用于准晶相场动力学的潜在空间代理建模和数据同化框架

《Chaos, Solitons & Fractals》：A latent-space surrogate modeling and data assimilation framework for quasicrystal phase-field dynamics

　　•提出了一种用于准晶相场动力学的潜空间代理框架。
•将自由能变化引入注意力机制，用于潜空间预测。
•潜空间EnKF通过数据同化降低长时域预测误差。
•实现了准晶微观结构演化的精确高效预测。

引言

准晶材料在凝聚态物理中占有独特地位，其具有长程取向序但不具备平移周期性。自Shechtman等人[1]实验发现以来，准晶因其独特的力学和光学性质而持续吸引理论和计算研究的关注[2]。相场晶体（PFC）方法为研究准晶形核和结构演化提供了自然的连续介质框架，将分子密度场表示为标量序参量[3]，[4]，[5]。Swift–Hohenberg模型的Lifshitz–Petrich推广[6]，[7]引入了两个竞争的特征波数，使得十重准周期图案能够稳定形成，并为准晶有序化动力学提供了热力学一致的描述。尽管物理内涵丰富，但PFC动力学的直接数值模拟计算代价高昂[8]，[9]，[10]。在Lifshitz–Petrich模型中，十阶空间算子引入了强数值刚性，需要精心设计时间步进格式。此外，准晶的结构演化往往跨越很长的时间尺度，从无序初始态到稳定的准周期构型。

过去十年中，复杂物理系统的数据驱动代理建模取得了显著进展，有望比传统数值求解器加速数个数量级[11]，[12]。神经算子方法，包括傅里叶神经算子（FNO）[13]和DeepONet[14]，在一系列PDE控制系统中展现出强大性能。卷积和图神经网络架构已被应用于湍流建模、气候预测和材料微观结构演化[15]，[16]。Transformer架构[17]最初为自然语言处理中的序列建模而提出，近期在科学计算中受到越来越多的关注。尽管取得了这些进展，纯数据驱动的代理模型往往无法满足底层物理固有的守恒律和热力学约束，限制了其在长时域预测和外推到未知参数区域时的可靠性。物理信息神经网络（PINNs）[18]通过将控制方程的违反项加入训练目标来弥补这一缺陷。物理约束架构提供了另一种途径，通过将物理结构直接嵌入模型，使所选约束可以按构造方式满足。这对耗散型相场系统尤为重要，其中能量耗散为评估长时域预测的物理一致性提供了自然准则[19]，[20]。

变分自编码器（VAEs）[21]已成为学习高维物理场紧凑、结构化潜表示的有力工具。通过将潜分布正则化向标准高斯先验靠拢，据报道??-VAE能够产生平滑、解耦的潜空间，支持插值、生成和下游预测任务[22]，[23]。潜空间代理建模，即训练一个降阶动力学模型来演化潜状态而非完整物理场，已在多种流体和固体力学应用中证明有效[24]。该范式的关键优势在于，通过KL正则化项的构造，时间预测在低维潜空间中进行，并被鼓励具有高斯结构。除了表示学习，基于神经网络的方法也在PDE系统的高效模拟和优化中得到越来越多的探索。Solera-Rico等人[25]证明??-VAE与Transformer的结合可以学习混沌流体流动的紧凑、近似正交降阶模型。Liu等人[26]提出了一种基于神经网络的子空间方法来求解PDE，将无约束极小化问题重新表述为梯度流系统。受这些进展的启发，基于Transformer的序列模型为潜状态的时序演化提供了自然选择。其自注意力机制能够捕捉非局域时间依赖关系，同时避免了循环架构的梯度消失问题[27]。然而，纯数据驱动的潜预测在长时间推进中仍可能遭受累积误差。当物理系统的观测数据可用时，可以引入数据同化方法来纠正这些误差。集合卡尔曼滤波（EnKF）[28]，[29]是一种广泛使用的序贯同化算法，它从一组模型轨迹中近似预测协方差。Peyron等人[30]证明，在神经网络学习的潜空间中进行数据同化可以显著降低序贯状态估计的计算成本，同时保持高维物理系统的同化精度。在此基础上，直接在学习的潜空间中执行EnKF为物理空间同化提供了计算上方便的替代方案。降维的潜表示降低了有效状态维度，使得基于集合的协方差估计对高维相场动力学更易处理。

在本工作中，我们提出了一个用于准晶相场动力学的物理信息潜空间代理框架，该框架集成了表示学习、时间预测和潜空间数据同化。首先，在Lifshitz–Petrich梯度流的傅里叶谱求解器生成的相场上训练??-VAE。其次，训练一个Transformer来模拟编码后相场在潜空间中的自回归时间演化。第三，将集合卡尔曼滤波直接嵌入??-VAE潜空间，利用冻结的编码器作为隐式观测算子，周期性地从编码后的相场观测中校正预测的潜状态。所提出的框架是通过适配若干既有组件而设计的。我们通过以下设计针对准周期系统的物理特性进行了专门的适配：（1）??-VAE表示采用复合重构目标构建，该目标结合了像素级精度、结构相似性和谱信息。引入谱项是因为准周期图案表现出仅靠像素级监督无法完全捕捉的特征结构特征。（2）Transformer在潜空间中模拟编码相场的自回归时间演化，其注意力机制以Lifshitz–Petrich泛函导出的自由能变化为条件，从而使预测受有序化过程的热力学驱动力引导，而非仅依赖时间相关性。（3）集合卡尔曼滤波直接嵌入??-VAE潜空间，以冻结的编码器作为隐式观测算子，使预测和校正在统一的降维表示中耦合。该设计解决了准晶有序化动力学长时域自回归预测中可能出现的误差累积问题。总体而言，这些组件被集成到一个统一框架中，用于准晶长期相场演化的潜空间建模。

本文的其余部分安排如下。第2节介绍Lifshitz–Petrich相场模型和傅里叶谱数值格式。第3节详细描述所提出的框架。第4节给出数值实验。第5节总结结论。

章节片段

相场准晶模型与数值实现

简要介绍梯度流的变分推导，为后续分析准晶形核动力学奠定基础[31]，[32]。在??上定义??2内积为(??,??)=∫????(??)??(??)????，诱导范数为‖??‖=√(??,??)。准晶系统的相场表述建立在Swift–Hohenberg方程[6]的基础上，该方程是图案形成系统的原型模型，最初为描述热涨落而发展。

??-VAE-Transformer框架概述

本节介绍将??-VAE与Transformer网络耦合的预测框架。该框架由两个依次训练的部分组成：一个??-VAE将高维相场快照映射为紧凑有序的潜表示，以及一个Transformer直接在潜空间中进行时间预测。编码器将每个输入相场??映射为高斯后验：??(??∣??)=??(??,diag(??2))。通过重参数化技巧采样潜向量，??。

准晶形核与结构演化模拟

为验证所提数值格式的有效性，进行了一系列模拟。所有模拟均在方形区域??=[0,256]×[0,256]上进行，离散为均匀256 × 256网格，空间步长?=1，时间步长????=0.01h。结构参数固定为??=0.01和??=2cos(??/12)。初始条件设定为零均值密度周围的小随机扰动??(??,??,0)=0.01rand(??,??)，其中rand(??,??)表示独立的均匀随机数。

结论

在本工作中，我们开发了一个用于Lifshitz–Petrich自由能泛函支配的准晶相场动力学的潜空间代理建模与数据同化框架。所提方法将??-VAE与Transformer预测器相结合，使高维相场被压缩到结构化潜空间中并随时间演化。数值结果表明，??-VAE实现了准晶微结构的精确重构，而引入的

CRediT作者贡献声明

Jiachen Feng：写作——审阅与编辑，写作——原稿，可视化，验证，软件，方法学，概念化。Wenxuan Xie：写作——审阅与编辑，方法学，数据管理。Zhixian Lv：写作——审阅与编辑，可视化，方法学。Sajjad-ur Rehman：软件，方法学。Yibao Li：写作——审阅与编辑，监督，项目管理，研究，经费获取。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在已知的、可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本工作得到国家自然科学基金天元数学基金项目（批准号：12526212）的资助。作者感谢审稿人，其宝贵建议和意见显著提升了本文的质量。

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