一种用于带层间滑移的多层复合梁几何非线性分析的共旋转有限元公式

《Structures》：A co-rotational finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of multilayered composite beams with interlayer slip

　　摘要：为准确预测多层组合梁的几何非线性响应，建立了一种适用于任意层数的共旋有限元列式，考虑了相邻层间所有界面上的层间滑移。该方法将一个由多层组合梁控制微分方程解析解导出的精确几何线性单元与用于几何非线性分析的共旋框架相结合。因此，它既能考虑层间滑移场之间的耦合以及大位移和大转动，又保留了简单的单元自由度配置。在推导单元列式时，首先基于多层组合梁的弹性基本方程建立位移控制微分方程，由此获得单元柔度矩阵。随后将柔度矩阵求逆并变换到局部坐标系，基于解析解构造精确的几何线性单元刚度矩阵。在此基础上，建立全局坐标系与局部共旋坐标系之间的变换关系，并在全局坐标系中推导出多层组合梁单元的几何非线性切线刚度矩阵及相应的等效节点力向量。基于所提列式开发了计算程序，并分析了三个代表性的组合梁算例。与现有解析和数值结果的对比表明，所提方法能够准确捕捉多层组合梁在不同界面连接条件下的几何非线性响应，即使在涉及大转动和显著几何非线性的情况下也保持较好的精度和可靠性。

引言：多层组合梁由若干梁层通过界面处的柔性剪切连接件连接而成，能够有效发挥不同组成材料的力学优势，因此在建筑和桥梁工程中得到广泛应用[1]，[2]。与整体式梁相比，界面剪切连接件的可变形性使得相邻层之间产生相对滑移，导致部分相互作用而非完全组合作用。这种效应可能显著降低构件的整体抗弯刚度和承载能力[3]，[4]。此外，组合梁在达到极限状态之前往往表现出明显的非线性行为，主要源于几何非线性和材料非线性[5]，[6]。因此，准确评估组合梁的结构响应需要适当考虑几何非线性的影响。开发一种简单可靠的分析方法，尤其是在有限元框架内，具有相当重要的意义。尽管两层和三层组合梁的几何非线性分析已被广泛研究[7]，[8]，[9]，[10]，但对超过三层的多层组合梁的关注则少得多。随着多层结构体系的日益广泛应用，如叠合木梁、钢板加固组合梁和钢-混凝土-钢夹层梁等[11]，多层组合梁几何非线性分析的需求日益凸显。同时，多层和多滑移面的存在给有限元列式的开发带来了重大挑战[12]，[13]。

当层间连接刚度较低或结构发生大变形时，基于层间完全相互作用假定的有限元模型可能显著低估实际结构响应[14]。因此，考虑层间滑移是区分组合梁模型与传统整体式梁模型的关键特征，也是组合梁精细化分析所必需的[7]，[10]。对于复杂梁型组合结构的精细化分析，大量研究采用了解析方法、有限元方法和其他高效数值技术。这些方法已应用于夹层梁、功能梯度梁和先进组合梁的静力、动力和稳定性分析[15]，[16]，[17]，[18]，[19]。在这些方法中，二维梁有限元模型仍然是组合梁分析中最广泛使用的数值工具之一，因为它们在计算精度、建模简便性和效率之间提供了良好的平衡。基于Euler–Bernoulli或Timoshenko梁理论的传统位移型组合梁单元[20]，[21]容易出现曲率锁死、滑移锁死和剪切锁死等数值缺陷。这些锁死现象主要源于组合梁多个变形场之间的强耦合[13]。基于力法和混合法的有限元列式[22]，[23]，[24]能在不同程度上缓解这些锁死问题，但往往需要复杂的推导和额外的单元自由度，且可能难以纳入标准的位移型有限元代码[25]。

与上述方法不同，一些研究者基于多层滑移梁的控制微分方程开发了高精度有限元模型。通过求解静定组合梁的控制方程，这些模型可推广至超静定结构[26]，[27]，[28]。由于在单元层面未引入近似的位移或力插值，数值锁死可从根源上避免[29]。对于几何线性分析，仅需少量单元即可获得高精度[30]。基于这种精确建模策略，已开发出适用于三层及以上组合梁的几何线性单元[13]，[27]，并将该方法扩展至几何非线性分析[10]，[31]，[32]。然而，基于该策略的现有几何非线性列式仍主要限于不超过三层的梁。据作者所知，尚未有超过三层的组合梁采用此类列式的报道。文献[33]利用精确刚度矩阵结合共旋列式，对钢-混凝土组合结构进行了几何非线性分析，其中考虑了纵向部分相互作用。然而，其建模策略与本文不同：混凝土被视为主体材料，钢材被视为嵌入夹杂物，在每个夹杂物与主体材料之间施加位移协调，但夹杂物之间不施加协调。因此，该模型不属于本研究考虑的多层组合梁列式范畴。

有限元分析中的几何非线性通常采用总拉格朗日（TL）、更新拉格朗日（UL）或共旋列式处理[34]。其中，共旋列式最为新颖且受到广泛关注[7]，[35]，[36]，[37]。其主要优点在于能将刚体运动与单元变形分离[38]。几何非线性通过局部与全局坐标系之间的变换矩阵引入，而这些矩阵与具体的局部单元列式无关。因此，对于具有相同节点布置和自由度的单元，从几何线性刚度矩阵到非线性刚度矩阵的变换过程本质上是相同的。这一特性对组合梁单元尤其有吸引力，因为其线性刚度矩阵往往推导复杂。据此，已有若干针对组合梁的共旋列式被开发。然而，现有研究大多限于两层和三层梁[7]，[8]，[9]，[32]，[39]，[40]，超过三层的梁的列式仍然稀缺。

基于上述背景，本研究旨在开发一种适用于任意层数、考虑所有相邻层间界面滑移的多层组合梁几何非线性有限元列式。与现有主要限于两层和三层梁的几何非线性列式不同，所提方法不受层数限制。它将基于控制微分方程解析解导出的精确几何线性单元与共旋框架相结合，同时保留简单的自由度配置，并考虑界面滑移场之间的耦合以及大位移和大转动。具体而言，首先基于多层组合梁的弹性基本方程建立位移控制微分方程，考虑每层轴向变形与相邻界面滑移场之间的耦合。然后利用其解析解推导单元柔度矩阵。通过矩阵求逆和坐标变换获得精确的局部刚度矩阵。随后建立全局与局部共旋坐标系之间的变换关系，以构造几何非线性多层组合梁单元。最后，开发计算程序，并通过若干代表性算例验证所提方法的精度、可靠性和适用性。

章节摘录

基本假设：
（1）每层截面在变形后保持平面且垂直于梁轴。
（2）考虑层间滑移，忽略相邻层之间的竖向分离。所有层具有相同的横向位移和截面转角，而每层的轴向位移相互独立。
（3）离散分布的柔性剪切连接件在界面处用等效的连续弹性粘结-滑移模型表示。
（4）假定所有层均保持

全局与局部共旋坐标系之间的位移变换
共旋列式用于几何非线性分析的关键思想是：对每个单元定义一个随单元平移和转动的局部共旋坐标系[10]，[34]。然后建立局部坐标系中纯变形位移向量（去除刚体运动后获得）与全局坐标系中总节点位移向量之间的关系。对于多层组合梁单元，两个

算例1
如图6所示，考虑一根简支两层组合梁，承受两对集中轴向荷载和均布横向荷载。界面连接件的剪切刚度取为ksc=50MPa。组合梁的几何构型、截面尺寸和材料参数如图6所示。该算例的几何非线性响应已在文献[10]，[14]，[27]，[31]，[39]中研究。组合梁

结论
（1）基于控制微分方程解析解，开发了适用于层间滑移多层组合梁的精确几何线性单元。所提单元适用于任意层数及相应的层间滑移界面数量。它能有效避免曲率锁死，无需附加内部节点，且保留简单的自由度配置，便于在标准

CRediT作者贡献声明
Lu-yi Liang：写作——初稿，验证，软件，正式分析。Ji-hua Deng：方法学，概念化。Jian-ping Tan：写作——审阅与编辑，验证。Wen Chen：写作——审阅与编辑，监督。

利益冲突声明
作者声明，他们不存在已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能影响本文所报告的工作。

致谢
本工作得到国家自然科学基金[52278142]的资助。本工作还得到湖南省自然科学基金[2023JJ30019]的资助。

Lu-yi Liang|Ji-hua Deng|Jian-ping Tan|Wen Chen