一种可精确求解的流线型迎风/彼得罗夫-伽辽金格式，用于对流-扩散方程

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：An Exactly Solvable Streamline Upwind/Petrov-Galerkin Formulation for the Advection-Diffusion Equation

　　摘要

本文提出了一种优化后的Streamline Upwind/Petrov–Galerkin（SUPG）格式，用于精确数值求解瞬态和稳态的对流-扩散方程。对流-扩散方程是数学物理中的基本偏微分方程，用于描述对流和扩散之间的相互作用。该格式的关键贡献在于推导出了适用于五点网格的最优平衡扩散系数，从而扩展了Brooks和Hughes（1982年）提出的经典最优上风格式。所提出的方法即使在高Pecllet数下的对流占主导的情况下，也能消除虚假振荡并保持高精度。数值结果与解析解非常吻合，验证了优化后的SUPG格式的有效性。

引言

典型的Burgers方程[1]捕捉了具有耗散效应的非线性波传播的基本物理特性，是理解湍流、激波和流体动力学中其他传输现象的简化而强大的模型[2]、[3]。该方程在物理和数学上仍然具有重要意义。首先，它是结合了非线性对流与扩散耗散的最简单的偏微分方程（PDE），在一维、笛卡尔坐标系、时间依赖的粘性极限情况下提供了Navier–Stokes方程的易处理类比[4]。正如Baccouch[5]所指出的，可以通过忽略压力梯度并假设不可压缩性，直接从Navier–Stokes方程推导出Burgers方程；这种推导使得该方程成为计算流体动力学中数值方法的宝贵基准问题。其次，Burgers方程通过Cole-Hopf变换[6]、[7]具有完全可积性，将非线性Burgers方程映射为线性热方程。这一特性使Burgers方程属于一类可精确求解的非线性系统，这一主题与Hans Capel[8]、[9]、[10]的科学遗产密切相关。Capel及其合作者在可积系统理论方面做出了开创性贡献。他认识到可积系统和混沌系统代表了“同一枚硬币的两面”，并共享控制它们行为的潜在数学结构[8]。这种哲学洞见激发了我们对方程的研究方法：尽管通过Cole-Hopf变换方程是可积的，但数值方法必须尊重这一结构以避免虚假伪影。正如Hernández Heredero等人[9]所指出的，Capel在离散可积系统和差分方程对称性方面的研究[10]建立了连续可积性和离散可积性之间的基本联系。Capel在统计力学、可积系统和动力系统理论（包括差分方程的离散可积性和对称性）方面的研究支持了这样的观点：对流-扩散结构可以具有非固定的正数扩散系数，而是动态生成的量。

在一系列有影响力的论文中，Capel和Pasmanter[11]、[12]、[13]研究了二维粘性流中相干结构的形成。特别是，Capel和Pasmanter确定的负扩散系数为涡度-面积演化提供了一种物理类比，相当于标准Galerkin离散化在对流占主导情况下的隐式负人工扩散。他们的研究表明，涡度-面积分布根据具有时间依赖的负扩散系数的对流-扩散方程演变[11]。Capel和Pasmanter[12]进一步发展了基于涡度概率密度的动态描述，引入了一个满足H定理的时间依赖混合指数（当涡度质量守恒时）。这一反直觉的结果——即扩散可以在涡度空间中起反扩散作用——促使我们观察到Galerkin有限元方法可以被解释为具有负人工扩散，需要添加平衡扩散以实现稳定性[14]。

Gandarias和Bruzón[15]扩展了Capel基于对称性的方法，推导出对流-扩散方程的非经典势对称性，得到了一些无法通过经典对称性简化得到的新精确解。从数值分析的更广泛角度来看，最近的研究还集中在高阶谱方法和Petrov–Galerkin离散化上，用于扩散和对流-扩散问题。Youssri和Muttardi[16]为具有pin-pin边界条件的时间分数Euler–Bernoulli梁方程开发了第二类Chebyshev谱Petrov–Galerkin格式，证明了平滑解的指数收敛性。Youssri和Atta[17]将Chebyshev Petrov–Galerkin方法应用于具有轻微奇异核的非线性时间分数积分-微分方程，并进行了详细的误差和收敛性分析。同一作者[18]使用Gegenbauer多项式将Petrov–Galerkin方法扩展到时间分数KdV–Burgers方程（结合了Burgers方程和Korteweg–de Vries方程），并展示了其相对于现有方法的效率。这些研究表明，具有合适试验和测试空间的Petrov–Galerkin格式可以为扩散和对流-扩散型模型提供高精度和稳定性，这与当前SUPG格式的稳定化理念一致。此外，Hafez等人[19]基于电话多项式构建了高效的谱Galerkin和配置方法，用于几种微分方程模型，并提供了收敛性分析。Hafez等人[20]提出了一种使用Romanovski–Jacobi多项式的改进谱Galerkin方法。关于线性PDE的Jacobi–Galerkin谱方法和二维时间依赖PDE的完全Jacobi–Galerkin算法的综合性综述见[21]、[22]。最近，Hammad等人[23]为半无限域上的多维时间分数扩散方程引入了指数/分数Jacobi谱Galerkin和配置方案。

这些工作，连同Brooks和Hughes[14]的经典最优上风和SUPG思想，激发了本文中发展的更高阶SUPG构造。该格式的基础是streamline-upwind概念，它提供了一种精确的多维最优一维上风格式的推广。当作为一种一致的Petrov–Galerkin加权残差方法实现时，所提出的格式即使假设速度恒定、扩散系数恒定和网格均匀，也不受许多经典上风方法中的人为扩散问题的影响。这里提出的格式受到了Capel对非线性系统看法的启发。这项工作强调了在对流-扩散方程理解中对称性原理的重要性——我们通过一致的Petrov-Galerkin加权将这一主题纳入数值格式中。实际上，SUPG稳定化可以解释为通过在线性流动方向上添加正向最优平衡扩散来恢复物理上可接受的状态。因此，通过几个数值示例证明了线性对流-扩散方程的streamline upwind/Petrov-Galerkin格式的准确性。本文献给Hans Capel的回忆，他在可积系统、湍流和二维流动的统计力学方面的开创性工作继续激发着非线性动力学和计算物理学交叉领域的研究。本文中推导出的五点最优系数将这种受Capel启发的平衡视角从经典的Brooks–Hughes三点格式扩展到了更高阶的紧凑网格。

章节摘录

Streamline Upwind/Petrov–Galerkin方法

有限元方法[24]、[25]、[26]是计算流体动力学和传热应用中最广泛使用的数值技术之一。然而，当应用于对流占主导的问题时，标准Galerkin格式会遭受节点间虚假振荡（通常称为波动）的困扰，从而破坏了解[14]。Streamline Upwind/Petrov–Galerkin（SUPG）方法由Brooks和Hughes[14]提出，通过修改权重来解决这一限制。

应用于瞬态热传导

考虑具有限温边界条件的一维瞬态热传导方程：
$$
T_{\text{temp}}(x,t) = \begin{cases}
T_0, & 0 \leq x \leq L, t \geq 0 \\
0, & t = 0 \\
2\sin(\pi x/L), & x = L \\
\end{cases}
$$
方程(11a)、(11b)、(11c)、(11d)的解析解为[9]：
$$
T(x,t) = 2\sin(\pi x/L) \exp\left(-\alpha_{\text{phys}}\frac{\pi^2 t}{L^2}
$$
为了用SUPG格式求解(11a)、(11b)、(11c)、(11d)，在域中选择了一组等间距的点。每对点之间生成一个元素。在这种情况下，每对相邻元素包含三个节点。

应用于稳态对流-扩散问题

作为该方法的进一步实现，SUPG格式用于求解具有非自伴算子的微分方程，例如在对流传热和流体动力学中常见的方程。方程(1)的稳态形式提供了一个一维对流-扩散方程的典型示例：
$$
u_{\text{vel}}(x,t) = -\alpha_{\text{phys}} \frac{\partial T}{\partial x}, \quad 0 \leq x \leq L, t \geq 0 \\
T(x=0) = 0, \quad T(L,t) = 0 \\
T(x,0) = 2\sin(\pi x/L)
$$
在对流占主导的情况下（高Pe值），常常会出现虚假波动。

应用于瞬态对流-扩散问题

最后，考虑一个均匀介质中温度$T(x,t)$的一维瞬态对流-扩散问题，其边界条件为：
$$
\begin{cases}
T_{\text{temp}}(x,t) = \alpha_{\text{phys}} \frac{\partial T}{\partial x} + u_{\text{vel}} x, & 0 \leq x \leq L, t \geq 0 \\
\end{cases}
$$
其中$\alpha_{\text{phys}}$是热扩散系数，$u_{\text{vel}}$是恒定传输速度。热量通过传导传播，由扩散系数$\alpha_{\text{phys}}$表示，而均匀的传输或漂移项$u_{\text{vel}}$沿着x方向移动温度剖面。介质的两端受到均匀温度的作用。

结论

本文提出了一种全面的对流-扩散方程的Streamline Upwind/Petrov-Galerkin格式。推导出了适用于包含三个节点的元素的两个新的最优平衡扩散系数，实现了更高阶的近似——扩展了Brooks和Hughes[14]的经典两点结果。通过广泛的数值实验，证明了所提出的SUPG格式能够为线性稳态问题提供节点精确解。

致谢

本文献给Hans Capel教授（1936–2023年），他对可积系统、湍流和二维流动的统计力学的深刻贡献继续激励着非线性动力学、数学物理学和计算科学交叉领域的研究人员。他关于可积系统和混沌系统代表“同一枚硬币的两面”的哲学洞见提醒我们，数学结构和物理复杂性是密切相关的。

作者贡献声明

Vali Enjilela：资源筹措、形式分析、概念化、数据管理、资金获取、方法研究、项目管理、软件开发、监督、验证、可视化、初稿撰写、审阅与编辑。
Mohammad Bayat：审阅与编辑、验证、软件开发、方法研究、数据管理、概念化、形式分析、资金获取、项目管理、资源筹措、监督、可视化、修改。

利益冲突声明

作者声明他们没有需要披露的相关财务或非财务利益，也没有收到任何资助来协助准备这份手稿。同时，他们确认所有作者在本手稿讨论的主题或材料上没有利益冲突或竞争利益。

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