球体和楔形体对质量分配的分割

《European Journal of Combinatorics》：Partitions of mass assignments with spheres and wedges

　　摘要：在本文中，我们将处理通过球面、平行超平面或轴平行楔形进行分割的经典质量分割结果推广到质量分配的情境。在质量分配问题中，我们将质量分布连续地分配给Rd的所有k维子空间，并寻求保证存在一个特定的k维子空间，在其中可以平分比通过分析Rk中的问题更多的质量。我们证明了针对球面、平行超平面和轴平行楔形的新的质量分配结果。证明技巧依赖于球面和施蒂费尔流形上新的博尔苏克-乌拉姆型定理。1. 引言火腿三明治问题是拓扑组合学中的一个经典结果，由赛恩豪斯[17]归功于巴拿赫。它指出，对于Rd上的任意d个质量分布，存在一个超平面同时平分所有这些分布。质量分布μ是相对于勒贝格测度绝对连续的概率测度，平分超平面是指它所诱导的两个闭半空间具有相同的μ-测度。对欧几里得空间中质量分布的公平分割的研究展现了组合学、拓扑学和数理经济学之间的联系[13]，[20]。近年来，许多现有的质量分割结果已被推广到质量分配的情境。我们不是处理Rk上的质量分布，而是将质量分布连续地分配给Rd的某些k维子空间。目标是保证存在Rd的一个特定的k维子空间，在其中我们可以找到所分配质量分布的公平分割。选择k维子空间的自由度通常转化为比k维版本的质量分割结果更好的结果（即我们能够同时平分更多的质量）。考虑由施奈德[15]证明的质量分配火腿三明治定理。它指出，给定Rd的k维子空间上的d个质量分配，存在一个k维子空间L和L中的一个超平面H，同时平分分配给L的所有d个质量分布。尽管直接应用火腿三明治定理可以保证同时平分这些质量分布中的k个，但额外选择L的自由度允许我们平分更多。可以对L施加额外条件，例如预先固定其k?1个方向[1]。在本文中，我们证明了经典质量分割结果的质量分配版本，这些结果使用不同的形状来分割子空间。例如，斯通和图基的多项式火腿三明治定理的第一个应用是以下众所周知的结果。定理1.1 球面火腿三明治[18]给定Rd上的d+1个质量分布，存在一个球面，使得它恰好包含每个质量分布的一半。对于上述结果，我们将半空间视为半径为无穷大的退化球面。我们的第一个结果是斯通-图基球面分割的质量分配版本。定理1.2设1≤k≤d为整数。给定Rd的k维仿射空间上的d+1个质量分配，存在Rd的一个k维空间L和L上的一个球面，使得它恰好包含分配给L的每个质量分布的一半。此外，我们可以预先固定L的k?1个方向。我们还表明，对于任何k，质量分配的数量d+1是最优的。这个结果的一个容易可视化的例子是以下推论。推论1.3设L1,L2,L3,L4是R3中的四个线族，并且使得族中的线没有垂直线且没有两条线平行。那么，存在一个竖直圆，使得对于每个族Li，至少有一半的线穿过圆（即，圆环绕着线）且至少有一半的线不穿过。竖直圆就是包含在竖直平面中的圆。在上面的定理中，如果一条线与圆相交，我们将其视为穿过圆且不穿过圆。可能在一些一般位置条件下并要求每个线族有偶数条线时，我们也可以要求每条线都不与圆相交。用于证明质量分割结果及其质量分配类比的技术是拓扑性的。对于质量分配，这些方法范围从相关向量丛的特征类的显式计算[4]，[5]，[15]，法德尔-胡西尼指数的性质[3]，到施蒂费尔流形上博尔苏克-乌拉姆型定理的应用[1]。最后一种方法，即使用施蒂费尔流形上的博尔苏克-乌拉姆型定理，需要更简单的拓扑工具。定理1.1的证明归结为提升论证和在更高维空间中应用火腿三明治定理。为了证明定理1.2，我们将类似的提升论证与用于证明质量分配火腿三明治定理的参数化相结合。这将问题简化为证明定义域为Sd×Vk(Rd)的某些(Z2)k+1-等变连续映射的零点的存在性，其中Sd是d维球面，Vk(Rd)是施蒂费尔流形。尽管类似的结果已被用于证明质量分割结果[16]，但我们所需的(Z2)k+1作用与先前实例中的作用不同。使用类似的方法，我们还证明了高桥-索贝龙定理的质量分配版本，该定理涉及两个平行超平面的质量分割。定理1.4设1≤k≤d为整数。给定Rd的k维线性空间上的任意d+1个质量分配，存在Rd的一个k维空间L和L中的两个平行超平面，使得这两个平行超平面之间的区域恰好包含分配给L的d+1个质量分布中的每一个的一半。k=d的情形就是高桥-索贝龙定理。最近，胡巴德和索贝龙[9]为k=d的情形找到了另一种非拓扑的证明。这个结果也被萨多维克和索贝龙用非常不同的方法独立推广到更多平行超平面的情形[14]。另一个其质量分配版本未知的质量分割结果是平面中轴平行楔形分割的存在性[19]。R2中的轴平行楔形是通过取一点p和从p出发的两条无限射线（一条竖直，一条水平）构造的。注意竖直射线可以指向两个可能方向之一，水平射线也是如此。宇野、河野和加野证明了以下结果：定理1.5 宇野、河野、加野 2009 [19]给定平面上的两个质量分布，存在一个轴平行楔形平分每个质量分布。另一种证明由卡拉谢夫、罗尔丹-彭萨多和索贝龙[10]找到。我们表明上述结果对于Rd中的竖直平面有一个质量分配版本。我们将Rd中的竖直平面定义为包含方向ed=(0,…,0,1)的二维子空间。给定Rd中的竖直平面H，H中轴平行楔形的定义仍然清晰，因为竖直方向包含在H中，水平方向就是H中与ed正交的方向。定理1.6对于Rd中竖直平面上的任意d个质量分配，存在一个竖直平面H和H中的一个轴平行楔形，平分分配给H的d个测度中的每一个。2. 施蒂费尔流形和等变映射在本节中，我们建立关于等变映射的结果，这些结果是我们主要定理所需的。我们用Vk(Rd)表示Rd中的规范正交k-标架的施蒂费尔流形。即，Vk(Rd)={(v1,…,vk):v1,…,vk∈Rd是规范正交的}。注意V1(Rd)=Sd?1，一个(d?1)维球面，且Vk(Rd)的维数等于(d?1)+(d?2)+?+(d?k)。我们考虑群Z2={+1,?1}及其乘法。在Vk(Rd)上有一个自由(Z2)k作用，定义为(λ1,…,λk)?(v1,…,vk)=(λ1v1,…,λkvk)。为了简化后文的符号，我们将使用Vd?k(Rd)而不是Vk(Rd)。乘积Sd×Vd?k(Rd)有一个自由(Z2)d?k+1作用，通过取Z2在Sd上的作用与(Z2)d?k在Vd?k(Rd)上的作用的乘积。另一个具有(Z2)d?k+1作用的空间是R=Rd×Rd?1×?×Rk。注意R与Sd×Vd?k(Rd)具有相同的维数。为了描述(Z2)d?k+1在R上的作用，我们描述其生成元的作用。对于i=0,…,d?k，令mi=(1,…,1,︸i?1,1,…,1︸d?k?i)。设(x0,x1,…,xd?k)∈R。那么，对于i=1,…,d?k，作用mi?(x0,x1,…,xd?k)改变xi的每个坐标的符号而不改变其他。最后，m0?(x0,x1,…,xd?k)改变x0的每个坐标以及x1,…,xd?k中每一个的第一个坐标的符号。我们需要的主要拓扑工具如下。定理2.1设d≥k≥0为整数。设f:Sd×Vd?k(Rd)→R是一个连续(Z2)d?k+1-等变映射，作用如上述描述。那么，f必须有一个零点。对于k=d的情形，我们考虑R0={0}。定理2.1与索贝龙和高桥用于证明使用平行超平面对的火腿三明治定理扩展的定理相似[16]，但在他们的证明方法中，m0的作用不影响i≥1的xi的任何坐标。然而，我们可以使用定理2.1来证明索贝龙-高桥定理，这将稍微简化原始证明（索贝龙和高桥使用的一个额外技巧将不再需要）。我们可以使用几种不同方法之一来证明定理2.1。一种方法是验证陈、弗里克和赫尔[6]关于类似映射零点存在的条件。另一种方法是利用f的定义域和陪域可以由同维数的分段线性流形逼近，直接应用穆辛关于此类空间之间等变映射零点存在的一般定理[12]。第三种方法是计算这两个(Z2)d?k+1空间的法德尔-胡西尼指数[7]。法德尔和胡西尼计算了施蒂费尔流形和球面的指数，而R上修正作用的影响将是唯一需要修订的额外细节。为了完整起见，我们包含一个类似于穆辛的证明，基于巴兰尼对博尔苏克-乌拉姆定理的证明[2]。类似的修改已被弗拉代利齐等人用于SO(3)-等变映射[8]。证明我们首先构造一个特定的(Z2)d?k+1-等变映射g:Sd×Vd?k(Rd)→R(w,v1,…,vd?k)?(x0,x1,…,xd?k)在上述表述中，w∈Sd?Rd+1且(v1,…,vd?k)∈Vd?k(Rd)。令vi,j为vi的第j个坐标，wj为w的第j个坐标。然后，我们定义x0=w1w2?wd∈Rd，xi=wd+1?vi,1vi,2?vi,d?i∈Rd?i，对于i=1,…,d?k。这个映射按构造是(Z2)d?k+1-等变的。此外，如果g(w,v1,…,vd?k)=0，那么w=±ed+1，即Sd的北极或南极。这意味着wd+1=±1。那么，归纳论证表明vi=±ed?i+1，即Rd的第(d?i+1)个标准基向量或其负向量。总体而言，Sd×Vd?k(Rd)中恰好有一个(Z2)d?k+1的零点轨道。现在考虑映射H:Sd×Vd?k(Rd)×[0,1]→R(w,v1,…,vd?k,t)?t?f(w,v1,…,vd?k)+(1?t)?g(w,v1,…,vd?k)。如果我们记ft(?)=H(?,t)，可以看到ft是一个(Z2)d?k+1-等变映射，f0=g，f1=f，即我们的目标映射。如果H足够光滑，那么H?1(0)将是一个一维流形。这意味着它的连通分量将是线段或圆。线段分量必须有其端点在Sd×Vd?k(Rd)×[0,1]的边界上，即(Sd×Vd?k(Rd)×{0})?(Sd×Vd?k(Rd)×{1})。换句话说，它们将g的零点连接到g的零点或f的零点。在后一种情况下，这将意味着f的零点的存在，我们就完成了。为了导出矛盾，假设这些线段将g的零点连接到g的零点。(Z2)d?k+1-等变映射作用在H?1(0)的连通分量上，因此必须将线段分量映到线段分量。假设p0是g的一个零点，通过H?1(0)中的线段I连接到p1，另一个g的零点。由于g的零点恰好有一个轨道，必须存在λ∈(Z2)d?k+1使得λ?p0=p1。特别地，λ(I)=I。乘以λ是一个连续函数，所以由中值定理λ|I必须有一个不动点。这与(Z2)d?k+1在Sd×Vd?k(Rd)×[0,1]上的作用是自由的事实矛盾。我们可以不失一般性地假设f是光滑的。实际上，如果f无零点，那么由紧致性，存在δ>0使得对于所有x∈Sd×Vd?k(Rd)，‖f(x)‖≥δ。因此任何足够接近的G-等变光滑逼近f仍然无零点。将f替换为这样的逼近，我们可以假设H是光滑的。现在H在Sd×Vd?k(Rd)×{0,1}的一个邻域内与0横截：在t=0附近，这由g的显式构造得出；在t=1附近，由于f无零点，这是空洞的。由于 G 在 Sd×Vd?k(Rd)×[0,1] 上的作用在这个闭不变子集之外是自由的，Lee–Wasserman 的等变横截性定理 [11, Prop. 2.2] 给出了一个任意接近的光滑 G-等变映射 H′，它与 H 等变同伦且横截于 0。如果选取的扰动足够小，那么 H′?1(0) 不会与 Sd×Vd?k(Rd)×{1} 的某个邻域相交。同样地，由于 0 是 g 的正则值且 g?1(0) 由单个 G-轨道组成，H′ 在 Sd×Vd?k(Rd)×{0} 上的限制的零点集仍然由单个 G-轨道组成。因此，H′?1(0) 的边界点都位于那个 G-轨道中，上述论证可逐字适用。 □

3. 球面与质量分配

本节使用定理 2.1 证明定理 1.2。我们还证明定理 1.2 是最优的。

定理 1.2 的证明

为了证明我们可以对 H 施加任意 k?1 个方向，我们将要求 H 包含方向 e1,…,ek?1 中的每一个。下面的方法适用于任意 k?1 个向量。

我们首先构造一个 (Z2)d?k+1-等变函数 f:Sd×Vd?k(Rd)→R=Rd×Rd?1×?×Rk。目标在于，该函数的零点给出配对 (L,S)，其中 L 是 Rd 的 k 维子空间，且 S?L 是平分分配给 S 的每一个质量分布的球面。设 μ0,…,μd 是分配给 L 的 k 维子空间的 d+1 个质量分配。给定一个子空间 L，我们用 μ0L,…,μdL 表示分配给 L 的质量分布。

设 i:Rd?Rd+1 是添加一个坐标 1 的嵌入；因此 i(x)=(x,1)。设 V=i(Rd) 是 Rd 到 Rd+1 中的嵌入。设 σ 是 Rd+1 中中心在原点、半径为 1 的反演。即，对于 x≠0，σ(x)=x/‖x‖2。注意，σ 将仿射超平面映射为包含 0∈Rd+1 的球面。此外，σ°σ 是恒等映射。我们在图 1 中给出了图示。这意味着，如果 H 是 Rd+1 中的仿射超平面，那么 σ(H) 是 Rd+1 中的球面。换言之，σ(H)∩V 将是 V=i(Rd) 中的球面。该构造在图 2 中表示。

用 S=σ(V) 表示 Rd 在反演 σ 后对应的球面。S 是半径为 1/2、中心在 i(0)/2=(0,…,0,1/2)∈Rd+1 的球面。给定 Rd 的 k 维子空间 L，考虑 L′=σ°i(L)，即 S 中相应的子集。L 上的测度 μ 在 L′ 上诱导一个测度，从而在 Rd+1 上诱导测度 μ′。

下载：下载高分辨率图像（79KB）
下载：下载全尺寸图像
图 1. S 的构造示例。我们将 Rd 嵌入 Rd+1，然后使用反演 σ。虚线球面是 σ 的不动点集。

下载：下载高分辨率图像（142KB）
下载：下载全尺寸图像
图 2. 如果有一个超平面 H 平分 S 中诱导的测度，那么 σ(H) 是一个球面，使得 σ(H)∩V 平分 V 中的测度。如果 0∈H，那么 σ(H)=H，我们将其视为退化球面。

在继续之前，让我们解释构造背后的主要策略。我们将使用空间 Sd×Vd?k(Rd) 参数化配对 (H,L)，其中 H 是 Rd+1 中的超平面，L 是 Rd 的 k 维子空间。在测试配对 (H,L) 时，我们通过考察集合 L′ 将 L 提升到 Rd+1，并利用分配给 L′ 的质量分布在 Rd+1 上获得 d+1 个测度。不失一般性，我们可以假设 H 平分其中一个测度。然后我们检验 H 是否平分其余的测度。如果平分，那么 i?1(σ(L′∩H)) 将是我们所求的 L 中的球面。证明中的一个微妙之处在于，我们必须确保 H 不包含 L′。

给定 (w,v1,…,vd?k)∈Sd×Vd?k(Rd)，设 L 为 span{v1,…,vd?k} 的正交补。我们的候选 H 将正交于 w。下面我们描述如何选择 w⊥ 的正确平移。我们还考虑 U=span{(v1,0),…,(vd?k,0)}，我们将利用它确保 H 不包含 L′。设 ν0L,…,νdL 是将 μ0L,…,μdL 分别提升到 σ°i(L)?S?Rd+1 后得到的 Rd+1 中的 d+1 个测度。在 w⊥ 的所有平移中，设 H 为满足其两个闭半空间具有相同 ν0L-测度的那个。可能存在一个平移区间满足此条件。如果如此，我们选取该区间中点处的平移。

我们断言，L′?H 当且仅当 w∈U。首先，由于 (0,…,0,1)∈L′，L′?H 意味着 w 的最后一个坐标为 0。设 w? 为由 w 的前 d 个坐标组成的向量。那么，我们可以将断言约化到 Rd，只需检查 w?⊥（在 Rd 中）是否包含 L，即 span(v1,…,vd?k) 的正交补。这当且仅当 w? 在 span(v1,…,vd?k) 中，正如我们所要证明的。

此外，如果对所有 i 都有 〈w,(vi,0)〉=0，那么 w?U，这意味着 L′?H。现在我们可以构造映射 f:Sd×Vd?k(Rd)→Rd×?×Rk，(w,v1,…,vd?k)?(x0,…,xd?k)。

设 H+ 为 H 在 w 方向上的闭半空间，H? 为 H 在 ?w 方向上的闭半空间。

我们首先定义

x0=dist(w,U)ν1L(H+)?ν1L(H?)?νdL(H+)?νdL(H?)∈Rd

并且对于 i=1,…,d?k，我们定义

xi=〈w,(vi,0)〉〈e1,vi〉〈e2,vi〉?〈ek?1,vi〉0?0∈Rd?i

我们固定 xi 的前 k 个坐标，然后用零填充其余坐标。函数 f 由构造是 (Z2)d?k+1-等变的。在 x0 的定义中使用 dist(w,U) 是为了确保函数在 w∈U 时也是连续的。

由定理 2.1，映射 f 必有零点。设 (w,v1,…,vd?k) 是 f 的一个零点。在这种情况下，由于对所有 i 都有 〈w,(vi,0)〉=0，我们有 w?U。因此，K=i?1(σ(H∩L′)) 将是 L 中的一个球面。由于 x0=0 且 dist(w,U)>0，我们还有 νj(H+)=νj(H?) 对 j=1,…,d 成立，这意味着 K 将平分分配给 H 的 d+1 个质量中的每一个（第一个质量分布由构造已被平分）。最后，由于对 l=1,…,k?1 和 i=1,…,d?k 都有 〈el,vi〉=0，我们得到 L 将包含方向 e1,…,ek?1。 □

现在我们证明定理 1.2 是最优的，即使我们忽略为 L 指定 k?1 个方向的条件。

断言 3.1

设 1≤k≤d 为整数。存在 Rd 的 k 维子空间上的一组 d+2 个质量分配，使得不存在 k 维空间 L 及 L 中的一个球面平分分配给 L 的每一个质量分布。

证明

设 p0,…,pd+1 为 Rd 中的点，使得 p1,…,pd+1 构成一个正则单纯形，p0 是该单纯形的重心。取 r>0 足够小，使得 Brd(p0)?conv(p1,…,pd+1)。那么，对于 Rd 的任意 k 维线性子空间 L，带有投影 πL:Rd→L，我们有

πL(Brd(p0))?πL(conv(p1,…,pd+1))=conv(πL(p1),…πL(pd+1))。

对于 i=0,…,d+1，设 νi 为以 pi 为中心、半径为 r 的球上的均匀测度。对于 Rd 的任意 k 维子空间 L，设 μiL 为 νi 在 L 上的投影。如果 L 中的一个（k 维）球 Bk 包含 μiL 的至少一半，那么它必须包含 πL(pi)。如果对每个 i=1,…,d+1 都如此，那么我们将有

Bk?conv(πL(p1),…πL(pd+1))?πL(Brd(p0))。

这将意味着 μ0L(Bk)=μ0L(L)，这远超过 μ0L 的一半。我们得出结论，L 中不存在一个球恰好包含每个 μiL 的一半。 □

推论 1.3 的证明

直观上，R3 中的一族直线在 R3 的 2 维子空间上诱导一个质量分配。给定一个平面 H?R3 和一个 Borel 集 A?H，定义 μH(A) 为与 A 相交的直线数目。我们有一个问题，即直线可能与平面平行，因此我们必须谨慎处理这一过程。我们可以使用与文献 [1] 相同的思想来避免这些问题。

有限直线族是 A1(R3) 上的离散测度，其中 A1(R3) 是 R3 中一维直线的仿射 Grassmann 流形。注意，从 R3 到 R4 的嵌入 x?(x,1) 表明，我们可以将 A1(R3) 视为 G2(R4) 的子集，其中 G2(R4) 是 R4 的二维线性子空间的 Grassmann 流形。我们说 A1(R3) 上的测度是光滑的，如果它提升到 G2(R4) 上的测度关于 G2(R4) 上的 Haar 测度绝对连续。

现在，A1(R3) 上的光滑测度 μ 在 R2 的二维线性子空间上诱导一个质量分配。给定一个二维子空间 H 和一个 Borel 集 A?H，我们定义

μH(A)=μ{?∈A1(R3):?∩A≠?}。

由于不与 H 相交的直线集合的 μ-测度为 0，因此这是一个质量分配。因此，给定 A1(R3) 上的四个光滑测度 μ1,μ2,μ3,μ4，我们可以应用定理 1.2，得到一个竖直平面及该平面中的一个圆 Γ，使得与 Γ 诱导的闭平圆盘相交的直线集合的 μi-测度为 μi(A1(R3)) 的一半。

最后，我们可以用光滑测度逼近由每个直线族诱导的离散测度。这通过用光滑磨光子作卷积来完成。G2(R4) 的紧性表明，这一逼近论证导出了我们想要的 R3 中的圆。 □

4. 质量分配与平行超平面

我们扩展前一节的思想以证明定理 1.4。情形 k=d 为 Sobérón–Takahashi 平行超平面质量分割定理提供了新的证明 [16]。

证明

我们将使用集合 Sd×Vd(Rd) 参数化候选分割集合，无论 k 的值如何。我们还希望找到一个映射 f:Sd×Vd(Rd)→Rd×Rd?1×?×R0 来检验我们是否得到了正确的分割。设 (w,v1,…,vd) 是 Sd×Vd(Rd) 的一个元素。与前一节一样，我们的子空间 L 将是 v1,…,vd?k 的正交补。然而，拥有 L 的一个基是有用的，因此我们使用 d-标架的最后 k 个元素：

L=span{vd?k+1,…,vd}

我们现在通过嵌入

i:L→Rd+1∑j=d?k+1dajvj?∑j=d?k+1daj(vj,0)+ad2ed+1

将 L 提升到 Rd+1。直观地说，该映射将空间 L 向上卷曲成抛物线状，并保持方向 vd。

给定 k 维质量分配上的 d+1 个质量分配，设 ν0L,…,νdL 为通过 i 提升分配给 L 的质量分布后得到的 Rd+1 上的 d+1 个测度。同样，我们选取一个正交于 w 且平分 ν0L 的半空间 H，它可以典范地选在所有此类可能超平面的中间位置。

只需验证对 i=1,…,d?k 有 〈w,(vi,0)〉=0，从而 i(L)?H，这意味着 i(L)∩H 将是 i(L) 中余维数为 1 的集合。此外，如果我们还验证对 i=d?k+1,…,d?1 有 〈w,(vi,0)〉=0，那么 H∩i(L) 投影回 L 后是两个平行超平面的并集，且正交于 vd。这是因为在对 i=1,…,d?1 中 (vi,0) 的正交二维空间的投影中，i(L) 的像是一条抛物线，而 H 的像是一条直线。由于一条直线与抛物线至多有两个交点，经过这两个点的 span{(vd?k+1,0),…,(vd?1,0)} 的平移将给出 H∩i(L)，其投影回 L 后落在两个平行超平面上。

我们准备通过以下方式定义 f(w,v1,…,vd)=(x0,…,xd)：

x0=dist(w,U)ν1L(H+)?ν1L(H?)?νdL(H+)?νdL(H?)∈Rd

对于 i=1,…,d?k，

xi=〈w,(vi,0)〉〈e1,vi〉〈e2,vi〉?〈ek?1,vi〉0?0∈Rd?i

对于 i=d?k+1,…,d?1，

xi=〈w,(vi,0)〉0?0∈Rd?i

xd=0∈R0

该映射是连续且等变的，因此由定理 2.1 它必有零点。一个零点必须满足 i(L)?H。这意味着 H 平分测度 ν0L,…,νdL 中的每一个，且 i?1(L′∩H) 将是 L 中两个平行超平面的并集，使得它们之间的区域恰好包含分配给 L 的 d+1 个质量分布中每一个的一半。该构造还确保 L 包含方向 e1,…,ek?1 中的每一个。 □

断言 3.1 也适用于定理 1.4。这是因为断言 3.1 的证明中唯一用到的球的性质是凸性。由于两个平行超平面之间的区域也是凸的，因此相同的构造表明定理 1.4 是最优的。

5. 轴平行楔形

让我们证明定理 1.6。为此，我们首先在 R2 中引入一些有用的构造。

我们说 R2 中的轴平行楔形 W 是下楔形，如果其垂直线段指向下方。一条竖直（相应地，水平）直线是下楔形竖直（相应地，水平）平移的极限。因此我们将竖直直线和水平直线视为下楔形的退化情形。

引理 5.1

设 μ 是 R2 上的质量分布，对 R2 的每个非空开集都有正测度，并设 t 为实数。存在唯一的下楔形平分 μ，且其竖直射线包含在直线 x=t 中。

证明

如果竖直直线 x=t 平分 μ，那么它就是平分 μ 的唯一的下楔形。否则，这条线的两侧中必有一侧更重（即其 μ-测度大于 μ(R^d)/2）。设 X_t(y) 为顶点在 (t,y) 的下楔形，其水平射线指向直线 x=t 上 μ-测度更大的那一侧。我们可以定义 X_t(?∞) 为空集，X_t(+∞) 为直线 x=t 所界定的 μ-测度更大的半平面。由于 μ 关于勒贝格测度绝对连续，函数 R∪{±∞}→R，定义为 y?μ(X_t(y))，是连续的。当 y 从 y=?∞ 变化到 y=+∞ 时，我们看到 X_t(y) 将从 X_t(?∞)=0 变化到 X_t(+∞)>μ(R^2)/2。因此，由介值定理（连续函数将连通集映射为连通集），必定存在 y∈R 使得 μ(X_t(y))=1/2。这个值是唯一的，因为函数 y?μ(X_t(y)) 是严格递增的。□

我们为这个下楔形引入特定符号。

定义 5.2
给定如上所述的质量分布 μ_d 以及 t∈R，若 x=t 不是 μ 的垂直平分线，我们记 A(μ,t) 为引理 5.1 中唯一的下楔形凸区域。若 x=t 是平分线，我们记 A(t) 为 x=t 的左侧闭半平面。若 ? 是 μ 的水平平分线，我们也可以定义 A(μ,∞) 为 μ 的底部半平面。这样，对于任何其他测度 ν，我们有 lim_{t→∞} ν(A(μ,t)) = ν(A(μ,∞))。我们记 B(μ,t) 为该下楔形的另一闭侧。

我们构造的图示如图 3 所示。现在我们准备证明定理 1.6。

下载：下载高清图片 (68KB)
下载：下载全尺寸图片

图 3. 给定测度 μ，其垂直平分线为 x=λ_v，水平平分线为 ?，图中展示了对于某个 t>λ_v，顶点满足 x=t 的唯一的下楔形 A(t)。注意当 t→λ_v 时，集合 A(t) 将趋近于 x=λ_v 的左侧，而当 t→∞ 时，集合 A(t) 将趋近于由 ? 定义的底部半平面。

证明：
假设我们在 R^d 中的垂直平面上有质量分配 μ_1,…,μ_d。假设对于每个垂直平面 H，分配的质量分布 μ_d^H 满足引理 5.1 的条件。我们在证明末尾处理这一附加假设。

设 S 为 R^d 中半径为 1 的 (d?2) 维球面，以原点为中心，且正交于 e_d。我们用 H_v 表示由 e_d 和 v 张成的垂直平面，配备有序基 (v, e_d)。对于 v∈S，设 λ_v 为使得 H_v 中直线 x=λ_v 是 μ_d^{H_v} 在 H_v 中的垂直平分线的值。对于 t∈[λ_v,∞]，我们根据定义 5.2 为 μ_d^{H_v} 定义 H_v 中的集合 A_v(t), B_v(t)。

考虑映射 f:S^{d?2}×[0,1]→R^{d?1}
(v,t) ?
μ_1^{H_v}(A_v(λ_v ? 1 + 1/t)) ? μ_1^{H_v}(B_v(λ_v ? 1 + 1/t))
?
μ_{d?1}^{H_v}(A_v(λ_v ? 1 + 1/t)) ? μ_{d?1}^{H_v}(B_v(λ_v ? 1 + 1/t)) 若 t>0
μ_1^{H_v}(A_v(∞)) ? μ_1^{H_v}(B_v(∞))
?
μ_{d?1}^{H_v}(A_v(∞)) ? μ_{d?1}^{H_v}(B_v(∞)) 若 t=0

集合 A_v(λ_v ? 1 + 1/t) 和 B_v(λ_v ? 1 + 1/t) 是一个平分 μ_d^{H_v} 的特定下楔形的两侧。当 t=1 时，它们是 μ_d^{H_v} 的垂直平分线所定义的两个半平面。当 t=∞ 时，它们是 μ_d^{H_v} 的水平线所定义的两个半平面。如果 f 有零点，则我们有一个垂直平面和一个下楔形平分其上的所有质量分布。

假设反证 f 没有零点。那么，我们可以考虑函数
g:S^{d?2}×[0,1]→S^{d?2}
(v,t) ? f(v,t)/‖f(v,t)‖

对于 t∈[0,1]，考虑映射 g_t:S^{d?2}→S^{d?2}，定义为 v?g(v,t)。映射 g 提供了 g_0 和 g_1 之间的同伦。注意，由于 A_v(λ_v) = B_{?v}(λ_{?v}) 且 B_v(λ_v) = A_{?v}(λ_{?v})（因为我们只是交换了垂直半平面的两侧），我们有 g_1(?v) = ?g_1(v)，所以 g_1 必须具有奇次数。然而，由于 A_v(∞) = A_{?v}(∞) 且 B_v(∞) = B_{?v}(∞)，因为它们都定义为同一条水平线的底部和顶部半平面。这意味着 g_0(v) = g_0(?v)。因此，g_0 必须具有偶次数。这与映射的次数在同伦下不变的事实相矛盾，所以定理的结论必须成立。

对 μ_d 的假设并不损失一般性，因为它们可以通过以下标准的紧性论证来处理。如果 μ_d 不满足这些条件，我们可以考虑一个确实满足这些条件的质量分配 ν_d，并取某个 ε>0，分配
μ_{d,ε} = (1/(1+ε))(μ_d + ε ν_d)

换句话说，对于任何垂直平面 H 和任何可测集 A?H，我们有
μ_{d,ε}^H(A) = (1/(1+ε))(μ_d^H(A) + ε ν_d^H(A))。

我们应用上述证明，得到存在一个垂直平面 H_ε 和一个下楔形 W_ε，平分 μ_1^H,…,μ_{d?1}^H, μ_{d,ε}^H 中的每一个。垂直平面的集合是紧的，并且平分一个质量分配的下楔形的集合也是紧的，如果考虑退化情况（水平线和垂直线、整个平面和空集）的话。因此，通过取 ε→0，我们可以构造一个收敛的垂直平面和下楔形序列，最终也平分 μ_d。□

Deron Lessure | Pablo Soberón
密歇根大学，安娜堡，MI 48109，美国