通过赫尔维茨-弗罗贝尼乌斯流形的亏格零Whitham层次

《Journal of Geometry and Physics》：Genus zero Whitham hierarchy via Hurwitz–Frobenius manifolds

　　摘要

B. Dubrovin 引入了一类 Dubrovin–Frobenius 流形结构，定义在由亏格 g 的黎曼曲面到球面的分歧覆盖空间上，且具有给定的分歧轮廓。该结构现被称为亏格 g 的 Hurwitz–Frobenius 流形。我们研究亏格零的 Hurwitz–Frobenius 流形及其与可积层次的联系。特别地，我们证明亏格零 Hurwitz–Frobenius 流形的 Frobenius 势是稳定的，从而定义一个无穷交换偏微分方程组系统。我们证明该偏微分方程组系统等价于 I. Krichever 的亏格零 Whitham 层次。我们的结果表明，该偏微分方程组系统同时具有 Fay 形式（其强烈依赖于 Hurwitz–Frobenius 流形的平坦结构）和无坐标 Lax 形式。我们还展示了如何通过微分算子的 ?–形变将该偏微分方程组系统推广到多成分 KP 层次。

引言

Dubrovin–Frobenius 流形与可积层次之间的紧密联系早在 90 年代初就已为人所知。这包括 Dubrovin–Zhang [DZ] 和 Buryak [Bu] 的一般构造，以及更具体的例子，如 [12], [7], [13], [20], [18], [14], [11], [5], [2], [3], [4]。我们对具体例子感兴趣，因为它们假定 Dubrovin–Frobenius 流形在某种程度上具有特殊性。所引用的文献按连接 Dubrovin–Frobenius 流形与可积层次的方法分组。第一组使用 Lax 算子，第二组使用 Hirota 型双线性方程，第三组使用双哈密顿结构，最后一组使用 Fay 型方程。这些方法差异很大。特别地，Lax 算子方法仅应用于 A 型 Dubrovin–Frobenius 流形。双线性方程形式仅对来自斋藤理论的少数例子已知。上述 Fay 型方法只能应用于满足特定稳定化条件的 Dubrovin–Frobenius 流形族。

在本文中，我们推广了 [12], [7] 的 Lax 算子方法和 [BaDbN] 的 Fay 型方法。特别地，我们考虑称为亏格零 Hurwitz–Frobenius 流形的特定 Dubrovin–Frobenius 流形，并证明这两种方法均可用于它们，从而给出由 I. Krichever [K94] 引入的 Whitham 层次。

Dubrovin–Frobenius 流形由 B. Dubrovin 在 90 年代初引入（参见 [D2]）。这是一个复流形 M，配备了一个结合且交换的乘积 °:TM?_M TM→TM（作用于全纯切层）、一个平坦配对 η:TM?_M TM→O_M 以及一个平坦单位向量场。所有这些数据应满足一定的可积性条件。特别地，应存在特殊坐标 t1,…,t?，称为平坦坐标，以及一个特殊函数 F∈O_M，称为势函数，使得单位向量场与 ?/?t1 一致，且

η(?/?t_α, ?/?t_β) = ?3F/(?t1?t_α?t_β) = η_{α,β} ∈ C,

?/?t_α ° ?/?t_β = Σ_{γ,δ=1}^n (?3F/(?t_α?t_β?t_γ)) η^{γ,δ} ?/?t_δ.

势函数满足一个庞大的偏微分方程组系统，称为 WDVV 方程。有时 Dubrovin–Frobenius 流形本身由给定的势函数构造——例如在 Gromov–Witten 理论中。在这种情况下，上述公式应从右向左读。在“几何”情形中，配对 η 和乘积 ° 是已定义的，但势函数和平坦坐标需要求解。此类 Dubrovin–Frobenius 流形的例子包括 Saito–Frobenius 流形（参见 [ST]）和 Hurwitz–Frobenius 流形。

B. Dubrovin [D2, 第五讲] 观察到，由亏格 g 的黎曼曲面到 P1 的、具有给定分歧轮廓 K 的分歧覆盖空间 H_{g,K} 可以赋予 Dubrovin–Frobenius 流形结构。此类结构在 [25], [19], [1], [23] 等文献中得到了研究。B. Dubrovin 通过特定的留数演算构造 η 和 °。

在本文中，我们考虑空间 H_{0,K}，其中 g=0 且 K={k?,…,k_N}，λ:P1→P1

λ(z) := z^{k?} + Σ_{a=1}^{k??1} v_{0,a} z^{a?1} + Σ_{i=1}^N Σ_{a=1}^{k_i} v_{i,a?1} (z?q_i)^{?a}，

其中 v_{i,a} 和 q_i 是 H_{0,K} 的坐标。这些坐标看起来是参数化 H_{0,K} 中亚纯函数的自然坐标，然而这些坐标不是平坦的。平坦坐标 t^{i,α}=t^{i,α}(v_{i,•}) 是通过涉及函数 λ 的特定留数演算得到的。

在下文中，我们将 K 视为整数向量。特别地，它是有序的。

Hurwitz–Frobenius 流形 H_{0,k?}（其中 K 长度为 1 且 N=0）同构于 A_{k??1} 型的 Dubrovin–Frobenius 流形。此时函数 λ 与 (k??1)–KdV 的 Lax 算子的符号一致，这在 [DVV] 中被广泛使用。

本文的第一个定理如下。考虑 H_{0,K} 和 H_{0,L}，其中 K={k?,k?,…,k_N} 且 L={l?,l?,…,l_N}。注意，假设 K 和 L 的长度相同。如果对每个指标 j 有 l_j ≥ k_j，则称 L≥K。

定理 3.3（下文）
设 L≥K，分别记 F_L 和 F_K 为 H_{0,L} 和 H_{0,K} 的势函数。对任意 0≤i,j≤N，设 α≤k_i，β≤k_j（若 i≠j），且 α+β≤k_i?2（若 i=j）。则

?2F_K/(?t^{i,α}?t^{j,β})|_{t^{r,γ}=?k_r s_r, k_r?γ} = ?2F_L/(?t^{i,α}?t^{j,β})|_{t^{r,γ}=?k_r s_r, k_r?γ}

假设其作为 s_{r,•} 和 q?,…,q_N 的函数相等。在 [BaDbN] 中，满足上述等式的一类 Dubrovin–Frobenius 流形被称为稳定化的。在 loc.cit. 中观察到，稳定化的 Dubrovin–Frobenius 流形可用于引入无穷交换偏微分方程组系统。

考虑依赖于 {t^{i,α}} 的函数 f，其中若 i≥1 则 α=0,1,2,…，若 α=0 则 α=1,2,…。记 ?_{i,α} := ?f/?t^{i,α}。相应的关于 f 的偏微分方程组系统为

?_{i,α}?_{j,β} f = ?2F_K/(?t^{i,α}?t^{j,β})|_{t^{r,γ}=?k_r ?_{0,1}?_{r,k_r?γ} f}，

其中集合 K 应选取使得 α≤k_i，β≤k_j，且若 i=j 则 α+β≤k_i?2。上述定理表明，满足此性质的任何集合 K 都会在等式右边给出相同的表达式。由 WDVV 方程可知，该偏微分方程组系统是可交换的。

推论
Hurwitz–Frobenius 流形族 H_{0,K} 定义一个无穷交换偏微分方程组系统。

I. Krichever 在 [K94] 中引入了与上述分歧覆盖空间相关的无色散层次。该层次在包括 [8], [16], [30], [32] 等在内的许多论文中得到了研究。I. Krichever 的定义以双线性方程形式给出，但它也具有以下 Lax 形式，推广了 [DVV] 的思想。

设 z?,z?,…,z_N 为在穿刺点处的无穷洛朗级数

z? = z + Σ_{j=2}^∞ u_{0j} z^{?j+1}，

z_i = r_i (z?q_i) + Σ_{j=1}^∞ u_{ij} (z?q_i)^{j?1}，

其中 r_i 和 u_{ij} 依赖于 v_{ij}。层次的时演化由

?_{αn} z_i = {Ω_{αn}(z), z_i}

生成，其中泊松括号为

{f,g} = (?f/?z)(?g/?t?1) ? (?f/?t?1)(?g/?z)，

哈密顿量 Ω_{αn} 由以下等式给出

z?? = Ω_{0n}(z) + O(z?1)， z→∞，

z_α? = Ω_{αn}(z) + O(1)， z→q_α。

该层次由定义即知是无色散的。

Takasaki 和 Takebe 在 [TT07] 中给出了亏格零 Whitham 层次的 Fay 形式。对 i=0,1,…，考虑算子

D_i(z) := Σ_{α=1}^∞ (z^{?α}/α) ?_{i,α}， 其中 ?_{i,α} := ?/?t^{i,α}。

设函数 f 依赖于 {t^{i,α}}，其中若 i≥1 则 α=0,1,2,…，若 α=0 则 α=1,2,…。以下在 z?1 和 w?1 的形式幂级数环中的方程组系统，是写出关于函数 f 的无穷偏微分方程组系统的一种方式。

e^{D?(z)D?(w)f} = 1 ? (?_{0,1}(D?(z)?D?(w))f)/(z?w)，

z e^{D?(z)(?_{i,0}+D_i(w))f} = z ? ?_{0,1}(D?(z)??_{i,0}?D_i(w))f，

e^{(?_{i,0}+D_i(z))(?_{i,0}+D_i(w))f} = ?(zw ?_{0,1}(D_i(z)?D_i(w))f)/(z?w)，

ε_{ij} e^{(?_{i,0}+D_i(w))(?_{j,0}+D_j(w))f} = ??_{0,1}(?_{i,0}+D_i(z)??_{j,0}?D_j(w))f， i≤j。

Takasaki 和 Takebe 证明了其等价于亏格零 Whitham 层次。将 z^{?a}w^{?b} 赋予次数 a+b，则 z?1 和 w?1 的形式幂级数环成为 N–分次的。这允许我们仅考虑上述方程至某一固定次数。

定理 4.1（下文）
考虑 Hurwitz–Frobenius 流形 H_{0,k?,k?,…,k_N}，其势函数为 F，记 m:=min(k?,k?,…,k_N)。在重新标度 t^{i,α} ? α t^{i,α}（其中 i≥0 且 α≥1）之后，势函数 F 满足亏格零 Whitham 层次的 Fay 形式，至次数 m。

推论
由稳定化的 Hurwitz–Frobenius 流形族 H_{0,K} 定义的无穷偏微分方程组系统与亏格零 Whitham 层次一致。

值得注意的是，我们的定理连接了引入与 H_{0,K} 相关的可积系统的两种方式：Lax 形式——由 I. Krichever 给出，以及 Fay 形式——由 H_{0,K} 的势函数得到。

注记 1.1
亏格零 Whitham 层次在 [26], [27] 中于 Dubrovin–Frobenius 流形的背景下被研究，但采用了一种完全不同的方法，即假设一个称为“无穷维 Frobenius 流形”的新概念。

在 [TT07] 中也发现，亏格零 Whitham 层次是多成分 KP 层次的无色散极限（参见 loc.cit. 的定理 2）。他们的结果也帮助我们由等式 (1.1) 构造色散层次。这通过微分算子 D_i 的所谓 ?–形变得到。我们在第 4.1 节中解释这一点。

Alexey Basalaev 的工作得到了俄罗斯科学基金会的资助（项目编号 24-11-00366）。

作者感谢匿名审稿人提出的许多重要意见和评论，使本文更加全面。

章节片段

Dubrovin–Frobenius 流形

设 M 为 C^l 的开子空间。如果 M 上存在一个正则函数 F=F(t1,…,t^l)，使得以下条件成立（参见 [D2]），则称 M 被赋予 Dubrovin–Frobenius 流形结构。

• 存在一个特殊变量 t^k（对某个 1≤k≤l），使得：

?F/?t^k = ? Σ_{α,β=1}^l η_{αβ} t^α t^β，

且 η_{αβ} 是一个非退化双线性形式 η 的分量（其不依赖于 t_•）。在下文中，记 η^{αβ} 为 η?1 的分量。

• 函数 F 满足一个庞大的偏微分方程组系统，称为稳定化

在本节中，考虑 Hurwitz–Frobenius 流形 H_{0,K} 和 H_{0,L}，其中 K={k?,k?,…,k_N} 且 L={l?,l?,…,l_N}。注意，集合 K 和 L 的长度相同。如果对每个指标 j 有 l_j ≥ k_j，则称 L≥K。

在证明稳定化性质时，我们将不得不处理不同 Hurwitz–Frobenius 流形的类似定义的坐标和结构。因此，我们将用 v_{i,α}^K, t^{i,α}_K, v_{i,α}^L, t^{i,α}_L 分别表示 H_{0,K} 和 H_{0,L} 的 v_• 和 t_• 变量。并且我们将记

Whitham 和多成分 KP 层次

按照 [TT07] 的定理 1，以 Fay 形式引入亏格零 Whitham 层次。

对 i=0,1,…，考虑算子

D_i(z) := Σ_{α=1}^∞ (z^{?α}/α) ?/?t^{i,α}。

在下文中，我们也将简写 ?_{i,α} = ?/?t^{i,α}。

则亏格零 Whitham 层次是关于函数 f 的以下交换偏微分方程组系统，f 依赖于 {t^{i,α}}，其中若 i≥1 则 α=0,1,2,…，若 α=0 则 α=1,2,…。

e^{D?(z)D?(w)f} = 1 ? (?_{0,1}(D?(z)?D?(w))f)/(z?w)，

z e^{D?(z)(?_{i,0}+D_i(w))f} = z ? ?_{0,1}(D?(z)??_{i,0}?D_i(w))f，

e^{(?_{i,0}+D_i(z))(?_{i,0}+D_i(w))f} = ?(zw ?_{0,1}(D_i(z)?D_i(w))f)/(z?w)，

ε_{ij} e^{(?_{i,0}

未引用参考文献

[9] [15] [21] [28] [29] [31] [33]

Alexey Basalaev