一种用于非线性结构概率密度演化分析的深度学习增强概率流管方法

《Probabilistic Engineering Mechanics》：A deep-learning enhanced probability flow tube method for probability density evolution analysis of nonlinear structures

　　

摘要

非线性结构的概率密度演化分析为不确定性传播和动力可靠性评估提供了基础。新近发展的概率流管法（PFTM）无需数值求解广义密度演化方程，即可重构目标量的时变概率密度函数（PDF）。然而，将PFTM应用于复杂非线性结构时，可能需要大量的确定性响应时程样本，导致计算成本相当可观。为解决这一问题，本研究提出一种深度学习增强的PFTM框架。利用少量激励–响应样本对训练一个混合时间序列网络，并用于预测大量响应轨迹以供后续PDF重构。将预测轨迹组织为具有时不变概率权重的连续时间概率流管。通过匹配特征函数泰勒系数在原点的值，代数确定各流管的时变均值和标准差，并将全局PDF重构为流管PDF的概率加权混合。该框架通过一个实际工程算例进行评估，涉及一台陆上5 MW钢–混凝土混合风力发电塔架的随机地震响应分析。重构的PDF演化及尾部概率与采用$1\times 10^5$个样本的蒙特卡洛模拟结果高度吻合。这些结果表明，深度学习模型能够高效生成PFTM所需的响应样本集，同时大幅减少非线性结构耗时的时程分析次数。

引言

工程结构面临来自诸多来源的不确定性，如材料属性、几何形状、系统参数、环境条件和外部荷载的变化[1]、[2]。在结构动力学中，不确定性传播分析量化这些不确定输入对系统响应的影响。其核心任务是从输入的概率模型中确定响应的时变概率分布[3]、[4]、[5]。该分布为评估结构安全性和可靠性提供了所需信息。

概率守恒原理构成了非线性结构概率密度演化分析的基本物理基础[6]、[7]。在此基础上，Li和Chen提出了具有影响力的概率密度演化方法（PDEM），用于确定随机动力系统中响应的时变概率密度函数（PDF）[3]、[5]、[8]、[9]、[10]。在PDEM中，基本随机变量空间被离散为代表点，每个点赋予一个概率值。在每个点上进行确定性分析以获得相应的响应轨迹。广义密度演化方程（GDEE）随后描述响应和基本随机变量的联合PDF在保持概率守恒下的演化过程。通过求解GDEE并对所有代表点的概率加权贡献求和，得到边缘响应PDF。后续研究通过划分概率分配空间[11]、引入基于差异的选择准则[12]、[13]，以及开发适用于高维空间的点选择策略[14]、[15]，进一步推进了PDEM框架。PDEM也已从一维边缘PDF扩展到多维联合PDF[16]、[17]。目前已开发出多种数值方法求解GDEE。具体而言，这些方法包括具有总变差减小（TVD）格式的有限差分格式[9]、使用Dirac $\delta$序列逼近基于特征的形式解[18]，以及间断Galerkin和流线迎风/Petrov–Galerkin格式[19]。此外，还有人提出将空间离散化与时间上的顺序矩阵指数积分相结合的Chebyshev配点方法[20]。深度学习也被引入求解GDEE和基于PDEM分析的方法中。具体而言，Pourtakdoust和Khodabakhsh[21]开发了DeepPDEM，其中物理信息神经网络被用于逼近GDEE解。Xu等人[22]将归一化GDEE和数据增强集成到一个物理辅助网络中，以重构演化的响应密度。除了直接逼近响应概率密度外，代理模型也被用于支持PDEM分析。例如，Zhou和Peng[23]将基于深度学习的降维与高斯过程回归和主动学习相结合，在代表点处生成代理预测以进行可靠性分析。

概率密度演化分析的另一项重要进展是降维概率密度演化方程（DR-PDEE），它描述了选定响应量在降维响应空间中的边缘PDF演化。具体而言，DR-PDEE通过内在演化函数考虑底层高维动力学[24]。其理论发展源于Fokker–Planck–Kolmogorov方程的降维，其中PDEM被用于构造等效漂移系数[25]。随后，对于受加性白噪声激励的系统，该系数被表示为原始高维漂移的条件均值[26]。后来，该公式被扩展以同时考虑系统参数和外部激励的随机性[27]。更一般地，利用前两个条件导数矩，建立了Markov和非Markov路径连续过程的统一公式[28]。进一步的研究将DR-PDEE框架扩展到首次穿越可靠性[29]、分数阶导数系统[30]、Poisson驱动跳跃过程[31]，以及受乘性高斯白噪声激励的系统[32]。

尽管PDEM和DR-PDEE持续发展，但探索非线性结构概率密度演化分析的高级方法仍是一个活跃课题。在我们前期工作[33]中，我们开发了概率流管法（PFTM），用于在不直接求解GDEE的情况下重构响应量的时变PDF。每个响应样本由完整的时程组成，样本被组织为具有时不变概率权重的连续时间概率流管。通过匹配基于样本的高斯特征函数（CF）和理论CF在原点的泰勒系数，代数确定每个流管的时变均值和标准差。全局PDF随后被重构为流管PDF的概率加权混合。PFTM的一个实际局限是需要数百甚至数千个响应样本。对于复杂非线性结构，通过确定性时程分析获得这些样本的计算成本可能难以承受。为降低此成本，可以将数据驱动代理模型嵌入PFTM作为响应生成模块。代理模型在有限的激励–响应样本对上训练，然后用于预测PDF重构所需的更大的响应样本集。数据驱动代理模型已在结构工程中得到广泛研究[34]、[35]、[36]。深度神经网络和循环架构已被应用于预测建筑物的非线性地震响应[37]、边坡[38]、地下结构[39]和桥梁[40]。卷积架构[41]、基于图的融合模型[42]和基于Transformer的网络[43]也已开发用于结构响应预测。这些进展为使用时间序列代理模型生成基于PFTM的密度重构所需的响应时程奠定了基础。

基于结构响应预测领域的这些进展，本文提出一种深度学习增强的PFTM框架，以降低为概率密度演化分析生成响应样本的成本。混合时间序列代理模型在有限的激励–响应样本对上训练，并用于预测更大的响应样本集，每个预测响应被赋予其对应激励的概率。PFTM随后从该样本集中重构时变响应PDF。本文其余部分组织如下：第2节介绍非线性结构概率密度演化分析的理论基础，第3节提出深度学习增强的PFTM，第4节通过工程应用评估其性能，第5节给出主要结论并概述未来研究方向。

章节摘要

理论基础

本节建立随机结构响应概率密度演化与PFTM中使用的概率分配响应轨迹之间的理论基础。

深度学习增强的概率流管法

本节提出深度学习增强的PFTM框架。首先回顾PFTM公式，重点阐述连续时间概率流管的构造及其时不变概率权重。然后引入数据驱动代理模型作为响应生成模块。该模型在通过计算昂贵的有限元（FE）时程分析获得的有限激励–响应样本对上训练，随后应用于

案例研究：钢–混凝土混合风力发电塔架的随机地震响应分析

将深度学习增强的PFTM应用于评估钢–混凝土混合风力发电塔架的随机地震响应。该应用分为四个部分：FE建模与验证、代理模型验证、时变响应PDF的重构与分析，以及参数敏感性分析。

结论

本文提出一种深度学习增强的PFTM框架，用于高效重构随机动力系统中的时变响应PDF。主要结论如下：

• (1)
  基于有限的FE数据库，TLF代理模型学习激励–响应映射并预测目标响应时程，每个响应保留其对应激励的概率。该代理步骤减少了昂贵的FE时程分析，而不改变后续的PFTM重构

CRediT作者贡献声明

张福泰：写作 – 初稿，可视化，方法学，调查，形式分析，概念化。 郭哲毅：方法学，调查，形式分析，概念化。 徐军：写作 – 审阅与编辑，监督，方法学，资金获取，概念化。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在可能影响本文报告工作的已知竞争经济利益或个人关系。

致谢

谨对国家自然科学基金（项目号：52278178、52678222）和湖南省科技创新计划（项目号：2022RC1176）的资助表示感谢。

张福泰|郭哲毅|徐军