具有状态依赖自变量的超前非线性微分方程的全局和半全局单调解

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Global and semi-global monotone solutions of advanced nonlinear differential equations with a state-dependent argument

　　摘要
本文考虑了具有状态依赖型自变量的抽象非线性超前型微分方程。采用单调迭代法证明了存在由指数型函数从上下方界定的全局或半全局单调解。新结果通过实例加以说明。同时讨论了已有结果，并提出了若干开放问题。

引言
具有超前型自变量的微分方程，其中未知函数在当下的变化率依赖于其未来值，与经典滞后情形有根本区别。滞后方程是因果性的，允许良定的初值问题，可通过步进法求解；而超前方程本质上具有反因果性。因此，滞后方程理论的经典概念（如步进法、Lyapunov-Krasovskii稳定性技术、常数变易公式等）不能直接应用于超前情形，解的存在性也不再是由初始条件决定的局部问题。这促使人们发展处理超前型自变量方程的新方法。超前方程表现出滞后情形中不存在的新现象。如文献[2]所示，具有有界系数的线性方程的解可能比任何指数函数增长更快，并且有界解与无界解可能共存于同一初始点（这类方程在例4中讨论）。文献[19]、[23]中使用超前方程描述中子减速过程（参见例5）。

鉴于上述特征，研究超前方程相较于其对应滞后方程更具挑战性。同时，超前方程作为混合型泛函微分方程[13]、[14]、[21]、[22]的组成部分自然出现，这些方程出现在波传播、中子慢化[19]和数理经济学等模型中，其中竞争经济体的动态行为导致方程中当前状态同时依赖于未知量的过去和未来值[22]。因此，对纯超前情形的透彻理解是分析混合型方程的必要前提。

本文旨在研究一类具有多个状态依赖型超前自变量的非线性超前方程，涵盖上述某些方程。采用新技术可证明全局和半全局递增解的存在性，并给出显式指数估计。我们研究方程
\[
\dot{y}(t)=\sum_{j=1}^{n}c_j(t)y(t+\tau_j(t,y(t))),
\]
其中 \(t \in I\)，且 \(I\) 指定为 \(I=\mathbb{R}\) 或 \(I=[t_0,\infty)\)，\(t_0 \in \mathbb{R}\) 固定。系数 \(c_j:I \to (0,\infty)\)，\(j=1,\dots,n\) 假设连续，且满足不等式
\[
c(t) \le c_j(t) \le C(t), \quad t \in I
\]
对某个连续函数 \(c(t), C(t)\) 满足 \(00\) 固定。作者使用步进法等方法，证明了方程(4)初值问题解的存在性和唯一性。

文献[15]研究线性自治泛函微分方程（混合型）
\[
\dot{x}(t)+\int_{-1}^{1}[d\mu(s)]x(t+s)=0
\]
其中 \(x \in \mathbb{R}^n\)，\(\mu:[-1,1] \to \mathbb{R}^{n \times n}\) 为有界变差矩阵值函数。给出了一个例子，说明尽管相应的特征方程没有实根，方程(5)仍可能具有非振动解。在附加假设下，证明了非振动解在无穷远处指数有界。为证明结果，分析了特征方程根的性质并利用拉普拉斯变换。

文献[16]中，作者考虑偶数阶方程
\[
y^{(n)}(t)=p(t)y(g(t))+q(t)y(h(t))
\]
其中 \(p, q, g, h\) 是 \([0,\infty)\) 上的连续函数，且 \(p(t)>0\)，\(q(t)>0\)，\(g(t)t\)。给出了保证方程(6)所有解振动的显式充分条件。这通过变换和定性分析来证明。

文献[17]研究了一类具有最大值、混合型、带“边界”条件的二阶泛函微分方程组。作者使用Perov不动点定理和弱Picard算子技术证明了解的存在性及其某些性质。

在3.1节中，引入变换(8)将微分方程(1)化为积分方程(10)，并引入不等式(11)、(12)。关于方程(1)全局和半全局解存在性的结果在3节中证明。主要结果（3.1节中的定理1和3.2节中的定理2）不仅证明了全局/半全局解的存在性，还给出了它们的指数型不等式（不等式(13)、(14)和(42)）。所得结果在4节中通过实例展示，4.1节展示全局解的存在性，4.2节展示半全局解。5节以一些结语和开放问题结束本文。

方程(1)比先前研究的超前方程（处理固定或时间依赖但状态独立的超前量[5]、[6]、[7]、[9]、[11]）更为广泛。我们的概念为解提供了显式的双侧指数界，并提供了解增长率的定量信息。构造两个收敛单调序列的方法与文献[3]、[18]等中考虑的单一单调序列方法不同。将(1)变换为积分方程(10)提供了指数界，并将存在性问题归结为验证不等式(11)和(12)。这些不等式可显式验证，如4节中的实例所示。

章节片段
预备知识
设正常数 \(k\) 固定。定义
\[
\Lambda(\lambda, t) = \exp\left(k \int_{0}^{t} \lambda(s) ds\right)
\]
其中 \(\lambda:I \to [0,\infty)\) 是局部可积函数，\(t \in I\)。寻找方程(1)的指数形式解
\[
y(t)=\Lambda(\lambda, t),
\]
我们得到
\[
\dot{y}(t) = k \lambda(t) \Lambda(\lambda, t),
\]
或者简化(9)，
\[
\lambda(t)=\sum_{j=1}^{n} c_j(t) \exp\left(\int_{t}^{t+\tau_j(t,\Lambda(\lambda,t))} \lambda(s) ds\right), \quad t \in I.
\]
此方程用于构造一个不动点 \(\lambda\) 满足(10)。方程(10)的解定义如下。

定义2
方程(10)的解定义为连续函数 \(\lambda:I \to (0,\infty)\)，在 \(I\) 上满足(10)。

下文
全局和半全局解的存在性
本节将处理方程(1)的全局和半全局解的存在性。首先，在3.1节中处理全局解，主要结果由定理1给出；而在3.2节中，此结果针对半全局解进行修改。

全局和半全局解 - 实例
下面给出具有全局或半全局解的方程实例。本节分为两部分。首先考虑全局解，然后考虑半全局解。在实例中，R(11)和L(11)分别表示不等式(11)的右边和左边。类似地，R(12)和L(12)分别表示不等式(12)的右边和左边。主要假设之一是存在两个函数 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\) 满足不等式(11)和(12)。

注释与结论
主要结果的证明使用单调序列与Dini定理相结合的方法。虽然文献[18]中使用了单调序列，但分析表明那里使用的论证（例如Lebesgue控制收敛定理）不能直接适用于我们的方程类。不同于本文处理的超前方程的正解存在性在文献[1]、[5]、[6]、[7]、[9]、[11]、[12]、[13]中研究。

作为进一步研究的挑战
致谢
作者非常感谢匿名审稿人和编辑的工作，他们的评论和建议在许多方面对本文的显著改进做出了贡献。第一作者和第三作者的研究在捷克科学基金会项目23-06476S下进行。第二作者的工作由波兰科学与高等教育部根据维持Josef Diblík|Miroslava R??i?ková|Gabriela Vá?anová教师研究潜力的补贴支持。