克服元胞自动机中晶格依赖的各向异性：一个用于微观结构建模的物理一致框架

《Computational Materials Science》：Overcoming lattice-dependent anisotropy in Cellular Automata: a physically consistent framework for microstructure modeling

　　•开发了一种包含元胞各向异性系数（CAC）的新型元胞自动机框架，以降低晶界迁移中晶格依赖的各向异性。
•引入了一种渐进分数转变方案和精细时间步进策略，以抑制传统CA模型固有的过度生长误差。
•提高了孤立和多元体系系统中晶界演化的形态各向同性和稳定性。
•展示了对CoCrFeMnNi高熵合金不连续动态再结晶过程中晶粒尺寸和再结晶分数的改进预测。

引言

热机械加工和退火过程中的微观结构演化在决定金属和合金的性能方面起着至关重要的作用。诸如静态再结晶（SRX）、亚动态再结晶（MRX）、动态再结晶（DRX）以及正常晶粒长大（GG）和异常晶粒长大（AGG）等关键现象，控制着材料的物理和力学性能。再结晶通过形成新的、无应变的晶粒来减少晶体缺陷（特别是位错），从而使材料软化。随后的晶粒长大导致更粗大的微观结构，降低界面能，而异常晶粒长大则可能通过选择性放大少数晶粒导致微观结构不均匀性。鉴于这些机制的复杂相互作用，模拟是预测材料行为、优化加工参数并最终实现目标性能的重要工具[1]、[2]、[3]。

为了模拟这些复杂现象，已经开发了几种建模方法[4]，包括蒙特卡洛（MC）[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、相场（PF）[10]、[11]、[12]、[13]、元胞自动机[14]、[15]、[16]、[17]以及顶点法[18]、[19]、[20]。其中，CA方法因其计算效率和灵活表示时空微观结构演化的能力而尤为突出[21]、[22]、[23]、[24]。在CA模型中，微观结构被表示为元胞晶格，每个元胞的状态由其自身状态和相邻元胞的状态决定。这些状态基于转变规则[25]演化，而转变规则来源于微观结构演化的底层物理机制，如晶界曲率驱动的生长和位错湮灭引起的储存能降低。这些规则决定了每个元胞的状态随时间如何变化。根据转变规则的不同，CA方法主要分为两类：确定性元胞自动机（DCA）和概率性元胞自动机（PCA）。DCA模型使用确定性规则，状态变化由特定的数学方程控制，通常来源于晶界运动学等物理原理。相比之下，PCA模型引入随机性；状态变化被赋予概率，通常与晶界迁移率或热涨落相关，并通过随机抽样进行评估。这一关键差异使得PCA模型更有效地捕捉形核和晶界迁移固有的统计特性，而DCA模型则提供更直接且基于物理的可预测进程[4]、[17]、[26]。

尽管传统CA具有实用性，但这些模型面临限制其准确性的固有挑战，包括因晶格依赖而导致的人为各向异性晶粒生长，以及难以精确捕捉曲率驱动的晶界迁移。正如元胞自动机基础文献所指出的，空间离散化和邻域选择（如冯·诺依曼或摩尔邻域）本身会影响局部转变速率，导致预测结果依赖于元胞的形状和方向，即使底层物理规则是各向同性的[27]。许多研究提出了改进方案，以提高CA模型的准确性和预测能力。这些方案包括细化元胞尺寸和时间步长，以实现静态和动态再结晶的更可靠表示[28]、[29]，以及应用晶界速度修正系数来考虑晶界运动的随机性[30]、[31]。例如，Reuther和Rettenmayr[32]对枝晶凝固的CA模型进行了全面综述，强调网格各向异性是一个主要挑战，开发替代方法（如偏心正方形算法）对提高模拟质量至关重要。类似地，Zinovieva等人[33]引入了晶粒形状和晶界形状的修正，以减轻二维晶粒长大CA模拟中的网格各向异性。然而，这些方法通常依赖于固定的经验参数或几何假设，与局部边界运动学没有直接联系。

通过减小CA元胞尺寸来细化空间分辨率，直接提高了模拟微观结构的几何保真度。关于时间分辨率，虽然使用非常小的步长通过限制晶界每步移动一个元胞长度来确保高精度，但会显著增加计算成本。相反，过大的步长会产生不真实的模型响应和人为的生长限制[28]、[29]。使用修正系数是连接理论介观动力学和概率数值框架的常见且关键的方法步骤。例如，Kugler等人[30]引入了一个修正因子，以校准晶界速度的模拟时间演化与理论预测。然而，正如Kugler和Song[30]、[31]、[34]所证明的，该系数的幅值不是普适的，而是取决于模型规格和材料行为。这一实践凸显了计算材料科学中的一个基本校准挑战，强调需要批判性地评估本构定律从理论到离散数值模型的传递和缩放。

传统CA也难以处理晶界曲率，而曲率是迁移驱动压力的关键。早期研究通过假设晶粒为圆形，从晶粒的平均半径估算曲率[35]、[36]、[37]。更常见的方法是使用Kremeyer的曲率方法，结合几何形状因子[38]。形状因子的值各不相同，对于六边形或正方形元胞，使用1.25[39]、[40]或1.28[38]、[41]、[42]、[43]、[44]等值。为了改善与冯·诺依曼二维模型的一致性，对于冯·诺依曼邻域建议使用2.4[38]。最近的进展包括用于三维模拟的非线性形状因子的开发[45]，以及替代模型，如Mason模型，该模型使用同心相邻元胞层和高斯相互作用函数[46]。此外，高度函数（HF）方法提供了一种通过微分局部高度函数从体积分数值确定曲率的方法[47]。

尽管有这些进展，传统CA方法仍因邻域定义中固有的方向偏差而表现出各向异性的晶界运动[4]。常见的邻域定义，包括摩尔（共享至少一个顶点的元胞）和冯·诺依曼（共享一条边的元胞），强加了人为的方向性生长。这导致不真实的晶粒形貌，如正方形或菱形，偏离实验中观察到的等轴结构[14]、[48]。为了解决这些问题，已经引入了几种修改，包括PCA模型中的概率转变规则[15]、[17]和使用概率邻域，如随机五边形和六边形配置[48]、[49]，以及修改的摩尔邻域。例如，修改的摩尔邻域对六边形相邻排列的角元胞采用较低的转变概率，从而促进更等轴的晶粒[50]。总的来说，这些修改旨在减少各向异性生长并促进更平滑的晶界。然而，它们仍未能完全捕捉各向同性晶粒生长或充分解决过度生长问题，最终限制了CA模拟在再现真实再结晶动力学和晶粒形貌方面的保真度。

在已提出的减轻CA模型中晶格诱导各向异性的各种策略中，两种代表性方法是Arote等人[51]提出的有限圆形邻域（LCN）方法和Marek[52]提出的扩散网格各向异性降低（GARED）方法。LCN方法将捕获域扩大到圆形邻域（每个固体元胞周围在二维中20个元胞，在三维中80个元胞），并引入固定的经验阈值来条件性地捕获邻域中的液体元胞。虽然LCN有效降低了凝固问题中的网格各向异性，但其公式依赖于几个固定参数，包括恒定的生长速率、固定的缩放因子和必须为每种材料先验校准的材料特定经验阈值。此外，LCN中的捕获规则是静态的（某些元胞被无条件捕获，而其他元胞则基于固定阈值被条件性捕获），并且独立于局部边界方向。另一方面，GARED方法[52]引入了一个基于扩散的引导场来计算生长速率降低因子，从而减轻CA网格上的晶格诱导各向异性。在该方法中，建模参数被优化一次以实现各向同性生长，并在整个模拟过程中保持恒定。虽然GARED有效降低了枝晶生长模拟中的网格各向异性，但其公式需要求解一个额外的扩散方程，每个时间步进行多次迭代，并且由于加宽的有效邻域，对于高度弯曲的界面其精度会降低。此外，GARED要求物理生长速率非常小，这显著增加了计算成本。

尽管存在差异，上述现有的各向异性降低方法都有一个共同的局限性：它们都依赖于一次确定然后在整个模拟过程中保持固定的修正策略。换句话说，修正因子要么针对特定材料进行经验校准，要么被假定为具有平均值，并且不会随着模拟的进行而改变。因此，修正被统一应用于所有边界元胞，无论其局部位置或方向如何。这意味着修正不会适应模拟过程中不断演化的晶界局部几何形状。

这种缺乏局部适应性的做法具有重要影响。由于修正不与局部边界方向相关联，它无法精确捕捉法线方向随时间变化的边界的迁移行为。因此，这些方法难以迁移到其他微观结构现象——如晶界迁移和动态再结晶（DRX）——在这些过程中迁移方向不是固定的，而是不断演化的。在这些过程中，局部边界法线起着决定性作用：它决定了边界迁移的方向，任何忽略这种方向依赖性的修正都将无法再现正确的迁移动力学。

本研究引入了一种新型CA模型，以解决传统方法的局限性。该模型基于晶界法向量显式计算元胞各向异性系数（CAC），以调整晶界迁移速度。该方法有效抵消了邻域定义中固有的内在各向异性。与LCN和GARED的固定经验参数不同，CAC在每个时间步基于局部晶界法向量为每个边界元胞局部计算。该系数不需要针对特定材料进行校准，并且独立于模拟条件。此外，修正被动态应用于所有边界元胞，而不是通过无条件或基于阈值的捕获规则。为了验证该模型，模拟了高熵合金中的动态再结晶。结果表明，预测的晶粒尺寸、形貌和再结晶分数与实验观察高度吻合，证实了模型的准确性和鲁棒性。因此，该方法能够实现更真实的晶粒形貌和再结晶动力学，并适用于各种微观结构演化现象，包括晶粒长大、静态再结晶和动态再结晶。与传统CA模型相比，所提出的方法显著减轻了各向异性伪影，提供了更物理一致且可靠的微观结构演化模拟。

章节片段

模拟框架（晶界迁移动力学）

元胞自动机是一个空间和时间离散的模型，由元胞组成，每个元胞具有特定的基于物理的状态。在每一步，每个元胞的状态根据转变规则更新，该规则考虑定义邻域内元胞的状态[4]、[53]。该转变规则来源于物理晶界速度模型。在许多扩散型微观结构演化现象中，边界迁移的动力学由常规的……（此处原文截断）

结果与讨论

本节展示并分析了所提出的CA模型和传统CA模型对微观结构演化的结果。分析从基础的、孤立的行为进展到复杂的多元相互作用。它从单个晶粒分析开始，建立各向同性生长的度量，并系统评估邻域定义和概率规则的影响。然后研究扩展到晶粒相互作用和完整的多元微观结构……（此处原文截断）

结论

本研究引入了一种新的CA框架，以克服传统CA模型中晶界迁移固有的晶格依赖各向异性相关的局限性。通过引入元胞各向异性系数、渐进转变规则和精细时间步进策略，所提出的方法提供了更物理一致的晶界迁移和微观结构演化表示。主要结论如下：

1. 元胞各向异性……（此处原文截断）

CRediT authorship contribution statement

Hossein Ghari：写作——初稿，软件，调查，形式分析，数据管理。马吉德·赛义德-萨利希：写作——审阅与编辑、验证、监督、方法论、正式分析、概念化。哈米德·礼萨·阿克拉米法尔德：写作——初稿、方法论、数据管理。阿布扎尔·塔赫里扎德：写作——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、概念化。利益冲突声明作者声明，他们没有任何已知的、可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。致谢本工作部分得到伊朗国家科学基金会（INSF）的资助。侯赛因·加里|马吉德·赛义德-萨利希|哈米德·礼萨·阿克拉米法尔德|阿布扎尔·塔赫里扎德