拓扑优化用于膜-基底屈曲中的三维形貌控制

《International Journal of Solids and Structures》：Topology optimisation for 3D topography control in membrane–substrate buckling

　　膜-基底屈曲可以产生多种功能性表面形貌。然而，膜-基底系统的非线性后屈曲响应具有强烈的路径依赖性，且受制于相互竞争的平衡分支，这给驱动下的形貌控制带来了挑战。通过将加载路径纳入优化问题，本文提出了一种增强的基于密度的三维后屈曲形貌控制拓扑优化框架。该框架优化基底拓扑结构，以在规定的加载历史下实现目标屈曲形貌。数值和物理结果均表明，优化设计能够生成规定的三维屈曲形貌，沿加载路径编程形貌演化，并在规定的同步和顺序加载历史下实现与路径无关的最终形貌。

引言

膜-基底系统的屈曲可以产生具有广泛潜在应用价值的多种表面形貌。在空气动力学领域，通过可控屈曲在类似高尔夫球的弯曲基底上生成的凹痕表皮可以延迟流动分离，从而降低气动阻力（Lin等，2021；Terwagne等，2014）。在软体机器人领域，贴合在柔性体上的硬质膜被编程为在驱动下产生褶皱或凹痕，从而形成摩擦可调的表皮和纹理化接触界面，以支持运动和抓取（Trinh等，2019；Suzuki和Ohzono，2016）。更广泛地说，粘接在软基底上的薄膜中的机械可编程褶皱图案为调节变形表面的光学响应、润湿性和界面摩擦提供了一条灵活的途径（Tan等，2020；Zhang等，2020；Sarabia-Vallejos等，2023）。

大量研究表明，膜-基底屈曲形貌由膜-基底模量比和膜厚度决定，这两个参数决定了临界应变和特征褶皱波长（Bowden等，1998；Audoly和Boudaoud，2008；Li和Sun，2022）。当压缩应变超过临界应变时，次级不稳定性可以将初级褶皱模式转变为更复杂的形貌，加载路径和缺陷会在竞争图案之间进行选择（Audoly和Boudaoud，2008）。现有的控制策略采用了规定的表面图案化（Zhang等，2019；Wu等，2014；Chan等，2008）和具有空间变化刚度分布的梯度基底（Chen等，2018；Zhao等，2017；Liu等，2024）。这些方法为控制表面屈曲提供了有效途径，但当材料属性和厚度比固定、目标形貌无法用少量设计参数描述，或需要在后屈曲区域进行形貌控制时，其正向设计的性质就成为了限制。最近，一个逆向设计框架证明可以通过优化基底刚度分布来引导二维膜-基底系统进入规定的屈曲模式（Zhou等，2026）。然而，二维设置限制了可实现形貌的范围。此外，该框架仅考虑了屈曲起始时的形貌，并且采用线性材料模型实现，而后屈曲区域的形貌控制仍未得到探索。

在三维设置中，膜-基底屈曲可以产生更丰富的形貌，包括波状、棋盘状和迷宫状图案（Audoly和Boudaoud，2008）。在后屈曲区域，所产生的形貌不仅受最终应变幅值控制，还受加载方向和加载历史的影响（Xu等，2014；Saha，2017）。例如，同步和顺序等双轴压缩即使在相同的最终应变状态下也可能导致不同的棋盘状或迷宫状形貌（Nikravesh和Shen，2022）。这种路径依赖性可以从能量的角度理解：后屈曲能量景观高度非凸，包含多个被能垒隔开的可容许平衡状态，因此不同的加载历史可以引导结构沿不同的平衡分支走向不同的最终形貌。

因此，在二维屈曲起始拓扑优化框架的基础上，本文将加载路径纳入设计公式，并将逆向设计框架从屈曲起始控制扩展到完全三维的后屈曲形貌控制。关键思想是优化基底拓扑结构，使结构在规定的加载路径下被引导至规定的最终形貌。该公式将修正的Neo-Hookean超弹性模型与低密度能量插值方案和延拓策略相结合，以支持后屈曲区域的大变形拓扑优化（Klarbring和Str?mberg，2013；Wang等，2014；Dalklint等，2021；Zhang等，2023）。还引入了可制造性约束公式，以促进连通的内部空洞并提高优化设计的实际可实现性。该框架通过最终形貌控制、可编程形貌演化和与路径无关的设计进行了验证。部分选定的优化设计还被制造并进行物理测试，以评估所提出方法的可行性。

本文组织如下。我们首先在第2节介绍增强的三维拓扑优化框架和优化公式。然后在第3节介绍正向模型的数值验证，以及基线未优化系统的路径依赖响应。随后在第4节给出优化结果。接下来，在第5节对选定的设计制造物理原型并进行测试。最后，本文总结主要发现。

章节片段

模型几何、材料和加载条件

本文考虑的膜-基底系统由厚度为????的膜粘接在厚度为????的基底上构成，横向尺寸为????×????，如图1(a)所示。为了在顶面产生屈曲形貌，底面（图1(a)中的表面E）在z方向固定，同时保持可在x-y平面内自由移动，顶面（表面F）自由变形。四个侧面（表面A-D）施加位移控制的

网格收敛研究和数值验证

有限元模拟使用Python框架Firedrake进行（Rathgeber等，2016）。线性系统使用PETSc求解（Balay等，2019），而特征值问题通过slepc4py使用SLEPc求解（Hernandez等，2005）。非线性问题通过具有线搜索和步长控制的自适应Newton求解器求解。所有模拟均在双插槽AMD EPYC工作站上执行，并通过MPI使用PETSc在48个CPU核心上并行化。为了验证

拓扑优化结果

数值验证后，进行了四个拓扑优化任务以展示该框架的能力。案例D分别在有无可制造性约束的情况下进一步考虑。无约束版本用于评估不同加载历史是否可以驱动到相同的最终形貌，而约束版本用于避免孤立的内部空洞并提高物理测试的实际可实现性。

试样制造和评估设置

为了验证模拟设计，测试了两个代表性案例：案例C和案例D的可制造性约束版本。空洞几何通过3D打印的可溶性聚乙烯醇（PVA）牺牲插件重建。在硅胶浇注和固化后，插件在温流动水中溶解并通过底部连通通道移除。压缩测试使用定制的双轴试验装置进行。试样制造

结论

在用于膜-基底系统失稳起始时二维屈曲模式控制的逆向设计优化框架的基础上，本文将该框架扩展到后屈曲区域的三维形貌控制。通过将修正的Neo-Hookean公式、能量插值稳定方案、固定压缩加载策略和基于密度的拓扑优化相结合，该框架将加载路径纳入优化，并

CRediT作者贡献声明

Wei Zhou：写作——审阅与编辑，写作——原稿，验证，方法学，形式分析，概念化。Charlie Aveline：写作——审阅与编辑，验证。Robert Hewson：写作——审阅与编辑，监督，方法学，概念化。Matthew Santer：写作——审阅与编辑，监督，方法学，概念化。

利益冲突声明

作者声明，他们没有任何已知的竞争经济利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

Wei Zhou|Charlie Aveline|Robert Hewson|Matthew Santer