一种用于模拟平稳和非平稳随机向量过程的简单时域降维方法

《Probabilistic Engineering Mechanics》：A simple time-domain dimension-reduction method for simulating stationary and non-stationary stochastic vector processes

　　摘要
复杂工程结构随机动力分析中，随机向量过程的高效模拟至关重要，然而传统蒙特卡洛模拟（MCS）通常需要大量随机变量并重复生成样本。为弥补这一不足，本研究提出了一种用于模拟平稳和非平稳随机向量过程的简易时域降维（DR）方法。该时域降维方法在给定相关函数模型后，无需时频变换即可直接模拟随机向量过程。否则，相关函数矩阵应通过功率谱密度（PSD）矩阵获得。据此，本研究推导出三种方案来构造这些矩阵。为解决传统蒙特卡洛模拟中高维随机变量带来的计算难题，引入了随机正交函数，如三角正交函数。由此，所需的基本随机变量数量可从数千个减少至仅两个。数值算例表明，三种方案构造的相关函数矩阵高度一致，尽管其计算效率存在明显差异。在相同样本量下，所提方法相较于传统蒙特卡洛模拟具有更高的模拟精度。应用于非平稳地震动的实例进一步表明，所生成的代表性样本能有效捕捉非平稳特性和空间变异性，同时保留完整的概率信息。因此，该时域降维方法可方便地与概率密度演化方法（PDEM）耦合，用于复杂工程结构的随机动力响应分析和可靠度评估。

引言
灾害性动力作用，包括地震动、强风和海浪，是工程结构随机动力响应分析和可靠度评估的重要输入。由于其固有随机性，这些作用在工程分析中通常被建模为随机过程或随机场[1]。大跨桥梁、高压输电塔、大型风力机和海洋工程结构等大型复杂结构往往承受空间变化的灾害作用。相关随机场可能表现出显著的空间相关性。因此，必须恰当保留不同空间位置、支撑点或结构构件之间的相关结构[2], [3], [4], [5]。经空间离散化后，此类随机场可视为随机向量过程。因此，生成满足规定自相关和互相关结构的随机向量过程，是复杂结构随机动力分析中的基本问题。

在传统蒙特卡洛模拟（MCS）框架下，随机向量过程通常通过频域法或时域法进行模拟。在频域法中，随机向量过程的模拟可统一表示为原始谱分解表示形式，通常通过功率谱密度（PSD）矩阵或相干函数矩阵的正交分解实现。其中，基于Cholesky分解和特征分解的两种正交分解方法可分别视为谱表示法（SRM）和本征正交分解（POD）[6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]。对于非平稳过程，演变谱理论引入了频率能量的时变描述，从而产生了基于演变功率谱（EPSD）、随机波和快速傅里叶变换（FFT）的模拟方法[14], [15], [16]。尽管这些方法较为便捷，但当需同时考虑非平稳性和分量相关性时，频域法变得不那么直接。此时往往需要EPSD矩阵、时频相干结构和时频变换。这些操作不仅增加计算成本，而且在向量维数较高时可能降低样本生成的效率。

对于时域法，其起源可追溯至早期时间序列建模。Yule[17]引入了自回归（AR）模型用于时间序列分析。Walker[18]随后发展了滑动平均（MA）建模框架，该框架后来成为线性随机建模的重要基础。在此基础上，Box和Jenkins[19]推广了自回归滑动平均（ARMA）模型，并建立了时间序列分析和预测的系统框架。这些模型此后被用于模拟随机过程、随机场和多元随机过程[20], [21], [22]。其紧凑形式和较低的计算成本颇具吸引力，然而其物理解释性有限，因为模型参数通常从数据中识别或通过谱匹配获得，而模型阶数往往缺乏明确的物理意义。因此，它们与工程随机激励机理的联系仍然有限。相比之下，滤波白噪声模型将随机过程表示为白噪声驱动的线性滤波器输出。由于滤波器参数可与随机振动系统的响应特性相关联，该模型具有更好的物理解释性[23], [24]。通过引入时变滤波器或调制函数，它也能直接在时域中描述非平稳特性。受此思路启发，本研究提出了基于滤波白噪声模型的随机向量过程时域表示。该方法通过构造相关函数矩阵提供了一种更直接的替代方案。一旦目标相关函数模型确定，随机向量过程即可直接在时域中模拟，无需时频变换。

尽管公式形式不同，频域法和时域法在传统蒙特卡洛模拟中都面临一个共同难题：生成样本通常需要大量正交随机变量。随着结构模型变得更加复杂和随机输入维数增加，这种高维随机描述显著增加了样本生成和后续随机动力响应分析的计算成本。更重要的是，通过随机抽样生成的样本通常不携带明确赋值的概率信息，这使得它们难以直接与精细随机动力分析工具（如概率密度演化方法（PDEM）[25], [26]）耦合。为克服这一难题，随机谐波函数和随机正交函数被提出。在这些函数中，高维正交随机变量通过仅一到三个基本随机变量表示，从而能够在低维概率空间中构造具有完整概率信息的代表性样本[27], [28], [29], [30]。

近年来，作者逐步将降维（DR）概念推广到时域方法[31], [32], [33]。首先，基于具有明确物理意义的滤波白噪声模型，建立了随机地震动的时域降维表示，实现了平稳和非平稳随机过程的降维模拟[31]。随后，从数学角度进一步建立了适用于平稳和非平稳随机过程的统一时域表示[32]。该表示不再局限于特定滤波模型，因此具有更广泛的适用性。在此基础上，通过采用文献[32]中统一时域表示的不同离散化策略，进一步发展了基于向量自回归（VAR）模型的平稳随机向量过程时域降维表示[33]。然而，该方法需要预先指定模型阶数，且所选模型阶数同时影响模拟精度和计算效率。因此，本研究基于文献[32]中的统一时域表示，进一步建立了适用于平稳和非平稳随机向量过程的统一时域表示，该表示可表达为确定性矩阵与标准正交随机向量的乘积。随后，通过引入随机正交函数，所需基本随机变量数减少至仅两个。确定性矩阵可通过相关函数矩阵的正交分解获得。因此，一旦相关函数矩阵确定，所有代表性样本即可通过该时域表示一次性生成。同时，所生成的代表性样本保留完整的概率信息，并可进一步与概率密度演化方法（PDEM）及其他精细随机动力分析方法耦合，从而为复杂工程结构的随机动力响应分析和可靠度评估提供基础。

本文其余部分组织如下。第2节建立适用于平稳和非平稳随机向量过程的统一时域表示框架。第3节构造相关函数矩阵并通过正交分解获得确定性矩阵。第4节介绍基于随机正交函数的时域降维表示。第5节通过数值算例验证所提方法，重点考察计算精度和效率、自/互相关及相干特性的保持、以及非平稳特性的表征。第6节总结全文。

章节片段
随机向量过程的时域表示
本节旨在建立适用于平稳和非平稳随机向量过程的统一时域表示框架。在该框架内，其时域表示以统一形式表达，从而实现随机向量过程的精确模拟。

随机向量过程的相关函数矩阵
本节介绍随机向量过程相关函数矩阵的构造与分解。首先提出不同的构造方案，随后通过Cholesky分解和特征分解获得相应的确定性矩阵。

随机向量过程的时域降维模拟
本节旨在建立平稳和非平稳随机向量过程的时域降维表示。通过引入基于随机正交函数的降维概念，所提方法在保留随机向量过程完整概率信息的同时，将所需基本随机变量数从数千个减少至仅两个。

数值算例
为验证时域降维方法在模拟平稳和非平稳随机向量过程方面的有效性，以一维三变量（1D-3V）随机地震动过程作为数值算例。假定地震动沿直线传播，沿传播方向选取三个空间点，相邻点间距相等。为考虑空间变异性，点1、2、3处的土体条件…

结论
本文提出了一种用于模拟平稳和非平稳随机向量过程的时域降维方法。数值算例表明，所提方法能够保持目标统计特性、相关结构和非平稳特性。主要结论如下：
（1）推导了一维n维平稳和非平稳随机向量过程时域表示的统一框架。在该框架中，随机向量过程…

CRediT作者贡献声明
刘子欣：写作—审阅与编辑，监督，资源。付晓娇：写作—初稿，可视化，形式分析，数据管理。刘章军：写作—审阅与编辑，方法学，基金获取，概念化。殷世伟：验证，软件。

数据可用性
数据可根据要求提供。

利益冲突声明
? 作者声明，他们不存在已知的竞争经济利益或个人关系，可能影响本文所报告的工作。

致谢
本研究受国家自然科学基金资助[项目编号：52478557、51978543和52108444]。作者衷心感谢这一资金支持，并感谢郝博士和范博士在改进本文过程中提出的宝贵意见和建议。

付晓娇 | 刘章军 | 殷世伟 | 刘子欣