关于Brieskorn奇点线性扰动的例外集

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：On the Exceptional Set for Linear Perturbations of Brieskorn Singularities

　　摘要我们研究混合多项式族????(??,??)=??(????+ˉ??)+????+ˉ??, ??≥??≥2, 视为从?4到?2的实解析映射的例外参数。我们首先建立了以奇异值曲线导数表示的折叠、尖点、燕尾、蝴蝶和老蝴蝶奇点的识别准则，并证明该族的每个成员都是1-泛的。对于??>??, 我们得到了例外集的显式参数化。其一般点对应燕尾，而有限多个特殊点对应蝴蝶；老蝴蝶不会出现。我们以(??,??)=(3,2)和(4,2)两种情况说明了一般结果。对于??=??, 行为在本质上不同：例外集由????+1=(?1)???1刻画，并且在每个例外参数处，奇异集的一个分支被映射到目标中的单个点。

引言设??≥??≥2，考虑Brieskorn多项式?(??,??)=????+????，其米尔诺数??(?)为??(?)=(???1)(???1)。研究h的孤立奇点的一个标准方法是利用全纯莫尔斯化。例如，

???,??(??,??)=????+??????????????,

其中??,??∈?×足够小，恰好有(???1)(???1)个非退化临界点。对于一般的(??,??), 它们的临界值两两不同。因此???,??是h的莫尔斯化[1], [8]。全纯莫尔斯化与消没圈和米尔诺单值自然相关。

在[3]中，Inaba、Ishikawa、Kawashima和Thang考虑了另一种类型的形变，通过添加共轭线性项得到：

?mix??,??(??,??)=????+????+??ˉ??+??ˉ??, ??,??∈?×.

这是一个从?4到?2的实解析映射，而不是全纯莫尔斯化。对于一般的(??,??), 其奇点轨迹是一个光滑的一维流形，其奇点是不定折叠和尖点[3]。因此，混合扰动自然导致奇异值曲线、尖点计数及其分歧。关于几个变量中孤立奇点的共轭线性形变的泛性和尖点数的相关问题，作者在[5]中利用连接型混合多项式的高阶微分进行了研究。

我们研究归一化族

????(??,??)=??(????+ˉ??)+????+ˉ??, ??∈?×.

每个具有??,??≠0的?mix??,??都通过源坐标和靶坐标的复线性变换??-等价于某个????。事实上，如果????=??ˉ??且????=??ˉ??，则在(??,??)=(????,????)之后并将靶除以????，就得到????，其中??=????????。因此，归一化保持了局部奇点类型和尖点数目。

从?4到?2的光滑映射被称为卓越的，如果其所有奇点都是折叠或尖点。根据[3]，对于一般的μ，????是卓越的，其所有折叠都是不定的，并且

(??+1)(???1)≤#Cusp(????)≤(???1)(??+1).

设

?:={??∈?×|????不是卓越的}。

我们的目的是确定在?上出现的高阶??-类型，并描述奇异值集的相应分歧。

我们首先直接从奇异值曲线推导出识别准则，并证明每个????都是1-泛的。对于??>??, ?的一般点给出燕尾，有限多个特殊点给出蝴蝶；老蝴蝶不会出现。对于??=??, 行为不同：例外集为

?={??∈?×|????+1=(?1)???1},

并且在这样的参数处，奇异集的一个分支被映射到单个点。

本文组织如下。第2节我们推导以奇异值曲线表示的识别准则。第3节我们证明该族的1-泛性。第4节确定??>??情况下的例外集，并以(??,??)=(3,2)和(4,2)两种情况说明结果。第5节处理对角情况??=??。

章节片段

余秩为1的芽的识别准则

我们回顾下面所需的??-分类部分。两个映射芽??,??:(???,0)→(?2,0)是??-等价的，如果存在源的微分同胚芽φ和靶的微分同胚芽Φ使得

??=Φ°??°???1。

Rieger和Ruas [7]分类了??-简单的余秩为1的芽。这里相关的正规形式是

类型名称正规形式
1 正则 (??,??)
2 折叠 (??,??2+??(??))
3 尖点 (??,????+??3+??(??))
5 燕尾 (??,????+??4+??(??))
6 蝴蝶 (??,????+??5+????7+??(??))
7 老蝴蝶 (??,????+??5+??(??))

其中??(??)=??1??21+?+?????2??2???2是非退化的

族的1-泛性

接下来我们验证该族的每个成员都是1-泛的。对于混合函数??:?2??, Oka准则[6]指出(??,??)是奇点当且仅当存在??∈??1使得

????=??ˉ??ˉ??, ????=??ˉ??ˉ??。

我们使用以下对余秩为1层的横截性的标准重述。

引理3.1 假设??:?2??没有秩为零的奇点。定义Θ??:?2×??1??2为

Θ??(??,??,??)=(???????ˉ??ˉ??, ???????ˉ??ˉ??)。

则??1??横截于Σ1当且仅当Θ??横截于{0}。

证明 一个实线性映射??:?2??可以

??>??的例外集

我们首先处理??>??≥2的情形，考虑族

????(??,??)=??(????+ˉ??)+????+ˉ??,

其中??∈?×, ??=????????, ??=lcm(???1,???1), 并令

??=??/(???1), ??=??/(???1)。

因此(???1)??=(???1)??=??。

对角情况??=??

最后我们考虑

????(??,??)=??(????+ˉ??)+????+ˉ??, ??≥2,

并记??=????????，其中??>0。与??>??的情况形成对比，例外参数不会产生燕尾或蝴蝶。相反，奇异值曲线的整个分支可以坍缩到一个点。

未引用的参考文献

[2] Masayuki Kawashima