数据驱动的不对称模糊数构建：基于熵的形状校准

《Fuzzy Sets and Systems》：Data-driven construction of asymmetric fuzzy numbers via entropy-based shape calibration

　　•首个模糊数族，其隶属函数形状通过已证明的校准双射，由支持证据的香农熵唯一确定。
•熵校准定理证明了形状指数（在幂律类内）和校准双射（在所有光滑递减映射中）的唯一性。
•标准模糊数族的推广：三角、梯形、抛物型和高斯模糊数作为特例或极限情况出现在同一框架内。
•模糊信息数（FIN）提供了一个闭式标量度量，衡量证据向ECAFN提供多少形状信息，并具有四个已证明的公理性质。
•在三个基准（模拟IASC-ASCE SHM、多传感器融合、UCI德国信用）上验证：融合估计在无任何方差估计的情况下，与逐步逆方差下限的偏差在0.002米以内。

引言
模糊集由Zadeh [1]首次提出，作为表示不精确概念的数学框架。模糊数由Dubois和Prade [2]引入，作为R上凸、正态模糊集的特类，已成为决策分析[3]、[4]、控制系统[5]和不确定性建模[6]中不可或缺的工具。文献中现有超过三十种不同的模糊数族；第2节调查了2020年以来发表的文献，并指出了本研究解决的问题。
尽管丰富多样，但大多数模糊数共享一个未被充分检验的局限：其隶属函数形状由建模者指定，而非从数据推断。这种任意性有三个具体后果。
1.形状不匹配：当数据在众数附近表现出快速置信度下降（与指数轮廓一致）但使用三角模糊数时，中档隶属度被系统性高估。
2.不可比性：当两个决策者用不同模糊数族表示同一不确定量时，会产生不可比的效率得分或排序。
3.信息浪费：用于推断三角模糊数（TFN）的支持区间[a,c]和众数b的数据，携带关于专家不确定性形状的更丰富信息，而TFN完全丢弃这些信息。
最大熵原理（MEP）由Jaynes [7]提出，指出在已知约束下最能代表当前知识的分布是熵最大的分布。我们将这一原理引入模糊数理论，作为构建的动机。给定证据数据{x1,…,xn}及相关置信权重，我们问：在幂律族中，具有固定支持和众数的L-R模糊数中，哪个与数据的信息内容一致？我们分两步回答：首先，在幂律参考函数族内，施加熵匹配约束，将形状指数与证据的香农熵联系起来，该约束在熵的有界范围内允许唯一解（定理2，第一部分）。其次，为获得对所有经验熵都有效的校准，我们公理化地表征指数选择映射，通过其抛物型和三角极限以及恒定的比例衰减性质，这些条件唯一确定了双射γ(H)=1+e?κH（定理2，第二部分）。因此，ECAFN形状通过这组条件由证据的香农熵决定，而非通过单一最大熵优化。
1.ECAFN定义（第4节）：一个新的模糊数族，以证据熵为参数，具有已证明的正态性、凸性、连续性和有界支持。
2.熵校准定理（第4节）：在幂律L-R族内，（I）熵匹配约束在H/κ∈[2/9,1/4)上有唯一解；（II）在满足规定极限和常数衰减条件的光滑严格递减映射中，校准双射是唯一的。
3.标准模糊数族的推广（第4节）：抛物型模糊数是ECAFN的特例，TFN是极限情况，梯形模糊数（TrFN）通过配对构造获得，指数型是底层幂律类的极限情况，高斯型在众数处匹配曲率大小。
4.计算框架（第5节）：闭式加法、减法、标量乘法，以及一阶μ-截集表示，均带有已证明的误差界。
5.模糊信息数（第6节）：用于比较任意两个模糊数的标量信息论度量，具有公理化动机和四个已证明的性质。
6.扩展比较分析（第7节）：系统定位2020–2026年模糊数族。
7.算法、消融研究和应用（第8–12节）：具有正确性保证的实际构建过程，对κ、K和n的鲁棒性消融，以及真实基准上的三域验证。
第2节回顾相关工作（2020–2026）。第3节涵盖预备知识。第4节定义ECAFN，证明其理论性质，并建立标准模糊数族的推广。第5节推导计算框架（算术和去模糊化）。第6节引入FIN度量。第7节提供比较分析。第8节介绍构建算法。第9–11节报告应用。第12节介绍消融研究。第13节总结。

章节摘要
隶属函数构建方法
经典隶属函数构建完全依赖专家启发，证据统计与所得形状之间没有正式联系[3]。García-Zamora等[8]提出了纸牌堆共构方法（DoC-MF），通过结构化专家交互在多准则决策分析中迭代细化隶属函数。虽然DoC-MF显著优于纯机械构建，但它仍是专家驱动的：函数形式由
模糊数定义
定义1 模糊数[2]
R上的模糊集A?，隶属函数μA?:R→[0,1]，当且仅当满足以下条件时为模糊数：
(i)正态性：?x0使得μA?(x0)=1。
(ii)凸性：μA?(λx+(1?λ)y)≥min{μA?(x),μA?(y)}。
(iii)上半连续性：μA?是上半连续的。
(iv)紧支持：supp(A?)={x:μA?(x)>0}是紧集。
定义2 μ-截集
A?在水平μ0∈(0,1]上的μ-截集为A?μ0=[a￣(μ0),a￣(μ0)]={x∈R:μA?(x)≥μ0}。0-截集为A?0=supp(A?)。
注1
我们用μ0表示截集水平，以避免与ECAFN的左扩展参数α冲突。
定义3 L-R模糊数[11]
A?=(m,α,β)L,R是L-R模糊
ECAFN：定义、理论与推广
本节汇集所有理论结果：ECAFN定义及其模糊数证明（第4.2节）、熵校准定理（第4.4节）以及标准模糊数族的推广（第4.6节）。计算结果（算术、去模糊化）推迟到第5节。
计算框架
本节推导计算工具：精确μ-截集算术（继承自第4节）、和的闭式近似算术及差，以及通过质心进行去模糊化。所有结果均带有显式误差界以支持实际部署。
定义与动机
FIN解决标量摘要的需求，回答：在该支持上，最大可达到熵中未被证据消耗的比例是多少？设Hmax=log2K作为K-箱熵估计的上限，它满足四个公理：
(A1)归一化：FIN∈[0,1]。
(A2)清晰最大：当HL=HR=0时FIN=1。
(A3)熵下限：FIN≥1?2Hmax/D>0，严格正性由(19)得出。
(A4)单调递减：对于固定支持几何，FIN在HL+HR上严格递减。
定义9 模糊信息数
对于ECAFN A?=(m,α,β,HL,HR)κ，以及
非对称模糊数族
经典L-R框架[11]允许任意L≠R。ECAFN是L-R成员，其中L(t)=(1?t)γL和R(t)=(1?t)γR由HL和HR唯一确定（定理2），而在经典L-R设置中两者都是分析者先验。非对称三角和梯形数说明了这一点：设置α≠β且L=R=max(1?t,0)产生扩展不对称但无形状不对称[3],[11]，因为两条臂保持线性，对应于ECAFN中的HL,HR→∞。非对称高斯更进一步：
算法：从数据构建ECAFN
本节将前述结果组装成构建过程。算法1接受加权证据样本并返回ECAFN参数：在位置参数m处划分样本，通过K-箱直方图估计每侧的香农熵，通过校准双射(5)将这些熵映射到臂指数，并通过命题2设置扩展。然后我们建立正确性（命题6）、一致性（引理1）以及结果对
数据集与实验设置
我们使用模拟数据集，模拟国际结构控制协会/美国土木工程师学会（IASC-ASCE）基准结构[33]：四层测试结构的十二自由度模型，在五种结构条件下（一种无损状态和损伤情景I–IV），地面真实标签为按损伤严重程度分配的完整/有风险/临界。从每个模拟实例中提取15个基于振动的特征，即固有频率f1?f6和
问题设置
数据是受控模拟。地面真实为h(t)=106+8sin(2πt/190)+2sin(2πt/65)米，跨越T=500步；四个流添加独立的零均值高斯噪声，σGPS=0.572和σIMU=σbaro=σopt=0.500米，GPS流在t∈[200,250]期间完全中断，σout=4.14米，即7.2倍退化。单次读数无法支持熵估计，因此传感器k在步骤t的证据是其尾随窗口W=20次读数，约化为关于局部线性拟合的残差；
数据集与模糊违约概率
我们使用UCI德国信用数据集[35]，包含1000个贷款申请，具有20个特征（7个数值，13个分类）和二元标签（700个良好/300个不良信用）。逻辑评分卡通过分层5折交叉验证在20个特征上拟合，为每个申请者分配袋外估计违约概率（PD）；其袋外AUC在50个交叉验证种子下为0.786±0.004。300个实际违约的PD构成ECAFN构建的证据，K=10
消融研究
我们在模拟IASC-ASCE SHM基准（应用1）上评估ECAFN对三个超参数（校准灵敏度κ、箱数K和证据样本量n）的鲁棒性。每个条目是50个数据种子上的均值±标准差。整个过程中，FIN作为证据的诊断而非预测性能报告：根据定义9，它仅取决于证据熵和支持几何，指数γL、γR不参与其中。上限
结论
我们引入了熵校准非对称模糊数（ECAFN），通过将隶属函数形状建立在支持证据的香农熵基础上，解决模糊数理论中长期存在的形状选择问题。ECAFN可作为Mamdani和TSK模糊推理系统中手动隶属函数指定的即插即用替代。
理论贡献包括：证明ECAFN满足所有模糊数公理（定理1），两部分
CRediT作者贡献声明
Anjali Sonkariya：写作–初稿，可视化，方法论，调查，正式分析，概念化。Anjali Awasthi：写作–审阅与编辑，监督，方法论。
利益冲突声明
作者声明，他们不知道可能影响本论文所报告工作的已知竞争经济利益或个人关系。
Anjali Sonkariya|Anjali Awasthi