带弱奇异核和变系数非局部演化偏微分方程的块下三角预处理及GLT谱分析

《Mathematics》：Block Preconditioning for All-at-Once Variable-Coefficient Fractional Evolution Equations via the GLT Analysis

　　我们研究一类带有弱奇异时间核和空间变扩散系数的非局部演化偏微分方程。该模型定义在Ω ? ?上，并涉及一个空间上的左侧黎曼-刘维尔分数阶导数乘以变系数a(x)。时间导数采用L1型格式逼近，空间算子通过有限差分技术离散化，从而得到具有两级类Toeplitz结构的大规模全联立线性方程组。我们提出并分析一种块下三角策略，该策略模仿系数矩阵的结构，同时简化其组成部分以提高计算效率。分析在矩阵序列层面通过广义局部Toeplitz（GLT）理论进行。在此框架下，我们刻画了离散化算子的渐近谱分布，并利用关联的GLT符号来指导结构化逼近的构造。使用GMRES求解器的数值实验表明，所提出的预处理策略显著改善了大尺度问题的收敛速率、鲁棒性和可扩展性。本文最后简要讨论了开放问题和可能的扩展方向。