高阶利普希茨类的哈代分解与多单基因函数

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Hardy decomposition of higher order Lipschitz classes by polymonogenic functions

　　摘要本文中，我们将高阶Lipschitz函数分解为多调和函数（polymonogenic function）的迹，并求解一个相关的Riemann-Hilbert问题。我们的方法在于使用一个Clifford型Cauchy算子，该算子在Lipschitz函数空间上表现为对合算子。所得结果是复平面上简单闭曲线上H?lder连续函数的Hardy分解的多维锐化版本。引言定义在复平面某集合上的指数0<α≤1的h?lder函数空间具有众多性质，并在解析函数理论中扮演重要角色。例如，对cauchy变换的奇异版本进行讨论是有意义的。实际上，由plemelj-sokhotski公式，求解如下边值问题：寻找一个在无穷远处消失的、在闭光滑曲线上具有跳跃等于给定h?lder函数f的分片解析函数，可由f的cauchy变换解决[13]。这一结果导致h?lder类的hardy分解，即分解为两个不相交的h?lder空间之和，这两个空间由cauchy变换从内部和外部区域逼近曲线时的极限值所刻画。当α=1时，h?lder条件成为著名的lipschitz条件，该条件在微分方程理论中被广泛使用；而当α>1时，H?lder类仅由常数构成。然而，若考虑高阶Lipschitz函数，在该条件下会出现一个非平凡的空间。在文献[2]中，作者在polyanalytic函数（即迭代Cauchy-Riemann方程零解）的语境下找到了Lipschitz类的分解[4]。从更一般的观点看，Clifford分析中迭代Dirac算子的零解（参见例如[5]和[9]）引出多调和函数，因此一个自然的问题是：这种分解在此多维背景下是否仍然成立。最近在文献[8]中，作者在试图证明该结论时，获得了一阶Lipschitz类到双调和函数（bimonogenic functions）迹的分解，这些函数不过是Clifford代数值调和函数，因为Dirac算子分解了Laplacian。在本文中，我们综合了上述工作中所采用的方法，并证明了高阶Lipschitz类到Clifford代数值多调和函数的一般分解。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍关于实分析和Clifford分析的一些预备知识。在第3节中，我们不加证明地概述与高阶Lipschitz函数相关的Cauchy型积分算子及其奇异版本的相关材料，并借助迭代Dirac算子的多重指标公式将文献[1]的定理3推广到一般阶数。在第4节中，我们陈述并证明我们的主要结果。最后，我们还求解了一个给定Lipschitz数据的多调和函数的Riemann-Hilbert问题。章节片段定义及相关结果具有非负整数分量ji（对每个i=1,m?）的m元组j=(j1,…,jm)称为多重指标。给定多重指标j，我们回顾：xj=x1j1?xmjm，j!=j1!?jm!，|j|=j1+?+jm，?j=?x1j1…?xmjm。请读者注意，在本文中，字母j，l，p和q将保留用于多重指标，而字母i，s，u和v保留用于求和指标。定义2.1设E为Rm的闭子集，k为非负整数，0<α≤1。我们称定义在e上的实值函数f属于lipschitz类lip(k+α,e)，如果f及其所有直至k阶的导数?jf（|j|≤k）在e上有界，并且对于|j|=k，满足如下条件：存在常数c>0，使得对一切x,y∈E，有|?jf(x)-?jf(y)|≤C|x-y|^α。此外，如果f是定义在E上、取值于Rm的实Clifford代数R0,m中的函数，则我们称f属于Lip(k+α,E)，若其每个分量函数都属于Lip(k+α,E)。我们记R0,m为Rm上由基元e1,…,em生成的实Clifford代数，满足关系e_i e_j+e_j e_i=-2δ_ij。R0,m中的每个元素可唯一表示为a=∑_S a_S e_S，其中S?{1,…,m}，a_S∈R，e_S=e_{i1}?e_{ir}，S={i1<…