQE 方法可以为 中的 量子链模型准备两个和三个格点系统的基态。尽管在 中， 量子链模型可以通过积分掉规范场，使用仅量子比特硬件来探测，但这不能推广到更高维度。在这种情况下，每个规范场链将被编码在多个量子比特中，并且哈密顿量操作将非常昂贵，如第 V E 节所讨论。我们方法的另一个可能优势是使用施温格玻色子约束 作为（单光子）损耗错误检测方案。这种方法可以通过测量模式 和 的联合宇称来实现；这在多大程度上能改善来自噪声硬件的结果，是未来探索的有趣方向。

D. 带有硬件和散粒噪声的 VQE

接下来，我们测试我们的方法对退相干和能量测量中散粒噪声的鲁棒性。为此，我们模拟实验中会采用的完整测量方案，并包括量子比特衰减和退相位，这些是这里考虑的小系统尺寸和单位填充下的主要退相干机制[279]（即我们忽略光子损耗）。对于可能出现大光子数的系统，模式衰减将变得显著。本节研究的模型是 -Higgs 模型，其拟设在第 VI C 1 节中定义。我们选择 ，我们预计这是最难模拟的区域之一，因为所有能量项之间存在平衡竞争。我们考虑单位填充下的三个物质格点和两个规范链，需要三个模式和两个量子比特。

我们首先解释如何在实验中测量哈密顿量的期望值。接下来，我们在无散粒噪声的情况下对同步扰动随机逼近（SPSA）优化器[280,281]（与迄今为止使用的 SLSQP 相对）进行基准测试，因为这是带散粒噪声优化的首选优化器。我们研究如何利用先前迭代的平均来改善 SPSA 的收敛性（仍然无任何噪声）。然后，我们在有散粒噪声的情况下运行改进的优化过程。在发现优化初期梯度较大时存在一定程度的散粒噪声独立性后，我们进一步调整程序，在优化过程中逐步增加测量次数。接下来，我们将硬件噪声（量子比特 衰减和额外的纯 退相位）纳入数值模拟。最后，我们通过实施一种后选择程序来保持高斯定律，对结果进行误差缓解。

1. 在能量测量中引入散粒噪声

我们模拟一种用于在福克基中测量腔的二分搜索程序[144,211]。这个过程通常需要每个腔额外的读出量子比特用于测量（即独立于编码规范场链的 transmon 量子比特）。然而，对于 -Higgs模型，我们可以通过首先测量规范场链接，然后将量子比特重新用作模式读出的辅助量子比特来消除这一要求，参见图22(c)。为此，我们在腔测量之前测量并重置场量子比特。在我们的VQE模拟中，我们模拟了完整的二分搜索，这使我们能够模拟由量子比特测量引起的模式测量上的有效散粒噪声。由于散粒噪声，每次实验需要 次电路执行，才能将 估计到加法精度 。

2. 在随机VQE优化中使用平均
在存在散粒噪声误差的情况下，VQE优化要困难得多[272,278]。因此，我们使用SPSA，它特别适合VQE，因为无论优化问题的维度如何，它每次迭代仅评估哈密顿量两次。
在图24中，我们展示了使用SPSA优化器在每次迭代中找到的能量。灰点表示没有任何散粒噪声的优化，我们可以看到它在7000次迭代内没有收敛。
图24. 包含量子比特衰减和散粒噪声的 -Higgs模型的数值VQE结果。此处， 。精确基态能量为 。能量以 为单位绘制，我们展示了三个玻色子位点和两个规范场，ansatz中有四层，并使用SPSA进行优化。对于没有散粒噪声的数据（灰点），绘制了所有迭代。对于其余数据，仅绘制了参数平均的迭代。当进行平均但不包括散粒噪声时（深蓝点），我们每15次迭代对输入变量参数进行平均，对前七次迭代中找到的输入变量参数进行平均。对于浅蓝色数据，我们包括散粒噪声，每1500次迭代后增加测量次数，如灰色垂直线所示。黑点表示与浅蓝色数据相同的程序，但包含硬件噪声，即量子比特衰减和退相位。插图：与基态的保真度作为迭代次数的函数。颜色与主面板中的颜色对应。
已有研究发现，对变量参数进行平均可以提高随机优化的性能[282,283]。在我们的案例中，我们发现SPSA优化器（随机优化器）的收敛性可以通过定期为下一次迭代选择先前迭代的平均参数来改善。因此，我们调整了SPSA优化器的实现，以便在优化过程中执行参数平均步骤：每 次迭代，我们使用最后 次迭代的变量参数的平均值。重要的是， 不能选择得太小以至于平均过于频繁导致样本量过小，也不能选择得太大以至于 ，这可能过度约束优化并导致陷入局部极小值。在图24中，我们展示了对应于 和 的深蓝色数据。我们发现，与没有平均的策略（即 和 ）相比，该策略有显著改进。

3. VQE优化中的自适应测量次数预算
我们现在在能量估计中包括散粒噪声。VQE良好收敛所需的测量次数由能量梯度的大小决定。通常，梯度在初始迭代中较大，随着接近最小值而逐渐减小，这在图24中小于2000的早期迭代的迭代间大波动中很明显（黑点）。因此，在后期迭代的能量测量中增加测量次数是自然的[284-286]。具体来说，我们每1500次迭代将每次迭代的测量次数增加一个数量级（从每次迭代10次测量开始）。我们在图24中显示了得到的能量轨迹，为浅蓝色点。我们发现（对于这个特定的系统尺寸），该方法产生的性能与没有散粒噪声的方案（深蓝色）相似。总的来说，我们期望以固定保真度准备基态所需的总测量次数随系统尺寸呈指数增长；例如，参见参考文献[287]中的经验证据。

4. 包含量子比特退相干、平均和自适应测量次数预算的VQE结果
最后，除了上述基于散粒噪声的能量测量外，我们在模拟中加入了实验中硬件的主要噪声源——量子比特衰减和退相位。这个过程需要指定VQE ansatz中每个门的持续时间。ansatz在第VI C 1节中解释——参见图22(a)的电路图。在方程(156)–(159)下方，我们解释了如何使用原生门实现每个资源酉操作。总的来说，一层ansatz的深度包括四个条件分束器和SNAP门。我们假设色散耦合的值为 。在这种情况下，条件分束器的最大持续时间约为 ，包括两个条件奇偶性操作，每个耗时 ，以及一个分束器，持续时间为250 ns（100 ns已被证明是可行的[91,217]）。我们不包含持续时间抵消，尽管有各种可能性。例如，作用于同一振荡器模式和量子比特的两个连续条件分束器可以抵消彼此的奇偶性操作，导致总时间为 。我们还注意到，原则上，持续时间取决于门参数，在实验中可能导致比此处估计更短的持续时间。SNAP门耗时 [200]。一层VQE的总持续时间大约为 。四层（ ）因此完全在量子比特（ ）和模式（ ）的衰减时间之内。因此，模式的 态衰减的概率为4%，量子比特在四层ansatz电路中衰减的概率为20%。虽然在相图的大多数区域，高激发模式态的占据很小——因此模式衰减（以及其他非理想效应如自Kerr[192]）的影响极小——但在 较小时的超流相和团块相中情况并非如此。在这些情况下，模式衰减可能有显著贡献。我们将此效应的研究留待未来工作，并在整个过程中忽略光子损失。
我们在图24中以黑点显示了包括平均、自适应测量次数预算和量子比特衰减的优化结果。将此结果与没有量子比特退相干的浅蓝色优化结果相比，我们发现量子比特退相干导致约 的显著能量误差。然而，我们仍然发现能量远低于第一激发态。因此，我们期望与基态有合理的重叠。为了检验这一期望，我们在图24的插图中绘制了与基态的保真度，颜色与主图匹配。我们看到，对于排除衰减和退相位误差的模拟（浅蓝色和深蓝色），保真度保持很高，遵循与能量相同的趋势。
我们还注意到，在存在噪声的情况下，优化的总运行时间很短：我们发现在大约3000次迭代后能量误差低于第一激发态的能量，总测量次数少于 ，如果这个实验在当前仅受门时间限制的超导硬件上运行，总量子运行时间不到10秒。

5. 基于高斯定律的后选择
格点规范理论遵循的守恒定律，如高斯定律和粒子数守恒，可用于在存在硬件噪声时丢弃非物理的测量结果，实现部分错误检测。
为了使用高斯定律进行错误缓解，我们必须对实验的每次测量结果测量算符 [参见方程(2)]。对于 中的 -Higgs模型，高斯定律读作
(169)
对所有 成立。由于高斯定律与哈密顿量中的所有项对易，可以在同一次测量中测量所有 的高斯定律以及状态的能量。这个过程需要电路中间测量，最常用的是哈达玛测试[288–291]。然而，哈达玛测试涉及辅助量子比特，而我们没有辅助量子比特可用。因此，我们在下面提出一种避免辅助量子比特的方法。与图22(c)中所示的测量电路相比，该方法需要额外的门和测量。我们还讨论了，即使对于图22中描述的测量电路（即没有额外的门和测量），高斯定律也可以被部分检查。
第一种方案受到参考文献[292]中测量环面码稳定子方案的启发。关键观察是哈密顿量的各个部分与高斯定律对易；因此，我们可以对每个测量单独检查高斯定律。对于规范不变的跳跃项的测量，将方程(161)中的分束器替换为条件分束器，直接对模式的粒子数算符进行测量即可得到规范不变跳跃项的测量。更明确地说，

(170)
因此，将模式 和 的粒子数测量与条件分束器共轭，可以得到规范不变跳跃项的测量，而无需测量量子比特，如图25(a)中电路的绿色部分所示。关键是，可以检查由 和 单独有效测量的算符也与高斯定律对易。因为 与规范不变跳跃项和高斯定律都对易，所以可以同时测量。然后，高斯定律由图25(a)中黑白所示的电路测量。它依赖于以下事实：将量子比特 算符与SQR门共轭得到 ，参见方程(29)。类似地，与哈达玛门和CNOT共轭将 转换为 。总之，这个过程将测量 转换为测量高斯定律算符 。因此，这两个测量允许在测量规范不变跳跃项的值的同时，在同一次测量中对高斯定律进行全面检查。该方案需要额外的门。
图25. 基于高斯定律的无辅助量子比特后选择方法。(a) 规范不变跳跃项和电场项的测量电路[参见图22(c)]。此处以允许在每个位点测量高斯定律的方式进行调整，黑色和白色，在同一次测量中。灰色门仅当需要在电路上执行更多操作时才需要。因为高斯定律的测量与规范不变跳跃项的测量对易，所以它们可以以任意顺序执行。(b) 浅蓝色的密度测量电路，用于计算位点项的值。它与 对易，因此我们可以使用测量结果对 进行局域检查，丢弃违反高斯定律的测量结果。规范不变跳跃项的测量[参见图22(c)]与 不对易，因此我们无法对每个位点进行高斯定律检查。然而，乘积 与这些电路对易，允许对成对位点进行高斯定律检查的后选择。(c) 噪声模拟的单量子轨迹与我们所选高斯定律扇区中的本征态 的保真度 作为本征能量的函数。与高斯定律扇区外的状态没有重叠的轨迹以蓝色显示；其他轨迹以红色显示。注意，红色状态的保真度之和不等于1，因为我们没有显示与高斯定律扇区外状态的重叠。能量以 为单位。在第二种方案中，我们不需要额外的门，而是提出一种基于我们在VQE背景下已经可以获取的信息的“部分”错误缓解形式：图22(c)中所示的哈密顿量项测量。该方案无法对每个物质位点进行高斯定律的局域检查（这就是为什么我们称之为“部分”），因此仅略微改善了结果。这三个测量电路不对易；因此，每次实验只能使用一个。粒子数密度的测量电路[如图22(c)所示]对每个模式进行光子数测量，因此可以与对每个量子比特的 测量结合，以检查每个位点的高斯定律[参见图25(a)]。然而，其他测量电路[见图22(c)]并不适用于在每个格点处测量高斯定律，因为某些量子比特单独沿测量（对于重叠区域，该测量单独与不对易），并且每个格点的模式占据数未被解析。然而，在这些电路中，我们测量每条交替规范链，并能够进一步分辨中间模式对中的总光子数。因此，我们可以对被阻隔的格点对进行高斯定律校验：(171) 这种可能性如图25(b)所示。因此，我们可以对估计能量所需的全部三个测量电路进行有效高斯定律保持态的后选择。该方案仅捕捉单个高斯定律违规，而非两个连续格点上的错误。

我们模拟完整的高斯定律后选择（第一种方案），并重点关注其对能量测量的影响。为此，我们采用在噪声模拟中找到的最终VQE参数（即图24中黑点的最终迭代），并在VQE电路中加入硬件噪声运行模拟，但忽略测量电路中的噪声。然后，我们检查噪声模拟的每个量子轨迹中是否发生了错误。无误差轨迹与基态表现出约96%的高重叠度[参见图25(c)中蓝线]。对于有错误的轨迹，我们投影到正确的高斯定律扇区。我们投影出的波函数部分的范数给出了需要丢弃的测量次数的估计。我们发现需要丢弃13%的测量次数。我们在图25(c)中用红色显示了其中一些态与正确高斯定律扇区中本征态的重叠度。这些态与基态仍具有较大重叠，但也与激发态有一定重叠。为计算平均后选择能量，我们重新归一化投影后的态并对所有轨迹求平均。我们发现后选择能量为，相比之下，无后选择的结果为，精确基态能量为。这一发现约对应于基态和第一激发态能量差值的20%。

在我们的模拟中，我们发现84%的量子轨迹无错误。这一发现与单量子比特的退相干存活概率大致一致，其中，只有其中一个量子比特从开始，另一个从开始，总电路持续时间为，即。无错误的轨迹具有能量。发生错误的轨迹的平均能量为。高斯定律后选择将噪声轨迹的平均能量降低至，其中剩余能量误差源于同一高斯定律扇区内的噪声过程。因此，我们发现，消除将我们带出正确高斯定律扇区的错误，可大幅降低噪声引入的能量误差。

可以基于这种高斯定律校验设计更精细的缓解方法。例如，我们注意到可以在不同格点交叉校验，不仅可检测是否发生了错误，还可确定其位置。这种方法不仅为无错误情况下的后选择提供了可能，还为开发额外的新颖误差缓解技术开辟了道路，其中误差可以被部分校正。此外，如果误差在空间上不连通，以至于可以确定其已扩散到感兴趣区域，那么可能需要在计算该区域的局部可观测量时保留该测量次数。除了使用规范对称性的后选择[293]之外，此处提出的- Higgs模型的VQE实现也适用于其他常用噪声缓解技术，如零噪声外推[294,295]和概率误差消除[294]。后选择的一种替代方案是在哈密顿量中引入附加项，通过预thermalization[296]或规范保护的伪生成元[297,298]来强制对称性约束。

E. 测量可观测量

在表征了混合量子比特-玻色子VQE态制备的能量误差和与真实基态的重叠度之后，我们现在展示如何在所提出的cQED架构中提取相关的可观测量。虽然我们对基态的可观测量测量进行了基准测试，但原则上测量方案可应用于任何态。

1. 检测VQE制备的基态中- Higgs模型的相

在图26中，我们计算了- Higgs模型中随格点内相互作用变化的不同规范不变可观测量，这些可观测量是关于一个具有四个玻色子格点和三个规范场格点系统的VQE基态，该系统使用无噪声模拟和SLSQP优化器求得。我们将结果与精确对角化结果进行比较。我们发现所有VQE可观测量与精确结果吻合良好，这符合图22中该小系统尺寸下发现的较低相对能量误差。

图26. 在VQE基态估计上测量的关联函数。可观测量定义如下。宇称：。团块：。涨落：。对跃迁：。弦序关联器（也称为规范不变弦序关联器）：。系统包含四个玻色子格点和三个规范场格点。单位填充，即系统中有四个玻色子，且。误差棒表示五次具有四层的VQE模拟的标准差。

重要的是，尽管系统尺寸较小，我们仍能看到随着扫描[248]，三种定性不同状态的特征。这三种状态由蓝色（最右）、红色（中间）和黄色（最左）线表示，分别代表莫特绝缘相、对超流相和“团块相”——一种规范场微扰地产生玻色子间最近邻吸引的相，导致玻色子在同一格点上“团聚”在一起[248]。对于四个格点，我们将“团块序参量”定义为与所有四个玻色子占据同一格点概率成正比的量（定义见图26标题）。该可观测量确实对于小的[248]变得很大。（莫特）绝缘态的特征是系统中粒子缺乏扩散。我们观察到这种效应在弦序关联器和配对跳跃中的特征，两者在大的情况下都较小。此外，格点内涨落在绝缘态中也较小，如预期。最后，宇称趋向于，表明每个格点平均占据为奇数。相比之下，在超流相中，粒子扩散得很远。在- Higgs模型的情况下，由于规范场的存在，单粒子保持局域化，而两个粒子可以扩散[248]，这在大的配对跳跃和涨落中可观察到。此外，具有单个玻色子的态的贡献被抑制，我们从宇称趋向于可以看出。

在展示了不同相的特征可从VQE模拟中发现之后，我们现在讨论如何在我们提出的cQED架构中测量不同的可观测量。

2. 测量弦序关联器

规范不变弦序关联器在去禁闭相中较大，在禁闭相中较小。其定义为。为了测量通过VQE制备的基态上该关联器的值，我们需要将规范场量子比特的测量与两个玻色子格点的分束器算符的测量相关联。我们注意到，一种可能性是调整第VI D 1节中的方案，通过使用玻色子SWAP来测量长程跃迁。通常，这种测量需要与距离成正比的时间。或者，我们在这里提出一种使用零差测量的单独策略来测量这种非局域可观测量：首先，我们展开，其中和分别是玻色子的位置和动量算符，使得(172) 因此，我们必须进行相关测量，以及（以及，分别地，和）。为了测量，我们使用通过位移实现的Hadamard检验，该位移以辅助量子比特为条件，定义为（见表II）。选择任意实数角度使得，我们得到。在应用小角度的Hadamard检验电路（图27中展示）后对辅助量子比特进行测量，则得到(173) (174)

为了测量弦序关联器的第一部分，我们同时执行两个Hadamard检验以关联格点和；即，在两个格点和上应用Hadamard电路后，我们测量(175) 类似地，我们测量弦序关联器的第二部分，即涉及相关的部分，通过使用条件位移与。

图27. 作为条件位移所选小角度函数的弦序关联器测量。右上图显示了使用条件位移的相位反冲[211]测量振子量的量子电路。在主图中，我们运行完整的VQE模拟并使用正文中讨论的方案测量弦序关联器；即，我们通过添加两个辅助量子比特，用方程(176)右侧近似测量弦序关联器。黑线通过精确SLSQP优化获得，误差棒包括使用SPSA优化的散粒噪声。在两种情况下，我们考虑三个格点、两条规范场链，以及。绿色高亮区域指示了优化精度（小）和精度（越小，精确测量结果所需的测量次数越多）的总体区域。

总之，我们得到(176)

为了检验我们是否能处于小的区域，同时仍能以合理的测量次数准确测量弦序关联器，我们使用Bosonic Qiskit模拟该测量，参见图27。我们发现选择足够，需要约次测量，这符合散粒噪声的统计不确定性预期。请注意，对于该测量，我们不需要额外的辅助量子比特，因为我们可以将弦序关联器支持之外的规范链量子比特用于此目的。最后，我们指出，也可以使用量子信号处理方法（见附录E）来提取，类似于方程(173)，但使用更大的值。该结果可以通过对信号施加目标函数来实现；如果，则该过程输出，同时需要对进行次查询[299]。

3. 测量超流密度

一维中的超流密度由[300,301]给出：(177) 其中是在存在“扭曲”周期边界条件下的基态能量，是相邻格点之间的跃迁矩阵元。相位由两个边缘之间的相位差给出；例如，对于- Higgs模型，我们有(178) 其中全部累积相位由两个边缘格点之间的跃迁项包含，其中定义在方程(150)中，是格点数量，表示链上所有链的规范场算符乘积。为了测量，我们可以遵循第VI D 1节中概述的一般步骤。估计劲度的过程如下：我们首先为一系列小的值制备基态。为此，我们扩展第VI C 1节中的变分拟设以包含边到边跃迁。一旦制备完成，我们通过有限差分方法或替代地通过更复杂、抗噪声的技术（如参数平移规则[302]）来估计方程(177)。

实验上，在硬件中实现边到边跃迁不需要周期边界条件。在两个末端模式之间合成一个条件分束器，并利用其实现哈密顿量中的边到边跃迁项就足够了。我们可以使用表III中定义的玻色子SWAP门在链的边缘之间合成一个分束器，将模式信息从链的两个边缘移动到相邻格点，在模式之间执行所需操作，然后将信息SWAP回来。

F. 使用量子信号处理的量子比特-玻色子基态制备

虽然上述我们采用了启发式VQE方法近似制备基态，但被称为QSP算法的新发展提供了一种替代的基态制备方法，具有可证明的精度和保证。在这里，我们对VQE和QSP在 -Higgs模型基态制备方面的表现进行简要比较。QSP最初由文献[303,304]提出，提供了一种系统性的方法，可将几乎任意的多项式变换应用于嵌入酉矩阵中的线性算子[299]，从而为量子算法提供了一个统一框架[75,299]。简而言之，QSP的工作原理是将该酉矩阵与一系列可参数化的SU(2)旋转交替排列；示意图见图28。该序列的输出是初始线性算子的多项式变换的嵌入，由所选择的SU(2)旋转参数化。关于QSP的更详细介绍，请参见附录E。

图28. 使用量子信号处理进行基态制备的考虑。(a) 利用量子信号处理制备基态的电路，改编自文献[305]。参数可以选择为使得在投影到 后，得到的态是基态 的良好近似。注意，该电路与 交替排列，这不同于通常的QSP构造；这种修改是为了生成关于 的多项式变换（即 ），并更好地近似投影到基态子空间的投影算子。(b) 对于 -Higgs模型，在 ，三个玻色子格点，两个规范场格点的情况下，VQE和QSP的保真度（与精确基态波函数）与求解时间的关系。对于VQE，主要误差来源是与精确基态的保真度损失；对于QSP，主要误差来源是失败概率。详情请参见附录F。

在附录F中，我们说明了QSP如何提供一种基态制备算法，如文献[305]最初提出的在早期容错量子计算机上实现的方式。在这种场景下，考虑哈密顿量 ，其谱隙下界为 ，目标是制备其基态，保真度大于或等于 。作为该算法的输入，假设可以访问一个易于制备的初始态，该初始态与基态的重叠大于或等于 。还假设可以访问时间演化算子 ，例如通过Trotter化实现。为了避免混叠，假设 的特征值位于 范围内；否则，可以实现一个重缩放的时间演化算子 以满足这一约束。

在这种设置下，该算法使用QSP来近似投影到基态的投影算子，然后将其应用于初始态，以投影掉其平行于基态的分量。该算法最终需要电路深度为 ，对应于对受控时间演化 的这么多次相干查询。该电路重复 次，以高概率制备基态。该算法的电路如图28所示。

近期研究表明，QSP可以自然地实现在CV-DV量子处理器上[57,306]，使其适用于本文研究的LGT模拟。为了举例说明使用QSP进行基态制备的要求，让我们考虑在 个格点和耦合 情况下的 模型，如第VI.D节所研究的那样。我们也使用与上述相同的初始态，数值上它与基态的重叠为 。在这种场景下，VQE产生的基态保真度损失为 （见图24）。为了使用QSP实现类似的性能，我们在附录F中的计算表明，QSP方法需要对受控时间演化 进行大约50次查询。使用第VI.B节所述的一阶Trotter化，单个这样的Trotter步长大约需要每个格点三个受控量子比特-玻色子门，粗略总计大于或约 个量子比特-玻色子门，这比VQE昂贵得多。

这种过高的电路深度表明，基于QSP的基态制备只有在量子比特-玻色子门保真度损失远小于 时才能变得实用并与VQE竞争，而目前量子比特-玻色子门的保真度损失约为 [201,307]。此外，即使可以实现这样的门保真度，如果没有基态的先验知识，QSP电路的重复次数通常会随系统大小呈指数增长（见附录F）。然而，这种缩放是可以预期的，因为通用的基态制备是QMA难的[308]，当然，VQE基态制备在没有任何先验知识的情况下也预计需要随系统大小呈指数增长的资源。

在图28中，我们将VQE和QSP在 模型的上述场景中的性能进行了比较。对于两种方法，我们绘制了主要误差来源与求解时间的关系，假设底层电路中没有门误差。VQE的主要误差来源是与基态的保真度损失，而对于QSP，则是失败概率（详见附录F）；求解时间取为电路深度乘以采样次数。对于VQE，增加深度（即层数）可以增加与基态的保真度，但也会导致高维优化问题，该问题遭受贫瘠高原的困扰，并且需要高采样次数以促进优化[275]。另一方面，QSP需要相对更深的电路来估计投影到基态的投影算子，以及适度的采样次数来成功投影出基态。顺便指出，图28的经验结果表明，两种主要误差来源随求解时间的缩放相似，这意味着它们的总资源成本是可比的。这一推论的出现是因为我们的VQE电路深度较浅但需要大量采样，而QSP电路较深但需要较少采样。我们推测，这种看似普遍的行为源于这样一个事实：基态制备的复杂性从根本上由哈密顿量的谱隙大小决定，而与用于估计基态的算法无关。无论如何，这一分析意味着VQE更适合于门保真度低和相干时间短的场景，而QSP在门速度快但电路重复代价高的情况下更为有利。

VII. 结论与展望

总之，在本文中，我们开发了一个资源高效框架，用于使用量子比特-玻色子量子计算实现费米子-玻色子量子模拟，涵盖包括 和 中的格点规范理论在内的多种模型。为此，我们开发了一系列编译工具和子程序，以使用电路QED硬件中天然可用的量子比特-玻色子门集来实现多体相互作用项。特别是，我们开发了宇称控制的、密度-密度玻色子门和振子介导的多量子比特门作为基础子程序，这些在我们的模拟动机之外也很有用。在LGT的背景下，我们展示了如何对transmon和双轨量子比特费米子编码实现规范不变的跳跃项。我们还提出了一种实现 规范场磁场项的方法。

为了比较编译的前因子，我们开发了一种在Fock-二进制编码中的高效全量子比特算法来模拟玻色子跳跃项。通过进行包括门综合误差在内的端到端门复杂度分析，我们表明我们的方法在规范不变跳跃项方面实现了从 到 的渐近改进（以玻色子截断 为基准），在磁场项方面实现了从 到 的改进。

然后，我们将编译策略应用于一些最相关的量子模拟任务——基态制备和时间演化，为此我们开发了一种量子比特-玻色子变分量子本征求解器方法。我们通过在Bosonic Qiskit中对 -Higgs模型和 中的 量子链模型进行数值模拟，对我们的混合量子比特-玻色子方法进行了基准测试，并证明了低深度量子比特-玻色子电路可以为小系统制备与基态高度重叠的态。特别是，在 量子链模型中，对于三个物质格点，仅使用两层拟设就发现了小于 的相对能量误差。另外，我们在电路QED架构中主要噪声源——transmon衰减和退相干的存在的条件下，模拟了 -Higgs模型的时间动力学和VQE。然后，我们开发了一种在VQE电路中基于高斯定律进行后选择的方法，利用了哈密顿量中每一项都单独守恒高斯定律的事实，并表明使用这种方法可以达到基态与第一激发态能量差值的20%的能量误差。我们还展示了如何在我们方法中测量非平凡观测量，包括超流刚度和弦序关联子。最后，我们讨论了量子信号处理——一种具有性能保证的本征态制备的替代方法——如何在量子比特-玻色子系统中实现，表明其在固定误差下的求解时间与VQE相当。

A. 量子优势的前景

对于NISQ时代的模拟来说，重要的是误差不会完全破坏待观测的信号。在腔中，Fock态 衰减到 的概率与 成线性关系，因此对于大的 值，特别是量子计算的背景下，可实现的保真度面临挑战（例如，参见文献[57]第II.E.2节）。相比之下，当使用Fock-二进制编码将玻色子映射到量子比特时，处于编码Fock态 的概率具有衰减率，其缩放为 和 。然而，Fock-二进制编码这一明显优势在考虑可观测量时并不会直接体现。正如我们在附录G中讨论的，对于腔和量子比特，即使是诸如 这样的非线性可观测量，其衰减率也是 阶的。这一发现类似于多量子比特系统中，即使态的全局保真度基本为零，局域可观测量的误差也可以很低[309,310]。因此，腔中Fock态的衰减率随Fock态数线性增长，在考虑这类局域可观测量时不必导致量子模拟的特别困难。此外，Fock-二进制编码中由量子比特衰减引起的有效误差在 上是高度非线性的，并且也导致占据数的大幅跳跃。例如，Fock态 ， 立即衰减到 ，导致一次有效损失 个玻色子。具有诸如在位相互作用等非线性项的哈密顿量演化，在存在依赖于Fock态损耗的情况下，可能导致高度相关的误差，而玻色子硬件则不是这样，其中初始Fock态的衰减率 是Fock态数的光滑函数，且在单次衰减事件中，只有一个玻色子被丢失。最后，在腔QED中，玻色子损耗远慢于量子比特衰减（衰减率 ，某些腔已表现出 ），腔的优异相干性由最近实验制备的具有多达1000个光子的相干（即确定宇称）光子猫态所证明[187]。因此，振子中误差的不同性质更接近玻色子系统中出现的物理误差，与全量子比特模拟玻色子系统相比，可以为量子比特-玻色子硬件带来优势。

关于量子优势的前景（关于玻色子量子计算优势的讨论，参见文献[311]），我们认为在玻色子数涨落较大的区域中，从Fock态开始的非平衡动力学将对经典模拟构成挑战：广泛使用的张量网络时间演化块收缩算法随键维数的三次方和玻色子数截断的平方缩放[99,100]。蒙特卡洛方法在非平衡和实时动力学方面存在困难，而诸如截断Wigner近似[108]等半经典方法在处理非高斯初始态时也面临困难。最后，暴力稀疏对角化方法在大系统中存在困难——我们预计，对于 个玻色子格点、每个格点平均两个玻色子的系统尺寸，当考虑导致大玻色子涨落的初始态（如 ），其动力学将难以模拟，因为在这种情况下截断需要基本上由系统中的玻色子数 给出，导致希尔伯特空间大小为 。迄今为止最大的模拟已达到小于 的希尔伯特空间大小[98]。因此，我们期望在 时超越经典稀疏矩阵方法的可模拟性。这一预期与仅量子比特模拟形成对比，后者需要 的系统才能达到超越经典计算的区域[312]。

B. 未来方向

我们的研究为使用天然量子比特-玻色子硬件模拟玻色子-费米子-规范场系统开辟了一条有前景的路径。与基于量子比特的硬件相比，这种方法在模拟具有强玻色子数涨落的系统时将最具优势，例如在混沌场论演化中[313]，因为这种情况需要较大的截断，从而需要合成平方根因子（当作用于产生和湮灭算符时），而这类因子在全量子比特硬件中的合成成本很高。与经典或模拟方法相比，我们数字方法的一个关键优势在于其通用性——我们的方法可以模拟与硬件拓扑不匹配的拓扑结构。例如，三维模型原则上可以映射到二维阵列，但代价是需要通过SWAP门实现长程纠缠门。或者，也可以采用全息方法[314,315]。将我们的方法扩展到非阿贝尔规范理论，最重要的是模拟弱力和强力，是当前最紧迫的任务。为此，我们的施温格玻色子方法可以相对直接地进行推广[176,316]，我们预计会出现与场论情形类似的扩展优势。我们的许多编译流程是手工推导的。在初步工作[317–319]的基础上，寻找更系统的量子比特-玻色子编译流程，可能会进一步带来新的高效编译方法。量子比特-玻色子量子模拟的许多应用，例如分子的振动电子激发或凝聚态物理中的声子-电子相互作用，表现出与量子比特-玻色子硬件中存在的退相干过程类似的机制。这种相似性为开放系统动力学的混合量子比特-玻色子数字模拟开辟了方向，这将是下一个值得探索的有趣课题。在含噪声的量子比特硬件中，由于物理损失过程与上述福克-二进制编码中的玻色子损失并不相似，因此这种模拟不可能立即实现。展望未来，超越含噪声模拟，我们的工作激发了对玻色子纠错码的研究，即直接编码玻色子逻辑算符的码[110]，这类码可以与量子比特码级联[320]，或与模拟误差缓解技术结合[321]。此外，探索我们提出的混合量子比特-玻色子方法是否也能在非基态的平衡态制备中带来优势，将是有趣的。为此，可以采用量子信号处理[75]、基于滤波的方法[322–325]或热化方法[326,327]。另一个有趣的方向是开发动力学量子模拟的明确基准，例如弦断裂和粒子散射问题[26,51]，以更好地比较混合量子比特-玻色子方法与纯量子比特方法。虽然在腔QED硬件中具有挑战性，但可以尝试在光子平台[328]中实现，或者通过将我们的方法与中性原子阵列中的数字费米子量子处理相结合[53,74,329]，探索一种纯粹本征的费米子-玻色子问题方法，其中玻色子可以编码在光镊中原子的（力学）谐振子自由度中[57,73]。