阻尼声学超材料的时空非局部均匀化方法

《International Journal of Solids and Structures》：Spatiotemporal nonlocal homogenization method for damped acoustic metamaterials

　　阻尼声学超材料为振动衰减提供了有效途径，但当微结构散射和材料耗散均显著时，对此类超材料构成的有限结构进行结构尺度的动力学分析仍然具有挑战性。为应对这一挑战，本文提出了一种时空非局部均质化方法，用于在大空间和时间尺度上高效且准确地分析由阻尼声学超材料构成的结构。该方法通过强制微观与均质化描述之间的复能带结构一致性，在微观描述与均质化描述之间建立直接联系，从而能够标定等效材料属性以及空间和时间非局部参数。在此基础上，将该方法应用于由一维和二维阻尼声超材料构成的杆的自由振动分析。随后，将均质化预测结果与微观有限元模拟和振动实验进行对比验证。研究发现，该方法能够准确预测超材料结构的固有频率和阻尼比，同时大幅降低建模成本，尤其是在高频或短波长区域，即波长接近单胞尺寸时。此外，标定的空间非局部参数量化了由微结构非均匀性引起的色散，而时间非局部参数则表征了阻尼声学超材料的等效黏度。因此，该框架为阻尼声学超材料构成的有限结构的结构尺度动力学分析提供了一种具有物理可解释性且计算高效的方法。

引言

声学超材料是人工设计的复合材料，其动力学特性主要由其微结构和空间排布决定，而非仅由组成材料的固有属性决定（Krushynska等，2023；Chen等，2023；Sun和Zhou，2025）。通过合理设计单胞结构，声学超材料可以操纵弹性波或声波的传播，包括能量流的大小和方向（Wu等，2021；Dong等，2023）。波的衰减可通过局域共振（Liu等，2000；Ma和Sheng，2016）、布拉格散射（Mei等，2021）和阻尼（Guo等，2017；Hussein等，2022）等机制实现，而波的偏转和局域化则可通过缺陷（Jo等，2020）、拓扑绝缘（Wang等，2015；He等，2016；Ma等，2022）和梯度设计（Tol等，2016）来实现。这些能力使其在噪声和振动控制（Dalela等，2022；Lin等，2022；Fang等，2025）、波导（Wang等，2024）、声学透镜（Li等，2023）和声学隐身（Luyun和Xichun，2024）等领域具有广泛应用。在各种声学超材料中，阻尼声学超材料尤其引人注目，因为弹性波的衰减不仅可以来自带隙内的波反射，还可以来自材料的能量耗散（Krushynska等，2016；Xiao等，2023；Chen和Ma，2024；Fayyaz等，2025；Tang等，2025a；Tang等，2025b）。散射引起的反射与耗散引起的衰减之间的耦合为控制结构振动和弹性波传播提供了额外的灵活性（Mei等，2023b）。

周期性声学超材料的动力学特性通常在微观或单胞尺度上表征。对于无限周期系统，布洛赫定理将波传播问题简化为一个具有布洛赫周期边界条件的单胞问题（Banerjee等，2019；Hussein等，2014）。求解单胞问题可得到能带结构和相应的特征模态，这些信息为底层超材料的波特性提供了基础认识（Mei等，2023a）。然而，实际工程系统是有限的超材料结构，而非孤立的单胞或无限周期介质。它们的动态响应不仅取决于组成超材料的能带结构特性，还取决于整体几何形状、结构尺寸和边界条件。当结构尺寸远大于单胞尺寸时，直接进行微观建模会导致自由度数量急剧增加，计算成本高昂。因此，高效的多尺度建模对于在大空间和时间尺度上分析和设计阻尼声学超材料结构至关重要。这里，空间尺度是指有限结构相对于单胞尺度的尺寸，而时间尺度则是指动力学分析中涉及的时间/频率范围。

均质化提供了连接单胞尺度波物理与结构尺度动力学分析的天然途径。现有的声学超材料均质化方法可大致分为准静态均质化和动态均质化两类（Srivastava，2015）。准静态均质化主要适用于静态、准静态和低频/长波长问题（Bakhvalov和Panasenko，2012），此时惯性效应较弱，等效属性几乎与频率无关（Placidi等，2016；Nemat-Nasser和Hori，2013）。然而，随着频率升高和波长减小，惯性和散射效应变得越来越重要，等效属性呈现出强烈的色散特性（Pernas-Salomón和Shmuel，2018；Guo等，2019）。当波长接近单胞尺寸时，传统动态均质化可能失去精度，因为波传播受到微结构散射的强烈影响（Srivastava，2015；Rosi等，2017；Scala等，2019）。此外，许多均质化研究主要关注无阻尼声学超材料，而阻尼虽然对波传播和振动衰减有重要影响，却受到的关注相对较少（Hussein和Frazier，2013）。因此，阻尼声学超材料的均质化模型应同时考虑微结构引起的色散和耗散引起的衰减。

从理论角度看，均质化可以在经典或非经典连续介质力学框架内建立（Jiang等，2023a）。在非经典连续理论中，Eringen非局部理论已被广泛用于描述尺度相关的力学行为（Eringen和Wegner，2003）。与经典连续介质力学中材料点的应力仅取决于同一点的应变不同，非局部理论假设一点的应力受周围空间域内应变场的影响（Jiang等，2023b）。该框架已成功应用于振动中的尺度效应和色散（Reddy，2007）、波传播（Li等，2015）以及裂纹问题（Loya等，2014）。对于声学超材料，当波长变得与单胞尺寸相当时，空间非局部性自然出现，因为给定点的响应受邻近微结构非均匀性散射的波影响，而不仅仅受局部应变场影响。因此，空间非局部性为超越长波长极限的均质化建模提供了合适的理论基础（Mei等，2022）。

然而，对于阻尼声学超材料，仅考虑空间非局部性是不够的，因为波传播还受到材料耗散的强烈影响。粘弹性理论通过认识到本构响应不仅取决于当前变形状态，还取决于加载历史，从而引入了时间非局部性（Lakes，2017）。基于玻尔兹曼叠加原理，这种历史依赖性可以用积分型本构模型表示（Roylance，2001）。该模型表明，耗散由与微观耗散机制相关的固有材料时间尺度控制。当结构运动的特征时间尺度接近该固有时间尺度时，耗散效应变得更加显著（Li等，2020）。因此，当宏观波长接近微结构长度尺度时，空间非局部性变得重要；而当运动的特征时间尺度接近固有耗散时间尺度时，时间非局部性变得重要。当两种效应都相关时，均质化模型应包含时空非局部性。基于这一思想，我们之前的工作发展了一种分数阶时空非局部理论，以考虑耦合的空间和时间尺度效应（Li等，2020）。

微形态模型和非局部连续模型为将微结构效应纳入均质化描述提供了不同途径。微形态模型通过引入独立的微结构场来丰富宏观运动学，从而能够显式表示微变形、微转动、边界层效应及相关内部机制（Neff等，2014）。本文提出的公式化方法则保留传统位移场，并通过根据微观复能带结构标定的空间和时间非局部本构参数来纳入微结构的影响。这产生了一个更紧凑的结构尺度色散和耗散描述，尽管详细的微运动学场未被显式求解。在许多现有非局部模型中，这些参数是经验性地给定或通过数值拟合获得的（Eringen和Wegner，2003；Li等，2017）。这种处理方式在低频、长波长区域可能是可接受的，此时宏观特征尺度远大于微观长度尺度。然而，当波长接近或小于单胞尺寸时，传统非局部模型的预测误差可能会显著增大（Hui和Oskay，2013；Eringen，1983）。在该区域，非局部参数不应被视为固定常数。相反，它们应同时依赖于固有微结构尺度和宏观波特性，即频率和波矢量。因此，建立非局部参数、微结构、频率和波矢量之间的直接关系是阻尼声学超材料时空非局部均质化建模的核心问题。

受这些挑战的推动，本文提出了一种适用于阻尼声学超材料结构的时空非局部均质化方法。所提出的框架用等效时空非局部连续介质替代非均匀周期介质，其等效材料属性以及空间和时间非局部参数通过强制微观和均质化单胞模型的复能带结构一致性来标定。该框架被应用于由一维和二维阻尼声学超材料构成的杆的自由振动分析，并阐明了标定的空间和时间非局部参数的物理意义。将均质化预测与微观有限元模拟和振动实验进行比较，以评估该方法的精度，同时通过使用等效连续模型展示其计算效率。本文的其余部分组织如下：第2节介绍时空非局部均质化框架和标定策略；第3节和第4节分别将该方法应用于一维和二维阻尼超材料杆；第5节提供实验验证；最后一节总结主要结论。

章节片段

阻尼声学超材料的时空非局部均质化理论

如图1所示，阻尼声学超材料由周期性嵌入基体中的散射体组成。当弹性波在这种超材料中传播时，其动态响应中会出现非局部效应。这些效应可以从三个方面理解。首先，每个散射体可以重新辐射入射波，并通过产生的散射波与其他散射体相互作用。由于这种波介导的相互作用遍及整个超材料，因此其本质上是非局部的。

应用1：基于时空非局部均质化方法的一维阻尼超材料杆的自由振动

本节将时空非局部均质化方法应用于由一维阻尼声学超材料构成的杆的轴向自由振动问题。按照第2节建立的一般框架，涉及两个均质化模型：用于参数标定的均质化单胞模型和用于结构自由振动分析的均质化有限杆模型。首先，对均质化单胞模型进行分析，并与其对应的微观模型进行对比。

应用2：基于时空非局部均质化方法的二维超材料杆的自由振动

上一节研究了一维阻尼超材料杆的轴向自由振动。本节将分析扩展到二维阻尼超材料杆，重点关注横向剪切自由振动。二维阻尼声学超材料的单胞如图10(a)所示。相应的微观杆模型如图10(c)所示，而均质化杆模型则由图10中所示的等效时空非局部连续介质表示。

实验验证

本节利用振动实验来评估所提出的均质化方法对有限结构固有频率的预测能力。实验试样是由周期性重复单胞组成的杆状超材料结构。单胞的几何形状如图13(a)所示，结构参数为：l1=100 mm，l2=80 mm，l3=50 mm，h1=8 mm，h2=20 mm，h3=25 mm。试样为平面结构，面外厚度为30 mm。

结论

本文发展了一种用于阻尼声学超材料结构动力学分析的时空非局部均质化方法。通过强制微观和均质化单胞模型的复能带结构一致性，所提出的方法在微结构与均质化模型中的等效材料属性和非局部参数之间建立了直接联系。该方法已应用于由以下作者制作的杆件的自由振动分析：CRediT 作者贡献声明：梅朝胜：写作—初稿、形式分析、数据管理、概念化。李硕：方法论、调查。唐海山：写作—审阅与编辑、形式分析。蒋依依：可视化、软件。王雪林：验证、方法论。胡玉金：监督、项目管理、资金获取。李莉：监督、资金获取。利益冲突声明：作者声明，他们不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能会影响本论文所报告的工作。致谢：本工作得到国家重点研发计划（批准号：2021YFB1714600）、国家自然科学基金（批准号：52175095 和 52575116）以及中国柳州市科技项目（批准号：2022AAA0102）的资助。梅朝胜|李硕|唐海山|蒋依依|王雪林|胡玉金|李莉