使用变分自编码器优化晶格的横截面

《Computer-Aided Design》：Optimizing the cross-sections of lattices using variational autoencoders

　　•引入了一种数据驱动的形状表示方法，用于自由形式梁截面，采用B样条曲线和变分自编码器（VAE）。
•VAE学习了一个紧凑的潜在空间，通过对有效和无效截面形状进行训练，确保了几何有效性。
•将高维B样条设计变量简化为平滑的低维潜在空间，从而实现高效的梯度优化。
•可微解码器支持自动微分，以获得目标和约束的灵敏度。
•框架能够直接重建优化后的截面，并自动生成用于3D打印的水密STL文件。

引言
晶格结构被广泛用作承载构件，应用范围包括汽车防撞部件、航空航天结构、土木工程系统、机械臂、超材料结构以及头盔等吸能装置（图1）[1]，[2]，[3]。
已有多种策略用于设计此类结构。连续体拓扑优化（TO）在单一连通域内分配材料[4]，[5]，并已在标准工作站上演示了涉及数百万自由度的大规模实现[6]，[7]，[8]；然而，所得结构通常是通用的，不能保证具有如许多应用所需的晶格特性。基于多尺度或微结构的TO则通过单胞实现空间变化的宏观性能，其微结构依据均质化属性进行优化[9]。由于相邻单胞独立优化，它们的边界可能不匹配，必须显式恢复材料连续性，例如通过运动学连接约束[10]、迫使相邻单胞共享边界几何的形状模板[11]、微结构优化期间施加的兼容性约束[12]，或在不同晶格族之间插值的连续嵌入[13]。去均质化的方法则不同：首先求解廉价的均质化问题，以获得假设微结构的取向和相对厚度，然后将所得场映射到单一高分辨率结构上[14]，[15]，[16]。最后，地面结构方法从连接固定节点的大量候选构件集合开始，优化构件尺寸，从而使最优布局通过移除尺寸可忽略的构件而显现出来[17]，[18]，[19]；例如，GRAND3 [19]在任意三维域上生成此类候选杆件，并为每个杆件分配一个标量横截面积。

这些策略的共同点是，单个构件的截面形状本身并不被设计。在桁架地面结构中，这无关紧要，因为轴向响应仅通过截面积来依赖；在多尺度方法中，设计变量描述单胞而非单个构件；而在去均质化中，构件几何遵循假设的微结构族。本工作关注设计空间的这一剩余维度。我们采用地面结构设置，给定晶格作为地面结构，且节点坐标固定，并询问每个构件的截面应如何成形。

晶格系统的结构性能可以通过截面优化显著增强。因此，大量先前工作集中于尺寸优化，最常见的是采用圆形轮廓，因为其几何简单且历史制造约束[20]，[21]，[22]，[23]，[24]。这些研究考虑了弯曲和扭转，但将截面先验地限制为圆形或其他简单参数族，由一两个尺寸变量描述。

然而，增材制造（AM）的进步已在很大程度上消除了这些制造约束，使得复杂截面几何的制造无需额外成本。因此，以控制点、节点坐标或轮廓描述符为参数化的更丰富的截面设计空间已变得可行。

将设计空间扩展至包含自由形式截面形状已知会带来额外益处[25]。最近的数值和实验研究进一步支持这一观察。例如，Kamranfard等人[26]通过有限元分析证明，非圆形轮廓能增强刚度、吸收的机械能和刚度重量比；而Yal??n等人[27]实验表明，定制的非圆形轮廓相比传统圆形截面显著改善能量吸收。

因此，更广泛形状优化方法也被研究，包括节点和参数化。例如，NURBS控制点被用于优化单个截面[28]，而控制点被用作每个截面的设计变量，遗传算法在高维搜索空间中导航[29]。节点坐标被用于直接定义截面边界并作为形状优化参数[30]。最近，沿梁长度变化的控制点B样条被采用以生成可制造且灵活的轮廓，通常辅以控制点多边形上的额外约束以防止无效形状[31]。

尽管这些方法对单个构件有效，但引入了大量设计变量，使其在复杂结构中计算上不可行。其他表示方法也被提出以增加表达力。例如，超形状[32]提供平面几何的高度灵活连续描述；然而，它们不能表示结构上重要的（非星形）轮廓，如工字形截面。

理论上，可以使用拓扑优化[33]，[34]，[35]，[36]来优化截面。这引入了两个特定挑战。首先，梁截面的拓扑优化需要完整的二维设计场，通常离散化为每根梁的n×n密度变量网格。例如，Liu等人[36]对单个实体截面采用了40×40=1600个密度变量的粗网格。即使在此粗分辨率下，一个具有1144个构件的晶格，如第3.5节的悬臂梁，需要约180万个密度变量，以及每次迭代中每个构件的单独截面分析。其次，更重要的是，截面拓扑优化可能产生几何复杂轮廓，可能有许多孔洞。在共享节点上连接两个或多个此类轮廓并非易事。

其他研究试图结合形状和拓扑优化以利用两者的优势。例如，基于NURBS的边界参数化与拓扑优化结合来设计截面[37]。在薄壁梁优化中，移动可变形组件（MMC）被用于在扭转、弯曲和组合载荷下识别最优形状[38]。然而，该方法可能产生不连接或分段的截面形状。类似地，最小化质量的问题被改写为使用图论的周长最小化问题[39]，但不具备发现新形状的能力。总之，虽然这些方法允许复杂形状演化，但在多截面优化中计算成本高，并可能带来轮廓兼容性挑战。

最近的研究通过将设计空间限制在少量预定义形状上来解决计算挑战。例如，使用独热编码在圆形、方形、三角形等离散轮廓之间切换[40]。离散材料优化（DMO）方法被用于在两种截面形状之间插值[41]，导致中间设计缺乏直接物理解释；使用单一切换参数结合树状Parzen估计器来选择预指定轮廓[42]。尽管这些策略大幅降低计算成本，但它们共享一个基本限制：优化器只能从人工策划的有限几何集合中选择——它不能生成、插值或发现不在预定义目录中的形状。任何不在目录中的截面几何，无论其结构价值如何，都永远无法被搜索访问。此外，此类表示缺乏连续参数化公式，无法在根本不同的截面几何之间进行有意义的插值，从而增加次优解的可能性。

尽管文献涵盖了各种用于框架结构截面设计的复杂技术，但三个持续限制仍然存在：（1）大多数方法依赖大量设计参数来准确表示自由形式几何，使其不适用于需要优化众多梁的晶格网络，和/或（2）需要额外约束和/或修复程序来防止无效或自交形状，和/或（3）降维方法实现计算效率，但将优化器限制在固定、离散的预指定截面集合内，排除了生成或插值目录中未明确存在的几何，无论其结构价值如何。这些限制涉及截面本身的表示，因此每当寻求自由形式截面时都会出现，无论晶格拓扑如何获得。

为了克服这些挑战，我们提出一个数据驱动框架，将截面表示为平滑的B样条曲线，并使用变分自编码器（VAE）学习紧凑、有效的形状潜在空间。该方法在保持几何丰富性的同时降低维度，通过学习先验确保形状有效性，并在连续的低维潜在域中实现高效优化——从而解决上述所有三个限制。该方法与先前研究一致，这些研究证明了变分自编码器在设计优化任务中的有效性，包括多材料拓扑优化[43]、连续体拓扑优化[44]和单胞微结构设计[45]。据我们所知，本工作是首次将VAE潜在空间应用于晶格结构中自由形式梁截面的优化。

本文的主要贡献如下，并指出所解决的限制：
•一个VAE潜在空间，通过从有效和无效自由形式形状中学习，强制梁截面的有效性，消除对显式几何约束或修复的需求（限制2）。
•将高维B样条空间简化为平滑的低维潜在空间，以实现高效的梯度优化，大幅减少每个梁构件所需的设计变量数（限制1）。
•可微解码器支持自动微分，以获得所选目标的灵敏度。
•从潜在空间到B样条控制点的逆映射，用于重建优化后的自由形式形状，实现连续插值，发现不限于预指定目录的截面（限制3）。
•从优化后的截面自动生成水密、可制造的STL文件，用于直接3D打印，包括恢复具有不同实体截面构件在节点处连接性的接头构造。

与上述策略的区别在于设计实体。地面结构方法决定每个构件承载多少材料；本公式还决定材料如何在构件内分布，这支配其弯曲和扭转刚度，由此产生的益处在第3.4节中与每个构件单半径基线进行量化。多尺度方法设计单胞，通过均质化属性评估，并必须强制相邻单胞共享面的连续性；此处，每个构件直接作为框架单元分析，构件仅在节点处相遇，每个截面由四个变量描述，代价是双对称形状的受限族。在给定晶格内，尺寸消失的构件仍可被移除，因此载荷路径像经典地面结构方法一样适应；然而，节点位置和候选构件是晶格的，因此框架与生成晶格本身的方法互补，如地面结构布局优化或去均质化。

章节片段
提出方法
本节详细阐述我们的方法，包括B样条形状表示、数据集生成，以及集成变分自编码器（VAE）作为代理模型来指导优化。

数值实验
本节介绍训练后的VAE的性能及其在单梁和框架优化中的应用，以晶格结构为例。始终采用线弹性材料模型，杨氏模量E=17 MPa。VAE训练期间考虑的最大截面尺寸对应于3.0×3.0单位的正方形。此外，生成的梁以STL格式导出，用于3D打印制造。所有实验在Linux操作系统上进行。

扩展到空心截面
尽管所提出框架具有优势，但它不包含空心截面，这通常对于扭转主导载荷是最优的，并且对于轻量化和能量吸收应用也具有吸引力。在此，我们展示所提方法可扩展到包含空心截面。然而，内部空隙的引入对增材制造以及第3.8节描述的接头构造提出了额外挑战：在...

结论
本工作提出一个统一框架，通过结合B样条、VAE和基于梯度的结构优化来优化晶格结构的截面。受高分辨率增材制造的启发，所提方法超越了晶格设计中传统的圆形或其他高度受限截面。通过在由B样条生成的多样化截面轮廓数据集上训练VAE，我们构建了一个低维潜在表示，能够...

CRediT作者贡献声明
Akshay Kumar：写作——原稿、验证、软件、方法、调查、形式分析、数据管理、概念化。Saketh Sridhara：写作——审阅与编辑、调查、形式分析、概念化。Krishnan Suresh：写作——审阅与编辑，监督，资金获取。代码可用性本文相关的Python代码可在GitHub.com/UW-ERSL/LatticeCrossSectionOpt上获取。生成式人工智能在写作中的声明在准备本工作期间，作者使用了生成式人工智能来辅助句子重构。作者根据需要审阅并编辑了内容，并对已发表文章的内容承担全部责任。利益冲突声明作者声明，不存在已知的、可能影响本文所报告工作的相互竞争经济利益或个人关系。致谢作者感谢美国海军研究办公室在PANTHER奖项（编号N00014-21-1-2916）下通过Timothy Bentley博士提供的支持。Akshay Kumar｜Saketh Sridhara｜Krishnan Suresh