基组尺寸收敛性对相对论哈特里-博戈柳博夫可观测量的影响：形变与质量作为主导因素

《Nuclear Physics A》：Basis-size convergence of relativistic Hartree–Bogoliubov observables: Deformation versus mass as the governing factor

　　摘要本文采用相对论Hartree-Bogoliubov (RHB)方法，在轴向形变谐振子基底下，结合可分离对力，使用DD-ME2和DD-PC1泛函求解，并系统扫描了从16O到294Ds八个偶偶核的谐振子壳层数Nf，最高至24。所选核素涵盖了从轻核到超重核的质量数范围，以及从球形到强形变的形状变化。我们跟踪了自洽四极形变下的结合能、质子、中子和电荷半径、对能及费米能，并依据明确的容差标准判断收敛性，从而可以比较不同原子核为达到各观测量收敛所需的基底大小。这些观测量以明显不同的速率收敛：半径和费米能级最先稳定，每核子能量紧随其后，而对能最后稳定，且往往呈现非单调收敛，对于越重的核收敛越慢。所需的基底大小取决于观测量的种类和要求的精度，并且并非仅由质量数或形变决定：当要求高精度时，球形核先收敛，而形变核最后收敛；形状不稳定性以及大的单粒子空间会延迟半径和费米能的收敛。最后，我们分析了计算成本，由于轴对称问题的块结构，计算成本随基底大小急剧上升，并为大规模计算中选择基底提供了实用指南。

1. 引言核能量密度泛函 (EDF) 是核结构理论中最成功的理论框架之一。基于EDF的密度泛函理论 (DFTs) 已被证明是描述原子核基态和激发态性质的有效方法。它们在核结构物理、化学、生物学和材料科学中有着广泛的应用 [1]。此外，DFTs能够描述原子核的动力学性质。因此，它们被视为评估核状态方程和研究全谱原子核的有效工具。DFT可以相对论性或非相对论性地处理；前者加入了密度依赖性，而后者则基于密度依赖的力，如Skyrme [2] 或Gogny泛函 [3]。多年来，非相对论DFT一直在努力提升对实验结合能的整体重现能力。由于Skyrme泛函在平均场层面的全局拟合，对实验结合能的全局描述精度为1.4—1.9 MeV [4], [5], [6]。在考虑超越平均场效应后，进一步改进的结果在Skyrme [7] 和Gogny [8] 框架中分别获得了约0.5和0.8 MeV的精度。相对论形式的DFT相较于非相对论形式，在更精确地重现实验数据方面具有优势。自旋-轨道相互作用在非相对论模型中被参数化 [9], [10]，而这是相对论DFT中已经存在并准确预测的优势之一 [11], [12]。在引入协变密度泛函理论 (CDFT) 时考虑了洛伦兹不变性，该理论涵盖了核子-核子相互作用的介子交换和点耦合两种表示。核能量密度泛函的耦合常数通常通过经验拟合程序确定，其中泛函参数通过重现选定的有限核性质（例如结合能、电荷半径和核物质饱和性质）和/或无限核物质的状态方程来约束。CDFT通过自然地引入平移、旋转和庞加莱不变性等基本对称性，基于相对论量子力学和洛伦兹不变性，提供了核多体相互作用的统一描述 [13]。为了描述原子核，文献中引入了一系列模型参数 [14], [15], [16], [17], [18]。在文献中现有的各种协变能量密度泛函中，密度依赖介子交换 (DD-ME) [18], [19], [20], [21] 和密度依赖点耦合 (DD-PC) [15], [22], [23], [24] 参数集已成为相对论平均场框架中应用最广泛、基准测试最充分的代表。介子交换 (ME) 和点耦合 (PC) 参数集代表了协变密度泛函理论框架内两种截然不同但互补的方法。在ME方法中，核相互作用通过介子的显式交换介导，引入密度依赖的介子耦合强度以改进对核物质和有限核的描述，从而产生了DD-ME参数化。相反，PC方法完全消除了介子自由度，转而采用以核子密度的双线性项表示的接触相互作用，当与密度依赖耦合结合时，产生了DD-PC参数化。两种方法在重现核素图上核性质方面表现出相当水平的精度，同时为核相互作用的底层密度依赖性提供了互补的视角。在CDFT内改进现有参数集和开发新泛函仍然是一个活跃的研究领域。Taninah和Afanasjev引入了一项特别重要的方法论进展，他们提出了基于锚点的优化方法 (ABOA)，该方法针对精心挑选的一组球形锚点核优化泛函参数，并用一个考虑泛函全局性能的函数修正观测量，从而在显著降低计算成本的同时大幅改善了对结合能的描述 [25]。在此基础上，Taninah等人将ABOA框架扩展到CDFT内构建精确核质量表，表明该方法可与替代的全局拟合协议相媲美，同时仅需一小部分计算时间 [26]。最近，提出了一种新的点耦合泛函PC-L3R，并针对新测量的核质量进行了基准测试 [27]，DRHBc质量计算发现PC-PK1和PC-L3R都能在约1.5 MeV范围内重现新的质量数据，这比其他几种相对论和非相对论泛函所能达到的精度更为吻合。同样在相对论Hartree-Bogoliubov方法内开发了DD-ME2泛函的新参数化，旨在提供一种简化且计算成本更低的拟合程序，同时保持描述有限核表面性质的相当精度 [28]。总的来说，这些发展反映了对具有改进的全局精度和降低计算负担的下一代协变泛函的持续推动。一个新开发的点耦合CDFT求解器将框架扩展到双中心谐振子基底 [29]，专门设计用于改进对裂变过程中遇到的大而细长核构型的描述；对226Th和240Pu的应用表明，外裂变势垒有0.2–0.3 MeV的改进，并能更好地重现裂变碎片产额。此外，优化谐振子频率本身已被证明能显著提高数值精度 [30]。多参考CDFT (MR-CDFT) 扩展到奇质量核，通过在生成坐标方法中包括四极-八极形变平均场构型，并投影到角动量、粒子数和宇称，已成功再现了奇质量核的低能谱和电磁跃迁强度 [31]。MR-CDFT也已成为研究无中微子双β衰变核矩阵元的关键框架，近期的进展包括一种用于量化相关理论不确定性的子空间投影CDFT方法 [32]。RHB代码的计算成本随费米子基底尺寸显著增加。在谐振子表示中，单粒子基底维度随包含的主壳层数Nf组合增长：对于球形基底，状态数遵循闭式关系 ??????????????=(????+1)(????+2)(????+3)/6，而对于轴向形变基底，这种简单的因子化形式不再成立，必须随着形变依赖的壳层结构构建而数值累积基底维度 [33]。由于RHB方程需要对维度与该基底尺寸直接相关的矩阵进行对角化，而稠密对角化算法的复杂度随矩阵维度的立方增长（在轴对称下，为各个Ωπ块维度的立方和；见第3.5节），因此单次自洽迭代的计算成本随Nf迅速增加——在考虑结合了粒子和空穴、质子和中子自由度的RHB矩阵的完整准粒子结构后，这种效应进一步放大 [34]。内存需求也遵循类似的不利缩放，因为相关的密度、对和Dirac方程矩阵的规模随基底维度的平方增长。由于RHB方程必须迭代求解直至达到自洽 [34]，这种单次迭代成本对于单个核要乘以多次，并且在需要大规模计算（如质量表调查 [35] 或裂变势能面映射 [36]）中的许多核、形变和约束点上再次相乘。这一挑战对于形变核尤为突出，众所周知，在这种情况下求解RHB方程在数值上比球形情况困难得多 [37]。在球形核中，j和?保持为好量子数，因此RHB矩阵按j和宇称块对角化，使基底保持紧凑 [34], [38]。一旦球对称性破缺，只有Ω（角动量在对称轴上的投影）和宇称保留为好量子数，而j和?不再如此 [31], [38], [39]；具有不同?、j但相同Ω和宇称的谐振子态在形变平均场下混合，使自洽波函数展布到多个壳层而不是一个 [40]。重现这种混合——从而使RHB解收敛——需要比相当的球形核多得多的基底态，所需的Nf增量随形变程度增加，对于强形变、超形变或裂变形状，基底尺寸需显著增大 [36]。本文旨在系统研究费米子基底尺寸（通过主振子壳层数Nf表示）对RHB计算结果的影响。具体来说，我们研究关键输出观测量，包括总结合能、均方根半径、质子和中子对能以及质子和中子费米能，如何随Nf增加而变化，以及达到数值收敛所需的基底尺寸如何依赖于核形变程度和核素图上的质量数。通过在DIRHB框架内量化DD-ME2和DD-PC1泛函的这些依赖关系，本工作旨在为未来RHB计算中选择合适的基底尺寸提供实用且物理基础坚实的指导，在数值精度和计算成本之间取得平衡。

2. 理论框架本工作中使用两种互补的协变密度泛函理论 (CDFT) 表述来构建进入RHB方程的能量密度泛函，即有限程介子交换和零程点耦合表示。尽管它们在有效核子-核子相互作用的介导方式上有所不同，但两者都建立在相同的基本理念之上；一个相对论拉格朗日量，其中核子间的强相互作用通过密度依赖的耦合强度编码，这些耦合强度被调整以重现核物质性质以及有限核的基态观测量。此处使用的两个泛函，DD-ME2和DD-PC1，分别是每个族的代表性例子。

2.1. 介子交换表示：DD-ME2在介子交换图像中，核子不直接相互作用，而是交换介导强力的虚介子：同位旋标量-标量σ介子负责中程吸引力，同位旋标量-矢量ω介子产生短程排斥，以及同位旋矢量-矢量ρ介子解释核力的同位旋依赖性。质子间的库仑排斥通过耦合到光子场Aμ来包含。这个耦合的核子-介子系统动力学源于拉格朗日密度
(1)?=???????{??(????????????????→??→???????)??????????}??+12(????)2?12??2????2?14Ω????Ω????+12??2????2?14→??????→??????+12??2??→??2?14????????????，
其中ψ是核子的Dirac旋量场，m是其裸质量，mi和gi (??=??,??,??)分别表示介子质量和相应的介子-核子耦合常数。相关的场强张量读作
(2)Ω????=?????????????????,→??????=????→?????????→????,??????=?????????????????。
对公式(1)应用勒让德变换并限制在时间无关（静态）极限，得到相应的哈密顿密度，
(3)?=??∑??=1?????(????+????)????+12[(????)2+??2????2]?12[(????)2+??2????2]?12[(????)2+??2????2]?12(????)2+[??????????+????→????????+????→????→????+??j????????]，
它由同位旋标量矢量流、同位旋矢量流、质子（电磁）流和同位旋标量密度构成，分别定义为
(4)????=??∑??=1?????????(??)????????(??)，
(5)→????=??∑??=1?????????(??)→??????(??)，
(6)??????=??∑??=1?????(??)????????(??)，
(7)????(??)=??∑??=1?????????(??)????(??)。
这类相对论平均场拉格朗日量可追溯到Walecka的最初表述 [12], [41]，此后通过介子-核子顶点的众多密度依赖扩展而演变。其中，本工作采用DD-ME2参数化 [14]，其拉格朗日参数见表1。在RHB框架内，粒子-空穴通道由DD-ME2描述，而粒子-粒子通道中的对关联则采用可分离有限程力处理，见第2.3节。

表1。DD-ME2有效相互作用的拉格朗日参数集[14]。耦合常数及其密度依赖参数均为无量纲。参数DD-ME2参数DD-ME2m（MeV）939.0000bσ1.0943mσ（MeV）550.1238cσ1.7057mω（MeV）783.0000dσ0.4421mρ（MeV）763.0000aω1.3892gσ(ρsat)10.5396bω0.9240gω(ρsat)13.0189cω1.4620gρ(ρsat)3.6836dω0.4775aσ1.3881aρ0.56472.2. 点耦合表示：DD-PC1CDFT的一种替代且数值上更经济的表述，是将有限程介子传播子替换为核子双线性之间的局域（接触）相互作用，从而有效地积分掉介子自由度。在这种点耦合图像中，前一小节的每个介子交换通道——同位旋标量-标量、同位旋标量-矢量和同位旋矢量-矢量——被映射为相应的零程核子自相互作用项，相应的拉格朗日密度为(8)?=???????·[????·?????]·???12?????(???)·(?????????)·(?????????)?12?????(???)·(?????????????)·(?????????????)?12???????(???)·(???????→????????)·(???????→????????)?12?????(?????????????)·(?????????????)???·?????????·??·(1???3)/2·??。第一项是自由核子狄拉克拉格朗日量；下标S、V和TV分别标识同位旋标量-标量、同位旋标量-矢量和同位旋矢量-矢量相互作用通道。与δS成比例的导数（梯度）项提供了对有限程效应的领头阶近似，这些效应在纯局域相互作用中仅是隐含的。最后一项将核子场的质子分量与电磁场Aμ耦合，其中e为基本电荷。相应的哈密顿密度为(9)?=??∑??=1?????·(????+????)·?????12·(????)2+12·??·j????·????+12·[????·??2??+????·j??·j??+??????·→j??·→j??+????·????·□????]。耦合的介质依赖性并非逐点拟合，而是被约束为光滑的函数形式[15]，(10)?????(??)=????+(????+????·??)·???????·??(??≡??,??,????)，其中??=??/????????为核子密度归一化到对称核物质中饱和值ρsat。与点耦合泛函一起使用的配对相互作用，与DD-ME2一样，在动量空间是可分离的，并由单一参数集表征——高斯形状因子的宽度a和总配对强度G——其调整使得对称核物质中的配对能隙重现Gogny力的结果[42]。DD-PC1泛函的完整参数集汇总在表2中。表2. 拉格朗日量DD-PC1参数化的参数[15]，按式（10）标记。指数di为无量纲，cV、aTV和cTV为零。参数DD-PC1m（MeV）939aS（fm2）?10.04616bS（fm2）?9.15042cS（fm2）?6.42729dS1.37235aV（fm2）5.91946bV（fm2）8.86370dV0.65835bTV（fm2）1.83595dTV0.64025δS（fm?）?0.81492.3. 配对关联：可分离有限程力无论采用哪种粒子-空穴泛函，配对关联都以与常规Hartree-Fock-Bogoliubov理论相同的方式纳入：在正常密度ρ之外引入反常（配对）密度??=????????，使得总能量成为两者的泛函，E(ρ, k)。CDFT计算通常不采用示意性的零程配对力，而是采用有限程相互作用的可分离近似，因为这比接触力更接近地重现如Gogny相互作用等实际唯象力的配对性质[42]。这种可分离假设最初是为了规避零程力众所周知的配对窗口（截断）问题而构建的，通过使用Talmi-Moshinsky括号将相互作用矩阵元展开为有限个可分离项[43]。其两个自由参数被固定，使得在对称核物质中得到的配对能隙重现Gogny力的结果。在1S0通道中，相应的能隙方程为[39](11)Δ?(??)=?∫∞0??′2·????′/(2??2)·???|??1??0|??′?·Δ?(??′)/(2???(??′))，其中准粒子能量为(12)???(??′)=√[???(??′)???]2+Δ2?(??′)，μ为费米能，配对矩阵元因式分解为???|??1??0|??′?=???·???(??)·???(??′)，形状因子取高斯形式，(13)???(??)=?????2·??2。将p(k)傅里叶变换到坐标空间，配对相互作用变为(14)???????(??1,??2,??′1,??′2)=???·???(?????′)·???(??)·???(??′)，其中??=(1/√2)·(??1+??2)和??=(1/√2)·(??1???2)分别为相互作用核子对的质心和相对坐标，P(r)是p(k)的坐标空间表示，为(15)???(??)=1/(4????2)^(3/2)·?????2/(2??2)。尽管式（14）中???(?????′)因子的存在使得该力不能完全可分离，但它仍可在谐振子基中展开为质心主量子数N的有限个可分离项之和，(16)???1??2|??????|??′1??′2???=∑??·????*·??1??2·????·??′1??′2。得到的配对场具有紧凑形式(17)Δ??1??2=∑??·????*·??1??2·????，????=(1/2)·Tr?(????·??)，其中k为配对张量，相应的基态配对能简化为[42](18)??????????=???·∑??·??*??·????。在本工作中，原始配对参数取自文献[42]，即??=728 MeV fm3和??=0.6442 fm，对中子和质子以及两种泛函均采用相同的值。3. 结果与讨论自洽RHB方程使用轴对称变形的谐振子求解器DIRHB [39]求解，在粒子-空穴通道中采用密度依赖介子交换泛函DD-ME2 [14]和密度依赖点耦合泛函DD-PC1 [15]，每种均与Tian、Ma和Ring的可分离有限程配对相互作用[42]在粒子-粒子通道中结合。计算针对代表性的八个偶偶核进行，覆盖核素图从轻sd壳核16O到超重核294Ds，以采样不同的质量数、壳结构和平衡形变。对于每个原子核和泛函，Nf从容纳占据能级所需的最小值（4、6或8）开始，以步长2递增至????=24，并且在每个Nf下，基态在约束势能面上以步长Δ??2=0.05确定。玻色场在所有计算中展开到????=26壳，高于常用的????=20 [26]，因此下面报告的Nf依赖性仅来自费米子基。谐振子频率固定为???0=41???1/3 MeV，这是DIRHB [39]的默认值，对所有Nf和两种泛函均如此；相应的谐振子长度??0=(?/????0)^(1/2)从16O的1.60 fm到294Ds的2.59 fm不等。轴对称变形基由形变参数β0表征，它定义了沿对称轴和垂直方向的谐振子长度，????=??0·??^(1/3)和??⊥=??0·??^(?1/6)，其中??=exp?(3√5/(16??)·??0)。在约束势能面的每一点，β0被设置为β2的约束值，因此每个解都在与其自身形状匹配的基中计算。下文中，E表示总结合能，rp和rn分别为质子和中子均方根（rms）半径，rch为电荷半径，DIRHB从质子半径得到为?????=√(??2??+0.64 fm2)，??????????和??????????分别为质子和中子配对能[式（18）]，λp和λn分别为质子和中子费米能。基态形变列于表3中。没有原子核随Nf改变其形变的符号；变化仅涉及大小，并且除196Po外，都发生在扫描的第一步或第二步内。在DD-ME2中，24Mg的β2从0.45增加到0.50，50Cr的β2在????=4和6之间从0.30下降到0.25，152Sm在????=8时达到0.30。在DD-PC1中，50Cr在????=4和8之间显示0.30→0.25→0.30的凹陷，110Zr从?0.25稳定到?0.20，152Sm在????=8时下降到0.25。196Po是个例外：在DD-ME2中，其扁椭形变在??2≈?0.10和?0.20之间交替直到????=14，并在????=16时才达到最终值；而在DD-PC1中，在????=8的瞬态后，在????=10时稳定。由于196Po的DD-ME2基态是三轴形变，β2≈0.2且γ≈40° [44]，轴对称解可以在其两侧的浅极小值之间交替，因此这种缓慢稳定的一部分反映了轴对称形状的限制，而不仅仅是基截断。表3. 考虑的各原子核基态的轴向形变参数β2，由DD-ME2和DD-PC1参数化获得。短划线表示低于该核所用最小Nf的基尺寸。NfDD-ME2DD-PC1空16O24Mg50Cr110Zr140Xe152Sm196Po294Ds16O24Mg50Cr110Zr140Xe152Sm196Po294Ds400.450.30–––––00.500.30–––––600.500.2500.150.25?0.10–00.500.25?0.250.150.30?0.20–800.500.2500.150.30?0.10000.500.30?0.200.150.25?0.1001000.500.2500.150.30?0.20000.500.30?0.200.150.30?0.2001200.500.2500.150.30?0.15000.500.30?0.200.150.30?0.2001400.500.2500.150.30?0.15000.500.30?0.200.150.30?0.20016–2400.500.2500.150.30?0.20000.500.30?0.200.150.30?0.2003.1. 总结合能在本研究中，图1所示的基态能量（结合能）表现出最快且单调的收敛。可以看出，它在小Nf时急剧下降，然后趋于平缓，但对于重核，剩余的变化并非可忽略：在????=16和24之间，140Xe、152Sm、196Po和294Ds的E仍变化0.35–0.84 MeV，而DD-ME2中较轻核的变化小于0.1 MeV。由于这种绝对残差随核子数增加而增大，能量的收敛最好按每核子比较（第3.6节）。变形轻核24Mg和50Cr在????=6时显示出明显的过冲，而在球形16O中则弱得多：最小的基无法表示其拉长的密度，能量在β2稳定后恢复。对于弱变形的中等质量核，我们的结果与使用相同泛函对??=70同中子异位素发现的阈值????=10一致[45]。在????=24时，DD-PC1在八个核中的七个中比DD-ME2结合更强，幅度为0.6–5.0 MeV，唯一例外是294Ds。介子交换和点耦合泛函之间的这类偏移在全局调查中是已知的[35]；它们远大于剩余截断效应，因此是泛函之间的真实差异。对于110Zr，DD-ME2预测球形基态，而DD-PC1预测扁椭（??2=?0.20）基态，分别与文献[46]、[47]一致。下载：下载高分辨率图像（481KB）下载：下载全尺寸图像图1. 总结合能E作为主振子壳层数Nf的函数，分别用DD-ME2（灰色方块）和DD-PC1（红色圆圈）参数化计算。对于每个核和泛函，轴向四极形变β2在每个Nf下独立优化（见表3）。（关于图例中颜色引用的解释，读者可参考本文的网络版本。）3.2. 核半径质子和中子rms半径分别如图2和图3所示。电荷半径未单独显示：由于rch直接从rp得出，其Nf依赖性即rp的Nf依赖性。半径比结合能收敛更快。在0.01 fm的容差下，大多数核在Nf?6–12时已收敛，只有DD-ME2中的196Po（????=16）和294Ds（????=12–14）需要更多（表4）。在半径偏离平滑收敛的地方，不规则性与β2仍在稳定的Nf区间重合，这是预期的，因为更拉长或更扁平的核具有更大的均方半径[48]。例如，50Cr在????=6的凹陷，152Sm在DD-PC1中????=8的凹陷，以及最明显的196Po，其DD-ME2半径随β2锯齿状变化直到????=16，而DD-PC1半径随形变在Nf?12时稳定。相比之下，在110Zr、140Xe和294Ds中，接近????=10–12的较小不规则性发生在恒定形变下，反映了单粒子波函数的不完全分辨。下载：下载高分辨率图像（477KB）下载：下载全尺寸图像图2. 质子rms半径rp作为主振子壳层数Nf的函数，分别用DD-ME2（灰色方块）和DD-PC1（红色圆圈）参数化计算。对于每个核和泛函，轴向四极形变β2在每个Nf下独立优化（见表3）。（关于图例中颜色引用的解释，读者可参考本文的网络版本。）下载：下载高分辨率图像（475KB）下载：下载全尺寸图像图3. 与图2相同，但为中子rms半径rn。表4. 每个观测量在其????=24值的一定容差内所需的最小费米子壳层数Nf，以中等/高精度容差引用。E/A的容差为10/1 keV每核子，rp和rn为0.01/0.001 fm，????,????????和λp,n为0.1/0.05 MeV；这些是示例性的，其他选择可从图9和10中读取。短划线表示该通道在任何Nf下无配对；>22表示在????=24以下未达到容差。对于无配对通道，λ为能隙中点（第3.4节）。原子核泛函E/Arprn????????????????????λpλn16ODD-ME28/1210/168/14––8/86/8DD-PC112/148/126/12––8/106/1024MgDD-ME210/168/166/14––8/86/10DD-PC112/206/126/12––6/84/650CrDD-ME212/206/166/1612/16–6/104/10DD-PC110/228/188/1810/1012/128/108/10110ZrDD-ME210/1210/1212/2014/1614/1610/1012/12DD-PC110/2010/1412/1616/1616/188/1012/12140XeDD-ME210/2010/1812/2020/2216/188/1212/12DD-PC112/226/1412/1216/1616/1812/1212/12152SmDD-ME212/2010/188/2020/2018/2012/1212/14DD-PC112/2210/1210/1218/1818/1812/1210/14196PoDD-ME212/2216/1616/1620/2020/2216/1616/16DD-PC112/2210/1810/1418/2020/2012/1610/10294DsDD-ME214/2012/2012/2022/>22–10/1214/14DD-PC114/1814/2214/2222/>2220/2010/1416/163.3. 配对能配对能（图4和图5）比结合能和半径收敛更慢，且通常非单调：在0.1 MeV容差下，所需基随质量增加，从50Cr的Nf?10–12到294Ds的20–22，将容差收紧至0.05 MeV变化不大（表4）。在16O和24Mg的两个通道中，配对在每个Nf下恒为零，反映其大的壳间隙。可以区分两个不规则性来源。第一个是形状的稳定：小Nf时β2的变化会重组费米面附近的能级，从而改变活跃的配对空间[34]。这导致50Cr和152Sm中的瞬态摆动，最强烈的是152Sm的DD-PC1质子配对能在????=8时的极小值，以及196Po中持续到Nf?14–16的1至几兆电子伏的波动。第二个来源是泛函本身：单粒子谱的差异，以及某些情况下平衡形状的差异，在形变稳定后仍然存在。使用DD-ME2，50Cr的中子配对在每个Nf下完全消失，而在球形110Zr中，配对在????=10之前消失，并在更大Nf时保持较小值，约?0.5 MeV。DD-PC1则对50Cr给出约?1.1 MeV，对110Zr给出?7.4 MeV，其DD-PC1基态为扁椭（??2=?0.20）。在球形294Ds中，质子配对能很大（?14至?17 MeV），并且平滑但缓慢地收敛，而在DD-ME2中由于N=184壳层闭合，中子配对缺失，在DD-PC1中仅在Nf ? 14之后才出现，增长到约?0.6 MeV。因此，即使一个球形核，其配对观测量也可能在所考虑的最大基组下不完全稳定。下载：下载高清图片（441KB）下载：下载全尺寸图片 图4. 质子配对能E_p^pair作为主振子壳层数Nf的函数，用DD-ME2（灰色方块）和DD-PC1（红色圆圈）参数化计算。对每个核和泛函，在每个Nf处独立优化轴向四极形变β2（见表3）。（关于本图例中颜色引用的解释，请参阅本文的网页版本。）下载：下载高清图片（439KB）下载：下载全尺寸图片 图5. 同图4，但为中子配对能E_n^pair。3.4. 费米能 质子和中子的费米能分别如图6和图7所示。与结合能和半径（它们是整个密度的积分）不同，费米能由最靠近费米面的少数能级决定，因此对单个能级的基组相关移动更为敏感；收敛的总能量本身并不保证同样收敛的能级结构[49]。下载：下载高清图片（577KB）下载：下载全尺寸图片 图6. 质子费米能作为主振子壳层数Nf的函数，用DD-ME2（灰色方块）和DD-PC1（红色圆圈）参数化计算。实线连接的实心符号表示存在质子配对时的λp；空心符号表示在质子无配对通道中，最后一个被占满的规范质子能级和第一个空规范质子能级之间的中点λ?p，此时λp不由RHB方程确定（见正文）。点线连接的叉号表示DIRHB代码在这些无配对通道中输出的λp值。对每个核和泛函，在每个Nf处独立优化β2（表3）。（关于本图例中颜色引用的解释，请参阅本文的网页版本。）下载：下载高清图片（593KB）下载：下载全尺寸图片 图7. 同图6，但为中子费米能：实心符号表示配对通道中的λn，空心符号表示中子无配对通道中的能隙中点λ?n，叉号表示DIRHB代码在这些通道中输出的λn值。一个更基本的问题涉及无配对通道。在双幻数16O和24Mg的质子和中子通道中，配对在每个Nf处都消失；24Mg的N=Z=12构型位于β2 ? 0.5的大形变壳层能隙中。在DD-ME2中，对于294Ds的中子（由于N=184壳层闭合）和50Cr的中子（由于形变的N=26能隙），配对在每个Nf处也消失。在个别基组大小下，对于110Zr的中子（DD-ME2，Nf≤10）和294Ds的中子（DD-PC1，Nf=8、12和14），配对消失；在50Cr、110Zr和196Po中，在Nf≤8的少数几个点上，配对也消失。当配对场在壳层能隙处坍塌时，每个单粒子能级要么完全被占据，要么完全为空，粒子数条件由最后一个被占据能级和第一个空能级之间的任何λ值满足[50]。因此，在这种闭壳构型下，费米能没有良好定义[51]。DIRHB代码仅调整λ直到粒子数正确；由于对能隙内的任何值这已经成立，λ只是保持配对消失时它原有的值，该值取决于起始点和迭代过程而非基组。因此，16O打印的λ随Nf不规则变化，范围约2 MeV；24Mg在0.4–0.7 MeV范围内变化。对于这些通道，我们用壳层能隙本身来表征费米面。当|E_pair| < 10^-3 MeV时，该通道被视为无配对；在每种情况下，最后一个被占据能级（ε_occ）和第一个空能级（ε_emp）取自表3形变处收敛解的规范基，图6和图7显示它们的中点λ? = (ε_occ + ε_emp)/2，这是壳层闭合处费米能的常用工作定义[51], [52]。对于配对通道，显示DIRHB得到的λ值。被占据规范态的两倍数目精确地复现N和Z，而界定能隙的能级是预期的能级，例如16O中的1p1/2和1d5/2，24Mg中的3/2^+[211]和5/2^+[202]，以及50Cr的N=26中子中的5/2^?[312]和7/2^?[303]。与DIRHB打印的λ值（在无配对通道中是迭代的残留）不同，λ?仅依赖于收敛解的单粒子能级，因此对任何达到该解的计算都是相同的。按这种方式处理，16O和24Mg是收敛最好的情况之一，即从Nf=10开始，它们的中点保持在Nf=24值的0.02–0.03 MeV内，所以它们表观上的不规则性是无配对极限的性质，而非基组的性质。在其他地方，费米能同时反映形状和配对。在50Cr中，DD-PC1质子费米能在Nf=6处达到峰值，恰好在形变从0.30下降到0.25处；而DD-ME2的峰值在Nf=8，出现在β2稳定在0.25之后一步。在110Zr（DD-ME2）中，质子费米能在Nf=6和8之间急剧下降，中子费米能在Nf=10和12之间跃升，分别与质子和中子配对的开始相对应；之后λn保持在?3.90 MeV的0.01 MeV范围内。在140Xe中，在恒定形变下Nf=10处的波动（最明显的是约0.2 MeV的中子峰）反映了单粒子谱的分辨率；而在152Sm中，DD-PC1中子费米能在Nf=8处上升，正好在DD-PC1形变下降处。在从110Zr到196Po的重核中，196Po最后稳定：在DD-ME2中，两个费米能在Nf=14和16之间跳变，质子跳变0.35 MeV，中子跳变0.19 MeV，同时β2从?0.15变为?0.20，之后保持平坦。最后，在294Ds中，质子费米能从Nf ? 14起保持在其最终值的0.04 MeV范围内，而中子通道收敛更慢：在DD-ME2中，能隙中点直到Nf=14仍在移动0.1–0.2 MeV；在DD-PC1中，配对仅在Nf=16时建立，之后λn在Nf ? 20达到平台。3.5. 计算成本 除了精度，Nf的选择还受所需计算时间支配；对于本工作中讨论的较慢情况，需要Nf ? 16或更大的基组（第3.6节）。为量化这一成本，我们以50Cr为例。其形变且软基态需要在每个Nf处对势能面进行完整的约束扫描，这是形变核的通常程序；而其中等质量使得这种扫描在Nf=24以内可行。对于较慢的情况，需要Nf ? 16或更大的基组（第3.6节），因此其计算成本很重要。对于50Cr势能面的每一点（一个中等质量的软形变核），我们记录了RHB矩阵维数、迭代次数、每次迭代的挂钟时间以及对角化时间。所有运行使用DD-ME2，在Intel Core i7-8850H处理器（2.60 GHz）的单核上，使用GNU Fortran编译器。绝对时间取决于硬件、编译器及其选项、对角化例程（DIRHB使用自己的，基于Householder约化）和机器负载；而迭代次数取决于收敛容差、混合、起始场和约束的刚度。每个Nf处的表面从β2=0扫描到0.50：只有第一个点从Woods–Saxon势和单极配对场开始；之后的每个点从前一个点的收敛场和配对张量重新开始（DIRHB文件dirhb.wel和dirhb.del）。图8(a)显示每次迭代的时间从Nf=4时的0.03 s上升到Nf=24时的约31 s，在Nf=14以上大致按Nf^6.0缩放，而总RHB矩阵维数仅从178增长到12 398，在同一范围内按Nf^2.6缩放。由于Ω和宇称守恒，RHB矩阵分解为Ωπ块，维数为d_b = 2(n_f + n_g)，其中n_f和n_g分别是大、小狄拉克分量的振子态数目[39], [53]。每个块的对角化代价正比于d_b^3 [54]，因此对角化时间按∑_b d_b^3缩放，拟合斜率0.98证实了这一点，而不是按总维数的立方缩放。对角化在Nf=4时占每次迭代的6%，但在Nf=24时占90%；在固定Nf下，每次迭代的时间在不同形变间变化约10%，个别点偏离中位数达30%。下载：下载高清图片（340KB）下载：下载全尺寸图片 图8. 50Cr（DD-ME2，N_B=26）的RHB计算成本与费米子壳层数Nf的关系。(a)每次迭代的挂钟时间和在RHB对角化中花费的时间（对约束β2值取中位数；带表示全范围），以及RHB矩阵维数（右轴）。(b)每个Nf和约束β2下收敛所需的迭代次数；带框单元格标记基态形变（表3）。Nf=24行（*）用较软的四极约束计算（见正文）。相反，迭代次数对Nf依赖很小，对形变依赖很强[图8(b)]。大多数点在20–35次迭代内收敛，但β2=0.25的基态始终是最慢的之一，对Nf ≥ 6需要38–123次迭代，尽管它从仅0.05距离处的收敛解开始。那里的表面非常平坦：β2=0.25和0.30的构型仅差0.1–0.2 MeV，而β2=0.20和0.35的点分别高出0.4–0.5 MeV和0.9–1.1 MeV；在Nf=4时，两个最低点简并到打印精度，因此表3中β2=0.30。由于恢复力如此弱，迭代缓慢稳定，所以表面的软度决定了迭代次数。强形变点β2=0.50是另一个慢区域（对Nf ≥ 8需43–151次迭代）。在那里，用于较小基组的刚度常数0.1在Nf=24失败，所以Nf=24表面用0.01计算。DIRHB通过增广拉格朗日方法施加约束，该方法在保持局部凸性的情况下独立于刚度达到所要求的形变[39], [55]；因此这种改变不影响形变和每次迭代的时间，但改变了迭代历史（对β2≤0.20为23–32次迭代，而较小基组为15–29次；在β2=0.50为33次）。完整的11点扫描在Nf=4时约需13 s，Nf=16时19 min，Nf=22时3.5 h，Nf=24时5 h。对于50Cr，其DD-ME2结合能超过Nf=16后变化小于0.1 MeV，更大的基组使成本增加十倍以上而收益可忽略。3.6. 定量收敛判据 为了在共同基础上比较不同核和观测量之间的收敛性，我们为每个观测量O定义最小基组大小N_min^f，即满足对所有N_f' ≥ N_f，|O(N_f') ? O(24)|保持在所选容差以下的最小N_f。对所有更大N_f要求这一点，防止曲线偶然穿过参考值（如196Po的DD-PC1能量在Nf=12处那样）被计为收敛。何种容差合适取决于预期应用，因此这里使用的值是说明性的；其他选择可直接从图9和图10读出。我们使用两个水平。中度精度水平，即每个核子10 keV的能量、0.01 fm的半径以及0.1 MeV的配对能和费米能，适用于绝对量的系统研究：0.01 fm与测量电荷半径的不确定度相当[56]，且远低于这些泛函的全局均方根偏差（0.02–0.04 fm），而能量容差（对于此处研究的原子核，总能量为0.16–2.9 MeV）与实验质量的全局均方根偏差（2.0–2.4 MeV[35]）相当或更低。高精度水平，即每个核子1 keV、0.001 fm和0.05 MeV，对应的能量相对精度约为10??，这一精度被认为是结合能所需的水平[35]，旨在用于截断误差不会相互抵消的差值计算，如分离能、Qα值或电荷半径的同位素位移。能量按每个核子比较，因为绝对截断误差随核子数增加而增大[图9(e)]；绝对容差δE对应于δ(E/A)=δE/A。结果汇总于表4中。由于Nf=24本身是一个有限基组，|O(Nf)?O(24)|会低估接近Nf=24时的真实误差，因此Nmin f为20–22的数值仅具有指示意义。这里值得提及的是，所有结果均采用标准振荡频率获得。优化的?ω0会降低给定Nf下的截断误差[30]，因此会将Nmin f的值（特别是重核的结合能）移至更小的Nf，故表4应视为采用优化频率计算时的上限。然而，我们预期优化会减小而非消除与形变稳定和对关联出现相关的特征；定量评估需要对多个频率重复全套计算。

下载：下载高分辨率图像（690KB）
下载：下载完整尺寸图像
图9. 每个可观测量趋近其Nf=24值的程度，|O(Nf)?O(24)|，对于DD-ME2：(a)每个核子的能量，(b)质子均方根半径，(c)质子对关联能，(d)质子费米能；(e)结合能，(f)中子均方根半径，(g)中子对关联能，(h)中子费米能。虚线和点线分别标示表4中的中度和高精度容差；(e)中未绘制容差线，因为能量是按每个核子判定的。任何Nf下无对关联的通道不出现在(c)和(g)中。

下载：下载高分辨率图像（700KB）
下载：下载完整尺寸图像
图10. 同图9，但针对DD-PC1。

呈现出三种趋势。第一，在中度精度水平下，对于所研究的每个原子核，Nf=14足以满足每个核子的能量要求，Nf=16足以满足半径和费米能的要求，而对关联能所需的基组随质量增长，从??Cr中的Nf=10–12到2??Ds中的20–22；将其容差收紧至0.05 MeV在大多数情况下最多将Nmin f提高两个壳层。第二，在高精度水平下，能量将球形核与形变核区分开来：1?O和11?Zr的球形DD-ME2解在Nf=12–14达到收敛，超重但球形的2??Ds在Nf=18–20达到收敛，而形变核（包括弱形变的1??Xe）仅在Nf=16–22达到收敛。第三，半径和费米能收敛最慢的是2??Ds，以及对于DD-ME2而言形状不稳定的1??Po，它们即使在中度精度水平下也需要高达Nf=16。因此所需的基组取决于可观测量、形变程度和单粒子空间的大小，而非仅取决于质量数。

4. 总结与结论
我们研究了费米子振荡基组的大小如何影响使用DIRHB[39]以及DD-ME2[14]和DD-PC1[15]泛函进行的RHB计算，追踪了从1?O到2??Ds的八个原子核的结合能、半径、对关联能和费米能以及自洽形变直至Nf=24。主要结论如下：

(i) 各可观测量以不同的速率收敛。在中度容差下，大多数原子核的半径和费米能在Nf?6–12收敛，每个核子的能量在Nf=8–14收敛，而对关联能收敛最慢，通常呈现非单调行为，所需基组随质量增长，在2??Ds中达到Nf?20–22（表4）。

(ii) 所需基组取决于可观测量、所需精度、形变程度和单粒子空间的大小，而非仅取决于质量数。在高精度下，球形1?O和11?Zr（DD-ME2）的能量在Nf=12–14收敛，而形变核需要Nf=16–22，超重核2??Ds以及对于DD-ME2而言形状不稳定的1??Po是半径和费米能收敛最慢的案例。大多数非单调特征，如2?Mg和??Cr的能量过冲以及??Cr和1?2Sm的半径凹陷，与β?的稳定相吻合。在1??Po中，缓慢稳定部分归因于轴对称限制，因为其DD-ME2基态是三轴形的，如参考文献[44]所述。

(iii) 在对关联坍缩的通道中，费米能不由RHB方程确定，DIRHB代码返回的值仅反映迭代历史。用壳层间隙的中点来表征这些通道消除了1?O和2?Mg的表观不规则性，它们随后被列为收敛最好的案例；费米能的残余跳跃标志对关联的出现，如11?Zr和2??Ds。

(iv) DD-ME2和DD-PC1之间的差异，如11?Zr和2??Ds的中子对关联以及相差0.6–5 MeV的结合能，在收敛计算中持续存在，这反映了泛函本身的差异（通过其单粒子谱，某些情况下通过其平衡形状），而非基组的差异。

(v) 每次迭代的计算时间近似按Nf?增长，因为Ωπ块的对角化按∑b db3标度，而在??Cr中迭代次数由能量面的软度决定，而非由Nf决定。

对于弱形变的中质量原子核，我们的结果与N=70同中子异位素所采用的Nf=10阈值一致[45]，但此类阈值不能推广到形变、软或超重核。作为实用指南，在中度容差下，Nf=14足以满足所有研究原子核（包括软核和超重核）的每个核子能量要求，Nf=16足以满足半径和费米能要求，而重核的对关联能需要Nf?14–22，随质量增加。在高精度水平下，轻球形核的能量在Nf?12–14收敛，其半径在Nf?16收敛，而形变核和超重核两者均需要Nf?16–22，接近所考虑的最大基组。容差应根据应用所需的精度来选择，对于处于形状跃迁或形状共存区域的原子核，仅能量收敛并不是整体收敛的可靠指标。

H.M. Elsharkawy