一些内部模糊蕴涵子类的表示及其与不变性性质的关系

《Fuzzy Sets and Systems》：Representations of some sub-classes of internal fuzzy implications and their relationship with the invariance property

　　摘要众所周知，[0,1]上的聚合函数称为局部内部的，如果它可以仅用自变量来表示。在本文中，我们为定义在[0,1]上的模糊蕴涵提出了一种合适的局部内部性质（即内部性质）版本，并给出了满足该性质的模糊蕴涵的各类子类。然后，我们仅利用定义在[0,1]上的递增函数，研究了属于其中某些子类的模糊蕴涵的新表示。具体而言，我们获得了平凡值域模糊蕴涵以及可用0、y和1表示的模糊蕴涵的表示。最后，我们通过上述表示，将[0,1]上的所有不变模糊蕴涵作为定义在[0,1]上的内部模糊蕴涵的一个特例生成。

引言众所周知，模糊蕴涵将经典蕴涵从二元值域{0, 1}推广到多元值域，并定义在单位区间[0,1]上，如下所示：

定义1.1 [1], [2]
函数I: [0, 1]2 → [0, 1]称为模糊蕴涵，如果它满足以下条件，对于所有x, x?, x?, y, y?, y? ∈ [0, 1]：
如果x? ≤ x?，则I(x?, y) ≥ I(x?, y)，即I(·, y)是递减的，
如果y? ≤ y?，则I(x, y?) ≤ I(x, y?)，即I(x, ·)是递增的，
I(0,0)=1，I(1,1)=1，I(1,0)=0。

模糊蕴涵是模糊逻辑联结词的一个重要类别，三十多年来，人们从不同方面对其进行了研究。关于模糊蕴涵的更多细节，如它们满足的性质和函数方程、所属的族、模糊蕴涵集合的各种代数结构、不同的构造方法以及在各领域的应用，请参见[1], [2], [3], [4], [5]。在本文中，我们用I表示定义在[0,1]上的所有模糊蕴涵的集合。文献中现有的一些基本模糊蕴涵的例子如表1所示。

回顾一下，函数A: [0, 1]? → [0, 1]称为n元聚合函数，如果A对每个自变量都是递增的，并且满足条件A(0,0,0,...,0)=0和A(1,1,1,...,1)=1，参见[6], [7]。注意，n元聚合函数（或简称聚合函数）通常为每个n元输入值的选择提供一个有意义的输出值。根据输入和输出值之间的关系，文献中自然地存在各种类别的聚合函数。由于聚合函数类别的多样性和它们满足的性质，聚合函数在各个领域有许多应用，如数据分析、人工智能、模糊逻辑、控制理论、模糊决策、神经网络、图像处理等。请注意，聚合函数对特定应用的适用性显然取决于所考虑的聚合函数满足的性质。基于这一事实，几十年来研究人员一直在研究聚合函数的各种性质，已经研究过的一些聚合函数的重要性质包括幂等性[8], [9]、对称性[10], [11]、双对称性[12], [13]、齐次性[14], [15]、平移不变性[16], [17]、对偶性[18], [19], [20], [21]以及局部内部性质[22], [23]等。

众所周知，一些二元聚合函数可以模拟模糊逻辑联结词，如三角模、三角余模、一致模和零模等。基于这一事实，上述模糊逻辑联结词类别也已研究了聚合函数的基本性质，如齐次性、平移不变性、对偶性和局部内部性质，例如参见[8], [9], [24], [25], [26]。然而，尽管模糊蕴涵也是模糊逻辑联结词的一个重要类别，并且与二元聚合函数类一一对应（参见[27]），但只有少数初步工作涉及上述某些性质（参见[28], [29]），而对模糊蕴涵的其他性质的研究尚未系统地开展。局部内部性质就是其中之一，迄今尚未针对模糊蕴涵进行合适的定义和探索。

下面，我们回顾聚合函数的局部内部性质的定义。

定义1.2 [6], [7]
一个n元聚合函数A: [0, 1]? → [0, 1]称为局部内部的，如果对于所有(x?, x?, ..., x?) ∈ [0, 1]?，有A(x?, x?, ..., x?) ∈ {x?, x?, ..., x?}。

容易看出，这个定义也可以推广到定义在一般有界偏序集上的聚合函数。局部内部聚合函数的一些例子包括投影函数、最小函数和最大函数。

以下事实构成了本文的主要动机。

1. 回顾一下，如果一个聚合函数满足局部内部性质，那么它既是幂等的又是平均的，请参见[6], [7]。因此，局部内部聚合函数在多准则决策、模糊图像处理等方面有各种应用，请参见[6], [7]，并且这一性质已被广泛研究，针对一些重要的聚合函数类别，如三角模、三角余模、一致模和融合函数；请参见[9], [24], [25], [26]。然而，对于与二元聚合函数一一对应的模糊蕴涵（请参见[27]），这种系统性的研究是缺失的。严格地说，迄今为止，对于模糊蕴涵，还没有合适的局部内部性质的定义。

2. 在过去三十年中，[0,1]上的模糊蕴涵在理论和应用两方面都得到了深入的研究。最近，研究人员开始在不同的离散设置上研究模糊蕴涵，例如有界偏序集、有界格、完备格、有限链等，从不同的方向进行探索。尽管在单位区间设置上有超过125个模糊蕴涵族（请参见[4]），但请注意，所有这些模糊蕴涵族不能定义在一般有界偏序集上（请参见[30]）。例如，模糊蕴涵I?, I?, IGD, IRS, IWB和ID是已知的且广泛使用的、定义在一般有界偏序集上的模糊蕴涵，而最流行的模糊蕴涵如ILK, IYG, IRC, IGG和IKD由于一般偏序集上缺乏算术运算，不能定义在一般有界偏序集上。由于一般有界偏序集上模糊蕴涵的可用性有限，观察到模糊蕴涵在离散设置上的研究受到很大限制，迄今未能得到深入探索。注意，由于一般有界偏序集上通常的算术函数不可用，能够定义在一般有界偏序集上的模糊蕴涵必然只能是那些仅用自变量表示的模糊蕴涵。因此，总存在对一般有界偏序集上仅用自变量表示的模糊蕴涵的需求。然而，迄今为止，即使在单位区间设置（其中算术运算和全序自然可用）上，这个问题也未被考虑过。

3. 最近，Massanet等人根据模糊蕴涵的最终表达式提出了一些新的模糊蕴涵类，即模糊多项式蕴涵[31], [32], [33], [34]、模糊(OP)多项式蕴涵[35]和模糊有理蕴涵[36]。尽管这些模糊蕴涵中的大多数满足一些重要性质，如连续性、序性质和恒等性质，但这些模糊蕴涵不能定义在一般有界偏序集上。然而，尽管可用自变量表示的模糊蕴涵属于上述模糊蕴涵类，但它们在一般背景下从未被考虑和探索过。

4. 在文献中，属于不同族的模糊蕴涵多年来已经得到了很好的建立。然而，对一些已建立的模糊蕴涵族存在一些替代表示或解释，请参见[37], [38]。尽管不变模糊蕴涵类（参见[39]）保留了模糊蕴涵的许多基本理想性质，但到目前为止，对于不变模糊蕴涵类还没有重要的解释可用。由于所有不变模糊蕴涵要么是平凡值域模糊蕴涵，要么是可用0、y和1表示的模糊蕴涵，因此，为了实现不变模糊蕴涵的一些新颖解释，有必要研究上述提到的模糊蕴涵子类。

从动机可以清楚地看出，我们感兴趣的是研究模糊蕴涵的类似局部内部性的性质（记为P）。本文研究的目标如下：

1. 为模糊蕴涵提出一个关于聚合函数局部内部性的类似且合适的版本P的形式化定义，并提供一些满足P的模糊蕴涵的例子。
2. 讨论满足P的模糊蕴涵的各个子类，并研究至少来自某些子类的模糊蕴涵的表示。
3. 从满足P的模糊蕴涵的角度，实现不变模糊蕴涵的一些替代表示或解释。

在第2节中，我们提出了[0,1]上模糊蕴涵内部性质的形式化定义，并讨论了内部模糊蕴涵的各个子类。平凡值域模糊蕴涵的表示在第3节中研究。接下来，在第4节中，考虑可用0、y和1表示的模糊蕴涵，并获得了它们的表示。此外，在第5节中研究了不变模糊蕴涵的另一种含义。最后，我们在第6节中讨论一些结论性评注。

章节片段

模糊蕴涵的内部性质：定义、例子和子类
在本节中，我们提出了[0,1]上模糊蕴涵的P的形式化定义，并讨论了满足该性质的模糊蕴涵的各个子类。在此之前，我们有以下评注。

注记2.1
1. 回顾一下，[0,1]上的聚合函数是局部内部的，如果它可以用其自变量表示，而不使用/涉及任何外部函数和/或参数。与此类似，如果想为[0,1]上的模糊蕴涵提出同样的定义，自然需要

平凡值域模糊蕴涵的表示
如1.2节所述，我们在本节中研究平凡值域模糊蕴涵的表示。在此之前，我们在以下评注中讨论[0,1]上平凡值域模糊蕴涵的结构，然后提出[0,1]上的一些二元运算，这些运算实际上是平凡值域模糊蕴涵。

注记3.1
设I是[0,1]上的平凡值域模糊蕴涵。则存在一条分界曲线Γ，非闭且连续，可能由任何

可用0、y和1表示的模糊蕴涵的表示
在本节中，我们研究用0、y和1表示的模糊蕴涵的表示。在进一步讨论之前，注意有一些模糊蕴涵，如IGD、IWB和ID（见表1），仅用y和1即可表示。然而，对于每个模糊蕴涵I，由于I(1,0)=0，我们将每个仅用y和1可表示的模糊蕴涵视为可用0、y和1表示的模糊蕴涵。下面，我们给出

不变模糊蕴涵的另一种含义
回顾一下，在第3节和第4节中，我们获得了[0,1]上平凡值域模糊蕴涵和可用0、y和1表示的模糊蕴涵的表示。在本节中，我们证明不变模糊蕴涵是在第3节和第4节中获得的模糊蕴涵的一个特例，从而提供了不变模糊蕴涵的另一种含义。为此，下面我们回顾一些关于不变模糊蕴涵的预备知识

结论性评注
回顾一下，局部内部性质是聚合函数的重要性质之一，但尚未针对模糊蕴涵进行探索，即使在[0,1]设置上也是如此。在本文中，我们提出了[0,1]上模糊蕴涵内部性质的形式化定义，并给出了满足该性质的模糊蕴涵的各个子类。此外，我们主要关注了内部模糊蕴涵的两个子类，即平凡值域模糊蕴涵

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