临界加权类中分数阶扩散-波动方程的带符号Volterra解的Widder型分类

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A Widder-type classification of signed Volterra solutions for a fractional diffusion–wave equation in the critical weighted class

　　摘要
对于分数阶扩散-波动方程 ?tαu+(?Δ)s/2u=0，其中 1?通过初始测度对解进行分类是Widder理论中的一个核心问题。在这里，我们针对如下方程的带符号解进行研究：
?tαu(t,x)+(?Δ)s/2u(t,x)=0, (t,x)∈(0,T)×Rd,
其中 0?对于经典热方程，Widder定理将非负解与初始测度的高斯卷积等同起来 [1], [2], [3]。正性是空间分数阶热理论 [4], [5] 以及后续针对Lévy生成元 [6] 和具有有界可测系数的非局部算子 [7] 的Widder型结果背后的结构机制。这条路对于 (1.1) 不可行：根据 [8, Thm. 1]，当 d?≥?2 时，对每一个 0?与位移和速度数据相关的Fourier乘子分别为：
Z?α,s(t,ξ)=Eα,1(?tα|ξ|s), W?α,s(t,ξ)=tEα,2(?tα|ξ|s)。
两个核都具有特征长度 |x|≈tα/s 和阶数为 |x|?(d+s) 的代数尾部。这导致权重
wd+s(x)=(1+|x|)?(d+s)
以及加权全变差类
Msabs(Rd)={μ:∫Rdwd+s(x)d|μ|(x)<∞}。
全变差控制提供了与变号核相容的表述，并允许具有无限总质量但其尾部关于临界权重可积的测度。
定义3.4和3.7将假设分开：(V) 引入两个分布系数；(H0) 将第一个识别为临界测度；(H1′) 刻画第二个何时也是这样的测度。结果如下：
分类与唯一性。定理5.1在容许解与 (μ0,μ1)∈Msabs×Msabs 之间建立双射，且
u(t)=Zα,s(t)*μ0+Wα,s(t)*μ1。
对每一个 φ∈Cc∞(Rd)，
〈u(t),φ〉=〈μ0,φ〉+t〈μ1,φ〉+Oφ(Mtα), t↓0。
定理6.1通过终端对偶性证明了在 L1((0,T);Ld+s1) 中的与符号无关的唯一性。
第二个迹。见证函数 (?Δ)σ/2Wα,s, 0?抛物端点。定理9.1构造了可积到零的带符号解，其范数阶数为 t??, 0?空间精确性。定理7.3(ii)，作为定理5.1和引理3.10的直接推论，在没有符号假设的情况下将容许类的迹对与 Msabs×Msabs 等同；对于类之外的非负数据，第(i)部分表明表示瞬时发散。远场正性确定 Rεabs(t)?ε?1/stα/s 以及表示的截断误差（命题8.1和推论8.2）。
过渡。定理9.3将第二个测度在 α↓1 时识别为平稳源，在 α↑2 时识别为速度。双曲极限在分布意义下存在，但余弦传播子局部不是测度（命题9.4）。
Bonforte–Sire–Vázquez [5, Thms. 3.1, 4.1 and 5.1] 建立了非负抛物解的存在性、迹和唯一性；他们的定理9.1也处理了预先给定的带符号数据。由于他们的空间阶数为 s/2，临界权重是等价的。我们的定理9.1处理了 [5, Section 9] 末尾所指出的获得带符号迹的困难，以及第1.2小节的区别。对于 1?对于Lévy生成元，González等 [6, Thm. 3.5] 在 Lloc1([0,T);LP11) 中证明了包含数据的表述的与符号无关的唯一性，而他们的迹存在性定理需要非负性。定理6.1将对偶性推广到阶数为 1?核及其缩放是经典的 [9]；[10] 处理 0?极大正则性理论 [17], [18], [19] 使用函数空间尺度。Kim–Woo [20, Thms. 3.11 and 3.15] 在混合范数Sobolev空间中识别Besov迹，其中 p, q?>?1 且具有空间Ap权；临界权重 w(x)=(1+|x|)?d?s 在该类之外。事实上，对每一个 p?>?1，其在半径 R?≥?1 的球上的Muckenhoupt表达式满足
(1|BR|∫BRwdx)(1|BR|∫BRw?1/(p?1)dx)p?1?Rs?∞。
第一个平均值具有阶数 R?d，因为 w 可积且为正；第二个平均值通过径向积分具有阶数 R(d+s)/(p?1)。本文分析从临界类中的可测解出发，刻画其两个系数何时具有有限加权全变差；唯一性使得表示在容许类中是穷尽的。
Volterra表述也出现在差分方程中。Li–Tian–Zhang–Liu [21] 研究阶数为 0?算子、Volterra表述和传播子是经典的；Kim–Lim [22] 的包络通过注记2.2转移。证明结合了加权对偶性来恢复测度、近似恒等式和用于唯一性的终端伴随。远场正性处理了权重的临界性而不需要核的整体正性。
第2–4节建立框架和估计；第5–6节证明表示和唯一性；第7–8节处理精确性和空间截断；第9–10节呈现端点结果和数值示例。附录包含辅助证明。
章节片段
核、正性前沿和临界尾部
在整篇文章中，d?≥?1, 1??0 仅依赖于 (d, s, α)，可能随行变化；额外的依赖性用下标表示，如 CT 或 Cφ。
临界空间及其预对偶
定义3.1 临界加权测度
设 wd+s(x)=(1+|x|)?(d+s)。我们用 Msabs(Rd) 表示 Rd 上的带符号Radon测度 μ 的空间，满足
∥μ∥Msabs:=∫Rdwd+s(x)d|μ|(x)<∞，
并记 Ld+s1:=L1(wd+s(x)dx)。
定义3.2 加权连续空间
设 w=wd+s 且 ∥?∥w:=supx|?(x)|/w(x)，定义
Cbd+s(Rd)={?∈C(Rd):∥?∥w<∞},
C0d+s(Rd)={?∈C(Rd):?/w∈C0(Rd)}。
两者都带有 ‖?·?‖w；后者是前者的闭子空间，是弱-*收敛所用的预对偶。空间 C1d+s(Rd) 由满足 ∥?∥C1d+s:=supx(|?(x)|+|??(x)|)/w(x)<∞ 的 ?∈C1(Rd) 组成。
每个 ?∈Cbd+s 都是绝对
加权核估计和近似恒等式
本节的卷积界和近似恒等式使我们能够构造具有临界测度的解并恢复其迹。然后我们在Dirac质量导数的尺度上研究第二个迹的奇异性阈值。
引理4.1 加权卷积
存在 CT?>?0，使得对每一个 μ∈Msabs(Rd) 且 t?∈?(0, T]，
∥Zα,s(t)*μ∥Ld+s1≤CT∥μ∥Msabs,
∥Wα,s(t)*μ∥Ld+s1≤CTt∥μ∥Msabs,
以及，对 f∈Ld+s1，
∥Yα,s(t)*f∥Ld+s1≤CTtα?1∥f∥Ld+s1。
如果 s?>?1，则还有
∥?jWα,s(t)*μ∥Ld+s1≤CTt1?α/s∥μ∥Msabs。
Volterra解的Widder型分类
在因果类 (V) 内，Widder型特征在于通过唯一的临界测度对识别所有容许解。分类结合了引理3.6和命题3.11中测度的恢复、引理3.10的构造以及第6节中证明的定理6.1的唯一性。恢复既不依赖于该唯一性，也不依赖于零点的经典时间导数。
在下面的陈述中，几乎处处相等的解被等同；极限
终端对偶性唯一性
在Volterra类中，唯一性只需要 (H0int)，不需要 (H0) 或 (H1′)，并且可以在知道速度是否为测度之前使用。证明结合了分数阶终端伴随与时间截断的因果控制，没有正比较。
定理6.1 定理B：时间积分临界类中的唯一性
设 1??0。设 u 可测，u(t,·)∈Ld+s1(Rd) 对 a.e. t?∈?(0, T)，并假设
∫0T∥u(t,·)∥Ld+s1dt<∞ (H0int)
以及齐次Volterra恒等式
〈u(t),φ〉=?1Γ(α)∫0t(t?τ)α?1〈u(τ),(?Δ)s/2φ〉dτ, φ∈Cc∞
数据类的精确性
本节证明数据类的精确性：Bonforte–Sire–Vázquez在其引言 [5] 中对临界增长非负数据指出的零点爆破的振荡对应物；没有符号假设的容许数据对的精确刻画；以及由此产生的非负数据二分法。解概念即 (H1′) 必要性的精确性已在第4.1小节中建立。抛物爆破依赖于整体正性
绝对尾部半径和空间截断误差
前述界控制了 Rd 上精确表示的绝对外部质量和截断。它们不包括在有限域上求解或离散化方程所产生的误差。
命题8.1 传播子的绝对尾部半径
对 t?>?0 且 ε?>?0，定义
QZ(t,R):=∫|x|>R|Zα,s(t,x)|dx, Rεabs(t):=inf{R>0:QZ(t,R)≤ε}。
存在仅依赖于 (d, s, α) 的 ε0, c, C?>?0，使得
cε?1/stα/s≤Rεabs(t)≤Cε?1/stα/s, 0< /><ε0, t>0。
此外，时间依赖是精确的：
Rεabs(t)=tα/sRεabs(1), ε>0, t>0。
更精确地说，设 qZ:=|Sd?1|Cd,s/(sΓ
抛物迹、端点过渡和双曲障碍
端点 α=1 和 α=2 在表示定理之外。它们的热和波传播子是已知的 [15], [16], [31], [36]。我们分别处理抛物迹的存在性、固定数据下阶数的极限，以及在波端点处测度范畴的保持。
数值示例和截断诊断
以下计算通过评估全空间表示来说明分析结果的特定后果。所有计算使用 d=1 和双精度；它们不在有限域上离散化 (1.1)。
结论与范围
Widder型表示在所陈述的因果类中是穷尽的，即使传播子不保持正性。唯一性在临界范数的时间可积性下成立；恢复第二个测度额外需要速度控制，而Dirac尺度中的见证函数表明临界有界解可以具有非测度的第二个迹。在抛物端点，一致界刻画了临界迹；没有它，即使在时间
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Dumitru Baleanu：写作——审阅与编辑、可视化、项目管理、调查、形式分析、概念化、方法论、监督、写作——原稿。Margarita Rivero：写作——审阅与编辑、写作——原稿、监督、方法论、调查、形式分析、概念化、软件。Juan J. Trujillo：写作——审阅与编辑、写作——原稿、方法论、调查、形式分析、概念化、软件。
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计算机科学与数学系，黎巴嫩美国大学 (LAU)，贝鲁特，11022801，黎巴嫩