通过贝叶斯扫描电子显微镜（Bayesian SEM）分析揭示了原子力显微镜（AFM）探针尖端的深度依赖性钝化特性

《Precision Engineering》：Depth-dependent bluntness of AFM probe tips revealed by Bayesian SEM analysis

　　• 全自动化的流程可以从扫描电子显微镜（SEM）图像中量化原子力显微镜（AFM）探针尖端的钝度。• 贝叶斯回归可以提供钝度指数的95%分析可信区间。• SAM2基础模型可以恢复Otsu阈值分割失败时的边界。• SEM放大倍率是一个影响钝度指数的计量变量。• 与深度相关的指数导致了19%的接触面积和8%的弹性模量误差。

引言
原子力显微镜（AFM）是用于纳米尺度表面表征的最多功能工具之一，能够提供亚纳米分辨率的地形图像、力-距离曲线和机械性质图。然而，每次测量都受到探针尖端几何形状的影响：记录的表面轮廓是真实表面和尖端形状的卷积，因此尖端与其假设几何形状的任何偏差都会在数据中引入系统性的伪影[1]，[2]。具有小顶点半径的锋利尖端可以产生精确的图像；而钝化或磨损的尖端会放大表面特征，扭曲力测量结果，并使跨实验的定量比较变得困难[3]，[4]，[5]，[6]。制造商提供的尖端半径和几何形状的规格值是批次级别的统计数据，而不是对单个探针的测量结果，它们也没有考虑在成像过程中特别是在硬或粗糙表面上发生的逐渐磨损。由于尖端几何形状会随着使用而改变，因此必须将其视为一个时间依赖的计量变量，而不是一个固定参数[7]，[8]，[9]。

量化尖端形状的物理框架已经建立得相当完善。探针顶点通常用幂律剖面z(r)=Bdr^d来描述，其中r是从顶点开始的横向距离，z是下面的深度，d是钝度指数[3]，[4]。d=1对应于完美的圆锥形，d=2对应于抛物面形状，d>2对应于逐渐变钝、圆滑的形状。这一框架在接触力学中广泛用于计算赫兹接触面积和力-压痕曲线，并且是[3]中描述的用于纳米力学测试的AFM探针尖端表征方法的基础。从扫描电子显微镜（SEM）图像中提取d需要：(i) 将尖端从背景中分割出来，(ii) 以极坐标形式提取边界轮廓，以及 (iii) 通过对数-对数空间进行线性回归来拟合幂律模型。这种工作流程的经典手动实现已经证明了该方法的有效性，但存在操作者依赖性、低吞吐量以及缺乏任何定量不确定性估计的问题[10]，[11]，[12]，[13]。

对于涉及尖端-样品粘附和剥离力测量的接触力学模型来说，准确表征接近顶点的尖端几何形状——特别是在尖端表面前10-30纳米范围内——至关重要[14]，[15]。标准的连续接触模型，如Derjaguin-Müller-Toporov（DMT）和Johnson-Kendall-Robberts（JKR）理论，传统上假设一个简单的抛物面几何形状（对应于幂律指数2）。然而，真实的和磨损的尖端通常表现出非抛物面的、类似幂律的轮廓[15]。对于这些一般的幂律几何形状，接触面积和剥离力随着钝度指数的变化而变化，这与理想的抛物面行为不同[14]，[15]。如果接近顶点的几何形状被错误地表征为理想的球形（而实际上它符合更平坦的幂律轮廓），那么从剥离力推断出的粘附工作可能会被严重误解[14]。这种误差产生的原因是粘附相互作用的范围和真实的物理接触面积都取决于压痕轮廓的精确形状。

类似地，在纳米加工和深度感知的纳米压痕中，知道尖端前10-30纳米范围内的正确钝度指数对于应用物理上正确的弹性-塑性接触模型也是必不可少的[13]，[16]。Sneddon对弹性半空间的轴对称压痕的通用解直接将载荷-穿透行为与压头的轮廓函数联系起来[16]。Oliver-Pharr方法基于这些关系从卸载刚度中提取硬度和弹性模量，该方法依赖于一个预校准的尖端面积函数，该函数编码了探针的形状[13]。当在错误的假设下对钝化或磨损的尖端进行建模时，即假设它是锋利的圆锥形或理想的球形，那么接触深度、投影接触面积以及随后的应力场都会被错误地确定，从而导致计算的硬度、杨氏模量和塑性开始所需的阈值载荷出现系统误差[13]，[17]。因此，建立一种连续的、与深度相关的尖端幂律几何形状的描述对于在浅压痕深度获得可靠的机械性质至关重要。

同样的探针几何形状依赖性不仅适用于计量学，还扩展到了基于AFM的纳米制造中。振动辅助的AFM加工平台可以实现受控的、亚纳米级的材料去除，但他们的过程模型需要精确了解切割尖端的接触几何形状，以预测切割力、沟槽深度和共振附近的表面质量[18]。为扫描探针光刻和深槽成像开发的专业高纵横比探针设计进一步说明了探针几何形状本身是一个经过主动设计的变量，而不是一个固定的给定值[19]。这两方面的工作都强化了在这里开发的针对单个探针的、制造后的表征方法的需求：针对名义尖端形状校准的加工或光刻过程将继承任何未被检测到的名义形状与实际安装在仪器上的物理探针形状之间的偏差。在分子动力学（MD）模拟AFM测量时也有同样的要求，只有当模拟探针的几何形状与产生实验数据的物理探针相匹配时，模拟的力曲线才能与实验曲线进行比较；Reischl等人[20]在金纳米棒的AFM测量中匹配了样品和探针的大小和几何形状，并将Oliver-Pharr方法应用于模拟的力-位移曲线，就像在实验中应用一样，以便可以直接比较模拟和测量的模量。从真实的SEM图像到特定于探针的钝度指数的路径提供了作为MD输入的实际使用的尖端几何形状，而不是假设的理想化形状。

机器学习和概率推断方面的并行进展现在使得自动化和扩展这一工作流程成为可能。深度神经网络已被应用于分割[21]，[22]、分类[23]和扫描探针显微镜图像的质量控制[24]，[25]，用自动化的数据驱动特征分析取代了手动检查工作流程。基础模型——在广泛的数据集上预训练的大规模网络，无需针对任务的微调即可部署——特别适用于标记训练数据稀缺的利基应用，如SEM图像分割。SAM2（Segment Anything Model 2）[26]是一个突出的例子：它可以根据点或边界框提示分割任意对象，并根据置信度得分接受或拒绝自己的输出。这使得可以选择性地使用SAM2，仅用于经典阈值分割失败的情况，同时保留高对比度情况下的确定性和可解释的Otsu分割[27]。

在回归方面，用Jeffreys非信息性先验下的贝叶斯线性回归（BLR）代替普通最小二乘法（OLS）可以在没有计算开销的情况下提供拟合指数的95%分析可信区间，并且具有一个重要的数学保证：对于任何给定的输入数据集，后验均值正好等于OLS斜率[28]。当第三阶段使用与第二阶段相同的分割和清洁方法时，BLR的中心值与第二阶段的OLS斜率相同；当分割在两个阶段之间发生变化时（见第3.3节和SAM2的讨论），OLS和BLR都反映了更新后的输入数据。可信区间使得仅凭点估计无法进行的统计测试成为可能：比较探针、比较放大倍数或比较分析深度窗口都归结为询问两个区间是否重叠。总最小二乘法（TLS）最小化的是正交残差而不是垂直残差[29]，它提供了对横向坐标r=lnr携带的可忽略噪声这一假设的交叉检验。

我们在一开始就强调，这种精度水平的价值取决于使用场景。对于常规的地形成像，用户通常只需要对尖端状况有一个定性的了解，并且在图像质量明显下降时更换探针，因此制造商提供的名义半径通常就足够了，例如在悬臂弹簧常数校准中已经存在的随机不确定性（约10%-20%）主导了整体误差预算。这里追求的精度针对的是一类更狭窄但后果更严重的应用——深度感知的纳米压痕、粘附和剥离力分析以及基于AFM的纳米加工——在这些应用中，尖端形状直接进入物理接触模型，其误差是系统性的而不是随机的：它以相同的方向偏置每个派生量，并且不会在重复测量或不同实验室之间平均掉。

一个自然的问题是，当市面上有预先表征的、几何形状均匀的探针可供使用时（例如，Biosphere系列（nanotools GmbH）或硼硅酸盐胶体探针悬臂），自动化尖端表征是否变得不必要。这样的探针非常适合在软物质上的力谱学和受控条件下的粘附测量。然而，它们并没有解决一般的表征问题。首先，用于纳米加工、半导体表面检查和摩擦学表征的金刚石涂层和其他硬质材料探针并不是均匀的球形几何形状。其次，即使是名义上的球形探针也会随着使用而磨损，特别是在磨损或粗糙的表面上，因此使用后的表征是必要的。第三，制造商提供的尖端半径规格值是批次级别的统计数据，而不是对单个探针的测量结果；这里介绍的流程提供了从单个SEM图像进行单个探针、使用后计量表征的唯一实际途径。因此，这种方法是对几何形状经过优化的商用探针的补充：它服务于常规使用的标准硅和金刚石涂层探针的更大安装基数。

目前的工作将这些组件组合成一个统一的、完全自动化的流程，用于从SEM图像中表征AFM探针尖端。该流程针对[3]中发布的两个硅探针的基准数据进行了验证（第一阶段），扩展到涵盖尖锐和钝化条件的三个额外金刚石探针图像（第二阶段），并配备了BLR可信区间、TLS交叉检验和SAM2分割（第三阶段）。四个比较分析利用了第三阶段的不确定性界限：(i) 将所有五个探针分类为三个物理上可解释的条件组；(ii) 一个放大倍数一致性测试，显示同一探针的300 kX和594 kX图像得出统计上不同的指数；(iii) 一个BLR/TLS一致性测试，确认OLS斜率对于分辨率良好的图像是无偏的；以及(iv) 一个深度依赖性分析，显示接近顶点的接触区域（8-30纳米）的钝度指数与整个剖面值（8-85纳米）有显著差异——这一发现是OLS点估计无法得出的，是第三阶段的主要贡献。

尽管有这些进步，但目前没有一个现有的工作流程能够同时提供自动化分割、带有可调用基础模型的智能回退、对钝度指数的分析贝叶斯不确定性区间、正交回归交叉检验、放大倍数的统计检验以及统计上证明的与深度相关的尖端几何形状——所有这些都可以从单一的集成流程中实现，而无需操作者干预。这里具体研究的问题是：一个完全自动化的、具有不确定性意识的SEM到指数流程是否可以重新产生已发布的手动测量结果，可靠地分类三种探针类型的探针状况，并检测出由于采集放大倍数和分析深度窗口引起的统计显著差异，而无需任何手动调整？

本工作的主要贡献包括：
- 一个完全自动化的、具有来源追踪的三阶段流程，从原始SEM图像到可计量追踪的钝度指数，该流程针对已发布的手动参考值进行了验证。
- 通过Jeffreys先验下的贝叶斯线性回归首次获得了幂律钝度指数的95%分析可信区间，这为传统的OLS中心估计值增加了不确定性量化。
- 统计证据表明SEM放大倍率是一个计量变量：同一物理探针的300 kX和594 kX图像得到了不重叠的钝度指数可信区间，这是OLS点估计无法确定的。
- 首次通过BLR可信区间统计证明所检测的探针类型的钝度指数依赖于深度，这仅通过BLR可信区间实现，而传统回归无法实现——这对接触力学应用中分析窗口的选择有直接的实际影响。

论文的其余部分组织如下。第2节描述了包括分割决策框架、轮廓提取和清洁、幂律模型、回归方法以及用于比较分析的统计测试在内的方法论。第3节提供了所有定量结果。第4节讨论了每个发现物的物理解释及其对SEM成像协议和尖端形状报告的实际影响。第5节得出了主要结论。

数据来源和探针集
分析了五张SEM图像，涵盖了两种探针材料和两种成像放大倍数。两个硅探针（硅探针A和硅探针B）用作验证集。这些探针之所以被选中，是因为它们的钝度指数和探针尖端半径之前已经通过手动图像分析进行了测量，并在[3]中进行了报告，为第一阶段提供了已发布的真实数据。这两种探针的尖端半径都约为100纳米，与之前有过接触使用的探针一致。

**第一阶段：针对已发布真实数据的流程验证**
第一阶段的验证表明，在分析任何新的探针之前，自动化流程能够正确地再现[3]中手动计算出的钝度指数。这两种硅探针的图像之前已经在[3]中进行了手动分析；自动再现这些结果证实，该流程实施了与已发布的手动工作流程相同的几何分析方法。

这两种硅探针都产生了清晰的Otsu二值掩膜（SAM2得分均为0.000）。

**讨论**
第一阶段的验证是后续所有结论的基础。通过将两种硅探针的钝度指数和半径再现到规定的容差范围内，第一阶段确认了自动化流程采用的是与已发布的手动工作流程[3]相同的物理几何方法。如果没有这一步，就无法将第二阶段和第三阶段的结果视为可信的。相对于已发布的数值，R值大约有20%的系统性低估。

**结论**
本工作提出了一个完全自动化的、考虑不确定性的流程，用于从扫描电子显微镜（SEM）图像中对原子力显微镜（AFM）探针尖端进行表征。该流程经历了三个逐步提高统计可靠性的阶段，每个阶段都建立在前一个阶段的基础上：
- **第一阶段**——验证。自动化流程在规定的接受标准（|Δd|≤0.281, |ΔR|≤25.8 nm）内再现了之前发布的手动测量结果，从而在将其应用于新图像之前确立了自动化方法的可信度。

**CRediT作者贡献声明**
Sameeh Baqain：验证、资源、方法论、概念化。Hussein Kokash：写作——原稿创作、软件开发、数据分析。Ammar Bany-Ata：写作——审阅与编辑、可视化。

**关于手稿准备过程中生成式AI和AI辅助技术的声明**
在准备这项工作时，作者使用了Claude（Anthropic）工具来协助手稿起草和语言修改。使用该工具后，作者根据需要对内容进行了审阅和编辑，并对发表文章的内容负全责。

**关于利益冲突的声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益冲突或个人关系。

**致谢**
作者声明本研究未获得任何外部资助。该研究未从公共部门、商业部门或非营利组织的资助机构获得任何特定资助。
作者想要感谢卡迪夫大学（Cardiff University）的Emmanuel Brousseau教授及其同事在AFM探针尖端表征方法学方面的早期研究[3]，这些研究为本研究采用了的方法提供了借鉴。

**作者列表**
Sameeh Baqain
Hussein Kokash
Ammar Bany-Ata