一种软应力梯度塑性理论：评估微梁中的尺寸效应

《International Journal of Solids and Structures》：A soft stress-gradient plasticity theory: evaluating size effects in microbeams

　　•基于表面截断位错塞积构型提出了一种软σGP理论。
•将σGP理论的适用性扩展到没有固定内部障碍物的晶体材料。
•推导出应力梯度、塞积长度和屈服强度之间的显式关系。
•确认软位错塞积的形成先于宏观屈服。

引言
微米和纳米尺度的结构部件，包括梁、板和壳，是构建先进微机电和纳机电系统不可或缺的组成部分（Roudbari等，2022；Torkashvand等，2024），在喷墨3D打印、能量收集和压力传感等领域得到广泛应用（Choi等，2022）。这些设备的可靠性能和耐久性依赖于对其微型组件力学行为的深入理解。人们已普遍认识到，亚毫米至微米尺度的晶体材料表现出与块体材料截然不同的力学响应。这种差异的一个突出表现是屈服强度随试样尺寸减小而增加，通常被称为“尺寸效应”。这一成熟现象已在多个长度尺度上被持续观察到，从数百微米到几纳米（El-Awady，2015；Jayaram，2022）。此外，与拉伸和压缩等均匀加载条件相比，在弯曲或扭转等非均匀加载条件下，这种效应尤为显著（Demir等，2010；Fleck等，1994；Hayashi等，2011；Huang等，2021；Motz等，2005；Zhang和Sumigawa，2025）。

虽然尺寸效应现象已有充分记录，但控制初始屈服的潜在机制，特别是在变形不均匀性方面，仍然复杂且未被完全理解。在此背景下，本研究特别关注表现出变形不均匀性的金属材料初始屈服过程中的尺寸效应。传统连续介质塑性理论，如J2流动理论（Deborst，1993）或经典晶体塑性（Asaro，1983），缺乏内在材料长度尺度，因此无法捕捉尺寸相关的强化效应。为了克服这一限制，研究人员提出了包含内部长度尺度参数的增强连续介质理论。其中，应变梯度塑性（εGP）理论受到了广泛关注，通过将塑性应变的空间梯度与额外硬化联系起来，扩展了传统塑性理论（Demir等，2010；Fleck等，1994；Li等，2025；Ma等，2025；Motz等，2005；Shlyannikov等，2021）。在非均匀塑性变形过程中，会出现塑性应变梯度，需要几何必需位错（GND）来维持晶格相容性。εGP框架建立了GND密度与应变梯度之间的定量关系，从而在本构定律中引入了材料长度尺度参数（Ban等，2020；Croné等，2022；Fleck等，1994；Ugi等，2024；Voyiadjis和Song，2019；Witzen等，2020）。这种方法在解释各种尺度下的尺寸相关强化方面已被证明非常有效，其归因于GND的积累。

然而，当晶体部件的特征尺寸减小到几微米或数百纳米时，传统形式的εGP理论变得不足以准确捕捉不均匀变形晶体材料的流动强度（Huang等，2021；Motz等，2005；Mukherjee和Banerjee，2023；Zhang和Sumigawa，2025）。例如，微悬臂梁弯曲实验表明，测得的流动应力远超εGP模型预测，表明存在GND诱导硬化之外的额外强化机制。Cleveringa等人（1999）早期的离散位错（DD）模拟表明，弯曲变形可以在中性轴附近产生位错积累，并且相关的长程背应力有助于增强对塑性流动的阻力。Motz等人（2005，2008）后续研究进一步探讨了微悬臂梁弯曲中的这一机制，并提供了位错塞积结构与实验观察到的尺寸相关强化之间的直接联系。一项补充的X射线微衍射（μLaue）实验直接绘制了弯曲微悬臂梁中与位错塞积一致的晶格曲率和内部应力场（Kirchlechner等，2012）。最近，Huang等人（2021）发现，微尺度弯曲和拉伸试验之间的最大应力差与位错塞积贡献的背应力相匹配，为塞积强化效应提供了实验证据。这些集体发现支持了位错塞积在金属微梁的尺寸相关强化中起主导作用的观点。这种塞积结构在宏观屈服前的微塑性阶段形成，此时塑性活动（离散应变爆发）仍有限，应力场仍可近似为与弹性弯曲相关的线性梯度（Huang等，2021；Motz等，2005）。

受塞积机制启发，Hirth（2006）引入了应力梯度塑性（σGP）的概念，提出施加应力的空间变化驱动位错积累，从而增加对塑性变形的阻力。Chakravarthy和Curtin（2011）随后利用线性应力梯度下的位错源-障碍物构型开发了一个定量σGP框架。他们的分析表明，梯度下的屈服应力可能远高于均匀应力场下的屈服应力。后来的障碍物控制σGP模型纳入了源强度、障碍物强度和障碍物间距，以描述非均匀加载下的尺寸相关屈服和流动（Assempour等，2017；Hosseini-Hooshyar和Nayebi，2021；Liu等，2014；Reddy等，2021；Taheri-Nassaj和Zbib，2015；Zamani等，2015；Zhao等，2025）。通过引入内部长度（强障碍物之间的平均距离）并考虑有限的障碍物强度，这些模型成功捕捉了弯曲应力随梁厚度减小而增加的趋势（Assempour等，2017；Chakravarthy和Curtin，2014；Liu等，2014；Taheri-Nassaj和Zbib，2015；Zamani等，2015）。

尽管现有σGP理论考虑了自由表面效应的某些方面，但其公式从根本上仍基于障碍物控制的位错塞积。例如，Chakravarthy和Curtin（2011）认识到位于自由表面附近的位错源经历不对称的障碍物约束，并通过在其DD模拟中修改源-障碍物构型来纳入这一效应。然而，这些方法中的特征长度尺度仍由位错源与固定内部障碍物之间的间距决定。因此，应力反转构型作为统计障碍物分布的一部分出现，而不是被分离为独立的软塞积边值问题。这种区别对于有限尺寸的高纯度单晶变得重要，其中强内部障碍物的稀缺性和位错源的离散性质从根本上改变了塑性变形的演化（Tarleton等，2015）。在这种条件下，从活性源发射的位错可能因现有塞积产生的背应力而积累，而自由表面提供允许位错逃逸或终止的自然边界（Motz等，2005；Motz等，2008；Taheri-Nassaj和Zbib，2015）。因此，塞积的平衡构型可能在没有固定障碍物的情况下出现，其范围由空间变化的驱动力与内部位错相互作用之间的平衡决定。这种独立于障碍物的塞积机制尚未明确纳入现有的σGP公式，其在控制高纯度有限单晶尺寸相关屈服方面的作用仍未解决。

本工作开发了一种用于线性应力梯度下表面截断位错塞积的软σGP框架。这种构型反映了高纯度单晶微弯曲实验中观察到的位错结构（Huang等，2021；Kapp等，2015；Kirchlechner等，2012；Velayarce等，2018），并进一步从类似应力条件下的离散位错动力学（DDD）模拟中获得了见解（Tarleton等，2015）。此外，该模型建立在先前明确考虑位错源强度作用的位错塞积理论分析之上（Motz等，2008；Szajewski等，2013）。该分析建立了塞积长度、应力梯度和源强度之间的闭式关系。然而，它没有独立确定与宏观屈服相关的临界塞积构型。此外，所提出的框架是专门为初始屈服阶段开发的，在该阶段，表面截断塞积在发生显著塑性再分布之前，在近乎线性的应力梯度下演化。

本文组织如下。在第2节中，我们开发了用于线性应力梯度下表面截断位错塞积的软σGP框架。第3节应用所提出的模型来分析单晶微梁在弯曲下的初始屈服和微塑性变形。第4节根据实验数据和离散位错模拟验证了关于尺寸相关屈服强度的理论预测。最后，第5节总结了主要发现和结论。

章节片段
软位错塞积构型
我们考虑一个经历空间应力梯度的表面截断位错塞积构型，该梯度从自由表面线性减小。该边值问题的几何形状示意性地显示在图1中。位于滑移面（沿x方向）x=0处的位错源在施加应力τax下发射多个位错偶极子。发射的位错向源的左侧（x<αb）滑移并积累，而一个无位错区域在源的右侧形成。将方程(2)和(11)代入方程(12)得到： fx=0，当αA≤x≤αB；否则，Fx=τ0(1+χx+χlpu/2)/(1+χx-χlpu/2) 在源位置o（x=0）处，在点处成核新的位错偶极子的条件应满足F0=τs，其中τs是源强度。这定义了源激活条件： τs=τ0(1-χlpu/2)^2 这要求：τ0>τs。因此，对于给定的施加应力和指定的源强度，产生的塞积长度确定为：
lpu=(2/χ)(1-√(τs/τ0))^2，当τ0>τs
该方程确定了在给定施加应力和源强度下产生的塞积长度。

微梁弯曲中的软位错塞积构型
本小节作为第2节中开发的通用软塞积公式与其在以下章节中微梁弯曲定量应用之间的物理和几何桥梁。我们考虑一个活性FR源，被纯单晶金属微梁中活性滑移系统上的预先存在的位错包围，如图2(a)所示。最初，FR源由锚定在两个钉扎点之间的位错段表示，具有……

微塑性期间的位错塞积形成
所提出的软σGP框架表明，位错塞积在宏观屈服之前的微塑性阶段逐渐发展。为了量化这种屈服前变形，用无量纲参数?dev=γdev/γY表征与理想弹性行为的偏差，其中γdev表示与塞积形成相关的应变贡献，γY表示对应于宏观屈服应力的总应变。此外，通过定义μsec为割线……

结论
本研究开发了一种基于机制的应力梯度塑性框架，用于描述有限尺寸高纯度单晶中的尺寸相关屈服。本模型引入了一种由自由表面约束截断的软塞积构型，其中塞积范围由施加应力梯度、位错相互作用和边界效应之间的平衡决定。该模型解析地给出了施加应力、应力梯度之间的闭式关系……

CRediT作者贡献声明
Kunqi Huang：写作-初稿，可视化，验证，调查，数据管理。
Xu Zhang：写作-审阅与编辑，写作-初稿，监督，方法论，资金获取，形式分析，概念化。

未引用参考文献
Zhang等人（2025）。

利益冲突声明
作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

致谢
本工作得到了河南省国际科技合作项目（242102521055）和河南省研究生教育改革与质量提升工程（YJS2026YBGZZ09）的资助。

Kunqi Huang|Xu Zhang