E(3)等变消息传递网络耦合变分量子电路读出的混合量子-经典机器学习势：液态硅DFT能量与力预测及有限测量散粒评估

《RSC Advances》：Hybrid quantum-classical machine learning potential with variational quantum circuitsOpen Access

　　

基于等变消息传递神经网络的机器学习势（MLP）已在原子模拟中达到先进精度，但将变分量子电路（VQC）读出集成到此类框架并用于凝聚态体系仍未被探索。研究人员通过将E(3)-等变消息传递网络与VQC读出层耦合，采用并表征了一种混合量子-经典机器学习势（HQC-MLP），用于预测液态硅（64个原子、周期性晶胞、2000–3000 K）的密度泛函理论（DFT）能量与力。研究人员对五种VQC拟设（Ansatz）架构进行基准测试，这些架构在纠缠门类型（控制Z（CZ）与控制X（CX））和电路结构上不同，并与经典基线比较。所有HQC-MLP变体在使用精确期望值评估时，以约3.5 meV/原子的测试集均方根误差（RMSE）复现PBE-DFT能量；纠缠电路在训练轮数（epoch count）上表现出更快收敛，但在实际耗时（wall-clock time）上并非如此。基于CZ的纠缠门较基于CX的对应门获得更低验证损失。该趋势与两个因素一致：CZ门对振幅编码特征的相位保持性质，以及其有效纠缠深度降低，因为最终CZ层与Pauli-Z测量算符对易。分子动力学（MD）和蒙特卡洛（MC）模拟均准确复现2000 K的DFT径向分布函数（RDF），尽管模型仅在3000 K构型上训练；MD还复现Si–Si–Si键角分布。有限测量散粒分析进一步表明，相对于无散粒噪声期望值达到约2 meV/原子的RMSE，需要每次电路执行约5 × 10⁴次测量散粒。这对应于单构型力评估约2.56 × 10⁸次散粒，使直接力计算在当前噪声中等规模量子（NISQ）硬件上过于昂贵，从而推动所提出的MC协议。最后，截断半径敏感性分析显示，HQC-MLP表现出与经典MLP相当的截断行为。

该文围绕混合量子-经典机器学习势（HQC-MLP）在凝聚态体系中的应用展开。基于等变消息传递神经网络（equivariant message-passing neural network, MPNN）的机器学习势（MLP）在原子模拟中精度较高，但将变分量子电路（VQC）读出用于凝聚态体系尚未被探索。经典MLP虽已成功用于大尺度材料模拟，仍难以刻画非局域电子关联；密度泛函理论（DFT）随体系规模增长成本高，从头算分子动力学每个构型均需较大计算投入。量子机器学习的潜在优势尚不明确，经典基线常不逊于原型量子模型；量子机器学习势还需将本质经典的局部化学环境映射到量子比特，而该经典到量子数据变换无已知量子加速。已有VQC用于小分子势能面，但系统自由度少，直接扩展到凝聚态体系困难。研究人员因此将VQC作用于经典E(3)-等变MPNN产生的紧凑不变节点特征，而非直接作用于原子结构，以降低量子计算成本并保留结构信息。其目标不是证明相对DFT降低总成本，而是考察VQC架构与E(3)-等变MPNN的有效集成、近 term量子设备所需测量散粒预算，以及纠缠门选择对训练动力学和泛化的系统影响。研究对象为64原子周期性晶胞液态硅，训练构型采自3000 K，2000 K DFT轨迹仅作结构参考。

关键技术方法方面，研究人员采用QuickStep/CP2K进行Born–Oppenheimer分子动力学（BOMD）：64个Si原子、10.862 ?立方周期晶胞、PBE、DZVP、400 Ry，3000 K采样1880个构型并划分为900训练、100验证、880测试；另做2000 K BOMD仅用于结构参考。模型为5层E(3)-等变MPNN，节点特征8维，读出层由AngleEmbedding、3层VQC拟设和Pauli-Z测量构成；比较Basic、BasicEntanglerCX/CZ、QFTEntanglerCX/CZ五种Ansatz。训练在PennyLane/JAX上以态矢量模拟执行，采用AMSGrad优化；以ASE进行2000 K NVT MD、以Metropolis–Hastings进行MC评估RDF，并开展有限测量散粒和截断半径r_cut敏感性分析。

4.1 HQC-MLP模型的训练（Training of HQC-MLP models）。通过3000 K DFT数据集训练、验证曲线和独立测试集评估，所有HQC-MLP变体在精确期望值下取得测试集RMSE_E约3.5 meV/原子、RMSE_F约0.22–0.27 eV ?^?1，与早期神经网络势相当。纠缠模型在epoch数上较经典机器学习势（CMLP）收敛更快，CX更快但更早过拟合；无纠缠Basic接近CMLP，表明仅以VQC替换经典读出不足以加速，纠缠是加速来源。CZ较CX验证损失更低、过拟合较晚；量子傅里叶变换（QFT）模块未产生系统泛化优势，主导架构因素是纠缠门类型。匹配协议下r_cut=4.5 ?时HQC-MLP的RMSE_E为3.7 meV/原子，CMLP为3.2 meV/原子，差异接近随机种子噪声。epoch加速不构成实际耗时优势：8量子比特HQC每epoch为CMLP的1.25–1.31倍，QFT变体为2.35–2.71倍；达到共同验证力误差时，8量子比特变体实际耗时为CMLP的0.83–1.15倍，QFT变体约2倍。机制上，CZ条件相位翻转保持AngleEmbedding编码的振幅信息并引入相位关联，CX条件比特翻转置换振幅、可能破坏平滑编码；最终CZ层与Pauli-Z测量对易而操作上无效，使CZ有效纠缠层少一层，故门型比较部分受有效纠缠深度差异混淆。

4.2 截断半径敏感性（Sensitivity to cutoff radius）。固定数据划分、随机种子和缩减训练预算，对r_cut∈{3.5,4.0,4.5,5.0} ?重训HQC-MLP（BasicEntanglerCZ）与CMLP，两者能量和力误差均随r_cut增大单调下降，3.5–4.5 ?收益最大，超过4.5 ?改善较小；两模型差异?0.5 meV/原子，处于种子噪声附近。VQC读出未对该弱关联、以共价短程相互作用为主的液态硅提供额外抗截断能力；强关联氧化物、Mott绝缘体等体系仍待研究。

4.3 分子动力学模拟（Molecular dynamics simulations）。以ASE进行2000 K、100 ps NVT MD，模型仅训练于3000 K；所有模型均保持能量守恒。早期简化HQC-MLP未保持Si原子短程排斥，RDF在r<2 ?出现非物理峰，而静态能量和力RMSE未暴露该问题，促使研究人员改进架构。改进后BasicEntanglerCX的RDF与2000 K DFT参考一致，其余纠缠变体同样吻合，RDF不能区分四种纠缠架构。以3.24 ?公共邻居截断计算Si–Si–Si键角分布，2000 K下四个纠缠变体均复现约55°和95°双峰，平均配位数为6.48–6.50，DFT为6.48；Basic在3000 K复现RDF，作为分布内一致性检查。

4.4 有限测量散粒效应（Effect of finite measurement shots）。以态矢量精确期望值为基准，有限散粒预测的RMSE随测量散粒数S约按1/√S下降；每次电路执行约5 × 10⁴次散粒可将采样诱导RMSE降至约2.0 meV/原子。单构型能量评估含5层×64原子共320次电路执行，约需1.6 × 10⁷次散粒；力评估经链式法则分解为经典Jacobian和8个编码角的量子梯度，参数移位规则每次读出增加16次偏移电路，合计5120次电路/构型，约需2.56 × 10⁸次散粒，使当前NISQ硬件直接力计算过于昂贵，因而采用仅需能量的MC。Metropolis–Hastings MC在2000 K计算的RDF随S增加系统收敛至无散粒噪声结果。该评估基于理想态矢量模拟且仅含有限散粒噪声，未包含门错误、退相干和读出错误；MC不提供动力学信息，适用于平衡结构性质。

4.5 可扩展性与适用范围（Scalability and scope）。当前以8量子比特编码8维不变节点特征；更大特征宽度F=128–256需更多量子比特和更深电路。闭环最近邻纠缠每层需n个二量子比特门，但关联每层仅传播一格，需约n/2深度；3层电路在n=8时已低于该阈值，扩大寄存器而固定深度会使多数编码特征互不相关，维持混合程度需增加深度并加重退相干和梯度集中。8量子比特电路过小，不能探测贫瘠高原（barren plateau），未观察到梯度平坦不能外推至大规模。系统尺寸N仅线性增加电路执行数（每构型5N），1000原子约需5 × 10³次执行和2.5 × 10⁸次散粒/能量评估，无需增加比特或深度。化学多样性可沿用BAM-RACE，HQC-MLP与CMLP仅读出不同；8维投影是否适用于多组分环境尚待验证；数据重上传、全连接CZ、RY+RZ及参数化θ-CZ等仅为设计建议，尚未训练测试；激发态和非绝热耦合亦待未来验证。

讨论与结论部分可概括为：研究人员开发并系统评估了用于高温液态硅的HQC-MLP，据其所述为HQC-MLP方法首次应用于64原子周期性晶胞凝聚态体系；模型可准确复现DFT势能面，稳定正则MD复现RDF，并在其权重1%以内复现键角分布。研究表明训练速度与泛化间存在权衡：所有含纠缠HQC-MLP在epoch数上快于经典基线，且Basic对照表明加速来自纠缠而非VQC结构本身，但更快收敛伴随更早过拟合。纠缠门选择是关键架构变量，CZ在所有测试电路中一致呈现较CX更低验证损失；两个一致机制为CZ条件相位翻转在引入相位关联时保持振幅信息，以及最终CZ层与Pauli-Z测量对易而实际无效、降低有效纠缠深度。其设计原则是使纠缠结构与目标回归任务的平滑性匹配，并考虑门—测量对易造成的有效深度变化。有限散粒基准显示，达到约2 meV/原子采样诱导RMSE需每次电路执行约5 × 10⁴次散粒，单构型能量评估约1.6 × 10⁷次散粒，直接力计算对当前NISQ硬件过贵；仅依赖能量评估的MC协议原则上可与近 term设备兼容，但需表征真实硬件噪声。截断半径分析支持r_cut=4.5 ?对液态硅的物理合理性，HQC-MLP与CMLP对截断的敏感性相当，差异在种子噪声内。未来需比较输入宽度和可训练跨特征混合匹配的经典读出，将门型比较扩展至强关联材料，纳入真实器件噪声模型，并探索数据重上传和参数化纠缠门等更具表达力的VQC架构；该工作提供了可复现的经验基线。